Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele
TEORI PEMECAHAN MASALAH GEORGE POLYA Apabila Anda tidak dapat dapat menyelesaikan problem, maka ada ada problem termudah yang tidak dapat Anda Anda selesaikan: menemukannya. (If you can’t solve a problem, a problem, then there is an easier problem you can’t solve: find it) George Polya George Polya layak disebut matematikawan paling berpengaruh pada abad 20. Riset mendasar yang dilakukan pada bidang analisis kompleks, fisika matematikal, teori probabilitas, geometri dan kombinatorik banyak memberi sumbangsih bagi perkembangan matematika. Semasa di Zurich, karya-karya di bidang matematika sangat beragam dan produktif. Tahun 1918, mengarang makalah tentang deret, teori bilangan, sistem voting dan kombinatorik. Tahun berikutnya, menambah dengan topik-topik seperti astronomi dan probabilitas. Meskipun pikiran sepenuhnya ditumpahkan untuk topik-topik di atas, namun Polya mampu membuat hasil mengesankan pada fungsi-fungsi integral. Bekerja di universitas Brown dan Smith College selama 2 tahun, sebelum akhirnya menerima undangan dari Stanford yang diterimanya dengan senang hati. Sebelum meninggalkan Eropa, Polya sempat mengarang buku How to solve it yang yang ditulis dalam bahasa Jerman. Setelah
mencoba
menawarkan
ke
berbagai
penerbit
akhirnya
dialihbahasakan ke dalam bahasa Inggris sebelum diterbitkan oleh Princeton. Buku ini ternyata menjadi buku best seller yang terjual lebih dari 1 juta copy dan kelak dialihbahasakan ke dalam 17 bahasa. Buku ini berisikan metode-metode sistematis guna menemukan solusi atas problem-problem yang dihadapi dan memungkinkan seseorang menemukan pemecahannya sendiri karena memang sudah ada dan dapat dicari. A. Pemecahan Masalah dalam Pembelajaran Matematika Menurut Polya
Polya (1985) mengartikan pemecahan masalah sebagai satu usaha mencari jalan keluar dari satu kesulitan guna mencapai satu tujuan yang tidak begitu mudah segera untuk dicapai. Dalam pembelajaran matematika, selain pemecahan masalah mempunyai arti khusus, istilah tersebut mempunyai interpretasi yang 1
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele berbeda,
misalnya
menyelesaikan
soal
cerita
yang
tidak
rutin
dan
mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari. Karena setiap hari kita diperhadapkan dengan berbagai masalah yang tidak bisa diselesaikan dengan segera.
Dengan
demikian,
tugas
guru
adalah
membantu
siswa
dalam
menyelesaikan masalah dengan spektrum yang luas yakni membantu siswa dalam memahami masalah, sehingga kemampuan dalam memahami konteks masalah dan menganalisa alasan mengapa masalah itu muncul. Ada empat tahapan dalam menyelesaikan masalah menurut Polya dalam bukunya “how to solve it” yaitu: it” yaitu: 1) Memahami masalah (see) Pada tahapan ini, kegiatan yang dilakukan adalah membaca soalnya dan memahaminya dengan benar, kemudian merumuskan:
apa yang diketahui?
apa yang ditanyakan?
apakah informasinya cukup?
kondisi (syarat) apa yang harus dipenuhi?
Setelah itu, nyatakan kembali masalah asli dalam bentuk yang lebih operasional (dapat dipecahkan). Untuk beberapa masalah akan sangat berguna untuk membuat diagramnya dan mengidentifikasi kuantitas-kuantitas yang diketahui dan dibutuhkan pada diagram tersebut. Biasanya dibutuhkan membuat beberapa notasi ( x, a, b, c, V=volume, m=massa dsb ). 2) Merencanakan pemecahan (plan). (plan). Kegiatan yang dilakukan pada tahapan ini adalah mencoba mencari atau mengingat masalah yang pernah diselesaikan yang memiliki kemiripan dengan sifat yang akan dipecahkan, mencari pola atau aturan, menyusun prosedur penyelesaian. Akan sangat berguna untuk membuat pertanyaan: “Bagaimana saya akan menghubungkan hal yang diketahui untuk mencari hal yang tidak diketahui? “
Membuat sub masalah, Pada masalah yang komplek, akan sangat berguna untuk membantu jika anda membaginya kedalam beberapa sub masalah, sehingga anda dapat membangunya untuk menyelesaikan masalah.
2
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele
Hubungkan masalah tersebut dengan hal yang sebelumnya sudah dikenali. Lihatlah pada hal yang tidak diketahui dan cobalah untuk mengingat masalah yang mirip atau memiliki prinsip yang sama.
Cobalah untuk mengenali polanya
Gunakan analogi, cobalah untuk memikirkan analogi dari masalah tersebut, yaitu, masalah yang mirip, masalah yang berhubungan, yang lebih sederhana sehingga memberikan anda petunjuk yang dibutuhkan dalam memecahkan masalah yang lebih sulit. Contoh, jika masalahnya ada pada ruang tiga dimensi, cobalah untuk melihat masalah sejenis dalam bidang dua dimensi. Atau jika masalah terlalu umum, anda dapat mencobanya pada kasus khusus
Masukan sesuatu yang baru, Contoh, diagram sangat bermanfaat dalam membuat suatu garis bantu.
Buatlah kasus
Mulailah dari akhir (Asumsikan Jawabannya)
Sangat berguna jika kita membuat pemisalan solusi masalah, tahap demi tahap mulai dari jawaban masalah sampai ke data yang diberikan
3) Melaksanakan rencana (do) Kegiatan pada langkah ini adalah menjalankan prosedur yang telah dibuat pada langkah sebelumnya untuk mendapatkan penyelesaian, memeriksa setiap langkah dengan seksama untuk membuktikan bahwa cara yang dilakukan itu benar. 4) Memeriksa kembali prosedur dan hasil penyelesaian (chek) Kegiatan pada langkah ini adalah menganalisis dan mengevaluasi apakah prosedur yang diterapkan dan hasil yang diperoleh sudah sesuai dengan ketentuan yang diketahui dan tidak terjadi kontradiksi. Ada empat komponen untuk mereviw suatu penyelesaian sebagai berikut.
Kita cek hasilnya.
Kita intepertasikan jawaban yang kita peroleh.
Kita bertanya kepada diri kita sendiri, apakah ada cara lain untuk mendapatkan penyelesaian yang sama.
3
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele
Kita bertanya kepada diri kita sendiri apakah ada penyelesaian yang lain ? Perlu kita sadari janganlah kita langsung mengharapkan dapat menjawab
benar untuk semua masalah. Menyelesaikan masalah memerlukan waktu dan berkelanjutan, tidak terpenggal-penggal dalam proses berpikir kita. Namun bila pendekatan yang kita gunakan tepat, nampaknya masalah yang sulit kadangkadang berubah menjadi masalah yang mudah. Pada saat guru menggunakan strategi ini, sebaiknya ditekankan bahwa penggunaan objek yang dicontohkan dapat diganti dengan satu model yang lebih sederhana, misalnya : a. Membuat gambar atau diagram. Penekanan ini perlu dilakukan bahwa gambar atau diagram yang dibuat tidak perlu sempurna, terlalu bagus atau terlalu aktual, yang penting bagian-bagian terpenting dari gambar itu dapat memperjelas masalah. b. Menemukan pola Kegiatan matematika yang berkaitan dengan proses menemukan suatu pola dari sejumlah data yang diberikan, dapat mulai dilakukan melalui sekumpulan gambar atau bilangan. Kegiatan yang mungkin dilakukan antara lain dengan mengobservasi sifat-sifat yang dimiliki bersama oleh kumpulan gambar atau bilangan yang tersedia.
Sebagai suatu strategi untuk pemecahan masalah,
pencarian pola yang pada awalnya hanya dilakukan secara pasif melalui permasalahan yang dikeluarkan oleh guru, pada suatu saat keterampilan itu akan
terbentuk
dengan
sendirinya
sehingga
pada
saat
menghadapi
permasalahan tertentu, salah satu pertanyaan yang mungkin muncul pada benak seseorang antara lain adalah :”Adakah pola atau keteraturan tertentu yang mengaitkan tiap data yang diberikan?”. Tanpa melalui latihan sangat sulit bagi seseorang untuk menyadari bahwa dalam permasalahan yang dihadapinya terdapat pola yang bisa diungkap.Membuat tabel Mengorganisasi data ke dalam sebuah tabel dapat membantu kita dalam mengungkapkan suatu pola tertentu
serta
dalam
mengidentifikasi
informasi
yang
tidak
lengkap.
Penggunaan tabel merupakan langkah yang sangat efisien untuk melakukan klasifikasi serta menyusun sejumlah besar data sehingga apabila muncul
4
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele pertanyaan baru berkenaan dengan data tersebut, maka kita akan dengan mudah menggunakan data tersebut, sehingga jawaban pertanyaan tadi dapat diselesaikan dengan baik. c. Memperhatikan semua kemungkinan secara sistematik Strategi ini biasanya digunakan bersamaan dengan strategi mencari pola dan menggambar tabel. Dalam menggunakan strategi ini, kita tidak perlu memperhatikan keseluruhan kemungkinan yang bisa terjadi.Yang kita perhatikan adalah semua kemungkinan yang diperoleh dengan cara sistematik. Yang dimaksud sistematik disini misalnya dengan mengorganisasikan data berdasarkan kategori tertentu.
Namun demikian, untuk masalah-masalah
tertentu, mungkin kita harus memperhatikan semua kemungkinan yang bisa terjadi. d. Tebak dan periksa ( Guess and Check ) Strategi menebak yang dimaksudkan disini adalah menebak yang didasarkan pada alasan tertentu serta kehati-hatian. Selain itu, untuk dapat melakukan tebakan dengan baik seseorang perlu memiliki pengalaman cukup yang berkaitan dengan permasalahan yang dihadapi
B. Karakteristik Bagi Orang Yang Mampu Melakukan Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah telah dilakukan beberapa puluh tahun yang lalu diantaranya di lakukan oleh Dodson (1971); Hollander (1974) dalam Wono Setya Budi (2005:3).
Menurut mereka kemampuan pemecahan masalah yang harus
ditumbuhkan adalah : 1) Kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika. 2) Kemampuan untuk mencatat kesamaan, perbedaan dan analog. 3) Kemampuan untuk mengidentifikasi elemen terpenting dan memilih prosedur yang benar. 4) Kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan. 5) Kemampuan menaksir dan menganalisa. 6) Kemampuan mengvisualisasi dan menginterpretasi kuantitas. 7) Kemampuan untuk memperumum berdasarkan beberapa contoh.
5
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele 8) Kemampuan untuk berganti metoda yang di ketahui. C. Aplikasi Pemecahan Masalah Polya Dalam Pembelajaran Matematika Contoh 1:
Seorang guru mengajukan masalah dengan meminta siswa untuk menjumlahkan 100 bilangan asli yang pertama. Jika siswa tersebut menjumlahkan angka 1,2,3...100 maka akan menyita waktu yang
cukup
lama
untuk
menemukan
jawabannya,
akan
tetapi
dengan
menggunakan langkah-langkah pemecahan masalah maka waktu yang digunakan cukup cepat. Memahami
masalah,
bilangan 1,2,3,4...100 dengan demikian masalah yang muncul adalah 1+2+3...+100 = ....? Merencanakan
penyelesaian,
Strategi yang diterapkan adalah mencari kemungkinan adanya satu pola. Misalkan kita dapatkan pola seperti berikut : 1 + 2 + 3 + ............. + 100 = x 100 + 99+98+...............+
1 = x
101 +101+101 + ..........+101 = 2 x Karena jumlahnya 101 maka ada 100 pasang bilangan yang berjumlah 101. Menyelesaikan
masalah,
Jika terdapat 100 pasang bilangan 101, maka hasilnya adalah 2 x, maka akan di peroleh 100 x 101 = 2 x
= = 505 Memeriksa
kembali,
metode yang digunakan secara matematika sudah benar. Sebab penjumlahan dapat dilakukan dalam urutan yang berbeda dan perkalian adalah penjumlahan yang berulang.
6
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele Jika masalah umum muncul, tentukanlah jumlah n bilangan asli yang pertama : 1 + 2 + 3 ... + n. Dengan n bilangan asli. Jika merupakan bilangan genap, maka cara seperti sebelumnya dapat digunakan
1 + 2 + 3 … . . .… + = ………+ 3 + 2 + 1 = + ( + 1) …… … …… .… = 2 pasangan bilangan yang masing-masing berjumlah n + 1. Sebanyak n maka dengan demikian jumlah keseluruhan didapat
( n + 1 ).
Contoh 2:
Pada pokok bahasan lingkaran, untuk menyelesaikan soal, ada beberapa langkahlangkah pemecahan masalah sebagai berikut: Memahami
masalah,
Mengerti masalah adalah tindakan menemukan masalah atau mengetahui bahwa ada masalah, contoh: Tentukan jari-jari lingkaran jika diketahui luasnya 314 cm2 Merencanakan
penyelesaian,
Merencanakan penyelesaian yang mengarah untuk menentukan tindakan, meliputi pernyataan masalah dalam bentuk yang baik agar ada kesempatan untuk menemukan suatu metode penyelesaian. Jika masalah tersebut diatas dapat ditulis dalam bentuk operasional. L=π
2
r
dengan phi π 3,14 atau
Menyelesaikan
22
7
masalah,
Melaksanakan penyelesaian meliputi perubahan untuk menyelesaikan masalah. Misalnya : 3,14 Memeriksa
x
r
2
314
cm
2
kembali,
Melihat kembali atau menguji terkaan dan mengecek hasil
2
r
314
3,14
2
r
100
7
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele r L
100 π
10
2
r
314 = 3,14 x 10 x 10 (benar)
D. Kelebihan dan Kekurangan Metode pemecahan Masalah
Metode pemecahan masalah mempunyai kelebihan dan kekurangan, adapun kelebihannya adalah: 1) Pemecahan masalah merupakan salah satu bentuk pendidikan berpikir tertib. 2) Pemecahan masalah merupakan suatu kegiatan belajar penuh makna (meaningfull ), untuk meningkatkan sifat keingintahuan intelektual. 3) Pemecahan masalah memungkinkan siswa untuk berkembang menjadi lebih analitis dalam mengambil keputusan didalam kehidupan. 4) Pengetahuan baru ditemukan melalui pemecahan masalah. 5) Dengan pemecahan masalah siswa dapat menerapkan konsep-konsep dan prinsip matematika ke situasi baru. 6) Siswa berperan serta segara aktif dalam kegiatan belajar mengajar. Sedangkan kelemahannya adalah: 1) Memerlukan waktu yang lama. 2) Kebulatan materi kadang sulit dicapai. 3) Guru yang kurang kreatif akan mengalami kesulitan. 4) Kurang cocok bagi siswa yang mempunyai kemampuan rendah.
8
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele
TEORI VAN HIELE (HIERARKIS BELAJAR GEOMETRI)
A. Pembelajaran Geometri
Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika menengah, karena banyaknya konsep-konsep yang termuat di dalamnya. Dari sudut
pandang
psikologi,
geometri
merupakan
penyajian
abstraksi
dari
pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola, pengukuran dan pemetaan. Sedangkan dari sudut pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan pendekatan untuk pemecahan masalah, misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat, vektor, dan transformasi. Geometri juga merupakan lingkungan untuk mempelajari struktur matematika. Usiskin mengemukakan bahwa: 1. Geometri adalah cabang matematika yang mempelajari pola-pola visual, 2. Geometri adalah cabang matematika yang menghubungkan matematika dengan dunia fisik atau dunia nyata, 3. Geometri adalah suatu cara penyajian fenomena yang tidak tampak atau tidak bersifat fisik, dan 4. Geometri adalah suatu contoh sistem matematika. Tujuan pembelajaran geometri adalah untuk mengembangkan kemampuan berpikir logis, mengembangkan intuisi keruangan, menanamkan pengetahuan untuk menunjang materi yang lain, dan dapat membaca serta menginterpretasikan argumen-argumen matematik. Pada dasarnya geometri mempunyai peluang yang lebih besar untuk dipahami siswa dibandingkan dengan cabang matematika yang lain. Hal ini karena ide-ide geometri sudah dikenal oleh siswa sejak sebelum mereka masuk sekolah, misalnya garis, bidang dan ruang. Meskipun demikian, bukti-bukti di lapangan menunjukkan bahwa hasil belajar geometri masih rendah dan perlu ditingkatkan. Bahkan, di antara berbagai cabang matematika, geometri menempati posisi yang paling memprihatinkan.
9
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele Kesulitan siswa dalam memahami konsep-konsep geometri terutama pada konsep bangun ruang. Madja (1992:3) menyatakan bahwa siswa SMU masih mengalami kesulitan dalam melihat gambar bangun ruang. Sedangkan di perguruan tinggi, berdasarkan pengalaman, pengamatan dan penelitian ditemukan bahwa kemampuan mahasiswa dalam melihat ruang dimensi tiga masih rendah. Bahkan dari berbagai penelitian, masih ditemukan mahasiswa yang menganggap gambar bangun ruang sebagai bangun datar, mahasiswa masih sulit menentukan garis bersilangan dengan berpotongan, dan belum mampu
menggunakan
perolehan geometri SMU untuk menyelesaikan permasalahan geometri ruang. Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan dalam belajar geometri tersebut, cara yang dapat ditempuh adalah penerapan teori van Hiele.
B. Teori Berpikir Geometri van Hiele
Teori van Hiele yang dikembangkan oleh dua pendidik berkebangsaan Belanda, Pierre Marie van Hiele dan Dina van Hiele-Geldof sekitar tahun 1950an, menjelaskan perkembangan berpikir siswa dalam belajar geometri. Menurut teori van Hiele, seseorang akan melalui lima tahap perkembangan berpikir dalam belajar geometri. Kelima tahap perkembangan berpikir van Hiele adalah tahap 0 (visualisasi), tahap 1 (analisis), tahap 2 (deduksi informal), tahap 3 (deduksi), dan tahap 4 (rigor). 1) Tahap 0 (Visualisasi) Tahap ini juga dikenal dengan tahap dasar, tahap rekognisi, tahap holistik, tahap visual. Pada tahap ini siswa mengenal bentuk-bentuk geometri hanya sekedar berdasar karakteristik visual dan penampakannya. Siswa secara eksplisit tidak terfokus pada sifat-sifat obyek yang diamati, tetapi memandang obyek sebagai keseluruhan. Oleh karena itu, pada tahap ini siswa tidak dapat memahami dan menentukan sifat geometri dan karakteristik bangun yang ditunjukkan. 2) Tahap 1 (Analisis) Tahap ini juga dikenal dengan tahap deskriptif. Pada tahap ini sudah tampak adanya analisis terhadap konsep dan sifat-sifatnya. Siswa dapat menentukan
10
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele sifat-sifat
suatu
bangun
dengan
melakukan
pengamatan,
pengukuran,
eksperimen, menggambar dan membuat model. Meskipun demikian, siswa belum sepenuhnya dapat menjelaskan hubungan antara sifat-sifat tersebut, belum dapat melihat hubungan antara beberapa bangun geometri dan definisi tidak dapat dipahami oleh siswa. 3) Tahap 2 (Deduksi Informal) Tahap ini juga dikenal dengan tahap abstrak, tahap abstrak/relasional, tahap teoritik, dan tahap keterkaitan. Hoffer, Argyropoulos dan Orton menyebut tahap ini dengan tahap ordering. Pada tahap ini, siswa sudah dapat melihat hubungan sifat-sifat pada suatu bangun geometri dan sifat-sifat antara beberapa bangun geometri. Siswa dapat membuat definisi abstrak, menemukan sifat-sifat dari berbagai bangun dengan menggunakan deduksi informal, dan dapat mengklasifikasikan bangun-bangun secara hirarki. Meskipun demikian, siswa belum mengerti bahwa deduksi logis adalah metode untuk membangun geometri. 4) Tahap 3 (Deduksi) Tahap ini juga dikenal dengan tahap deduksi formal. Pada tahap ini siswa dapat menyusun bukti, tidak hanya sekedar menerima bukti. Siswa dapat menyusun teorema dalam sistem aksiomatik. Pada tahap ini siswa berpeluang untuk mengembangkan bukti lebih dari satu cara. Perbedaan antara pernyataan dan konversinya dapat dibuat dan siswa menyadari perlunya pembuktian melalui serangkaian penalaran deduktif. 5) Tahap 4 (Rigor) Clements & Battista juga menyebut tahap ini dengan tahap metamatematika, sedangkan Muser dan Burger menyebut dengan tahap aksiomatik. Pada tahap ini siswa bernalar secara formal dalam sistem matematika dan dapat menganalisis konsekuensi dari manipulasi aksioma dan definisi. Saling keterkaitan antara bentuk yang tidak didefinisikan, aksioma, definisi, teorema dan pembuktian formal dapat dipahami. Burger dan Culpepper menyatakan bahwa Teori van Hiele mempunyai
karakteristik:
11
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele a. Tahap-tahap tersebut bersifat hirarki dan sekuensial, b. Kecepatan berpindah dari tahap ke tahap berikutnya lebih bergantung pada pembelajaran, c. Setiap tahap mempunyai kosakata dan sistem relasi sendiri-sendiri. d. Setiap tahap memiliki karakteristik bahasa, simbol dan metode penyimpulan sendiri-sendiri. Sedangkan Clements & Battista menyatakan bahwa teori van Hiele mempunyai karakteristik: a. Belajar adalah proses yang tidak kontinu, terdapat “lompatan” dalam kurva belajar seseorang, dimana tahap-tahap tersebut bersifat terurut dan hirarki b. Konsep yang dipahami secara implisit pada suatu tahap akan dipahami secara ekplisit pada tahap berikutnya, c. Setiap tahap mempunyai kosakata sendiri-sendiri. Adapun sifat-sifat dari teori van Hielle, menurut Crowley: 1) Berurutan, yakni seseorang harus melalui tahap-tahap tersebut sesuai urutannya; 2) Kemajuan, yakni keberhasilan dari tahap ke tahap lebih banyak dipengaruhi oleh isi dan metode pembelajaran daripada oleh usia; 3) Intrinsik dan estrinsik , yakni obyek yang masih kurang jelas akan menjadi obyek yang jelas pada tahap berikutnya; 4) Kosakata, yakni masing-masing tahap mempunyai kosakata dan sistem relasi sendiri; dan 5) Mismacth, yakni jika seseorang berada pada suatu tahap dan tahap pembelajaran berada pada tahap yang berbeda. Secara khusus yakni jika guru, bahan pembelajaran, isi, kosakata dan lainnya berada pada tahap yang lebih tinggi daripada tahap berpikir siswa. Setiap tahap dalam teori van Hiele, menunjukkan karakteristik proses berpikir siswa dalam belajar geometri dan pemahamannya dalam konteks geometri. Kualitas pengetahuan siswa tidak ditentukan oleh akumulasi pengetahuannya, tetapi lebih ditentukan oleh proses berpikir yang digunakan.
12
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele Tahap-tahap berpikir van Hiele akan dilalui siswa secara berurutan. Dengan demikian siswa harus melewati suatu tahap dengan matang sebelum menuju tahap berikutnya. Kecepatan berpindah dari suatu tahap ke tahap berikutnya lebih banyak bergantung pada isi dan metode pembelajaran daripada umur dan kematangan.
C. Model Pembelajaran van Hiele
Pembelajaran geometri hanya akan efektif apabila sesuai dengan struktur kemampuan berpikir siswa. Hal ini menurut pandangan van Hiele, hasil belajar dapat diperoleh melalui lima fase yang sekaligus sebagai tujuan pembelajaran (Crowley, 1987:5-6). Selanjutnya lima fase pembelajaran tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. 1. Fase 1 (Inkuiri/Informasi)
Dengan tanya jawab antara guru dengan siswa, disampaikan konsepkonsep awal tentang materi yang akan dipelajari. Guru mengajukan informasi baru dalam setiap pertanyaan yang dirancang secermat mungkin agar siswa dapat menyatakan kaitan konsep-konsep awal dengan materi yang akan dipelajari. Bentuk pertanyaan diarahkan pada konsep yang telah dimiliki siswa, misalnya Apa itu garis yang sejajar? Apa itu garis yang sama panjang?Apa itu sudut yang sehadap, sepihak, dan bersebrangan? Apa itu segiempat? dan seterusnya. Informasi dari tanya jawab tersebut memberikan masukan bagi guru untuk menggali tentang perbendaharaan bahasa dan interpretasi atas konsepsi-konsepsi awal siswa untuk memberikan materi selanjutnya, dipihak siswa, siswa mempunyai gambaran tentang arah belajar selanjutnya. 2. Fase 2 (Orientasi Berarah)
Sebagai refleksi dari fase 1, siswa meneliti materi pelajaran melalui bahan ajar yang dirancang guru. Guru mengarahkan siswa untuk meneliti objek-objek yang dipelajari. Kegiatan mengarahkan merupakan rangkaian tugas singkat untuk memperoleh respon-respon khusus siswa. Misalnya, guru meminta siswa mengamati gambar yang ditunjukkan berupa macam-macam segiempat.
13
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele Siswa diminta mengelompokkan jenis segiempat, sesuai dengan jenisnya, setelah itu menjiplak dan menggambarkan macam-macam segiempat dengan berbagai ukuran yang ditentukan sendiri pada kertas dengan mengunakan media alat tulis. Kemudian menempelkan pada buku masing-masing. Aktivitas belajar ini bertujuan untuk memotivasi siswa agar aktif mengeksplorasi objek-objek (sifat-sifat bangun yang dipelajari) melalui kegiatan seperti mengukur sudut, melipat, menentukan panjang sisi untuk menemukan hubungan sifat-sifat dari bentuk bangun-bangun tersebut. Fase ini juga bertujuan untuk mengarahkan dan membimbing eksplorasi siswa sehingga menemukan konsep-konsep khusus dari bangun-bangun geometri. 3. Fase 3 (Uraian)
Pada fase ini, siswa diberi motivasi untuk mengemukakan pengalamannya tentang struktur bangun yang diamati dengan menggunakan bahasanya sendiri. Sejauh mana pengalamannya bisa diungkapkan, mengekspresikan dan merubah atau menghapus pengetahuan intuitif siswa yang tidak sesuai dengan struktur bangun yang diamati. Guru membawa objek-objek (ide-ide geometri, hubunganhubungan, pola-pola dan sebagainya) ke tahap pemahaman melalui diskusi antar siswa dalam menggunakan ketepatan bahasa dengan menyatakan sifat-sifat yang dimiliki oleh bangun-bangun yang dipelajari. 4. Fase 4 (Orientasi Bebas)
Pada fase ini siswa dihadapkan dengan tugas-tugas yang lebih kompleks. Siswa ditantang dengan situasi masalah kompleks. Siswa diarahkan untuk belajar memecahkan masalah dengan cara siswa sendiri, sehingga siswa akan semakin jelas melihat hubungan-hubungan antar sifat-sifat suatu bangun. Jadi siswa ditantang untuk mengelaborasi sintesis dari penggunaan konsep-konsep dan relasi-relasi yang telah dipahami sebelumnya. Fase pembelajaran ini bertujuan agar siswa memperoleh pengalaman menyelesaikan masalah dan menggunakan strategi-strateginya sendiri. Peran guru adalah memilih materi dan masalah-masalah yang sesuai untuk mendapatkan pembelajaran yang meningkatkan perolehan berbagai performansi siswa.
14
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele 5. Fase 5 (Integrasi)
Pada fase ini, guru merancang pembelajaran agar siswa membuat ringkasan tentang kegiatan yang sudah dipelajari (pengamatan-pengamatan, membuat sintesis dari konsep-konsep dan hubungan-hubungan baru). Tujuan kegiata belajar fase ini adalah menginterpretasikan pengetahuan dari apa yang telah diamati dan didiskusikan. Peran guru adalah membantu pengiterpretasian pengetahuan siswa dengan meminta siswa membuat refleksi dan mengklarifikasi pengetahuan geometri siswa, serta menguatkan tekanan pada penggunaan struktur matematika.
D. Pengalaman Belajar Sesuai Tahap Berpikir van Hiele
Tingkat berpikir siswa dalam belajar geometri menurut teori van Hiele banyak bergantung pada isi dan metode pembelajaran. Oleh sebab itu, perlu disediakan aktivitas-aktivitas yang sesuai dengan tingkat berpikir siswa. Siswa SMP/MTs pada umumnya sudah sampai pada tahap berpikir deduksi informal. Hal ini sesuai dengan pendapat van de Walle (1990:270) yang menyatakan bahwa sebagian besar siswa SMP/MTs berada pada antara tahap 0 (visualisasi) sampai tahap 2 (deduksi informal). Berikut ini dijelaskan aktivitas-aktivitas yang dapat digunakan untuk tiga tahap pertama yaitu tahap 0 (visualisasi), tahap 1 (analisis), dan tahap 2 (deduksi informal) (Crowley, 1987:7 – 12).Aktivitas tahap 0 (visualisasi)
Tahap 0 (visualisasi), Pada tahap ini, siswa diharapkan dapat memperhatikan bangun-bangun geometri berdasarkan penampilan fisik sebagai suatu keseluruhan. Aktivitas untuk tahap ini sebagai berikut: a. Memanipulasi, mewarna, melipat, dan mengkonstruk bangun-bangun geometri. b. Mengidentifikasi bangun atau relasi geometri dalam suatu gambar sederhana, dalam kumpulan potongan bangun, blok-blok pola atau alat
15
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele peraga yang lain, dalam berbagai orientasi, melibatkan objek-objek fisik lain dalam kelas, rumah, foto, tempat luar, dan dalam bangun yang lain. c. Membuat bangun dengan menjiplak gambar pada kertas bergaris, menggambar bangun dan mengkonstruk bangun. d. Mendeskripsikan bangun-bangun geometri dan mengkonstruk secara verbal menggunakan bahasa baku atau tidak baku, misalnya kubus “seperti kotak”. e. Mengerjakan masalah yang dapat dipecahkan dengan menyusun, mengukur dan menghitung.
Tahap 1 (analisis) Pada tahap ini, siswa diharapkan dapat menyebutkan sifat-sifat bangun
geometri. Aktivitas pada tahap ini antara lain: a. Mengukur, mewarna, melipat, memotong, memodelkan dan menyusun dalam urutan tertentu untuk mengidentifikasi sifat-sifat dan hubungan geometri lainnya. b. Mendeskripsikan kelas suatu bangun sesuai dengan sifat-sifatnya. c. Membandingkan bangun-bangun berdasarkan karakteristik sifat-sifatnya. d. Mengidentifikasi dan menggambar bangun yang diberikan secara verbal atau diberikan sifat-sifatnya secara tertulis. e. Mengidentifikasi bangun berdasarkan visual. f. Membuat suatu aturan dan generalisasi secara empirik (berdasarkan beberapa contoh yang dipelajari). g. Mengidentifikasi sifat-sifat yang dapat digunakan untuk mencirikan atau mengkontraskan kelas-kelas bangun yang berbeda. h. Menemukan sifat-sifat objek yang tidak dikenal. i. Menemukan dan menggunakan kata-kata atau simbol-simbol yang sesuai. j. Menyelesaikan
masalah
geometri
yang
dapat
mengarahkan
untuk
mengetahui dan menemukan sifat-sifat suatu gambar, relasi geometri atau pendekatan berdasarkan wawasan.
Tahap 2 (deduksi informal) Pada tahap ini, siswa diharapkan mampu mempelajari keterkaitan antara sifatsifat dari bangun-bangun geometri yang dibentuk. Aktivitas siswa:
16
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele a. Mempelajari hubungan yang telah dibuat pada tahap 1, membuat inklusi, dan membuat implikasi. b. Mengidentifikasi sifat-sifat minimal yang menggambarkan suatu bangun. c. Membuat dan menggunakan definisi. d. Mengikuti argumen-argumen informal. e. Mengajukan argumen informal. f. Mengikuti argumen deduktif, mungkin dengan menyisipkan langkahlangkah yang kurang. g. Memberikan lebih dari suatu pendekatan atau penjelasan. h. Melibatkan kerjasama dan diskusi yang mengarah pada pernyataan dan konversi. i.
Menyelesaikan masalah yang menekankan pada pentingnya sifat-sifat gambar dan saling keterhubungannya. Van de Walle (1990:270) membuat deskripsi aktivitas yang lebih
sederhana dibandingkan dengan deskripsi yang dibuat Crowley. Menurut Van de Walle aktivitas pembelajaran untuk masing-masing tiga tahap pertama adalah:
Tahap 0 (visualisasi), Aktivitas siswa pada tahap ini antara lain: a. Melibatkan penggunaan model fisik yang dapat digunakan untuk memanipulasi. b. Melibatkan berbagai contoh bangun-bangun yang bervariasi dan berbeda sehingga sifat yang tidak relevan dapat diabaikan. c. Melibatkan kegiatan memilih, mengidentifikasi dan mendeskripsikan berbagai bangun, dan d. Menyediakan kesempatan untuk membentuk, membuat, menggambar, menyusun atau menggunting bangun.
Tahap 1 (analisis), Aktivitas siswa pada tahap ini antara lain: a. Menggunakan model-model pada tahap 0, terutama model-model yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan berbagai sifat bangun. b. Mulai lebih menfokuskan pada sifat-sifat dari pada sekedar identifikasi. c. Mengklasifikasi bangun berdasar sifat-sifatnya berdasarkan nama bangun tersebut.
17
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele d. Menggunakan pemecahan masalah yang melibatkan sifat-sifat bangun.
Tahap 2 (deduksi informal), Aktivitas siswa pada tahap ini antara lain: a. Melanjutkan pengklasifikasian model dengan fokus pada pendefinisian sifat, membuat daftar sifat dan mendiskusikan sifat yang perlu dan cukup untuk kondisi suatu bangun atau konsep. b. Memuat penggunaan bahasa yang bersifat deduktif informal, misalnya semua, suatu, dan jika – maka, serta mengamati validitas konversi suatu relasi. c. Menggunakan model dan gambar sebagai sarana untuk berpikir dan mulai mencari generalisasi atau kontra contoh.
E. Contoh Pengembangan Pembelajaran Materi Segiempat Berdasarkan Tahap Berpikir van Hiele
Suatu karakteristik tahap berpikir van Hiele adalah bahwa kecepatan untuk berpindah dari satu tahap ke tahap berikutnya lebih banyak dipengaruhi oleh aktivitas dalam pembelajaran. Dengan demikian, pengorganisasian pembelajaran, isi, dan materi merupakan faktor penting dalam pembelajaran, selain guru juga memegang peran penting dalam mendorong kecepatan berpikir siswa melalui suatu tahapan. Tahap berpikir yang lebih tinggi hanya dapat dicapai melalui latihan-latihan yang tepat bukan melalui ceramah semata. Pembelajaraan berdasarkan tahap berpikir van Hie le yang digunakan untuk membantu
siswa
membangun
pemahaman
konsep
segiempat
dengan
menggunakan pendekatan belajar kelompok. Hal ini dimaksudkan agar pembelajaran berjalan efektif dan efisien. Dalam pembelajaran ini, masing-masing kelompok terdiri dari 6 siswa dengan memperhatikan keheterogenan siswa, baik ditinjau dari kemampuan akademik, gender dan status sosial. Perkembangan berpikir van Hiele menekankan pada peran siswa dalam mengkonstruksi pengetahuan secara aktif. Siswa tidak akan berhasil jika hanya belajar fakta-fakta, nama-nama atau aturan-aturan, melainkan siswa harus menentukan sendiri hubungan-hubungan saling keterkaitan antara konsep-konsep geometri daripada proses-proses geometri.
18
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele Dari eksistensi kelima tahapan yang berbeda tentang pemikiran geometri di atas adalah merupakan tingkatan yang tidak secara langsung terkait dengan usia. Meskipun demikian usia TK sampai dengan kelas 2 SD biasanya berada pada level 0 dan siswa kelas 3 sampai kelas 6 SD biasanya berada pada level 1. Pada level 0 siswa cenderung memanipulasikan model fisik sehingga kemampuan mereka perlu diarahkan pada tahap mengurutkan, mengidentifikasi, dan mendeskrifsikan berbagai bangun geometri. Mereka perlu diberi kesempatan untuk membangun, membuat, menggambar, meletakkan bersama dan memilah bangun-bangun Untuk memahami konsep segiempat maka pada uraian berikut akan disajikan aktivitas-aktivitas pembelajaran yang sesuai dengan tahap berpikir van Hiele mulai tahap 1 (analisis) dan tahap 2 (deduksi informal) dengan melalui 5 fase pembelajaran, yaitu (1) inkuiri/informasi, (2) orientasi berarah, (3) uraian, (4) orientasi bebas, dan (5) integrasi (crowley, 1987:6-7). Dalam pembelajaran akan digunakan gambar-gambar bangun segiempat. Penggunaan gambar segiempat tersebut dimaksudkan untuk membantu siswa dalam melakukan kegiatan menyelesaikan LKS 1. Setiap kelompok, masingmasing siswa mendapat media pembelajaran berupa LKS dan gambar segiempat. Hal ini dimaksudkan agar siswa dapat berdiskusi dan saling kerja sama. LKS 1 memuat informasi berupa gambar-gambar, pertanyaan dan perintah yang difokuskan pada pemberian nama suatu benda serta memberikan alasan mengapa benda itu diberi nama demikian? yang diorientasikan agar siswa yang mencapai tahap 1 (analisis). Apabila siswa dapat menjawab dengan benar semua pertanyaan yang diberikan maka berarti tahap berpikir siswa telah berada pada tahap 1 (analisis). Untuk LKS 2, memuat informasi, pertanyaan dan perintah yang diorientasikan pada kemampuan siswa untuk menentukan sifat-sifat yang paling utama dari gambar-gambar yang ada pada LKS 1, membuat pernyataan sederhana dengan menggunakan kalimat “jika-maka” yang akhirnya siswa diharapkan dapat membuat definisi. Apabila siswa dapat menjawab semua pertanyaan yang ada
19
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele pada LKS 2 ini, maka berarti tahap berpikir siswa telah berada pada tahap 2 (deduksi informal). Dari uraian di atas, maka lebih rinci aktivitas pembelajaran berdasar tahap berpikir van Hiele mulai tahap 0 sampai tahap 2 akan dijelaskan sebagai berikut: 1) Aktivitas Tahap 1 (analisis), Pada tahap 1 (analisis) ini, melalui LKS dan alat peraga yang disediakan siswa diminta untuk menggunakan model-model pada LKS 1. Berdasarkan pengelompokan yang dibuat, siswa mulai mengeksplorasi berbagai sifat-sifat dari pada sekedar identifikasi. Selanjutnya siswa mulai mencari sifat-sifat dan memberi argumen mengapa suatu kelompok gambar tersebut termasuk kelompok segiempat, jajargenjang, belahketupat, persegipanjang, persegi, layang-layang dan trapesium. Selain itu, siswa membandingkan masing-masing kelompok menurut sifat-sifat yang siswa temukan. Dengan demikian, sifat-sifat dapat mencirikan dan mengkontraskan masing-masing kelompok. Selanjutnya guru diharapkan dapat memberikan beberapa contoh gambar lagi dan menanyakan contoh gambar tersebut termasuk kelompok mana dan mengapa termasuk ke dalam kelompok tersebut. Selain itu, siswa juga diminta menjelaskan secara verbal alasan tersebut. Pada tahap 2 ini, guru juga dapat memberikan
masalah
dalam
bentuk
verbal
dan
siswa
diminta
untuk
mengidentifikasi soal yang diberikan pada LKS 1. Jika siswa sudah dapat menemukan sifat-sifat segiempat, jajargenjang, belahketupat, persegipanjang, persegi, layang-layang dan trapesium serta dapat menyelesaikan masalah yang melibatkan sifat-sifat bangun segiempat secara lisan maupun tulisan, berarti tahap berpikir siswa sudah berada pada tahap 1 (analisis) Hal ini sesuai dengan pendapat Crowley (1987:8) bahwa pada tahap 1 siswa sudah dapat mengidentifikasi sifat-sifat meskipun belum dapat mengkaitkan antara sifat-sifat tersebut dan belum dapat memahami definisi. 2) Aktivitas Tahap 2 (deduksi informal) Pada tahap 2 ini, siswa melanjutkan pengklasifikasian gambar atau model yang terdapat pada LKS 1. Pada tahap ini, siswa diminta mengerjakan dan mendiskusikan LKS 2 tanpa bantuan alat peraga dengan fokus pada pendefinisian
20
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele sifat-sifat. Siswa diarahkan dapat membuat daftar sifat-sifat yang ditemukan untuk masing-masing kelompok gambar. Selanjutnya siswa mendiskusikan sifat yang perlu dan cukup untuk kondisi suatu bangun atau benda yang kemudian disebut konsep. Melalui LKS yang diberikan, siswa diarahkan pada penemuan sifat yang perlu dan cukup agar sebuah segiempat dikatakan sebagai jajargenjang, belahketupat, persegipanjang, persegi, trapesium dan layang-layang. selanjutnya siswa diarahkan menggunakan bahasa yang bersifat deduksi informal, misalnya “jika-maka” serta mengamati validitas konvers suatu relasi dengan menggunakan model atau contoh kontra. Pada tahap 2 ini, guru mulai mengarahkan siswa untuk membuat definisi abstrak tentang segiempat, jajargenjang, belahketupat, persegipanjang, persegi, trapesium dan layang-layang. Disamping itu, guru mengamati apakah definisi yang dibuat siswa sudah bersifat umum. Kemudian sesuai dengan definisi yang dibuat siswa, guru dapat memberikan masalah berupa generalisasi atau memberikan contoh kontra untuk melihat kebenaran definisi yang dibuat siswa. Jika siswa sudah dapat membuat definisi abstrak dengan tepat atau siswa sudah dapat menyelesaikan LKS 2 dengan benar, berarti tahap berpikir siswa sudah berada pada tahap 2 (deduksi informal). Hal ini sesuai dengan pendapat Crowley (1987:8) yang mengatakan bahwa pada tahap 2 ini, siswa mampu mempelajari keterkaitan sifat-sifat dan bangun yang dibentuk, membuat implikasi, menyajikan argumen informal dan membuat serta menggunakan definisi.
21
Teori Pemecahan Masalah George Polya & Teori Geometri Van Hiele DAFTAR PUSTAKA
Hamzah, 2003. Problem Posing Dan Problem Solving Dalam Pembelajaran Matematika. Pustaka Ramadan , Bandung. Hudojo, H. 2003. Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika. JICA. Jakarta: IMSTEP NCTM. 1986. Principle and Standard for School Mathematics. Reston: The National Council of Teacher Mathematics, Inc. Polya, George, ((1985), How To Solve It 2nd ed Princeton University Press , New Jersey Abdusakkir. Pembelajaran Geometri dan Teori van Hiele Fery Maryanto, PEMBELAJARAN GEOMETRI BERDASARKAN TAHAP BERPIKIR VAN HIELE
http://mulin-unisma.blogspot.com/2008/07/pembelajaran-geometri-berdasarkantahap.html (15 Maret 2010)
22
