Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso
TEORIA DE COLAS
Modelos de Optimización Avanzados Teoría de Colas
La formación de líneas de espera es un fenómeno común cuando la demanda por un servicio excede momentáneamente la capacidad de proporcionarlo Esperar un servicio es parte de la vida diaria Se espera para comer en restaurantes, se hacen colas en las cajas de los supermercados, en los hospitales, etc Y el fenómeno no es exclusivo de los seres humanos: los trabajos esperan para que los procese una máquina (cuello de botella), los automóviles se detienen ante un semáforo, etc
TEORIA DE COLAS Las colas se producen debido a que, en ocasiones, la capacidad instalada para proporcionar el servicio es insuficiente, ya que la demanda por su servicio es aleatoria, lo que implica que la teoría de colas trabaje con modelos probabilísticos
ESTRUCTURA BÁSICA DE UN MODELO DE COLAS Los clientes que requieren un servicio se generan a través de una fuente de entrada o población. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen a la cola.
El estudio de colas determina las medidas del funcionamiento de una situación de colas, incluyendo el tiempo de espera y la longitud de la cola promedio, entre otras variables de interés. Esta información sirve después para decidir el nivel apropiado de servicio para las instalaciones
En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio (orden de llegada, aleatorio, prioridades).
ESTRUCTURA BÁSICA DE UN MODELO DE COLAS
ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS
Después, se otorga el servicio requerido por el cliente mediante el mecanismo de servicio, caracterizado por el número de canales paraderos o servidores y por el tiempo de servicio, tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su término. El tiempo de servicio puede tener una distribución exponencial, degenerada o gamma
Pablo Diez Bennewitz
Sistema de Colas Fuente de Clientes Cola Entrada
Clientes servidos Mecanismo de Servicio
1
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ALGUNOS MODELOS DE COLAS 1) Modelo simple con un solo servidor XXXX Entrada
S Servidor
XXXX Cola
XXXX Salida
2) Sistema de colas en serie (trámites en serie) XXX
S
XXX
XXX
S
XXX
S
XXX
3) Sistema de colas simple multiservidor XX S XX S XXXXXX XXXXXX S
XX
ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS • Fuente de Entrada: Puede ser finita (máquinas en un servicio de reparación) o infinita (llamadas telefónicas) • Tiempo entre Llegadas: Es el arribo de clientes, puede ser probabilístico o determinístico • Tamaño de las Colas: Puede ser finito o infinito • Tiempo de Servicio: Describe la prestación del servicio que el servidor le da al cliente. Puede ser • Disciplina de Servicio determinístico o • Servidor (es) probabilístico • Clientes
COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DE COLAS
IMPORTANCIA DE LA TEORIA DE COLAS EN LAS OPERACIONES La teoría de colas determina las medidas del funcionamiento de una situación de colas, es una técnica útil para diseñar la capacidad del proceso de operaciones, puesto que provee de información muy útil para decidir el nivel apropiado de prestación del servicio para las instalaciones Para determinar la capacidad del proceso de operaciones, se evalúan los costos asociados al servicio que se presta
TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN
Es diferente en cada una de las etapas del sistema. Matemáticamente es difícil plantear modelos en los inicios y términos de atención del sistema, es más simple plantearlos cuando el sistema alcanza un estado estable, el que se da si en todos los estados: Estado Estable
Entradas al Sistema
=
Salidas al Sistema
Si hay a lo menos un estado en el que, las entradas al sistema no son iguales a las salidas del sistema, entonces no se ha alcanzado el estado estable
TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN Asimismo es posible definir:
n
Cantidad de clientes: Que están en el sistema en un momento dado
L
Valor esperado de clientes en el sistema L
W
=
E (n)
Valor esperado de tiempo de atención de un W = E (w)
cliente en el sistema
w: tiempo específico que tarda un cliente particular dentro del sistema. Es una variable aleatoria
Pablo Diez Bennewitz
Lq
Valor esperado de clientes en la cola
Wq
Valor esperado del tiempo en la cola
Pn
Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante determinado
P0 : P1 : P2 : P3 :
Probabilidad Probabilidad Probabilidad Probabilidad
de que el sistema esté vacío de que el sistema tenga 1 cliente de que el sistema tenga 2 clientes de que el sistema tenga 3 clientes
Pn : Probabilidad de que el sistema tenga n clientes
2
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TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN Pn
Probabilidad de que hayan “n” clientes en el sistema en un instante determinado
Esto tiene dos interpretaciones:
TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN En consecuencia:
L
Valor esperado de clientes en el sistema 8
(1) Probabilidad de que en un instante cualquiera se observe el sistema y esté presente un estado n. Por ejemplo, P3 = 0,1 indica que la probabilidad de encontrar 3 clientes en el sistema es 0,1 o del 10%
L
= E (n)
L
n Pn = n=0
(2) Pn es la fracción del tiempo en que el sistema permanece en el estado n
En general la cantidad de clientes es el sistema depende del instante de tiempo en que se determinan n = n (t) Luego, las variables dependen del momento de tiempo en que se miden. Por ende, Pn, L, W, etc, también dependen del tiempo: Pn(t), L(t), W(t), etc Sin embargo, los modelos de colas que se estudian, determinan tales variables cuando el sistema está en estado estable
n(t) = n Pn(t) = Pn L(t) = L W(t) = W
LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA Se define:
1
Tasa media de llegada de clientes al sistema Indica el número promedio de clientes que ingresa al sistema en un instante específico de tiempo Tiempo promedio entre llegadas es el tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas sucesivas, entre el arribo de dos clientes consecutivos
LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMA La llegada de clientes se asume que tiene una distribución poisson, con parámetro Si A es el número de clientes que llegan en un intervalo específico de tiempo, entonces: P(n=A)
=
e-
n
n!
A
LAS VARIABLES EN EL TIEMPO
n = 1,2,3,....
Las llegadas al sistema son aleatorias. Es decir que la probabilidad de llegada al sistema durante un instante de tiempo es un valor constante, independiente del número de arribos previos y de la duración del tiempo de espera
SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA Según los sistemas de colas, puede ser una distribución exponencial, degenerada o gamma Pero, para que sea útil, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista para que el modelo proporcione predicciones razonables y, también debe ser lo suficientemente sencilla para que sea matemáticamente manejable Para lograr todo lo anterior, se asume que los tiempos de prestación del servicio tienen una distribución exponencial, con parámetro 1
Pablo Diez Bennewitz
3
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SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA
SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMA
Si B es el tiempo de servicio para un cliente promedio, la función de distribución acumulada es:
Se define:
P(B < t)
-t = -e 1
si t
>0
Obs: Poisson se refiere a unidades de evento partido por unidades de tiempo fija Exponencial se refiere a unidad de tiempo existente entre dos eventos seguidos Poisson
1
Exponencial
Sistema de Colas Clientes Cola
Tiempo promedio entre prestaciones del servicio es el tiempo promedio que se demora en atender a un cliente en el sistema
DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTE
ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLAS
Población
Tasa media de prestación del servicio en el sistema Indica el número promedio de clientes que reciben el servicio en el sistema en un instante específico de tiempo. Es la tasa media del servicio, implica el concepto de velocidad de atención del sistema
Clientes Mecanismo servidos de Servicio
Muestra el balance de entradas y salidas a cada estado del sistema de colas
0 0
Lq , Wq
Poisson (clientes / tiempo)
1
L,W
1 1
1
2 2
2
3 3
3
......
4
Exp
(tiempo / clientes)
DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTE Para salir del estado 2 hay dos posibilidades:
ESTADO ESTABLE Estado Estable
Entradas al Sistema
=
Salidas al Sistema
Sale un cliente que es atendido y en tal tiempo no ingresa nadie al sistema ( 2 )
En estado estable y bajo el supuesto de que puede ocurrir sólo una llegada o sólo una salida a la vez:
El cliente que está siendo atendido no termina de ser atendido e ingresa otro cliente al sistema ( 2 )
Estado 0
2 2
pasa del estado 2 al estado 1
Estado 1
P2 2 +
Estado 2
P3 3 +
Estado 3
P4 4 +
pasa del estado 2 al estado 3
Pablo Diez Bennewitz
P1 1
= P0 0 = P1 1 = P2 2 =
P0 0 P1 1 + P1 1 P2 2 + P2 2 P3 3 + P3 3
4
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ESTADO ESTABLE
ESTADO ESTABLE
Se forma un sistema de n-ecuaciones y (n +1) incógnitas. Resolviendo en función del Pn se tiene: De la primera ecuación (estado 0)
P1
=
P0
reemplazando P1:
1
P2
0
De la segunda ecuación (estado 1) P2 2
=
P2
=
P2
1 ) - P0 0 1 ) P1 - P0 0 2
P1 ( 1 + ( 1 +
= =
(1 +
P0 0
( 11 0 + 0 - 0 ) P0 2
P2
ESTADO ESTABLE
1 ) P0 01 2
0 1 = 1 2
P0
ESTADO ESTABLE 8
En general: Pn
Pn =
Si además se considera que:
0 1 2 3 = 1 2 3 4
n-1 n
P0
Suponiendo que las tasas son constantes, entonces:
1 = 2 = 3 = 4 = 0 = 1 = 2 = 3 = n Luego Pn = P0
= n = = n-1 =
P0 + P1 + P2 + P3 + ........................ P0 +
-
1 Además Condición de estado estable
-
n
Suma de la progresión geométrica
1 Entonces
<1
La tasa de llegada ( ) tiene que ser menor que la tasa del servicio ( )
Pablo Diez Bennewitz
P0 + ...............
=
1
n
i a r = i=1
a ( 1 - rn ) (1-r)
ESTADO ESTABLE Como
=
P0 +
=1
3
<
1
P0 ( 1 - 0 )
=
1
-
P0
=
-
1
n
0
si n
P0
=
1
8
P0 1
P0 +
2
Progresión Geométrica
ESTADO ESTABLE Por lo tanto
1
n=1
-
Es la probabilidad de que hayan 0 clientes en el sistema
5
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ESTADO ESTABLE
SUPUESTOS PARA LA CONDICIÓN DE ESTADO ESTABLE
Asimismo, reemplazando:
=
Pn
n
-
Es la probabilidad de que hayan n clientes en el sistema
Obs: Las fórmulas anteriores son un caso particular analizado, no son fórmulas generales, puesto que incluyen muchos supuestos en su análisis
FACTOR DE UTILIZACION
=
Indica la proporción de tiempo en el que el sistema de colas está ocupado
Si
>1
El sistema está sobrecopado la mayor parte del tiempo: la cola está creciendo permanentemente
Si
<1
El sistema no está copado Por ejemplo, si = 0,9 indica que el 90% del tiempo el sistema de colas está ocupado y que, el 10% del tiempo no lo está
VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
<
El sistema de colas no colapsa, o 1 sea que el sistema oscila entre los estados razonables, si bien hay cola, ésta no crece sin fin
• Las entradas y salidas de clientes al sistema de colas, son de a un cliente cada vez • La tasa promedio de llegada de clientes y la tasa promedio del tiempo de prestación del servicio, son independientes del estado (cantidad de clientes) en el sistema de colas
FACTOR DE UTILIZACION Las fórmulas anteriores de P0 y de Pn, se pueden denotar también como: P0
-
1
n
=
Pn
=
(1
-
)
VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
8
n Pn = n=0
•
L
=
E (n) L
=
E (n)
=
donde (
0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + ...................
0(1- ) + 1 (1- ) + 2
2
(1- ) + 3
3
(1- ) + ........
Factorizando: 2 3 4 L = (1- ) + 2 + 3 + 4 + ........................ ) )
1+2 (
Pablo Diez Bennewitz
+3 +
2
+
+4 3
+
3 4
+ ...................... + ......................
+
Suma de la progresión geométrica Por lo tanto como
< <
3
4
+
+
5
+ .......... )
n
a ( 1 - a n)
i=1
1-a
ai =
L
es progresión geométrica
= (1-
(1- n )
)
1-
1 (condición de estado estable) 1
n
0
si n
8
= (1L = (1L
2
2
+
6
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VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA
También se pueden demostrar: L
= (1-
derivando:
L
=
(1- )
= (1-
)
)
1-
(1- )
(1- )
1 L
2
=
= -
L
= W
(-1) 2
(1- )
reemplazando
-
Lq
= 1L
1
W
= Wq
Wq
= ( )
Lq
2 = ( - )
-
En consecuencia
L
PROPIEDADES
Si se dispone de los valores de y , entonces es posible conocer a cada una de las variables principales de los modelos de colas: L, W, Lq, Wq
= -
VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE
RELACION ENTRE W y Wq Se define
Ws Tiempo medio de la prestación del servicio W = Wq + Ws
que es un valor a priori desconocido
Ws = W - Wq
= -1 - ( - ) - 1 Ws = = ( ) -
W
1
= Wq +
VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE Consideremos la probabilidad de que un cliente tarde más de un tiempo T en salir del sistema Sn+1 = T1 + T2 + T3 + .............. + Tn + Tn+1
donde T1, T2, T3, ........... son variables aleatorias independientes que tienen una distribución exponencial
Recuerdo: w es el tiempo específico que tarda un cliente en el sistema. Es una variable aleatoria
PROPIEDAD REPRODUCTIVA Por una propiedad reproductiva, la suma de las variables aleatorias con distribución exponencial, tiene una distribución de probabilidades gamma Sn+1 tiene una distribución gamma Entonces
8
Sn+1 es la suma de los tiempos de atención de los “n” clientes que ya estaban en el sistema, más el tiempo de atención del “n+1” cliente, que acaba de ingresar al sistema
Pablo Diez Bennewitz
-
Pero también se puede obtener mediante W = E(w) determinando la distribución de probabilidades de w
Ws
Sea
Se puede demostrar de acuerdo a las fórmulas planteadas en las propiedades anteriores 1 1 W = W = Wq + Ws W = Wq +
P (w > t)
Pn P(Sn+1 > t) = n=0
P (w >t) considera dos supuestos • Al ingresar el cliente al sistema, éste está ocupado • El tiempo de espera en la cola más el tiempo de atención del cliente sea mayor que t
7
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VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTE Reemplazando las fórmulas de Pn y P(Sn+1 > t) , y después de mucho trabajo algebraico se llega a: P (w >t)
=
e
- 1-
t
,si t > 0
¡¡¡ w también tiene una distribución exponencial !!! E(w) =
1
- 1-
W
1
= E(w) = -
NOMENCLATURA Un modelo de colas se caracteriza por los siguientes símbolos: Tiempo entre llegadas, que se asocia a una distribución exponencial (la tasa de llegada es poisson)
M
/
M
/
S
/
K
/
N
UNIDADES DIMENSIONALES • W
(tiempo)
• L
(clientes)
• •
1
• 1
•
(clientes / tiempo) (clientes / tiempo) (tiempo / clientes) (tiempo / clientes)
MODELOS DE COLAS Según se combinen las diferentes características (población finita o infinita, uno o más servidores, capacidad admisible finita o infinita), se da origen a una combinación de distintos modelos de colas: • Modelo M / M / 1
Cantidad en la población potencial (población finita)
Cantidad de Cantidad admisible Tiempo de servicio, servidores en el sistema que es exponencial en paralelo (capacidad finita)
• Modelo M / M / S • Modelo M / M / 1 / K • Modelo M / M / S / K • Modelo M / M / 1 / N • Modelo M / M / S / N
MODELOS DE COLAS
S SERVIDORES EN PARALELO
Si el modelo de colas tiene capacidad admisible finita, entonces el modelo se denota con la letra K
Si existen S servidores, pero se forma una sola cola para requerir el servicio, que es suministrado por el servidor que se desocupe primero, entonces estamos en el caso de servidores en paralelo
Si el modelo de colas atiende a una población finita, entonces el modelo se denota con la letra N Cuando el modelo de colas tiene tanto población finita como capacidad admisible finita, entonces el modelo se denota con letra N (si hay población finita, se asume capacidad admisible finita)
Pablo Diez Bennewitz
Ejemplos de esto son algunos bancos, algunos locales de pago de ciertos servicios públicos, algunas fiambrerías de los supermercados, etc Este caso corresponde al modelo M / M / S
8
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MODELO
S SERVIDORES EN PARALELO Si los servidores tienen todos la misma tasa de servicio constante , entonces hay un aumento proporcional en la tasa de prestación del servicio de las sucursales a: n , si n < S S , si n > S
0
1
.....
2 2
S+1
S
S
3
MODELO
S
Pn
n-1 n-2 = n n-1
n
.... S
MODELO
P0 ; si n > S
n=0
; si n < S
Para determinar P0 : P0 + P1 + P2 + P3 + ......... = 1
n
1 n!
1 S!
+
n-s n=s S
S S n=s
8
=
=1
MODELO
n=0
n
1 n!
+
1 S!
1 1
- S
M/M/S
L = 0P0 + 1P1 + 2P2 + ........... S
1
1
- S
L
=
S+1
P0
(S - 1) ! S
-
2
+
cumpliéndose: L
Lq
Pablo Diez Bennewitz
1
Asimismo, con los valores de P0, P1, P2, ........., Pn es posible obtener el valor de L
1 S-1
=
n-s = n=s S
M/M/S
Finalmente, se obtiene P0 P0
n-s
Es una progresión geométrica cuyo resultado es:
P0 +
MODELO
<1
M/M/S
8
S-1
Además:
+
S
Factorizando: P0
P0 + 2 P0 + 3 P0 + 1! 2 2 ! 3 3 ! S+1 S P0 + P0 + S+2 P0 + S S ! S+1 S1 S ! S+2 S2 S !
P0
= n-1 =
Condición de estado estable
8
n S ! S (n-s) n P0 n n !
2 1 0 3 2 1
0 = 1 = 2 = 3 = Pero: n = n , si n < S s = S , si n > S
M/M/S
Se obtiene: Pn
Según el balance de entradas y salidas a cada estado del sistema, en flujo estable:
En este caso:
S+2
M/M/S
= Lq +
9
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MODELO
SISTEMA DE COLAS CON CAPACIDAD FINITA
M/M/S
Usando las fórmulas tradicionales, es posible obtener las demás variables de interés Wq
Lq
=
W
=
Wq
+
Con capacidad admisible finita significa que el sistema puede contener como máximo K clientes, por lo tanto se asume que:
1
S - t S - 1 - - t 1- e P (w > t) = e 1+ S- 1S ! 1
n =
0
si n > K
P0
MODELO
Existen dos modelos de colas con capacidad finita: • Modelo M / M / 1 / K : Caso de un solo servidor • Modelo M / M / S / K : Con S servidores en paralelo
MODELO
M/M/1/K
Un solo servidor y capacidad admisible finita
0
1
• • •
2
S = 1 n = n =
.....
0
M/M/1/K
= 1
K+1 ( K+1 ) K+1 1
n
P0
0
Ejemplos de modelos M/M/1/K son un médico que atiende con una consulta particular independiente o el taxi colectivo en hora vespertina
-
Pn
K
MODELO
L
M/M/1/K
- = K+1 1 1
P0
MODELO
; si n
; si n
>K
Se obtiene por suma de progresión geométrica
M/M/1/K
En un modelo de cola con capacidad finita sucede:
n 0
si n si n
K
Por lo tanto, corresponde: 8
donde
W
= n Pn
=
L
Wq
=
Lq
n=0
Como S = 1
Lq = L - ( 1
- P0 )
n=0
Pablo Diez Bennewitz
K-1
K-1
= Pn
con
Pn =
( 1 - Pk )
n=0
10
Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso
MODELO Luego:
M/M/1/K
= ( 1 - Pk )
Finalmente: W
=
0
1
( 1-
2
P0
K
S
S+1
S
El sistema de S servidores en paralelo con capacidad finita no permite más de K clientes, por lo que K es el número máximo de servidores que pueden necesitarse. Suponiendo S < K, hay varios servidores (S) y un límite en la capacidad del sistema (K)
MODELO
....
n n n !
0 K
S
Pn
Ejemplos de modelos M/M/S/K son las secciones de maternidad y urgencia en un hospital o algunos centros integrales de belleza
MODELO
M/M/S/K
Para obtener P0 , se utiliza un método bastante similar al del modelo M / M / S
P0
=
1 S n=0
n
1 n!
+
1 S!
M/M/S/K
Un ejemplo de esto es la sala de emergencia de un hospital: el sistema tendría una capacidad admisible finita, si solo hay K camillas para los pacientes y, si la política del hospital es derivar a los pacientes que llegan hacia otro hospital cuando no hay lugares disponibles
P0 )
S S
3
K
M/M/S/K
.....
2
Pk =
L
MODELO
donde
MODELO
K S n- S n = S+1 S
P0
n n
M/M/S/K
S! S
(n-s) P0
; si
n
; si
S
< n
; si n
MODELO
M/M/S/K
Adaptando la derivación de Lq del modelo M / M / S al caso actual de M / M / S / K se llega a:
s+1 P0 (k-s)- (K-S) (k-s) 1- 1+ Lq = 2 S S S (S-1)! S - S-1
L
= n Pn + n=0
Pablo Diez Bennewitz
>K
0
S-1
Lq
+
S 1
- Pn n=0
11
Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso
MODELO
M/M/S/K
MODELO
Como modelo de cola con capacidad finita, ocurre:
n
0
Luego:
K si n
Por lo tanto, corresponde: 8
donde
W
= n Pn
=
L
Wq
=
Lq
M/M/S/K
= ( 1 - Pk )
Finalmente:
Pk
=
K
P0
L
=
W
donde
( 1-
n=0
K
P0 )
K-1
K-1
= Pn
con
Pn =
( 1 - Pk )
n=0
n=0
SISTEMA DE COLAS CON POBLACION FINITA
SISTEMA DE COLAS CON POBLACIÓN FINITA
La fuente de entrada o población potencial es finita Se define el tamaño límite de la población como N
Este problema tiene múltiples aplicaciones en el flujo de recursos materiales de la cadena logística Una de sus aplicaciones más importante es el problema de reparación de máquinas o mantención de computadores, donde se asigna a uno o más mecánicos la responsabilidad de la mantención de N computadores, dando servicio a cada uno de los que se descomponen.
Cuando el número de clientes en el sistema de colas es n (n = 0, 1, 2, ......, N) existen sólo (N - n) clientes potenciales restantes en la fuente de entrada Población Potencial
n
clientes en el sistema
N (N - n) clientes potenciales afuera
SISTEMA DE COLAS CON POBLACIÓN FINITA
MODELO
M/M/1/N
Un solo servidor y población finita Los computadores constituyen la población potencial Cada uno es un cliente en el sistema de colas cuando está descompuesto en espera de ser reparado, mientras que cuando está en operación normal está afuera del sistema, pues no está en reparación.
0
Cada técnico asistente o cuadrilla de técnicos es un servidor, que trabaja la mantención en una solo computador a la vez.
• •
Pablo Diez Bennewitz
N
(N-1) 1
S = 1
n =
(N-2) 2
(N-3) 3
•
n
(N - n) 0
.....
N
,si n < N ,si n > N
12
Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso
M/M/1/N
MODELO
Para el esquema con N = 5, y usando las ecuaciones de balance de estado estable en cada estado:
Esquema suponiendo población finita N = 5 4
0
3
1
2
2
3
4
5
Otros ejemplos de modelos M/M/1/N son el médico que atiende enfermos de patologías escasas o el alumno AII con sus optativas de final de semestre
MODELO
P1
Estado 0 P2 +
Estado 1
5 P0
= 5 P0 =
....
5
M/M/1/N
4 P1 + P1
.... .... ....
MODELO
P4
Estado 5
P5
=
De acuerdo a una situación general, con un total de N estados (población finita) se obtienen P0 y Pn
M/M/1/N
MODELO
M/M/1/N
En un modelo de cola con población finita sucede: 1
=
P0
n
S-1
=
Pn
N!
N! (N - n) !
n
P0
n
(N - n)
si n
0
si n
(N - n) !
n=0
N
Por lo tanto, corresponde:
Lq
= (n - 1) Pn n=1
Como Lq = L - (1 - P0)
L=N
-
(1 - P0)
donde
8
N
W
= n Pn K-1
= (N - n) Pn
MODELO
M/M/S/N
Varios servidores (S > 1) y población finita (N) Se asume S < N N
0
(N-1)
(N-2)
1
2 2
..... 3
S-1
S
(S-1) S
n
n ,si n S ,si n
2
..... S
N-1
S
S
Pablo Diez Bennewitz
•
n
=
Lq
= ( N- L )
M/M/S/N
N S
nP0 N! nP0 (N - n) ! S ! S (n-s) N! (N - n) ! n !
(N - n) ,si n < N 0
Wq
Con las ecuaciones de balance de estado estable:
Pn
0
• S > 1 •
(N-S+2) (N-S+1) (N-S)
L
n=0
n=0
MODELO
=
,si n > N
; si n
; si S
< n
; si n
>N
Es la misma fórmula del modelo M / M / S / K, solo que ahora se multiplica por la combinatoria del número de clientes (n) sobre la población potencial (N)
13
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MODELO
M/M/S/N
Además: P0
1
=
n=0 S-1
n
N!
(N - n) !
N
Lq
= (n - S) Pn
L
n=S
+
N n=S
n
N!
(N - n) ! S ! S (n-s)
S-1
S-1
n=0
n=0
= n Pn + Lq + S 1 - Pn
Después se pueden obtener W y Wq con las mismas ecuaciones que en el caso de un servidor
Pablo Diez Bennewitz
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