TEORI PELUANG TEORI PELUANG Berhubung adanya permintaan untuk menyajikan materi peluang, baru saat ini penulis mencoba membahasnya sebatas pengetahuan pengetahuan yang penulis peroleh, karena penulis merasa miskin miskin akan referensi tentang peluang , selain dari itu teori peluang dalam perkembangannya lebih lanjut banyak sekali teoremateorema yang tidak mudah mudah untuk dicerna penulis sendiri dan dan mudah hilang dari ingatan yang yang akhirnya penulis sering menggunakan ingatan seadanya saat menjawab soal peluang. Setelah penulis memperoleh buku referensi dari kakanda dan dan membacanya , saya mencoba mencoba berbagi mengenai teori peluang sebatas yang saya pahami. Saya percaya siswa yang masih muda, berbekal pemahaman teori peluang yang cukup, latihan yang cukup dan kontinu akan meningkatkan kemampuan mengingat materi ini (retensi) secara lebih lama. Karena unsur atau elemen yang dibahas dalam teori peluang ini adalah himpunan berhingga maka sebagai materi prasyarat atau materi yang harus dipahami terlebih dulu yaitu operasi irisan dan gabungan dua himpunan. Simak uraian berikut ! Definisi: Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya berhingga, atau banyak anggotanya dapat dihitung . Sebagai contoh: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(A) = 6 , n(A) = banyaknya anggota himpunan A B = himpunan bilangan bilangan prima kurang kurang dari 9, maka maka B = { 2, 2, 3, 5, 7}, dan n (B) = 4 C = himpunan bilangan asli, maka C = { 1, 2, 3, 4, 5, … } dan C merupakan merupakan himpunan tak berhingga, karena banyak anggota C tak berhingga berhingga (infinity). Definisi: Operasi Irisan dan Gabungan Dua Himpunan A
∩ B
= { x | x ε A dan x ε B } , } , dengan kata lain himpunan A irisan B merupakan
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A dan juga anggota B. Contoh 1: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , dan B = { 2, 3, 5, 7} , maka
A ∩ B = { 2, 3, 5}, dan n (A ∩ B) = 3
A U B = { x | x ε A atau x ε B }, gabungan himpunan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan himpunan A atau anggota B.
Contoh 2: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , dan B = { 2, 3, 5, 7} , maka A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } , dan n (A U B) =7.
Hubungan dua himpunan A dan B Ada empat kemungkinan hubungan antara himpunan A dan B seperti digambarkan dengan diagram Venn berikut:
Gb. (i) menyatakan B merupakan himpunan bagian (subset) dari A) atau A memuat B (superset). Gb. (ii) menyatakan A merupakan himpunan bagian dari B) atau B memuat A . Gb. (iii) menyatakan himpunan A beririsan dengan himpunan B , A
∩
B . atau A
∩
B≠ø
Disebut juga himpunan A dan B tidak saling lepas . Gb. (iv) menyatakan himpunan A tidak beririsan dengan himpunan B , A
∩
B=ø .
Disebut juga himpunan A dan B saling lepas (terpisah).
Banyaknya anggota A Gabung B Pada kasus (i) , A Pada kasus (ii) , A
∩
B = A , maka n (A
∩
∩ B)
= n (A) .
B = B , maka n (A ∩ B) = n (B) .
Pada kasus (iii) , A U B = A + B – (A ∩ B) , maka n (A U B) = n (A) + n (B) – n(A Pada kasus (iv) , A U B = A + B , maka n (A U B) = n (A) + n (B)
∩ B)
Rumus (i) s.d. (iv) cukup mudah dicerna dengan nalar kita, begitupun pembuktian rumus (iii). n (A U B) = n (A) + n (B) – n(A ∩ B) Bukti: Jika n (A) = x + y , n(B) = y + z , dan n(A
maka, n (A U B)
∩ B)
= y seperti pada diagram Venn berikut:
=x +y+ z = x + y + y + z – y
(teknik menambah dan mengurang)
= (x + y) + ( y + z) – y = n (A) + n (B) – n(A ∩ B) ( yang harus dibuktikan).
Contoh 3: Seperti pada contoh 2, kita gunakan rumus (iii) n (A U B) = n (A) + n (B) – n(A ∩ B) = 6 + 4 – 3 = 7 I.
Pengertian Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Kejadian
Istilah peluang tak lepas dari adanya suatu peristiwa sebelumnya atau adanya suatu percobaan. Seperti pernyataan-pernyataan berikut: ‘’Saya punya peluang setengahnya mendapatkan bilangan ganjil dalam lantunan sebuah dadu” “Garry Kasparov mungkin memenangkan catur melawan Anatoly Karpov”
Dari dua pernyataan tersebut semua hasilnya masih diragukan, tetapi menurut pola percobaan atau pengalaman sebelumnya, kita mempunyai derajat keyakinan mengenai kebenaran dua pernyataan tersebut. Dalam pembahasan teori peluang untuk siswa SMP atau SMA ini , istilah peluang dapat diartikan kemungkinan terjadinya suatu kejadian dari suatu percobaan terhingga. Kemungkinan terjadinya suatu kejadian sebagai hasil dari suatu percobaan dinilai dengan menggunakan sekumpulan bilangan real dari 0 sampai dengan 1. Untuk kejadian yang kecil sekali k emungkinannya terjadi atau tidak mungkin terjadi diberi nilai 0 atau peluangnya nol, sedangkan untuk kejadian yang kemungkinannya besar terjadi diberi nilai 1 atau peluangnya 1. Peluang suatu kejadian bernilai 0 disebut suatu kemustahilan, sedangkan peluang suatu kejadian bernilai 1 disebut suatu kepastian. Contoh 1 Percobaan : Melempar dadu bersisi enam Hasil yang mungkin : muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 Contoh 2 Percobaan : Melempar sebuah mata uang logam Hasil yang mungkin : muncul Gambar atau Angka Dari Contoh 1 , pada percobaan melempar dadu bersisi enam mata dadu 1, atau 2, atau 3, atau 4, atau 5, atau 6 disebut titik sampel. Kumpulan semua titik sampel disebut Ruang Sampel (S) atau semua hasil yang mungkin . Jika A adalah himpunan bagian dari Ruang Sampel (S) , maka A disebut Kejadian atau disebut juga hasil yang dimaksud (diharapkan). Untuk setiap titik sampel pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu peluang sedemikian rupa sehingga jumlah semua bobotnya sama dengan 1. Untuk menentukan peluang suatu kejadian A, semua bobot titik sampel dalam A dijumlahkan. Jumlah ini dinamakan peluang A ditulis P(A) .
Dengan demikian kisaran nilai peluang kejadian A atau P(A) mulai dari 0 s.d. 1 atau
0 ≤ P(A) ≤ 1 .
II. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Yang dimaksud peluang suatu kejadian adalah kemungkinan terjadinya kejadian tersebut. Jika hasil yang mungkin dari suatu percobaan terjadi sebanyak n kali , dan diantara hasil yang mungkin itu terjadi x kali kejadian A (hasil yang dimaksud), maka
Contoh 3 Pada pelemparan suatu dadu, tentukanlah kemungkinan munculnya mata dadu 2 ! Jawab: Hasil yang mungkin; mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 , n = 6 Hasil yang dimasud ; 2 , x = 1 Jadi, P ( {2} ) = 1 / 6 Contoh 4 Pada pelemparan suatu dadu, tentukanlah kemungkinan munculnya mata dadu merupakan bilangan prima ! Jawab: Cara I Hasil yang mungkin; mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 , n = 6 Misalkan A : Kejadian munculnya mata dadu merupakan bilangan prima Maka A = { 2, 3, 5} , dan x = n(A) = 3 Jadi, P ( A ) = 3 / 6 = 1/2 Cara II Hasil yang dimaksud A = { 2, 3, 5} Dengan menjumlahkan setiap bobot atau peluang setiap titik sampel anggota A
Karena dadu homogen artinya setiap mata dadu mempunyai kemungkinan muncul yang sama, maka bobot setiap titik sampel anggota A , sama yaitu 1/6, sehingga P (A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 Contoh 5 Suatu dadu diberi beban sedemikian rupa sehingga kemungkinan munculnya suatu angka ganjil dua kali lebih besar daripada kemungkinan munculnya suatu angka genap. Tentukan peluang munculnya angka dadu kurang dari 5 dalam satu lantunan! Jawab: Ruang Sampel , S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, karena dadu tidak homogen atau diberi beban misalkan bobot untuk angka genap b, maka bobot untuk angka ganjil 2b. Karena jumlah semua bobot titik sampel dalam ruang sampel sama dengan 1, maka 3.b + 3(2b) = 1 atau 9b = 1, sehingga b = 1/9 . Jadi tiap angka genap berbobot 1/9 dan tiap angka ganjil berbobot 2/9. Misalkan M adalah hasil yang dimaksud , atau M = { 1, 2, 3, 4}. Maka ,
P (M) = 2/9 + 1/9 + 2/9 + 1/9 = 6/9 = 2/3
Contoh 6 Dalam pelemparan dua dadu secara bersamaan, tentukan nilai kemungkinan muncul jumlah angka kedua mata dadu sama dengan 7 ! Jawab: Langkah awal susunlah semua hasil yang mungkin, dapat disusun dengan menggunakan tabel !
D A D U II
1
DADU
1
(1,
2
(1, 2)
1)
3
4
5
6
(1,
(1,
(1,
(1,
3)
4)
5)
6)
(2,
(2,
(2,
(2,
3)
4)
5)
6)
I
2
(2, 1)
(2, 2)
3
4
5
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 6
1)
(6, 2)
(3,
(3,
(3,
(3,
3)
4)
5)
6)
(4,
(4,
(4,
(4,
3)
4)
5)
6)
(5,
(5,
(5,
(5,
3)
4)
5)
6)
(6,
(6,
(6,
(6,
3)
4)
5)
6)
Banyaknya hasil yang mungkin sebanyak 36. Hasil yang dimaksud yaitu jumlah angka mata dadu sama dengan 7. Misalkan hasil yang dimaksud adalah A = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) } , n(A) = 6 Maka P(A) = 6/36 = 1/36 Menentukan banyaknya hasil yang mungkin dari pelemparan dua dadu , kita dapat menggunakan aturan perkalian . Yaitu, banyaknya pasangan (a, b) = 6 x 6 = 36 . Contoh 7.1 Sebuah mata uang logam dilantunkan dua kali. Berpakah peluangnya paling sedikit muncul Angka sekali? Jawab: Ruang sampel dari percobaan ini adalah , S = {AA, AG, GA, GG} , n(S) = 4 Jika C menyatakan kejadian paling sedikit satu angka muncul, maka C = { AA, AG, GA }, n(C) = 3 Sehingga P(C) = 3/4 . Contoh 7.2 Sebuah mata uang dilantunkan tiga kali. Berpakah peluang nya paling sedikit muncul Gambar dua kali? Jawab: Ruang sampel dari percobaan ini adalah , S = {AAA, AAG, AGA, AGG,GAA, GAG, GGA, GGG} Untuk menentukan semua hasil yang mungkin, kita dapat menggunakan diagram garis berikut:
Banyaknya hasil yang mungkin = 23 = 8 titik sampel . Karena hasil yang dimaksud munculnya gambar paling sedikit dua kali, maka Hasil yang dimaksud ; { AGG, GAG, GGA, GGG} Jadi, Peluang (munculnya gambar paling sedikit dua kali) = 4/8 = 1/2 .
III. Gabungan Dua Kejadian Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka P (A U B)
= P (A) + P (B) – P(A ∩ B)
Contoh 8.1 Jika peluang seorang mahasiswa lulus mata ujian matematika 2/3, dan lulus mata ujian fisika 4/9. Bila peluang lulus kedua mata ujian tersebut 1/4 , berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata ujian? Jawab Dari kalimat lulus paling sedikit satu mata ujian, kemungkinan ia lulus matematika, atau lulus fisika, atau lulus kedua-keduanya. Jika A kejadian lulus mata ujian matematika, dan B ; kejadian lulus mata ujian fisika, dan A
∩
B adalah kejadian lulus kedua-keduanya, sehingga
Peluang (lulus paling sedikit satu mata ujian) = 2/3 + 4/9 – 1/4
= P (A U B)
= P (A) + P (B) – P(A
∩ B)
= 31/36 Contoh 8.2 Pada pengetosan sebuah dadu sekali, berapakah peluang muncul mata dadu prima atau mata dadu ganjil ? Jawab: Ruang sampel ; S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Misalkan A; kejadian munculnya mata dadu merupakan bilangan prima, A = {2, 3, 5}, dan B; kejadian munculnya mata dadu merupakan bilangan ganjil, B = {1, 3, 5} , dan A
∩
B = {3, 5} , maka kejadian munculnya matadadu prima atau ganjil adalah kejadian A U B,
sehingga, P (A U B)
= P (A) + P (B) – P(A ∩ B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
IV. Peluang Dua Kejadian Saling Berkomplementer A suatu kejadian, maka A’ adalah kejadian bukan A Jika A dan A’ kejadian yang berkomplementer, maka P(A) + P(A’) = 1 Atau
P(bukan A)
= 1 – P(A)
P( A’)
atau
= 1 – P(A)
A’ dibaca komplemen dari A
Contoh 9.1 Jika peluang besok hujan 3/5, maka peluang besok tidak hujan = 1 – 3/5 = 2/5. Jika kemungkinan seorang ibu melahirkan seorang anak laki-laki 1/2 , maka kemungkinan seorang ibu melahirkan seorang anak perempuan = 1 – 1/ 2 = 1/ 2
Contoh 9.2 Bila peluang seorang montir mobil akan memperbaiki 3, 4, 5, 6, 7, atau 8 mobil lebih pada setap hari kerja, masing-masing 0,28 , 0,24, 0,14 , 0,17 , 0,10 , dan 0,07 , berapakah peluang bahwa dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya? Jawab: Dengan menghitung peluang kejadian yang tidak diharapkan. Misalkan E adalah kejadian paling sedikit 5 mobil yang diperbaiki, dan E’ adalah kejadian kurang dari 5 mobil yang diperbaiki, maka P(E’ ) = 0,28 + 0,24 = 0,52 , sehingga
P(E) = 1 – P(E’) = 1 – 0,52 = 0,48 Dengan menghitung langsung peluang kejadian yang dimaksud P(E) = 0,14 + 0,17 + 0,10 + 0,07 = 0,48
V. Kejadian Saling Lepas Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas, Jika kedua kejadian itu tidak mungkin terjadi secara serentak (bersamaan) atau A
∩ B
= ø (himpunan kosong) .
Jika kejadian A dan B Saling Lepas, maka P(A U B) = P(A) + P(B)
(lihat diagram IV)
Contoh 10.1 Dalam pengetosan(pelemparan) sebuah dadu, berapakah peluang muncul angka ganjil atau genap? Jawab: Ruang sampel; S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Misalkan A kejadian miuncul angka ganjil, maka A= {1, 3, 5} Misalkan B kejadian miuncul angka genap, maka B= {2, 4, 6}, maka
A U B adalah kejadian muncul angka ganjil atau genap sehingga ; P(A U B)
= P(A) + P(B) = 3/6 + 3/6 = 1
Jadi, peluang munculnya angka ganjil atau angka genap pada pelantunan sebuah dadu adalah suatu kepastian. Contoh 10.2 Berapakah peluangnya mendapatkan jumlah 7 atau 11 , bila dua dadu dilantunkan bersamaan ? Jawab: Banyaknya anggota ruang sampel adalah 36. Misalkan A kejadian muncul jumlah 7 dan B kejadian muncul jumlah 11, maka A = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) } sebanyak 6 titik sampel B = { (5, 6), (6, 5)} sebanyak 2 titik sampel. Kejadian A dan B saling lepas (terpisah) karena kejadian A dan B tidak dapat terjadi pada lantunan yang sama, sehingga P(A U B)
= P(A) + P(B) = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9 (Bandingkan contoh soal ini dengan contoh 8.2 lihat perbedaannya)
Contoh 10.3 Sebuah kartu diambil dari sebuah kartu bridge. Berapakah peluang terambilnya kartu spade (skop) atau kartu berwarna merah? Jawab: Dalam satu kartu bridge ada sebanyak 52 k artu, jadi banyaknya semua titik sampel = 52. Dalam satu kartu bridge terdiri dari 4 gambar yaitu, Heart, diamond, spade, dan club . Istilah bahasa kita berturut-turut disebut : hati, wajik, skop dan keriting. Dalam satu kartu bridge terdiri dari dua warna yaitu merah dan hitam, masing-masing 26 kartu Warna merah untuk Hati dan Wajik , Sedangkan warna hitam untuk skop dan keriting.
Dari keempat gambar tersebut masing-masing bernomorkan 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, dan bertuliskan A (As) , K ( King ), Q,(Queen ) dan J ( Jack). Dengan demikian jumlah kartu bridge = 4 x 13 = 52 Kembali ke persoalan: Misalkan A kejadian terambilnya kartu skop , maka P(A) = 13/52 B kejadian terambilnya kartu berwarna merah, maka P(B) = 26/52 , sehingga Peluang terambilnya kartu spade (skop) atau kartu berwarna merah = P( A U B) Karena A ∩ B = ø (himpunan kosong)
, maka P(A U B) = P(A) + P(B) = 13/52 + 26/52 = 39/52
VI. Kejadian Saling Bebas Dua kejadian dikatakan Saling Bebas (independent), jika terjadinya salah satu dari kejadian itu atau tidak terjadinya, tidak akan mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, maka terjadi atau tidak terjadinya kejadian A tidak akan memperbesar atau memperkecil kemungkinan terjadinya kejadian B. Misalnya, lahirnya seorang anak laki-laki sebagai anak pertama dari seorang ibu, tidak akan mempengaruhi lahirnya anak laki-laki atau anak perempuan sebagai anak kedua dari ibu tersebut.
Jika A dan B dua kejadian saling bebas, maka P(A dan B) = P(A) . P(B) , atau P (A ∩ B )= P(A) . P(B)
Contoh 11.1 Pada pelantunan sebuah dadu sebanyak dua kali, tentukan kemungkinan munculnya Gambar dua kali ! Jawab: Pada lantunan pertama kemungkinan muncul gambar , atau P(G) = 1/2 , dan Pada lantunan kedua kemungkinan muncul gambar , atau P(G) = 1/2 , sehingga
P(muncul Gambar dua kali) = 1/2 . 1/2 = 1/4 . Contoh 11.2 Dalam pelemparan dua dadu, tentukanlah kemungkinan muncul angka 3 pada dadu pertama, dan muncul angka 4 pada dadu kedua ! Jawab: Cara I Dengan menghitung peluang masing-masing Hasil yang mungkin ditunjukkan pada tabel di atas lihat contoh 6 ! Misalkan A kejadian muncul angka 3 pada dadu I, maka P(A) = 6/36 = 1/6, dan B kejadian muncul angka 4 pada dadu II , maka P(B) = 6/36 = 1/6 . Karena kejadian A dan B, saling bebas maka P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 1/6 . 1/6 = 1/36 Cara II Dengan menentukan banyaknya anggota (A
∩ B)
Banyaknya anggota ruang sampel , n ( S) = 36 A = { (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} B = { (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 6)} A ∩ B = { (3, 4)} , maka n (A ∩ B) = 1 , sehingga P(A ∩ B) = n (A ∩ B) / n(S) = 1/36
(diperoleh hasil yang
sama). VII.
Kejadian Tak Bebas Dua kejadian dikatakan “ Tidak Bebas” , jika terjadinya salah satu dari kejadian itu
atau tidak terjadinya, akan mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain.
Jika A dan B merupakan dua kejadian tidak bebas, maka terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memperkecil atau memperbesar kemungkinan terjadinya kejadian B. Misalnya: Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, dan 3 bola putih. Jika diambil satu bola, maka kemungkinan terambinya bola merah adalah 4/7 , dan terambilnya bola putih 3/7. Tetapi jika diambil dua bola satu persatu tanpa pengembalian, misalkan pada pengambilan bola pertama diharapkan bola merah, maka kemungkinannya 4/7 . Berarti di dalam kotak sekarang tersisa 3 bola merah dan 3 bola putih dan jika pada pengambilan kedua diharapkan t erambil bola putih , maka kemungkinannya sudah menjadi 3/6. Dengan demikian pengambilan pertama mempengaruhi kemungkinan pengambilan kedua. Nilai kemungkinan kejadian tak bebas disebut juga Peluang Bersyarat. Jika kejadian A dan B merupakan dua kejadian tak bebas, maka terjadinya dua kejadian itu terjadi secara serentak mempunyai kemungkinan: P(A dan B) = P(A) . P(B|A) P(B|A) artinya kejadian B setelah kejadian A terjadi.
Contoh 12.1 Di dalam sebuah kotak terdapat dua bola merah dan tiga bola putih. Jika diambil dua bola satu persatu tanpa pengembalian, berapakah kemungkinan terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua? Jawab: Cara I: Jumlah bola di dalam kotak = 5 Jumlah bola merah = 2, jumlah bola putih = 3. Misalkan A kejadian terambilnya bola merah pada pengambian pertama, maka P(A) = 2/5. Misalkan B kejadian terambilnya bola putih pada pengambian kedua, maka P(B|A) = 3/4. Maka, P(A dan B) = P( A ∩ B)
= P(A) . P(B|A)
= 2/5 . 3/4 = 3/10 Jadi, peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua adalah 3/10. Cara II: Masing-masing bola kita bedakan 2 bola merah kita sebut ; M 1 dan M2 3 bola putih kita sebut ; P 1 , P2 , dan P3. Tentukan hasil yang mungkin (dalam hal ini urutan diperhatikan) Hal ini merupakan permutasi 2 unsur dari 5 unsur berbeda, sehingga Semua hasil yang mungkin sebanyak
Hasil yang diharapkan; H= { (M1, P1), (M1, P2), (M1, P3), (M2, P1), (M2, P2), (M2, P3) }, ada sebanyak 2 x 3 = 6 (ingat banyaknya pasangan berurutan atau aturan perkalian) Jadi, P (terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua)= 6/20 = 3/10. Tampak walaupun diperoleh hasil yang sama, cara I lebih sederhana. Tetapi cara II memperluas pemahaman kita tentang prinsif-prinsif sebelumnya (penulis). Contoh 12.2 Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola hitam. Jika diambil dua bola satu-persatu dengan tidak mengembalikan pengambilan pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang bahwa kedua pengambilan mendapatkan bola merah. Jumlah bola = 10, dan jumlah bola merah = 4. Misalkan, A kejadian terambilnya bola merah pertama, maka P(A) = 4/10 Dan B kejadian terambilnya bola merah kedua, maka P(B|A) = 3/9 . sehingga
P( A dan B)
= P(A) . P(B|A)
= 4/10 . 3/9 = 2/15 Contoh 12.3 Sebuah kotak berisi 4 kelereng berwarna putih dan 2 kelereng berwarna merah. Dua buah kelereng diambil satu persatu dengan tidak mengembalikan setiap kelereng yang diambil dari kotak tersebut. Berapakah kemungkinannya bahwa; 1. 2. 3.
kedua kelereng itu berwarna merah kedua kelereng itu berwarna sama paling sedikit satu kelereng berwarna putih
Jawab: 1. 2. 3.
P(merah, merah) = 2/6 . 1/5 = 1/15 Kedua kelereng itu berwarna sama, hasil yang dimaksud (merah, merah) atau (putih, putih), sehingga, P (kedua kelereng itu berwarna sama) = 1/15 + 4/6 . 3/5 = 1/15 + 2/5 = 7/15 Peluang paling sedikit satu kelereng berwarna putih = 1 – 1/15 = 14/15
(kaidah komplemen lihat contoh 9.1) perhitungan seperti ini lebih mudah daripada menghitung lansung peluang kejadian yang diharapkan yaitu paling sedikit satu kelereng berwarna putih. Simak uraian berikut: Banyak anggota ruang sampel sebanyak ;
Kejadian kedua kelereng berwarna merah = { (M1, M2 ), (M2, M1 ) sebanyak 2 titik sampel, Jadi, kejadian paling sedikit satu kelereng berwarna putih sebanyak 30 – 2 = 28 titik sampel, sehingga, peluang terambilnya dua kelereng dengan paling sedikit satu kelereng berwarna putih adalah 28/30 = 14/15. Untuk lebih memahami kejadian tak bebas (bersyarat) dan kejadian saling lepas , simak contoh berikut! Contoh 12.4 Suatu kotak berisi 4 bola merah dan 3 bola putih, sedangkan kotak kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola putih. Satu bola diambil dari kotak pertama secara acak kemudian dengan tanpa melihat dimasukkan ke dalam kotak kedua. Selanjutnya berapa peluangnya pengambilan satu bola dari kotak kedua diharapkan bola putih? Jawab:
Misalkan; M1 kejadian terambilnya bola merah dari kotak pertama P1 kejadian terambilnya bola putih dari kotak pertama P2 kejadian terambilnya bola putih dari kotak kedua Untuk memudahkan kita dapat membuat diagram garis berikut:
Dalam soal ini kita ingin mengetahui gabungan kejadian (P1
∩ P2)
dan (M1
∩ P2)
yang saling lepas.
