ANALISIS KEPUTUSAN MENGGUNAKAN TEORI PERMAINAN DAN TEORI ANTRIAN MATA KULIAH RISET OPERASI
Disusun Oleh Kelompok 6 Agribisnis 5A : Yuli Wiyanti
(11160920000012)
Utari Rahayu
(11160920000050)
Nurul Komariyah
(11160920000059)
Prayoga Putra G
(11160920000096)
PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2018
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI…….………………………………………………………………………..………….....i BAB I PENDAHULUAN……………………………………………………... PENDAHULUAN……………………………………………………........ ..................1
1.1 Latar Belakang…………………………………………………..………..… Belakang …………………………………………………..………..… …….1 …….1 2.2 Rumusan Masalah………………………………………………………… Masalah ………………………………………………………… ...……..1 ...……. .1 2.1 Tujuan……………..…………………………………………………..…………..…….1 Tujuan……………..…………………………………………………..…………..…….1
BAB II
PEMBAHASAN………..……………………………………………...……………………..2
2.1 Teori Permainan…………………………………………………..………………. Permainan …………………………………………………..………………...2 ..2 2.2 Teori Antrian………………………………………………………………….………… Antrian ………………………………………………………………….…………19 19
BAB III KESIMPULAN ………………………………….……………………………………........26 DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………….…………………..…..27
i
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Didalam mengambil sebuah keputusan, kita dihadapkan pada hal-hal berupa pilihan-pilihan. Diantara pilihan tersebut tentu saja kita harus memilihnya dengan sebaik mungkin. Diperlukan perhitungan strategi agar keputusan yang diambil sesuai dengan yang diharapkan. Salah satu cara untuk mengambil keputusan berupa strategi terbaik adalah menggunakan teori permainan. Teori ini pertama kali dikembangkan oleh Emile Borel pada tahun 1921, dan dikembangkan lebih lanjut oleh John Von Newmann dan Oscar Morgenstern. Teori ini biasanya digunakan adalam bidang militer untuk menerapkan strategi. Namun, dewasa ini teori ini juga dapat digunakan dalam bidang ekonomi dan sosial. Antrian sering kita jumpai dalam kegiatan sehari-hari. Proses antrian merupakan suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu mendapatkan pelayanan sampai akhirnya mendapat pelayanan dan keluar dari fasilitas pelayanan tersebut.Untuk mempertahankan pelanggan, sebuah organisasi selalu berusaha untuk memberikan pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya adalah memberikan pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan menunggu (mengantri) terlalu lama. Namun demikian, dampak pemberian layanan yang cepat ini akan menimbulkan biaya bagi organisasi, karena harus menambah fasilitas layanan. Oleh karena itu, teori antrian merupakan salah satu cara untuk mendapatkan informasi guna meningkatkan kualitas pelayanan bagi pelanggan serta memberikan keuntungan maksimal kepada perusahaan.
1.2
Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan teori permainan dan antrian? 2. Bagaimana cara menyelesaikan suatu masalah dengan meggunakan teori permainan? 3. Bagaimana cara menyelesaikan suatu masalah dengan meggunakan teori antrian?
1.3
Tujuan 1. Untuk mengetahui definisi teori permainan dan antrian. 2. Untuk mengetahui cara menyelesaikan suatu masalah menggunakan teori permainan. 3. Untuk mengetahui cara menyelesaikan suatu masalah menggunakan teori antrian
1
BAB II PEMBAHASAN
2.1
Teori Permainan Teori permainan merupakan suatu teori dimana dua orang atau lebih yang memiliki kepentingan berbeda terlibat dalam suatu permainan untuk mencapaitujuan sesuai dengan yang diinginkan. Teori ini pertama kali dikembangkan oleh Emile Borel pada tahun 1921, yang dikembangkan lebih lanjut oleh John John Von Newmann dan Oscar Oscar Morgenstern. Penerapan teori ini sukses sukses dilakukan dalam bidang militer, dengan berjalannya waktu penggunaan teori ini semakin luas digunakan khususnya dalam bidang ekonomi dan sosial. Teori permainan dibedakan atas permainan dengan jumlah nol (zero ( zero sum games) games) dan permainan dengan jumlah bukan nol (non (non zero sum games). games ). Permaina dengan jumlah nol dibedakan menurut strategi permainan yang digunakan, yaitu strategi murni ( pure pure strategy ) dan strategi campuran (mixed ( mixed strategy ). ).
2.1.1 Manfaat Teori Permainan 1. Mengembangkan suatu kerangka untuk pengambilan keputusan dalam suatu persaingan. 2. Menguraikan metode kuantitatif yang sistematik bagi pemain yang terlibat dalam persaingan untuk memilih startegi yang tradisional dalam pencapaian tujuan. 3. Memberi gambaran persaingan-persaingan pasar. 4. Membuat strategi negosiasi, ataupun strategi dalam persaingan bisnis yang diwarnai oleh terjadinya konflik. 2.1.2 Strategi Teori Permainan Terdapat dua strategi yang dapat terjadi dalam teori permainan yang bersifat zero sum games, yaitu: 1. Strategi murni ( pure pure strategy ), ), digunakan apabila permainan mengandung titik pelana (saddle (saddle point) point) dimana masing-masing pihak menjalankan satu jenis strategi dengan menggunakan pendekatan maksimin (untuk baris) dan minimaks (untuk kolom). Maksimin artinya dari seluruh alterntif minimum dipilih yang maksimum, sedangkan minimaks artinya dari seluruh alternative maksimum dipilih yang minimum. 2. Strategi campuran (mixed (mixed strategy ), ), strategi ini digunakan apabila strategi murni tidak dapat menjawab permasalahan yang ada (strategi ini digunakan apabila tidak ditemukan titik pelana pada permainan tersebut). Strategi ini menggunakan dua macam strategi pada masing-masing pihak. 2.1.3 Syarat Teori Permainan Hal-hal yang harus diperhatikan dalam teori permainan: 1. Jumlah pemain: terdapat dua pihak yang bermain.
2
2. Tabel payoff Tabel payoff : permainan ini bersifat terbuka, maksudnya masing-masing pihak mengetahui hasil dari pilihan strategi yang akan digunakan. 3. Terdapat beberapa alternatif strategi yang dapat dijalankan. 4. Kemenangan salah satu pihak merupakan kekalahan pihak lain. 5. Pemain baris adalah pemain yang menang sedangkan pemain kolom adalah pemain yang kalah. 6. Pemain yang menang menginginkan kemenangan yang maksimal sedangkan pemain yang kalah menginginkan kekalahan yang minimal. 7. Pemain baris menggunakan strategi maksimin sedangkan pemain kolom menggunakan minimaks. 8. Pada strategi murni, hanya terdapat strategi yang dijalankn oleh masing-msing pihak. 9. Pada strategi campuran terdapat dua strategi kombinasi yang dapat dijalankan pada masing-masing pihak. 10.Terdapat 10. Terdapat nilai permainan (value (value of game) game ) untuk setiap permasalahan.
2.1.4 Langkah-langkah teori permainan Terdapat 10 langkah dalam teori permainan, yaitu: yaitu : 1. Membuat tabel permainan 2. Menentukan nilai maksimin untuk baris dan minimaks untuk kolom 3. Apbila nilai maksimin saman dengan nilai minimaks maka strategi tersebut adalah strategi murni dengan titik pelana/ nilai permainan (V) sebesar angka maksimin/ minimaks tersebut. 4. Apabila nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks maka strategi tersebut adalah strategi campuran 5. Tahap awal strategi campuran digunakan adalah dengan menghilangkan baris dan kolom yang tidak menguntungkan. 6. Baris yang dihilangkan adalah baris yang memiliki angka yang lebih kecil atau sama dengan apabila dibandingkan dengan baris yang lainnya. 7. Kolom yang ddihilangkan adalah kolom yang memiliki angka lebih besar atau sama dengan apabila dibandingkan dengan kolom lainnya. 8. Pastikan setelah dilakukan eleminasi terhadap baris dan kolom, matriks yang tersisa harus ber-ordo 2x2. 9. Apabila belum membentuk matriks dengan ber-ordo 2x2 (2 x n atau m x 2) maka dilakukan eleminasi pada baris/ kolom tersebut dengan menggunakan pendekatan grafik. 10.Apabila 10. Apabila matriks tersebut telah membentuk ordo 2x2 maka dapat dihitung besarnya proporsi lokasi dana pada masing-masing strategi termasuk didalamnya menentukan nilai permainan (V). 2.1.5 Penggunaan Metode Grafik Metode grafik digunakan apabila matriks dari hasil eliminasi tidak berbentuk 2 X 2 melainkan 2 X n atau m X 2. Dari matrik 2 X n atau m X 2 dibuat bentuk grafik untuk mendapatkan area layak. Untuk matriks dengan model baris (2 X n) maka penentuan area layak ada pada arsiran kebawah, sedangkan untuk matriks dengan model kolom (m X 2) maka daerah layak ada pada arsiran 3
keatas. Untuk titik optimum ada pada pertemuan dua buah garis paling atas untuk model matrik 2 X n dan dua garis paling bawah untuk model matriks m X 2. Penentuan matriks 2x2 berada pada titik optimum tersebut, dimana dua buah garis pembentuk titik optimum digunakan untuk roses perhitungan berikutnya, sementara itu garis-garis lainnyadieleminasi.untuk lebih jelas dapat dilihat pada tabel dibawah ini: Keterangan
Model matriks 2 x n
Area layak
Ada pada bagian bawah Ada pada grafik grafik
Titik optimum
Terletak pada bagian Terletak pada bagian paling atas area layak paling bawah area layak
Matriks 2 digunakan
x
2
yang
Model matriks m x 2 bagian
atas
Matriks yang digunakan adalah matriks pertemuan untuk menghasilkan titik optimum
Eliminasi terhadap baris/ Garis yang terletak di luar garis pembentuk titik kolom optimum
2.1.6 Rumus-rumus yang digunakan Apabila strategi yang digunakan adalah strategi murni, maka menggunakan pendekatan maksimin sama dengan minimaks. Apabila strategi yang digunakan adalah strategi campuran, maka besarnya proporsi pada masing-masing strategi dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut (pastikan telah berbentuk matriks dengan ordo 2x2): 1. Pendekatan matriks A=
* +
Besarnya proporsi pada baris adalah P1 = P2 =
Atau 1 – P1
Besarnya proporsi pada kolom adalah Q=
Q= Atau 1 – Q 1
4
Nilai permainan (V) =
2. Pendekatan aljabar Strategi P1 (1-P 1)
Q 1
(1-Q 1)
A
B
C
D
P1.a + (1-P 1).c = P 1.b + (1-P 1).d Q 1.a + (1-Q 1).b = Q 1.c + (1-Q 1).d Dari hasil kolaborasi didapatkan nila proporsi untuk P 1 dan Q 1 dengan demikian nilai P2 dapat dicari dengan menggunakan 1 – P1 dan nilai Q 2 dicari dengan menggunakan 1 – Q 1. 1. Dari nilai proporsi yang telah diperoleh, langkah selanjutnya mencari nilai permainan dengan menggunakan data tersebut. Nilai permainan (V) = 1. P1.a + (1 – P1).c atau P1.b + (1 – P1).d 2. Q 1.a + (1 – P1).b atau Q 1.c + (1 – Q 1).d
2.1.7
Contoh Soal Teori Permainan Contoh Soal 1 Perusahaan Anto
n a a i t h a n u A r e P
Strategi
X
Y
Z
A
1
9
2
B
8
5
4
a. Apa jenis strategi yang dijalankan (Murni atau Campuran)? b. Apabila strategi yang dijalankan adalah strategi murni, tentukan strategi apa yang dilakukan oleh masing-masing pihak dan berapa nilai permainannya?
5
c. Apabila stragtegi yang digunakan adalah stragtegi campuran, tentukan proporsi pada masing-masing strategi dan berapa nilai permainannya?
Jawaban : Perusahaan Anto Strategi
X
Y
Z
A
1
9
2
1
B
8
5
4
4
Maksimum
8
9
4
n a a i t h a n u A r e P
Minimaks
Minimum Maksimin 4
4
a. Berdasarkan analisis maksimin dan minimaks diperoleh bahwa nilai maksimin sama dengan maksimaks dengan demikian strategi yang digunakan adalah strategi murni ( pure pure strategy ). ). b. Perusahaan Anti menjalankan strategi dengan strategi A Perusahaan Anto menjalankan strategi dengan Strategi Z Nilai permainan (value (value of the game) game ) adalah 4 c. Karena strategi yang digunakan adalah strategi murni , maka seluruh proporsi dana dialokasikan pada satu jenis strategi saja (sesuai dengan jawaban b).
Contoh Soal 2 Perusahaan Anto
i t n A n a a h a u r e P
Strategi
X
Y
Z
A
2
5
7
B
-1
2
4
C
6
1
9
6
a. Apa jenis strategi yang dijalankan (Murni atau Campuran)? b. Apabila strategi yang dijalankan adalah strategi murni, tentukan strategi apa yang dilakukan oleh masing-masing pihak dan berapa nilai permainannya? c. Apabila stragtegi yang digunakan adalah stragtegi campuran, tentukan proporsi pada masing-masing strategi dan berapa nilai permainannya?
Jawaban : Perusahaan Anto Strategi
X
Y
Z
A
2
5
7
2
B
-1
2
4
-1
C
6
1
9
1
Maksimal
6
5
9
i t n A n a a h a u r e P
Minimaks
Minimal Maksimin 2
5
a. Berdasarkan analisis maksimin dan minimaks diperoleh bahwa nilai maksimin tidak sama dengan minimaks, dengan demikian strategi yang digunakan adalah strategi campuran (mixed (mixed strategy ). ). b. Karena nilai maksimin tidak sama dengan minimaks, maka alokasi strategi yang digunakan lebih dari satu strategi. Cara yang dilakukan adalah dengan melakukan eliminasi pada masing-masing baris dan kolom. c. Proses eksekusi terhadap baris dan kolom.
Strategi
X
Y
Z
A
2
5
7
B
-1
2
4
C
6
1
9
7
Hilangkan baris yang tidak menguntungkan, yaitu baris yang memiliki angka lebih kecil atau sama dengan apabila dibandingkan dengan baris lainnya .
Strategi
X
Y
Z
A
2
5
7
B
-1
2
4
C
6
1
9
Keterangan : Baris Strategi B dieleminasi oleh baris strategi A Hilangkan kolom yang tidak menguntungkan, yaitu kolom yang memiliki angka lebih besar atau sama dengan apabila dibandingkan dengan kolom lainnya.
Strategi
X
Y
Z
A
2
5
7
C
6
1
9
Keterangan : Baris Strategi Z dieleminasi oleh baris strategi X Tabel tersisa
Strategi
X
Y
A
2
5
C
6
1
Dengan demikian perusahaan Anti menggunakan strategi A dan strategi strategi C, sedangkan perusahaan Anto menggunakan strategi X dan strategi Y. Untuk mengetahui proporsi pada masing-masing strategi digunakan pendekatan matriks atau aljabar. Tabel tersisa di atas dibuat dalam model matriks, sehingga terbentuk matriks dengan ordo 2 X 2 (misalkan digunakan nama
8
matriks Q). Matriks tersebut digunakan sebagai dasar pencarian proporsi pada masing-masing strategi. Q=
* + * +
dinotasikan sebagai Q = dinotasikan
* + * +
Pencarian proporsi menggunakan pendekatan matriks
= = = = =
Besarnya proporsi pada baris adalah:
P1 P1
=
P2 P2
= = = =
Atau P2 = 1 – P1
=
P2 = 1 -
Besarnya proporsi pada kolom adalah: Q 1 Q 1
= =
Nilai permainan (V) = Nilai permainan (V) =
= =
Q 2 = Q 2 =
= =
Atau Q 2 = 1 – Q 1
=
Q 2 = 1 -
9
Pencarian proporsi menggunakan pendekatan aljabar Strategi P1 (1 – P1) P1.a + (1 – P1).c = P 1.b + (1 – P1).d P1.2 + (1 – P1).6 = P 1.5 + (1 – P1).1 2P1 + 6 – 6P1 = 5P1 + 1 – P1 6 – 4P1 = 1 + 4P1 -8P1 = -5 P1
P2
=
Q 1
(1 – Q 2)
2
5
6
1
Q 1.a + (1 – Q 1).b = P 1.c + (1 – P1).d Q 1.2 + (1 – Q 1).5 = Q 1.6 + (1 – Q 1).1 2Q 1 + 5 – 5Q 1 = 6Q 1 + 1 – Q 1 5 – 3Q 1 = 1 + 5Q 1 -8Q 1 = -4
Q 1
= = 1 - P1
Q 1 = Q 2 = 1 – Q 1
=1=
=
=1=
Nilai permainan (V) dicari menggunakan menggunakan salah satu pendekatan yang ada. V = P1.b + (1 – P1).d Atau V = Q 1.c + (1-Q 1).d
= .5 + .1 = =
+
= .6 + .1 = =
+
Jadi strategi yang digunakan adalah strategi campuran dengan alokasi pada perusahaan ANTI mengalokasikan 5/8 bagian pada strategi A dan 3/8 bagian pada strategi C. kemudaian pada perusahaan Anto mengalokasikan 4/8 bagian pada strategi X dan 4/8 bagian pada strategi Y. Sementara itu nilai permainannya adalah 28/8.
10
Contoh Soal 3 Perusahaan Anto Strategi
W
X
Y
Z
A
2
12
9
6
B
13
14
9
12
C
8
10
8
8
D
7
9
12
11
i t n A n a a h a u r e P
a. Apa jenis strategi yang dijalankan (Murni atau Campuran)? b. Apabila strategi yang dijalankan adalah strategi murni, tentukan strategi apa yang dilakukan oleh masing-masing pihak dan berapa nilai permainannya? c. Apabila stragtegi yang digunakan adalah stragtegi campuran, tentukan proporsi pada masing-masing strategi dan berapa nilai permainannya?
Jawaban :
n a a h i t a n s u A r e P
Perusahaan Anto X Y
Strategi
W
A
2
12
9
6
2
B
13
14
9
12
11
C
8
10
8
8
8
D
7
9
12
11
7
Maksimum
12
14
12
11
Minimaks
Z
Minumun Maksimin
11
13
a. Berdasarkan analisis maksimin dan minimaks diperoleh bahwa nilai maksimin tidak sama dengan minimaks, dengan demikian strategi yang digunakan adalah strategi campuran. b. Karena nilai maksimin tidak sama dengan minimaks, maka alokasi strategi yang digunakan lebih dari satu strategi. Cara yang dilakukan adalah dengan melakukan eliminasi pada masing masing baris dan kolom. c. Proses eksekusi terhadap baris dan kolom
11
Strategi
W
X
Y
Z
A
2
12
9
6
B
13
14
9
12
C
8
10
8
8
D
7
9
12
11
Hilangkan baris yang tidak menguntungkan, yaitu baris yang memiliki angka lebih kecil atau sama dengan apabila dibandingkan dengan baris lainnya
Strategi
W
X
Y
Z
A
2
12
9
6
B
13
14
9
12
C
8
10
8
8
D
7
9
12
11
Ket : baris A dieliminasi oleh baris B Baris C dieliminasi oleh baris B Hilangkan kolom yang tidak menguntungkan, yaitu kolom yang memiliki angka lebih besar atau sama dengan apabila dibandingkan dengan kolom lainnya.
Strategi
W
X
Y
Z
B
13
14
9
12
D
7
9
12
11
Ket : kolom X dieliminasi oleh kolom W
Strategi
W
Y
Z
B
13
9
12
D
7
12
11
Pada masing masing baris sudah tidak dapat dieliminasi, begitu pula bagian kolom. Dengan demikian table tersisa dari hasil eksekusi berbentuk matriks dengan ordo 2x3 . dengan menggunakan metode grafik, matriks diubah di ubah menjadi matriks dengan ordo 2x2 , sehingga dari 3 kolom tersisa harus dieliminasi satu kolom. Tabel tersisa dinyatakan dalam matriks adalah
* +
12
Dari matriks diatas kemudian dibuat grafik dan dicari area layak dan titik titik koordinatnya. Gambar dibawah merupakan hasil pencarian area layak, koordinat layak dan titik optimum yang dihasilkan
Terdapat 3 titik layak, yaitu yaitu A, B, C, . dari ketiga ketiga titik tersebut titik optimumnya ada pada titik paling atas area layak, dan dalam hal ini titik B sehingga garis (11,12) harus di eliminasi. Dengan demikian matriks 2x2 yang digunakan sebagai dasar adalah
* +
Pencarian proporsi menggunakan pendekatan matriks
Besarnya proporsi pada baris adalah: P1
=
P1
= =
P2 = P2 =
=
Atau P2 = 1 – P1
P2 = 1 =
Besarnya proporsi pada kolom adalah: Q 1 Q 1
=
=
=
Nilai permainan (V) =
Q 2 = Q 2 =
= =
Atau Q 2 = 1 – Q 1
Q 2 = 1 =
13
Nilai permainan (V) =
= =
Pencarian proporsi menggunakan pendekatan aljabar Strategi P1 (1 – P1) P1.a + (1 – P1).c = P1.b + (1 – P1).d P1.13 + (1 – P1).7 = P 1.9 + (1 – P1).12 13P1 + 7 – 7P1 = 9P1 + 12 – 12P1 7 + 6P1 = 12 - 3P 1 9P1 = 5 P1 P2
=
Q 1 13 7
(1 – Q 2) 9 12
Q 1.a + (1 – Q 1).b = P 1.c + (1 – P1).d Q 1.13 + (1 – Q 1).9 = Q 1.7 + (1 – Q 1).12 13Q 1 + 9 – 9Q 1 = 7Q 1 + 12 – 12Q 1 9 + 4Q 1 = 12 - 5Q 1 9Q 1 = 3 Q 1
= 1 – Q 1
Q 2
= 1 - P1
=
=1-
=1-
=
=
Nilai permainan (V) dicari menggunakan menggunakan salah satu pendekatan yang ada.
V = P1.b + (1 – P1).d
= .9 + .12 = =
+
Atau V = Q 1.c + (1-Q 1).d
= .7 + .12 = =
+
Jadi strategi yang digunakan digunakan adalah strategi campuran dengan alokasi alokasi pada perusahaan Anti mengalokasikan 5/9 bagian pada strategi B dan 4/9 bagian pada strategi D. kemudaian pada perusahaan Anto mengalokasikan 3/9 bagian pada strategi W dan 6/9 bagian pada strategi Y. Sementara itu nilai permainannya adalah 93/9
14
Contoh Soal 4 Perusahaan Anto Strategi
W
X
Y
Z
A
10
11
6
15
B
14
12
15
16
C
10
9
9
17
D
16
14
7
11
i t n A n a a h a u r e P
a. Apa jenis strategi yang dijalankan (Murni atau Campuran)? b. Apabila strategi yang dijalankan adalah strategi murni, tentukan strategi apa yang dilakukan oleh masing-masing pihak dan berapa nilai permainannya? c. Apabila stragtegi yang digunakan adalah stragtegi campuran, tentukan proporsi pada masing-masing strategi dan berapa nilai permainannya
Jawaban: Perusahaan Anto
n a a h a s u r e P
i t n A
Strategi
W
X
Y
Z
A
10
11
6
15
6
B
14
12 12
15 15
16 16
12
C
10
9
9
17
9
D
16
14
7
11
7
Maksimum
16
14
7
11
Minimaks
Minumun Maksimin
12
14
a. Berdasarkan analisis maksimin dan minimaks diperoleh bahwa nilai maksimin tidak sama dengan minimaks, dengan demikian strategi yang digunakan adalah strategi campuran. b. Karena nilai maksimin tidak sama dengan minimaks, maka alokasi strategi yang digunakan lebih dari satu strategi. Cara yang dilakukan adalah dengan melakukan eliminasi pada masing masing baris dan kolom. c. Proses eksekusi terhadap baris dan kolom
15
Strategi
W
X
Y
Z
A
10
11
6
15
B
14
12
15
16
C
10
9
9
17
D
16
14
7
11
Hilangkan baris yang tidak menguntungkan, yaitu baris yang memiliki angka lebih kecil atau sama dengan apabila dibandingkan dengan baris lainnya
Strategi
W
X
Y
Z
A
10
11
6
15
B
14
12
15
16
C
10
9
9
17
D
16
14
7
11
Ket : baris A dieliminasi oleh baris B Hilangkan kolom yang tidak menguntungkan, yaitu kolom yang memiliki angka lebih besar atau sama dengan apabila dibandingkan dengan kolom lainnya
Strategi
W
X
Y
Z
B
14
12
15
16
C
10
9
9
17
D
16
14
7
11
Ket : kolom W dieliminasi oleh kolom X kolom Z dieliminasi oleh kolom Y
Strategi
X
Y
B
12
15
C
9
9
D
14
7
Pada masing masing baris sudah tidak dapat dieliminasi, begitu pula bagian kolom. Dengan demikian table tersisa dari hasil eksekusi berbentuk matriks dengan ordo 3x2 . dengan menggunakan metode grafik, matriks diubah menjadi matriks dengan ordo 2x2 , sehingga dari 3 baris tersisa harus dieliminasi satu baris.
16
Tabel tersisa dinyatakan dalam matriks adalah
Dari matriks diatas kemudian dibuat grafik dan dicari area layak dan titik titik koordinatnya. Gambar dibawah merupakan hasil pencarian area layak, koordinat layak dan titik optimum yang dihasilkan
Terdapat tiga titik layak, yaitu A,B, dan C. Dari ketiga titik tersebut titik optimumnya ada pada titik paling bawah area layak, dalam hal ini titik B sehingga garis (9;9) harus dieliminasi. Dengan demikian demikian matriks matriks 2x2 2x2 yang yang digunakan digunakan sebagai dasar perhitungan lebih lanjut adalah
* +
Proses selanjutnya mengikuti proses pencarian proporsi untuk masing masing strategi
Strategi
X
Y
B
14
15
D
12
7
Pencarian proporsi menggunakan pendekatan matriks Besarnya proporsi pada baris adalah: P1 = P1 = =
P2 = P2 =
=
Atau P2 = 1 – P1 P2 = 1 =
17
Besarnya proporsi pada kolom adalah: Q 1 = Q 1 =
Q 2 = Q 2 =
=
Nilai permainan (V) = Nilai permainan (V) =
= =
-
Atau Q 2 = 1 – Q 1 Q 2 = 1 -
=
=-
Pencarian proporsi menggunakan pendekatan aljabar Strategi
Q 1
(1 – Q 2)
P1
14
15
(1 – P1)
12
17
P1.a + (1 – P1).c = P1.b + (1 – P1).d
Q 1.a + (1 – Q 1).b = P 1.c + (1 – P1).d
P1.14 + (1 – P1).12 = P 1.15 + (1 – P1).7
Q 1.14 + (1 – Q 1).15 = Q 1.12 + (1 – Q 1).7
14P1 + 12 – 12P1 = 15P 1 + 7 – 7P1 12 + 2P 1 = 7 - 8P 1
14Q 1 + 15 – 15Q 1 15 - Q 1
= 12Q 1 + 7 – 7Q 1 = 7 + 5Q 1
-6P1 = - 5
-6Q 1 = -8
P1
Q 1
=
=
18
P2
= 1 - P1 =1=
Q 2
= 1 – Q 1 =1=-
Nilai permainan (V) (V) dicari menggunakan salah salah satu pendekatan yang ada. V = P1.b + (1 – P1).d
= .15 + .7 = =
+
Jadi strategi yang digunakan digunakan adalah strategi campuran dengan alokasi alokasi pada perusahaan Anti mengalokasikan 5/6 bagian pada strategi B dan 1/6 bagian pada strategi D. kemudaian pada perusahaan Anto mengalokasikan 8/6 bagian pada strategi X dan -2/6 bagian pada strategi Y. Sementara itu nilai permainannya adalah 53/5.
2.2
Teori Antrian Teori antrian diciptakan pada tahun 1909 oleh ahli matematika dan insinyur berkebangsaan Denmark yang bernama A.K Erlang. Teori antrian memiliki definisi teori yang menyangkut studi sistematis dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan. Teori antrian berkenaan dengan seluruh aspek dari situasi dimana pelanggan (baik orang maupun barang) harus antri untuk mendapatkan suatu pelayanan. Menurut P. Siagian (1987), suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Studi matematikal dari kejadian atau gejala garis tunggu ini disebut teori antrian. Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga nasabah yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan pelayanan. Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi, biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat 19
diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian mengakibatkan hilangnya langganan atau nasabah.
2.2.1
yang
panjang
akan
Model Antrian Dasar Berdasarkan sifat proses pelayanan, dapat diklasifikasikan fasilitas pelayanan dalam susunan saluran atau channel (single atau multiple) dan phase yang akan membentuk suatu struktur amtrian yang berbeda-beda. Istilah saluran atau channel menunjukkan jumlah jalur atau tempat untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan. Istilah phase berarti jumlah stasiun-stasiun pelayanan, dimana pelanggan harus melaluinya sebelum dinyatakan pelayanan lengkap. Terdapat 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian, (Pangestu, dkk, 1989): 1. Single channel-single phase Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan. Secara umum sistem Single channel-single phase dimodelkan phase dimodelkan sebagai berikut:
Keterangan : M = Antrian S = Fasilitas Pelayanan ( server ) 2. Single channel-multiphase Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh : lini produksi massa, pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya. Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Single sistem Single channel-multiphase:
20
3. Multichannel-single phase Sistem Multichannel-single phase phase terjadi ketika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar 5. Sebagai contoh model ini adalah pembelian tiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket, pelayanan potong rambut oleh beberapa tukang rambut, dan sebagainya. Berikut ini merupakan gambaran secara umum dari sistem Multichannel-single phase: phase:
4. Multichannel-multiphase Sistem Multichannel-multiphase Multichannel-multiphase ditunjukkan ditunjukkan oleh gambar 6. Sebagai contoh, registrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai dengan pembayaran. Pada umunya, jaringan antrian ini terlalu kompleks untuk dianalisa dengan teori antrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk menganalisa sistem ini.
2.2.2
Rumus-Rumus yang Digunakan a. Rumus Single Channel- Single Phase
21
b. Rumus Multi Channel- Single Phase
Keterangan : λ µ Lq Ls Wq Ws P Pn Po
2.2.3
= Rata-rata tingkat kedatangan/jam = Rata-rata tingkat Pelayanan/jam = Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (unit) = Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (unit) = Waktu Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Jam) = Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Jam) = Tingkat intensitas fasilitas pelayanan = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem
Contoh Soal Teori Antrian
1. Contoh Soal Single Channel- Single Phase PT. Gula Kita adalah perusahaan yang bergerak dibidang produksi dan penjualan gula pasir. Seorang manager perusahaan Gula Kita ingin melakukan perbaikan terhadap proses produksi gula. Perbaikan yang dilakukan oleh manager tersebut fokus terhadap antrian yang terjadi pada pengisisan material gula kedalam kemasan gula tersebut. Laporan yang berhasil didapatkan oleh manager tersebut, yaitu rata-rata kedatangan produk adalah sebesar 2 unit/menit, sedangkan rata-rata tingkat pelayanan produk tersebut adalah sebesar 3 menit. Dari informasi tersebut tentukan: 22
a. b. c. d. e. f.
Tingkat Intensitas Fasilitas Pelayanan (P) Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq) Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ls) Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq) Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem (Ws) Probabilitas tidak terdapat pelayanan produk dalam sistem (Po)
Diketahui: Rata-rata Rata-rata kedatangan (λ) Rata-rata pelayanan (µ)
= 2 unit/menit = 3 menit
Jawab:
a. Tingkat intensitas fasilitas pelayanan
P =1-
=
= 0,667
b. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian Lq
2
2
2
µ(µ ) 3(3 2)
4 1,333 2 unit 3
c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem 2 2unit Ls µ 3 2
d. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian 2 Wq 0.67 menit 40,2 detik µ(µ ) 3(3 2)
e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam sistem 1 1 1 menit Ws
(µ )
(3 2)
f. Probabilitas tidak terdapat pelanggan dalam sistem Po =1-
= P =1- = 0,333
2. Contoh Soal Multi Soal Multi Channel- Single Phase Manager perusahaan Gula Kita tersebut juga ingin melakukan perbaikan terhadap proses pengemasan. Perbaikan akan dilakukan oleh manager pada proses pengemasan tersebut, karena dari laporan yang 23
didapat dari 3 pekerja yang mengemas produk terdapat antrian. Laporan yang berhasil didapatkan oleh manager tersebut, bahwa rata-rata produk yang datang adalah sebesar 36 kardus/jam, sedangkan rata-rata tingkat pelayanan produk tersebut adalah sebesar 4 menit/kardus. Dari informasi tersebut tentukan: a. b. c. d. e. f. g.
Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (P) Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem (Po) Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Lq) Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam sistem (L) Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian (Wq) Waktu rata-rata unit dalam antrian (W) Probabilitas menunggu dalam antrian (Pw)
Diketahui: Fasilitas pelayanan (S) = 3 orang Rata-rata Rata-rata kedatangan (λ) = (λ) = 36 kardus/jam Rata-rata pelayanan (µ) = 4 menit/kardus = 15 kardus/jam Jawab : a. Tingkat intensitas
( ) ( ) ∑ [ ] = ∑ * +
P=
=
= 0,8 = 80%
b. Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem Po =
= 0, 0562 = 5,62 %
c. Jumlah unit rata-rata yang diharapkan dalam antrian Lq =
Po
24
=
= 1,94 =
d. Jumlah unit rata-rata yang terdapat dalam sistem
* + * +
L = Lq +
= 1,94 +
= 4,34
e. Waktu menunggu rata-rata yang diharapkan dalam antrian Wq =
=
=
(13,824)
= 0,072 jam f. Waktu rata-rata unit dalam antrian
W = Wq + = 0,072 +
= 0,14 jam
g. Probabilitas menunggu dalam antrian Pw =
=
* +
* +
= 13,824
= 0,6474 = 64,74%
25
BAB III KESIMPULAN
1.
2.
3.
4.
Teori permainan merupakan suatu teori dimana dua orang atau lebih yang yang memiliki kepentingan berbeda terlibat dalam suatu permainan untuk mencapaitujuan sesuai dengan yang diinginkan. Terdapat dua strategi yang dapat terjadi dalam teori permainan yang bersifat zero sum games, yaitu Strategi murni ( pure pure strategy ), ), digunakan apabila permainan mengandung titik pelana (saddle ( saddle point) point) dimana masing-masing pihak menjalankan satu jenis strategi dengan menggunakan pendekatan maksimin (untuk baris) dan minimaks (untuk kolom). Kemudian ada strategi campuran (mixed (mixed strategy ), ), strategi ini digunakan apabila strategi murni murn i tidak dapat menjawab permasalahan yang ada (strategi ini digunakan apabila tidak ditemukan titik pelana pada permainan tersebut). Teori antrian memiliki definisi teori yang menyangkut studi sistematis dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan. Teori antrian berkenaan dengan seluruh aspek dari situasi dimana pelanggan (baik orang maupun barang) harus antri untuk mendapatkan suatu pelayanan. Berdasarkan sifat proses pelayanan, dapat diklasifikasikan fasilitas pelayanan dalam susunan saluran atau channel (single atau multiple) dan phase yang akan membentuk suatu struktur amtrian yang berbeda-beda.
26
DAFTAR PUSTAKA
Pangestu,
dkk. 1989. Dasar-dasar Yogyakarta: BPFE.
Operation
research
(Twoth
Edition) .
Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Jakarta: Praktek. Jakarta: UI Press. Universitas Gundarma. 2014. Modul Teori Antrian. Antrian. Depok: Universitas Gundarama. Wijaya, A. 2013. Pengantar Riset Operasi Edisi 3. 3 . Jakarta: Mitra Wacana Media.
27
