UNIVALLE COCHABAMBA
INVESTIGACION OPERATIVA II VERANO 2011 TEORIA DE COLAS Ing. M.Sc. Luis Alfredo Rimassa M.
COMPARTIR EL CONOCIMIENTO ES UNA ACCION DE SERES INTELIGENTES, INTELIGENTES, QUE HAN COMPROBADO QUE EL CONOCIMIENTO ES UN BIEN QUE CRECE A MEDIDA QUE SE LO COMPARTE
Prof. Mario Hertor Vogel
Director Club Tablero de Comando www.tablero--decomando.com www.tablero -decomando.com
PLAN GLOBAL
PROC PR PROCESOS OCES ESOS OS PO POIS POISSO ISSON SON Y TE TEO ORIIA A DE C COLAS O L AS
Introducción a los procesos aleatorios a tiempo continuo Generalidades sobre los modelos de colas. Procesos de nacimientos y muertes. Notación y terminología. Ecuaciones básicas Formulas de Little. Modelos de Poisson Modelos con disciplina de prioridad Aspectos Aspectos económicos en la teoría de colas Problemas propuestos.
BIBLIOGRAFÍA
--Introducción Introducción a la Investigación de Operaciones, HILLIER/LIEBERMAN -Investigación de Operaciones, Una Introducción, -Investigación TAHA, HAMDY A. -Métodos y modelos de Investigación de Operaciones, -Métodos PRAWDA JUAN. -Investigación de Operaciones, -Investigación Operaciones, LLECCA, Raffo, Perú, 1990. -Investigación de Operaciones en la Ciencia., -Investigación MOSKOWITZ, HERBERT McGraw --Hill, Hill, México
BIBLIOGRAFÍA
--Técnicas Técnicas De Simulación En Computadoras, NAYLOR/BALINTFY -Investigación de Operaciones, Un enfoque -Investigación Didáctico TERRAZAS RAFAEL. -Simulación de Sistemas, TERRAZAS RAFAEL. -Simulación - Método del Camino Critico, Diana México, SHAMBLIN,J. Y STEVENS, G.T. - www.investigacion www.investigacion--operaciones.com -operaciones.com
PROCESOS ESTOCASTICOS
Los modelos y p Los proc pr ro oces ce esos so oss es esto esttocá toc ocás cást ást stic ticos icos sse e cons co constituyen nsti titu tuye yen n en en u una un na ex expr expres exp pres resió esió ión n im import imp mpor portant orta tant ante nte e y parti pa particular rticu cula larr de de lla a mode modeli modelizaci lizac zación ión ón matem matemática matemática. ática. La naturaleza esto naturaleza estocásti estocástica cástica ca hace que su campo campo de aplicación sea cada vez mas amplia sobre todo aplicación en los diferentes dominios de la ingeniería y la admi ad administración mini nist stra raci ción ón ta tale tales les ccomo: omo: ttr tran ra ans nsm misi mi issió ión de señales telegráficas, transporte, mantenimiento, fiabi fi fiabilidad, abilid lidad, ad, est estudi estudios udiios de ma ud mark marke mar rket keti etin ting ing, ng, g,, pr prev previsión, evis isió ión, n, producción, etc etc..
PROCESOS ESTOCASTICOS
Este tipo de problemas tiene que ver sobre todo con con el co omp om mpo orta or rttami am mie ien nto nt to a alea al le eato attori orrio io yy/o /o probabilística de las variables que se intervienen y q que qu ue no norm rmal alme mente nte b bajo ba ajo aj jo o ci cier cie erto ert rtos tos oss sup supue supuestos uest stos os siguen distribuciones de probabilidad conocidas. conocidas. Los modelos y procesos estocásticos proveen de model mod modelos elos os mat matem matemáticos emáti áticos cos asoci asociados asociado adoss a fe fenó fenómenos nóme meno noss aleatorios donde la dependencia con el tiempo o con cu con cual alqu quie ierr otr otro o par parám ámet etro, ro, ju jueg juega ju ega eg aa uunn rrol ol preponderante.. preponderante
Los Procesos Aleatorios a Tiempo Continuo
En m En much mu uch cho chos o oss pr prob oble lema mass de de llo los os procesos proc pr oces esos os estocá est estocásticos, ocásti sticos cos,, ta tale tales tal les ess co como como mo lla a con confia confiabilidad fiabil bilida idad d de un sistema, la teoría de colas colas;; estamos interesado inter interesados esadoss en un modelo modelo estocás estocástico tico que haga intervenir todos los instantes haga instantes pertenecientes a un intervalo dado y que además nos permita poder reaccionar sin retraso.. E retraso Esto Es sttos os so son n lla llamad llllam amad mados ados os pro proceso proc pr oces cesos esos oss a tiempo continuo continuo..
Ejemplos de estos Procesos
El arribo de clientes hacia una ventanilla La ocurrencia de accidentes en una empresa empresa.. La aparición de fallas en una sala de maquinas maquinas.. La llegada de trabajos a una central de cómputos cómputos.. Arribo Arribo de automóviles a una gasolinera gasolinera.. Aterrizaje Aterrizaje de aviones en un aeropuerto Etc.. Etc
Concepto de un Proceso Poisson
Un proceso de Poisson responde a la idea de Arribos Arribos al Azar Azar de personas u objetos hacia un lugar determinado determinado.. En términos formales se habla de asociar un proceso PUNTUAL n(t), tt 0 al tiempo y que representaría el numero de arribos en un periodo o intervalo [[0 0 0,t] ,t]. ,t].
Introducción a la Teoría de Colas
Muchas industrias de productos y de servicios tien ti tienen enen en un sis siste sist si stem tema ema ma a d de e co cola lass en el que los ¨productos¨ ¨productos productos¨ ((o o cllilie ien nte nt tess)) llllle leg gan ga an a una una ¨estación¨ ¨estación estación¨ esperan esperan en una ¨fila ¨fila fila¨ ¨ (o cola), obtienen algún ¨servicio ¨servicio¨ servicio¨ y luego salen del sistema.. Ejemplos sistema Ejemplos:: Los clientes llegan a un banco, esperan en una fila para obtener un servicio de uno de los cajeros, y después salen del banco. banco.
Las partes de un proceso de producción llegan llegan a una estación de trabajo particular desde diferentes estaciones, esperan en un compartimiento para ser procesadas por una máquina, y luego son enviadas a otra estación de trabajo trabajo.. Después de hacer sus compras, los clientes eligen una fila en las cajas, esperan a que el cajero les cobre y luego salen de la tienda tienda.. Las llllam Las llama ama amada ad das ass te tele lefó fóni nica cass llllleg le egan ga an n al centro de de reservaciones de una aerolínea, esperan al agente de ventas disponible, son atendidas por ese agente y dejan el sistema cuando el cliente cuelga. cuelga.
DESARROLLO
Los problemas administrativos relacionados con tales si tales sist siste stema stem emas mas ass d de e cco col olas ol las sse e cl clasi asifi fican can en en d dos os grupos básicos: básicos:
Prob Pr Problemas oble lema mass de análisis anál an áliisis Prob Pr Problemas oble lema mass d de e diseño diseño
Problemas Problemas
de
análisis análisis.
Ust Usted ste ed podría e estar star inte in interesado tere resa sado do en en saber si un si sist sistem stema ema dado e está stá funcionado satisfactoriamente satisfactoriamente.. Necesita responder una o más de las siguientes preguntas preguntas::
¿ Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? ¿Qué fracción de tiempo ocupan los servidores en atender a un cliente o en procesar un producto? ¿Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la fila
Basándose en estas preguntas, los gerentes tomarán decisiones como emplear o no más gente, agregar una estación de trabajo adicional para mejorar el nivel de servicio, o si es necesario o no aumentar el tamaño del área de espera espera..
Uste Us ted d de dese desea sea a di dise seña ñarr la lass Problemas de diseño. Problemas diseño. Usted
caracterís carac características terísticas ticas de un sistema que logre un objetivo objetivo general.. E general Esto Es stto o pu pued puede pue ede de e imp implic impl im plic licar icar ar el pla plantea nteamie miento nto de preguntas como las siguientes siguientes:: ¿Cuántas personas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable? aceptable? ¿Deberán los clientes esperar en una sola fila (como se hace en muchos bancos) o en diferentes filas (como en el caso de los supermercados)? ¿Deberá haber haber una estación estación de trabajo trabajo separada que ma que mane neja ja la lass cue cuesti cues cu esti stione tione oness ¨especiales ¨especiales¨ especiales¨(como ¨(como (com (c omo o el caso del acceso a primera clase en el mostrador de una aerolínea?
¿Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o los productos puedan esperar? Por ejemplo, en un sist si sistema stem ema a de res reserv ervacio aciones nes por por te telé teléfo tel léfo éfono, fono no,, ¿qu ¿qué ¿qué é ta tan n grande debe ser la capacidad de retención? Esto es, ¿cuántas llamadas telefónicas se deben mantener en espera antes de que las siguientes obtenga la señal de ocupado? Esta Es Estas tass de deci cisi sione oness de di dise seño ño se se tto toma om man an me medi dian ante te la evaluación de los méritos de las diferentes alternativas, y luego seleccionando la alternativa que cumpla con los objetivos administrativos administrativos..
El análisis de colas también sirven en el contexto de un modelo de optimización de costos, donde la suma de los costos por ofrecer el servicio y esperar se minimizan minimizan.. El pr prob proble oblema lem ma ma pri princ prin pr inci ncip cip ipal pal cco con on la puesta pra practica ract ctic ica a d de e llo los os mo mode delo loss de co cossto toss es difi di dificultad ficu culta ltad d d de e es esti est stim tima imar mar arr el co cost costo sto un unita unit itari itar ario rio io o espera, espera, en particular cuando comp co comportamiento mpor orta tami mien ento to hu huma humano mano no iin infl nfflu luye en operación del modelo. modelo.
en en la la de el el la la
Costo Total Costo de espera de los clientes por unidad de tiempo
C. De operación de instalaciones por Unidad de tiempo
C O S T O
Nivel optimo de servicio Nivel de servicio
La teoría de colas fue investigada por ERLANG en el año 1909. este matemático se preocupo de los problemas de congestión en el trafico de comunicación telefónica. Su interés se centro en el análisis probabilística que se presentaba en este tipo de problemas y por eso escribió el libro solutions of some problems in the theory of probabilities. Mas tarde , Molina (1927) y Thornton (1928) enriquecieron este trabajo.
SAAT SA SAATY ATY Y di dice ce qu que que lla a te teor oríía de cco cola ollas ass tr trat trata ata de de desar de desarrollar sarro rollllar ar u un n m modelo mod odel od elo o sim simból simb si mból bólic ólic ico o de dell si sist sistema stem ema a físico para simplificar la solución del problema y que La La teoría de colas no es una técnica de optimización, pero si una herramienta analítica que que permite explorar y conocer e ell comp co comportamiento mport ortami amien ento to d de e un sist ste ema de se serv servicio, rvic icio io,, logr lo logrando gran ando do d de e e esta es stta a ma maner manera nera a indi indirect rectament amente e una optimización aproximada
DEFINICION DE TC
Es u Es una un na té técn técnic téc cnic nica ica a mat matemá matemática, mate emátic mática, tica, a, proba probabilístic probab pro babilís bilística ilístic tica a que que sse e ocupa del análisis de problemas caracterizados por un flujo de CLIENTES CLIENTES (pers (personas, onas, maqu maquinas, inas, produ productos, ctos, etc) hac etc) hacia ia una una o mas ESTACDIONES ESTACD EST ACDION IONES ES DE SERVICIO (bancos, estaciones de gasolina, supermercados, etc) con el propósito de esst con stud tu udi diar est ste ste tipo de de comportamientos y obtener información relevante tal como:: el tiempo medio de espera de un cliente, como cliente, el tiempo medio de ocio, la longitud promedio de clientes en la cola, la probabilidad de que haya `n `n´ ´ clientes en el sistema de colas, etc etc.. Esta información permitirá la toma de decisiones y el calculo de costos asociados para tomar o no las acciones correctivas necesarias en procura de lograr mayor eficiencia del sistema
La teoría de colas se basa en que los procesos de lllle ega gad da y tie iemp mpos os de se serv rvic icio io,, en lo loss si sist ste ema mass de espera, pueden ser descritos por apropiadas distribuciones probabilílíssticas. A partir de esas dist di stri ribu buci cion ones es se pu pued eden en de deri riva varr lo loss mo mode delo loss pa para ra esos sistemas. Los tiempos de servicio y el proceso de llegada son independientes en el sentido de que la duración del servicio no depende de cuando ocurra la llegada (ni los tiempos de llegada dependen de la duración del servicio), pero el proceso de servicio es dependiente del proceso de llegada, en el sentido de que no puede comenzar hasta que la llegada haya ocurrido.
La descripción de un sistema implica analizar los siguientes aspectos:
a) El proceso de llegada b) La configuración de la fila. c) La disciplina en la fila, d) La disciplina en el servicio y e) El servicio.
ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS
FUENTE DE ENTRADA
COLA
Disciplina En la cola
MECANISMO DE SERVICIO
SISTEMA DE COLAS
CLIENTES SERVIDOS
EJEMPLOS DE LINEAS DE ESPERA
Fuente de entrada
Los clientes que entran al sistema se generan a través del tiempo en una fuente de entrada Tambi Tam También bién én se de denom denomina deno nomina mina ina pobl població poblac ación ació ión n y puede pued pu ede e se serr finita o iinfinita. finita nfinita. Las llega ada ad das o ocurren cur urrren ale al aleatoriamente eat ator oria iam men ente te pe pero pero ro se utiliza una ttasa asa promedio;; ge promedio gene neral ralme ment nte e se se sup upo one que ue llas as llegadas siguen una distribución Poisson. oisson.
COLA
Constituye el numero Constituye numero de clientes clientes esperando esperando a ser atendidos en el sistema de colas, pudiendo ser también finita o infinita infinita.. La cola no incluye al cliente que esta recibiendo el servicio, como ya se menciono los clientes en la cola no necesariamente pueden ser personas, y no necesariamente debe haber una cola física sino que los clientes pueden estar dispersos en toda una área. área.
Disciplina en la Cola
Se refiere al orden o norma con el que los clientes son atendidos, pudiendo ser:
PEPS (FIFO, First Input First Output)
UEPS. (LIFO, Last Input First Output) Aleatorio. Aleatorio. Con Prioridad (PR, Service With Priority)
MECANISMO DE SERVICIO
Se refiere a la forma y/o manera en la que se en encu encue cuen cuent entr ntra tran ran an n el o los loss se lo serv rvido idore ress para para atender al cliente que llegan al sistem sistema sistema. a. El tiempo de servicio generalmente se ajusta a una distribución de probabilidad probabilidad.. En este caso no es necesario que el servidor sea un solo individuo, puede ser un grupo de personas que combinan sus fuerzas para llevar acabo simultáneamente el servicio. servicio.
Un solo servidor una sola fase Varios Varios servidores una sola fase (paralelo) Un solo servidor y varias fases Varios Varios servidores y varias fases.
S
S S
S
S
S
S
S
S
Tiempo de servicio
Es el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación terminación.. Un modelo de sistemas de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor servidor.. La distribución mas usada para los tiempos de serv se servicio rvic icio io es la expo exponenc exponen exp onencial nencial, cial, ial,, aunq aunque aunque ue es co comú común mún n encontrar la d encontrar dist di isstri trribu ib buci ucción ió ón n de deg degen ener enerad erada ada o deterministica (tiempos de atención constantes) o la distribución Erlang (Gamma)
Características de una línea de espera
atrón trón tr ón d de e lllleg llegadas: egad adas as: di dist distri dis stri tribuc ribu buci bución ción ión ón de pr proba obabil bilida idad d de dell Pa numero de llegadas al sistema sistema.. Pat atrón atró rón n de se serv servicio: rvic icio io: dis distri disttribuc rib bución uciión ón de prob probabil abilidad idad del tiempo de servicio al cliente cliente.. Capacidad del sistema: sistema: numero máximo de clientes en el sistema que pueden permanecer simultáneamente en las instalaciones del servicio servicio.. Canales de servicio servicio:: numero de servidores en el sistema sistema.. Fuente o población población:: que puede ser finita o infinita infinita.. Esta Es Estado tado do de dell si sist sistema: stem ema a: es el nu nume mero ro de cli client clie cl iente entes ntes ess en el sistema de colas colas..
Estado Estacionario y Estado Transitorio
Cuando se analiza el problema de la TC, nuestro interés es estudiar la evolución del sistema o proceso en el tiempo tiempo.. El estado transitorio o régimen transitorio se refiere al caso donde las variables de operación del si del sist stem ema a var varía varí va rían ían an n co con con e ell ti tiem tiempo; emp po; e esta sta sit situación itua uaci ción ón se se pr pres pre esen esenta enta ta en en lla las as pr prim primeras imer eras as etapas donde hay una influencia influencia notable de las condiciones iniciales iniciales..
Estado Estacionario y Estado Transitorio
Cuando el análisis del proceso se lo realiza a Largo Plazo, lazo, es decir, decir, cuan cuando do t t tiende tiende a infin in infinito, finito ito,, el co compo mporta rtamie miento nto de dell si sist stem ema a se estabiliza y hablamos de un régimen estable estable.. Variable
t
Una condición necesaria dentro desde marco conc co conceptual, ncep eptu tual, al, nu nues estr tro o tr trab abaj ajo o co cons nsis isti tirá rá en calcular los valores esperados de las variables relevantes en estado estable (EE) (EE).. Una condición NECESARIA para hablar de EE, es que el ti es tie emp mpo o se sea sea lo lo sufi suficie suficientemente ciente nteme mente nte largo.. largo
Notación y Terminología
Con el objeto de esp Con spe ecif ific ica ar la lass p principales rin inci cip pale less características de un sistema de colas se empleara una notación especial denominada notación de KENDALL KENDALL-LEE.. LEE La notación de Kendall descrita como X/Y/Z es una de las má las máss us usad adas as par para para la cla clasif clasificación. sifica icació ción n. El es espa paci pacio cio o X describe el proceso de llegada, Y Y describe el proceso de servicio y Z el número de servidores. servidores. En 1971 lla En a Con Confer Conf Co nfer ferenc eren encia cia ia de est estand andariz arizaci ación ón de de lla a notación en Teoría de Colas extendió la Notación de Kendall agregá agregándole ndole más términos términos..
(a /b/c/d/e/f)
a = Distribución de probabilidad del numero de llegadas
M = Distribución Poisson (o su equivalente la distribución exponencial para para tiempo entre llegadas). E = Distribución Erlang. G = Distribución General. D = Deterministica con tiempos constantes
(a/b (a/ b /c/d/e/f)
b = Distribución de probabilid probabilidad ad del tiempo de servicio.
M = Distribución Exponencial (o su equivalente a Distribución poisson con el numero de clientes servidos) E = Distribución Erlang. G = Distribución general D = deterministica con tiempos constantes.
(a/b/cc / (a/b/ /d d / /e e / /f f )
c = Numero de servidores o canales de servicio en paralelo. d = Magnitud de cola
e = Magnitud de la población
Finita: N, numero de clientes en el sistema Infinita (N (N>30) >30) ; N = Finita: N, numero de elementos potenciales Infinita (N (N>30) >30) : N =
f = f = disciplina de servicio ( PEPS, UEPS, etc)
(a/b/c/d/e/f)
Por ejemplo:
(M/D/3 (M/D/ 3 /N/ 3/N/ /N// //PEPS) , ssignifica: ignifica: a arribo rribo Po exponencial exponencial ((o o oisson), isson), servicio servicio constante (deterministico), 3 servidor servidores, es, N clientes en clientes en la cco cola olla, a, po pobl pobla pob blac lació ació ción ión n in infi infinita, fini nita, ta, primero en entrar primero en salir salir..
Por otro lado se considera la siguiente
terminología:: terminología
n (t) = numero numero de clientes clientes en el sistema sistema de colas en el instante t t ( t> t>0 0)).. 0) n = num umer umero ero de cl clie ient ntes es en en e ell si sist stem ema a e en n cualquier instante instante.. Pn(t) = probabilidad de estado transitorio de que exista n clientes en el sistema en el tiempo t t.. Pn = prob probabi probab pro babili abili ilida lida dad d de es esta estado est tado ado do est establ estable able e de de q que ue exi exista xist sta a n cl cli clie iient ent ntes es en el si sist stem ema a en cu cual cualquier alqu quie ierr tiempo.. tiempo
n = tasa promedio de llegadas cuando existe n
clientes en el sistema. = tasas promedio de llegadas. tasa tasa sa pr prom prome omed omedi edio dio io o de lllleg egad adas as de = efectiva = ta clientes dentro de las instalaciones de servicio o tasa efectiva de llegadas de clientes que vienen y se quedan quedan.. 1 // = ti 1/ tiem tiempo empo po pr prom omed ome edio edi dio io o de llllleg le egad gada ga adas das ass en entr entre tre e clientes.. clientes
µn = tasa promedio de servicio cuando existen n
clientes en el sistema. µ = tasa promedio de servicio 1/µ = tiempo promedio de servicio por cliente. = /Sµ = tasa de utilización del sistema. sistema. L = longitud promedio de clientes en el sistema (en el sistema y siendo atendidos) Lq = longitud promedio de clientes en la cola, es decir que esperan servicio.
= variable aleatoria que indica el tiempo que un cliente permanece en el sistema (incluye tiempo de servicio). W = E() = tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema o el tiempo que el cliente pasa esperando por el servicio y siendo atendido. q = variable aleatoria que indica el tiempo que un cliente permanece en la cola esperando por el servicio.
Wq = E(q) = tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola antes de recibir servicio. Sn = numero de servidores en paralelo cuando existen n clientes en el sistema. S = numero de servidores en paralelo. = /µ = intensidad de trafico ( =S)
Ecuaciones Básicas Fo Form Formulas rmul ulas as de de LITTLE LITTLE LITT LE
Las siguientes cuatro ecuaciones donde las dos primeras son llamadas formulas de LITTLE son de bastante uso en la TC:
L = e (e = tasa de arribo efectivo) Lq = e q 1 //µ = q + 1/ =q + e //µ L = Lq +
Si la capacidad del sistema es infinita, se tiene que e = ; si no significa que algunos clientes deberán marcharse sin ser servidos y e < .
PROCESOS DE NACIMIENTOS Y MUERTES
El pr proc oces eso o de nac nacim naci na cimi imie mien ientos entos ntos tos y mu muer erte tess es es un un proceso matemático que nos va a permitir inferir las principales formulas de la teoría de colas a partir de la suposición suposición de un comportamiento expone exp exponencial onenc ncial ial en en llo los os ti tiem empo emp pos poss de lllleg egad ada a y de servicio.. servicio Un nacimiento se identifica cuando ocurre una llegada al sistema y una muerte sse llegada e conceptualizara cuando ocurre un servicio en el sistema.. sistema
hipótesis:: Para este efecto existen tres hipótesis Todo To Todos doss los los nac nacimi nacimient nacim imient ientos entos os (lleg (llegadas) (llega (ll egadas) adas) das) sig sigue sigu si guen uen en n la distribución exponencial exponencial.. Todas las m Todas muer mu ue erte rttes es (s (sal alid aliidas idas) as) sig gue gu uen lla a distribución exponencial exponencial.. Solamente puede ocurrir un nacimiento o una muerte a la vez vez..
PROCESOS DE NACIMIENTOS Y MUERTES
Un diagrama apropiado para esta situación es el diagrama de tasas: tasas: 0 0
1
µ1
1
nn--1 1 2
µ2
n-1
n n
µn
n +1
µn+1
El objetivo es conocer el estado del sistema para n clientes en el tiempo t t..
estable se tiene las siguientes Para estado estable ecuaciones, denominadas Ecuaciones Ecuaciones de de balance de estado estable estable::
µn+ n+1 1 Pn+ n+1 1 + nn--1 1 Pnn-1 -1= (n + µn) Pn
µn Pn = nn--1 1 Pnn-1 -1
AA pa part part pa rtir rtir irir de estas estass ecu esta ecuaci ecuac acione acio ione ones ness es posible posi po sibl ble e deducir las siguientes ecuaciones ecuaciones::
Pn = 0 1 2nn-1 -1 po
para todo n n1 1
µ1 µ2 µ3......µn
(Ver Cuadro de ecuaciones 1 1))
Ejemplo
Cierta ti Cierta tiend tien enda da a de com comer comerc erci ercio cio io o tie tiene tiene un una a caj aja aja a de de pago con una cajera de tiempo completo completo.. Los clientes llegan a la tienda siguiendo un proceso Poisson a una tasa media de 30 por hr hr.. Cuando hay un cliente en caja, es atendido por la cajera con un tiempo esperado de servicio de 1 1,,5 ,5 min min.. Sin embargo, cuando hay mas de un cliente en la caja de pago el almacenista ayuda a la cajera en la atención, reduciendo la tasa promedio de servicio a 1 min min.. La distribución del tiempo de servicio siempre es exponencial exponencial.. Hallar Po, Pn, L, Lq, , q, para el sistema sistema..
Solución Construimos el grafo de transición o diagrama de tasas tasas::
=30 0=30 0
30 1
=40 µ1=40
30 2
60
Ver Ver solución en pizarra
n-1
30 n
60
n +1
60
Modelos Poisson 1.
Modelo básico con cola infinita.infinita. 1. 2.
2.
Modelo Básico con cola Finita.Finita. 1. 2.
3.
Un servidor (S=1 (S=1) 1) (M/M/1 (M/M/1/ 1 /// ///PEPS) Con S servidores (M/M/S/// (M/M/S///PEPS) Un servidor (S=1 (S=1) 1) (M/M/1 (M/M/1/N 1 /N// /N //PEPS) Con S servidores (M/M/S/N// (M/M/S/N //PEPS)
Modelo Básico con fuente de recursos limitados.-limitados. 1. 2.
Un servidor (S=1 (S=1) 1) (M/M/1 (M/M/1/N 1 /N/N/ /N /N/PEPS) Con S servidores (M/M/S/N/N/ (M/M/S/N /N/PEPS)
Modelos Con Prioridad
En este modelo la disciplina de servicio se basa en clases de prior en oriidad de acuerdo a la impo im importancia port rtan anci cia a d de e llo los os cl clie ient ntes es qu que que e pu pued eden en se serr atendidos.. atendidos Hiller y LLi Hiller Libe ib berm errman ma an n pl plan plante antean tean an las fformulas ormulas siguientes para un sistema de esta clase, donde existen N clases (la clase 1 es la mas prioritaria prioritaria y así así sucesivamente) sucesivamente).. En este caso las entradas siguen siendo Poisson y los tiempos de servicio son exponenciales, para cada clase considerada considerada.. Ver Ver cuadro de ecuaciones 2
Aspectos Económicos en la TC
En ttod En todo odo si sist stem ema a de cco cola olas ol las ass ex exis iste te un una a pu pugn pugna gna a económ eco económica nómic ica a en entre ent ntre tre re el cl clie ient nte e y la en enti tid tida d dad ad d qu que e presta servicio servicio.. Por una parte esta el cliente que trata de minimizar el costo de espera (lo que implica un aumento en el costo de servicio) implica servicio) y por otra el servidor que trata de minimizar minimizar el costo de servicio (lo que implica un incremento en el costo de espera) espera);; luego, el sistema debe contemplar ambos criterios y tratar de llegar a un equilibrio entre ambos ambos..
Aspectos Económicos en la TC
Costo de espera (CE): (CE): Es el costo que le significa al cliente por el tiempo perdido perdido.. Si bien existen varios criterios para determinar determ det ermina inarr est este e costo, el mas apropiado es aquel que cconsidera mas onsidera solamente el tti solamente tie iem mpo mp po per erdi erdido dido do en la cola cola esperando por el servicio servicio.. Por tanto, si si:: C1 = costo de espera de un cliente por unidad de tiempo tiempo.. Luego el costo de espera será: será:
CE = C1 * Lq CE = $us/unidad $us/unidad de tiempo
Aspectos Económicos en la TC
Costo de Servicio (CS) (CS):: Es el costo que le representa a la entidad que presta servicio a los clientes, empleando S S servidores. servidores. si:: Por tanto si C2 = costo de servicio de un servidor por unidad de tiempo. CS = C2 * S CS = S/unidad de tiempo.
Aspectos Económicos en la TC
En re real alid idad ad no ex exis existen iste ten n expre expresion siones es gener generales ales que pe que perm permitan permi rmit itan tan an cal calcular calcul cular ar E(C E(CS) E(CS) S) y E(CE) E(CE);; lo que quie qu quiere iere re de deci decir cir que ssu u ca cal calc llcul cul ulo o de depe dep pend pen ende nder derá erá rá á de dell problema especifico a ser tratado tratado.. Pero el costo total del sistema será la suma de ambos costos, es decir decir::
CT = CE + CS
El objetivo será hallar parámetros de tal forma que el costo total del sistema sea el mínimo mínimo..