UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Teoría de Colas y Líneas de Espera José Antonio Rivera Colmenero
UNAM Facultad de Ingeniería Posgrado de Ingeniería
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Líneas de Espera TODOS NOS HEMOS VISTO OBLIGADOS A ESPERAR EN UNA FILA Y SABEMOS QUE, CUALQUIERA QUE SEA LA QUE ELIJAMOS, LAS OTRAS PERECEN AVANZAR CON MÁS RAPIDEZ. AQUÍ, LAS PERSONAS SE FORMAN EN LA FILA PARA ENTRAR AL MUSEO DEL LOUVRE EN PARÍS, FRANCIA.
Las líneas de espera son parte de nuestra vida cotidiana. Todos esperamos en la fila para comprar un boleto para el cine, efectuar un depósito bancario, pagar los víveres, enviar un paquete por correo, obtener comida en la cafetería, comenzar un recorrido en un parque de diversiones, etcétera. Nos hemos acostumbrado a cantidades notables de espera, pero aún nos molestamos con las esperas prolongadas. Sin embargo, tener que esperar no es sólo una pequeña molestia personal. La cantidad de tiempo que la población de un país desperdicia esperando en las filas es un factor primordial tanto de la calidad de vida ahí de la eficiencia de la economía del país. Por ejemplo, antes de su disolución, la URRSS era notoria por las largas líneas de espera que sus ciudadanos tenían que tolerar con frecuencia sólo para la adquisición de artículos básicos. Incluso hoy en Estados Unidos, se estima que sus ciudadanos gastan 37’000,000,000 horas anuales esperando en las filas. Si, en cambio, este tiempo pudiera empelarse en forma productiva, ¡equivaldría a 20 millones de años-persona de trabajo útil cada año! Cualquiera que haya tenido que esperar en un semáforo, en las cajas de un centro comercial, al abordar el Metro o esperar a registrar la salida en el trabajo (que hay algunos que se forman media hora antes de la salida frente al reloj checador), ha experimentado lo que es una línea de espera. Quizás uno de los mejores ejemplos de la administración efectiva de las líneas de espera es el de Walt Disney World. Un día lo pueden visitar 25,000 personas, pero otro día pueden ser 90,000 personas. Un análisis cuidadoso del proceso de flujo, de la tecnología para movilizar a la gente (manejo de materiales), transporte del equipo, y capacidad y distribución de las instalaciones hacen que los tiempos de espera para las atracciones sean de un nivel aceptable. El análisis de líneas de espera es de interés para los administradores porque son los que efectúan el diseño, planean la capacidad y distribución, controlan el inventario, y efectúan la programación de las actividades en la empresa donde trabajan. -2-
En el transcurso de su vida una persona invierte su tiempo de la siguiente manera:
SEIS MESES Frente al semáforo OCHO MESES Revisando su correo UN AÑO Buscando objetos perdidos DOS AÑOS Hablando por teléfono CUATRO AÑOS Construyendo su casa CINCO AÑOS En las líneas de espera SEIS AÑOS Comiendo
¿PORQUÉ SE CREAN LAS LÍNEAS DE ESPERA? En una línea de espera uno o más “clientes” esperan por el servicio. Los clientes pueden ser personas u objetos inanimados como las máquinas que requieren de mantenimiento, las órdenes de ventas que esperan a despacharse, o artículos del inventario que esperan para ser utilizados. Las formas de la línea de espera se deben a un desequilibrio temporal entre la demanda por el servicio y la capacidad del sistema para proporcionar el servicio. En la mayoría de los problemas de líneas de espera en la vida real, la tasa de la demanda varía; es decir, los clientes llegan a intervalos imprevisibles. Con frecuencia, la tasa para producir el servicio también varía y depende de las necesidades del cliente. Suponga que los clientes del banco llegan a una tasa media de 15 por hora a lo largo del día y que el banco puede atender un promedio de 20 clientes por hora. ¿Por qué siempre se forma una línea de espera? Las respuestas son porque la tasa de llegada del cliente varía durante el día y el tiempo requerido para atender un cliente también varía. Durante la hora del mediodía, 30 clientes llegan al banco. Algunos de ellos efectúan transacciones complicadas y requieren de tiempos de atención superiores al promedio. La línea de espera puede aumentar a 15 clientes durante este período. Aunque el gerente del banco proporcione más capacidad de la normal, aún así las líneas de espera pueden crecer. Las líneas de espera pueden crecer aun cuando el tiempo para atender a un cliente sea constante. Por ejemplo, en el servicio de transporte Metro se controla el tiempo del recorrido entre estaciones a lo largo de toda la ruta. Cada tren se programa para llegar a una terminal, digamos, cada 1.5 minutos. Incluso con el tiempo de servicio constante, se crean líneas de espera. La personas esperan el próximo tren o no pueden abordar un tren debido a la muchedumbre en un momento del día cuando la demanda es mayor. Por consiguiente, en este caso la variabilidad en la tasa de demanda determina el tamaño de la línea de espera. En general, si no hay variabilidad en la demanda o en las tasas de servicio y se tiene suficiente capacidad en el sistema de servicio, no puede crearse una línea de espera.
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ALGUNOS EJEMPLOS DE SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA Una clase importante de los sistemas de líneas de espera que encontramos en nuestras vidas diarias son los sistemas de servicios comerciales, donde los clientes externos reciben servicios de organizaciones comerciales. a. Servicios comerciales (Tabla 1). TABLA 1
EJEMPLOS DE SISTEMAS DE SERVICIOS COMERCIALES QUE SON SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA Tipo de sistema
Clientes
Servidor (es)
Peluquería
Personas
Peluquero
Servicio de cajero bancario
Personas
Cajero
Cajero automático
Personas
Cajero automático
Caja en tienda
Personas
Cajero
Servicios de plomería
Cañerías tapadas
Plomero
Ventanilla de boletos en un cine
Personas
Cajero
Mostrador de registro en un aeropuerto
Personas
Agente de la línea
Servicio de corretaje
Personas
Corredor de valores
Gasolinera
Autos
Bomba
Centro de atención para ordenar artículos
Personas
Agente telefónico
Centro de atención para soporte técnico
Personas
Representante técnico
Agencia de viajes
Personas
Agente de viajes
Taller de reparación de autos
Propietarios de autos
Mecánico
Máquinas expendedoras
Personas
Máquinas expendedoras
Servicios dentales
Personas
Dentista
Servicios de techado
Techos
Techador.
La mayoría de estos ejemplos involucran a clientes que vienen al servidor en un lugar fijo, donde se forma una línea de espera física si los clientes necesitan esperar para que comience el servicio. Sin embargo, para los ejemplos de servicios de plomería y de servicios de techado, el servidor va a los clientes, de modo que los clientes en la línea de espera están geográficamente dispersos. En varios otros casos, el servicio se proporciona por teléfono, quizá después de algunos clientes están en espera (en la línea). Las organizaciones también tienen sus propios sistemas de servicio internos, donde los clientes que reciben el servicio son internos a la organización. Como lo indican los ejemplos en la Tabla 2, éstos también son sistemas de líneas de espera. En algunos casos, los clientes son empleados de las organizaciones. En otros ejemplos, los clientes son cargas que deben moverse, máquinas a ser reparadas, artículos para inspección, que realizar, etcétera.
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b. Servicio interno (Tabla 2). TABLA 2
EJEMPLOS DE SISTEMAS DE SERVICIOS INTERNOS QUE SON SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA Tipo de sistema
Clientes
Servidor(es)
Servicios secretariales
Empleados
Secretaria
Servicios de copiado
Empleados
Máquina copiadora
Servicios de programación de computadoras
Empleados
Programador
Computadoras grandes
Empleados
Computadora
Centro de primeros auxilios
Empleados
Enfermera
Servicios de fax
Empleados
Máquina de fax
Sistemas de manejo de materiales
Cargas
Unidad de manejo de materiales
Sistema de mantenimiento
Máquinas
Cuadrilla de reparación
Estación de inspección
Artículos
Inspector
Sistema de producción
Trabajos
Máquina
Máquinas semiautomáticas
Máquinas
Operador
Depósito de herramientas
Operadores de máquinas
Empleado
Los sistemas de servicios de transporte constituyen otra categoría importante de sistemas de líneas de espera. La Tabla 3 proporciona algunos ejemplos. En varios de los casos, los vehículos involucrados son los clientes. En otros, cada vehículo es un servidor. Algunos ejemplos trascienden el tipo básico de sistema de líneas de espera. En particular, el servicio de aerolínea y el de elevador involucran a un servidor que sirve a un grupo de clientes en forma simultánea en lugar de uno a la vez. La línea de espera en el ejemplo del estacionamiento tiene capacidad cero porque los autos que llegan (clientes) van a cualquier otro lugar a estacionarse si todos los espacios del estacionamiento están ocupados (todos los servidores están ocupados). c. Servicio de transporte (Tabla 3). TABLA 3
EJEMPLOS DE ESTACIONES DE SERVICIOS DE TRANSPORTE QUE SON SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA Tipo de sistema
Caseta de cobro en autopista Muelle de carga de camiones Área de descarga portuaria Aviones que esperan despegar Aviones que esperan aterrizar Servicio de aerolínea Servicio de taxis Servicio de elevador Bomberos Estacionamiento Servicio de ambulancia
Clientes Autos Camiones Barcos Aviones Aviones Personas Personas Personas Incendios Autos Personas
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Servidor(es) Cajero Cuadrilla de carga Cuadrilla de descarga Pista Pista Avión Taxi Elevador Carro de bomberos Espacios de estacionamiento Ambulancia
Existen muchos ejemplos adicionales de sistemas de líneas de espera importantes que pueden no estar dentro de las categorías mencionadas. Por ejemplo, un sistema judicial es una red de líneas de espera donde los juzgados son los locales de servicio, los jueces (o paneles de jueces) son los servidores y los casos en espera de juicio son los clientes. Varios sistemas de servicios de salud, como las salas de urgencias de los hospitales, también son sistemas de líneas de espera. Por. ejemplo, las máquinas de rayos X y las camas de hospital se pueden ver como servidores en sus propios sistemas de líneas de espera. Las aplicaciones iniciales de la teoría de líneas de espera (gracias a A. K. Erlang en la compañía telefónica de Copenhague) fueron a la ingeniería telefónica, y el área general de las telecomunicaciones continúa siendo un área de aplicación muy importante. Más aún, todos tenemos nuestras propias líneas de espera personales: asignación de tareas, libros que leer, etcétera. Sin duda, los sistemas de líneas de espera prevalecen en muchas áreas de la sociedad. ASPECTOS ECONÓMICOS DEL PROBLEMA DE LA LÍNEA DE ESPERA El problema fundamental en casi todas las líneas de espera tiene que ver con el equilibrio. El administrador debe sopesar el costo adicional de proporcionar un servicio más rápido (más carriles de tránsito, pistas de aterrizaje adicionales, más mostradores de registro de salidas) contra el costo inherente a la espera. Con frecuencia, el costo de esta decisión es directo. Por ejemplo, si encontramos que el tiempo total que pasan nuestros empleados en una fila para poder utilizar una copiadora puede dedicarse a actividades más productivas, compararíamos el costo de instalar una máquina adicional contra el valor del tiempo que se ahorran los empleados. Después de esto la decisión se reduce al costo en pesos, lo cual facilita la elección. Por otra parte, supongamos que nuestro problema de la línea de espera es la demanda de camas en un hospital. No podemos simplemente calcular el costo de las camas adicionales sumando los costos de construcción del edificio, del equipo adicional requerido y del incremento en el mantenimiento, ya que, de hacerlo así, ¿qué pondríamos del otro lado de la balanza? Aquí nos enfrentamos al problema de tratar de asignarle una cifra en pesos a la necesidad del paciente de una cama de hospital que no está disponible. Aun cuando podemos estimar los ingresos perdidos para el hospital, ¿qué hay sobre el humano que sufre por esta falta de atención adecuada en el hospital? EQUILIBRIO DE COSTO-EFECTIVIDAD
La Figura 1 muestra la relación esencial del equilibrio en condiciones típicas (estado estacionario) de tránsito de clientes. Al principio, con una capacidad de servicio mínima, el costo de la línea de espera está en el máximo. A medida que se incrementa la capacidad de servicio hay una reducción en el número de clientes en la línea y en sus tiempos de espera, lo que disminuye el costo de la línea de espera. La variación en esta función suele estar representada por la curva exponencial negativa. El costo de la capacidad de servicio se muestra de una manera sencilla como una función lineal, más que como una función escalonada. El costo agregado o total se muestra como una curva en forma de U, que es una aproximación común en estos problemas de equilibrio. El costo óptimo idealizado se encuentra en el punto donde se cruzan las curvas de la capacidad de servicio y de la fila de espera.
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EQUILIBRIO DE LA CAPACIDAD DEL SERVICIO VERSUS LÍNEA DE
FIGURA 1 ESPERA $
Costo agregado
Mínimo
Costo de la capacidad de servicio
Costo
Costo de la línea de espera Capacidad óptima
Capacidad de la instalación de servicio
SUGERENCIAS PARA ADMINISTRAR LAS LÍNEAS DE ESPERA Estas son algunas sugerencias útiles para administrar las líneas de espera, que van más allá de los modelos cuantitativos de las líneas de espera. 1. Determine un tiempo de espera aceptable para sus clientes. ¿Cuánto tiempo creen sus
clientes que deberán esperar? Establezca objetivos operacionales con base en lo que es aceptable. 2. Trate de desviar la atención de sus clientes cuando esperan. Si se proporciona música,
un video u otra forma de entretenimiento, eso puede ayudar a distraer a los clientes del hecho de que se les hace esperar. 3. Informe a sus clientes qué tiempo deben esperar. Esto es especialmente importante cuando
el tiempo de espera es más largo de lo normal. Infórmeles por qué el tiempo de espera se prolonga más de lo normal y qué es lo que hace usted para aligerar la espera. 4. Mantenga fuera de la vista de sus clientes a los empleados que no los están atendiendo.
Nada es más frustrante para quien espera en una línea que ver a los empleados que potencialmente podrían estar atendiéndolos trabajando en otras actividades. 5. Segmente a los clientes. Si un grupo de clientes necesita algo que puede hacerse con mayor
rapidez, envíe a esos clientes a una línea especial, de manera que no tengan que esperar a causa de los clientes más lentos.
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6. Capacite a sus servidores para que sean cordiales. Saludar al cliente por su nombre, o
bien proporcionarle alguna otra atención especial, puede hacer mucho para vencer los sentimientos negativos de una larga espera. (Sugerencia: en vez de decirles a los servidores simplemente que sean cordiales, los psicólogos sugieren que se les diga cuándo deben recurrir a acciones cordiales específicas, como sonreír cuando saludan a los clientes, cuando toman pedidos y cuando dan cambio [en una tienda]. Las pruebas que se han hecho utilizando esas conductas específicas demostraron incrementos significativos en la percepción del cliente respecto de la actitud amistosa de los servidores.) 7. Anime a los clientes para acudir durante periodos de poca actividad. Informe a los
clientes cuáles son los horarios en los que por lo común no tienen que esperar. También dígales cuáles son los períodos pico; esto puede ayudar a mitigar la carga. 8. Tenga la perspectiva a largo plazo de deshacerse de las líneas de espera. Desarrolle
planes para formas alternativas de atención a sus clientes. Cuando sea apropiado, desarrolle planes para automatizar o acelerar de alguna manera el proceso. Esto no quiere decir que usted deba eliminar la atención personal, pues para algunos clientes ésta es deseable. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA La teoría de líneas de espera se aplica tanto en los servicios como en las empresas manufactureras, relacionan la llegada de clientes y las características del proceso de producción en el sistema de servicio. Se define el término servicio como el acto de trabajar para un cliente. El sistema de servicio podría ser el corte de cabello en una peluquería, la satisfacción de las necesidades del cliente, o el procesamiento en determinada máquina de una pieza ordenada por el cliente . Otros ejemplos de clientes y servicios incluyen las líneas de espera en las taquillas del teatro para comprar boletos, los camiones que esperan a ser descargados en un almacén, las máquinas que esperan a ser reparadas por una cuadrilla de mantenimiento, y los pacientes que esperan en un consultorio a ser examinados por un médico. Sin tomar en cuenta la situación, los problemas de líneas de espera tienen varios elementos en común. ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA El análisis de los problemas de líneas de espera inicia con una descripción de los elementos básicos de la situación. Cada situación específica tendrá características diferentes, pero cuatro elementos son comunes a todas ellas: 1. Un insumo, o población de clientes, que genera clientes potenciales. 2. Una línea de espera de clientes. 3. La instalación de servicio, consistente de una persona (o cuadrilla), una máquina (o grupo de máquinas), o ambas y que son necesarias para realizar el servicio para el cliente. 4. Una regla de prioridad, que selecciona al siguiente cliente que se atenderá en la instalación de servicio. -8-
FIGURA 2
ELEMENTOS BÁSICOS DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA
Población de clientes
Sistema de servicio
Línea de espera
Clientes atendidos Regla de prioridad
Instalación de servicio
La Figura 2 muestra estos elementos básicos. El sistema de servicio describe el número de líneas y la distribución de las instalaciones. Después de realizado el servicio, los clientes atendidos salen del sistema. POBLACIÓN DE CLIENTES
Una población de clientes es la fuente de insumos para el sistema de servicio. Población finita. Si el número potencial de nuevos clientes para el sistema de servicio se ve
reducido considerablemente por el número de clientes que ya están en el sistema, se dice que la fuente de insumos es finita. Una población finita se refiere a un conjunto reducido de clientes que utilizarán el servicio y que, en ocasiones, deben formarse en una fila. La razón por la que es importante clasificarla como finita es que cuando un cliente sale de su posición como miembro de la población (por ejemplo, una máquina se descompone y requiere servicio), el tamaño del grupo de usuarios se reduce en uno, lo que a su vez reduce la probabilidad de que se vuelva a requerir el servicio. A la inversa, cuando se le ofrece el servicio a un cliente y regresa al grupo de usuarios, la población se incrementa al igual que la probabilidad de que un usuario requiera un servicio. Esta clase de problemas finitos requiere una serie de fórmulas distintas de las del caso de la población infinita. Por ejemplo, considere un grupo de seis máquinas a las que un encargado de reparaciones da mantenimiento. Cuando una máquina se descompone, la población fuente se reduce a cinco máquinas y la probabilidad de que una de las cinco restantes se descomponga y necesite una reparación es, en efecto, menor que cuando había seis máquinas operando. Si hay dos máquinas descompuestas y sólo cuatro están operando, la probabilidad de que otra se descomponga cambia de nuevo. A la inversa, cuando una máquina se repara y vuelve a estar en servicio, la población de máquinas se incrementa, aumentando en consecuencia la probabilidad de una descompostura. Población infinita. A la inversa, una población de clientes infinita es aquella en la que el número
de clientes en el sistema no afecta la tasa a la que la población genera nuevos clientes.
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Una población infinita es bastante grande en relación con el sistema de servicio, de manera que el tamaño de la población, que es consecuencia de las restas o sumas a la población (un cliente que necesita un servicio o un cliente que recibió el servicio y regresa a la población), no afecta de manera significativa las probabilidades del sistema. Si en la explicación finita anterior hubiera 100 máquinas en vez de seis, y si una o dos máquinas se descompusieran, las probabilidades de la siguiente descompostura no serían muy diferentes y podría suponerse, sin un error significativo, que la población (para todos los fines prácticos) es infinita. Las fórmulas para los problemas de líneas de espera “infinitas” tampoco causarían un error significativo si se aplican a un médico con mil pacientes o a una tienda departamental con diez mil clientes. Por ejemplo, considere una operación de un pedido por correo en la que la población de clientes consiste de compradores que han recibido un catálogo de productos vendidos por la compañía. Debido a que la población de clientes es tan grande y sólo una pequeña parte de compradores hace un pedido en cualquier momento, la generación de nuevos pedidos no es afectada por el número de pedidos que esperan por el servicio o están siendo procesados por el sistema de servicio. En este caso, se dice que la población de clientes es infinita. Grado de paciencia. Los clientes en las líneas de espera pueden ser pacientes o impacientes, esto
no tiene nada que ver con el lenguaje colorido que usa un cliente mientras espera durante mucho tiempo en línea para ser atendido en un día caluroso. En el contexto de los problemas de líneas de espera, un cliente paciente es aquél que entra en el sistema y permanece allí hasta que es atendido; un cliente impaciente es aquel que decide no entrar en el sistema (se frustra) o abandona el sistema antes de ser atendido (renuncia). Hay dos clases de impacientes. En el primer caso, los clientes llegan, sondean tanto la instalación de servicio como la longitud de la línea de espera, y después deciden irse. En el otro caso, los clientes llegan, estudian la situación, se unen a la línea de espera y luego, después de un tiempo, se van. La conducta del primer tipo se califica como de frustración, mientras que la del segundo tipo se califica como de renuncia. Para los métodos usados en estas notas, hacemos la suposición que todos los clientes son pacientes. FIGURA 3
GRADO DE PACIENCIA DEL CLIENTE
¡No avanza!
Cliente impaciente
¡No avanza!
Cliente paciente
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EL SISTEMA DE SERVICIO
El sistema de servicio queda definido por el número de líneas y los arreglos de las instalaciones. NÚMERO DE LÍNEAS. Las líneas de espera pueden diseñarse para que sean de una sola línea o múltiples líneas. La Figura 4 muestra un ejemplo de cada arreglo. Generalmente, las líneas solas se utilizan en los mostradores de las aerolíneas, dentro de los bancos, y en algunos restaurantes de comida rápida, mientras tanto las líneas múltiples se utilizan en los centros comerciales, en el pago del teléfono sin bajar del coche, en las casetas de las autopistas y en las tiendas de descuento. Cuando están disponibles múltiples servidores y cada uno puede manejar todas las transacciones, el arreglo de una sola línea mantiene a los servidores constantemente ocupados y le da a los clientes un sentido de imparcialidad. Los clientes creen que son atendidos de acuerdo a como fueron llegando, no tienen que adivinar que línea de espera es la que avanzará más rápido. El diseño de múltiples líneas se optimiza cuando algunos de los servidores proporcionan servicios fijos limitados. En este arreglo, los clientes seleccionan los servicios que necesitan y esperan en la línea donde se proporciona ese servicio, como en los centros comerciales de hay líneas especiales para los clientes que pagan en efectivo o compran menos de 10 artículos. FIGURA 4
EJEMPLOS DE ARREGLOS DE LÍNEAS DE ESPERA Instalaciones de servicio Servidor 1
Servidor 2
Servidor 3
Servidor 4
Servidor 5
(a) Una línea Instalaciones de servicio Servidor 1
Servidor 2
Servidor 3
(b) Múltiples líneas
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Servidor 4
Servidor 5
Algunas veces, las filas no están organizadas esmeradamente en “líneas”. La máquinas que necesitan reparación en el piso de producción de una fábrica permanecen ahí hasta que el personal de mantenimiento pasa por ellas. No obstante, podemos pensar que tales máquinas como formar una sola línea o múltiples líneas, dependiendo del número de cuadrillas de reparación y sus especialidades. Igualmente, las personas que telefonean para solicitar un taxi forman una línea aunque ellos esperan en diferentes lugares. ARREGLOS DE LAS INSTALACIONES DE SERVICIO.
Las instalaciones de servicio consisten en el personal y equipo necesario para realizar el servicio requerido por el cliente. La Figura 5 muestra ejemplos de los cinco tipos básicos de arreglos de la instalación de servicio. Gerentes deben seleccionar un arreglo con base en el volumen de clientes y la naturaleza de los servicios realizados. Algunos de los servicios requieren de un solo paso, también llamado una fase, mientras que otros requieren de una secuencia de pasos. En el sistema de un solo canal, una sola fase, los servicios requeridos por un cliente pueden ser realizados por una sola instalación de servicio. Los clientes forman una sola línea y pasan por la instalación de servicio uno a la vez. Los ejemplos son el manejo del automóvil a través del lavado automático, una peluquería atendida por una sola persona y una máquina que puede procesar varios lotes de partes. FIGURA 5
ARREGLOS DE INSTALACIONES DE SERVICIO Instalación de servicio 1
Instalación de servicio
(a) Un solo canal, una sola fase
Instalación de servicio 1 Instalación de servicio 2
Instalación de servicio 1
Instalación de servicio 2
(c) Múltiples canales, una sola fase
(b) Un solo canal, múltiples fases
Instalación de servicio 3
Instalación de servicio 1
Instalación de servicio 4 Instalación de servicio 3
(d) Múltiples canales, múltiples fases
Instalación de servicio 2
Instalación de servicio 2
Ruta para
:1–2–4
Ruta para
:2–4–3
Ruta para
:3–2–1–4
Instalación de servicio 4
(e) Arreglo mixto
El arreglo de un solo canal, múltiples fases se usa cuando los servicios se realizan mejor en serie por más de una instalación, aunque la cantidad de clientes u otras restricciones limitan el diseño de un canal. Los clientes forman una sola línea y se atienden en forma secuencial de una instalación de servicio a la siguiente. Un ejemplo de este arreglo es el servicio en el automóvil en McDonald’s, donde la primera instalación toma la orden, las segunda toma el dinero, y la tercera entrega la comida. - 12 -
El arreglo múltiples canales, una sola fase se usa cuando la demanda es bastante grande para garantizar el ofrecimiento del mismo servicio en más de una instalación o cuando los servicios ofrecidos por las instalaciones son diferentes. Clientes forman una o más líneas, dependiendo del diseño. En el diseño de una sola línea, los clientes son atendidos por el primer servidor disponible como en la sala de espera de un banco. Si cada canal tiene su propia línea de espera, los clientes esperan hasta que el servidor que corresponde a su línea pueda atenderlos, como en una instalación de servicio de un banco que atiende a los clientes en el automóvil. El arreglo de múltiples canales, múltiples fases ocurre cuando los clientes son atendidos por una de las instalaciones de la primera fase pero entonces requieren del servicio de una instalación de la segunda fase, y así sucesivamente. En algunos casos, los clientes no pueden cambiar de canal después de haber empezado el servicio; en otros pueden hacerlo. Un ejemplo de este arreglo es el de una lavandería automática. Las máquinas de lavado son las instalaciones de la primera fase, y las secadoras son las instalaciones de la segunda fase. Algunas de las máquinas de lavado y secado están diseñadas para cargas extra grandes y proporcionan al cliente la opción de cambiar canal. El problema de líneas de espera más complejo involucra a los clientes que tienen una sola secuencia de los servicios requeridos; por consiguiente, el servicio no puede describirse en fases. En dicho caso se usa un arreglo mixto. En el arreglo mixto, las líneas de espera se forman delante de cada instalación, como en un taller, donde cada trabajo personalizado requiere del uso de varias máquinas y asignaciones de ruta diferentes. FIGURA 6
EJEMPLOS DE ARREGLOS DE INSTALACIONES DE SERVICIO
Una sola fase Un solo canal Múltiples canales
Múltiples fases
Una persona “peluquería”
Lavado de autos
Ventanillas de los cajeros en un banco
Ingreso a un hospital
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REGLA DE PRIORIDAD DE ATENCIÓN AL CLIENTE
La regla de prioridad determina qué cliente será atendido después. La mayoría de los sistemas de servicio que usted encuentra usan la primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS, FirstCome, First-Served). El cliente al frente de la línea de espera tiene mayor prioridad, y el cliente que llega en último lugar tiene la prioridad mínima. Sin embargo, otras posibilidades incluyen la selección aleatoria, primero las reservaciones, primero las urgencias, el tiempo de proceso más corto, necesidades más limitadas o incluso último en entrar, primero en ser atendido. Una disciplina con derecho preferente es una regla que permite al cliente de mayor prioridad interrumpir el servicio de otro cliente. Por ejemplo, en una sala de emergencia del hospital, los pacientes con las lesiones graves reciben tratamiento primero, sin importar su orden de llegada. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Las fuentes de la variación en los problemas de líneas de espera se deben a las llegadas aleatorias de los clientes y a las variaciones en los tiempos de servicio. Cada una de estas fuentes se describen con una distribución de probabilidad. DlSTRIBUCIÓN DE LLEGADA
Los clientes llegan en forma aleatoria a las instalaciones de servicio. La variabilidad en la llegada de los clientes se describe con frecuencia por una distribución de Poisson, que especifica la probabilidad que n clientes lleguen en T períodos de tiempo:
(T ) n T para n 0, 1, 2, P(n) e n! donde
P(n) probabilidad de n llegadas en T períodos de tiempo.
número promedio de clientes que llegan por período. e 2.7183 La media de la distribución de Poisson es T , y la varianza también es T . La distribución de Poisson es una distribución discreta; es decir, las probabilidades son para un número específico de llegadas por unidad de tiempo.
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EJEMPLO 1 El gerente está rediseñando el proceso de servicio al cliente en una tienda departamental. Es importante atender a cuatro clientes. Los clientes llegan al mostrador a una tasa de dos clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad que cuatro clientes lleguen en cualquier hora? SOLUCIÓN
En este caso 2 clientes por hora, T 1 hora, y n 4 clientes. La probabilidad que cuatro clientes lleguen en cualquier hora es
(T ) n T 2(1) 2 16 2 P(n) e e e 0.090 n! 4! 14 4
Punto de decisión. El
gerente de servicio al cliente puede usar esta información para determinar los requerimientos de espacio para el mostrador y el área de espera. Hay una probabilidad relativamente pequeña que cuatro clientes lleguen en cualquier hora. Por consiguiente, la capacidad de asientos para dos o tres clientes es más que adecuada a menos que el tiempo para atender a cada cliente sea largo. Otra manera de especificar la distribución de la llegada es hacerlo en términos de los tiempos entre llegadas, es decir, el tiempo entre las llegadas de los clientes. Si la población de clientes genera a clientes según una distribución de Poisson, la distribución exponencial describe la probabilidad que el próximo cliente llegará en los próximos T períodos de tiempo. Como la distribución exponencial también describe los tiempos de servicio, discutimos los detalles de esta distribución en la siguiente sección. DlSTRIBUCIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO
La distribución exponencial describe la probabilidad que el tiempo de servicio del cliente en una instalación particular no sea mayor de T períodos de tiempo. La probabilidad se calcula usando la fórmula. P(t T ) 1 e T donde número promedio de clientes que terminan el servicio por período.
t tiempo de servicio del cliente.
T tiempo de servicio objetivo. La media de la distribución del tiempo de servicio es 1 / , y la varianza es (1 / ) 2 . A medida que aumenta T , la probabilidad que el tiempo de servicio del cliente sea menor de T se aproxima a 1.0. Por su sencillez, veremos un arreglo de un solo canal, una sola fase.
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EJEMPLO 2 El gerente de la tienda departamental del Ejemplo 1, debe determinar si es necesario más entrenamiento para el empleado de servicio al cliente. El empleado de servicio al cliente puede atender un promedio de tres clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad que el empleado atienda a un cliente en menos de 10 minutos? SOLUCIÓN
Debemos tener todos los datos en las mismas unidades de tiempo. Debido a que 3 clientes por hora, convertiremos los minutos de tiempo a horas, o T 10 minutos 10 / 60 hora 0.167 hora. Entonces
P(t T ) 1 e T P(t 0.167 hora) 1 e (3) (0.167) 1 0.61 0.39 Punto de decisión.
La probabilidad que el empleado requiera solo de 10 minutos o menos no es muy alta, esto indica la posibilidad que los clientes tengan que esperar un poco. El gerente debe considerar el entrenamiento adicional del empleado para que éste reduzca el tiempo que toma atender a un cliente. Algunas características de la distribución exponencial no siempre conforman a una situación real. El modelo de la distribución exponencial se basa en el supuesto que cada tiempo de servicio es independiente de aquellos que lo precedieron. En la vida real, sin embargo, puede mejorar la productividad a medida que los servidores humanos aprenden su trabajo. Otra suposición de este modelo que son posibles tiempos de servicio muy pequeños, así como muy grandes. Sin embargo, las situaciones de la vida real requieren con frecuencia tiempos de servicio casi constantes. USO DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA EN EL ANÁLISIS DE OPERACIONES Los gerentes de operaciones usan los modelos de líneas de espera para equilibrar las ganancias que pueden obtenerse si se aumenta la eficiencia del sistema de servicio contra los costos que esto involucra. Además, los gerentes deben considerar los costos por no hacer mejoras en el sistema: las largas líneas de espera o el esperar demasiado tiempo pueden causar que los clientes abandonen o renieguen del servicio. Por consiguiente, los gerentes deben involucrarse en las siguientes operaciones características del sistema. 1. Longitud de la línea. El número de clientes en la línea de espera refleja una de dos condiciones. Las líneas cortas significan que el servicio al cliente es bueno o tiene demasiada capacidad. De manera semejante, las líneas largas indican poca eficiencia del servidor o la necesidad de aumentar la capacidad. 2. Número de clientes en el sistema. El número de clientes en la línea de espera y los que son
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atendidos están relacionados con la eficiencia y capacidad del servicio. Un número grande de clientes en el sistema ocasiona una congestión y puede producir el descontento del cliente, a menos que se agregue más capacidad. 3. Tiempo de espera en la línea. Las líneas largas no siempre significan tiempos largos de espera. Si la tasa de servicio es rápida, una línea larga se atiende eficientemente. Sin embargo, cuando el tiempo de espera parece largo, los clientes perciben una mala calidad del servicio. Los gerentes pueden intentar cambiar la tasa de llegada de los clientes o diseñar el sistema de modo que el tiempo de espera parezca más corto de los que realmente es. Por ejemplo, en Walt Disney World los clientes en línea para una atracción son entretenidos por videos y también son informados acerca del tiempo que les falta por esperar, lo que parece ayudarlos a soportar la espera. 4. Tiempo total en el sistema. El tiempo total de espera en el sistema desde la entrada hasta la salida del mismo nos indicar los problemas con los clientes, la eficiencia del servidor, o la capacidad. Si algunos clientes pasan demasiado tiempo en el sistema de servicio, puede haber la necesidad de cambiar la disciplina de prioridad, aumentar la productividad, o se puede ajustar capacidad de alguna manera. 5. Utilización de la instalación de servicio. La utilización colectiva de las instalaciones refleja el porcentaje de tiempo que están ocupadas. La meta de la administración es mantener una utilización y rentabilidad altas sin afectar de manera adversa las demás características. El mejor método para analizar un problema de líneas de espera es relacionar las cinco características de operación y sus alternativas en unidades monetarias. Sin embargo, es difícil asignar una cifra de una unidad monetaria en ciertas características (como el tiempo de espera de un comprador en una tienda de alimentos). En tales casos, un analista debe ponderar el costo de implementar la alternativa bajo consideración contra una evaluación subjetiva del costo de no hacer el cambio. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA
Hay muchos modelos de líneas de espera posibles. Por ejemplo, si el tiempo que existe entre las llegadas en el modelo básico M/M/1 se le diera una distribución diferente (no la exponencial) tendríamos un modelo diferente. Para facilitar la comunicación entre aquellos que trabajan con modelos de líneas de espera, D. G. Kendall propuso una clasificación o taxonomía con base en la siguiente notación: A/B/s Donde A = distribución de las llegadas. B = distribución del servicio. s = número de servidores Se utilizan diferentes letras para designar ciertas distribuciones. Colocadas en la posición A o B, indican la distribución de llegadas o de servicio, respectivamente. Las reglas convencionales siguientes son de uso general: M = distribución exponencial. - 17 -
D = número determinístico. G = cualquier distribución (general) de tiempos de servicio. GI = cualquier distribución (general) de tiempos de llegada. MEDIDAS DE DESEMPEÑO
Existen varias maneras de juzgar la calidad del servicio en un sistema de procesamiento. Los resultados pueden evaluarse para un período corto una vez que el sistema abre, o por los resultados a largo plazo o de equilibrio. Por lo general, el tiempo en que los trabajos están en espera es importante y puede observarse el tiempo de espera promedio o una medida como la del porcentaje de los trabajos que esperan más, por ejemplo, 10 minutos. Una medida relacionada es el tiempo de rendimiento para un trabajo (tiempo de espera más tiempo de servicio); otra es la longitud de la línea de espera. Éstas son medidas de la calidad del desempeño del sistema, desde el punto de vista del cliente. Otras medidas se relacionan con el costo de operación del sistema, cuyo factor de carga o de utilización de la capacidad mide la capacidad del sistema para manejar la carga que llega. La gerencia tiene la opción de agregar más capacidad. Un sistema de procesamiento dado puede tener cualquier combinación de los elementos descritos hasta ahora. Por consiguiente, existe un número muy grande de posibles sistemas, y ningún modelo matemático puede describirlos todos. En estas notas se tratan algunos modelos simples de amplia aplicación y que dan una perspectiva acerca del comportamiento del sistema de líneas de espera, en general. DEFINICIÓN DE SÍMBOLOS
n = número de clientes en el sistema. = lambda tasa promedio de llegadas (por ejemplo, clientes que llegan por hora) 1 / = tiempo esperado entre llegadas. = mu tasa promedio de servicio para un servidor continuamente ocupado (por ejemplo, capacidad de servicio en clientes por hora). 1 / = tiempo esperado de un servicio. = rho ( / ) utilización promedio del sistema o factor de carga del sistema. N = número máximo de clientes permitidos en el sistema. s = número de servidores. Pn = probabilidad de exactamente n clientes en el sistema. Ls = número promedio de clientes en el sistema. Lq = número promedio de clientes en la línea de espera. Lb = número promedio de clientes en la línea de espera para un sistema ocupado. Ws = tiempo promedio que un cliente espera en el sistema. Wq = tiempo promedio que un cliente permanece en la línea de espera. Wb = tiempo promedio que un cliente permanece en la línea de espera en un sistema ocupado. k = número de clientes. FÓRMULA DE LITTLE
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Indicaremos algunas relaciones útiles entre los valores esperados en estado estable de Ls , Lq , y
Ws y Wq . Como Wq es sólo el tiempo promedio en la línea de espera, mientras que Ws es el tiempo promedio en la línea de espera más el tiempo de espera en el servicio, se ve que Ws y Wq difieren en el tiempo esperado en el servicio, esto es, Ws Wq
1
(Si la tasa media de servicio es , por consiguiente el tiempo promedio de servicio será 1 / ). La fórmula de Little, nombrada así en honor de John D. C. Little del M.I.T., demostró ser válida bajo condiciones muy generales. Es una relación sencilla, pero muy útil, entre las L y las W. Suponga que las tasas de llegada y de servicio son constantes, esto es, que n y que n para todos los valores de n. El resultado básico es
Ls Ws . No presentaremos una demostración formal de este resultado, sino que sólo citaremos la siguiente explicación intuitiva. Suponga que un cliente se une a la línea de espera en estado estable. En el momento que va a terminar el servicio, voltea a ver a los clientes que llegaron después que él. Habrá en promedio Ls clientes en el sistema. La cantidad esperada de tiempo que ha transcurrido desde que se unió a la línea de espera es, por definición, Ws . Como los clientes llegan con una frecuencia constante , durante un tiempo Ws habrán llegado, en promedio, Ws clientes, y de esto resulta Ls Ws . Por ejemplo, si los clientes llegan con una tasa de 2 por minuto, y cada uno pasa un promedio de 5 minutos en el sistema, esta fórmula indica que habrá 10 clientes en promedio en el sistema.
Otra versión de la fórmula de Little es
Lq Wq . En este caso, el argumento es esencialmente igual, excepto que el cliente voltea al momento de entrar en el servicio, y no al terminar de ser atendido.
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MODELO DE UN SOLO SERVIDOR POBLACIÓN INFINITA
M/M/1 (0 < < 1.0).
SISTEMA DE ESPERA Salida cliente
Llegada de un cliente UNIDAD DE SERVICIO Cliente en servicio
Servidor
Clientes en línea de espera
Cliente atendido
El modelo más simple de líneas de espera involucra a un servidor y a una sola línea de clientes. Para especificar un poco más el modelo, se harán las siguientes suposiciones: 1. La población de clientes es infinita y todos los clientes son pacientes. 2. Los clientes llegan conforme a una distribución de Poisson, con una tasa media de llegada igual a . 3. La distribución de servicio es exponencial, con una tasa media de servicio iguala a . 4. Los clientes se atienden sobre una base primero que llega, primero que se atiende (PCFS, first come, first served). 5. La longitud de la línea de espera es ilimitada. MEDIDAS DE DESEMPEÑO DEL MODELO M/M/1, POBLACIÓN INFINITA
Utilización promedio del sistema o factor de carga del sistema
El requisito matemático de que 1 , necesario para garantizar la convergencia de la serie geométrica (1 2 ) conduce a un argumento intuitivo. Fundamentalmente, 1 significa que lo que establece que la tasa de llegadas debe ser estrictamente menor que la tasa de servicio, para que el sistema alcance estabilidad (condiciones de estado estable). Esto tiene sentido porque bajo otras condiciones, el tamaño de la línea de espera crecería indefinidamente. Probabilidad de exactamente n clientes en el sistema
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n
n
Pn P0 P0 1 1 n n
Número promedio de clientes en el sistema de servicio
Ls
(1 ) 1
Numero promedio de clientes en la línea de espera
Lq Ls
2 2 2 1 2 ( ) 1 1 1 1 2 2 2
2 Lq Wq ( ) ( )
( ) 2 Lq Ls ( ) ( ) Número promedio de clientes en la línea de espera para un sistema ocupado
Lb
Tiempo promedio de espera en el sistema, incluye el servicio
Ws
Ls
1 ( )
Tiempo promedio de espera en la línea
Wq Ws
1
Wq Ws
1 1 ( ) ( ) ( )
1 ( )
Tiempo promedio que un cliente permanece en la línea de espera en un sistema ocupado
1 Probabilidad de que no haya clientes en el sistema Wb
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P0 1 (1 ) Probabilidad de que haya n ó más clientes (unidades) en el sistema
P(n k ) 1 ( P0 P1 P2 Pk 1 Pk )
k 1
k 1
Probabilidad de que llegue un cliente (k) y tenga que esperar
P(n k ) k La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda alguna cantidad de tiempo t es:
P(Ws t ) e (1 ) t , para t 0 La probabilidad de que el tiempo de permanencia en la línea de espera exceda a t es:
P(Wq t ) e (1 ) t Relaciones básicas entre estos parámetros
Ley de Little: Ls Ws ; Lq Wq .
Ws Wq 1 / ; Ls Lq / . EJEMPLO 3 Un fotógrafo de la embajada de los Estados Unidos toma las fotografías para los pasaportes a una tasa promedio de 20 por hora. El fotógrafo debe esperar hasta que el cliente deje de parpadear y hacer gestos, así que el tiempo para tomar una fotografía se distribuye exponencialmente. Los clientes llegan a una tasa promedio de acuerdo a una distribución de Poisson de 19 clientes por hora. a. ¿Cuál es la utilización promedio del fotógrafo? b. ¿Cuánto tiempo promedio permanece el cliente en el estudio del fotógrafo? SOLUCIÓN
a. Las suposiciones en el enunciado del problema son consistentes con el modelo de un solo servidor. El factor de utilización del servidor es:
19 0.95 . 20 - 22 -
b. El tiempo promedio que el cliente permanece en el estudio del fotógrafo es
Ws
1 1 1 hora 20 19
EJEMPLO 4 El gerente de una tienda de abarrotes en una comunidad de jubilados de Sunnyville está interesado en proporcionar buen servicio a los ciudadanos de la tercera edad que compran en su tienda. Actualmente, la tienda tiene una caja de cobro exclusiva para los ciudadanos de la tercera edad. En promedio, 30 ciudadanos de la tercera edad llegan por hora a la caja, de acuerdo a una distribución de Poisson, y se atienden a una tasa promedio de 35 clientes por hora, con tiempos de servicio exponencial. Determine las siguientes características de operación: a. Probabilidad que no haya clientes en el sistema, o bien, la probabilidad de tener a todos los servidores desocupados. b. Utilización promedio de la cajera. c. Número promedio de clientes en el sistema. d. Número promedio de clientes en la línea. e. Tiempo promedio de espera en el sistema. f. Tiempo promedio de espera en la línea. SOLUCIÓN
30 a. P0 1 1 0.1429 . 35 b.
30 0.8751. 35
c. Ls
30 6. 35 30
30 d. Lq L L (6) 5.1429 35 e. Ws
Ls
6 0.2 30
30 f. Wq Ws Ws (0.2) 0.1714 35 El tiempo promedio de espera en el sistema (Ws) y el tiempo promedio de espera en la línea (Wq) se expresan en horas. Para convertir los resultados a minutos, simplemente multiplique por 60 minutos/hora. Por ejemplo, Ws 0.20(60) 12 minutos, y Wq 0.1714 (60) 10.28 minutos.
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SOLUCIÓN CON WinQSB
Para resolver este problema se selecciona el programa Queuing Analysis después de hacerlo se ingresan los datos que se muestran en las siguientes figuras.
FIGURA 7. Especificaciones del problema
FIGURA 8. Entrada de datos del problema
Para resolver el modelo se selecciona del menú la opción Solve and Analyze/Solve the Performance y con ello se obtienen las medidas de desempeño que se muestran en la Figura 9.
FIGURA 9. Medidas de desempeño
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EJEMPLO 5 El gerente de la tienda de abarrotes del Ejemplo 4 quiere respuestas para las siguientes preguntas: a. ¿Qué tasa de servicio se requiere para que los clientes esperen en promedio ocho minutos en el sistema? b. Para esta tasa de servicio, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema? c. ¿Qué tasa de servicio se requiere para tener sólo un 10% de probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema? SOLUCIÓN
a. Usaremos la ecuación del tiempo promedio de espera en el sistema y resolvemos para .
Ws 8 minutos
( 30)(8) 60 ;
1
8 1 hora 60 30
60 240 300 37.5 clientes/h ora 8 8
b. La probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema es igual a 1 menos la probabilidad de que haya cuatro o menos clientes en el sistema. 4
4
4
P 1 Pn 1 (1 ) n 1 (1 ) n 1 (1 )(1 2 3 4 ) n 0
n 0
n 0
1 (1 ) (1 2 3 4 ) 2
3
4
11 2 3 4 2 3 4 5 5 La probabilidad de que haya n o más clientes en el sistema es
P(n k ) 1 ( P0 P1 P2 Pk 1 Pk )
k 1
k 1
Entonces, si k = 4:
P(n k )
k 1
30 37.5
41
(0.8) 5 0.328
Por lo tanto, existe aproximadamente un 33% de probabilidad que más de cuatro clientes estén esperando en el sistema.
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c. Usamos la misma lógica que en la parte (b), excepto que es ahora una variable de decisión. El camino más fácil para proceder es utilizando
P
k 1
, de donde;
P
1 /( k 1)
si P = 0.10, 30 clientes por hora, k 4 , la tasa media de servicio debe ser
30 30 47.5468 clientes/hora. 1 /( 41) (0.10) (0.10)1 / 5
Punto de decisión.
La tasa de servicio debe tener un aumento modesto para alcanzar los ocho minutos objetivo. Sin embargo, la probabilidad de tener más de cuatro clientes en el sistema es demasiado alta. El gerente debe encontrar la forma de aumentar la tasa de servicio de 35 por hora a aproximadamente 48 por hora. El gerente puede incrementar la tasa de servicio por varias formas: contratando estudiantes de secundaria para que lo ayuden a poner en bolsas los alimentos, o bien, instalando un equipo electrónico que lea el código de barras de los precios de cada artículo, entre otros. SOLUCIÓN CON WinQSB
a. En el Ejemplo 4, para una tasa promedio de servicio 35 clientes por hora, se obtuvo un Tiempo promedio de espera en el sistema de 0.2 horas = (0.2) (60 minutos) = 12 minutos. Y se quiere disminuir esta tasa a 8 minutos. Para ello, usamos el programa Queuing Analysis de WinQSB para contestar esta pregunta. Aumentamos gradualmente hasta encontrar un valor que corresponda a Ws 8 / 60 0.1333 hora. Después de probar con varios valores encontramos que 37.5 clientes por hora.
FIGURA 10. Especificaciones del problema
FIGURA 11. Entrada de datos del problema
Para resolver el modelo se selecciona del menú la opción Solve and Analyze/Solve the Performance para obtener las medidas de desempeño de la Figura 12.
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FIGURA 12. Medidas de desempeño
b. La probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema es igual a 1 menos la probabilidad de que haya cuatro o menos clientes en el sistema. Con la opción del menú Results/Probability Summary (vea la Figura 13), se muestra el resumen de probabilidades del sistema de la Figura 14.
FIGURA 13. Menú para ver el resumen de probabilidades del sistema
FIGURA 14. Resumen de probabilidades del sistema
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Probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema = 1 – 0.6723 = 0.328, aproximadamente 33%. c. Aquí debemos probar con varios valores de hasta encontrar una probabilidad acumulada de 90% para n = 4 (Figura 16). Después de probar con varios valores se obtiene una 47.5458 .
FIGURA 15. Valor de para P (acumulada) = 0.90 y n = 4.
FIGURA 16. Resumen de probabilidades del sistema
EJEMPLO 6 Western National Bank estudia la posibilidad de instalar una ventanilla de autobanca para atender a sus clientes. La administración estima que los clientes llegarán a una tasa de 15 por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender a los clientes a una tasa de uno cada tres minutos. Parte 1. Suponiendo llegadas Poisson y servicio exponencial, determine:
1. La utilización del cajero. 2. El número promedio de clientes en la línea de espera. 3. El número promedio de clientes en el sistema. - 28 -
4. El tiempo promedio de espera en la línea. 5. El tiempo promedio de espera en el sistema, incluido el servicio. Parte 2. Debido a la limitada disponibilidad de espacio y al deseo de proporcionar un nivel
aceptable de servicio, al administrador del banco le gustaría estar seguro, con una confianza del 95%, de que no haya más de tres automóviles en el sistema en cualquier momento. ¿Cuál es el nivel de servicio actual para el límite de tres automóviles? ¿Qué nivel de utilización del cajero debe alcanzarse y cuál debe ser la tasa de servicio que ofrece el cajero para asegurar el nivel de servicio del 95%? SOLUCIÓN Parte 1
Observe que 15 clientes por hora y 60 / 3 20 clientes por hora. De donde: 1. La utilización promedio del cajero es:
15 75 por ciento. 20
2. El número promedio de clientes en la línea de espera es:
Lq
2 (15) 2 2.25 clientes ( ) 20(20 15)
3. El número promedio de clientes en el sistema:
Ls
15 3 clientes 20 15
4. El tiempo promedio de espera en la línea es:
Wq
Lq
2.25 0.15 de hora, ó 9 minutos. 15
5. El tiempo promedio de espera en el sistema, incluido el servicio es:
Ws Parte 2
Ls
3 0.2 de hora, ó 12 minutos. 15
El nivel de servicio actual para el límite de tres automóviles o menos es la probabilidad de que haya 0, 1,2 ó 3 vehículos en el sistema. Aplicando
Pn 1 - 29 -
n
Valor de n
Formulación
Resultado
0
0
15 P0 1 1 1 20
1
15 15 P1 1 1 20 20
2
15 15 P2 1 1 20 20
3
15 15 P3 1 1 20 20
0.2500
1
2
3
0.1875 2
0.1406
3
0.1055
Suma:
0.6836 ó 68.36%
La probabilidad de tener más de tres automóviles en el sistema es 1 menos la probabilidad de tener tres o menos automóviles es 1.0 – 0.6836 = 31.64%. También se puede usar la fórmula:
Probabilidad de más de n automóviles en el sistema =
k 1
15 Probabilidad de más de 3 automóviles en el sistema = 20
. Si k = 3, entonces 31
4
3 0.3164 31.64% 4
Para un nivel de servicio del 95% con tres automóviles o menos, esto establece que: P0 P1 P2 P3 0.95 %: 0
P95%
1
2
1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 2 3 4 1 1
4
- 30 -
3
Generalizando para un nivel de servicio del 95% con tres automóviles o menos,
P95%
1
k 1
,
despejando se obtiene la tasa de servicio requerida para alcanzar este nivel de servicio del 95%:
(1 P95% )
1 /( n 1)
15 15 15 32 por hora. 1 /( 31) 1/ 4 0.47 (1 0.95) (0.05)
Es decir, el cajero debe atender a aproximadamente 32 personas por hora (un incremento del 60% en comparación con la capacidad original de 20 por hora) con el fin de tener una seguridad del 95% de que no haya más de tres automóviles en el sistema. Es posible que el servicio se pueda acelerar al modificar el método de servicio, agregar otro cajero o limitar el tipo de transacciones que se pueden realizar en la ventanilla de autobanca. Por consiguiente, con la utilización / 15 / 32 47%, la probabilidad de que haya tres automóviles o menos en el sistema es de 95%. Observe que con la condición de un 95% de seguridad de que haya tres o menos automóviles en el sistema, el cajero estará desocupado el 53% del tiempo. SOLUCIÓN CON WinQSB Parte 1
FIGURA 17. Especificaciones del problema
FIGURA 18. Entrada de datos del problema
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FIGURA 19. Medidas de desempeño
Parte 2
Para obtener la tasa de servicio requerida para alcanzar este nivel de servicio del 95% con tres automóviles o menos se prueba con diferentes valores de hasta que la probabilidad acumulada para n = 3 es de 95%.
FIGURA 20. Entrada de datos del problema
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FIGURA 21. Resumen de probabilidades del sistema
FIGURA 22. Medidas de desempeño
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EJEMPLO 7 Quick Lube Inc. es un taller de cambio rápido de lubricantes y aceite. En un día típico, los clientes llegan a una tasa de tres por hora y los trabajos de lubricación se realizan a una tasa promedio de uno cada 15 minutos. Los mecánicos trabajan en equipo en un automóvil a la vez. Suponiendo llegadas Poisson y un servicio exponencial, determine: a. b. c. d.
La utilización del equipo de lubricación. El número promedio de automóviles en la línea. El tiempo promedio que espera un automóvil antes de ser lubricado. El tiempo total que se requiere para pasar por todo el sistema (es decir, la espera en fila más el tiempo de lubricación).
SOLUCIÓN
Tasa promedio de llegada 3 por hora, tasa promedio de servicio, 15 minutos = 4 por hora. a. Utilización: b. Lq c. Wq
3 75%. 4
2 32 9 2.25 automóviles en la línea. ( ) 4(4 3) 4 Lq
2.25 0.75 de hora, o 45 minutos. 3
3 Ls 4 3 1 hora (espera + lubricación). d. Ws 3
EJEMPLO 8 American Vending Inc. (AVI) proporciona máquinas expendedoras de alimentos a las grandes universidades. Como los estudiantes acostumbran patear las máquinas por cólera y frustración, la gerencia tiene que afrontar un problema constante de reparaciones. Las máquinas se descomponen a un promedio de tres máquinas por hora y las descomposturas se distribuyen en forma de Poisson. El tiempo muerto de las máquinas cuesta a la compañía 25 dólares/hora por máquina y cada trabajador de mantenimiento gana 4 dólares por hora. Un trabajador puede reparar las máquinas con una velocidad promedio de cinco por hora, distribuidas exponencialmente; dos empleados que trabajen juntos pueden reparar siete por hora, distribuidas exponencialmente; y un equipo de tres trabajadores puede reparar ocho por hora, distribuidas exponencialmente. ¿Cuál es el tamaño óptimo del equipo de mantenimiento para reparar las máquinas? SOLUCIÓN
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Caso I: Un empleado:
3/hora Poisson , 5/hora exponencial En el sistema hay un número promedio de máquinas de:
Ls
3 3 1.5 máquinas. 53 2
El costo del tiempo muerto es 25 dólares 1.5 = 37.50 UM por hora, el costo de la reparación es de 4 dólares por hora, y el costo total por hora por un empleado es de 37.50 + 4 = 41.50 dólares. Tiempo muerto (1.5 25 dólares) = 37.50 dólares Mano de obra (1 empleado 4 dólares) = 4.00 dólares Total = 41.50 dólares Caso II: Dos empleados:
3/hora Poisson , 7/hora exponencial En el sistema hay un número promedio de máquinas de:
Ls
3 3 0.75 máquina. 73 4
Tiempo muerto (0.75 25 dólares) = 18.75 dólares Mano de obra (2 empleados 4 dólares) = 8.00 dólares Total = 26.75 UM Caso III: Tres empleados:
3/hora Poisson , 8/hora exponencial En el sistema hay un número promedio de máquinas de:
Ls
3 3 0.60 máquina. 83 5
Tiempo muerto (0.60 25 dólares) = 15.75 dólares Mano de obra (3 empleados 4 dólares) = 12.00 dólares Total = 27.00 dólares Si comparamos los costos con uno, dos o tres trabajadores, vemos que el Caso II con dos trabajadores es la decisión óptima.
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EJEMPLO 9 Los estudiantes llegan a la oficina de servicios administrativos de su escuela en un promedio de uno cada 15 minutos, mientras que el procesamiento de sus solicitudes lleva 10 minutos en promedio. El mostrador de servicio sólo tiene una empleada, Judy Gumshoes, que trabaja ocho horas al día. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales para contestar las siguientes preguntas: a. ¿Qué porcentaje del tiempo está inactiva Judy? b. ¿Cuál es el promedio del tiempo que espera un estudiante en la línea? c. ¿Cuál es el promedio de la longitud de la línea de espera? d. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que llega a la oficina de servicios administrativos (justo antes de entrar) encuentre por lo menos a un estudiante esperando en la línea? SOLUCIÓN
Si la tasa media de llegadas 15 minutos 4 por hora y la tasa media de servicio 10 minutos 6 por hora, entonces a. 1 1
4 1 0.3333 ó 33.33% 6
b. Wq
4 4 1 / 3 de hora ó (1/3)(60) = 20 minutos. ( ) 6(6 4) 6(2)
c. Lq
2 42 16 1.33 estudiantes. ( ) 6(6 4) 12
d. Por lo menos a un estudiante esperando en la línea es igual que tener dos estudiantes en el sistema (uno esperando en la línea y otro en servicio). Esta probabilidad es 1 (P0 P1 )
Pn 1
n
Entonces
0 1 1 ( P0 P1 ) 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 De manera general, si k = 1, se tiene:
Probabilidad de por lo menos un estudiante en la línea es
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k 1
11
4 6
0.4444
EJEMPLO 10 Sharp Discounts Wholesale Club tiene dos escritorios de servicio, uno en cada entrada de su establecimiento. Los clientes llegan a cada escritorio de servicio en un promedio de uno cada seis minutos. La rapidez del servicio en cada escritorio es de cuatro minutos por cliente. a. b. c. d. e.
¿Con qué frecuencia (qué porcentaje del tiempo) está inactivo cada escritorio de servicio? ¿Cuál es la probabilidad de que los dos empleados de servicio estén ocupados? ¿Cuál es la probabilidad de que los dos empleados de servicio estén desocupados? ¿Cuántos clientes, en promedio, esperan en la fila frente a cada escritorio de servicio? ¿Cuánto tiempo pasa un cliente en el escritorio de servicio (la espera más el tiempo del servicio)?
SOLUCIÓN
10 /hora , 15/hora a. 1 1
10 1 1 0.3333 ó 33.33% 15 3
b. P(ambos cajeros estén ocupados) = P(un cajero ocupado) P(un cajero ocupado) 2
10 0.4444 ó 44.44%. 15 2
c. P(ambos cajeros estén desocupados) = P(un cajero desocupado) P(un cajero desocupado) 2
2
1 10 1 (1 )(1 ) (1 ) 1 0.1111 ó 11.11% 9 15 3 2
2 10 2 100 d. Lq 1.33 clientes. ( ) 15(15 10) 75 e. Ws
1 1 1 0.2 hora ó 12 minutos. 15 10 5
EJEMPLO 11 El Bijou Theater en Hermosa Beach, California, exhibe películas clásicas. La tasa de llegadas de los clientes a la fila del cine es de 100 por hora. El vendedor de boletos tarda un promedio de 30 segundos en atender a cada cliente, lo que incluye sellar los boletos del estacionamiento y perforar las tarjetas de cliente frecuente. (Debido a estos servicios adicionales, muchos clientes no pueden entrar sino hasta después de que empezó la película.) - 37 -
a. ¿Cuál es el tiempo de espera promedio del cliente en el sistema? b. ¿Cuál sería el efecto, sobre la fila de espera, de tener a un segundo empleado que no haga nada más que sellar los boletos de estacionamiento de los clientes y perforar las tarjetas, reduciendo así el tiempo promedio del servicio a 20 segundos? SOLUCIÓN
100 por hora, a. Ws
3,600 seg/hora 120 por hora. 30 seg
1 1 1 0.05 hora ó 3 minutos. 120 100 20
Ahora 100 por hora,
b. Ws
3,600 seg/hora 180 por hora. 20 seg
1 1 1 0.0125 horas ó 0.75 minutos ó 45 segundos.. 180 100 80
EJEMPLO 12 La fila de servicio de una cafetería tiene una cafetera de la que se sirven los clientes. Las llegadas a la cafetera siguen una distribución de Poisson a una tasa de tres por minuto. Los clientes tardan en servirse el café alrededor de 15 segundos, distribuidos exponencialmente. a. b. c. d.
¿Cuántos clientes estima usted que verá, en promedio, frente a la cafetera? ¿Cuánto tiempo cree usted que se necesite para obtener una taza de café? ¿Qué porcentaje del tiempo es usada la cafetera? ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres o más personas en la cafetería?
SOLUCIÓN
3 por minuto, 4 por minuto. a. Ls
b. Ws
Ls
3 3 clientes. 43
3 1 minuto. 3
- 38 -
c.
3 0.75 ó 75%. 4
d. La probabilidad de que haya tres ó más personas es igual a 1 – probabilidad de 0, 1, 2. Esta probabilidad es 1 ( P0 P1 P2 )
Pn 1
n
Entonces
0 1 2 1 ( P0 P1 P2 ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 3 1 1 3 3 3 3 3 1 1 1 1 0.4219 4 De manera general, si k = 2, la probabilidad de 3 ó más personas es igual a:
k 1
3 4
21
0.4219
EJEMPLO 13 L. Winston Martin (un alergólogo de Tucson) tiene un sistema excelente para manejar a sus pacientes regulares que llegan sólo por inyecciones para las alergias. Los pacientes llenan una hoja con su nombre, que después es introducida en una ranura que pasa hasta otra habitación en donde hay una o dos enfermeras. Se preparan las inyecciones específicas para cada paciente y después son llamados por turnos a través de un sistema de altavoces para que entren a la habitación y los inyecten. En ciertos momentos del día baja la carga de pacientes y sólo se necesita una enfermera. Enfoquémonos en el caso más sencillo, es decir, cuando sólo hay una enfermera. Además, suponga que los pacientes llegan en una forma de Poisson y que la rapidez del servicio de la enfermera está distribuida exponencialmente. Durante este período más lento, los pacientes acuden con un tiempo entre llegadas de aproximadamente tres minutos. La enfermera necesita un promedio de dos minutos para preparar el suero de los pacientes y administrar la inyección. a. ¿Cuál es el número promedio de pacientes que usted esperaría ver en las instalaciones del
- 39 -
doctor Martin? b. ¿Cuánto tiempo le tomaría a un paciente llegar, recibir la inyección y salir? c. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres o más pacientes en las instalaciones? d. ¿Cuál es la utilización de la enfermera? SOLUCIÓN
20 por hora, 30 por hora. a.
Ls
b.
Ws
Ls
20 2 pacientes en el sistema. 30 20
2 0.10 horas ó 6 minutos 20
c. Probabilidad de tres o más pacientes es igual a 1 – probabilidad de 0, 1, 2. Si k = 2,
Probabilidad de tres o más pacientes es igual a
k 1
20 30
21
0.2963 ó 29.63%
EJEMPLO 14 Judy Gray Income Tax Service debe analizar sus operaciones de servicio al cliente durante el mes anterior a la fecha límite – el mes de abril – para la presentación de las declaraciones de impuestos. Con base en datos pasados, se ha estimado que los clientes llegan conforme a un proceso de Poisson, con un tiempo promedio de 12 minutos entre llegadas. El tiempo para que un cliente termine una declaración de impuestos está distribuido exponencialmente, con una media de 10 minutos. Use esta información y conteste las siguientes preguntas: a. ¿Si usted acudiera a Judy, ¿cuánto tiempo destinaría para que le hagan su devolución? b. En promedio, ¿cuántas personas deberá haber en el área de espera? c. Si Judy estuviera en la oficina 12 horas al día, ¿cuántas horas al día, en promedio, estaría ocupada? d. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté vacío? e. Si la tasa de llegadas no cambiara, pero el tiempo promedio en el sistema fuera de 45 minutos o menos, ¿qué sería necesario cambiar? SOLUCIÓN
5 por hora, 6 por hora a. Ws
1 1 1 65
- 40 -
b. Lq
2 52 25 4.17 personas en promedio. ( ) 6(6 5) 6
c. Estaría ocupada
5 0.833 ó 83.3% del tiempo, por 12 horas al día 0.833(12) = 10 6
horas. 0
5 5 1 d. P0 1 1 0.167 ó 16.7% 6 6 6 0
e. 5 por hora, Ws 45 minutos 0.75 hora
Ls Ws (5)(0.75) 3.75 Ls
3.75
5 5 5 6.33 , por lo tanto, la tasa de servicio debe ser de 5 3.75
por lo menos 6.33 clientes por hora. EJEMPLO 15 El peluquero Benny es propietario de una peluquería con un solo sillón. En la escuela de peluqueros le dijeron que sus clientes llegarían conforme a una distribución de Poisson y que él proporcionaría un servicio de distribución exponencial. Los datos de su encuesta de mercado muestran que los clientes llegan a una tasa de dos por hora y Benny necesita un promedio de 20 minutos para hacer un corte de cabello. Con base en estas cifras, encuentre lo siguiente: a. b. c. d.
El número promedio de clientes que esperan. El tiempo promedio que espera un cliente. El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquería. La utilización promedio del tiempo de Benny.
SOLUCIÓN
Observe que 2 clientes por hora y 60 / 20 3 clientes por hora. a. Lq
2 22 4 1.333 clientes esperando. ( ) 3(3 2) 3
4 Lq 2 3 0.667 horas ó 40 minutos b. Wq 2 3
- 41 -
c. Ls
L 2 2 2 , Ws s 1 hora 2 3 2
o bien, directamente Ws
1 1 1 hora 3 2
2 0.67 67% del tiempo está ocupado Benny. 3
d.
EJEMPLO 16 Los clientes entran al departamento de fotografía de una tienda en un promedio de seis por hora. El personal del departamento consta de un solo empleado, a quien le toma un promedio de seis minutos atender cada llegada. Suponga que hay una situación de llegadas Poisson simple y tiempos de servicio distribuidos exponencialmente. a. Como un observador casual, ¿cuántas personas esperaría usted ver en el departamento de fotografía (excluyendo al empleado)? ¿Cuánto tiempo permanecería un cliente en el departamento de fotografía (tiempo total)? b. ¿Cuál es la utilización del empleado? c. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en el departamento de fotografía (excluyendo al empleado)? SOLUCIÓN
Observe que 6 clientes por hora y 60 / 6 10 clientes por hora. a. Ls
Ws
b.
Ls
6 3 1.5 personas 10 6 2
3/ 2 1 0.25 horas ó 15 minutos 6 4
6 0.60 ó 60% 10
c. Probabilidad de que haya más de dos personas es igual a 1 – probabilidad de 0, 1, 2.Aplicando
Pn 1
- 42 -
n
Valor de n
Formulación
Resultado
0
0
6 P0 1 1 1 10
1
6 6 P1 1 1 10 10
2
6 6 P2 1 1 10 10
0.4000
1
2
0.2400 2
0.1440
Suma:
0.7840 ó 78.40%
La probabilidad de tener más de dos personas en el departamento de fotografía es 1 menos la probabilidad de tener dos o menos personas 1.0 – 0.7840 = 21.60%. También se puede usar la fórmula:
Probabilidad de más de n personas en el departamento de fotografía =
6 Probabilidad de más de 2 personas = 10
21
k 1
. Si k = 2, entonces
3
3 0.216 ó 21.60% 5
EJEMPLO 17 Cathy Livingston, que trabaja como cantinera en el Tucson Raquet Club, puede servir bebidas con una rapidez de una cada 50 segundos. Hace poco tiempo, en una noche calurosa, el bar estaba atestado como nunca y cada 55 segundos alguien se acercaba al bar a pedir una bebida. a. Suponiendo que todos en el bar beben con la misma rapidez y que Cathy les sirvió a todos con la regla de atender primero al que llega primero, ¿cuánto tiempo calcula usted que tendrá que esperar por una bebida? b. ¿Cuántas personas estima usted que estarán esperando por sus bebidas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres personas o más esperando por sus bebidas? d. ¿Cuál es la utilización de la cantinera (qué tan ocupada está)? SOLUCIÓN
Observe que 60 / 55 clientes por minuto y 60 / 50 clientes por minuto. a. Ws b. Ls
1 1 9.167 minutos. 60 / 50 60 / 55
60 / 55 10 personas. 60 / 50 60 / 55
- 43 -
c. La probabilidad de 3 o más personas es igual a 1 – probabilidad de 0, 1, 2. Con k = 2:
d.
k 1
60 / 55 60 / 50
21
3
50 0.7513 55
60 / 55 10 0.9091 ó 90.91% 60 / 50 11
EJEMPLO 18 Una oficina cuenta con varios empleados que redactan documentos y un operador que los captura en un procesador de palabras. El grupo redacta documentos con una rapidez de 25 por hora, mientras que el operador puede capturarlos con un tiempo promedio de dos minutos distribuidos exponencialmente. Suponga que la población es infinita, que las llegadas son de Poisson y que la longitud de la línea de espera es infinita, con una forma de servicio primero que llega primero que se atiende. a. b. c. d. e.
Calcule el porcentaje de utilización del operador. Calcule el número promedio de documentos en el sistema. Calcule el tiempo promedio de permanencia de los documentos en el sistema. Calcule la probabilidad de que haya cuatro documentos o más en el sistema. Si se añadiera otro empleado, la tasa de redacción de documentos se incrementaría a 30 por hora. ¿Cómo afectaría eso la carga de trabajo del operador del procesador de palabras? Explique por qué.
SOLUCIÓN
Observe que 25 documentos redactados por hora y 60 / 2 30 documentos capturados por hora. a.
25 0.833 ó 83.3% 30
b. Ls c. Ws
Ls
25 5 documentos en el sistema. 30 25
5 0.20 horas ó 12 minutos. 25
d. La probabilidad de 4 ó más es igual a 1 – probabilidad de 0, 1, 2, 3. Esto es, si k = 3:
1 ( P0 P1 P2 P3 )
k 1
25 30
- 44 -
31
4
5 0.4822 ó 48.22% 6
e. Lq
2 30 30 , el número de documentos en la línea de espera sería ( ) 30(30 30) 0
enorme.
30 1 , el operador de captura siempre estaría ocupado. 30
EJEMPLO 19 Se ha instalado un escritorio de apoyo académico cuyo personal se compone de un estudiante graduado, que ayuda a resolver los problemas y responde las preguntas de los estudiantes del curso de Técnicas Cuantitativas. El empleado del escritorio trabaja ocho horas al día. El decano quiere saber cómo está funcionando la instalación. Las estadísticas muestran que los estudiantes llegan a una tasa de cuatro por hora y la distribución es aproximadamente de Poisson. El tiempo de ayuda es en promedio de 10 minutos, distribuidos exponencialmente. Suponga que la población y la longitud de la fila pueden ser infinitas y que al servicio es primero que llega, primero que se atiende. a. b. c. d.
Determine la utilización promedio del estudiante graduado. Determine el número promedio de estudiantes en el sistema. Determine el tiempo promedio que permanecen los estudiantes en el sistema. Determine la probabilidad de que haya cuatro o más estudiantes en la fila o recibiendo el servicio. e. Antes de un examen, la llegada de estudiantes aumenta a seis por hora en promedio. ¿Cómo afecta esto la longitud promedio de la línea de espera? SOLUCIÓN
Observe que 4 estudiantes llegan por hora y 60 / 10 6 estudiantes atendidos por hora. a. b. Ls c. Ws
4 0.667 ó 66.7% 6
Ls
4 2 estudiantes en el sistema. 64
2 0.5 horas ó 30 minutos. 4
d. La probabilidad de 4 ó más es igual a 1 – probabilidad de 0, 1, 2, 3. Esto es, si n = 3:
1 ( P0 P1 P2 P3 )
n 1
4 6
2 62 36 e. Lq ( ) 6(6 6) 0
- 45 -
31
4
2 0.1975 ó 19.75%. 3
EJEMPLO 20 En una aduana en la frontera con California, los automóviles llegan a una tasa de 10 por minuto y con una distribución de Poisson. Para simplificar este problema, suponga que sólo hay un carril y un inspector que puede hacer la revisión de los vehículos con una rapidez de 12 por minuto en una forma de distribución exponencial. a. b. c. d.
¿Cuál es la longitud promedio de la línea de espera? ¿Cuál es el tiempo promedio que debe esperar un vehículo para pasar por la aduana? ¿Cuál es la utilización del inspector? ¿Cuál es la probabilidad de que al llegar haya tres vehículos o más delante de usted?
SOLUCIÓN
Observe que 10 automóviles llegan por minuto y 12 vehículos revisados por minuto.
2 10 2 100 a. Lq 4.17 vehículos. ( ) 12(12 10) 24 b. Ws c.
1 1 1 0.5 minuto = 30 segundos. 12 10 2
10 0.833 ó 83.3% 12
d. Probabilidad de 3 ó más vehículos es igual a 1 – probabilidad de 0, 1, 2. Si k = 2:
P(n k 1) 1 ( P0 P1 P2 )
k 1
10 12
21
3
5 0.5787 ó 57.87% 6
EJEMPLO 21 Durante el festival de la primavera en el campus de la universidad, los carros que chocan son una de las mayores atracciones para quienes buscan divertirse, pero los administradores del juego tienen un problema de coches que se descomponen y necesitan reparación. Se puede contratar al personal de reparaciones a un costo de 20 dólares por hora, pero sólo trabajan como equipo. Es decir, si se contrata a una persona, ésta trabajará sola, pero si se contratan dos o tres personas trabajarán juntas en la misma reparación. Un reparador puede arreglar los autos descompuestos en un tiempo promedio de 30 minutos. Dos reparadores necesitan 20 minutos y tres necesitan 15 minutos. Mientras esos autos están dañados, el ingreso perdido es de 40 dólares por hora. Los autos chocadores tienden a descomponerse a una tasa de dos por hora. ¿Cuántos reparadores deben contratarse?
- 46 -
SOLUCIÓN
2 por hora Con una persona de reparación: 60 / 30 2 por hora. El número promedio de carros en el sistema de servicio es 2 Ls 22 Con dos personas de reparación: 60 / 20 3 por hora. El número promedio de carros en el sistema de servicio es 2 Ls 2 carros 3 2 Con tres personas de reparación: 60 / 15 4 por hora. El número promedio de carros en el sistema de servicio es 2 Ls 1 carro. 42
Número del personal de reparación
Tasa de servicio por hora ( )
El número promedio de carros en el sistema de servicio ( Ls )
Costo de la espera por hora*
Costo del servicio por hora**
Costo total por hora
1
2
$
$20
$
2
3
2
80
40
120
3
4
1
40
60
100
Nota: * El costo de la espera es el número de carros en el sistema por el costo de $40 por tener los carros dañados. ** El costo del servicio es el número de personas de reparación por la tasa salarial ($20 por hora).
Debe contratarse a tres personas de reparación. EJEMPLO 22 Un estudiante emprendedor considera abrir una tienda de “Galletas y helados” en un centro comercial. Observando el tráfico de personas durante la hora del refrigerio (alimento ligero que se toma para recuperar las fuerzas) encontró que existe una demanda pico potencial de 50 clientes, cada uno pidiendo, en promedio, un helado, seis galletas horneadas y un vaso de 12 onzas de refresco. El tiempo promedio que permanecen en las mesas es 20 minutos. En una charola se pueden acomodar 12 galletas y su tiempo de horneado es 10 minutos. Un mesero requiere en promedio de 6 minutos, para tomar y servir la orden de galletas y helado.
- 47 -
a. Determine el número de sillas requeridas. Use la Ley de Little; esto es, Ls Ws donde Ls es el número de clientes, , la tasa de llegadas de clientes y Ws , el tiempo de espera en el sistema de servicio. b. Determine el número de charolas requeridas. c. Determine el número de meseros requeridos. SOLUCIÓN
a. Observe que 50 clientes llegan durante la hora pico y cada uno permanece Ws 20 minutos (o un tercio de hora) en la mesa. Por lo tanto, Ls Ws (50)(20 / 60) 16.7 sillas. b. Observe que el número o galletas producidas por hora con una charola es (12)(60 / 10) 72 . El número de galletas demandadas por hora es 50 6 300 . De donde el número de charolas requeridas es 300 / 72 4.17 . c. El número de clientes atendidos por un mesero en una hora es (60/6) =10, y el número de clientes que llegan por hora es 50. De donde el numero de meseros requeridos es 50 / 10 5 .
EJEMPLO 23 En el Lago Travis hay una rampa cerca del muelle que se usa para poner a flote las lanchas pequeñas de la gente que visita este centro recreativo. La tasa de automóviles que llegan con lancha y utilizan la rampa es de 6 por hora. Las llegadas siguen una distribución de Poisson. Un estudio reciente demostró que los tiempos para poner a flote las lanchas en el lago, sigue una distribución exponencial negativa con media de 6 minutos por lancha, o bien, (60/6) =10 lanchas por hora. Determine las medidas de desempeño del sistema SOLUCIÓN
Observe que 6 lanchas llegan por hora y 10 lanchas se ponen a flote por hora. a. Utilización promedio del sistema
6 0.6 ó 60% 10
b. Probabilidad de que un cliente llegue y tenga que esperar (es decir, k 1 )
P(n 1) 1 0.61 0.6 ó 60% c. Número promedio de lanchas en el sistema - 48 -
Ls
6 3 1.5 lanchas. 10 6 2
d. Número promedio de lanchas en la línea de espera
Lq
2 6 3 9 Ls 0.9 lanchas ( ) 10 2 10
e. Tiempo promedio de espera en el sistema, incluye el servicio
Ws
Ls
(3 / 2) 1 de hora = 15 minutos. 6 4
f. Tiempo promedio de espera en la línea
Wq
Lq
(9 / 10) 9 de hora = 9 minutos. 6 60
g. Probabilidad de que un cliente encuentre la rampa desocupada
6 4 P0 1 1 0.4 ó 40% 10 10 h. Número promedio de lanchas en la línea en un sistema ocupado.
Lb
6 3 1.5 lanchas. 10 6 2
i. Tiempo promedio que una lancha permanece en la línea en un sistema ocupado.
Wb
1 1 1 de hora = 15 minutos. 10 6 4
De los cálculos anteriores, encontramos que la rampa está ocupada el 60% del tiempo. Es decir, las lanchas que lleguen tendrán rápido acceso a la rampa el 40% del tiempo, cuando la rampa esté desocupada. Los cálculos son consistentes, debido a que el tiempo promedio en el sistema (Ws ) de 15 minutos es la suma del tiempo promedio de espera en la línea (Wq ) de 9 minutos y el tiempo promedio de servicio ( ) de 6 minutos. Es decir
Ws Wq 9 6 15 minutos. El número promedio de lanchas en el sistema ( Ls ) de 1.5 es la suma del número promedio de lanchas en la línea ( Lq ) de 0.9 lanchas y el tiempo promedio de llegadas ( )
- 49 -
SOLUCIÓN CON WinQSB
FIGURA 23. Especificaciones del problema
FIGURA 24. Entrada de datos del problema
FIGURA 25. Medidas de desempeño
- 50 -
EJEMPLO 24 La empresa Sunset Airlines está revisando sus procedimientos de registro pensando en su promoción de la tarifa “dos por el precio de uno”. Actualmente, un empleado tarda un promedio de 3 minutos por pasajero en la revisión de su equipaje y en la autorización del pase para abordar el avión. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial negativa. Las llegadas de los pasajeros siguen una distribución de Poisson, con media de 15 pasajeros por hora durante las operaciones de vuelo. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero que llega sea atendido inmediatamente sin esperar? b. En el área que está al principio de la línea de espera junto al mostrador de Sunset Airlines caben únicamente tres pasajeros, incluyendo la persona que se está atendiendo. ¿Para qué porcentaje de tiempo sería inadecuada esta área para los pasajeros que esperan? c. Anticipándose a un aumento en la demanda, Sunset Airlines ha decidido agregar otro empleado, cuando el tiempo promedio de espera en la línea sea mayor o igual a 17 minutos. Puesto que las tasas de llegada se registran en el mostrador, determine qué tasa de llegadas por hora indicaría la necesidad de agregar otro empleado. SOLUCIÓN
a. Observe que 15 pasajeros por hora y 60 / 3 20 pasajeros por hora. La tasa de utilización del sistema es / 15 / 20 3 / 4 0.75 . Entonces:
Pr(Sistema desocupado) P0 1 1
15 3 1 1 1 0.25 20 4 4
b. Para que el área al frente de la línea de espera sea inadecuada, tiene que haber más de tres pasajeros. La probabilidad es 1 ( P0 P1 P2 P3 ) , si k = 3,
Pr(área de espera inadecuada) Pr(n k 1) 1 ( P0 P1 P2 P3 ) El área de espera es inadecuada el 32% del tiempo. c. Se debe cumplir que:
Wq
17 hora ( ) 60
resolviendo para y sustituyendo 20 se tiene que:
60 17( 2 ) ; (60 17 ) 17 2 de donde:
17 2 17(20) 2 17(400) 17 pasajeros por hora. 60 17 60 17(20) 400
- 51 -
k 1
4
15 0.316 20
EJEMPLO 25 Un taller de reparación de automóviles tiene un mecánico que se especializa en la instalación de silenciadores. Los clientes que buscan el servicio llegan, en promedio, dos por hora, conforme a una distribución de Poisson. El tiempo promedio para instalar un silenciador es 20 minutos, con distribución exponencial negativa. a. Al llegar al taller ¿cuántos clientes esperaría encontrar en el sistema? b. La administración está interesada en contratar otro mecánico, cuando el tiempo promedio del cliente en el sistema sea mayor de 90 minutos. Si el negocio continúa creciendo, ¿a qué tasa de llegadas por hora se necesitará contratar un mecánico adicional? SOLUCIÓN
a. La tasa promedio de llegadas es Poisson con 2 clientes por hora, y la tasa promedio de servicio sigue una distribución exponencial negativa con 60 / 20 3 clientes por hora. El número promedio de clientes en el sistema es:
Ls
2 2 clientes. 3 2
b. El tiempo promedio de espera en el sistema debe satisfacer Ws 90 / 60 3 / 2 1.5 horas.
Ws
1 1 3 3 2
despejando , se cumple Ws con 7 / 3 2.333 clientes por hora. EJEMPLO 26 Una escuela de comercio está considerando el reemplazo de su vieja minicomputadora por un modelo más rápido. Los registros históricos muestran que la tasa promedio de llegadas de los estudiantes es 24 por hora, de acuerdo con una distribución de Posisson, y que los tiempos de servicio se distribuyen en forma exponencial. Al comité encargado de la selección de la computadora tiene instrucciones de considerar sólo las máquinas que logren un tiempo total de permanencia en el sistema (es decir, tiempo de espera más tiempo de servicio) de 5 minutos o menos. ¿Cuál es la velocidad mínima de procesamiento de la computadora por hora que debe considerarse? SOLUCIÓN
La tasa promedio de llegadas es Poisson con 24 estudiantes por hora, y la tasa promedio de servicio sigue una distribución exponencial negativa con ? estudiantes por hora. Observe que si Ws 5 minutos = 5/60 = 1/12 de hora, entonces:
Ws
1 1 1 1 ; ; de donde, 36 clientes por hora. 12 24 12 - 52 -
EJEMPLO 27 La Lower Colorado River Authority (LCRA) realizó un estudio acerca del congestionamiento en la rampa de lanzamiento de lanchas cerca de la presa Mansfield. Los fines de semana, la tasa promedio de llegadas es de 5 lanchas por hora, de acuerdo a una distribución de Poisson. El tiempo promedio para botar o recuperar una lancha es 10 minutos, conforme a una distribución exponencial negativa. Se supone que sólo una lancha puede botarse o recuperarse en un momento. a. La LCRA planea agregar otra rampa cuando el tiempo promedio de lanzamiento (es decir, tiempo en el sistema) exceda los 90 minutos. ¿A qué tasa promedio de llegadas por hora debe la LCRA considerar el agregar otra rampa? b. Si sólo hay espacio en la rampa para colocar dos lanchas para la botadura. Al llegar una lancha ¿cuál es la probabilidad de que no encuentre espacio disponible en la rampa de lanzamiento? SOLUCIÓN
a. La distribución de Poisson de llegadas tiene una que se debe determinar. La distribución exponencial negativa de los servicios tiene a 1 lancha cada 10 minutos, o bien 60 / 10 6 lanchas por hora. Si se planea agregar otra rampa cuando el tiempo promedio de botadura exceda los 90 minutos, el tiempo esperado en el sistema es:
Ws 90 minutos 90 / 60 3 / 2 1.5 horas entonces:
Ws
1 1 3 6 2
de donde 16 / 3 5.3 lanchas por hora. b. Sean 5 lanchas por hora y 60 / 10 6 lanchas por hora. Cuando haya tres o más lanchas en el sistema, al llegar otra lancha no encontrará espacio disponible en la rampa y la probabilidad de este evento es:
P(n k 1) 1 ( P0 P1 P2 )
k 1
k 1
5 6
21
3
5 0.58 . 6
EJEMPLO 28 En promedio, cuatro clientes por hora usan el teléfono público en el área de arresto de la prisión, y este uso se comporta como una distribución de Poisson. La duración de una llamada telefónica varía conforme a una distribución exponencial negativa, con una media de 5 minutos. El director de la prisión está considerando la instalación de una segunda cabina, cuando una persona que necesite hacer una llamada espere 3 ó más minutos por el teléfono. a. ¿A cuánto debe aumentar la tasa de llegadas por hora para que se justifique la instalación de una segunda cabina telefónica?
- 53 -
b. Suponga que el criterio para justificar una segunda cabina telefónica se cambia por lo siguiente: instalar una segunda cabina cuando la probabilidad de espera para hacer la llamada sea igual a 0.6. Con este criterio ¿a cuánto se debe incrementar la tasa de llegadas, por hora, para justificar la instalación de una segunda cabina? SOLUCIÓN
a. Se requiere de una que cumpla con un tiempo promedio de espera Wq 3 / 60 1 / 20 de hora. Observe que el tiempo promedio de servicio 60 / 5 12 llamadas por hora. Entonces: 1 Wq ( ) 20 de donde, 2 (12) 2 9 4.5 clientes por hora 20 20 12 2 La tasa de llegadas se debe incrementar por 0.5 clientes, por hora, para que se justifique un segundo teléfono. b. En este caso debe satisfacer:
Pr(ocupado) Pr(n 1) 1 P0 1 1 0.6. de donde
(0.6) 12(0.6) 7.2 clientes por hora.
EJEMPLO 29 Una compañía tiene un servicio central de copiado de documentos. Las llegadas de documentos para su copiado siguen la distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de 15 por hora. Los tiempos del servicio se comportan de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Con el equipo actual de copiado, el tiempo promedio de servicio es 3 minutos. La compañía piensa rentar una máquina nueva, la cual tiene un tiempo promedio de servicio de 2 minutos. El salario promedio (S prom ) de las persona encargadas del copiado de documentos es $8 por hora. a. Si la máquina nueva se renta en $10 por hora más que la máquina usada, ¿debe rentar la compañía la máquina nueva? Considere el tiempo productivo perdido por los empleados como el tiempo que permanecen en la línea de espera debido a que la máquina de copiado nueva es un equipo de autoservicio. b. Para la máquina de copiado usada, ¿cuál es la probabilidad que cuándo alguien llegue encuentre a personas esperando por el servicio? (Tenga cuidado en identificar apropiadamente el número de clientes que podrían ser atendidos en esta situación). - 54 -
c. Suponga que se renta la máquina de copiado nueva. ¿Cuántas sillas deben colocarse cerca de la máquina para que las personas que esperan por el servicio tengan donde sentarse y ninguna permanezca de pie, por lo menos el 90% del tiempo? SOLUCIÓN
a. Observe que 15 personas por hora y la tasa promedio de servicio de la máquina usada es usada 60 / 3 20 personas por hora. La tasa promedio de servicio de la máquina nueva es nueva 60 / 2 30 personas por hora. Los ahorros ( ) por hora asociados con la reducción del tiempo de espera son: Si: S prom 8 UM por hora; 15 ; usada 20 ; nueva 30
2 2 usada ( usada ) nueva ( nueva )
S prom Lq (Usada) Lq ( Nueva) S prom
(15) 2 (15) 2 225 225 $8 8(2.25 0.5) 8(1.75) 100 450 20(20 15) 30(30 15)
$8
de donde, $14 $10 por la renta. Los ahorros exceden a los costos por la renta de la máquina de copiado nueva, por ello, conviene rentar la máquina nueva. b. P(n k 1) 1 ( P0 P1 ) c.
k 1 usada
usda
k 1
11
15 20
2
3 0.5625 ó 56.25% 4
Se pueden aplicar dos métodos para responder a esta pregunta: Método 1: Número de sillas (n)
Considere la siguiente tabla:
Pn
Pn acumulada
0
1 nueva 1 / nueva 1 15 / 30 1/ 2 0.5
0.5
1
P0 nueva P0 ( / nueva ) 0.5(15 / 30) 0.5(0.5) 0.25
0.75
2
P1 nueva P1 ( / nueva ) 0.75(15 / 30) 0.25(0.5) 0.125
0.875
3
P2 nueva P2 ( / nueva ) 0.125(15 / 30) 0.125(0.5) 0.0625
0.9375
Método 2: Se desea k tal que: Pr (n k ) 0.90 , sin embargo:
- 55 -
Pr (n k ) 1
k 1
1 N
k 1
15 1 30
k 1
1 (0.5) k 1
De donde usando tres sillas (k 3) se tiene Pr (n k ) 1 (0.5) 31 1 (0.5) 4 0.9375
EJEMPLO 30 Sea Dock, una empresa privada, opera una instalación de descarga en el Golfo de México para los barcos petroleros que transportan este hidrocarburo para las refinerías de Port Arthur en el área de Texas. Los registros muestran que, en promedio, dos petroleros llegan por día, con una distribución de Poisson. Los barcos petroleros se descargan uno a la vez bajo la disciplina primero que llega, primero que se descarga. Para la descarga se requiere de aproximadamente 8 horas de un día laborable de 24 horas, y los tiempos de descarga se comportan conforme a una distribución exponencial negativa. a. Sea Dock dispone de espacio para el atraque de 3 petroleros. ¿Es esto suficiente para satisfacer los requerimientos de la Guardia Costera de que por lo menos 19 de 20 llegadas deben encontrar espacio disponible para el atraque? b. Sea Dock puede aumentar su capacidad de descarga a una tasa de 4 barcos por día, por medio de mano de obra adicional a un costo de $480 por día. Considerando la tarifa de $1,000 que paga Sea Dock, por día de sobrestadía por tener un barco petrolero parado (esto incluye el tiempo de descarga, así como el tiempo de permanencia en la línea de espera para descargar), ¿debe considerar la administración esta oportunidad de expansión? SOLUCIÓN
a. Observe que: Tasa promedio de llegadas: 2 barcos petroleros por día. Tasa promedio de servicio: 8 horas 24 / 8 3 barcos petroleros descargados por día. Un barco encontrará espacio disponible para el amarre, si hay tres o menos barcos en el sistema y a uno de ellos están descargando. Observe que 19/20 = 0.95. Condición:
P(n 3) 0.95
Note que:
P(n 3) 1 P(n 4) 1
k 1
1
31
4
2 1 1 0.198 0.802 3
No se cumple con los requerimientos de la guardia costera, es decir, P(n 3) 0.95 . b. Costo = $480/día
- 56 -
2 2 $1,000(2 1) $1,000 / día Ahorros = $1,000( L 3 L 4 ) $1,000 3 2 4 2 Sí, se considera la expansión porque hay un ahorro de $1,000 $480 = $520/día EJEMPLO 31 Considere una gasolinera con una sola bomba que satisface las suposiciones para el modelo M/M/1. Se estima que, en promedio, los clientes llegan a comprar gasolina cuando sus tanques están a un octavo de su capacidad. El tiempo promedio para atender a un cliente es 4 minutos, y la tasa de llegadas es 6 clientes por hora. a. Determine el número de clientes en la línea de espera y el tiempo de espera en el sistema. b. Los clientes temen que ocurra una escasez de gasolina (cuando no la hay) y cambian su criterio de llenar el tanque cuando está a un octavo de su capacidad. Suponiendo que los cambios en son inversamente proporcionales a los cambios en el criterio de llenado. Si el criterio ahora es llenar el tanque cuando está a un cuarto de su capacidad compare los resultados con los del punto a. c. Con la misma suposición que en el punto b, compare los resultados obtenidos, si el criterio es llenar el tanque cuando está a la mitad de su capacidad. ¿Esto se deberá al comportamiento de pánico ocasionado por la falsa alarma de que habrá escasez de gasolina? d. Es razonable suponer que el tiempo para atender a un cliente disminuirá a medida que aumenten los criterios de llenado (entre más lleno esté el tanque se requerirá menos tiempo para el servicio). Bajo condiciones “normales”, toma, en promedio, dos minutos bombear la gasolina, y dos minutos limpiar el parabrisas y verificar los niveles de aceite, agua, anticongelante y cobrar por el servicio. Conteste las preguntas b y c, si el tiempo para bombear la gasolina cambia proporcionalmente con los cambios en el criterio de llenado. SOLUCIÓN
Para determinar las tasas de llegada para los incisos b, c y d, empezaremos por señalar que originalmente llegan 0 6 automóviles por hora (6/60 = 1/10 = 0.10 automóviles por minuto) y se atienden 60 / 4 15 automóviles por hora (15/60 = 1/4 = 0.25 automóviles por minuto). Se supone que la tasa de llegadas de automóviles es inversamente proporcional (1 / ) a los cambios en el criterio de llenado. a. Determinación de Lq y Ws . Siendo 0 1 / 10 automóviles por minuto, 1 / 4 automóviles por minuto. Factor de utilización del servicio:
0
0 (1 / 10) 2 0.40 (1 / 4) 5
Número de autos en la línea a de espera: - 57 -
Lq
20 (1 / 10) 2 1 / 100 80 4 0.267 autos ( 0 ) (1 / 4)(1 / 4 1 / 10) (1 / 4)(3 / 20) 300 15
Tiempo de espera en el sistema:
Ws Wq
1
Lq
0
1
(4 / 15) 1 8 12 20 6.667 min. (1 / 10) (1 / 4) 3 3 3
b. Inicialmente la cantidad de gasolina que se bombea es B0 (1 1/ 8) 7 / 8 de tanque, pues el criterio de llenado es cuando el tanque se encuentra a 1/8 de su capacidad. La nueva cantidad de gasolina que se bombea es Bb (1 1/ 4) 3 / 4 de tanque, si el criterio de llenado es cuando el tanque se encuentra a 1/4 de su capacidad. De donde se obtiene la relación:
B0 (1/0 ) Bb (1 / b )
Con base a esta relación se determina la tasa de llegadas en horas y minutos: Horas:
(7 / 8) 1/ 6 7 , o bien, b , de donde b 7 automóviles por hora (3 / 4) (1 / b ) 6 6 Minutos:
7 (7 / 8) 1/ (1/10) , o bien, 10b ; y b 7 / 60 0.1167 automóviles por minuto. (3 / 4) (1 / b ) 6 Con 1 / 4 de automóviles por minuto y b 7 / 60 automóviles por minuto, se determinan Lq y Ws : Factor de utilización del servicio:
b
b (7 / 60) 7 0.467 (1 / 4) 15
Longitud de la línea de espera:
- 58 -
Lq
b2 (7 / 60) 2 49 / 60 2 49 / 60 2 ( b ) (1 / 4)(1 / 4 7 / 60) (1 / 4)(15 / 60 7 / 60) (1 / 4)(8 / 60)
49 / 60 2 49 4 60 49 49 0.41 automóvile s 2 8 /(4 60) 2 60 120 8 60 Tiempo de espera en el sistema:
Ws Wq
1
Lq
b
1
(49 / 120) 1 60 49 7 8 15 4 7.5 minutos. (7 / 60) (1 / 4) 7 120 2 2 2
c. En este caso, la cantidad de gasolina bombeada al tanque es Bc (1 1/ 2) 1/ 2 , si el criterio de llenado es cuando el tanque se encuentra a la mitad de su capacidad. Se determina c con la siguiente relación:
B0 (1/0 ) Bc (1 / c )
En base a esta relación se determina la tasa de llegadas en horas y minutos: Horas:
21 (7 / 8) 1/ 6 7 10.5 automóviles por hora , o bien, c , de donde c 2 (1 / 2) (1 / c ) 4 6 Minutos:
7 (7 / 8) 1/ (1/10) , o bien, 10c ; de donde c 7 / 40 0.175 automóviles por minuto. 4 (1 / 2) (1 / c ) Con 1 / 4 de automóviles por minuto y c 7 / 40 automóviles por minuto, se determinan Lq y Ws . Factor de utilización del sistema:
c
c (7 / 40) 7 0.7 (1 / 4) 10
Longitud de la línea de espera:
- 59 -
Lq
2c (7 / 40) 2 49 / 40 2 49 / 40 2 ( c ) (1 / 4)(1 / 4 7 / 40) (1 / 4)(10 / 40 7 / 40) (1 / 4)(3 / 40)
49 / 40 2 49 4 40 49 1.633 automóvile s 3 /(4 40) 30 3 40 2 Tiempo de espera en el sistema:
Ws Wq
1
Lq
c
1
(49 / 30) 1 49 40 28 12 40 4 13.333 minutos. (7 / 40) (1 / 4) 7 30 3 3 3
db. Para b 7 automóviles por hora, o bien, 7/60 = 0.1167 automóviles por minuto. La cantidad de gasolina bombeada al tanque es Bb 3 / 4 si el criterio de llenado es cuando el tanque se encuentra a 1/4 de su capacidad. El tiempo de llenado (Tb ) se calcula como sigue
T0 B0 Tb Bb 12 2 (7 / 8) 1.7143 minutos para bombear 3/4 de tanque de gasolina. Y ; Tb 7 Tb (3 / 4) sea TLV el tiempo para la limpieza y verificación de niveles del automóvil. El tiempo promedio del servicio: de donde,
b Tb TLV 12 / 7 2 26 / 7 3.714 minutos y, 1/ b 1/(26 / 7) 7 / 26 0.269 automóviles por minuto. Por lo tanto, el factor de utilización del servicio:
b
b (7 / 60) 13 0.433 ó 43.3% (7 / 26) 30
Número promedio de automóviles en la línea de espera: 2
72 60 2
1 2 60 2 1 1 60 26 7 2 26(60) 26 2 (60) 26 2 26 60 26
(7 / 60) Lq ( b ) (7 / 26)(7 / 26 7 / 60) 7 2 2 b
26 2 (60) 26(26) 13(13) 169 2 0.331 automóvile s. 60 (34) 60(34) 30(17) 510 Tiempo de espera en el sistema:
- 60 -
1 60 2
Ws
Lq
b
1
(169 / 510) 1 10,140 13,260 2,340 6.554 minutos. (7 / 60) (7 / 26) 3,570 357
dc. Para c 10.5 automóviles por hora. La cantidad de gasolina bombeada es Bc 1/ 2 tanque, si el criterio de llenado es cuando el tanque se encuentra a 1/2 de su capacidad. El tiempo de llenado (Tc ) se calcula como sigue:
T0 B0 Tc Bc 8 2 (7 / 8) ; Tc 1.143 minutos para bombear 1/2 tanque de gasolina. Y TLV 7 Tc (1 / 2) , es el tiempo para la limpieza y verificación de niveles del automóvil. El tiempo promedio del servicio es de donde,
c Tc TLV 8 / 7 2 22 / 7 3.143 minutos, y
1/ c 1/(22 / 7) 7 / 22 0.318 automóviles por minuto. Por lo tanto: Factor de utilización del servicio:
c
c (7 / 40) 11 0.55 (7 / 22) 20
Número de automóviles en la línea de espera:
72 40 2
1 40 2
1 2 40 2 1 1 40 22 7 2 22(40) 22 2 (40) 22 2 22(40) 22
2c (7 / 40) 2 Lq ( c ) (7 / 22)(7 / 22 7 / 40) 7 2
22 2 (40) 22(22) 11(11) 121 0.672 automóvile s. 40 2 (18) 40(18) 20(9) 180
Tiempo de espera en el sistema:
(121 / 180) 1 40 121 22 2 121 22 c (7 / 40) (7 / 22) 7 180 7 79 7 minutos 2 121 9 22 440 6.984 minutos 79 63
Ws
Lq
1
Resumen de los tiempos de espera y automóviles en la línea
- 61 -
Pregunta a. b. c.
Pregunta
db. dc.
/
(autos/hora) (autos/minuto) (autos/minuto) (factor de utilización) 6 6/60 = 0.10 1/4 = 0.25 0.40 7 7/60 = 0.1167 1/4 = 0.25 0.467 10.5 10.5/60 = 0.175 1/4 = 0.25 0.70
Lq (autos)
Ws (minutos)
0.267 0.41 1.633
6.667 7.5 13.333
Tiempo Automóviles Tiempo de que se les da Tiempo de Lq Ws promedio del servicio por Capacidad llenado en revisión servicio (autos) (minutos) minuto que se llena (minutos) de niveles (minutos) (minutos) ( ) 3/4 de tanque 1/2 tanque
1.7143 1.143
2 2
3.7143 3.143
0.29 0.318
0.331 0.672
6.554 6.984
EJEMPLO 32 El mecánico del taller de silenciadores de Arnold’s, Reid Blank, es capaz de instalar nuevos silenciadores de automóviles a una tasa promedio de tres por hora, o bien, uno cada 20 minutos. Los clientes que requieren el servicio llegan al taller a un promedio de cada dos horas. Larry Arnold, el dueño del taller, estudió los modelos de líneas de espera en la materia Técnicas Cuantitativas y piensa que se cumplen las condiciones para elaborar un modelo de un solo canal y le pide que calcule los valores numéricos de las características de operación anteriores. SOLUCIÓN
llegan 2 automóviles por hora.
se atienden 3 automóviles por hora. Ls Ws
2 2 automóviles en el sistema en promedio 3 2
1 1 1 hora que un automóvil en promedio pasa dentro del sistema. 3 2
2 22 4 Lq 1.33 automóviles, en promedio, en la línea de espera. ( 3(3 2) 3
- 62 -
Wq
2 2 hora = 40 minutos = tiempo promedio de espera de cada automóvil ( ) 3(3 2) 3 antes de entrar a servicio.
Observe que Ws y Wq se manejan en horas, debido a que se definió como el número de llegadas por hora.
2 0.67 = porcentaje de tiempo que el mecánico está ocupado, o probabilidad de que el 3 servidor esté ocupado.
P0 1
2 1 1 0.33 = probabilidad de que haya 0 automóviles en el sistema. 3 3
Probabilidad de que más de k automóviles se encuentren en el sistema
Pn 1
n
Pnk 1 ( P0 P1 P2 Pk 1 Pk )
k 01
2 3
0.667
0
Pn0
1
2 Pn1 3
2
Pn2
2 3
3
Pn3
2 3
2 Pn4 3
41
4
2 Pn5 3
51
5
k 1
k 1
2 Observe que es igual a 1 P0 1 1 3
11
0.444 21
0.296
31
0.198
Implica que hay una posibilidad de 19.8% de que haya más de 3 automóviles en el sistema.
0.132 0.088
- 63 -
EJEMPLO 33 La tienda departamental Schmedley Discount Departament Store recibe aproximadamente 300 clientes los sábados en el período de 9 am a 5 pm. Para decidir cuántas cajas registradoras deberán estar abiertas cada sábado, el gerente de Schmedley considera dos factores: el tiempo de espera del cliente (y el costo de espera asociado) y los costos de servicio que se derivan de la contratación de personal adicional. Los empleados de las cajas reciben un sueldo promedio de $8 la hora. Mientras sólo uno está en servicio, el tiempo de espera por cliente es aproximadamente diez minutos (ó 1/6 de hora); cuando son dos, el tiempo promedio de salida es de 6 minutos por persona; 4 minutos cuando tres empleados están en servicio; y 3 minutos cuando son cuatro. La administración de Schmedley ha llevado a cabo diversas encuestas sobre la satisfacción del cliente y ha tenido la posibilidad de estimar que la tienda sufre de aproximadamente $10 en ventas y pérdida de la buena voluntad de los clientes por cada hora de su tiempo ocupada en las líneas de espera de cobro. Con la información proporcionada, determine el número óptimo de empleados contratados para cada sábado para minimizar el costo total esperado de la tienda. SOLUCIÓN
Considere la siguiente tabla Número de empleados de caja 1
2
3
4
300
300
300
300
300(1/6) = 50 horas
1/10 de hora (6 minutos) 300(1/10) = 30 horas
1/15 de hora (4 minutos) 300(1/15) = 20 horas
1/20 de hora (3 minutos) 300(1/20) = 15 horas
$10
$10
$10
$10
10 50 = $500
10 30 = $300
10 20 = $200
10 15 = $150
f. Salario por hora de los empleados de caja
$8
$8
$8
$8
g. Pago total de los empleados por un turno de 8 horas (f 8 horas de trabajo)
88 = $64
2(8) 8 = $128
3(8) 8 = $192
4(8) 8 = $256
h. Costo total esperado (e + g)
$564
$428
$392
$406
a. Número de clientes b. Tiempo de espera promedio por cliente c. Tiempo de espera total de los clientes (ab) d. Costo por hora de espera e. Costos totales de espera (cd)
1/6 de hora (10 minutos)
Número óptimo de empleados de caja en servicio = 3
- 64 -
EJEMPLO 34 Rockwell Electronics Corporation conserva un equipo de servicio que repara los problemas mecánicos que ocurren, en promedio, 3 al día (aproximadamente de naturaleza Poisson). El equipo puede dar servicio a un promedio de 8 máquinas al día con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja a la distribución exponencial. a. b. c. d.
¿Cuál es la tasa de utilización de este sistema de servicio? ¿Cuál es el tiempo de reparación promedio de una máquina que está descompuesta? ¿Cuántas máquinas están en espera de recibir servicio en algún momento dado? ¿Cuál es la probabilidad de que más de una máquina se encuentre en el sistema? ¿Cuál la probabilidad de que más de dos estén descompuestas y en espera de ser reparadas o recibir el servicio? ¿De más de tres? ¿Más de cuatro?
SOLUCIÓN
a. La tasa de utilización del servicio es:
3 0.375 ó 37.5% 8
b. El tiempo promedio que la máquina está descompuesta, Ws , es el tiempo que la máquina espera por el servicio más el tiempo que lleva repararla.
Ws
1 1 1 0.2 de día ó (0.2)(8) =1.6 horas. 83 5
c. El número de máquinas que están en espera de recibir el servicio es
Lq
2 32 9 0.225 . ( ) 8(8 3) 40
d. Probabilidad de que más de una máquina se encuentre en el sistema, k 1 : k 1
Pnk
Pn1
9 3 0.141 64 8
2
Probabilidad de que más de dos máquinas estén en el sistema, k 2 : 3
27 3 Pn2 0.053 512 8
- 65 -
Probabilidad de que más de tres máquinas estén en el sistema, k 3 : 4
Pn3
81 3 0.020 4,096 8
Probabilidad de que más de cuatro máquinas estén en el sistema, k 4 : 5
243 3 Pn4 0.007 32,768 8 EJEMPLO 35 Con base en datos históricos, el autolavado Harry's estima que los automóviles llegan a sus instalaciones a un ritmo de 10 por hora durante todo el día sábado. Con un equipo que trabaja en la línea de lavado, Harry imagina que los vehículos pueden lavarse a un ritmo de uno cada 5 minutos. Se lava un solo automóvil a la vez en este ejemplo de una línea de espera de un solo canal. Con base en los intervalos Poisson y los tiempos exponenciales de servicio, encuentre: a. b. c. d. e.
El número promedio de automóviles en línea. El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado. El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio. El factor de utilización del servicio de autolavado. La probabilidad de que ningún automóvil esté en el sistema.
SOLUCIÓN
Observe que llegan al servicio de autolavado 10 automóviles/hora, y se proporciona el servicio con una rapidez de 60 / 5 12 automóviles/hora. a. El número promedio de automóviles en la línea, Lq es:
Lq
2 10 2 10 2 25 4.167 automóviles ( ) 12(12 10) 12(2) 6
b. El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado, Wq es:
Wq
10 10 5 0.4167 horas ( ) 12(12 10) 24 12
c. El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio, Ws es:
1 1 1 0.5 horas 12 10 2 d. El factor de utilización del servicio de autolavado, es: W2
- 66 -
10 5 0.8333 , o bien, 83.33%. 12 6
e. La probabilidad de que ningún automóvil esté en el sistema, P0 es:
P0 1
10 1 1 0.1667 , o bien, 16.67%. 12 6
EJEMPLO 36 Mike Dreskin administra un complejo de cines en los Ángeles denominado Cinema I, II, III y IV. Cada uno de los cuatro auditorios presenta una película distinta. Además, el programa está planeado de manera que los tiempos de inicio están escalonados para evitar las posibles aglomeraciones de personas que se presentarían si todas las películas se iniciaran al mismo tiempo. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener un ritmo promedio de servicio de 280 espectadores por hora. Los tiempos de servicio se consideran de manera que se aplique una distribución exponencial. Las llegadas en un día activo típico son de una distribución Poisson y muestran un promedio de 210 por hora. Para determinar la eficiencia de la operación actual del sistema de boletaje, Mike desea examinar distintas medidas de desempeño de la línea de espera. a. Determine el número promedio de asistentes al cine que esperan en la línea para comprar un boleto. b. ¿Qué porcentaje de tiempo está ocupado el cajero? c. ¿Cuál es el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema? d. ¿Cuál es el tiempo promedio que está en la línea de espera para llegar a la taquilla? e. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en el sistema? ¿Más de tres? ¿Más de cuatro? SOLUCIÓN
Llegadas: 210 asistentes/hora. Servicio: 280 asistentes/hora a. El número promedio de asistentes que esperan en la línea, Lq , es:
Lq
2 (210) 2 2.25 asistentes en la línea ( ) 280(280 210)
b. El porcentaje de tiempo que está ocupado el cajero, , es:
210 0.75 , o bien, 75% 280 c. El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema, Ws , es:
- 67 -
Ws
1 1 0.0143 de hora en la línea = 0.857 de minuto = 51.4 segundos. 280 210
d. El tiempo promedio que un asistente está en la línea de espera para llegar a la taquilla, Wq , es:
Wq
210 0.011 de hora = 0.64 de minuto = 38.6 segundos ( ) 280(280 210)
e. La probabilidad de que haya más de dos personas en el sistema, Pn2 , es:
Pn k
k 1
210 Pn 2 280
2 1
(0.75) 3 0.422
La probabilidad de que haya más de tres personas en el sistema, k 3 , es:
Pn3
210 280
31
(0.75) 4 0.316
La probabilidad de que haya más de cuatro personas en el sistema, k 4 , es:
210 Pn4 280
41
(0.75) 5 0.237
EJEMPLO 37 La temporada de cosecha de trigo en el oeste estadounidense es corta. La mayoría de los granjeros llevan sus camiones con las cargas del cereal a un silo central gigantesco con un lapso de tan solo una semana. Debido a esta característica, se sabe que los camiones llenos de trigo esperan para descargar y regresar a los campos en un tramo que está a casi una cuadra de distancia del depósito. El silo central es de propiedad cooperativa, por lo cual beneficia a cada uno de los granjeros incrementar el nivel de eficacia del proceso de descarga y almacenaje. El costo del deterioro del grano provocado por los retrasos en la descarga, el costo de la renta de los camiones y el tiempo muerto del conductor mientras llega su turno son preocupaciones serias para los miembros de la cooperativa. A pesar de que los granjeros tienen problemas para cuantificar el daño a la cosecha, es fácil asignar un costo de $18 por hora por concepto de espera y de descarga por cada camión y conductor. El silo permanece abierto y funciona 16 horas al día, los siete días de la semana, durante la temporada de cosecha, y tiene una capacidad de descarga de 35 camiones por hora de acuerdo con una contribución exponencial. Los camiones llenos llegan a lo largo del día (durante el horario en que el silo está abierto) a un ritmo cercano a los 30 camiones por hora, de acuerdo con un patrón de Poisson. Para ayudar a la cooperativa a obtener cierto manejo del problema de la pérdida de tiempo mientras los camiones están en espera en la línea o mientras descargan en el silo, encuentre: - 68 -
a. b. c. d. e.
El número promedio de camiones en el sistema de descarga. El tiempo promedio por camión en el sistema. La tasa de utilización del área del silo. La probabilidad de que haya más de tres camiones en el sistema en un momento dado. El costo diario total para los granjeros por tener los camiones detenidos en el proceso de descarga total.
Como se mencionó anteriormente, la cooperativa utiliza el silo sólo dos semanas al año. Los granjeros estiman que ampliar el silo reduciría en 50% los costos de descarga durante el año entrante. Costaría $9,000 hacerlo durante la temporada en que no hay labores ¿Valdría la pena para la cooperativa ampliar el área de almacenamiento? SOLUCIÓN
Llegadas: 30 camiones/hora. Servicio: 35 camiones/hora. a. El número promedio de camiones en el sistema, Ls es:
Ls
30 6 camiones en el sistema. 35 30
b. El tiempo promedio de espera del camión en el sistema, Ws es:
Ws
1 1 1 de hora = 12 minutos = 12/60 horas = 0.2 horas 35 30 5
c. La tasa de utilización del área del silo, , es:
30 6 0.857 35 7
d. La probabilidad de que haya más de tres camiones en el sistema, Pn3 , con k 3 es:
Pnk
k 1
30 , de donde Pn3 35
31
0.540
e. Costo diario por tener los camiones detenidos en el proceso de descarga:
C 16
horas camiones horas $ 30 0.2 18 día hora camión hora
C = 1,728 $/día = 12,096 $/semana f. Ampliando el silo reduciría en 50% los costos de descarga durante el año entrante. Primero, debemos calcular el costo anual por la espera:
- 69 -
Costo anual por la espera 2
semanas días $ 7 1,728 $24,192. año semana día
Ampliando el silo se reducirían los costos de espera en 50% el año entrante, resultando un ahorro de ($24,192)(0.50) = $12,096. Debido a que el costo por ampliar el silo es de sólo $9,000, la cooperativa debe proceder a ampliar el silo. Los ahorros netos son $12,096 – $9,000 = $3,096.
EJEMPLO 38 Los automóviles llegan a la ventanilla de atención en el automóvil de una oficina postal a un ritmo de cuatro cada diez minutos. El tiempo promedio de servicio es de dos minutos. La distribución Poisson es apropiada para la tasa de llegadas y los tiempos de servicio se distribuyen de manera exponencial. a. b. c. d.
¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil permanece en el sistema? ¿Cuál es el número promedio de automóviles en el sistema? ¿Cuál es el tiempo promedio que los automóviles pasan en espera de recibir el servicio? ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la línea detrás del cliente que está recibiendo el servicio? e. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya automóviles en la ventanilla? f. ¿Cuál es el porcentaje de tiempo que el empleado postal permanece ocupado? g. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos automóviles en del sistema? SOLUCIÓN
Llegadas: 24 automóviles/hora. Servicio: 30 automóviles/hora.
1 1 1 0.167 horas 10 minutos. 30 24 6
a. Ws b. Ls
c.
Wq
d.
Lq
e.
24 4 automóviles. 30 24
24 2 0.133 horas 8 minutos. ( ) 30(30 24) 15
2 24 2 16 3.2 automóviles. ( ) 30(30 24) 5 24 4 1 P0 1 1 1 0.2 ó 20%. 30 5 5
- 70 -
24 4 0.8 u 80%. 30 5
f.
g.
Aquí se debe determinar P(n 2) Pn1 Pn2 , si:
Pnk 11
Pn1
1 ( P0 P1 P2 Pk 1 Pk )
24 4 0.640 , y, Pn2 30 5 2
2
21
k 1
3
3
24 4 0.512 30 5
Entonces, P(n 2) Pn1 Pn2 0.640 0.512 0.128 ó 12.8%.
EJEMPLO 39 El Billy’s Bank es el único en un pueblo pequeño de Arkansas. En un viernes típico un promedio de 10 clientes por hora llega al banco para realizar transacciones financieras. Hay un sólo cajero en el banco y el tiempo promedio para realizar las operaciones es de 4 minutos. Se supone que los tiempos de servicio se pueden describir por medio de una distribución exponencial. A pesar de que éste es el único banco del pueblo, algunas personas han entablado relaciones con el banco del pueblo vecino, que se encuentra a 20 millas de distancia. Se usaría una sola fila y el cliente del frente de ella sería atendido por el primer cajero disponible. Si se emplea a un solo cajero en el Billy's Bank, determine a. b. c. d. e.
El tiempo promedio que pasa el cliente en la línea de espera. El número promedio de clientes en la línea de espera. El tiempo promedio de espera dentro del sistema. El número promedio de clientes en el sistema. La probabilidad de que el banco esté vacío.
SOLUCIÓN
Observe que 10 clientes llegan por hora, 60 / 4 15 clientes atendidos por hora. a.
Wq
b.
Lq
c.
10 10 2 0.1333 horas. ( ) 15(15 10) 15(5) 15
2 10 2 10 2 4 1.333 clienete. ( ) 15(15 10) 15(5) 3 1 1 1 Ws 0.2 horas. 15 10 5
- 71 -
d.
Ls
e.
P0 1
10 2 clientes. 15 10
10 1 1 0.3333 ó 33.33%. 15 3
EJEMPLO 40 La tienda de abarrotes Mom-and-Pop’s tiene un pequeño lote de estacionamiento adyacente con tres espacios reservados para los clientes de la tienda. Durante las horas que abre, cuando el lote no está lleno, los automóviles entran al lote y usan uno de los espacios a una tasa media de dos por hora. Cuando el lote está lleno, los automóviles que llegan se van y no regresan. Para n = 0, 1, 2, 3, la probabilidad Pn de que exactamente n espacios estén ocupados es:
P0 0.2,
P1 0.3, P2 0.3, P3 0.2 .
a. Describa cómo puede interpretarse este lote de estacionamiento como un sistema de líneas de espera. En particular, identifique los clientes y los servidores. ¿Cuál es el servicio proporcionado? ¿Qué constituye un tiempo de servicio? ¿Cuál es la capacidad de la línea de espera? b. Determine las medidas básicas de desempeño Ls , Lq , Ws y W q para este sistema de líneas de espera. (Sugerencia: puede usar las probabilidades dadas para determinar el número promedio de espacios de estacionamiento que están ocupados). c. Use los resultados de la parte b. para determinar el tiempo promedio que permanece un automóvil en un espacio del estacionamiento. SOLUCIÓN
a. Un lote de estacionamiento es un sistema de líneas de espera donde los automóviles son los clientes, y los espacios de estacionamiento los servidores. El tiempo de servicio es la cantidad de tiempo que un automóvil permanece en un lugar del estacionamiento. La capacidad de la línea de espera es 0. b. Ls 0( P0 ) 1(P1 ) 2( P2 ) 3( P3 ) 0(0.2) 1(0.3) 2(0.3) 3(0.2) 1.5 automóviles.
Lq 0 automóviles.
L 1.5 Ws s 0.75 horas. 2 Lq 0 Wq 0 horas. 2 c. Un automóvil espera un promedio Ws 0.75 horas = 45 minutos en un lugar del estacionamiento.
- 72 -
EJEMPLO 41 Newell y Jeff son los dos nuevos peluqueros en una peluquería de su propiedad que atienden. Tienen dos sillones para los clientes que esperan a que comience su corte de cabello, de modo que el número de clientes en el establecimiento varía entre 0 y 4. Para n = 0, 1, 2, 3 y 4, la probabilidad Pn de que exactamente n clientes estén en la peluquería es:
P0
1 4 6 4 1 , P1 , P2 , P3 , P4 . 16 16 16 16 16
a. Use la fórmula Ls = 0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + 4P4 para calcular Ls. ¿Cómo describiría el significado de Ls a Newell y Jeff? b. Para cada uno de los valores posibles del número de clientes en el sistema de líneas de espera, especifique cuántos clientes están en la fila. Para cada uno de los números posibles en la línea de espera, multiplique por su probabilidad y luego sume estos productos para calcular Lq . ¿Cómo describiría el significado de a Lq Newell y Jeff? c. Dado que llega un promedio de cuatro clientes por hora y esperan a su corte de cabello, determine Ws y Wq . Describa estas dos cantidades en términos significativos para Newell y Jeff. d. Dado que Newell y Jeff son igualmente rápidos para efectuar los cortes de cabello, ¿cuál es la duración promedio de un corte de cabello? SOLUCIÓN
1 4 6 4 1 32 2. a. Ls (0) (1) (2) (3) (4) 16 16 16 16 16 16 qué representa el número promedio de clientes en la peluquería, incluyendo los que esperan por su corte de cabello, que en este caso no hay nadie esperando ( Lq 0) porque se tienen dos sillones y se atienden a dos pacientes que son los que están en el sistema. b. n 0 1 2 3 4
Clientes en la línea de espera 0 0 0 1 2
Probabilidad
Producto
4/16 = 0.25 1/16 = 0.0625
0.25 0.125
Lq 0.25 0.125 0.375 qué representa el número promedio de clientes en la peluquería que esperan por su corte de cabello. L 2 c. Ws s 0.5 30 minutos 4
- 73 -
Wq
Lq
0.375 0.094 5.625 minutos 4
Estas cantidades significan que los clientes estarán en la peluquería un promedio de media hora, incluyendo el tiempo que esperan cortándose el cabello, y tendrán que esperar un promedio de 5.625 minutos antes que inicie su corte de cabello. d.
Ws Wq 0.5 – 0.094 = 0.406 = 0.406 horas = 24.375 minutos. EJEMPLO 42
La Friendly Neighbor Grocery Store sólo cuenta con una caja y una cajera de tiempo completo. Los clientes llegan a la caja en forma aleatoria a una tasa media de 30 por hora. La distribución del tiempo de servicio es exponencial, con una media de 1.5 minutos. Esta situación ha originado filas largas y quejas de los clientes. Por consiguiente, debido a que no hay un espacio para colocar una segunda caja de salida, el gerente está considerando la alternativa de contratar a otra persona para que ayude a la cajera a empacar los víveres. Esta ayuda reduciría el tiempo esperado requerido para atender a un cliente a 1 minuto, pero la distribución de tiempo de servicio todavía sería exponencial. Al gerente le gustaría que el porcentaje de tiempo en que hay más de dos clientes de pie en la caja se redujera a menos de 25%. También querría que no más de 5% de los clientes tuvieran que esperar al menos cinco minutos antes de comenzar su servicio, o al menos siete minutos antes de que termine su servicio. a. Use las fórmulas para el modelo M/M/1 para calcular Ls, Ws, Wq, Lq, P0, P1, y P2 para el modo de operación actual. ¿Cuál es la probabilidad de tener más de dos clientes en la caja de salida? También, determine la probabilidad de que el tiempo de espera antes de iniciar el servicio exceda cinco minutos y la probabilidad de que el tiempo de espera antes de que termine el servicio exceda siete minutos. b. Repita la inciso a para la nueva alternativa. c. ¿Qué enfoque debe usar el gerente para satisfacer su criterio lo más cerca posible? SOLUCIÓN
a. Operación actual: observe que la tasa promedio de llegadas es 30 por hora y la tasa de servicio es 60 / 1.5 40 por hora
Ls Ws
30 3 clientes ; 40 30
30 0.75 ó 75% 40
1 1 0.1 horas 40 30
- 74 -
Wq
30 0.075 horas ( ) 40(40 30)
Lq Wq 30(0.075) 2.25 clientes
P0 1 1 0.75 0.25 ó 25% P1 (1 ) (1 0.75)(0.75) 0.188
P2 (1 ) 2 (1 0.75)(0.75) 2 0.141 Pnk
1 ( P0 P1 Pk 1 Pk )
k 1
3
, si k 2 entonces Pn2
30 0.42 40
Hay una probabilidad de 42% de tener más de dos clientes en la caja de salida.
La probabilidad de que el tiempo de espera en la línea exceda los cinco minutos es:
P(Wq t ) e (1 )t , entonces,
1 30 =1.447E-22 P(Wq 5) e 40(130 / 40)5 0.75 50 40 2.71828 La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda los 7 minutos es:
P(Ws t ) e (1 )t entonces,
P(Ws 7) e 40(130 / 40) 7
1 1 3.975 E31 70 e 2.71828 70
b. Nueva alternativa: observe que la tasa promedio de llegadas es 30 por hora y la tasa de servicio es 60 / 1 60 por hora.
Ls
30 1 cliente ; 60 30
30 0.5 ó 50% 60
Ws
1 1 1 0.033 horas 60 30 30
Wq
30 1 0.017 horas ( ) 60(60 30) 60
- 75 -
Lq Wq 30(0.017 ) 0.51 clientes
P0 1 1 0.5 0.5 P1 (1 ) (1 0.5)(0.5) 0.25
P2 (1 ) 2 (1 0.5)(0.5) 2 0.125 Pnk
1 ( P0 P1 Pk 1 Pk )
k 1
3
, si k 2 entonces Pn2
30 0.125 60
Hay una probabilidad de 12.5% de tener más de dos clientes en la caja de salida. La probabilidad de que el tiempo de espera en la línea exceda los cinco minutos es:
P(Wq t ) e (1 )t , entonces,
1 30 =3.5887E-66 P(Wq 5) e 60(130 / 60)5 0.5 150 60 2.71828 La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda los 7 minutos es:
P(Ws t ) e (1 )t entonces,
P(Ws 7) e 60(130 / 60) 7 c.
1 e
210
1 6.283 E92 2.71828 210
El gerente debe contratar a otra persona para que ayude a la cajera a empacar los víveres. EJEMPLO 43
La 4M Company tiene un solo torno revolver como centro de trabajo clave en su planta. Los trabajos llegan en forma aleatoria a una tasa media de dos por día. El tiempo de procesamiento para realizar cada trabajo tiene una distribución exponencial con una media de 1/4 de día. Debido a que estos trabajos son voluminosos, aquellos en los que no se está trabajando se almacenan en un cuarto a cierta distancia de la máquina. Sin embargo, para ahorrar tiempo al recoger los trabajos, el gerente de producción propone agregar suficiente espacio para el inventario en proceso cerca del torno revólver de manera que se acomoden tres trabajos además del que está en proceso. (Los trabajos en exceso continuarán almacenándose temporalmente en el cuarto distante). Con esta propuesta ¿qué proporción del tiempo para este espacio de almacén cercano al torno revólver es suficiente para acomodar todos los trabajos en espera? SOLUCIÓN
- 76 -
P0 1 1 0.5 0.5 ; P1 (1 ) 0.25 ; P2 (1 ) 2 0.125 P3 (1 ) 3 0.0625 ; P4 (1 ) 4 0.03125 4
P P i 1
i
0
P1 P2 P3 P4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.96875 ó 97% del tiempo.
EJEMPLO 44 Jerry Jansen, gerente de manejo de materiales de la nueva fábrica de la Casper-Edison Corporation, necesita decidir si compra un pequeño tractor con remolque de vagones o un montacargas de uso pesado para el transporte de mercancías pesadas entre los centros de producción en la fábrica. Las llamadas a la unidad de manejo de materiales para mover una carga llegan en forma aleatoria a una tasa media de cuatro por hora. El tiempo requerido total para mover una carga tiene una distribución exponencial, donde el tiempo esperado sería 12 minutos para el tractor remolque de vagones y de 9 minutos para el montacargas. El costo total equivalente por hora (costo de recuperación de capital más el costo de operación) sería $50 para el tractor remolque de vagones y de $150 para el montacargas. El costo estimado de las mercancías ociosas (en espera de ser movidas o en tránsito) debido al incremento de inventario en proceso es $20 por carga por hora. Jerry también ha establecido ciertos criterios que desea satisfagan la unidad de manejo de materiales a fin de mantener el flujo de producción a tiempo lo más posible. Le gustaría promediar no más de media hora para completar el movimiento de una carga después de haber recibido la llamada de la solicitud del movimiento. También quiere que el tiempo para completar el movimiento no sea mayor de una hora más del 80% del tiempo. Finalmente, le gustaría tener no más de tres cargas en espera al comienzo de su movimiento por lo menos el 80% del tiempo.. a. b. c. d.
Obtenga las diferentes medidas de desempeño si se elige el tractor remolque. Evalúe si estas medidas cumplen con el criterio anterior. Repita la parte a. si se elige el montacargas. Compare las dos alternativas en términos de su costo total esperado por hora (incluido el costo de las mercancías ociosas). ¿Qué alternativa cree que debe elegir Jerry?
SOLUCIÓN
a. Observe que para el tractor remolque de vagones la tasa media de llegadas es 4 por hora y la tasa media de servicio es 60 / 12 5 por hora.
Ls
4 0.8 u 80% 5
4 4 cargas 54 - 77 -
Ws
1 1 1 hora 54
Wq
4 4 0.8 horas ( ) 5(5 4) 5
Lq Wq 4(4 / 5) 3.2 cargas
P0 1 1 4 / 5 1/ 5 0.2 P1 (1 ) (1 4 / 5)(4 / 5) 4 / 25 0.16
P2 (1 ) 2 (1 4 / 5)(4 / 5) 2 16 / 125 0.128 P3 (1 ) 3 (1 4 / 5)(4 / 5) 3 64 / 625 0.1024
P4 (1 ) 4 (1 4 / 5)(4 / 5) 4 256 / 3,125 0.08192 P0 P1 P2 P3 P4 0.67232 ó 67.232% La probabilidad de que el tiempo de espera en la línea exceda a una hora es:
P(Wq t ) e (1 )t , entonces,
1 4 1 P(Wq 1) e 5(14 / 5) (1) 0.8 0.8 = 0.2943 ó 29.43% 5 e 2.71828 La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda a una hora es:
P(Ws t ) e (1 )t entonces,
P(Ws 1) e 4(14 / 5) (1)
1 1 0.3679 ó 36.79% e 2.71828
El tractor remolque de vagones no cumple con ninguno de los criterios. b. Observe que para el montacargas la tasa media de llegadas es 4 por hora y la tasa media de servicio es 60 / 9 20 / 3 6.6667 por hora.
4 3 0.6 ó 60% 20 / 3 5 - 78 -
Ls
4 4 12 3 1.5 cargas 20 / 3 4 8 / 3 8 2
Ws
1 1 1 3 0.375 hora 20 / 3 4 8 / 3 8
Wq
4 4 36 9 0.225 horas ( ) (20 / 3)(20 / 3 4) (20 / 3)(8 / 3) 160 40
Lq Wq 4(9 / 40) 9 / 10 0.9 cargas
P0 1 1 3 / 5 2 / 5 0.4 P1 (1 ) P0 (2 / 5)(3 / 5) 6 / 25 0.24 P2 (1 ) 2 P0 2 (2 / 5)(3 / 5) 2 18 / 125 0.144 P3 (1 ) 3 P0 3 (2 / 5)(3 / 5) 3 54 / 625 0.0864 P4 (1 ) 4 P0 4 (2 / 5)(3 / 5) 4 162 / 3,125 0.05184
P0 P1 P2 P3 P4 0.92224 ó 92.224% La probabilidad de que el tiempo de espera en la línea exceda a una hora es:
P(Wq t ) e (1 )t , entonces,
1 3 1 P(Wq 1) e ( 20 / 3)(13 / 5) (1) 0.6 8 / 3 0.6 0.04169 ó 4.169% 8/3 5 e 2.71828 La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda a una hora es:
P(Ws t ) e (1 )t entonces,
P(Ws 1) e ( 20 / 3)(13 / 5) (1)
1 e
8/3
1 0.695 ó 6.95% 2.71828 8 / 3
El montacargas cumple con todos los criterios. c. Tractor remolque de vagones: Ls ($20) $50 4($20) $50 $130 / hora . Montacargas: Ls ($20) $150 1.5($20) $150 $180 / hora . d. Jerry debe elegir el montacargas.
- 79 -
EJEMPLO 45 Suponga que un sistema de líneas de espera que se ajusta al modelo M/M/1 tiene Ws 120 minutos y Ls 8 clientes. Use estos hechos (y la fórmula para Ws ) para determinar λ y μ. También determine las otras medidas de desempeño para este sistema de líneas de espera. SOLUCIÓN
Ls 8 1 0.0667 . Ws 120 15
Si Ws
1 , entonces:
1 1 8 9 3 0.075. Ws 120 120 120 40
1 / 15 40 8 0.8888 ó 88.88% 3 / 40 45 9
64 1 / 15 40 8 Lq Ls ( Ls ) 7.1111 (8) (8) (8) 9 3 / 40 45 9
Wq
Lq
64 / 9 64 15 320 106.6667 1 / 15 9 3
EJEMPLO 46 La Seabuck and Roper Company cuenta con una gran bodega en el sur de California para almacenar su inventario de bienes hasta que sean requeridos en las diversas mueblerías del área. Una sola cuadrilla de cuatro miembros se encarga de descargar y/o cargar cada camión que llega al andén de carga de la bodega. Actualmente, la administración está reduciendo sus costos, de modo que se debe tomar una decisión acerca del futuro tamaño de esta cuadrilla. Los camiones llegan en forma aleatoria al andén de carga a una tasa media de uno por hora. El tiempo requerido para que una cuadrilla descargue y/o cargue un camión tiene una distribución exponencial (independientemente del tamaño de la cuadrilla). La media de esta distribución con la cuadrilla de cuatro integrantes es 15 minutos. Si se cambia el tamaño de la cuadrilla, se estima que la tasa media de servicio de la cuadrilla (ahora μ = 4 clientes por hora) sería proporcional a su tamaño. El costo de cada miembro de la cuadrilla es $20 por hora. El costo atribuible a tener un camión sin utilizar (es decir, un camión parado en el andén de carga) se estima en $30 por hora.
- 80 -
a. Identifique los clientes y los servidores para este sistema de líneas de espera. ¿Cuántos servidores tiene actualmente? b. Determine las medidas de desempeño de este sistema de líneas de espera con cuatro miembros en la cuadrilla. (Haga t = 1 hora para obtener las probabilidades del tiempo de espera). c. Repita la parte b. con tres integrantes. d. Repita la parte b. con dos integrantes. e. ¿Debe de considerarse también una cuadrilla de una persona? Explique. f. Dados los resultados anteriores, ¿qué tamaño de cuadrilla cree que deba seleccionar la administración? g. Use las cifras de costos para determinar qué tamaño de cuadrilla minimizaría el costo total esperado por hora. SOLUCIÓN
a. b.
Los clientes son los camiones que son cargados o descargados y los servidores son las cuadrillas. El sistema actualmente tiene un servidor. Observe que la tasa media de llegadas es 1 camión por hora, la tasa media de servicio es 60 / 15 4 camiones cargados o descargados por hora, s 1 servidor.
1 0.25 ó 25% 4
Ls
1 1 0.3333 cargas o descargas 4 1 3
Ws
1 1 1 0.3333 horas 4 1 3
Wq
1 1 0.0833 horas ( ) 4(4 1) 12
1 1 Lq Wq (1) 0.0833 cargas 12 12
P0 1 1 1/ 4 3 / 4 0.75 ó 75% La probabilidad de que el tiempo de espera en la línea exceda a una hora es:
P(Wq t ) e (1 ) t , entonces,
1 1 1 P(Wq 1) e 4(11 / 4) (1) 0.25 3 0.25 0.0124468 ó 1.24468% 3 4 e 2.71828
- 81 -
La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda a una hora es:
P(Ws t ) e (1 )t entonces,
P(Ws 1) e 4(11 / 4) (1)
1 1 0.0497871 ó 4.97871% 3 e 2.71828 3
c. Ahora 1 , 3 y s 1.
1 0.3333 ó 25% 3
Ls
1 1 0.5 cargas o descargas 3 1 2
Ws
1 1 1 0.5 horas 3 1 2
Wq
1 1 0.16667 horas ( ) 3(3 1) 6
1 1 Lq Wq (1) 0.166667 cargas 6 6
P0 1 1 1/ 3 2 / 3 0.66667 ó 66.667% La probabilidad de que el tiempo de espera en la línea exceda a una hora es:
P(Wq t ) e (1 ) t , entonces,
1 1 1 1 1 P(Wq 1) e 3(11 / 3) (1) 2 0.0451118 ó 4.51118% 2 3 3 e 3 2.71828 La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda a una hora es: P(Ws t ) e (1 )t entonces,
P(Ws 1) e 3(11 / 3) (1) d.
1 1 0.1353354 ó 13.53354% 2 e 2.71828 2
Ahora 1 , 2 y s 1.
- 82 -
1 0.50 , o bien, 50% 2
Ls
1 1 carga o descarga 2 1
Ws
1 1 1 hora 2 1
Wq
1 1 0.5 horas ( ) 2(2 1) 2
1 1 Lq Wq (1) 0.5 cargas 2 2
P0 1 1 1/ 2 1/ 2 0.5 ó 50% La probabilidad de que el tiempo de espera en la línea exceda a una hora es:
P(Wq t ) e (1 ) t , entonces,
1 1 1 1 1 P(Wq 1) e 2(11 / 2) (1) 0.1839398 ó 18.39398% 2 2 e 2 2.71828 La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda a una hora es:
P(Ws t ) e (1 )t entonces,
P(Ws 1) e 2(11 / 2) (1)
1 1 0.3678796 ó 36.78796% e 2.71828
e.
No debe considerarse una cuadrilla de una persona porque el factor de utilización del servicio sería / 1 / 1 1 , es decir la cuadrilla estaría ocupada todo el tiempo y no sería posible que el sistema de línea de espera alcanzara la condición de estado estable con una carga manejable por una sola persona. f y g. Costo total = ($20)(número de integrantes de la cuadrilla) + ($30) ( Lq ) Costo total (4 miembros) = ($20)(4) + ($30)(1/12) = $82.50/hora. Costo total (3 miembros) = ($20)(3) + ($30)(1/6) = $65/hora. Costo total (2 miembros) = ($20)(2) + ($30)(1/2) = $55/hora. Una cuadrilla de 2 personas minimizaría el costo total esperado por hora.
- 83 -
EJEMPLO 47 Jake’s Machine Shop cuenta con un esmeril para afilar las herramientas de corte de la máquina principal. Ahora se debe tomar una decisión acerca de la velocidad a la que se instalará el esmeril. El tiempo de esmerilado requerido por el operador de la máquina para afilar la herramienta de corte tiene una distribución exponencial, donde la media 1/μ puede establecerse en 1 minuto, 1.5 minutos ó 2 minutos, dependiendo de la velocidad del esmeril. Los costos de operación y mantenimiento aumentan rápidamente con la velocidad del esmeril, de modo que el costo estimado por minuto es $1.60 para una media de 1 minuto, $0.90 para una media de 1.5 minutos y $0.40 para una media de 2 minutos. Los operadores de la máquina llegan a afilar sus herramientas de manera aleatoria a una tasa media de uno cada dos minutos. El costo estimado de que un operador se encuentre fuera de su máquina es $0.80 por minuto. a. Obtenga las medidas de desempeño para este sistema de líneas de espera para cada una de las tres velocidades alternativas del esmeril. (Hacer t = 5 minutos para obtener las probabilidades del tiempo de espera.) b. Use las cifras de costos para determinar qué velocidad del esmeril minimiza el costo total esperado por minuto. SOLUCIÓN
a. Para 1 / 1 1 minuto, 1 / 2 0.5 por minuto, s 1 servidor.
1/ 2 1 0.50 ó 50% 1 2
Ls
1/ 2 1 herramienta 1 1/ 2
Ws
1 1 2 minutos 1 1/ 2
Wq
1/ 2 1 minuto. ( ) (1)(1 1 / 2)
1 1 Lq Wq (1) 0.50 herramienta 2 2
P0 1 1 / 1 1/ 2 / 1 1/ 2 0.50 ó 50% La probabilidad de que el tiempo de espera en la línea exceda a cinco minutos es:
P(Wq t ) e (1 ) t , entonces, - 84 -
1 1 1 1 1 P(Wq 5) e 1(11 / 2) (5) 5 / 2 0.0410425 ó 4.10425% 2.5 2 2 e 2 2.71828 La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda a cinco minutos es:
P(Ws t ) e (1 )t entonces,
P(Ws 5) e 1(11 / 2) (5)
1 e
5/ 2
1 0.082085 u 8.2085% 2.71828 2.5
Para 1 / 1.5 1 /(3 / 2) 2 / 3 minuto, 1 / 2 0.5 por minuto, s 1 servidor.
1/ 2 3 0.75 ó 75% 2/3 4
Ls
1/ 2 3 herramientas 2 / 3 1/ 2
Ws
1 1 6 minutos 2 / 3 1/ 2
Wq
1/ 2 9 4.5 minutos. ( ) (2 / 3)(2 / 3 1 / 2) 2
1 9 9 Lq Wq 2.25 herramienta 2 2 4
P0 1 1 / 1 1/ 2 /(2 / 3) 1/ 4 0.25 ó 25% La probabilidad de que el tiempo de espera en la línea exceda a cinco minutos es:
P(Wq t ) e (1 ) t , entonces,
1 3 3 1 3 P(Wq 5) e ( 2 / 3)1(1 / 2) /( 2 / 3) (5) 5 / 6 0.3259488 32.6% 0.8333 4 4 e 4 2.71828 La probabilidad de que el tiempo de espera en el sistema exceda a cinco minutos es:
P(Ws t ) e (1 )t entonces,
P(Ws 5) e ( 2 / 3)1(1 / 2) /( 2 / 3) (5)
1 e
5/6
1 0.4345984 43.46% 2.71828 0.83333
Para 1 / 2 0.5 esta no es una alternativa factible puesto que 1
- 85 -
b. Costo total (media =1) =$1.60 + $0.80 ( Ls ) = $1.60 + $0.80 (1) = $2.40. Costo total (media 1.5) = $0.90 + $0.80 ( Ls ) =$0.90 + $0.80 (3) =$3.30. El esmeril debe ponerse a una velocidad donde el tiempo medio de servicio sea 1 minuto. EJEMPLO 48 En una instalación de servicio de lavado de autos, la información que se tiene indica que los autos llegan para ser atendidos, según una distribución de Poisson, con una tasa promedio de 4 por hora. El tiempo para lavar y asear cada automóvil varía, pero se advierte que sigue una distribución exponencial con una tasa promedio de 10 minutos por automóvil. La instalación no puede atender a más de un auto a la vez. Para analizar esta situación debemos suponer que la población de autos es tan grande que se puede considerar infinita. Además, existe suficiente espacio de estacionamiento para dar cabida a todos los autos que lleguen. SOLUCIÓN
En esta situación tenemos 4 autos por hora y 60 / 10 6 autos por hora. Como / 4 / 6 es menor que 1, el sistema puede operar en condiciones de estado estable. Medidas de desempeño
2 42 16 4 Lq 1.33 ( ) 6(6 4) 12 3 El valor de Lq 1.33 autos nos da una idea acerca de cuántos automóviles están esperando en promedio, cuando llega un cliente. Sin embargo, observamos que Lq representa un valor esperado, de modo que el número de autos en espera, en cualquier momento, puede ser mayor o menor que 1.33 autos. Podría entonces interesarnos determinar el número de lugares de estacionamiento, de manera que se asocie una probabilidad razonable de que un auto que llegue encuentre lugar. Por ejemplo, suponga que necesitamos proporcionar suficientes lugares de estacionamiento, de modo que un auto que llegue encuentre lugar por lo menos el 90% de las veces. Si “s” representa el número deseado de lugares de estacionamiento, el requisito es equivalente a decir que el número de clientes en el sistema debe ser por lo menos uno menos que el número máximo que el sistema entero (“s” lugares de estacionamiento más un servidor) puede recibir. La condición se reduce a
P0 P1 Ps 0.9 Para determinar estas probabilidades utilizamos la siguiente fórmula para determinar la probabilidad de que n autos estén en el sistema
Pn 1 - 86 -
n
Los cálculos de las probabilidades se resumen en la siguiente tabla. No. de autos en el sistema
Probabilidad
Probabilidad acumulada
0
0
1 4 4 P0 1 0.3333 ó 33.33% 3 6 6
1
4 4 1 2 P1 1 0.2222 ó 22.22$ 6 6 3 3
2
1 4 4 4 P2 1 0.1481 ó 14.81% 3 9 6 6
3
1 8 4 4 P3 1 0.0987 ó 9.87% 3 27 6 6
4
1 16 4 4 P4 1 0.0658 ó 6.58% 3 81 6 6
5
1 32 4 4 P5 1 0.0439 ó 4.39% 3 243 6 6
33.33%
1
55.55%
2
70.36%
3
80.23%
4
86.81%
5
91.2%
De la tabla anterior, el valor acumulado de Pn es 86.81% para n 4 y de 91.2% para n 5 . Esto significa que el número de espacios “s” para estacionamiento debe ser por lo menos de 5. Podemos obtener más información acerca de la operación de la instalación de lavado de autos. Por ejemplo, el porcentaje de tiempo que la instalación está desocupada es igual a la probabilidad de que no haya automóviles en el lugar; es decir, P0 33.33% , lo que significa que la instalación de servicio está inactiva el 33.33% del tiempo. Por otra parte, el tiempo que está ocupada o es utilizada la instalación se determina con el factor de carga,
4 2 0.6667 ó 66.67%. 6 3
Que equivale a la probabilidad de que un automóvil que llega deberá esperar antes de ser lavado. El tiempo de espera calculado desde el momento en que llega el automóvil hasta que sale (Ws ) , puede ser de utilidad para determinar la comodidad del servicio,
Ws
1 1 1 hora ó 30 minutos 64 2
- 87 -
Este tiempo parece ser muy largo y el gerente de la instalación de servicio debe idear un medio para acelerar la tasa de servicio. Suponiendo que hay seis espacios de estacionamiento fuera de la estación de lavado, para determinar la probabilidad de que un automóvil que llegue no encontrará un espacio para estacionarse se determina de la siguiente manera. La probabilidad de que haya n ó más clientes en el sistema es
P(n k 1) 1 ( P0 P1 P2 Pk 1 Pk )
k 1
k 1
Entonces, si k = 6 espacios para los automóviles en el sistema:
P(n 6 1)
k 1
4 6
61
7
2 0.05853 3
EJEMPLO 49 Joe Ferris es un corredor de acciones en el piso de New York Stock Exchange propiedad de la empresa Smith, Jones, Johnson and Thomas, Inc. Los pedidos llegan a una tasa media de 20 por hora. Cada pedido recibido por Joe requiere un promedio de dos minutos para procesarse. a. ¿Cuál es la probabilidad que no se reciban pedidos dentro de un período de 15 minutos? b. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 3 pedidos se reciban dentro de un período de 15 minutos? c. ¿Cuál es la probabilidad que más de 6 pedidos lleguen dentro de un período de 15 minutos? d. ¿Cuál es la tasa media de servicio por hora? e. ¿Qué porcentaje de los pedidos tomarán menos de un minuto en procesarse? f. ¿Qué porcentaje de los pedidos se completarán en exactamente 3 minutos? g. ¿Qué porcentaje de los pedidos tomará más de 3 minutos en procesarse? h. ¿Cuál es el tiempo promedio que un pedido debe esperar desde el momento que Joe recibe el pedido hasta que termina su procesamiento. i. ¿Cuál es el número de pedidos en promedio que Joe tiene en espera para procesarse? j. ¿Qué porcentaje del tiempo Joe está procesando pedidos? SOLUCIÓN
Los pedidos llegan a una tasa media de 20 por hora o un pedido cada 3 minutos. Por lo tanto, en un intervalo de 15 minutos el número de pedidos en promedio que llega es 15 / 3 5. a. P( x 0) b. P( x 3)
x e
50 e 5 e 5 2.71828 5 0.0067 . x! 0!
x e x!
53 e 5 125(2.71828 5 ) 0.1396 . 3! 6
- 88 -
c. P( x 6) 1 P( x 0) P( x 1) P( x 2) P( x 3) P( x 4) P( x 5) P( x 6) Los cálculos se muestran en la siguiente tabla
P(x = n), n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
P( x 0)
P( x 1)
P( x 2)
P( x 3) P( x 4) P( x 5)
x e x!
x e x!
x e x!
x e x!
x e x!
x e x!
Probabilidad acumulada
50 e 5 e 5 2.71828 5 0.0067 0!
0.0067
51 e 5 5e 5 5(2.71828 5 ) 0.0335 1!
0.0402
52 e 5 25e 5 25 (2.71828 5 ) 0.08375 2! 2 2
0.12395
53 e 5 125(2.71828 5 ) 0.1396 3! 6
0.16355
54 e 5 625(2.71828 5 ) 0.1745 4! 24
0.33805
55 e 5 3,125(2.71828 5 ) 0.1744 5! 120
0.51245
0.65785 Entonces, P( x 6) 1 0.65785 0.34215 d. Debido a que el tiempo promedio de procesamiento de Joe Ferris es 2 minutos ( = 2/60 hr), la tasa media de servicio, , es 1 / el tiempo medio de servicio, ó 60/2 = 30/hr. e. Ya que las unidades se expresan en horas, P(T 1 minuto) = P(T 1/60 hora). Usando la distribución exponencial, P(T t) = 1– e t . Entonces, P(T 1/60) = 1 – e–30(1/ 60) = 1 – e –0.5 = 1 – 0.6065 = 0.3935. f. Ya que la distribución exponencial es una distribución continua, la probabilidad de un tiempo de servicio exactamente igual a una cantidad específica es 0. g. El porcentaje de pedidos que requieren más de 3 minutos para procesarse es:
- 89 -
P(T > 3/60) = e –30(3/ 60) = e –1.5 = 0.2231. h. Esta es una línea de espera M/M/1 con 20 por hora y 60 / 2 30 por hora. El tiempo promedio que un pedido espera en el sistema es:
WS
1 1 1 de hora ó 6 minutos. 30 20 10
i. El número de pedidos en promedio que están en la línea de espera es:
Lq
2 (20) 2 400 4 1.33. ( ) (30)(30 20) 300 3
j. El porcentaje de tiempo que Joe está procesando los pedidos es equivalente al factor de utilización del servicio, / . De modo que, el porcentaje de tiempo en el que procesa pedidos es: / 20 / 30 2 / 3 0.66 ó 66% del tiempo.
EJEMPLO 50 Unidyde Corporation tiene una de copiadora de autoservicio para cada uno de sus departamentos corporativos. Se estima que los empleados del departamento de contabilidad llegan a la copiadora de acuerdo a una distribución de Poisson con 45 por hora. El tiempo que requieren los empleados para fotocopiar cada trabajo sigue una distribución exponencial con 1.2 por minuto. El costo promedio mensual de la copiadora en el departamento de contabilidad es $4,000. Por $1,500 más, la compañía puede reemplazar la copiadora existente por una más rápida. Se estima que la copiadora más rápida reducirá el tiempo promedio de copiado por trabajador a 30 segundos. a. b. c. d.
Determine el número promedio de empleados que esperan para usar la copiadora. Determine la cantidad promedio del tiempo total que le toma a un empleado sacar sus copias. ¿Qué porcentaje de tiempo está la copiadora desocupada? Si el salario promedio del trabajador en el departamento de contabilidad de Unidyde es de $12 por hora, ¿se debe rentar la máquina más rápida? (suponga que los empleados trabajan diariamente un turno de ocho horas y que laboran 20 días al mes).
SOLUCIÓN
y deben estar en las mismas unidades. Puesto que 45 por hora, 45 / 60 0.75 por minuto y 1.2 por minuto.
- 90 -
a.
Lq
2 (0.75) 2 1.042. ( ) (1.2)(1.2 0.75)
b.
Ws
1 1 2.222 1.2 0.75
c. Observe que el porcentaje de tiempo que la copiadora está desocupada es igual a la probabilidad de que no haya nadie en la copiadora, es decir, la probabilidad de que 0 gentes estén en el sistema.
P0 1 1
0.75 1 0.375 ó 37.5% . 1.2
Observe que la probabilidad de que la copiadora esté desocupada es igual a uno menos el factor de utilización del sistema (el porcentaje de tiempo que la copiadora está ocupada). d. Se determina el costo de los empleados que esperan por las fotocopias, pues este es básicamente el tiempo improductivo para las demás actividades. Con la copiadora actual:
Ls
0.75 1.67 1.2 0.75
Esto significa que el número promedio de empleados que esperan en el sistema por un trabajo de fotocopiado durante el día es de 1.67. A $12 por hora y ocho horas por día, el salario promedio diario que se pierde por estar los empleados en la copiadora es 1.67(12)(8) = $160. Si unidad renta la copiadora más rápida tendrá un costo adicional de $75 por día de trabajo ($1,500/20). Esto, sin embargo, aumenta a dos por minuto (ya que el tiempo promedio de copiado es 30 segundos). Tenemos
Ls
0.75 0.6 2 0.75
Por lo tanto, el salario promedio que se pierde diariamente por estar usando la copiadora los empleados es (0.6)(12)(8) = $57.6. Agregando a esta cantidad los $75 por el incremento del costo de la renta diaria de la copiadora da un total de $132.60. Debido a que esta cantidad es menor que $160, la compañía debe rentar la copiadora más rápida.
EJEMPLO 51 Jerry’ Jewelry Store anda en busca de un vendedor para el turno de la tarde. Se tienen considerados tres candidatos con experiencia para ocupar este puesto, cada uno de ellos exige diferente salario. Jerry se puso en contacto con el supervisor a quien le proporcionó la información de los tiempos promedio de servicio de cada candidato. Los salarios que exigen los candidatos y los tiempos de servicio son los siguientes:
- 91 -
Salario por hora (en $) 6 10 14
Candidato I II III
Tiempo promedio de servicio (en minutos) 6 5 4
Los clientes llegan a la tienda a una tasa promedio de 8 por hora y se estima que el costo por tener a un cliente en la tienda (por seguridad, por atención, por ocupar espacio, etc.) es $4 por cliente por hora ¿Qué candidato debe contratar Jerry? SOLUCIÓN
Para cada candidato se calcula el costo total por hora = (salario por hora) + $4Ls, donde Ls es el número promedio de clientes en el sistema. Cada caso es un sistema M/M1 con la tasa promedio de llegada 8 . Candidato I: Puesto que el tiempo promedio de servicio es 6 minutos, la tasa promedio de servicio es 60 / 6 10 clientes por hora.
Ls
8 4. 10 8
Costo total por hora = $6 + ($4)(4) = $22.
Candidato II: Puesto que el tiempo promedio de servicio es 5 minutos, la tasa promedio de servicio, 60 / 5 12 clientes por hora.
Ls
8 2. 12 8
Costo total por hora = $10 + ($4)(2) = $18.
Candidato III: Puesto que el tiempo promedio de servicio es 4 minutos, la tasa promedio de servicio, 60 / 4 15 clientes por hora.
Ls
8 8 1.14 . 15 8 7
Costo total por hora = $14 + ($4)(8/7) = $18.57.
Conclusión: Basado en este estudio, debe contratarse al candidato II.
- 92 -
