Teoría de la Medida e Integración Carlos Martínez Yáñez Marzo 2002
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Índice general general 1. Elementos Previos
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. .4. 1.5. .5. 1.6. 1.7. 1.8.
Elementos y Subco bconjuntos . . . . Uniones Disjuntas . . . . . . . . Cardinalidad . . . . . . . . . . . Espa Espaccios ios Métri étrico coss y Topo opológ lógicos icos Conv onverge ergenc nciia y Compl omplet etiitud . . . Espacios Normados . . . . . . . . Continuidad . . . . . . . . . . . . Compacidad . . . . . . . . . . . .
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2. Clases de Conjuntos
2.1. 2.2. 2.3. 2.3. 2.4.
Algebras . . . . . . . . . . . . . . Sigma-Algebras . . . . . . . . . . Algebr Algebras as y -álgebras generadas Colecciones Monótonas . . . . . .
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3. Medida
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. .4. 3.5. 3.5.
Funciones de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medidas Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Const onstru ruccción ción de Medi Medida dass Ext Exteri eriore ores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medi Medida dass Indu Induci cida dass por por Medi Medida dass Ext Exter erio iore ress . . . . . . . . . . . . . . . . . . El Teorema de Carathéodo odory . . . . . . . Completación de Medidas . . . . . . . . . La Medida de Lebes besgue . . . . . . . . . . Un conj conjun unto to que que no es Lebe Lebesg sgue ue Medi Medibl blee . La Medi Medida da de Lebe Lebesg sgue ue-S -Sti tiel eltj tjes es . . . . .
27 27 30 31 32 39
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5. Integración
5.1. 5.2. 5.3. .3. 5.4. 5.4. 5.5. 5.6. 5.6. 5.7. 5.7.
21 21 22 23 27
4. Extensión de Medidas
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.4. 4.5. .5.
7 8 8 10 12 13 14 15
Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Int Integra egraci ción ón de Funci uncion onees Posit sitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . El Teore eorema ma de la Conv Conver erge genc ncia ia Monó Monóto tona na de Lebes Lebesgu guee . . . . . . . El Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El Teore eorema ma de la Conv Conver erge genc ncia ia Domi Domina nada da de Lebes Lebesgu guee . . . . . . . Comp Compar arac ació iónn con con la inte integr gral al de Riem Rieman annn . . . . . . . . . . . . . . .
39 40 41 42 42 45
... . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . .. ..
45 47 48 50 52 54 54
ÍNDICE GENERAL
4 6. Los Espacios L p
6.1. 6.2. 6.3. 6.4.
59
Funciones Convexas . . . . . . . . . . . . La Desigualdad de Jensen . . . . . . . . . Las Desigualdades de Hölder y Minkowki Los Espacios L p . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Medidas Signadas
7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.
69
La Descomposición de Hahn . . . . . . . . . . . La Descomposición de Jordan . . . . . . . . . . Continuidad Absoluta . . . . . . . . . . . . . . El Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . El Teorema de la Descomposición de Lebesgue
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8. Integración en Espacios Producto
9. El Teorema Fundamental del Cálculo
Funciones de Variación Acotada . Diferenciabilidad . . . . . . . . . Continuidad Absoluta . . . . . . El Teorema Fundamental . . . .
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77 79 81 83
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10.Respuestas
10.1. Capítulo 1, página 16 10.2. Capítulo 2, página 24 10.3. Capítulo 3, página 35 10.4. Capítulo 4, página 43 10.5. Capítulo 5, página 55 10.6. Capítulo 6, página 65 10.7. Capítulo 7, página 76 10.8. Capítulo 8, página 82
69 70 71 72 74 77
8.1. Medidas Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. El caso Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. 9.2. 9.3. 9.4.
59 59 60 61
83 85 87 88 91
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91 95 98 100 101 106 110 111
ÍNDICE GENERAL
5
Prefacio El objetivo de estos apuntes es, por un lado entregar al estudiante que se enfrenta por primera vez con la teoría de la medida y la integración un texto enteramente escrito en español y por otro lado ofrecer a este estudiante un real apoyo a través de una gran cantidad de problemas propuestos en cada capítulo y con indicaciones de su resolución al …nal del texto. Desde mi modesto punto de vista, estos dos objetivos son totalmente válidos: actualmente existe en circulación una gran cantidad de textos, de muy buen nivel en el tema, pero escritos en otros idiomas. No hago juicios sobre si se debe conocer otros idiomas, pero en todo caso, espero contribuír al desarrollo matemático de aquellos estudiantes que no los dominan. Por otro lado, es un hecho indiscutible que la mayoría de estos buenos textos viene con una gran variedad de problemas propuestos, pero desgraciadamente, en su gran mayoría sin indicaciones de como enfrentarlos. Es claro que es discutible el valor formativo que las indicaciones de como resolver un problema pueda ejercer sobre un estudiante de matemática, especialmente si este estudiante tiene como proyecto de vida la investigación, sin embargo no es menos cierto que el no poder resolver un problema propuesto puede llevar al desaliento y a la frustración y …nalmente la poca habilidad adquirida en la solución de problemas rinda pocos bene…cios en términos de la capacidad del futuro investigador para usar las herramientas matemáticas de las que dispone. Es un hecho bien conocido que el resolver problemas, incluso aquellos con indicaciones, profundizan la comprensión de teoremas y valorizan la real potencia de los variados métodos y enfoques para analizar metodológicamente un problema. Para ser consecuente con lo anterior, sólo me resta esperar que los problemas sean trabajados a conciencia, dedicándoles un tiempo prudente y haciendo un genuino esfuerzo personal para su resolución y sólo en caso necesario, recurrir a las indicaciones al …nal del texto. En cualquier caso desde ya agradezco toda crítica, tanto al texto como a las soluciones propuestas a los problemas planteados. Por último me gustaría agradecer el apoyo recibido por parte de las autoridades del Instituto de Matemática de la UCV para realizar la tercera edición de este trabajo.
Dr. Carlos Martínez Yáñez Valparaíso, marzo de 2007.
6
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1 ELEMENTOS PREVIOS En este capítulo presentaremos presentaremos aquellos resultados básicos que necesitaremos para desarrollar la teoría de la medida y la integración. La mayoría de los resultados los presentaremos sin demostraciones por cuanto ellas pueden encontrarse, con gran detalle y explicaciones en la literatura clásica. 1.1. 1.1.
Elemen Elementos tos y Subc Subconj onjun untos tos
Sea un conjunto no vacío arbitrario, denotaremos por los subconjuntos de . Por ejemplo, si = f1; 2; 3g, entonces
P () () la familia de todos
P ()= ()= f; f1g ; f2g ; f3g ; f1; 2g ; f1; 3g ; f2; 3g ; f1; 2; 3gg : En estos apuntes supondremos siempre que = 6 . Una colección o familia C de subconjuntos de P () () es simplemente un subconjunto de P () (). Por ejemplo si = f1; 2; 3g, entonces C = f; f1g ; f3g ; f1; 3g ; f2; 3gg es una tal colección. Para simpli…car notación y lenguaje en algunas ocasiones diremos, por ejemplo, la colección colección ; f1g ; f3g ; f1; 3g ; f2; 3g para referirnos a la colección C . Debemos prestar especial atención a la naturaleza de los ob jetos involucrados involucrados cuando se trabaja con familias de conjuntos. Ejemplos típicos de expresiones erróneas son las siguientes: Incorrecto: f1g es un subconjunto de C . Correcto:f1g es un elemento de C . Incorrecto: 1 2 C . Expresiones correctas: 1 2 ; f1g 2 C ; f1g ; ff1g g C : Incorrecto: 2 . Expresiones correctas: ; C ; 2 C . Otro ejemplo típico de expresión incorrecta es a…rmar que si C = fg entonces C es vacío. En realidad esta familia no es vacía puesto que contiene un elemento: el elemento . A menos que se diga lo contrario, cada vez que tengamos una familia C , se supon6 drá que esta familia es no vacía y está formada por subconjuntos de . Esto es = C P () (). Denotaremos por C a la intersección de todos los conjuntos pertenecientes a C , esto es:
T
\C \ SC =
F
F 2C
Análogamente usaremos la notación para denotar la unión de todos los conjuntos pertenecientes a C . Usaremos la notación (An )1 n=1 (o simplemente (An )) para representar una sucesión de conjuntos (secuencia ordenada por los números naturales) y la notación fAn g1 n=1 (o simplemente fAn g) para representar el recorrido de la sucesión.
Elementos Previos
8 1
De…nición 1 Se dice que la sucesión (An )n=1 es monótona creciente si para todo n 1
se tiene An
An+1. Esta situación la denotaremos por An " A en donde A = 1
S
n=1
1
An .
Análogamente diremos que la sucesión (An )n=1 es monótona decreciente si para todo n 1 se tiene An An+1 y denotaremos esta situación por el símbolo An A en
donde A =
1
T
n=1
An .
#
1
Diremos que la sucesión (An )n=1 es monótona si es monótona creciente o monótona decreciente. 1
De…nición 2 Sea (An )n=1 una sucesión de subconjuntos de , entonces los conjuntos
lm m sup su p An y lm m inf in f An se denominan respectivamente límite superior y límite inferior de n!1
n!1
la sucesión y están de…nidos por las siguientes identidades: 1
lm m sup su p An n!1
Ai
n=1 i=n 1 1
lm m inf in f An n!1
=
1
\[ [\
=
Ai
n=1 i=n
Si lm m sup su p An = lm m inf in f An , diremos que la sucesión (An ) tiene límite y escribiremos: n!1
n!1
lm An = lm m sup su p An = lm m inf in f An :
n!1
n!1
n!1
Es fácil demostrar (ver Problema 3) que toda sucesión monótona tiene límite. 1.2. 1.2.
Unione Uniones s Disjun Disjuntas tas
Suponga que fC i g es una colección arbitraria de subconjuntos de . Se dice que 6 j. Note que esta condición es más la colección es disjunta si C i \ C j = para todo i = fuerte que simplemente pedir C i = . Por ejemplo, la colección C 1 = f1; 2g; C 2 = f2; 3g; C 3 = f1; 3g tiene intersección vacía, pero no es una colección disjunta de conjuntos. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, su unión, como siempre, se denota por A [ B . Sin embargo esta notación no indica, por si sola que los conjuntos son disjuntos. Para poner de mani…esto esta propiedad de los conjuntos A y B; se acostumbra em plear otras notaciones, como por ejemplo colocar un punto sobre el signo de unión: A [ B . Nosotros no usaremos esta notación , preferiremos la notación A + B . Análogamente usaremos la notación: C i para uniones de colecciones disjuntas. En estos casos hablaremos de uniones de conjuntos disjuntos, de uniones disjuntas o simplemente de suma de conjuntos .
T
P
1.3. 1.3.
Cardin Cardinali alidad dad
Se dice que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe una función ' : A ! B biyectiva. En este caso escribiremos que jAj = jB j. Es fácil ver que la relación de cardinalidad es una relación de equivalencia en la categoría de todos los conjuntos y en consecuencia podemos de…nir el número cardinal cardinal o cardinalidad cardinalidad de A como la clase de equivalencia equivalencia de A. Todo conjunto A que tenga la misma cardinalidad que I n = f1; 2; : : : ; ng N para algún n 2 N se dirá que tiene cardinalidad …nita n o que es un conjunto …nito con n elementos, en caso contrario diremos que A es in…nito o que tiene cardinalidad in…nita . Denotaremos por @0 la cardinalidad de N.
Cardinalidad
9
Diremos que A es numerable si tiene la misma cardinalidad que N. Diremos que el conjunto A es contable si es …nito o numerable.
j jj j j j j j
De…nición 3 Sean A y B dos subconjuntos de . Escribiremos A
B si existe ' : A B inyectiva. Por otro lado escribiremos que A < B si y sólo si A B pero no existe función ' : A B biyectiva.
!
j j j j
!
j j jP (A)j. Demostración. La aplicación ' : A ! P (A) dada por '(a) = fag es una función inyectiva. Supongamos ahora que existe una función biyectiva f : A ! P (A). De…namos B = fa 2 A : a 2 = f ( f (a)g. Como B 2 P (A) y f es epiyectiva, se deduce que debe existir b 2 A tal que f (b) = B . Pero esta última observación nos lleva a una contradicción puesto que ahora es fácil deducir que b 2 B y b 2= B . Esto concluye la demostración. Ejemplo 5 Es posible demostrar que jP (N)j = jRj, por lo tanto de acuerdo a la proposición anterior se tiene: jNj = @0 < c = jRj : Proposición 4 Si A es un conjunto, entonces A <
La cardinalidad de R se conoce como la cardinalidad del continuum y se denota por c. La Hipótesis del Continuum postula que no existe número cardinal tal que 0 < < c. c. Se ha demostrado que esta hipótesis es independiente del Axioma de Elección y los otros axiomas básicos de la teoría de conjuntos (ver Bibliografía, P.J. Cohen).
@
Proposición 6 Si A es in…nito y
j j jF (A)j.
A, entonces A =
F (A) es la familia de todos los subconjuntos …nitos de
Demostración. Vea Corolario 8.13 de Thomas Hungerford. De…nición 7 Sean y dos números números card cardinal inales. es. La suma + se de…ne como el
j
j
j j
número cardinal A + B en donde A y B son dos conjuntos disjuntos tales que A = y B = . El producto se de…ne como el número cardinal A B .
j j
j j Teorema 8 Sean y dos números cardinales tales que 1 y supongamos que es in…nito. Entonces = ; en particular @0 = y si es …nito, entonces @0 = @0 . Demostración. Ver Teorema 8.11 de Thomas Hungerford. Corolario 9 Las cardinalidades de R; C y Rn para cualquier n
2 N son iguales. Demostración. Como jCj = jR Rj, se deduce que jCj = c2 = c = jRj. Análogamente jRn j = cn = c = jRj.
Corolario 10 La unión contable de conjuntos contables es contable. Demostración.
numerables. Sea A =
1
P
n=1
Basta suponer que se tiene una unión disjunta de conjuntos
An en donde An es numerable. Entonces An =
j j jfng Nj. Luego
1
jAj =
P f g ( n
n=1
Esto termina la demostración.
j Nj = jNj :
N) = N
Elementos Previos
10 1.4.
Espacios Métricos y Topológicos
De…nición 11 Sea X un conjunto no vacío. Una función d : X
X ! R se dice que es
una métrica (o una distancia) en X si cumple con las siguientes propiedades:
() x = y
d(x; y) 0 y d(x; y) = 0 d(x; y) = d(y; x) d(x; y) d(x; z) + d(z; y)
De…nida positiva. Simetría. Desigualdad triangular.
El par ordenado (X; d) se conoce como espacio métrico. Cuando la métrica d esté clara del contexto, diremos simplemente ”el espacio métrico X ”. Si x X y r > 0, entonces el conjunto
2
f 2 X : d(y; x) < r g
B(x; r) = y
se conoce como la bola abierta de radio r centrada en x. Si X 0 es un subconjunto no vacío de X , entonces la restricción de la métrica d al espacio X 0 X 0 es obviamente una métrica en X 0 . Al espacio métrico (X 0 ; d) se lo denomina subespacio de (X; d).
De…nición 12 Sea (X; d) un espacio métrico. Entonces:
1. G X se dice que es un conjunto abierto si para todo x B(x; r) G.
Si G es abierto y x
2 G, existe r > 0, tal que
2 G, diremos que el conjunto abierto G es una vecindad de x.
X se dirá que es cerrado si su complemento es abierto. 3. Si A X , denotaremos por A la clausura de A, esto es, el conjunto fF : F cerrado y A F g : A= 2. F
\
Diremos que A es denso (en X ) si A = X . Diremos que X es separable si existe un subconjunto A 4. Si A
X denso y contable.
X , denotaremos por A el interior de A, esto es, el conjunto
A=
[f
G : G abierto y G
Ag :
Los elementos de A se denominan puntos interiores de A. 5. Si A
X , denotaremos por Fr (A) a la frontera de A, esto es: Fr (A) = A \ X A
6. Si A X es un conjunto no vacío, denotaremos por diam (A) al diámetro de A, esto e: diam (A) = sup d(x; y) : x; y A .
f
Diremos que A es acotado si diam (A) <
2 g
1.
Espacios Métricos y Topológicos
11
j yj. Entonces (R; d) es un espacio métrico. Esta métrica se conoce como la métrica usual de R. Análogamente podemos de…nir en C la métrica usual por d(z1 ; z2 ) = jz1 z2 j en donde z1 ; z2 son números complejos y jz1 z2 j es el módulo del número complejo z1 z2 . Ejemplo 13 En R de…namos d(x; y) = x
Si en Rn de…nimos la distancia por
d ((xi )ni=1 ; (yi )ni=1 ) =
n
P j
xi
i=1
yi
j 2
1=2
;
entonces Rn es un espacio métrico y la distancia d se conoce como su métrica usual. Sin otro aviso en contrario siempre se entenderá que Rn está provista de su métrica usual. En el caso particular de R R su métrica usual está dada por
d((x1 ; y1 ); (x2 ; y2 )) = Sea
p
(x1
x2)2 + (y1 y2)2:
f
A = (1=n; 1=m) : m; n Entonces 1) A = A
2 Ng :
[ f(0; 0)g [ f(0; 1=n) : n 2 Ng [ f(1=n; 0) : n 2 Ng :
2) A = 3) Fr (A) = A 4) diam (A) =
\p Ac = A \ (R R) = A. 2:
Proposición 14 Sea (X; d) un espacio métrico. Entonces la colección
todos los conjuntos abiertos, satisface las siguientes propiedades:
T formada por
2 T : 2. Si fG g es una colección arbitraria de abiertos, entonces G es abierto. 1. ; X
3. Si G1 ; G2 ; : : : ; Gn son n conjuntos abiertos, entonces
S
n
T
Gk es abierto.
k=1
La Proposición 14 tiene, por razones obvias, su dual en el siguiente resultado: Proposición 15 Sea (X; d) un espacio métrico. Entonces la colección
todos los conjuntos cerrados, satisface las siguientes propiedades:
F formada por
2 F : 2. Si fF g es una colección arbitraria de cerrados, entonces F es cerrado. 1. ; X
n
3. Si F 1 ; F 2 ; : : : ; Fn son n conjuntos cerrados, entonces
S
T
F k es cerrado.
k=1
De…nición 16 Sea (X; d) un espacio métrico y A
2
X . Un punto x X se dice que es un punto de acumulación de A si toda bola abierta centrada en x contiene al menos un punto de A distinto de x. Proposición 17 Sea (X; d) un espacio métrico y F
sólo si contiene a todos sus puntos de acumulación.
X . Entonces F es cerrado si y
Elementos Previos
12
Toda colección de subconjuntos de un conjunto X que satisfaga las tres propiedades enumeradas en la Proposición 14, se conoce como topología. Así ese resultado nos dice que la colección T de todos los subconjuntos abiertos de un espacio métrico X es una topología para X . De…nición 18 Sea X un conjunto arbitrario no vacío. Una colección
T de subconjuntos
de X es una topología para X si satisface las siguientes tres propiedades:
2 T 2. Si fG g es una colección arbitraria en T , entonces G 2 T . 1. ; X
T
3. Si G1 ; G2 ; : : : ; Gn son n conjuntos en , entonces
de
T
T
S T n
Gk
k=1
2 T .
En este caso diremos que el par (X; ) es un espacio topológico y los conjuntos se conocerán como conjuntos abiertos. Sea X 0 X: Es fácil veri…car que la colección:
T \ X 0 = fG \ X 0 : G 2 T g ; es una topología en X 0 . En consecuencia el par (X 0 ; T \ X 0 ) es un espacio topológico. Diremos que (X 0 ; T \ X 0 ) es un subespacio topológico de (X; T ). Las de…niciones de conjuntos cerrados, clausura, densidad, frontera, vecindad, interior, puntos interiores y separabilidad se entenderán extendidas a los espacios topológicos. De…nición 19 Sea (X;
T
B T
) un espacio topológico. Una subcolección de se dice que es un base para la topología si todo conjunto abierto es una unión de conjuntos en esta subcolección. Si existe y es contable, entonces el espacio topológico X se dice que es un espacio segundo contable o que satisface el segundo axioma de contabilidad .
B
1.5.
T
Convergencia y Completitud
De…nición 20 Sea (X; d) un espacio métrico y (xn ) una sucesión en X . Diremos que la
sucesión (xn ) es convergente si existe un punto x
2 X tal que: (8 > 0) (9n0 2 N) (8n 2 N) (n n0 =) d(xn ; x) < ) :
Si este es el caso, usaremos cualquiera de las siguientes notaciones: lm xn = x;
n!1
lm xn = x;
xn
! x:
Si lm xn = x diremos que x es el límite de la sucesión (xn ). n!1
Proposición 21 El límite de una sucesión convergente es único. De…nición 22 Sea (X; d) un espacio métrico y (xn ) una sucesión en X . Diremos que la
sucesión (xn ) es de Cauchy si:
8
9 2 N) (8n; m 2 N) (n; m n0
( > 0) ( n0
)
=
d(xn ; xm ) < ) :
Proposición 23 Sea (X; d) un espacio métrico. Entonces toda sucesión convergente es
de Cauchy.
Espacios Normados
13
De…nición 24 Un espacio métrico (X; d) se dice que es un espacio
métrico completo si
toda sucesión de Cauchy en X converge a algún punto de X . Ejemplo 25 El espacio métrico (0; 1] con la métrica usual no es completo. En efecto, si 1
tomamos la sucesión (1=n)n=1 vemos que ella es de Cauchy pero no es convergente en (0; 1] pues el punto 0; que sería su único posible límite, no es un punto del espacio. Nota 26 Es un hecho fundamental del análisis que R y C, así como en realidad todos los espacios Rn ; son espacios métricos completos. Proposición 27 Sea (X; d) un espacio métrico completo y E
completo si y sólo si E es cerrado en X . 1.6.
X . Entonces (E; d) es
Espacios Normados
De…nición 28 Un espacio normado es un espacio vectorial (escalares reales o complejos)
X sobre el cual se ha de…nido una función real x las siguientes propiedades: (a) x 0; y x = 0 si y sólo si x = 0. (b) x = x ; (c) x + y x + y :
! kxk denominada norma, que tiene
k k k k k k j jk k k kk k k k
Es fácil veri…car que si X es un espacio normado entonces la función:
k yk ;
d(x; y) = x
es una métrica en X . Diremos que el espacio normado X es un espacio de Banach si el espacio métrico (X; d) es completo.
p < 1, de…namos l p como el conjunto de todas las sucesiones p de escalares (xn ) tales que jxn j < 1. Si en l p se de…ne la suma de sucesiones y el Ejemplo 29 Para 1
P
producto por escalar de la manera usual, vale decir, por:
(xn ) + (yn ) = (xn + yn ) (xn ) = (xn ) entonces es posible demostrar que l p es un espacio vectorial. Si además de…nimos:
k(xn)k p = ( jxnj p)1=p
P
es posible demostrar que l p es un espacio de Banach. Estos espacios son un caso especial de los espacios L p que de…niremos más adelante. Ejemplo 30 El espacio l1 se de…ne como el conjunto de todas las sucesiones acotadas de
escalares. Es fácil veri…car que l1 es un espacio vectorial con la suma y producto de…nidos como en el ejemplo anterior. Además si se de…ne:
k(xn)k
1
j j
= sup xn n1
es fácil veri…car que l1 también es un espacio de Banach. La correspondiente distancia es una caso especial de la distancia uniforme de…nida en el espacio L1 () que de…niremos más adelante.
Elementos Previos
14 1.7.
Continuidad
De…nición 31 Sean (X; d1 ) e (Y; d2 ) dos espacios métricos y f : X
Diremos que f es continua en x0
2 X , si: (8 > 0) (9 = (; x0 ) > 0) (8x 2 X ) (d1 (x; x0 ) <
)
=
! Y una función.
d2 (f (x); f (x0 )) < ) :
Diremos que f es continua en X si es continua en cada punto de X . Note que en general depende tanto de como de x0 . Proposición 32 Sean (X; d1 ) e (Y; d2 ) dos espacios métricos y f : X
Entonces las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f es continua en X . (2) xn x = f (xn ) f (x): (3) f 1 (G) es abierto en X para todo G abierto en Y:
!
)
! Y una función.
!
La clase de las funciones continuas es quizás la clase de funciones que más éxito ha tenido en todas las matemáticas, tanto por sus múltiples propiedades como por ser las funciones de elección cuando se trata de modelar algún fenómeno natural. Una subclase de estas funciones la constituye la clase de las uniformemente continuas: De…nición 33 Sean (X; d1 ) e (Y; d2 ) dos espacios métricos y f : X
Diremos que f es uniformemente continua en X si:
8
9
8
( > 0) ( = () > 0) ( x; y
2 X ) (d1(x; y) <
)
=
! Y una función.
d2 (f (x); f (y)) < ) :
Note que a diferencia de la simple continuidad, la continuidad uniforme exige que haya un módulo de continuidad () uniforme para todos los elementos del dominio.
La Proposición 32, que nos da una equivalencia de continuidad enteramente en base a las respectivas topologías de los espacios involucrados, nos permite generalizar la noción de continuidad al ámbito de los espacios topológicos: De…nición 34 Sean (X;
T
T
! 2 T
Y una función. 1 ) e (Y; 2 ) dos espacios topológicos y f : X Diremos que la función es continua en X si f 1 (G) para todo G 1 2. Sea x0 X . Diremos que f es continua en x0 si dada cualquier vecindad V de f (x0 ) existe una vecindad U de x0 tal que f (U ) V .
2 T
2
Proposición 35 Sean (X;
T 1) e (Y; T 2) dos espacios topológicos y f : X ! Y una fun-
ción. Entonces f es continua en X si y sólo si es continua en cada punto de X .
De…nición 36 Sea (f n ) una sucesión de funciones reales de…nidas en el espacio metrico R si (X; d). Diremos que la sucesión (f n ) converge puntualmente a la función f : X para todo x X y para todo > 0, existe un natural N N tal que
2
8 2 N) (n N
( n
2 =) jf n (x) f (x)j < ) :
!
De…nición 37 Sea (f n ) una sucesión de funciones reales de…nidas en el espacio metrico (X; d). Diremos que la sucesión (f n ) converge uniformemente a la función f : X R si para todo > 0, existe un natural N N tal que
2 (8n 2 N) (8x 2 X ) (n N
!
) jf n(x) f (x)j < ) :
=
Proposición 38 Sea (f n ) una sucesión de funciones reales de…nidas en el espacio metrico (X; d) que converge uniformemente a la función f : X R. Entonces si cada función f n
es continua, también lo es f:
!
Compacidad 1.8.
15
Compacidad
De…nición 39 Sea (X;
T ) un espacio topológico. Una clase fGg de subconjuntos de X
se dice que es un recubrimiento abierto de X si G es abierto para cada y además se cumple que G = X .
S
De…nición 40 Diremos que el espacio topológico (X;
f g
T ) es un espacio compacto si todo
recubrimiento abierto G de X tiene un subrecubrimiento …nito, es decir, existe una
f gnk=1 de la colección fGg tal que
n
S
X , diremos que X 0 es un subconjunto compacto de X si el subespacio topológico (X 0 ; T \X 0 ) es compacto. subcolección Gk
Proposición 41
Gk = X . Si X 0
k=1
(Heine-Borel) Todo subconjunto cerrado y acotado de Rn es compacto.
En particular todo intervalo [a; b] es un subconjunto compacto de R. Proposición 42 Todo subconjunto cerrado de un espacio topológico compacto es com-
pacto. Proposición 43 Sean (X;
continua. Entonces, si A
T 1) e (Y; T 2) dos espacios topológicos y f : X ! Y una función
X se tiene:
)
A compacto en X =
f (A) compacto en Y .
De…nición 44 Sea (X; d) un espacio métrico. Diremos que X es totalmente acotado si
para todo > 0, existe una colección …nita de puntos a1 ; a2 ; : : : ; an en X tal que: n
X =
[
B(ak ; ):
k=1
De…nición 45 Sea (X; d) un espacio métrico. Diremos que X es secuencialmente com-
pacto si toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente. De…nición 46 Sea (X; d) un espacio métrico. Diremos que X tiene la propiedad de
Bolzano-Weierstrass si todo subconjunto A de cardinalidad in…nita tiene al menos un punto de acumulación en X . Proposición 47 Sea (X; d) un espacio métrico. Entonces las siguientes propiedades son
equivalentes: (1) (X; d) (2) (X; d) (3) (X; d) (4) (X; d)
es un espacio compacto. es un espacio secuencialmente compacto. tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass. es completo y totalmente acotado.
Proposición 48 Sean (X; d1 ) e (Y; d2 ) dos espacios métricos y f : X
! Y una función
continua. Entonces si X es compacto se tiene que f es uniformemente continua.
El siguiente teorema se conoce como Teorema de Dini: Proposición 49 Suponga que (f n ) con f n : X
!R
es una sucesión de funciones continuas que converge puntual y monótonamente a la función real f . Entonces si X es compacto se cumple que la convergencia es uniforme.
Capítulo 2 CLASES DE CONJUNTOS 2.1.
Algebras
De…nición 50 Sea
A una colección de subconjuntos de P (). Diremos que A es un
álgebra en si contiene al conjunto y es cerrada respecto a complementos y uniones. En otras palabras, cumple con las siguientes propiedades: (a) (b) Si A , entonces Ac . (c) Si A y B , entonces A B .
2A 2A 2A
2A
2A
[ 2A
A cumple la propiedad (c) si y sólo si es cerrada bajo uniones …nitas, es decir, uniones del tipo A1 [ A2 [ [ An . Por lo tanto, si la colección A cumple con (c) diremos simplemente que la colección es cerrada bajo uniones. Más adelante veremos situaciones con uniones in…nitas. Si A es un álgebra, entonces A también es cerrado bajo intersecciones y diferenNota 51 Por inducción se deduce que la colección
cias, puesto que:
A A
\B B
= (Ac B c )c = A Bc:
\
[
A es un álgebra, entonces 2 A puesto que = c. Proposición 52 La colección A es un álgebra si y sólo si cumple con las siguientes condiciones: (1) 2 A (2) Si A 2 A y B 2 A, entonces A B 2 A. (3) Si A 2 A y B 2 A, con A \ B = ; entonces A + B 2 A. Demostración. Si A es un álgebra entonces la propiedad (2) es evidente (ver Note que si
Nota 51). Recíprocamente las propiedades (b) y (c) se deducen de las siguientes identidades: Ac A B
[
= A = A + (B
A).
Esto termina la demostración. 2.2.
Sigma-Algebras
De…nición 53 Una colección
A
P
de subconjuntos de () se dice que es un sigma álgebra ( -álgebra) en si contiene a y es cerrada bajo complementos y uniones numerables, esto es, cumple con las siguientes propiedades: (a)
2A
Clases de Conjuntos
22
2 A =) Ac 2 A. (c) An 2 A; n = 1; 2; : : : =) An 2 A: n=1 Nota 54 Nuevamente es claro que 2 A. Por otro lado, si A es un -álgebra, entonces A es cerrada respecto a uniones …nitas: en efecto, si A; B 2 A, entonces debido a la identidad: A[B = A[B [[[ se deduce de (c) y del hecho que 2 A que A [ B 2 A. Esto signi…ca que todo -álgebra (b) A
1
S
es también un álgebra.
A es un -álgebra si y solamente si cumple con: 2 A. 2 A y B 2 A =) A B 2 A. (3) An 2 A; n = 1; 2; : : :, sucesión disjunta, entonces An 2 A. n=1 Demostración. En claro que si A es un -álgebra entonces se cumplen las condiciones indicadas. Recíprocamente es evidente que las condiciones indicadas implican que A es un álgebra (Note que = 2 A), luego basta demostrar que se cumple la condición (c) de la De…nición 53. Sea (An )n=1 una sucesión arbitraria en A. Entonces: Proposición 55
(1) (2) A
1
P
1
1
[
1
Ai = A1 +
i=1
Ahora como
X 0@ [ 1A i1
Ai
Aj
i=2
j=1
A es un álgebra, la condición (3) implica que
termina la demostración.
Proposición 56 Todo -álgebra
es, cumple con:
2 A. Esto
Ai
i=1
A es cerrado respecto a intersecciones contables, esto 1
1 (An )n=1
A
)
=
Demostración. Basta observar que
\
An
n=1
1
T
n=1
2.3.
1
S
2 A: 1
An =
S n=1
Acn
c
. Esto termina la demostración.
Algebras y -álgebras generadas
De…nición 57 Sea
C una familia no vacía de subconjuntos de . De…namos: A(C ) = fA : A álgebra y C Ag :
\
Es fácil demostrar (ver Problema 2) que esta intersección es el álgebra más chica que contiene a . En otras palabras, si es un álgebra en que contiene a , entonces ( ) . Esta álgebra se denomina el álgebra generada por .
A C B
C
De…nición 58 Sea
B
C
C
C una familia no vacía de subconjuntos de . De…namos: fA : A es -álgebra y C Ag : (C ) =
\
Es fácil demostrar (ver Problema 3) que esta intersección es la -álgebra más chica que contiene a . En otras palabras, si es una -álgebra en que contiene a entonces ( ) . Esta -álgebra se denomina el -álgebra generada por .
C B
C
B
C
C
Colecciones Monótonas
23
Ejemplo 59 Sea (; ) un espacio topológico. Denotaremos por
B() la -álgebra gene-
rada por la topología. Esto es () = ( ). Esta -álgebra se conoce como la -álgebra de Borel. En los casos especiales en que = R o R es posible demostrar que (R) y R coinciden con la -álgebra generada por la colección = (a; b] : a; b R (para este resultado ver Problema 10 y para considerar otras colecciones vea Problema 11).
B
C
2.4.
f
B 2 g
B
Colecciones Monótonas
En general es imposible describir constructivamente la -álgebra generada por una colección arbitraria de subconjuntos de y por ende se hace difícil demostrar aquellas proposiciones que involucran -álgebra generadas. Por esta razón se introducen las colecciones monótonas, colecciones más fáciles de manejar que las -álgebras generadas y que en casos especiales las contienen (proposición 61).
M de subconjuntos de se dice que es una familia o colección monótona si, dada cualquier sucesión monótona (E n ) en M, se cumple que lm E n 2 M. Si C es una familia no vacía de subconjuntos de denotaremos por M(C ) la familia monótona generada por C . Esto es: M(C ) = fM : M es familia monótona y C Mg . Nuevamente es fácil ver que M(C ) es la familia monótona más chica que contiene a C (ver Problema 18). Diremos que A es una álgebra monótona si A es álgebra y es una familia monóDe…nición 60 Una familia no vacía
\
tona.
La importancia de las familias monótonas reside en el siguiente resultado:
A es una álgebra y C una familia monótona de subconjuntos de . Suponga que A C , entonces (A) C . Demostración. De acuerdo al Problema 24, M(A) = (A). Por otro lado es claro que M(A) C . Luego, (A) C . Esto termina la demostración. Proposición 61 Sea
Capítulo 3 MEDIDA 3.1.
Funciones de Conjuntos
Sea C una familia no vacía de subconjuntos de . Entonces:
C ! [0; 1] se denomina función de conjuntos. Observe que la función puede tomar el valor 1. Ejemplo 63 Sea C = P (R). Para cada A 2 C de…na jAj A …nito (A) = 1 A in…nito Por ejemplo (R) =(N)=1, pero (f1; 4; 9g) = (f6; 7; 9g) = 3: De…nición 64 Sea C una familia no vacía de subconjuntos de y : C ! [0; 1] una función de conjuntos. Entonces diremos que la función es: (a) Aditiva si para todo A; B 2 C con A + B 2 C se tiene: De…nición 62 Una función :
(A + B) = (A) + (B) (b) Finitamente aditiva si para toda colección disjunta (Ak )nk=1 en , con
n
P
Ak
(c) Contablemente aditiva (o -aditiva) si para toda sucesión (Ak )k=1 en , con
P
C
tiene:
n
n
P P Ak
=
k=1
se tiene:
k=1
3.2.
1
1
=
1
C
k=1
Ak
2C
(Ak ) :
k=1
Recuerde que en las notaciones A+B y involucrados son disjuntos.
(Ak )
P P P Ak
2 C se
k=1
1
k=1
1
Ak la suma signi…ca que los conjuntos
k=1
Medidas
De…nición 65 Sea
A un álgebra en . Diremos que la función : A ! [0; 1] es una
medida …nitamente aditiva si () = 0 y cumple con la propiedad (b). Si la función además cumple con la propiedad (c) se dirá que es una medida contablemente aditiva o simplemente una medida. En alguna ocasiones y para enfatizar que el rango de la medida es [0; 1] hablaremos de medida positiva.
Medida
28 De…nición 66 Un trío (;
A; ) se dice que es un espacio de medida si A es una -
álgebra en y es una medida. En otras palabras, se cumple:
A
a) b) c) d)
El dominio de es una -álgebra en : es no negativa en . es contablemente aditiva en . () = 0:
A
A
El par (; ) se dice que es un espacio medible y los elementos de
A
conjuntos medibles.
Nota 67 Si es una medida en la -álgebra
A se llamarán
A
entonces además de ser contablemente aditiva, es …nitamente aditiva. En efecto, si A; B están en y son disjuntos, entonces: (A + B) =
A (A + B + + + ) 1
= (A) + (B) +
X
()
k=1
= (A) + (B):
Ejemplo 68 Sea = R. Si A = (a; b] es un intervalo acotado, de…namos la medida de A
por medio de la longitud del intervalo (a; b]. Esto es, (A) = b a. Veremos más adelante (ver Sección 4.3) que esta de…nición nos permite asignar, de manera única, una medida a una gran colección de subconjuntos de R y en particular a todos los conjuntos de Borel. De esta manera podremos asignarle una medida a conjuntos tales como: (a) Q, el conjunto de todos los números racionales. (b) A = a + 2b : a; b Q .
p
2
A; ) un espacio de medida. Entonces: 1. A; B 2 A y A B =) (A) (B): 2. A; B 2 A, A B y (B) < 1 =) (B A) = (B) (A): 3. An " A =) (A) = lm (An ) n 4. An # A y existe n0 2 N tal que (An ) < 1 =) (A) = lm (An ): n Demostración. 1.- Sean A; B 2 A y A B , entonces B = A + (B A), por lo tanto (3.1) (B) = (A) + (B A) Como (B A) 0 entonces (A) (B): 2.- Si (B) < 1, entonces por (1) se tiene que (A) < 1. Restando la cantidad (A) de los dos lados de la Ecuación 3.1 se obtiene que (B A) = (B) (A). 3.-Como la sucesión es creciente podemos escribir que A = A1 + (Ai Ai 1 ), Proposición 69 Sea (;
!1
0
!1
1
P
i=2
por lo tanto:
1
(A) = (A1 ) + = lm
n!1
P
i=2
(A1 ) +
= lm (An ) : n!1
n
P P
= lm A1 + n!1
Ai
(Ai
i=2 n
(Ai
(Ai
i=2
1 )
Ai
Ai
1 )
1 )
Medidas
29 1
4.-Observe que A = An
n=n (An An), por lo tanto de (2) se deduce que:
S
0
0
0
1
(A) = (An0 )
S
n=n0
An)
(An0
Pero (An An )1 n=n es una sucesión creciente y por lo tanto, podemos aplicar la propiedad (3) obteniendo: 0
0
1
S
n=n0
pero entonces:
(An0
An )
= lm (An0 n!1
An);
nlm (An An) (An ) (An ) + lm (An ) n
(A) = (An0 ) =
0
!1
0
0
!1
lm (An ).
=
n!1
Esto termina la demostración.
2
Nota 70 La condición que exista n0
1
N tal que (An0 ) < no es super‡ua en esta proposición como puede ser observado a través del siguiente ejemplo:
Ejemplo 71 Sea = N y
A la -álgebra de todos los subconjuntos de N. En A conside-
remos la medida de conteo, esto es: (A) =
j j A
si A es …nito si A es in…nito.
1
f
g
Entonces si An = n; n + 1; n + 2; : : : , se tendrá que An que (An ) () = 0.
!
Proposición 72 Sea (;
tonces:
1
A; ) un espacio de medida y (An)n=1 una sucesión en A. En-
1
a)
1
S P n=1
b) c)
An
n=1
lm inf An n!1
(An )
lm inf (An ) n!1
lm sup An
1
S 1 S P S ! P S ! P P
lm sup (An ) siempre que
n!1
n!1
Demostración. a) Observe que
1
n=1 1
An
= (A1 ) +
b) Como lm inf An = n!1
1
i=n
n=2
n=2
1
(A1 ) + 1
ST
n=1 i=n
n=2
An
n1
An
<
:
Aj , por lo tanto:
j=1
n1
An
j=1
1
n=1
1
An = A1 + 1
S n=1
T
# y sin embargo no se cumple
Aj
1
(An ) =
Ai , se tiene que E n
n=1
(An )
" lnm inf An en donde E n = !1
Ai . Luego, de acuerdo a la parte (3) de la Proposición 69 se tiene que:
1
lm inf An = lm n!1
n!1
\ ! Ai
i=n
1
= lm inf n!1
\ ! Ai
i=n
lnm inf (An) !1
Medida
30
Note que en esta demostración hemos usado el resultado del Problema 7, página 16, partes (f) y (g). 1 1 c) Como lm sup An = Ai , se tiene que E n # lm sup An en donde E n =
TS
n=1 i=n
1
S
i=n
Ai . Usar ahora parte (4) de la Proposición 69. Esto termina la demostración.
A un álgebra sobre y una medida sobre A. Si () < 1 se dirá que es una medida …nita o totalmente …nita. Por otro lado diremos que es una medida -…nita si existe una sucesión (X n ) en A con (X n ) < 1.para cada n 2 N y tal De…nición 73 Sea
1
que =
S
n=1
X n .
Ejemplo 74 Sea (N;
P (N); ) en donde es la medida de conteo (ver Ejemplo 71). En-
tonces no es una medida …nita pero si es -…nita. Para ver esto, basta observar que: 1
N=
[f g
n ,
n=1
fg
y ( n ) = 1.
A; ) un espacio de medida y P (x) una propiedad que un punto x 2 pudiera o no tener. Diremos entonces que la propiedad P (x) se cumple casi en todo o que la propiedad P (x) se cumple para casi todos los x 2 si el conjunto N = fx 2 : P (x) no se cumple g 2 A y (N ) = 0. En este caso escribiremos que P (x) De…nición 75 Sea (;
es cierto c.t.p. en (c.t.p. por ” casi en todas partes”).
A; ) un espacio de medida y sean A y B dos subconjuntos medibles. , (A4B) = 0. A (x) = B (x) c.t.p. en
Ejemplo 76 Sea (;
Entonces,
3.3.
Medidas Exteriores
De…nición 77 Sea :
C ! [0; 1] una función de conjuntos de…nida en una familia no
C de subconjuntos de . Entonces se dice que es: 1. Subaditiva si para todo A; B 2 C tal que A [ B 2 C se tiene: (A [ B) (A) + (B):
vacía
2. Finitamente subaditiva si dados A1 ; A2 ; : : : An en
n
n
S X Ak
k=1
Ak
2 C , entonces:
Ak
2 C , entonces:
k=1
k=1 1
C tal que
1
1
S X Ak
k=1
n
S
(Ak ).
3. Contablemente subaditiva si dados A1 ; A2 ; : : : en
C tal que
k=1
(Ak ).
S
k=1
Construcción de Medidas Exteriores
31
4. Monótona si para todo A; B
De…nición 78 Sea
2 C tal que A B se tiene: (A) (B). : P () ! [0; 1]. Entonce se dice que es una medida exterior
en si es monótona, contablemente subaditiva y () = 0. En otras palabras es una medida exterior si: 1. El dominio de son todos los subconjuntos de . 2. es no negativa, esto es (A)
0 para todo A .
3. es contablemente subaditiva. 4. es monótona. 5. () = 0.
Dado que cumple con (3) y (5), se deduce que toda medida exterior es …nitamente subaditiva. 3.4.
Construcción de Medidas Exteriores
A de subconjuntos de se dice que es una familia secuencial de recubrimientos para si (i) 2 A, y (ii) para todo A existe una secuencia fE n g en A tal que: A E n : De…nición 79 Una familia no vacía
1
[
n=1
Por ejemplo, la familia de todos los intervalos semicerrados (a; b] es una familia secuencial de recubrimientos para R. Note que toda álgebra A de subconjuntos de es una familia secuencial de recubrimientos para . Sea ahora : A ! [0; 1] una función de conjuntos tal que () = 0. Para cada A , de…namos: (A) = nf
1
(P 1
n=1
Proposición 80 Si
A
(E n ) : E n
[ 2A ;
E n
n=1
)
A.
:
(3.2)
A! 1
es una familia secuencial de recubrimientos para y : [0; ] una función de conjuntos tal que () = 0, entonces la función de conjuntos de…nida por la Ecuación 3.2 es una medida exterior en . Demostración. Las condiciones (i),(ii),(iv) y
(v) son fácilmente veri…cables. Sólo demostraremos la condición (iii). Sea (An ) una sucesión de subconjuntos de y > 0. Si (An ) = 1 para algún n, entonces la condición (iii) se cumple trivialmente. Supongamos en consecuencia que (An ) < 1 para todo n. Por de…nición de para cada n, existe una sucesión (E nk )1 k=1 tal que: 1
An
[
E nk
y (An ) +
k=1
1 > (E nk ); 2n k=1
pero entonces la colección fE nk : n:k 2 Ng cumple con: 1
1
[
[
n=1
An
n;k=1
E nk ;
P
Medida
32
y además: 1
1
1
[ ! X An
n=1
(E nk )
n;k=1
X
(An ) +
n=1
2n
1
X =
(An ) + :
n=1
Como es arbitrario, se deduce que es contablemente subaditiva. Esto termina la demostración. 3.5.
Medidas Inducidas por Medidas Exteriores
De…nición 81 Sea una medida exterior en . Diremos que un conjunto E
conjunto -medible (o simplemente medible) si: (A) = (A
es un
(3.3)
\ E ) + (A E )
para todo subconjunto A de . Nota 82 Dado que es subaditiva, se tiene:
(A) = ((A
\ E ) + (A E )) (A \ E ) + (A E );
por lo tanto la condición 3.3 es equivalente a: (A)
(3.4)
(A \ E ) + (A E ):
Proposición 83 Sea una medida exterior en . Denotemos por
los subconjuntos de que son -medibles. Entonces de a la -álgebra es una medida.
A
A la familia de todos A es una -álgebra y la restricción
Demostración. La demostración la dividiremos en una serie de pasos y se basará
en la Proposición 55: (i) Supongamos que (E ) = 0, entonces E es medible. En efecto, si A entonces: (A
,
\ E ) + (A E ) (E ) + (A) = (A);
por lo tanto se cumple la condición 3.4 y E es medible. (ii) Como () = 0, parte (i) implica que 2 A. (iii) Sea E 2 A. Demostraremos que E c 2 A. En efecto: (A
se tiene:
\ E c) + (A E c) = (A E ) + (A \ E ) = (A): Note ahora que 2 A puesto que 2 A. (iv) Si E y F pertenecen a A, entonces E [ F 2 A. En efecto, de acuerdo a 3.3, (A) = (A E ) + (A E ) (A E ) = ((A E ) F ) + ((A
\ \
E ) F )
Sumando ambas ecuaciones y enseguida restando (A E ) a cada lado (suponiendo que (A E ) < 1) se obtiene: (A) = (A E ) + ((A E ) F ) + ((A ((A E ) ((A E ) F ))) + ((A
\ \ [
\ \
E ) F ) E ) F )
Medidas Inducidas por Medidas Exteriores
33
Observando ahora que (A
= (A E ) (A E c F )) = (A E ) (A F E c )) = A (E (F E c ))
\ E ) [ ((A E ) \ F ))
\ [ \ \ \ [ \ \ \ [ \ A \ (E [ F );
=
y que (A E ) F = A (E [ F ), se concluye que: (A)
(A \ (E [ F )) + (A (E [ F )) esto signi…ca que E [ F 2 A. (v) Si E; F 2 A, entonces E F 2 A. En efecto, esto se sigue de (iii) y (iv) pues: E F = E \ F c = (E c [ F )c : (vi) Supongamos que E 1 ; E 2 ; : : : es una sucesión disjunta de elementos de A. Sea n F n = E k . Entonces se a…rma que para todo n 1 se cumple:
S
k=1
n
(A
X
\ F n) =
(A
\ E k ) :
k=1
Demostraremos esta a…rmación por inducción. El caso n = 1 es evidente y el paso de n a n + 1 se obtiene de: (A
\ F n+1) = (A \ F n+1 \ F n) + (A \ F n+1 F n) = (A \ F n ) + (A \ E n+1 ) n = (A \ E k ) + (A \ E n+1 )
X X
k=1 n+1
=
(A
k=1
\ E k ) :
Note que al escribir la primera ecuación hemos hecho uso de la medibilidad de F n garantizada por (iv): (vii) Sea nuevamente E 1 ; E 2; : : : una sucesión disjunta de elementos de A. Demostraremos 1 que F = E k cumple con la igualdad:
S
k=1 1
(A
\ F ) =
X
(A
k=1
(3.5)
\ E k ) :
En efecto, por la monotonía de se tiene: n
(A
\ F ) (A \ F n) =
X
k=1
(A
\ E k ) :
(3.6)
La igualdad 3.5 se deduce de la subaditividad contable de y haciendo tender n ! 1 en la Ecuación 3.6.
Medida
34
(viii) Demostraremos ahora que si E 1 ; E 2 ; : : : una sucesión disjunta de elementos 1
de A, entonces F =
X
E k pertenece a
k=1
A. En efecto, para todo A se tiene:
(A) = (A n
=
X X
k=1 n
k=1
\ F n) + (A F n) (A \ E k ) + (A F n )
(A
\ E k ) + (A F ):
Haciendo tender ahora n ! 1, se deduce de la Ecuación 3.5, que: (A)
(A \ F ) + (A F ).
Esto demuestra que F 2 A. Finalmente es evidente que la restricción de a la -álgebra A cumple con (a), (b) y (d) de la De…nición 66. La condición (c) se deduce de la igualdad 3.5 tomando A = F . Esto termina la demostración.
Capítulo 4 EXTENSIÓN DE MEDIDAS 4.1.
El Teorema de Carathéodory
Teorema 84 Suponga que es una medida -…nita y …nitamente aditiva en un álgebra
A de subconjuntos de . Entonces tiene una única extensión a una medida en (A). Demostración. Como A es una familia secuencial de recubrimientos para , las proposiciones 80 y 83 nos aseguran la existencia de un espacio de medida (; A ; ) en donde A es la -álgebra de todos los conjuntos -medibles y es la restricción a A de medida exterior inducida en por la medida . Para demostrar que es una extensión de bastará con probar que A A ya que entonces (A) A y por consiguiente estará de…nida en (A). Note que y coinciden en A ya que es una medida en A. Sean entonces F 2 A y A . Debemos demostrar que (A) (A \ F ) + (A \ F c ). Obviamente podemos suponer que (A) < 1. Si > 0 elijamos una sucesión (E n ) en A tal que A E n y (E n ) < (A) + . Entonces:
1
1
S
P [
n=1
(A
n=1
1
\ F )
1
(E n
n=1
\ F )
! X
(E n
n=1
\ F ) :
Como = en A se deduce que: 1
(A
\ F )
X
(E n
\ F ) ;
(4.1)
(E n
\ F c) :
(4.2)
n=1
Análogamente:
1
(A
\ F c)
De 4.1 y 4.2 se obtiene …nalmente que:
X
n=1
1
(A
\ F ) + (A \ F c) =
X X
n=1 1
(E n
\ F ) + (E n \ F c)
(E n )
n=1
< (A) + :
Como es arbitrario se concluye que (A) (A \ F ) + (A \ F c ). Esto demuestra que A A . Demostraremos ahora que la extensión de a (A) es única. Supongamos que es otra medida sobre (A) tal que = en A. Como es -…nita en A, se tiene que
Extensión de Medidas
40
existe (An ) en
A tal que =
1
S
n=1
An con (An ) <
1 para todo n 1. Como A es un
álgebra, la sucesión (An ) puede ser considerada disjunta (ver Problema 17, página 36). Para cada n 1 de…namos:
\ An) ; A 2 (A) \ An) ; A 2 (A) . Entonces n y n son medidas …nitas en (A) y coinciden en A pues y lo hacen. Entonces, C = fA 2 (A) : n(A) = n(A)g : es una familia monótona que contiene a A (ver Problema 5) y por lo tanto, de acuerdo a la Proposición 61 se deduce que (A) = C . Esto signi…ca que n (A) = n (A) para todo A 2 (A). Finalmente como: n (A) = (A n (A) = (A
1
=
1
X X n =
n=1
n = ;
n=1
se concluye que es única. Esto termina la demostración. 4.2.
Completación de Medidas
A; ) un espacio de medida. Diremos que es completa si para 2 A tal que (A) = 0, se cumple que B 2 A para todo conjunto B A.
De…nición 85 Sea (;
todo A
Note que la medida construida en la Proposición 83 es completa. Demostraremos ahora que cualquier medida puede ser extendida a una medida completa.
A; ) un espacio de medida. Denotemos por A la familia de todos los conjuntos de la forma E [ N , en donde E 2 A y N es cualquier subconjunto de algún conjunto en A de medida nula. Entonces A es una -álgebra que contiene a A y la función de…nida por: (E [ N ) = (E ) es una medida completa en A que extiende a la medida . Esta medida se denomina la Proposición 86 Sea (; s
s
s
completación de .
Demostraremos en primer lugar que A es una álgebra que contiene a A. Sean E; A 2 A y sea N A con (A) = 0. Demostraremos que (E [N )c 2 A. Note que: Demostración.
E c
A = E c \ Ac E c \ N c = (E [ N )c E c: Luego E c A (E [ N )c E c , de donde se deduce que (E [ N )c = (E c A) [ M con M A. Como E c A 2 A, se concluye que (E [ N )c 2 A. Sea ahora E n [ N n 2 A; en donde N n An con (An ) = 0 y E n ; An 2 A. Entonces:
1
[
1
(E n
n=1
Como
1
S
n=1
1
N n
S
n=1
An con
1
[ ! [ ! [ [ S S 2A S N n ) =
E n
N n :
n=1
1
n=1
1
E n ;
n=1
An
n=1
y
1
n=1
An
= 0, se deduce que
cerrada bajo uniones contables. Que A A es evidente puesto que si E 2 A, entonces E = E [ 2 A.
A es
La Medida de Lebesgue
41 s
Demostraremos ahora que está bien de…nida en A. Supongamos que E 1 [ N 1 = E 2 [ N 2 , en donde E 1 ; E 2 2 A, N 1 A1 ; N 2 A2 y (A1 ) = (A2 ) = 0. Entonces como: E 1
E 1 [ N 1 = E 2 [ N 2 E 2 [ A2
se deduce que (E 1 ) (E 2 ). De modo similar se deduce que (E 2 ) (E 1 ) y por lo s s tanto está bien de…nida en A. Como () = 0, esto demuestra también que es una extensión de . Ahora, si E n [ N n 2 A es una sucesión como arriba, pero disjunta, entonces: s
1
X
E n
n=1
[ N n
!
1
1
X X ! [ X ! X X [
s
=
E n
n=1 1
=
N n
n=1
E n
n=1
1
=
(E n )
n=1 1
=
s
(E n
N n ).
n=1
s
Finalmente probaremos la completitud. Suponga que (E [ N ) = (E ) = 0 en donde N A y A; E 2 A con (A) = 0. Entonces H E [ N implica H E [ A 2 A. Como (E [ A) = 0, se concluye que H = [ H 2 A. Esto concluye la demostración. 4.3.
La Medida de Lebesgue
Sea = R y sea A la familia formada por R y todos los subconjuntos de R de n (ak ; bk ], (uniones …nitas y disjuntas de intervalos de la forma (a; b] ; (1; b] la forma
P
k=1
y (a; 1), con a; b 2 R). Es claro que el álgebra A (ver Problema 8, página 24) es una familia secuencial de recubrimientos para R. En A de…namos la función de conjunto m, conocida como función de longitud de intervalos, como 1 para intervalos no acotados y para el caso de uniones disjuntas de intervalos acotados, la de…nimos por: m(
n
P
(ak ; bk ]) =
k=1
n
P
k=1
(bk
ak )
m() = 0:
Es posible demostrar que esta función de conjuntos m está bien de…nida y es una medida -…nita* en el álgebra A. Ahora bien, como la -álgebra generada por A es justamente la -álgebra de Borel B(R) (ver Problema 10, página 24) el Teorema 84 nos asegura que existe una única extensión de m a la -álgebra de Borel B (R).
B(R) y que resulta de extender de manera única la función de longitud de intervalos por medio del teorema de Carathéodory desde el álgebra de intervalos A a la -álgebra de Borel B(R); se conoce como la medida de Lebesgue . La extensión de esta medida, por medio de la Proposición 86, al álgebra completa B(R) también se conoce como la medida de Lebesgue y los elementos de -álgebra B(R) se conocen como conjuntos Lebesgue medibles. De…nición 87 La medida m de…nida en la -álgebra de Borel
Corolario 88 Un conjunto Lebesgue medible es la unión de un conjunto de Borel y un
subconjunto de algún conjunto de Borel de medida de Lebesgue nula. * Ver
Halmos, Measure Theory, sección 8.
Extensión de Medidas
42 4.4.
Un conjunto que no es Lebesgue Medible
Sean x; y 2 R. Diremos que x es equivalente a y si y sólo si x y 2 Q. Si este es el caso, escribiremos x y. Esto es: v
x
v
y
,
x
y 2 Q.
Es fácil veri…car que la relación es una relación de equivalencia en R (ver Problema 7). Esta relación de equivalencia induce una partición de R en sus respectivas clases de equivalencia. Sea ahora E un subconjunto del intervalo (0; 1) conteniendo exactamente un punto de cada clase de equivalencia. Demostraremos que E no es Lebesgue medible. Para esto necesitamos dos propiedades de E : (a) Si x 2 (0; 1), entonces x 2 E + r para algún racional r 2 (1; 1) : (b) Si r y s son dos racionales distintos, entonces (E + r) \ (E + s) = . Para probar (a), note que para todo x 2 (0; 1) existe y 2 E tal que x y . Si r = x y , entonces x = y + r 2 E + r. Para probar (b), suponga que x 2 (E + r) \ (E + s). Entonces x = y + r = z + s con y 2 E; z 2 E . Como y z = s r 6 = 0, se deduce que y z , y E contendría dos puntos equivalentes, lo cual contradice nuestra elección de E . Ahora, supongamos que E es Lebesgue medible y pongamos que m(E ) = . De…namos S = (E +r), en donde la unión se toma sobre todos los racionales r 2 (1; 1). Por (b), la colección es disjunta. Como m es invariante bajo traslaciones (ver Problema 8) m(E + r) = para todo r. Como S (1; 2), se tiene que m(S ) 3. Este resultado, junto a la aditividad contable de m obliga a que = 0 y por ende a que m(S ) = 0. Pero (a) implica que (0; 1) S y en consecuencia m(S ) 1. Esto es una contradicción. v
v
v
S
4.5.
La Medida de Lebesgue-Stieltjes
B
De…nición 89 Una medida de Lebesgue-Stieltjes en R es una medida en (R) tal que (I ) < para todo intervalo acotado I R.
1
De…nición 90 Una función f : R
!
R se dice que es una función de distribución si es creciente y continua por la derecha. Esto es, si cumple con: (1) x < y = f (x) f (y): (2) lm+ f (x) = f (a) para todo a R.
)
x!a
Proposición 91 Sea f : R
2
! R una función de distribución y sea (a; b] = f (b) f (a).
Entonces existe una única extensión de a una medida de Lebesgue-Stieltjes en R.
Extienda de manera natural a una medida contablemente aditiva (aquí se requiere la continuidad por la derecha de la función de distribución f ) sobre el álgebra A. Use ahora el teorema de Carathéodory para extender a B (R). Es claro que esta medida es de Lebesgue-Stieltjes pues (a; b] = f (b) f (a) < 1. Esto termina la demostración. Esta medida usualmente se denota por f (o mf ) para indicar que depende de f . Demostración.
Capítulo 5 INTEGRACIÓN 5.1.
Funciones medibles
De…nición 92 Sean (;
A) y (; B) dos espacios medibles y f : ! una función
arbitraria. Diremos que la función f es medible si la imagen inversa de todo conjunto medible en está en . Esto es:
A
, f 1(B) 2 A para todo B 2 B: La notación f : (; A) ! (; B ) medible, signi…cará que f : ! y que f es f medible
medible respecto a las correspondientes -álgebras.
A) un espacio medible e (Y; ) es un espacio topológico. Diremos que f es Borel medible si f : (; A) ! (Y; B( )) es medible. En el caso que Y sea un De…nición 93 Sea (;
subconjunto de Borel en R o en R con la topología relativa usual, hablaremos simplemente de funciones medibles, pero se entenderá que se trata de funciones Borel medibles.
A) un espacio medible e (Y; ) es un espacio topológico. Sea f : A ! (Y; B( )). Entonces: (5.1) f es Borel medible , f 1 (G) 2 A para todo G 2 .
Proposición 94 Sea (;
(; )
Demostración. Si f es Borel medible es inmediato que se cumple la condición indicada. Supogamos ahora que se cumple la condición. De…namos como C la colección de todos los E Y tales que f 1 (E ) 2 A. De acuerdo al Problema 7, página 24, C es una -álgebra en Y y la condición indicada en 5.1 implica que C . Como B ( ) es la menor -álgebra que contiene a , se concluye que B ( ) C . Esto termina la demostración. Ejemplo 95 Sean (X; 1 ) e (Y; 2 ) dos espacios topológicos y f : X
continua. Entonces:
B
f : (X; ( 1 ))
! Y una aplicación
! (Y; B( 2))
es Borel medible. Esto es inmediato de la proposición anterior puesto que el hecho que f sea continua implica que para todo G 2 ,
2
f 1 (G) Ejemplo 96 Sea (;
2 1 B( 1):
A
) un espacio medible y sean (Y; 1 ) y (Z; 2 ) dos espacios topológicos. Considere las siguientes funciones:
A ! (Y; B( 1)) y ! (Z; 2) :
f : (; ) g : (Y; 1 )
Suponga que f es Borel medible y que g es continua. Entonces g f es Borel medible.
Integración
46
A) un espacio medible. Entonces f : (; A) ! R; B R es medible si y sólo si (5.2) f 1 ((; 1]) 2 A para todo 2 R. Demostración. De…namos como C la colección de todos los E R tales que 1 f (E ) 2 A. De acuerdo al Problema 7, página 24, C es una -álgebra en R y la condición 5.2 implica que (; 1] 2 C para todo 2 R. Elija un número real y una sucesión de reales (n ) tal que n < y n ! . Como (n ; 1] 2 C y, Proposición 97 Sea (;
1; ) =
[
1
1
[ 1
[
[
; n ] =
n=1
(n ;
n=1
1]c
se deduce que [1; ) 2 C . Lo mismo es cierto de: (; ) = [
que
1; ) \ (; 1] :
Como B R es la menor -álgebra que contiene a todos estos intervalos, se deduce R C . Esto termina la demostración.
B
Proposición 98 Sea f n : (;
A) ! [1; 1] una sucesión de funciones medibles. De…na:
g(x) = sup f n (x);
h(x) = lm sup f n (x); n!1
n1
entonces g y h son medibles. Demostración.
Observe que g 1 ((; 1]) =
1
S
n=1
f n1 ((;
1]). Por lo tanto, de
acuerdo a la Proposición 97, se tiene que g es medible. Obviamente el mismo resultado se obtiene si reemplazamos sup por nf en el enunciado de la proposición. Ahora como: h(x) = nf
k1
( ) sup f j
;
j k
se sigue que h es medible. Esto termina la demostración.
A) ! [1; 1] son dos funciones medibles, entonces también lo son m ax ff; g g y mn ff; g g. En particular son medibles: f + = max ff; 0g y f = mn ff; 0g : Corolario 99 Si f; g : (;
Estas funciones f + y f se denominan respectivamente, parte positiva y parte negativa de f y cumplen con las siguientes propiedades: = f + + f f = f + f .
jf j Proposición 100 Sean f; g : (;
A) ! R dos funciones medibles. Sea F : R R ! R
una función continua. Entonces la función:
h(x) = F (f (x); g(x)) es medible. En particular f + g y f g son medibles.
(x
2 )
Funciones Simples
47
Demostración. Sea
f
g Como F es continua, G es un subconjunto abierto de R R y podemos escribir: G = (u; v) : F (u; v) > :
1
G =
[
Rn
n=1
en donde Rn son rectángulos abiertos de la forma (an ; bn ) (cn ; dn ) : Ahora bien, para demostrar que h es medible, de acuerdo a la Proposición 97, basta demostrar que h1 ((; 1]) 2 A para todo 2 R. Pero: h1 ((;
1])
= =
fx : h(x) > g = fx : F (f (x); g(x)) > g fx : (f (x); g(x)) 2 Gg = x : (f (x); g(x)) 2
(
1
=
[f [f
x : (f (x); g(x))
n=1 1
=
( x : f (x)
n=1
1
[ ) Rn
n=1
2 Rng
2 (an; bn)g \ fx : g(x) 2 (cn; dn)g) :
Como los conjuntos fx : f (x) 2 (an ; bn )g y fx : g(x) 2 (cn ; dn )g son medibles, entonces h1 ((; 1]) es medible. Esto termina la demostración. 5.2.
Funciones Simples
! 1
De…nición 101 Una función s :
[0; ) cuyo rango consiste de un número …nito de puntos se denominará función simple. Si 1 ; 2 ; : : : ; n son todos los valores que asume s (sólo valores distintos) y si de…nimos Ak = x : s(x) = k , entonces es fácil ver que:
f 2
g
n
s=
X
(5.3)
k Ak ;
k=1
A
en donde Ak es la función característica de Ak . Si (; ) es un espacio medible, entonces s es medible si y sólo si todos los conjuntos Ak son medibles. Cada vez que escribamos s como en la Ecuación 5.3, supondremos que los valores k y los conjuntos Ak son como en esta de…nición. Proposición 102 Sea f : (;
A) ! [0; 1] una función medible. Entonces existe una 1
sucesión de funciones simples y medibles (sn )n=1 tales que: (1) 0 s1 s2 f: (2) sn (x) f (x) para n , para todo x .
! !1
2
Demostración. Para n = 1; 2; 3; : : : ; 1
E n;i = f
i
1
2n
De…namos:
;
n2n
sn =
i 2n
X i=1
i
2n
1
y para 1 i n2n , de…namos: y F n = f 1 ([n; 1]).
En;i + nF n .
Integración
48
Como los conjuntos E n;i y F n son medibles, se deduce que sn son funciones simples medibles. Es claro que la sucesión (sn )1 n=1 satisface la condición (1) : Ahora, si x es tal que f (x) < 1, entonces sn (x) f (x) 2n para todo n su…cientemente grande; si f (x) = 1, entonces sn (x) = n. Esto demuestra (2). Esto termina la demostración. Proposición 103 Sean f; g : (;
f g son medibles.
A) ! [0; 1] dos funciones medibles. Entonces f + g y
Demostración. Sean (sn ) y (tn ) dos sucesiones de funciones simples medibles, como en la Proposición 102, asociadas a f y g respectivamente. Esto es:
s1 s2 : : : f; y sn(x) ! f (x) para todo x 2 y 0 t1 t2 : : : g; y tn (x) ! g(x) para todo x 2 : Entonces es claro* que para todo x 2 se tiene: sn (x) + tn (x) ! f (x) + g(x) y sn (x)tn (x) ! f (x)g(x): 0
(5.4)
Como sn + tn y sn tn son funciones simples medibles, se deduce de la Proposición 98 que f + g y f g son medibles. Esto termina la demostración. Nota 104 Observe que en la proposición anterior aparece la suma f (x)+g(x) y el produc-
1
to f (x)g(x). Como el rango de f y g es el intervalo extendido [0; ] podría muy bien darse el caso que esta suma y este producto den origen a expresiones del tipo + ; a+ ; ,0 ó a con a real positivo. Debido a esto y a otras razones que veremos pronto (ver De…nición 107), se hace necesario de…nir este tipo de expresiones. Las siguientes de…niciones, entre otras buenas cualidades, hacen que efectivamente la conclusión 5.4 se correcta:
11 1
1
1 1
1
1 < a < 1, se de…ne a 1 = 1 + a = 1. No de…niremos la expresión 1 1 ni 1 + 1. De…nición 105 Si
Por otro lado, de…nimos:
1) = (1) a =
a (
Corolario 106 Sean f; g : (;
8< 1 : 1 0
1 1
Si 0 < a Si a< 0 Si a = 0.
A ! 1 1
) [ ; ] funciones medibles. Suponga que f + g y f g están bien de…nidas. Entonces f + g y f g son medibles.
Basta observar que h 0 medible implica Aplique ahora la Proposición 103 y el Corolario 99. Demostración.
5.3.
h es medible.
Integración de Funciones Positivas
De…nición 107 Sea (;
de la forma:
A; ) un espacio de medida y sea s una función simple y medible n
s=
X
k=1 * Vea
nota y de…nición siguiente.
k Ak :
Integración de Funciones Positivas Si E
2 A, se de…ne:
Z
49 n
s d =
E
X
k (Ak
k=1
1
\ E ):
La convención 0 = 0 debe ser considerada en esta de…nición. Podría suceder que k = 0 para algún k y que justamente (Ak E ) = .
\
De…nición 108 Si f : (;
1
A; ) ! [0; 1] es una función medible y E 2 A, se de…ne:
Z
f d = sup
E
Z
s d,
E
en donde el supremo se toma sobre todas las funciones simples medibles tales que 0 f . Esta integral se conoce como la integral de Lebesgue de f respecto a .
s
Note que, aparentemente, tenemos dos de…niciones para la integral de f en el caso que f sea una función simple medible, sin embargo es claro que ambas de…niciones dan el mismo resultado. Proposición 109 La integral dada en la De…nición 108, cumple con las siguientes propie-
dades. Las funciones y conjuntos que aparecen a continuación se supone que son medibles: (a) Si 0 f g, entonces E f d g d: E (b) Si A B y f 0, entonces A f d B f d: (c) Si f 0, y 0 c , entonces E cf d = c E f d: (d) Si f (x) = 0 para todo x E , entonces E f d = 0. (e) Si (E ) = 0, entonces E f d = 0. (f) Si f 0, entonces E f d = E f d:
R R R R R R R 2 R R R R
1
Demostración. (a), (b), (d) y (e) se deducen directamente de la de…nición. Para (c) consideremos dos casos (i) Si E f d = 0; entonces por Problema 8, se deduce que f = 0 c.t.p. sobre E y ambos lados son nulos independientemente del valor de c. (ii) Si f d > 0 y 0 < c < 1, entonces el resultado se deduce del hecho que una función E simple s cumple con 0 s f si y sólo si la función simple cs cumple con 0 cs cf . Si c = 0 el resultado es evidente. Finalmente si c = 1 es claro que ambos lados son iguales a 1. Para (f) ver Problema 9.
R
Lema 110 Sea (;
en . Si E
A; ) un espacio de medida y sean s y t dos funciones simple medibles
2 A, de…namos:
Z Z Z
'(E ) =
sd:
E
A
Entonces ' es una medida sobre . Además:
Z
(s + t) d =
Demostración.
s d +
Sea s =
n
P X
k=1 1
miembros de A, entonces si E =
k Ak . Sea E 1 ; E 2 ; : : : ; una sucesión disjunta de
E j , la aditividad contable de implica que:
j=1
n
'(E ) =
1
n
X XX
k (Ak
k=1 1 n
=
(5.5)
td:
j=1 k=1
\ E ) =
X X X k
k=1
(Ak
j=1
1
k (Ak
\ E j ) =
'(E j ):
j=1
\ E j )
Integración
50
Como '() = 0, entonces ' es una medida sobre A. Ahora demostraremos la segunda parte del lema. Sea s como antes y suponga que m t= k B . Sea:
P
k
k=1
\ Bj ,
E ij = Ai
entonces:
Z
Eij
(s + t) d = (i + j )(E ij ) = i (E ij ) + j (E ij ) =
Z
s d +
Eij
Z
td:
Eij
Por lo tanto la Ecuación 5.5 se cumple con E ij en lugar de . Como es la unión disjunta de estos conjuntos E ij con 1 i n; 1 j m, la primera parte del Lema implica que se cumple la Ecuación 5.5. Esto termina la demostración. 5.4.
El Teorema de la Convergencia Monótona de Lebesgue
El siguiente teorema, por razones obvias, se conoce como el teorema de la convergencia monótona de Lebesgue:
A; ) ! [0; 1] una sucesión de funciones medibles. y suponga (1) 0 f 1 (x) f 2 (x) 1 para todo x 2 . (2) f n (x) ! f (x) cuando n ! 1, para todo x 2 .
Teorema 111 Sea f n : (;
que:
Entonces f es medible y,
Z
Z ! R R Z !
f n d
f d
cuando n
Demostración. Como
! 1.
f n+1 d, existe
f n d
f n d
2 [0; 1] tal que:
.
Por Proposición 98, f es medible. Por otro lado, como f n f d , esto implica que:
R
R
f , se tiene que
f d:
R
f n d
(5.6)
Para terminar la demostración bastará probar la desigualdad inversa en 5.6. Sea s una función simple medible tal que 0 s f . Sea c una constante, 0 < c < 1. Para cada n 2 N de…na:
f
cs(x)g : Entonces cada E n es medible, E 1 E 2 E 3 , y = E n . Ahora observe que: f n d f n d c sd: E n = x : f n (x)
Z
Z
Z
En
S
En
Ahora si hacemos tender n ! 1; de acuerdo al Lema 110, podemos usar la Proposición 69 (3) y obtendríamos que: (5.7) c sd:
Z
Como la Ecuación 5.7 es cierta para todo c < 1, se obtiene que:
Z
sd:
El Teorema de la Convergencia Monótona de Lebesgue
51
Finalmente, como s f es arbitrario, se concluye que:
Z
f d:
Esto termina la demostración. Corolario 112 Sea f n : (; 1
la función
P
n=1
A; ) ! [0; 1] una sucesión de funciones medibles. Entonces
f n (x) es medible en y, 1
1
Z X
f n (x) d =
n=1
X Z
f n (x) d:
n=1
Sean (sn ) y (tn ) sucesiones de funciones simples medibles tales que sn ! f 1 y tn ! f 2 como en la Proposición 102. Si un = sn +tn entonces un ! f 1 +f 2 . Aplicando el teorema de la convergencia monótona, Teorema 111, se deduce que: Demostración.
Z
un d
Z !
(5.8)
(f 1 + f 2 ) d:
Pero, de acuerdo al Lema 110, se tiene que:
Z
un d =
Z
(sn + tn ) d =
Z
sn d +
Z
tn d
Z !
f 1 d +
Z
f 2 d:
(5.9)
Como el límite es único, de 5.8 y 5.9 se deduce que:
Z
(f 1 + f 2 ) d =
Z
f 1 d +
Z
f 2 d:
Ahora aplicando inducción, para todo N 2 N se tiene: N
Z X
N
f n (x) d =
n=1
Pero como
N
P
n=1
implica que:
1
f n (x)
"
P
n=1
f n (x) d
(5.10)
n=1
f n (x) para N
! 1, el teorema de la convergencia monótona 1
N
Z X
X Z
f n (x) d
n=1
Z X !
f n (x) d:
(5.11)
f n (x) d
(5.12)
n=1
Por otro lado, por simple de…nición, se tiene que: 1
N
X Z
n=1
f n (x) d
Z X ! n=1
Usando nuevamente el argumento de la unicidad del límite de una sucesión (note que, de acuerdo a 5.10, las sucesiones en 5.11 y 5.12 son iguales) de 5.11 y 5.12 se deduce …nalmente que: 1
Z X
n=1
Esto termina la demostración.
1
f n (x) d =
X Z
n=1
f n (x) d:
Integración
52 Corolario 113 Sea f : (;
A; ) ! [0; 1] una función medible. Entonces:
Z
(E ) =
(5.13)
f d;
E
es una medida sobre
A y para toda función medible g con rango en [0; 1] ; se tiene:
Z
g d =
Z
(5.14)
gf d:
La demostración de que es una medida es consecuencia del Corolario 112 (ver Problema 10). Para demostrar la segunda parte observe que 5.13 implica que 5.14 es válido para toda función característica g = E y por ende es válido para toda función simple s. Ahora si s1 s2 g es una sucesión de funciones simples que converge a g se tiene que sn f " gf y por lo tanto, de acuerdo al teorema de la convergencia monótona de Lebesgue, se tiene: Demostración.
Z
g d =
Z
lm sn d = lm
n!1
n!1
Z
sn d = lm
n!1
Z
sn f d =
Z
lm sn f d =
n!1
Z
gf d:
Esto termina la demostración. 5.5.
El Lema de Fatou
La siguiente proposición se conoce como Lema de Fatou: Proposición 114 Sea f n : (;
tonces:
Z
A; ) ! [0; 1] una sucesión de funciones medibles. En-
Z
lnm inf f nd. Demostración. Para cada n 2 N y cada x 2 , de…namos:
lm inf f n d n!1
!1
gn (x) = nf f k (x): k n
Como gn f n , se tiene que:
Z
gn d
Z
(5.15)
f n d:
Observe ahora que 0 g1 g2 y gn (x) ! lm inf f n (x). Aplicando el teorema de la n!1 convergencia monótona de Lebesgue a la sucesión (gn ), se tiene: lm
n!1
Z
gn d =
Z
lm inf f n d:
(5.16)
Z
(5.17)
n!1
Por otro lado de 5.15 se obtiene: lm inf n!1
Z
gn d
lnm inf !1
f n d:
Comparando 5.16 y 5.17 (recuerde que si una sucesión tiene límite, entonces este límite es igual al límite inferior y al superior), se concluye que:
Z
lm inf f n d
n!1
Esto termina la demostración.
lnm inf !1
Z
f n d:
El Lema de Fatou
53
A; ) ! [1; 1] una función medible. De acuerdo al Coroy f son medibles. Para E 2 A, de…namos: (5.18) f d = f + d f d;
De…nición 115 Sea f : (;
+
lario 99, las funciones f
Z
Z
E
Z
E
E
siempre que al menos una de las integrales en el lado derecho de 5.18 sea …nita. Por otro lado y de acuerdo al Ejemplo 96, la función f es medible ya que es la compuesta de f con la función valor absoluto que es continua. Diremos entonces que f es una función integrable si:
jj
Z j j
f d <
1:
R R
Note que, en el caso en que f es integrable, la integral E f d está bien de…nida y es un número real, puesto que f + f y f f y por lo tanto E f + d < y E f d < :
R
j j j j 1 1 Corolario 116 Sea f n : (; A; ) ! [1; 1] una sucesión de funciones medibles. Suponga que existe una función integrable g tal que f n g para todo n. Entonces: lm sup f n d lm sup f n d. n n Demostración. Sea hn = g f n . Entonces hn : (; A; ) ! [0; 1] y podemos
Z
!1
Z
!1
aplicar el lema de Fatou a la sucesión (hn ). Así se tiene:
Z
lm inf hn d
n!1
pero entonces:
Z
g d
Z
Z
lm sup f n d =
!1
lm inf (g
n!1
n!1
=
lnm inf
lm inf n!1
Z R
Z
Simpli…cando por demostración.
g d se obtiene
Proposición 117 Sea f : (;
todo E
2 A se tiene:
hn d;
f n) d =
Z Z
lm inf hn d =
n!1
hn d = lm inf n!1
Z
(g
f n) d
lnm sup f n d: lm sup f n d lm sup f n d: Esto termina la n n g d
!1
R
Z
!1
!1
R
A; ) ! [1; 1] una función integrable. Entonces, para
Z
Z j j Z Z f d
f d:
E
E
Demostración. Observe que:
Z
f d =
E
Análogamente:
Z E
Por lo tanto:
f d =
Z
+
f d
E
Z
f d
E
+
f d
E
Z
f d
E
Esto termina la demostración.
f d
E
f d
f d
E
f d
E
Z jj
f d:
E
Z Z Z jj
E
Z jj
+
Z j j
f d:
E
f d:
E
Integración
54 5.6.
El Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue
El siguiente teorema se conoce como el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue: Teorema 118 Sea f n : (;
que:
A; ) ! [1; 1] una sucesión de funciones medibles tales f (x) = lm f n (x) n!1
existe para todo x
2 . Suponga que existe una función integrable g tal que: jf n(x)j g(x) para todo n 2 N y para todo x 2 .
Entonces f es integrable y, lm
n!1
y lm
Z j Z
f n
f j d = 0;
(5.19)
Z
(5.20)
f n d =
n!1
f d:
Demostración. Como jf j g y f es medible, se deduce que f es integrable. Como jf n f j 2g , una aplicación del Lema de Fatou a la función 2g jf n f j, nos da:
Z
2g d
lm inf n!1
Z Z
=
Z
2g d + lm inf n!1
=
2g d
Como
R
jf n f j) d
(2g
Z j j Z j j f n
lmn sup !1
f d
f n
f d :
2g d es …nito, se puede sustraer de ambos lados, obteniendo: lm sup n!1
Z j
f n
f j d
0:
Evidentemente este resultado implica 5.19. Por otro lado, de acuerdo a la Proposición 5.20, se tiene:
Z
f n d
Z Z f d =
(f n
Z j
f ) d
f n
f j d
Por lo tanto 5.19.implica 5.20. Esto termina la demostración. 5.7.
Comparación con la integral de Riemann
El siguiente teorema cuya demostración no daremos (ver Problema 28) muestra que la integral de Lebesgue es una extensión natural de la integral de Riemann. Sea el intervalo [a; b] con la -álgebra M de los conjuntos Lebesgue medibles de [a; b] y dx la medida de Lebesgue. Usaremos la notación ab f dx para escribir la integral de Lebesgue en el intervalo [a; b] y R ab f dx para la correspondiente integral de Riemann..
R
Teorema 119 Sea f : [a; b]
R
! R una función real acotada. Entonces:
(a) f es Riemann integrable en [a; b] si y sólo si f es continua c.t.p. en [a; b] : (b) Si f es Riemann integrable en [a; b], entonces f es Lebesgue integrable en [a; b] y,
b
Z a
b
f dx =
Z R a
f dx
Capítulo 6 LOS ESPACIOS 6.1.
P
L
Funciones Convexas
1 a < b 1. Entonces ' : (a; b) ! R se dice que es una función convexa si para todo par de reales x; y 2 (a; b) y 2 (0; 1) se tiene: '((1 )x + y) (1 )'(x) + '(y): (6.1) Gra…camente la condición establece que para todo t 2 (x; y) el punto (t; '(t)) debe estar De…nición 120 Suponga que
sobre o debajo del segmento lineal que une los puntos (x; '(x)) e (y; '(y)).
Ejemplo 121 Dos ejemplos típicos de funciones convexas, la primera de…nida en R y la
1) son '(x) = exp(x) = ex y '(x) = x p con p 1. Lema 122 ' : (a; b) ! R es convexa si y sólo si: '(t) '(s) '(u) '(t) ts ut segunda en (0;
(6.2)
para todo s; t y u tales que a < s < t < u < b . Demostración. Ver Problema 2. 0
! R es diferenciable, entonces ' es convexa si y sólo si ' monótonamente creciente, esto es a < s < t < b implica que ' (s) ' (t): Proposición 124 Si ' : (a; b) ! R es convexa, entonces ' es continua. Ejemplo 123 Si ' : (a; b)
0
es
0
Demostración. Ver Problema 1. 6.2.
La Desigualdad de Jensen
Proposición 125 Sea (;
A
; ) un espacio de medida tal que () = 1 y f : una función integrable. Entonces si ' : (a; b) R es convexa, se tiene que:
!
'
Z Z f d
! (a; b)
(' f ) d:
Nota 126 Las cantidades a y b pueden ser reales extendidos.
Pongamos t = f d. Entonces a < t < b . Si es el supremo de los cuocientes del lado izquierdo en 6.2 para a < s < t , entonces no es mayor que ninguno de los cuocientes del lado derecho para u 2 (t; b). De aquí se sigue que:
R
Demostración.
'(s)
'(t) + (s t)
(a < s < b):
Los Espacios L p
60
Por lo tanto para todo x 2 se tiene: '(f (x))
(6.3)
'(t) (f (x) t) 0:
Como ' es continua, ' f es medible. Integrando ambos lados de 6.3 se tiene:
Z R R Z
(' f ) d
Pero t =
f d y
'(t)
Z
d
Z
f d + t
Z
d
0:
d = 1 . Reemplazando se obtiene:
(' f ) d
'(
Z
f d)
t + t 0.
Esto termina la demostración. 6.3.
Las Desigualdades de Hölder y Minkowki
De…nición 127 Diremos que los números reales positivos p y q son exponentes conjuga-
dos si:
1 1 + = 1: p q
Los casos extremos p = 1 y q = gados.
1 (y viceversa) también se consideran exponentes conju-
Proposición 128 Sean p y q dos exponentes conjugados con 1 < p;q <
1. Sea (; A; )
A ! [0; 1] son dos funciones medibles, se
un espacio de medida. Entonces si f; g : (; ; ) tiene:
Z
1=p
fgd
y
Z
p
q
f d
g d
p
1=q
Z Z Z Z
(6.4)
1=p
1=p
p
(f + g) d
f d
1=p
p
+
g d
(6.5)
La desigualdad 6.4 se denomina desigualdad de Hölder y la 6.5 se conoce como desigualdad de Minkowski. Si en 6.4 hacemos p = q = 2 entonces la desigualdad obtenida se conoce como desigualdad de Schwarz. Demostración. Sean A y B los factores del lado derecho de 6.4. Si A = 0, entonces f = 0 c.t.p. por Problema 8, página 55; luego f g = 0 c.t.p. y la desigualdad 6.4 es cierta. Si A > 0 y B = 1 la desigualdad 6.4 nuevamente es trivial. Por lo tanto sólo necesitamos considerar el caso 0 < A;B < 1. Pongamos:
F =
Entonces:
Z
p
f ; A
F d =
G=
Z
g : B
(6.6)
Gq d = 1:
Si x 2 cumple con 0 < F (x) < 1 y 0 < G(x) < 1, entonces existen reales s y t tales que: F (x) = es=p ; G(x) = et=q .
Los Espacios L p
61
Como 1=p + 1=q = 1 , la convexidad de la función exponencial implica que:
p1 es + 1q et:
es=p+t=q
De lo que sigue:
p1 F (x) p + 1q G(x)q :
F (x)G(x)
(6.7)
Note que 6.7 es válida para todo x 2 . Integrando se obtiene:
Z
FGd
1 p
1 F d + q
Z
p
Z
Gq d =
1 1 + = 1. p q
Usando 6.6, …nalmente se obtiene:
Z
1=p
fgd
1=q
Z Z p
AB =
q
f d
g d
;
lo que demuestra la desigualdad de Hölder. Para demostrar 6.5 escribamos: p
p1
(f + g) = f (f + g)
p1
+ g (f + g)
:
De acuerdo a Hölder se tiene que:
Z
p1
p1
f (f + g)
1=p
d
Z Z p
f d
( p1)q
(f + g)
1=q
(6.8)
d
Análogamente:
Z
g (f + g)
1=p
d
Z Z p
g d
(f + g)
( p1)q
1=q
(6.9)
d
Sumando 6.8 y 6.9 y observando que ( p 1) q = p, se obtiene:
Z
p
(f + g) d
Z
p
"Z Z # 1=q
1=p
p
(f + g) d
f d
1=p
p
+
g d
:
(6.10)
Evidentemente es su…ciente demostrar 6.5 en el caso que el lado izquierdo sea mayor que 0 y el derecho menor que 1. La convexidad de la función t p para t 2 R implica que: p
f + g 2
1 p (f + g p ) : 2
De aquí se deduce que (f + g) p d es menor que 1. Dividiendo por este factor en 6.10 se obtiene la desigualdad 6.5. Esto termina la demostración.
R
6.4.
Los Espacios L p
De…nición 129 Si 0 < p <
de…namos:
1 y f : (; A; ) ! [1; 1] es una función medible, kf k p =
1=p
Z j j p
f d
:
Denotaremos por p () al conjunto de todas las funciones f tales que f p < = R, escribiremos p (R) en lugar de p ().
L
L
L
kk
1. Si
Los Espacios L p
62
! [0; 1] una función medible y sea S el conjunto de todos los reales positivos tales que: g 1 ((; 1]) = 0: De…namos el supremos esencial kg k de g como: Si S = kgk = 1 nf S Si S 6 = : Denotemos por L () al conjunto de todas las funciones f : (; A; ) ! [1; 1] medibles tales que el supremo esencial de jf j, denotado por kf k es acotado, esto es kf k < 1. Las funciones de L () se dice que son esencialmente acotadas. Si = R, escribiremos L (R) en lugar de L (). Ejemplo 131 Si es la medida de conteo en un conjunto A con la -álgebra A = P (A), entonces, en lugar de usar la notación L p(), 1 p 1; para denotar los espacios p p De…nición 130 Sea g :
1
1
1
1
1
1
1
1
arriba de…nidos, usaremos l (A). Si A es contable escribiremos l . Los elementos de estos últimos espacios pueden ser considerados como sucesiones reales. Si x = (xn ) es una tal sucesión, entonces:
8>< P j j >: j j 1
kxk p =
n=1
xn
p
1=p
p < 1 Si p = 1: Si 1
sup xn n1
Nota 132 De acuerdo a la De…nición 130, se tiene:
6
kk
(a) Si S = entonces g g
1
1
= nf S = mn S . En efecto, si = nf S , entonces: 1
((;
1]) =
por lo tanto g1 ((; ]) = 0 y S . (b) f (x) c.t.p. en
j
j
1
2
S g
1
n=1
,
kf k
1 + ; n
1
q
1
;
:
Proposición 133 Sean p y q exponentes conjugados, 1 p
1
p; q 1 . Suponga que f 2
L () y g 2 L (). Entonces f g 2 L () y, kf gk1 kf k p kgkq : (6.11) Demostración. Si 1 < p; q < 1 entonces la conclusión es inmediata de la Proposición 128. Si p = 1, entonces integrando ambos lados de la desigualdad, jf (x)g(x)j kf k jg(x)j c.t.p. sobre , se deduce 6.11. Si p = 1, entonces q = 1 y podemos aplicar el mismo argumento. Esto 1
termina la demostración.
p 1. Suponga que f 2 L p () y g 2 L p (). Entonces f + g 2 L p() y además: kf + gk p kf k p + kgk p : (6.12) Demostración. Si 1 < p < 1, el resultado se sigue directamente de la Proposición 128. Si p = 1 ó p = 1, entonces 6.12 es consecuencia inmediata de la desigualdad jf + gj jf j + jgj. Esto termina la demostración. Teorema 134 Sea 1
Los Espacios L p
63
L p() con 1 p 1; de…nimos la relación: , f = g c.t.p. sobre ,
De…nición 135 Si en los espacios
f
v
g
entonces f g es una relación de equivalencia sobre estos espacios. Denotaremos por L p () los espacios vectoriales formados por las respectivas clases de equivalencia. v
L p(), 1 p 1; los espacios
Nota 136 Es fácil darse cuenta que a diferencia de
L p () son espacios vectoriales normados. Si en estos espacios de…nimos:
k gk p
d(f; g) = f
entonces d es una distancia en L p (). Esta distancia se conoce como la métrica o distancia usual de L p (). En el caso de L1 () también se conoce como la métrica o distancia uniforme o de la convergencia uniforme. Teorema 137 Los espacios L p (), 1
que:
p 1 son espacios métricos completos. Demostración. El caso p = 1 ver Problema 8. Si 1 p < 1 y (f n ) es de Cauchy, entonces existe (f n ) con n1 < n2 < , tal k
X
De…na:
f n
f ni+1
p
i
k
gk =
f ni+1
i=1
Por 6.13,
f n
i
<
1 2i
i 1
;
g=
X
f ni+1
i=1
k
k
X k k Z Z Z gk
p
f ni+1
i=1
f n
Usando ahora el lema de Fatou, se tiene:
kgk p p
=
g p d =
(6.13)
1:
p
i
X Z Z p
i=1
f n
i
:
(6.14)
1 < 1: 2i
lm (g pk ) d
(lm gk ) d =
lm inf g pk d = lm inf kgk k p p 1. Por lo tanto kg k p 1. En particular g(x) < 1 c.t.p., de manera que la serie: =
lm inf (g pk ) d
1
f (x) = f n1 (x) +
X
f ni+1 (x)
i=1
f n (x) i
converge absolutamente casi en todas partes. Como k 1
f n1 +
X
f n
f ni+1
i
i=1
= f nk
se concluye que f (x) = lm f n (x) casi en todas partes. Demostraremos ahora que (f n ) i!1 converge a f en L p . Sea > 0. Entonces existe N tal que para todo n; m N se cumple que kf n f m k p < . Fijemos m N . Entonces por el lema de Fatou, se tiene: i
Z j f
f m
p
j
d =
Z j
p
f mj
lm f ni
lm inf
Z j
f ni
d =
Z
j f mj p d
lm f ni
f mj p d = lm inf kf n f mk p p < p: i
Los Espacios L p
64
Luego, para todo m N se cumple que kf f m k p < . De aquí se obtienen dos conclusiones: (1) f f m 2 L p y como f m 2 L p , se deduce que f 2 L p . (2) Ya que f 2 L p y kf f m k p < para todo m N , de deduce que (f n ) converge a f en L p . Esto …naliza la demostración. Corolario 138 Si (f n ) es una sucesión convergente a f en el espacio L p (), 1
entonces existe una subsucesión (f nk ) que converge puntualmente a f c.t.p.
p 1,
Proposición 139 Sea S el conjunto de todas las funciones medibles simples s con soporte
de medida …nita y de…nidas en , esto es
f
6 g 1;
( x : s(x) = 0 ) < entonces si 1
p < 1, se tiene que S es denso en L p().
Demostración. Como el soporte de las funciones simples de S tiene medida …nita, se sigue que S L p (). Supongamos que f 0 y sea fsn g una sucesión de funciones medibles simples de…nidas como en la Proposición 102. Como 0 sn f , se deduce que sn 2 L p (), y por lo tanto sn 2 S . Como jf sn j p f p , el teorema de la convergencia dominada demuestra que kf sn k p ! 0. Esto demuestra que f pertenece a la L p -clausura de S . El caso general se deduce de este.
Capítulo 7 MEDIDAS SIGNADAS 7.1.
La Descomposición de Hahn
De…nición 140 Sea (;
A; ) un espacio de medida. Diremos que : A ! (1; 1] es
una medida signada si cumple con las siguientes condiciones:
A
a) El dominio de es una -álgebra en : b) es contablemente aditiva en . c) () = 0:
A
Ejemplo 141 La motivación de esta noción proviene de considerar la función:
(E ) = 1 (E )
2(E );
E
(7.1)
2 A,
de…nida como la diferencia de las medidas 1 y 2 , en donde 2 es …nita. Es claro que en este caso es una medida signada. En esta sección demostraremos que toda medida signada es de esta forma. Ejemplo 142 Suponga que f es una función real medible, tal que
la función de…nida por: (A) =
Z
f d;
R
f d <
1. Entonces
A
es una medida signada.
De…nición 143 Sea una medida signada de…nida en la -álgebra
A. Entonces diremos que:
A y sean P 2 A; N 2
\ A) 0 para todo A 2 A. 2. N es negativo respecto a si (N \ A) 0 para todo A 2 A. 1. P es positivo respecto a si (P
Proposición 144 Sea una medida signada, entonces existen dos conjuntos medibles y
disjuntos P y N tales que P es positivo y N es negativo respecto a y = P + N . Esto es, es la unión disjunta de P y N . Demostración. Denotemos
por N la clase de todos los conjuntos negativos respecto a . De…na = nf (B) y sea (Bj ) una sucesión de conjuntos negativos tales que B 2N (Bj ) ! . Sea: 1
N =
[
Bj y
j=1
P =
B
Medidas Signadas
70
Demostraremos ahora que N es negativo y P es positivo respecto a . Esto terminará la demostración. De acuerdo a los Problemas 3 y 4, se tiene que N es negativo y (N ) = . Supongamos que P no es positivo. Entonces existe un conjunto E 0 P tal que (E 0 ) < 0. Es claro que E 0 no puede ser negativo, puesto que entonces E 0 [ N sería negativo y (E 0 [ N ) < , contradiciendo la elección de . Por lo tanto existe E 1 E 0 tal que (E 1 ) > 0. Sea m1 el entero positivo más pequeño para el cual existe un tal conjunto E 1 satisfaciendo (E 1 ) 1=m1 . De acuerdo al Problema 1 se debe cumplir que (E 1 ) < 1. Como: (E 0
E 1) = (E 0) (E 1) (E 0) m11 < 0;
podemos aplicarle al conjunto E 0 E 1 el mismo argumento que le aplicamos a E 0 . Llamemos nuevamente m2 al menor entero positivo tal que E 0 E 1 contiene un conjunto E 2 satisfaciendo (E 2 ) 1=m2 . 1 Continuando de esta manera se obtiene (E k )1 k=1 y (mk )k=1 tales que mk es el menor entero positivo para el cual existe E k E 0 (E k )
Es claro que
1
S i=1
E i
<
1=mk :
k 1
S
E i , satisfaciendo:
i=1
(7.2)
1 y como la colección E k es disjunta, se deduce que (E k ) ! 0.
Por lo tanto, de acuerdo a 7.2 se tiene:
1 = 0. k!1 mk lm
De aquí se deduce que para todo subconjunto medible F de F 0 = E 0 (F )
mk1 1 ! 0.
1
S
E i se cumple:
i=1
Esto signi…ca que (F ) 0 y por lo tanto F 0 es negativo. Como: 1
(F 0 ) = (E 0 )
X
(E i ) < (E 0 ) < 0;
i=1
se obtiene que (N [ F 0 ) < (N ) lo que constituye una contradicción. Esto termina la demostración. En el contexto de este resultado, la descomposición de en dos conjuntos medibles disjuntos, uno positivo y el otro negativo respecto a la medida signada , se conoce como descomposición de Hahn. 7.2.
La Descomposición de Jordan
A pesar de que la descomposición de Hahn no es única (ver Problema 5), cualquiera de ellas da origen a una descomposición de la medida signada, conocida como descomposición de Jordan y que es independiente de la descomposición de Hahn elegida (ver Problema 6).
Continuidad Absoluta
71
Proposición 145 Sea una medida signada y sea P y N una descomposición de Hahn,
en donde P es positivo y N es negativo respecto a . De…namos: + (E ) = (E P ); (E ) = (E N )
\
\
entonces + y son medidas. Además para todo conjunto medible E se tiene: (E ) = + (E )
(E ):
Esta descomposición de como la diferencia de dos medidas no negativas se conoce como la descomposición de Jordan de la medida signada . De…nición 146 Las medidas + y se conocen como la variación positiva y la variación
negativa de respectivamente. La medida:
jj (E ) = +(E ) + (E ) se conoce como la variación total de . Note que jj (E ) en general es distinto de j(E )j. Una medida signada se dice que es …nita (resp. -…nita) si jj es …nita (resp. -…nita). 7.3.
Continuidad Absoluta
A. Supongamos que es positiva y ; 1 y 2 son medidas signadas. Entonces: (1) Diremos que es absolutamente continua respecto a y escribiremos si para todo E 2 A, (E ) = 0 ) (E ) = 0. (2) Diremos que está concentrada en el conjunto A 2 A, si para todo E 2 A se tiene que (E ) = (E \ A): De…nición 147 Sean , , 1 y 2 medidas de…nidas en la -álgebra
(3) Diremos que 1 y 2 son mutuamente singulares si existe un par de conjuntos disjuntos A y B tales que 1 está concentrado en A y 2 está concentrado en B. En este caso escribiremos que 1 2 :
?
Proposición 148 Suponga que , ; 1 y 2 son medidas en la -álgebra
positiva. Entonces: (a) concentrada en A concentrada en A. (b) Si 1 2 , entonces 1 2 . (c) Si 1 y 2 , entonces 1 + 2 . (d) Si 1 y 2 , entonces 1 + 2 . (e) Si , entonces . (f) Si 1 y 2 , entonces 1 2 . (g) Si y , entonces = 0.
? ?
) jj j j?j j
? j j ? ?
A y que es
?
?
Demostración. a) Sea P y N una descomposición de Hahn, en donde P es positivo y N es negativo respecto a . Entonces:
jj (E \ A)
= + (E A) + (E A) = (E A P ) (E A = (E P ) (E N ) = + (E ) + (E ) = (E ):
\ \
\
\
\ \
jj
\ \ N )
Medidas Signadas
72
b) Sigue inmediatamente de (a). c) Existen conjuntos disjuntos A1 y B1 tal que 1 está concentrada en A1 y en B1. También hay conjuntos disjuntos A2 y B2 tal que 2 está concentrada en A2 y en B2 . Entonces 1 + 2 está concentrada en A = A1 [ A2 y está concentrada en B = B1 \ B2 . Es claro que A \ B = . d) Obvio. e) Sea P y N una descomposición como en (a) y suponga que (E ) = 0. Como se tiene que (E \ P ) = (E \ N ) = 0. Por lo tanto:
jj (E ) = +(E ) + (E ) = (E \ P ) (E \ N ) = 0: f) Como 2 ? , existe un conjunto A tal que (A) = 0 sobre el cual 2 está concentrado. Como 1 , se tiene entonces que 1(E ) = 0 para todo E A. Esto signi…ca que 1 está concentrado en B = Ac. Luego 1 ? 2 . g) Por f) y la hipótesis de g) se tiene que ? . Esto implica que = 0. Esto termina la demostración. 7.4.
El Teorema de Radon-Nikodym
Lema 149 Sean y dos medidas positivas reales, tales que
. Suponga que no
es idénticamente nula. Entonces existe un conjunto medible P y un > 0 tal que: (P ) > 0 y P es positivo para la medida signada
.
Sea (P n ; N n ) una descomposición de Hahn para la medida signada . Evidentemente el lema quedará demostrado si probamos que existe n tal que (P n ) > 0. Supongamos por el contrario que para todo natural n se tiene que (P n ) = 0. Entonces ( P n ) = 0 y como se concluye que Demostración. 1 n
S
Por otro lado:
Por lo tanto:
\ N n
[
(N n )
(7.3)
P n = 0:
n1 (N n) n1 ():
\
(7.4)
N n = 0:
Como ( P n )c = N n , se deduce de 7.3 y 7.4 que = 0. Esto contradice la hipótesis y completa la demostración. El siguiente teorema se conoce como el teorema de Radon-Nikodym.
S
T
Teorema 150 Sean y dos medidas positivas y acotadas en una -álgebra
conjuntos de tales que
1
A de sub-
. Entonces existe una única función f 2 L () tal que: (E ) =
Z E
f d
( E
2 A).
(7.5)
Esta función f se conoce como la derivada de Radon-Nikodym de respecto a y se expresa como d = f d:
El Teorema de Radon-Nikodym
73
Demostración. La
unicidad de f se deduce del Problema 11, página 55. g d (A); 8A 2 A . Como g = 0 2 Sea ahora H = g : g 0 medible y H, H =6 . Demostraremos ahora que si (gi ) es Auna sucesión de funciones en H, entonces:
R
f
f n = max g1 ; g2 ; : : : ; gn
g 2 H.
De…namos A1 = fx : g1 (x) = f n (x)g y para 2 j n,
f
^ gj > max fg1; : : : ; gj 1gg ;
Aj = x : gj (x) = f n (x)
n
entonces A1 ; A2 ; : : : ; An es una colección disjunta tal que
f n d =
A
n
P Z
j=1 A\Aj
f n d =
n
P Z
j=1
Aj = . Por lo tanto, de
j=1
acuerdo al Corolario 113, si A 2 A se tiene:
Z
P P
gj d
A\Aj
n
(A
j=1
\ Aj ) = (A) :
Por lo tanto f n 2 H. Usando ahora el teorema de la convergencia monótona de Lebesgue se deduce que: sup gi 2 H. Sea ahora:
Z R Z
= sup
g d : g
y sea (f n ) una sucesión en H tal que y,
f n
d
2H
;
! . Sea f = sup f n. Evidentemente f 2 H
f d = .
Como () < 1, se deduce que f 2 L1 (). Demostraremos que f es la derivada de Radon-Nikodym de respecto a . Para este efecto basta demostrar que la medida positiva de…nida por: (E ) = (E ) f d ,
Z E
es idénticamente cero. Si esto fuese falso, una aplicación directa del Lema 149, nos asegura la existencia de un conjunto P 2 A y un > 0 tal que (P ) > 0 y P es positivo para la medida signada:
Z
(E ). De esta última a…rmación se desprende que para todo E 2 A, (E \ P ) f d + (E \ P ): E P Como f 2 H, también se tiene que: (E P ) f d: '(E ) = (E )
(E ) = (E )
Z
f d
E
(7.6)
\
Z
(7.7)
E P
Sumando las desigualdades 7.6 y 7.7, se obtiene:
\
(E ) = (E P ) + (E =
Z Z E
=
E
P )
\
Z Z
f d + (E P ) = (f + P ) d:
\
f d + (E P ) +
E \P
f d +
E
Z E
P d
Z
E P
f d
Medidas Signadas
74
Por lo tanto f + P 2 H. Pero:
Z
(f + P ) d =
Z
f d +
Z
P d = + (P ) > ,
lo que es una contradicción. Esto termina la demostración. Corolario 151 Sean y dos medidas positivas y -…nita en una -álgebra
conjuntos de tales que
A de sub-
. Entonces existe una única función medible f tal que: (E ) =
Z
f d
( E
E
2 A).
Demostración. Como y son -…nita, existe una sucesión de conjuntos medibles y disjuntos (An ) tal que: 1
X
An = ;
(An ) <
n=1
1;
1
(An ) <
(n = 1; 2; : : :):
Usando el teorema anterior, se obtienen funciones f n tales que:
\
(E An ) =
Ahora es fácil ver que la función f =
Z
f n d.
E \An
P
An f n satisface las condiciones del corolario.
Corolario 152 Sea y dos medidas -…nita en una -álgebra
A
de subconjuntos de tales que . Entonces si es positiva y es signada, existe una única función medible f tal que:
(E ) =
Z
f d
( E
E
Demostración. De
y f 2 tales que: +
(E ) =
2 A).
acuerdo al Corolario anterior, existen funciones medibles f 1
Z
f 1 d;
(E ) =
E
f 2 d
E
Entonces: (E ) = + (E )
Z Z
(E ) =
E
(f 1
(E 2 A).
f 2) d:
La unicidad de f = f 1 f 2 se deduce del Problema 11, página 55. 7.5.
El Teorema de la Descomposición de Lebesgue
El siguiente teorema se conoce como el teorema de la descomposición de Lebesgue:. Teorema 153 Sea y dos medidas signadas y -…nitas en una -álgebra
A
de subconjuntos de . Entonces existe un único par de medidas signadas y -…nitas a y s en tal que: = a + s ; a ; s : (7.8)
A
?
El par (a ; s ) se conoce como la descomposición de Lebesgue de respecto a .
El Teorema de la Descomposición de Lebesgue
75
Demostración. Descomponiendo las medidas en sus correspondientes variaciones,
podemos suponer que y son positivas. De acuerdo al Corolario 151, se tiene que existe función medible f 0 tal que: (7.9) d = f d( + ): Sea:
f
g
A = x : f (x) > 0 ;
Entonces A y B son disjuntos y A + B = y, (B) =
Z
f
g
B = x : f (x) = 0 :
f d( + ) = 0:
B
Si (C ) = 0 y C A entonces (C ) = 0 y por lo tanto 7.9 implica que:
Z
f d( + ) = (C ) = 0:
C
Como C A = fx : f (x) > 0g este resultado implica que ( + )(C ) = 0. Ahora como (C ) = 0 se concluye …nalmente que (C ) = 0. De…namos ahora:
\
\
a (E ) = (E A);
s (E ) = (E B):
Es fácil veri…car que esta es la descomposición buscada. Para demostrar la unicidad suponga que existe otra descomposición 0a y 0s satisfaciendo 7.8. Entonces: 0a
0
a = s s;
0a
entonces la Proposición 148 implica que demostración.
a ; a a = 0
0
s ? ; s s = 0. Esto completa la s
0
Nota 154 Entre las muchas aplicaciones que tiene el teorema de Radon-Nikodym se en-
cuentra en lugar destacado su uso casi directo en las demostraciones de una serie de teoremas de representación. En particular se utiliza para representar, mediante una integral apropiada, operadores lineales continuos de…nidos en espacios vectoriales tan diversos como* C 0 (X ) o L p con 1 p < . Estos teoremas llevan el nombre genérico de teoremas de representación de Riesz.
* Espacio
1
de funciones complejas continuas que se anulan al in…nito.
Capítulo 8 INTEGRACIÓN EN ESPACIOS PRODUCTO 8.1.
Medidas Producto
A) y (; B) dos espacios medibles. Denotaremos por A B la -álgebra generada en por todos los rectángulos medibles E F con E 2 A y F 2 B. Como siempre denotaremos por ( ; A B) el espacio medible resultante. Proposición 156 Sean (; A) y (; B ) dos espacios medibles. Sea E 2 A B, entonces para cada x 2 y para cada y 2 , E x = fy 2 : (x; y) 2 E g 2 B : E y = fx 2 : (x; y) 2 E g 2 A. De…nición 155 Sean (;
En otras palabras, E x y E y son conjuntos medibles. Estos conjuntos se conocen respectivamente como la x-sección y la y-sección de E . Demostración. De…namos
H = fE 2 A B : E x 2 Bg. Como cualquier rectángulo medible pertenece a H, bastará demostrar que H es una -álgebra para concluir que H = A B y terminar la demostración. El que H sea una -álgebra se deduce de las siguientes identidades:
[ [ E n
x
=
(E n )x
c
(E c )x = (E x ) .
Esto termina la demostración.
; A B) ! [1; 1] una función medible. Entonces: (a) Para cada x 2 la función f x : (; B) ! [1; 1] de…nida por: f x (y) = f (x; y) (y 2 ); es medible (respecto a la -álgebra B ). (b) Para cada y 2 la función f y : (; A) ! [1; 1] de…nida por: f y (x) = f (x; y) (x 2 ); es medible (respecto a la -álgebra A). Proposición 157 Sea f : (
Demostración. (a)
Basta demostrar la proposición para funciones del tipo f = A , es decir, funciones indicatrices, ya que entonces sería cierto para funciones simples. Usando aproximaciones por funciones simples se podría extender a funciones medibles positivas y …nalmente a funciones medibles arbitrarias por descomposición en sus partes positiva y negativa.
Integración en Espacios Producto
78
Supongamos entonces que f = A con A 2 A B. Sea x 2 , entonces hay que demostrar que para todo 2 R, el conjunto:
fy 2 : (A)x (y) > g = fy 2 : A(x; y) > g 2 B. Pero:
fy 2 : A(x; y) > g =
8< :f 2 y
: (x; y)
2 Ag
Si 1 Si 0 < 1 Si < 0
Por lo tanto todo se reduce a demostrar que la sección Ax = fy 2 : (x; y) 2 Ag pertenece a B y esto último es cierto por Proposición 156. Esto termina la demostración.
A; ) y (; B; ) dos espacios de medida. Entonces existe, sobre la -álgebra A B una medida, denotada por tal que: (8.1) ( ) (A B) = (A)(B) A 2 A; B 2 B . Si y son -…nitas, entonces la medida es única y se denomina medida producto. Demostración. Sea H la colección de todas las sumas (disjuntas) …nitas de rectángulos A B con A 2 A; B 2 B . Es fácil veri…car H es una álgebra. De…namos = por 8.1 y extendamos de manera lineal al álgebra H. Usando el teorema de la convergencia monótona es posible demostrar que es una medida sobre H (ver Problema 1). Usando ahora el teorema de extensión de Caratheódory podemos extender a la -álgebra A B. Como es -…nita sobre H, esta extensión es única. Esto termina Teorema 158 Sean (;
la demostración.
Proposición 159 Sean (;
A; ) y (; B; ) dos espacios de medida -…nitas. Suponga
2 A B. Considere las funciones: ' : ! [0; 1] , de…nida por '(x) = (Qx ): : ! [0; 1] , de…nida por (y) = (Qy ): Entonces ' es A-medible y es B -medible y se cumple: que Q
Z
' d = (
) (Q) =
Z
d.
(8.2)
Demostración. Demostraremos
sólo la primera igualdad. Sean (Aj ) y (Bj ) dos sucesiones de conjuntos (ambas disjuntas) en A y B respectivamente tales que = Aj y = Bj con (Aj ) < 1 y (Bj ) < 1, para todo j . Por el teorema de la convergencia monótona es su…ciente demostrar que para todo j y k …jos, se tiene que:
S
S
'k :
es A-medible y,
! [0; 1] , de…nida por 'k (x) = (Qx \ Bk )
Z
) (Q \ (Aj Bk )) = (Qx \ Bk ) d: A Sea H la colección de todos los conjuntos en A B tales estas dos propiedades son ciertas. Como H contiene a todos los rectángulos medibles, el Problema 29, de la página 26 nos asegura que H = A B en el caso que H sea -aditiva. Aquí demostraremos solamente que H es cerrada bajo diferencias propias. (
j
El Teorema de Fubini
79
Sean E; F 2 H tal que F E . Entonces como (Bk ) < 1, se tiene:
\ \ \ \ Esto demuestra que la función x 7! ((E F )x \ Bk ) es A-medible. ((E
F )x \ Bk )
= ((E x Bk ) (F x Bk )) = (E x Bk ) (F x Bk ) :
Por otro lado, como las funciones:
y A (x)(F x \ Bk )
\ Bk )
Aj (x)(E x
j
son -integrables, se tiene:
Z
((E
Aj
F )x \ Bk ) d
Z
Z
\ Bk ) d (F x \ Bk ) d A ( ) (E \ (Aj Bk )) ( ) (F \ (Aj Bk )) ( ) ((E F ) \ (Aj Bk )) :
=
(E x
Aj
= =
j
Esto demuestra que A es cerrada bajo diferencia propia y termina la demostración. 8.2.
El Teorema de Fubini
A; ) y (; B; ) dos espacios de medida -…nitas. Entonces: ; A B; ) ! [0; 1] es medible y ' y son las funciones:
Teorema 160 Sean (;
(a) Si f : (
'(x) =
Z
f x d;
Z
(y) =
A
f y d:
(8.3)
B
Entonces ' es -medible y es -medible y se cumple:
Z
' d =
Z
f d (
) =
Z
(8.4)
d:
(b) Si f : ( ; ; ) [ ; ] es integrable, entonces f x L1 () para casi todo x , f y L1 () para casi todo y , las funciones de…nidas por 8.3 pertenecen a L1 () y a L1 () respectivamente y se cumple 8.4. (c) Si f : ( ; ; ) [ ; ] es medible y si
A B ! 1 1 2 2 2 A B ! 1 1 jf jx d y ' ' (x) =
Z
Z
entonces f
2
d <
1;
2 L1( ).
Por Proposición 157, las de…niciones de ' y tienen sentido. Si Q 2 A B y f = q entonces 8.4 corresponde simplemente a 8.2 por lo tanto (a) se cumple para toda función simple no negativa y A B-medible. Para el caso general considere una sucesión creciente (sn ) de tales funciones simples tales que sn (x; y) " f (x; y) para todo (x; y) 2 . Si 'n se asocia con sn de la misma forma en que ' fue asociado con f , se tiene que para todo n 1, se cumple: Demostración.
Z
'n d =
Z
sn d(
):
(8.5)
Ahora, por el teorema de la convergencia monótona 'n " ' y una nueva aplicación del mismo teorema en 8.5 nos da 8.4. La segunda parte de (a) se sigue simplemente intercambiando el rol de x e y .
Integración en Espacios Producto
80
(b) Considere las funciones f + y f . Apliquemos parte (a) a f + y a f . Sea '1 y '2 las funciones asociadas a f + y a f del mismo modo en que ' se asoció a f . Como f 2 L1 ( ) y f + j f j y como (a) se cumple para f + , se deduce que '1 2 L1 (). Análogamente '2 2 L1 (). Ahora como: f x = f +
f
x
x
se deduce que f x 2 L1 () para todo x tal que '1 (x) < 1 y '2 (x) < 1. Como '1 y '2 están en L1 (), esto ocurre para casi todos los x y en tales x se tiene que '(x) = '1(x) '2 (x). Por lo tanto ' 2 L1 (). Ahora 8.4 se cumple con '1 y f + y con '2 y f en lugar de ' y f . Si restamos las ecuaciones resultantes se obtiene una parte del resultado. La segunda parte se obtiene de la misma manera con f y y en lugar de f x y '. (c) Basta aplicar parte (a) a la función jf j. Nota 161 La identidad 8.4 usualmente se escribe como:
Z Z d(x)
f d(y) =
ZZ
f d (
) =
Z Z d(y)
f d(x):
(8.6)
La integral del medio se denomina integral doble y la de los extremos integrales iteradas.
. Suponga que E es A B-medible. Entonces ( ) (E ) = 0 si y sólo si (E x ) = 0 para casi todos los x 2 . Corolario 162 Sea E
Demostración. Aplicando la primera igualdad de 8.6 a la función característica
de E se tiene:
Z Z d(x)
E (x; y) d(y) =
ZZ
E d (
Por lo tanto ( ) (E ) = 0 si y sólo si
Z
R
) = ( ) (E ):
E (x; y) d(y) = 0 c.t.p.[]. Pero:
E (x; y) d(y) = (E x ):
Esto termina la demostración. Ejemplo 163 Sean = = [0; 1] ; = =medida de Lebesgue en [0; 1]. Sea 0 < 1 <
"
2 ; tal que n 1. Para cada n 1 elija una función real y continua gn tal que 1 gn (x) = 0, x = ( n ; n+1 ) y que cumpla con la igualdad 0 gn (t) dt = 1. De…na:
8 2
R
1
f (x; y) =
X
(gn (x)
n=1
gn+1(x)) gn(y):
Note que para cada punto (x; y) a lo más un término en esta suma es diferente de 0, luego f es real en todo . Ahora observe que:
1
1
Z Z dx
0
1
6
f (x; y) dy = 1 = 0 =
0
1
Z Z dy
0
f (x; y) dx;
0
por lo tanto no se cumple la conclusión del teorema de Fubini aún cuando ambas integrales iteradas existen. Note que f es continua excepto en (1; 1) pero, 1
1
Z Z j dx
0
0
j
f (x; y) dy =
1.
El caso Real
81
Ejemplo 164 Sean = = [0; 1] ; =medida de Lebesgue en [0; 1] y =medida de
conteo en [0; 1]. De…na: f (x; y) = Entonces para todo x; y
1 x=y 0 x = y:
6
2 [0; 1] se cumple que:
Z
Z
f (x; y) d(x) = 0;
f (x; y) d(y) = 1:
Por lo tanto:
Z Z d(y)
6
f (x; y) d(x) = 0 = 1 =
Z Z d(x)
f (x; y) d(y):
En este caso la hipótesis que falta para aplicar el teorema de Fubini es la -…nitud de la medida . 8.3.
El caso Real
En esta sección discutiremos la relación que existe entre el espacio de medida,
y el espacio:
R
R
R; B(R R); m2
R; B(R) B(R); m1 m1
que hemos estado discutiendo en la sección anterior. En el primer caso, el espacio R R; B(R R); m2 se obtiene de una aplicación directa del torema de Caratheódory en R R y la -álgebra de Lebesgue B (R R) es completa respecto a la medida de Lebesgue m2 . En el segundo caso, el espacio
R
R; B(R) B(R); m1 m1
no es ni siquiera completo (ver Problema 3). Afortunadamente, este problema tiene una solución elegante: Teorema 165 Denotemos por mk la medida de Lebesgue en Rk y supongamos que k =
r + s; r
1; s 1; entonces mk es la completación de la medida producto mr ms. Demostración. Ver Rudin, Real and Complex Analysis.
Este resultado hace necesario el siguiente teorema: Teorema 166 Sean (;
A
B AB
; ) y (; ; ) dos espacios de medida -…nitas completas. Sea ( ) la completación de relativa a la medida producto . Si f es una función ( ) -medible en , entonces todas las conclusiones del Teorema 160 son válidas, sólo que las funciones ' y dadas por 8.3 están de…nidas sólo casi en todas partes.
AB
AB
Demostración. Ver Rudin, Real and Complex Analysis.
Capítulo 9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO El objetivo principal de este capítulo es el de estudiar el teorema fundamental del cálculo en el dominio de la integral de Lebesgue. Recordemos el Teorema Fundamental del Cálculo: Teorema 167 F : [a; b]
! R es continuamente diferenciable si y sólo si, x
F (x) = F (a) +
Z
g(t) dt;
(9.1)
a
para alguna función continua g : [a; b] F 0 (x) = g(x) en [a; b].
! R. Si este es el caso, entonces se cumple que
En otras palabras el Teorema Fundamental del Cálculo establecer una correspondencia biunívoca entre la clase de las funciones continuamente diferenciables y la clase de las funciones continuas . Nuestra intención es establecer un resultado similar entre la clase de las funciones absolutamente continuas y la clase de las funciones Lebesgue integrables . Especí…camente demostraremos que una función F : [a; b] ! R es absolutamente continua si y sólo si se cumple 9.1 para alguna función g 2 L1 ([a; b]) y en tal caso, F 0 (x) = g(x) c.t.p. en [a; b]. Comenzaremos estudiando una clase de funciones más general que la clase de funciones absolutamente continua para después centralizarnos en esta última clase. 9.1.
Funciones de Variación Acotada
De…nición 168 Sea f : [a; b]
! R una función y sea a = t0 < t1 < < tk = b una
partición del intervalo [a; b]. De…na:
k
p
=
(f (tj )
f (tj
+ 1 ))
(f (tj )
f (tj
1 ))
f (tj )
f (tj 1)j ;
X X Xj j=1 k
n =
j=1
(9.2)
k
t =
j=1
en donde (f (tj ) f (tj 1 ))+ y (f (tj ) f (tj 1 )) representan respectivamente la parte positiva y la parte negativa de (f (tj ) f (tj 1 )). De…namos ahora:
P = sup p N = sup n T = sup t
El Teorema Fundamental del Cálculo
84
en donde los respectivos supremos se toman sobre todas las posibles particiones del intervalo [a; b]. Las cantidades P; N y T se denominan respectivamente variación positiva, variación negativa y variación total de f en [a; b]. Si T < , diremos que f es una función de variación acotada en [a; b]. Denotaremos por BV [a; b] el conjunto de todas las funciones de variación acotada en [a; b].
1
La demostración del siguiente lema se basa en las identidades a = a+ a y jaj = a+ + a válidas para todo número real a. Lema 169 Si f
2 BV [a; b] entonces: P N
= f (b) P + N = T:
Demostración.
f (a)
Dada una partición cualquiera en [a; b] de…na p; n y t como en
9.2. Entonces: k
p
n
=
X X
(f (tj )
j=1
f (tj
+
1 ))
(f (tj ) f (tj
1 ))
k
=
(f (tj )
j=1
f (tj
1 )) =
f (b)
f (a):
Por lo tanto: p = n + f (b)
f (a) N + f (b) f (a):
Tomando supremos para p, se obtiene:
N + f (b) f (a):
P
(9.3)
Ahora como N < T < 1, podemos restar N en 9.3 para obtener: P
N f (b) f (a):
De manera similar se deduce que: N
P f (a) f (b);
de donde se concluye que: P
N = f (b) f (a).
Por lo tanto: T
t = p + n = p + p (f (b) f (a)) = 2 p + N P:
Tomando supremos para p se obtiene: T
2P + N P = P + N:
Como la desigualdad T P + N es obvia, se deduce …nalmente que T = P + N . Proposición 170 Una función f : [a; b]
f 1
! R es de variación acotada si y sólo si f =
f 2 en donde f 1 y f 2 son funciones monótonas crecientes en [a; b].
Diferenciabilidad
85
Demostración. Condición necesaria .
Sea f función de variación acotada en el intervalo [a; b]. Si x 2 [a; b], de…na g(x) y h(x) como la variación positiva y la variación negativa respectivamente de f en [a; x]. Es claro que g y h de…nidas de esta manera son funciones monótonamente crecientes en [a; b]. Por otro lado, de acuerdo al Lema 169, se tiene que: f (x) = g(x)
h(x) + f (a) = g(x) (h(x) f (a)) :
Note que f 2 (x) = h(x)f (a) es también monótonamente creciente, luego haciendo f 1(x) = g(x) se tiene la condición necesaria. Recíprocamente, suponga que f = f 1 f 2 , con f 1 y f 2 funciones monótonas crecientes en [a; b], entonces para toda partición (tj )kj=0 del intervalo [a; b] se tiene: k
k
Xj
f (tj )
j=1
k
Xj X
f (tj 1)j
f 1(tj 1)j +
f 1 (tj )
f 2 (tj )
j=1
j=1
k
=
f 2(tj 1)j
k
(f 1 (tj )
j=1
= f 1 (b)
Xj X
f 1(tj
1 )) +
(f 2 (tj )
j=1
f 2(tj
1 ))
f 1(a) + f 2(b) f 2(a);
por lo tanto si T es la variación total de f en [a; b], se tiene que: T
f 1(b) f 1(a) + f 2(b) f 2(a) < 1;
esto es, f es de variación acotada en [a; b]. 9.2.
Diferenciabilidad
En esta sección demostraremos que las funciones monótonas son diferenciables casi en todas partes. Este resultado, junto con la Proposición 170, establecerá la diferenciabilidad c.t.p. de las funciones de variación acotada. De…nición 171 Sea
J
una colección de intervalos de longitud no nula en R. Diremos que la colección cubre al conjunto E en el sentido de Vitali, si para todo > 0 y para todo x E , existe un intervalo I tal que x I y m(I ) < .
2
J
Lema 172 Sea E
2 J
2
J
una colección de intervalos R de medida exterior …nita y sea que cubren E en el sentido de Vitali, entonces dado > 0, existe una colección …nita y disjunta de intervalos I 1 ; I 2 ; : : : ; IN en tal que:
J
N
[ !
m E
I k
(9.4)
< :
k=1
Demostración. Es claro que es su…ciente demostrar el lema en el caso que J esté formado sólo por intervalos cerrados de longitud no nula, ya que en caso contrario podemos reemplazar los intervalos no cerrados por su correspondiente clausura y luego usar la desigualdad: n
m
n
[ ! [ ! E
I k
k=1
m
E
I k
+ m (A);
k=1
en donde A es el conjunto de los puntos extremos de los intervalos I 1 ; I 2 ; : : : ; In , conjunto que tiene obviamente medida (exterior) nula.
El Teorema Fundamental del Cálculo
86
De acuerdo al Problema 11, página 44 existe un conjunto abierto G de medida …nita conteniendo a E . Como J es un cubrimiento de Vitali del conjunto E , podemos suponer que cada intervalo de J está contenido en G. Elijamos una sucesión (I k )1 k=1 de intervalos disjuntos en J del modo siguiente: Sea I 1 cualquier intervalo en J y supongamos que los intervalos I 1 ; I 2 ; : : : ; In ya han sido elegidos. De…namos kn como el supremo de las longitudes de los intervalos que son n disjuntos de los ya elegidos. Si kn = 0 , entonces E I k (de lo contrario se contradice la
S
k=1
n
condición de Vitali puesto que
S
I k es cerrado) y el lema quedaría demostrado. Si kn > 0,
k=1
entonces existe un intervalo I n+1 disjunto de los ya elegidos y tal que m(I n+1 ) > k n =2. De esta forma se puede elegir una sucesión (I k )1 k=1 de intervalos disjuntos en J . 1
Ahora, como la colección es disjunta y
S
I k
k=1
Por lo tanto, existe un natural N tal que
G, se deduce que
1
1
P
m(I k )
k=1
m(G) < 1.
m(I k ) < =5. Finalmente demostraremos
P
k=N +1
ahora que I 1 ; I 2 ; : : : ; IN satisface 9.4. Sea R = E R. Como
N
S
N
S
I k y sea x un punto arbitrario de
k=1
I k es un conjunto cerrado que no contiene a x, la condición de Vitali asegura
k=1
la existencia de un intervalo I en J que contiene a x y es disjunto de los intervalos I 1 ; I 2 ; : : : ; IN . Ahora si I \ I k = para todo k n, entonces m(I ) kn < 2m(I n+1 ). Como lm m(I n ) = 0, el intervalo I debe intersectar al menos un intervalo I n . Sea n el n!1 menor natural tal que I intersecta I n , entonces es claro que m(I ) kn 1 < 2m(I n ). Como x 2 I e I intersecta a I n , se sigue que la distancia de x al punto medio de I n es a lo más,
1 1 5 m(I ) + m(I n ) < 2m(I n ) + m(I n ) = m(I n ): 2 2 2 Esto signi…ca que x pertenece al intervalo J n concéntrico a I n pero de longitud cinco
veces mayor. Como n > N , hemos demostrado que R m (R)
1
De…nición 173 Sea f : [a; b]
de f en a:
P
k=N +1
P
J k . Por lo tanto:
k=N +1
m(I k ) < :
k=N +1
! R. Las siguientes expresiones se denominan derivadas
f (a + h) h h!0+ f ( a + h) D f (a) = lm sup h h!0 D+ f (a) = lm sup
1
m(J k ) = 5
1
S
f (a) f (a)
f (a + h) h h!0+ f (a + h) D f (a) = lm inf h h!0 D+ f (a) = lm inf
f (a) f (a)
D+ f (a) se denomina derivada superior lateral derecha y D f (a) derivada superior lateral izquierda de f en el punto a. Análogamente D+ f (a) se denomina derivada inferior lateral derecha y D f (a) derivada inferior lateral izquierda. Nota 174 De acuerdo al Problema 31, página 19, f es diferenciable por la derecha en el
punto a si y sólo si D+ f (a) = D+ f (a) =
6 1. Análogamente f es diferenciable por la
Continuidad Absoluta
87
izquierda en a si y sólo si D f (a) = D f (a) = en el punto a si y sólo si,
6 1, en consecuencia f es diferenciable
D+ f (a) = D+ f (a) = D f (a) = D f (a) =
6 1:
y en este caso el valor de la derivada f 0 (a) es el valor común de estas cuatro cantidades. En el caso que a sea uno de los extremos del intervalo [a; b] se consideran sólo las derivadas laterales correspondientes. Proposición 175 Sea f : [a; b]
! R una función monótonamente creciente. Entonces f
es diferenciable casi en todas partes. La derivada f 0 es medible y, b
Z
f 0 dm
a
Demostración. De
f (b) f (a):
acuerdo al Problema 4 basta demostrar que el límite: f (x + h) h!0 h
g(x) = lm
f (x)
es un real extendido c.t.p. en [a; b] y para esto basta demostrar que el conjunto en donde las cuatro derivadas no son iguales tiene medida nula, para lo cual a su vez basta demostrar que el conjunto en donde dos de estas derivadas son distintas tiene medida nula. Nosotros demostraremos esta a…rmación sólo para el conjunto:
2
E = x
Note que: E =
[2 x
[a; b] : D+ f (x) > D f (x) :
[a; b] : D+ f (x) > p > q > D f (x) :
p;q2Q
Por lo tanto basta demostrar que cada conjunto,
2
E p;q = x
[a; b] : D+ f (x) > p > q > D f (x) ;
tiene medida nula. Sea s = m (E p;q ). De acuerdo al Problema 11, página 44 dado > 0, existe un abierto G conteniendo E p;q tal que m(G) < s + . Si x 2 E p;q , entonces q > D f (x), luego para todo h < 0 su…cientemente pequeño, se tiene que [x + h; x] G y cumple con: f (x + h) h
f (x) < q
Corolario 176 Si f es de variación acotada en [a; b], entonces f 0 existe casi en todas
partes en [a; b] : 9.3.
Continuidad Absoluta
De…nición 177 Una función f : [a; b]
todo > 0, existe > 0 tal que
! R se dice que es absolutamente continua si para
n
Xj i=1
f (x0i )
f (xi )j <
El Teorema Fundamental del Cálculo
88 para toda partición a = x1 < x 01 < x 2 < x 02 < que cumpla con la condición
0
< x n < x n = b;
n
Xj
x0i
i=1
xij < :
Nota 178 Una función absolutamente continua claramente es continua, de variación aco-
tada y por ende, de acuerdo al Corolario 176 es también diferenciable casi en todas partes . Por otro lado, de acuerdo al Problema 21, página 66, es fácil ver que si f es integrable en [a; b] entonces la integral inde…nida x
F (x) =
Z
f (t)dt
a
es absolutamente continua. Lema 179 Si f : [a; b]
! R es integrable y
f (t) = 0 casi en todas partes en [a; b].
x f (t)dt a
R
= 0 para todo x
2 [a; b], entonces
Supongamos que f (x) > 0 en un conjunto de medida positiva E . Entonces por Problema 13 existe un conjunto cerrado F E tal que m(F ) > 0. Sea G = (a; b) F , entonces como Demostración.
b
Z Z Z R R X R R Z Z Z R R 0=
f =
a
f +
f
F
G
= 0 . Ahora, como se tiene que F f = G f . Pero por otro lado F f > 0, por lo que G f 6 1 b G es abierto, entonces G = (an ; bn ) y por lo tanto, se debe cumplir que a f 6 =0 n=1 para algún n. Ahora como bn
bn
f =
an
an
f
a
entonces f es constante. 9.4.
!
n
n
f
a
se debe cumplir que al menos una de las integrales contradice la condición de Lema. Lema 180 Si f : [a; b]
R
bn a
f;
an a
f debe ser no nula. Esto
R es absolutamente continua y f 0 (x) = 0 c.t.p. en [a; b],
El Teorema Fundamental
Lema 181 Si f : [a; b]
! R es acotada y medible entonces la función F (x) =
x f (t)dt a
R
es diferenciable casi en todas partes en [a; b] y además se cumple que F 0 (x) = f (x) c.t.p. en [a; b].
Como evidentemente f es integrable en [a; b] se cumple que F es de variación acotada y por lo tanto F 0 existe casi en todas partes en [a; b]. Como f es acotada existe K > 0 tal que jf j K . Para h = 1=n de…namos Demostración.
F (x + h) f n (x) = h
F (x) = 1
h
x+h
Z x
f (t)dt:
El Teorema Fundamental
89
De la segunda igualdad se deduce que jf nj K . Como evidéntemente se cumple que f n (x) ! F 0 (x) casi en todas partes en [a; b] podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada: c
Z
0
F
c
=
a
=
lm
n!1
lm
n!1
1 f n = lm n!1 h
Z " Z a
1 h
c+h
c
c
Z
F (x)dx
(F (x + h)
a
1 h
a+h
Z a
F (x))dx
#
F (x)dx
Ahora, como F es continua (recuerde que f es integrable) del teorema fundamental del cálculo clásico se deduce que ac F 0 = F (c) F (a) y por ende ac F 0 = ac f . Como esta igualdad es válida para todo c 2 [a; b] podemos aplica el Lema 179 y deducir que F 0 = f c.t.p. en [a; b].
R
R R
Capítulo 8, página 82
113
Por otro lado:
Z Z RN
f d (m
#) = 1 + 2 + + r = r(r 2+ 1) :
