Parte
Lección
1.1
Fuerzas, momentos y pares de fuerzas
Tema
1.1. 1. 1.1 1 Defin Definic ición ión de de fuer fuerza za Representación de una fuerza que 1.1.2 pasa por dos puntos Momento de una fuerza con respecto 1.1.3 a un punto 1.1.4 1.1 .4 Mom Moment ento o de un par def defuer uerzas zas Momento de una fuerza con respecto 1.1.5 a un eje
1.2
Sistemas equivalentes
Reducción de un sistema defuerzas a otro equivalente Reducción de un sistema de fuerzas a 1.2.2 una fuerza única Reducción de un sistema general de 1.2.3 fuerzas a un torsor
1.3
Equilibrio de un cuerpo rígido
1.3.1 1.3 .1 Ecuaci Ecuacione ones s de equ equili ilibrio brio Casos especiales de equilibrio de un 1.3.2 cuerpo rígido
1.2.1
Estatica
1.4 Es Esttru ruct ctu ura ras s
1.4.1 1.4. 1 Arm Armad adur uras as 1.4. 1. 4.2 2 Ma Marc rcos os o bas basti tidor dores es 1.4. 1. 4.3 3 Má Máqu quin inas as
1.5
1.5.1 Cables 1.5.1 Cables con con ca carga rgas s concen concentra tradas das 1.5.2 1.5 .2 Cab Cables les con con carga cargas s dis distri tribui buidas das 1.5. 1. 5.3 3 Ca Cate tena narria
Cables
1. 6. 1
Relación entre la carga, la fuerza de corte y el momento flector
Mecánica de Cuerpos deformables 2.1 Esfuerzos
2.1.1 2.1.1 2.1.2 2.1 .2 2.1.3 2.1 .3 2.1.4 2.1 .4
Esfuerzos Esfuer zos uniforme uniformeme mente nte distribui distribuidos dos Esfuer Esf uerzo zo norma normall y tange tangenci ncial al Matriz Mat riz de de esfue esfuerzo rzos s en un un punto punto Estado Est ado de de esfue esfuerzo rzos s en un un punto punto
Transformación de tensores
2.2.1
Determinación de una componente específica de un tensor
1.6 Vi V igas
1.7 Fr Fric icci ció ón se seca
2.2 Resistencia
de Materiales
2.3
Deformacio Defor maciones nes
2.4
Esfuerzos y deformaciones principales
2.5
Máximo esfuerzo cortante
2.6
Relaciones esfuerzo deformación
2.7
Alargamiento en tensión simple
3.1
Cinemática de cuerpo rígido en movimiento plano
3.1.1 3.1. 1 Tipo Tipos s de movi movimi mien ento tos s 3.1.2 3.1 .2 Ecu Ecuaci acione ones s de de movi movimie miento nto
3.2
Cinética del cuerpo rígido movimiento plano
3.2.1 3.2. 1 Gene Genera rali lida dade des s 3.2. 3. 2.2 2 Ca Caso sos s part partic icul ular ares es
Dinámica
2.3.1 Estad Estado o de deform deformación ación en un punto
2.6. 2. 6.1 1 En Ensa sayo yo de te tens nsió ión n
Alargamiento en barras de sección variable Deformación en barras sometidas a 2.7.2 múltiples fuerzas 2.7.1
3.3.1 3.3 .1 Ecu Ecuaci ación ón de de traba trabajo jo y ene energía rgía 3.3. 3. 3.2 2 En Ener ergí gía a ciné cinéti tica ca 3.3.3 3.3 3. 3
Trab Tr abaj ajo o y Ene Energ rgía ía
Trabajo realizado por fuerzas que actúan sobre un cuerpo
3.3.4 Trabajo realizado por pares 3.3.5
Fuerzas conservativas - Energía potencial
1 . E s t át át i c a 1.1 Fuerzas, momentos y pares de fuerzas Existen tres conceptos fundamentales para el estudio de los cuerpos en equilibrio, estos son: el concepto de fuerza, el de momento y el de par. Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza neta, éste tiende a trasladarse. De la misma misma manera un un cuerpo rota si sobre él existe un par neto. El concepto de momento tiene sentido físico si está asociado a un par de fuerzas.
Cuando un cuerpo está en equilibrio, aunque actúen muchas fuerzas sobre él, no podrá, en general, ni trasladarse ni rotar, las relaciones entre las fuerzas y los pares, para que esta situación se cumpla, es el objeto de estudio de la estática.
1
1 . 1 . 1 D e f i n i ci ó n d e F u e r z a La acción de un cuerpo sobre otro, que tiende a modificar las condiciones de movimiento se conoce como fuerza. Esta acción se puede ejercer de dos formas, por contacto directo y a distancia. Como ejemplos del primer tipo se tienen: la fuerza que se ejerce sobre un objeto para moverlo, la acción de un engranaje sobre un piñón, el pavimento sobre las ruedas de un vehículo. Dentro del segundo; las fuerzas de origen gravitacional, eléctrico y magnético. Como una fuerza esta caracterizada por una magnitud, una dirección y un sentido se representa así: [1-1]
donde
es el vector fuerza,
F su magnitud
y un vector unitario que indica la dirección y el sentido de la fuerza.
Vector unitario
El vector unitario se puede representar de diversas formas equivalentes, dependiendo de la forma geométrica como se especifique un sistema.
se denomina vector unitario, porque independientemente de su dirección y sentido, su magnitud siempre es la unidad
2
1 . 1 . 2 R e p r e s e n t ac i ó n d e u n a f u e r z a q u e pa s a po r d o s p u n t o s
Sin perder generalidad, se puede suponer que un punto, por el que pasa la fuerza, es el origen, ya que éste es arbitrario, y el otro tiene coordenadas (x, y, z), [Fig. 1-1]
Figura 1-1
Si la fuerza va dirigida de O hacia A, el vector unitario irá en la misma dirección y es: [1-2] donde los vectores Se
debe
notar
,
y
son vectores unitarios dirigidos sobre los ejes x, y, z respectivamente.
que
,
es
el
vector
que
va
desde
O
hasta
A;y
, la distancia del segmento OA.
Entonces, matemáticamente la fuerza
, de magnitud F , dirigida de O hacia A se representa así:
[1-3]
Puesto que un vector en tres dimensiones se representa como:
[1-4]
donde F x , F y , y F z son las componentes rectangulares en las direcciones x, y, z; se deduce que:
3
[1-5]
Si la línea de acción de la fuerza no pasa por el origen, [Fig. 1-2], entonces:
[1-2]’
donde
La fuerza
,
,
,
y
.
se representa como:
[1-6]
Nótese que el mismo resultado se obtendría si el origen de coordenadas se hubiera tomado en A. En este caso:
,
[1-5]’
,
Figura 1-2 La dirección de una fuerza se puede especificar por medio de l os parámetros angulares θ y φ , [Fig. 13].
4
Figura 1-3
Puesto que
, [Fig. 1-4a], donde
además,
,
[Fig.1-4b],
, y
, y
donde
y
, entonces o
[1-7]
(a)
(b) Figura 1-4
De la ecuación [1-1] se puede concluir que:
es un vector unitario, lo cual se puede demostrar hallando la magnitud de
, en efecto:
5
Otra forma de especificar la dirección de una fuerza es utilizando los ángulos que su línea de acción forma con los ejes coordenados, [Fig. 1-5]. Para una mejor visualización de estos ángulos, en la figura 1-6 se muestra la fuerza en planos que contienen los ejes coordenados.
Figura 1-5
Se ve en la figura que:
[1-8]
Por lo tanto
Figura 1-6
Entonces, de acuerdo a la ecuación [1-1], se tiene que
[1-9]
y por consiguiente
6
[1-10]
Se debe tener en la cuenta que para especificar la dirección de una fuerza por medio de los ángulos directores, es suficiente especificar dos de ellos y el tercero se determina de la ecuación [1-10].
Angulos Directores
esos ángulos se conocen como ángulos directores y sus cosenos se conocen como cosenos directores volver
7
1.1 .3
M o m e n t o d e u n a f u e r z a c on r e s p e c t o a u n p u n t o
Si sobre un cuerpo actúa una fuerza, cuyo línea de acción pasa por el punto A del cuerpo[Fig. 1-7], se define el momento de esa fuerza con respecto a O,
, como
Figura 1-7
Entonces, por definición, el momento de una fuerza F con respecto a un punto, es un vector perpendicular al plano formado por
y
cuya
dirección cumple con la regla de la mano derecha [Fig. 1-8].
Figura 1-8
Además el vector
, por estar relacionado con O, debe pasar por ese punto.
8
Si B es otro punto sobre la línea de acción de figura 1-9 se ve que
, de la
entonces:
Figura 1-9
El segundo término de la ecuación de la derecha es igual a cero pues, ya que y son colineales. De lo anterior se puede enunciar una fórmula más general para el momento de una fuerza con respecto a un punto diciendo que: [1-11]
Donde
es un vector que va desde
O a cualquier punto sobre la línea de acción de
,
[Fig. 1-10].
Figura 1-10
A partir de la definición de momento de una fuerza con respecto a un punto, ecuación [1-11], puesto que
y , [Fig. 1-11], se tiene que:
Figura 1-11
9
[1-12]
Como
, entonces
[1-13]
son las componentes rectangulares del vector momento
que la fuerza
produce con
respecto a O. No es necesario memorizar las fórmulas de la ecuación [1-13], mejor entender físicamente lo que ellas representan, veamos: si se aplica el principio de transmisibilidad al sistema representado en la figura 1-11, se obtiene el sistema de la figura 112, en ésta se puede ver que, por ejemplo, la fuerza tiende a hacer rotar el cuerpo alrededor del eje Y con una “intensidad”
en la dirección positiva, y
la misma fuerza tiende a hacer girar el cuerpo alrededor del eje Z con una “intensidad” Figura 1-12
dirección negativa. La fuerza
en la
no tiene efecto de
rotación sobre el eje x.
Un análisis similar se puede hacer para las otras dos componentes, [Fig. 1-13]. El principio de transmisibilidad dice “Si una fuerza se traslada sobre su línea de acción, el efecto que esa fuerza produce sobre el cuerpo, si se considera rígido, sigue siendo el mismo que antes de trasladarse”
10
Figura 1-13
Como se sabe, el producto vectorial de dos vectores, se puede obtener a partir del determinante de la matriz conformada por los vectores unitarios, las componentes del vector de posición las componentes de la fuerza
y
, así:
[1-12]’
Regla de la mano derecha
Esta ley señala que si los dedos índice y medio representan los vectores r y F, respectivamente, el pulgar indica la dirección y sentido del vector resultante volver
Recuerdese que la magnitud del vector resultante de
Colinealidad
un producto vectorial es cuando son colineales, volver
11
1.1.4 Momento de un par de fuerzas Un par de fuerzas, o simplemente un par, son dos fuerzas iguales, de sentido contrario y no colineales.
En la figura 1-14 se representa un par de fuerzas actuando sobre un cuerpo y los vectores de posición y en dos puntos sobre sus respectivas líneas de acción. El momento con respecto a O del par de fuerzas será:
Figura 1-14
En la figura 1-15 se puede ver que el momento de un par es un vector perpendicular al plano definido por las rectas de acción de las fuerzas y su sentido cumple con la regla de la mano derecha. La magnitud del momento del par es
Figura 1-15
Es importante anotar que el momento del par es independiente del origen de coordenadas puesto que lo es, por esto se dice que el momento de un par de fuerzas es un vector libre.
Como el efecto de traslación de un par es nulo ya que son dos fuerzas iguales y de sentido contrario, el único efecto de un par es tender a rotar el cuerpo alrededor de un eje perpendicular al plano definido por las fuerzas. Por esta razón un par de fuerzas se especifica habitualmente por el momento que produce, a este momento se le designa simplemente par.
12
1.1.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje
Retomando el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto se puede hacer notar que las componentes rectangulares [Fig. 116], que representan la tendencia a la rotación alrededor de los ejes coordenados se obtienen proyectando el momento
sobre cada uno de
los ejes así:
Figura 1-16
Donde
son los cósenos directores del vector
.
En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar como:
Para determinar el momento de una fuerza con respecto a cualquier otro eje, por ejemplo el eje OL, que pasa por O, [Fig. 1-17], se p royecta el momento
sobre el eje tal que:
Figura 1-17
O en forma vectorial: 13
Donde
es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe hacer notar que el momento así
definido es un escalar; puesto que el momento con respecto a un eje es un vector; para expresarlo como tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido sobre su línea de acción así:
[1-14]
Para hallar una expresión más general del momento de una fuerza con respecto a un eje consideremos la figura 1-18. Sea P un punto cualquiera sobre el eje OL, como:
Figura 1-18
[1-15]
De la figura se ve que
Como
y que
entonces:
es cero, resulta que
[1-16]
Pero
es el momento de la fuerza con respecto a P; por consiguiente se puede decir que el
momento de una fuerza
con respecto a un eje es igual a la proyección sobre él mismo, del
momento del la fuerza con respecto a cualquier punto contenido en el eje. Aunque las ecuaciones [1-15] y [1-16], expresan que:
14
No se puede afirmar, desprevenidamente, que sea igual a
, esto es; que el
momento de
respecto a O sea igual al
momento de
con respecto a P. Lo que las
ecuaciones [1-15] y [1-16] indican es que la proyección de
y
sobre el eje OL son
iguales.Para entender esto, véase la figura 1-19.
Figura 1-19
Para comprender mejor física y geométricamente el momento de una fuerza con respecto a un eje, consideremos la figura 1-20. Por un punto A sobre la línea de acción de la fuerza
se puede
trazar un plano P perpendicular al eje OL. En
general
la
fuerza
se
descomponer en dos fuerzas siendo
paralela
al
eje
puede y
y
, la
componente perpendicular al eje contenida en el plano P. Como ya se mencionó, la componente respecto a OL.
no produce momento
Entonces el momento con respecto al eje será
de magnitud
donde d es la
distancia perpendicular entre
y OL.Ahora
bien,
se
la
componente
descomponer,
en
general,
componente radial tangencial
en
puede una
y una componente
; obviamente
no produce
momento con respecto a OL, entonces podemos concluir que la única fuerza que produce momento respecto a un eje es la componente tangencial y que el valor de dicho momento es
.
Figura 1-20
15
1.2 Sistemas equivalentes Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienden a producir el mismo efecto sobre un cuerpo. Se ha visto que una fuerza se puede desplazar sobre su línea de acción y el efecto sobre el cuerpo no se modifica tanto para translación como para rotación. Así mismo se ha dicho que un par, por ser un vector libre, se puede trasladar a cualquier posición sin que se cambie el efecto que produce sobre el cuerpo.
1.2.1
Reducción de un sistema de fuerzas a otro equivalente
Veamos ahora cómo se hace para trasladar una fuerza de un punto a ot ro, fuera de su línea de acción, sin que se modifique el efecto que la fuerza produce.
Si por ejemplo se desea trasladar la fuerza
que actúa
en A, al punto O, [Fig. 1-21], se coloca en O dos fuerzas y–
, con lo cual se mantiene invariable el sistema.
Ahora bien, la fuerza en A,
y la fuerza –
forman un par de fuerzas cuyo momento momento de la fuerza vector
en O es el
con respecto al punto O. El
es perpendicular a
y como es el momento
de un par, es un vector libre que se puede colocar en cualquier lugar del espacio.
Figura1-21 Se puede concluir entonces que para trasladar una fuerza a un punto arbitrario, sin que se modifique el sistema, se debe colocar un par cuyo momento es igual al momento de la fuerza con respecto al punto seleccionado.
Cuando se desea trasladar varias fuerzas a un punto determinado, [Fig. 1-22], se hace el procedimiento que se acaba de explicar para cada fuerza, obteniendo duplas fuerza-par: ,
Al tener un sistema de fuerzas y pares concurrentes se puede obtener la resultante de las fuerzas
y el par resultante .
Si
bien, son
las
duplas
mutuamente 16
que son perpendiculares.
mutuamente
perpendiculares, en general
y
no lo son.
Figura 1-22
Cuando
y
fuerza única
son perpendiculares, [Fig. 1-23], el sistema se puede reemplazar por uno de cuyo punto de aplicación es A, tal que
.Nótese que este
procedimiento es el inverso al de trasladar una fuerza.
Figura 1-23
17
1.2.2 Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza única En la sección anterior se vio que si un sistema reducido de fuerza-par es perpendicular, éste se puede reducir a una fuerza única. Veamos en que casos es valida esta condición.
Figura 1-24
Fuerzas coplanares Sin perder generalidad consideremos un sistema de fuerzas en el plano xy;los momentos de estas fuerzas respecto a cualquier punto están en la dirección del eje z, por consiguiente perpendiculares; entonces el sistema se puede reducir a una fuerza única pasa por los puntos A(x,0) y B(-y,0) tal que
y
y
son
, cuya línea de acción , [Fig. 1-24].
Fuerzas paralelas Consideremos, sin perder generalidad, un sistema de fuerzas paralelas al eje y, [Fig. 1-25], y como estas fuerzas producen momento únicamente con respecto a los ejes x y z, el momento resultante será paralelo al plano xz y por consiguiente perpendicular a reducir a una fuerza única aplicada en el punto A tal que:
. Entonces el sistema se puede . 18
Figura 1-25
Fuerzas Distribuidas Dentro de las fuerzas paralelas, las fuerzas distribuidas presentan aplicaciones de gran importancia. Consideremos la viga de la figura 1-26 que descansa sobre los soportes A y B, de ancho a y de profundidad igual a la unidad.Cada punto de los soportes ejerce una determinada fuerza sobre la viga. Si el ancho de los soportes es pequeño comparado con la longitud de la viga se puede suponer que la fuerza en cada punto de los soportes es la misma.Es obvio que si la carga Pesta aplicada en el centro del a viga, la fuerza que cada soporte hace sobre esta es P/2.Entonces, la resultante de todas las fuerzas puntuales en el soporte cuyas magnitudes son w, será .
El valor wes la carga distribuida sobre el área del sopote; como se ha tomado la unidad de profundidad, entonces wes igual a P/2, es decir la carga tiene un valor de fuerza por unidad de longitud, que es como generalmente se representa una carga distribuida en casos de fuerzas coplanares.Haciendo cada vez más pequeñas las dimensiones de los soportes, la reacción en cada uno tenderá a ser puntual, llegando al concepto puramente teórico de una carga concentrada.
19
Figura 1-26
Ahora consideremos la misma viga pero soportada completamente por el piso.Suponiendo también que la distribución de fuerzas ejercida por el piso es uniforme, el valor de la carga distribuida por unidad de longitud será w=P/L. De lo anteriormente expuesto, se puede comprender que en general, las cargas aplicadas sobre un cuerpo están distribuidas, bien sea sobre un volumen (peso de un cuerpo), sobre una superficie (fuerzas hidrostáticas) o sobre una longitud como en el caso que se acaba de presentar. En la figura 1-27 se presenta una distribución de carga arbitraria soportada por una viga AB, y la fuerza equivalente actuando a una distancia del origen de
Para determinar la carga equivalente W , consideremos un elemento de viga de longitud dx; sobre ese elemento actúa una fuerza wdx.Integrando sobre la longitud de la viga se tiene que
La integral es el área bajo la curva de carga;por consiguiente la resultante o fuerza equivalente a un sistema de carga distribuida es igual al área bajo la curva de la carga distribuida. Tomando momentos con respecto al origen en los dos sistemas e igualando se tiene que
coordenadas.
entonces
que es por definición el centroide del área bajo l a curva de carga.
20
Figura 1-27
Fuerzas concurrentes Un caso trivial para reducir un sistema de f uerzas a una fuerza única es el de fuerzas concurrentes ya que el sistema referido al punto de concurrencia tiene un momento.La resultante
será la suma de
las fuerzas y su punto de aplicación el punto de concurrencia.
21
1.2.3
Reducción de un sistema general de fuerzas a un torsor
Cuando la dupla
y
del sistema equivalente a un sistema general de fuerzas, referido al
punto O, no es perpendicular, ésta se puede reducir de la siguiente manera, [Fig. 1-28].
Figura 1-28
Se descompone
en dos componentes
respectivamente. Ahora bien, como fuerza única
en un punto A tal que
y
y
paralela y perpendicular a
son perpendiculares se pueden reemplazar por una , y como
es un vector libre se traslada
por conveniencia al mismo punto A. Se obtiene así un sistema fuerza-par cuyos vectores son colineales. A este sistema se le conoce como “torsor” y representa físicamente la tendencia que tiene un sistema general de fuerzas que actúa sobre un cuerpo, esto es, una translación en la dirección de
y una rotación alrededor de un eje paralelo a la misma dirección. Un ejemplo de
este sistema simplificado se presenta cuando se introduce un tornillo en una pieza cualquiera, ya que para hacerlo se aplica una fuerza y un par que son colineales, [Fig. 1-29].
22
Figura 1-29 Con lo visto en esta sección, se puede concluir que un sistema general de fuerzas se puede reducir a un “torsor” (fuerza-par, colineales). Habrá por supuesto casos particulares como por ejemplo que y
, en cuyo caso el cuerpo no se trasladará pero rotará alrededor de algún eje
paralelo al par resultante. De otra parte, si en la dirección de
. Por último si tanto
y como
el cuerpo solamente se trasladará son nulas, el cuerpo permanecerá en
reposo.
23
1 . 3 E q u i li b r i o d e u n cu e r p o r í g i d o Cuando un cuerpo esta sometido a un sistema de fuerzas, tal que el torsor equivalente es nulo, esto es, que la resultante de todas las fuerzas y el momento resultante sean cero, entonces el cuerpo está en equilibrio. Esto, físicamente, significa que el cuerpo, a menos que esté en movimiento uniforme rectilíneo, no se trasladará ni podrá rotar bajo la acción de ese sistema de fuerzas. Por ahora centraremos la atención en un solo cuerpo, posteriormente se estudiaran sistemas de varios cuerpos interconectados. Las posibilidades de movimiento que tiene un cuerpo o los grados de libertad, son seis: tres de traslación, en las direcciones x, y, z y tres de rotación, alrededor de los mismos ejes. Como en general, los cuerpos que son objeto de estudio en ingeniería están unidos, soportados, en contacto con otros, las posibilidades de movimiento en translación y rotación son menores, esto es, disminuyen los grados de libertad. Es, entonces, importante conocer qué tipo de restricción ofrecen los apoyos, uniones o contactos que tiene el cuerpo objeto del análisis. Las restricciones a que es sometido un cuerpo, se manifiestan físicamente por fuerzas o pares (momentos) que impiden la translación o la rotación respectivamente y se les conoce como reacciones.
1.3.1
El estudio del equilibrio de un cuerpo rígido consiste básicamente en conocer todas las fuerzas, incluidos los pares que actúan sobre él para mantener ese estado. Por ahora se analizarán las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es decir las fuerzas que otros cuerpos, unidos o en contacto con él, le ejercen. Estas fuerzas son las fuerzas aplicadas por contacto, el peso y las reacciones de los apoyos. Las fuerzas aplicadas y el peso en general son conocidos, entonces el estudio del equilibrio consiste básicamente en la determinación de las reacciones. También puede ser objeto de estudio las condiciones geométricas que se requieren para mantener en equilibrio el cuerpo. Para determinar las reacciones que se ejercen sobre un cuerpo es importante entender las restricciones que otros cuerpos le imponen al movimiento. La cuestión es fácil, si un cuerpo restringe la traslación en una dirección, por ejemplo en x, éste ejercerá una fuerza en esta dirección; si impide la rotación alrededor de un eje, ejercerá un par en la dirección de ese eje. Las reacciones ejercidas por diferentes apoyos o uniones se presentan en el cuadro al final de la sección, tanto para situaciones tridimensionales como para casos en dos dimensiones.
Ecuaciones de equilibrio
Como ya se dijo, un cuerpo está en equilibrio cuando el sistema de fuerzas se puede reducir a un sistema equivalente nulo. Sin pensar en el torsor, se dijo y se demostró que cualquier sistema de fuerzas se puede reducir a una fuerza resultante única y a un par resultante referidos a un punto arbitrariamente seleccionado.
Si la fuerza resultante es cero, el cuerpo, debido a las restricciones impuestas, no se podrá trasladar, perdiendo así tres grados de libertad; de otra parte, si el par resultante es cero, el cuerpo no rotará alrededor de cualquiera de los ejes coordenados. En forma vectorial, lo anterior se puede expresar así: [1-17]
[1-18]
24
Descomponiendo los vectores en sus componentes rectangulares se obtiene:
[1-19]
[1-20]
Estas ecuaciones independientes son las disponibles para resolver problemas de equilibrio de cuerpos en tres dimensiones. En problemas bidimensionales las ecuaciones se reducen a tres, número que corresponde a los grados de libertad de un movimiento plano; dos de translación y uno de rotación.
De acuerdo a lo anterior, el máximo numero de incógnitas que puede tener un problema para poder solucionarlo completamente, es de seis para situaciones en tres dimensiones y de tres para dos dimensiones. Cuando en un problema hay tantas incógnitas como ecuaciones disponibles y se pueden hallar todas, se dice que el problema es estáticamente determinado. Si existen mas incógnitas que ecuaciones, el problema es insoluble en su totalidad por los métodos de la estática y el problema es estáticamente indeterminado. De otra parte, hay situaciones en las que, a pesar de tener un número de incógnitas igual al de ecuaciones disponibles no se pueden solucionar. Estas situaciones se presentan por un arreglo especial de los apoyos, haciendo que el sistema no esté completamente restringido para un sistema general de fuerzas.
Si por ejemplo el plano en que actúan las fuerzas es el plano xy, las ecuaciones de equilibrio son:
Tal sistema es entonces estáticamente indeterminado y parcial o impropiamente restringido. Un cuerpo parcialmente restringido puede estar en equilibrio para un sistema particular de carga, pero dejará de estarlo para un sistema general de carga. Por ejemplo una puerta apoyada en sus bisagras, estará en equilibrio mientras no se aplique una carga horizontal, [Fig. 1-30]. Si en un sistema hay menos incógnitas que ecuaciones disponibles, éste es parcialmente restringido, es decir, no podrá estar en equilibrio para un sistema general de fuerzas.
Equilibrio
No Equilibrio
Figura 1-30
25
1.3.2
Casos especiales de equilibrio de un cuerpo rígido
Aunque cualquier caso de equilibrio de un cuerpo rígido se puede analizar y resolver por los métodos descritos anteriormente, hay situaciones especiales que merecen un análisis particular, ya que las conclusiones que se derivan de éste permiten solucionarlas de una manera más rápida y eficiente.
Cuerpo sometido a dos fuerzas Cuando un cuerpo está sometido a dos fuerzas, o mas generalmente a fuerzas en dos puntos, para que esté en equilibrio, se necesita que las fuerzas en cada punto (o sus resultantes) sean de igual magnitud, sentido contrario y que su línea de acción pase por los dos puntos, [Fig. 1-31].
Equilibrio
No Equilibr io
Figura 1-31
Figura 1-32
Los dos primeros requisitos son necesarios para satisfacer la condición de que la sumatoria de fuerzas en cualquier dirección, por ejemplo AB, se cumpla y el tercero para que se cumpla la condición de que los momentos respecto de cualquier punto (A o B) sean cero. Es claro que si cualquiera de los tres requisitos no se cumple, el cuerpo no estará en equilibrio, [Fig. 1-32].
Cuerpo sometido a tres fuerzas Cuando un cuerpo esta sometido a tres fuerzas, o mas generalmente a fuerzas en tres puntos no colineales, para que esté en equilibrio es condición necesaria que los tres puntos sean concurrentes, [Fig. 1-33]. De no ser así, no se cumplirá que la suma de momentos respecto a la intersección de dos de las fuerzas sea cero, [Fig. 1-34].
Equilibrio Figura 1-33
No Equilibri o Figura 1-34 26
Un caso especial se da cuando las tres fuerzas son paralelas, el punto de concurrencia está en el infinito y entonces el cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas puede estar en equilibrio si se cumplen las ecuaciones [1-19], [Fig. 1-35].
Figura 1-35
Tipos de Apoyo
Reacciones
27
28
1 . 4 E s t r u c tu r a s Vamos ahora a acometer el estudio del equilibrio de cuerpos que están construidos por varios elementos. Nos interesa no sólo determinar las fuerzas externas que mantienen el equilibrio del cuerpo, sino también las fuerzas que se ejercen entre las distintas partes que conforman el cuerpo, objeto de estudio. A estas fuerzas, desde el punto de vista de cuerpo como un todo, se les denomina fuerzas internas; estas fuerzas, que no se “ven” cuando se analiza el cuerpo globalmente, se ejercen internamente y, por el principio de acción y reacción, se ejercen por pares de igual magnitud y de sentido contrario. Por esta razón, para poder determinarlas es necesario, o bien desbaratar el cuerpo, o bien romperlo, para conocer qué pasa internamente en cada uno de sus componentes. Para comprender mejor lo dicho anteriormente, abordaremos como ejemplo el estudio de cierto tipo de estructuras, de uso bien conocido por todos.Empecemos con las armaduras.
29
1.4.1 Armaduras
Armadura Pratt Una armadura es una construcción reticulada conformada generalmente por triángulos formados por elementos rectos y que se utiliza para soportar cargas. Las armaduras pueden ser planas o espaciales. Ejemplos típicos de armaduras son: puentes, cerchas, torres de transmisión, cúpulas de estadios, etc. En la Fig. 1-36 se presentan algunos ejemplos de armaduras típicas.
Armadura Howe
Armadura Warren Figura 1-36
Para facilitar el estudio de las armaduras se hacen las siguientes suposiciones:
Las uniones de los miembros se hacen por medio de pasadores lisos. En la práctica las uniones se hacen por medio de láminas llamadas cartelas, que pueden estar atornilladas, remachadas o soldadas con los elementos de la estructura. Las fuerzas que va a soportar se ejercen sobre las uniones. El peso de los elementos es despreciable en comparación con las cargas aplicadas.
Como consecuencia de las consideraciones anteriores, los elementos de la armadura son cuerpos sometidos a dos fuerzas; esto quiere decir que cada elemento solo puede estar sometido a tensión o a compresión.
Existen dos métodos para el análisis estático de las armaduras, el método de las juntas y el método de las secciones.
Método de las juntas Este método consiste en analizar el equilibrio de cada junta o nodo una vez que se hayan determinado las reacciones. Las fuerzas sobre los pasadores en las juntas están siempre en la dirección de los elementos que hacen parte de estos; si el elemento comprime o empuja al pasador, este
son dos
ya que se
trata de equilibrio de fuerzas concurrentes, por consiguiente el número máximo de elementos que puede tener la armadura para que sea estáticamente determinado por la formula 2n-3 siendo n el número de juntas. El 3 representa el 30
ejercerá una fuerza igual y de sentido contrario sobre aquél, el cual estará sometido a compresión. Si el elemento tira o hala al pasador, por reacción este halará al elemento y en consecuencia estará sometido a tracción.
número máximo de incógnitas en l as reacciones. Consideremos la armadura representada en la figura 1-37. Se trata de determinar las fuerzas ejercidas en todos los miembros. Por la simetría geométrica y de carga las reacciones son .
Las ecuaciones disponibles al analizar el equilibrio de cada junta, para armaduras planas
Figura 1-37
Nótese que si la carga tuviese una componente horizontal seria diferente de cero. Conocidas las reacciones se procede al análisis de cada nudo, el cual no puede tener más de dos incógnitas. En el nudo A actúan tres fuerzas, dos de las cuales son desconocidas; como AB comprime al pasador, la fuerza sobre el elemento AB es de compresión y como AC hala al pasador la fuerza FAC es de tensión.
Nudo C: en este nudo hay una situación particular y es que FCB=0, se dice entonces que el elemento CB es 31
un elemento de fuerza cero (para las condiciones de carga dadas) y además FCD=FAC=P a tracción.
Nudo B: las fuerzas desconocidas son FBD y FBE.
Tomando
se deduce que
FBD=0 (no es tan obvio como en el caso del nudo C), y de
, que FBE=P en
compresión.
Nudo E: nuevamente se presenta la situación de tener un elemento de fuerza cero, CE, y entoncesFEF=FBE=P en compresión.
Por las condiciones de simetría no es necesario analizar los restantes nudos ya que los nudos G y C, B y F son respectivamente equivalentes, por lo tanto FFH=FAB; FGH=FCD, FDF=FBD y FEF=FBE.
32
Método de las secciones Este método se basa en el hecho de que si una armadura, tomada como un conjunto, está en equilibrio, cualquier parte de ella también lo estará. Entonces, si se toma una porción de la estructura mediante un corte, de tal manera que no tenga mas de tres incógnitas, es posible, mediante las tres ecuaciones independientes disponibles en el caso de fuerzas coplanares, determinar las fuerzas en los miembros involucrados en el corte para obtener la solución respectiva. Retomando la armadura de la figura 1-37, si por ejemplo se quiere determinar las fuerzas en los elementos FF, DF y DG, una vez determinadas las reacciones se procede a hacer un corte según la línea 1-2, [Fig. 1-38]. Si tomamos la porción derecha (se puede tomar también la otra sección) y en los miembros cortados se indican las fuerzas ejercidas sobre ellos (el sentido es arbitrario) se puede tomar entonces dicha sección como un cuerpo rígido.
Tomando se deduce que FDF=0, tomando momentos con respecto a H y teniendo en cuenta el anterior resultado, se concluye que FEF=P y que el elemento esta a compresión. Por último haciendo se concluye que FDG=P y el miembro DG esta sometido a tracción. Los mismos resultados se obtienen si se considera la parte izquierda de la armadura. El método de las secciones es particularmente útil cuando, por alguna razón, se requiere determinar las fuerzas en algunos elementos en particular.
Figura 1-38
33
1.4.2 Marcos o bastidores
A diferencia de las armaduras, los marcos o bastidores son estructuras que tienen uno o mas elementos sometidos a mas de dos fuerzas; entonces aunque el elemento sometido a tal condición sea recto, las fuerzas ejercidas en las juntas no estarán dirigidas a lo largo de este y en general serán de dirección desconocida por lo cual han de trabajarse en términos de sus componentes. Como las armaduras, los marcos son estructuras estacionarias completamente restringidas. Consideremos el marco de la figura 1-39. Se desea conocer las fuerzas que actúan sobre los miembros AE, BC y AD cuando se aplica una carga P , tal como se muestra.
Como los miembros están sometidos a fuerzas en tres puntos, las fuerzas en A, B, E y D son de dirección desconocida, entonces se representan por sus componentes A x , Ay , B x , By , etc. Desde el punto de vista de la estructura como un todo no es posible determinar las cuatro componentes de las reacciones: E , E , D , Dy , ya que sólo se dispone de x y x tres ecuaciones. Para comprobar si el sistema es estáticamente determinado hay que desmembrarlo, contar el número de incógnitas y compararlo con el número de ecuaciones independientes; si el número de incógnitas es mayor, el sistema será indeterminado.
Figura 1-39
Al desmembrar la estructura, [Fig. 1-40], se deben colocar todas las fuerzas que los miembros ejercen entre sí, por ejemplo la barra 1 ejerce sobre la barra 2 una fuerza de dirección desconocida en B la cual se representa por sus componentes B x y By cuyos sentidos se seleccionan arbitrariamente; a su vez el cuerpo 2 ejerce, en el mismo punto, una fuerza igual y de sentido contrario, cuyas componentes -B x y -By se colocan en el cuerpo 1, el signo ha sido omitido puesto que se han colocado en sentido contrario (acción y reacción). Un
es que si se asigna un sentido para una acción, la reacción, necesariamente es de sentido opuesto. Una forma de comprobar que el procedimiento de especificación de las fuerzas es correcto, es armar mentalmente la estructura y comprobar que las fuerzas internas desaparecen, quedando la estructura sometida, únicamente a fuerzas externas. Para cada elemento de la estructura se pueden plantear tres ecuaciones de equilibrio, en total nueve ecuaciones 34
procedimiento similar debe hacerse en el punto F. Lo importante, en el análisis de estructuras de este tipo,
independientes. Ahora veamos cuantas incógnitas hay: E , E , F , A , Ay , D x , Dy , B x x y y x y By ; son un total de nueve incógnitas, entonces la estructura es estáticamente determinada.
El procedimiento para determinar las nueve incógnitas es el siguiente: 1
2
Se selecciona un elemento donde no haya más de tres incógnitas; para el ejemplo el elemento BC. Tomando
se obtiene By ; haciendo
obtiene F y y de
, se
se encuentra que By = 0.
Ahora considerando el elemento AE y con los valores obtenidos, tomando
se determina E ; haciendo x
3
se halla A x . Tomando
se encuentra que Ay es
igual a E y . Considerando el elemento AD y tomando momentos respecto a 4
D, se determina Ay ; de se determina Dy .
se obtiene D x , y de De esta manera se han
determinado todas las incógnitas. Los valores de E y y Dy se hubieran podido obtener del marco completo 5
haciendo
y
respectivamente, pero se debe tener en cuenta que estas ecuaciones no son independientes de las planteadas anteriormente, pero que se pueden utilizar como un medio de comprobación.
35
1.4.3
Máquinas
Un conjunto de elementos estructurales arreglados de tal forma que transmitan una fuerza, produzcan movimiento o realicen trabajo se considera como una máquina. Como en general una máquina tiene elementos móviles, desde el punto de vista estático el número de incógnitas puede ser menor que el de las ecuaciones disponibles. Sin perder de vista esto, el procedimiento para analizar máquinas en equilibrio, lo cual en algunos casos es un problema artificioso, es similar al que se ha desarrollado para los marcos.
36
1.5
Cables
Los cables son elementos flexibles que tienen diversas aplicaciones en Ingeniería. Como elementos estructurales sirven para soportar cargas; se utilizan en algunos medios de transporte como ascensores, teleféricos, etc. y también como conductores en las líneas de transmisión eléctrica. En esta sección se analizarán los cables que, estando sujetos en sus extremos soportan cargas que pueden ser concentradas o distribuidas, bien sea uniformemente a lo largo de la horizontal o a lo largo de su longitud.
37
1.5.1 Cables con cargas concentradas
Si un cable, fijo en sus extremos, está sometido a cargas concentradas, éste adquiere una forma poligonal, [Fig. 1-41].
Figura 1-41
Para determinar la tensión en cada tramo se empieza por determinar las reacciones. Estas comprenden cuatro incógnitas lo cual hace que el sistema sea estáticamente indeterminado. Para poder obviar esta indeterminación es necesario conocer la posición de un punto del cable. Supongamos que se conoce la posición de la carga P 2 con coordenadas (x2, y2), [Fig. 1-42a]. Entonces tomando la porción de cable ACD se tiene:
De la figura 1-42, tomando momentos con respecto al punto B se obtiene una relación entre A x y Ay . En la figura 142b, tomando momentos con respecto al punto D se obtiene otra relación entre A x y Ay que con la anterior se pueden resolver simultáneamente para determinar A x y Ay . Una vez determinadas las reacciones en A se obtiene By , y como B x = -A x
lo cual indica que la componente horizontal de la tensión en cualquier tramo es c onstante.
quedan completamente las reacciones. Habiéndose determinado las reacciones se puede tomar cualquier porción del cable para hallar la tensión correspondiente.
(a)
38
(b)
(c) Figura 1-42
Por
ejemplo, tomando
, como
la
porción
AC,
[Fig.
1-42c], se
tiene que
y
y puesto que x 2, x 1 y y 2 son conocidos se
puede determinar la posición vertical y1 de la carga P1. Repitiendo el procedimiento para cualquier otro tramo se obtiene la tensión en este y la posición de la carga concentrada correspondiente.
39
1.5.2 Cables con cargas distribuidas Cuando un cable soporta cargas distribuidas, estas se pueden considerar como cargas concentradas suficientemente próximas, de tal manera que el cable adquirirá una forma curva (polígonal con infinito número de lados). Supongamos inicialmente que la carga es uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal, tal es el caso de un puente colgante, [Fig. 1-43].
Figura 1-43
Sea w la carga uniforme a lo largo de la horizontal. Para determinar la forma que adquiere el cable con este tipo de carga se toma una porción de cable desde su punto mas bajo hasta un punto de coordenadas (x,y), [Fig. 1-44]. La tensión en este punto T será tangente a la curva. Figura 1-44
Tomando momentos con respecto al punto
( x,y ) se tiene que
, entonces
que es la ecuación de una parábola, con origen en el punto más bajo del cable. Con la ecuación [1-21] es posible determinar el valor de T 0, conociendo la posición de un punto del cable. Para determinar la tensión en cualquier punto, considerando el triángulo de fuerzas de la porción del cable se tiene que:
[1-21] [1-22]
40
De la ecuación [1-22] se deduce que la máxima tensión estará en el punto más alto del cable y que la mínima tensión estará en el punto mas bajo y es T 0. La longitud s del punto más bajo del cable, a un punto de coordenadas ( x,y x,y ) es
Esta serie converge para valores de y/x <0,5. Generalmente y/x es es mucho menor de 0,5 de tal manera que se obtiene una buena aproximación con los dos primeros términos de la serie.
41
1.5.3 Catenaria
Cuando un cable es suspendido sin carga, es decir soportando su propio peso, la carga distribuida a lo largo de la horizontal deja de ser uniforme; sin embargo, si el cable es homogéneo, la carga es uniforme a lo largo de su longitud. La figura 1-45 representa un cable soportando su propio peso y la distribución de la carga a lo largo de la horizontal. Figura 1-45
Como no se conoce la distribución de la carga a lo largo de la horizontal ni, obviamente el centroide bajo la curva de carga, no se puede utilizar el mismo método de la sección anterior. La figura 1-46 muestra la porción del cable entre el punto más bajo (que no es el origen de coordenadas) y un punto de coordenadas ( x,y ), ), y las fuerzas actuantes.
Figura 1-46
Del triángulo de fuerzas se deduce que:
[1-23]
donde
puesto que para x=0, s=0, entonces C 1=0, y
.
Como el peso del cable está uniformemente distribuido a lo largo de su longitud es necesario obtener una expresión para la longitud de la porción del cable considerado. Puesto que
De la ecuación [1-23] se tiene que
42
tomando el origen de coordenadas tal que cuand y teniendo en cuenta la ecuación [1-23], se tiene que:
que es la ecuación de una catenaria con paráme
por consiguiente
Elevando al cuadrado las ecuaciones [1-24] y [1 que
ya que
Integrando, se obtiene
Ahora bien, para determinar el valor de la tensión T en cualquier punto, considerando el triángulo de fuerzas en la figura 1-46 se ve que:
Teniendo en cuenta la ecuación [1-26] se obtiene que
o [1-27] lo cual indica que la tensión, en cualquier punto, es directamente proporcional a la distancia vertical medida desde el eje x. Cuando un cable que soporta su propio peso está suficientemente tenso, se puede suponer que la carga está uniformemente distribuida sobre la horizontal, con esta condición, remplazando la catenaria por una parábola, se simplifica notablemente la solución, sin introducir errores significativos.
43
1.6 Vigas Las vigas son elementos estructurales que se utilizan para soportar cargas en dirección perpendicular a su eje longitudinal. En general, la longitud de una viga es mucho mayor que las dimensiones de la sección transversal. En la figura 1-47 se representan las vigas de uso común.
Viga en Cantiliver
Viga en Voladizo
Viga Simplemente Apoyada Figura 1-47
Una viga puede estar sometida a cargas puntuales, o a cargas distribuidas o más generalmente a una combinación de éstas. Cuando una viga está sometida a cargas distribuidas, éstas deben ser remplazadas por una fuerza equivalente a fin de obtener las fuerzas y momentos que la equilibran. Para determinar las fuerzas internas, en cualquier punto de una viga, se deben considerar, en la posición que se tome para el análisis, las fuerzas equivalentes a las cargas distribuidas que existan sobre ésta.
Consideremos una viga simplemente apoyada con una luz L, y, una carga P, concentrada en el punto medio, [Fig. 1-48]. Las reacciones en los apoyos claramente son
Figura 1-48
Nos proponemos determinar las fuerzas internas en toda la longitud de la viga. Para esto cortamos primero la viga a una distancia del extremo A y tomamos esta porción como diagrama de cuerpo libre. Si esta
A este momento M se le denomina Momento de flexión. Se puede ver que para la porción seleccionada , la fuerza de corte es constante y que el 44
porción esta en equilibrio debe haber una fuerza V dirigida hacia abajo tal que contrarreste a P/2, a esta fuerza se le denomina como fuerza de corte; además como la reacción produce, alrededor del punto de corte, un momento xP/2, debe existir un momento igual y de sentido contrario M que lo equilibre.
momento de flexión desde 0 hasta
varía linealmente . Claramente la
fuerza de corte y el momento de flexión en la porción derecha son iguales respectivamente a la fuerza de corte y el momento flector de la porción izquierda, pero de signo contrario, [Fig. 1-49].
Figura 1-49
Como, tanto la fuerza de corte, como el momento de flexión, a pesar de ser referidas a un punto son de sentido contrario, dependiendo de la porción que se considere (derecha o izquierda), se establece la siguiente convención: si en la porción izquierda de una viga, la fuerza de corte es hacia abajo, se le considera positiva y el momento de flexión
se considera positivo si se indica en sentido antihorario, es decir, si el vector momento sale del plano del dibujo. Para la porción derecha, obviamente, la convención es al contrario. Consideremos ahora un corte sobre la viga a una distancia x mayor que , [Fig. 1-50].
Figura 1-50 Ahora V es igual a P/2 pero dirigido hacia arriba, entonces V es negativo. Tomando momentos con respecto al nuevo punto de corte resulta que ,
; para
,
y para
. La forma como varía V y M se representa en la figura 1-51.
45
Figura 1-51
Ahora analicemos una viga con una carga uniformemente distribuida en sobre toda la longitud de la viga, [Fig. 1-52]. Con el objeto de comparar con el caso anterior, la carga distribuida tiene un valor P/L (peso por unidad de longitud) tal que la carga equivalente sea P .
Figura 1-52
Para determinar las reacciones se reemplaza la carga distribuida por la fuerza equivalente (área bajo la curva de carga) aplicada en su centroide. Utilizando las ecuaciones de equilibrio se determina que . Para determinar la forma
Haciendo la sumatoria de fuerzas en la dirección vertical se encuentra que
como varía la fuerza cortante tomamos una porción de la viga de longitud x , [Fig. 1-53]. En esta porción la carga equivalente es , y su punto
V=P/2 y para x=L,
de aplicación está a
, válida para
expresión
. Para x=0, ;
V=0 en x=L/2.
de A.
Figura 1-53
Tomando momentos con respecto al punto situado a la distancia x de A se determina que , y que para del momento es PL/8 en
,
. Para
,
, y que el valor máximo
. La forma como varían V y M se muestra en la figura 1-54.
46
Figura 1-54 De los ejemplos mostrados se puede ver que aunque las reacciones en ambos casos son las mismas, las fuerzas internas varían diferentemente. Cuando no hay carga distribuida, [Fig. 1-48], el valor de la fuerza de corte se mantiene constante y el momento varía linealmente, además una fuerza concentrada produce una discontinuidad en el diagrama de la fuerza de corte, [Fig. 1-51]. Si la carga distribuida es uniforme, [Fig. 1-52], la variación de V es lineal y la M es parabólica, [Fig. 1-54].
47
1.6.1 Relación entre la carga, la fuerza de corte y el momento flector Aunque con el procedimiento explicado anteriormente es posible resolver, estáticamente hablando cualquier problema de vigas, vamos a exponer un procedimiento que se basa en las relaciones entre carga, fuerza cortante y momento flector el cual hace más fácil la solución, especialmente cuando el sistema de carga es relativamente complejo. Consideremos la porción CD, suficientemente pequeña, de una viga, con una distribución de carga arbitraria, [Fig. 1-55].
Figura 1-55
Del diagrama de cuerpo libre de la considerada, haciendo sumatoria de verticales, se encuentra que:
porción fuerzas haciendo tender al límite cuando
[1-28] dividiendo por lo cual expresa que la pendiente de la gráfica V vs. x es igual a menos el valor de la carga distribuida en cada punto (-w ) .
Separando variables e integrando se tiene
[1-29]
48
es decir, la diferencia de la fuerza de corte entre dos puntos es igual a menos el área bajo la curva de carga. Como una fuerza concentrada produce una discontinuidad en la curva V vs. x , la ecuación [1-29] sólo es válida en las porciones donde sólo hay carga distribuida, así su valor sea cero. Tomando momentos con respecto a D, en el elemento cortado, se tiene:
dividiendo por
y haciendo
tender al límite cuando se obtiene:
[1-30]
Entonces la pendiente del gráfico M vs. x , en cualquier punto, es igual al valor de la fuerza de corte en ese punto. Separando variables e integrando la ecuación [1-30] se tiene que:
[1-31]
es decir, la diferencia del momento flector, entre dos puntos, es igual al área bajo la curva V vs. x entre esos dos puntos.
Así como una fuerza concentrada produce una discontinuidad en el gráfico V vs. x , un par aplicado puntualmente produce una discontinuidad en el gráfico M vs. x , de tal manera que la ecuación [1-31] es válida en una sección donde no haya un par aplicado.
VIGAS
49
1.7 Fricción seca
Si se trata de mover un bloque sobre una superficie rugosa por aplicación de una fuerza, éste no se moverá si la fuerza P no sobrepasa cierto valor. Esto quiere decir que si el bloque no se mueve, la superficie debe ejercer una fuerza igual a la aplicada.
donde
es el coeficiente de fricción estático,
alcanza el mismo valor y el bloque está a punto de moverse (movimiento inminente). Si P aumenta, la fuerza de fricción disminuye a un f
valor
donde
es el coeficiente de
fricción cinético, y permanece independiente del aumento de P.
constante,
El gráfico 1-56b muestra la variación de en función de P. Para valores relativamente pequeños de P, la fuerza de fricción es igual a P. Cuando P
Entonces, en reposo la fuerza de fricción puede
alcanza el valor critico
de fricción no es en general
tomar valores desde
0 hasta
. La fuerza
Figura 1-56
La figura 1-57 muestra que mientras el bloque está en reposo, a medida que aumenta la fuerza P, la resultante entre la normal N y la fuerza de fricción f se desplaza hacia la derecha para que se cumpla la condición de equilibrio
(fuerzas concurrentes). Esto quiere decir que la distribución de fuerzas
normales que ejerce la superficie rugosa sobre el bloque no es uniforme, porque de ser así N pasaría por el centro de gravedad.
Figura 1-57
50
2
M ecán i ca de lo s C u er pos D e f or m able s Como se mencionó al comienzo, los cuerpos rígidos no existen; el concepto de cuerpo rígido es puramente ideal ya que todos los cuerpos se deforman cuando están sometidos a fuerzas. Muchas veces estas deformaciones son imperceptibles y para poderlas determinar se requiere de aparatos de medición más o menos sofisticados. Que un material se deforme más o menos, depende de varios factores entre los cuales se pueden citar las cargas a que está sometido, la forma y dimensiones y sus propiedades mecánicas; resistencia, ductilidad, etc.
51
2 . 1 E s f u er z os
Consideremos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas como se presenta en la figura 21a. Si se secciona arbitrariamente el cuerpo y se toma la parte izquierda de éste, el sistema de fuerzas será el representado en la figura 2-1b que comprende las fuerzas externas en la porción considerada y las fuerzas internas, fuerzas que la otra porción ejerce sobre ella.
Figura 2-1 (a)
Figura 2-1 (b)
En un elemento de área de la sección, , actuará una fuerza de magnitud
.
Para cualquier punto de la sección, la
relación
se define como el
vector esfuerzo en ese punto y en ese plano se le designa por la letra ,
[2-1]
La unidad de esfuerzo en el SI(Sistema Internacional de Unidades de Medida) es entonces N/m2 que es por definición un Pascal (Pa).
Por ser ésta una unidad muy pequeña, comúnmente se utiliza el MPa (106 Pa) y el GPa (1012 Pa). El esfuerzo en un punto sobre un plano es, entonces, un vector que tiene la dirección de la resultante que actúa sobre un elemento de área que contiene el punto y que en general forma un ángulo con la normal al área. Es importante hacer notar que el vector esfuerzo es diferente para distintas orientaciones de planos que pasan por el punto. Es decir, no se puede hablar del esfuerzo en un punto sin hacer referencia a un plano determinado.
52
2.1.1
Esfuerzos uniformemente distribuidos
Consideremos una barra de sección circular sometida a una fuerza axial en cada extremo, [Fig. 2-2a]. Obviamente la barra está en equilibrio. Si hacemos un corte transversal de la barra, como se explicó en el párrafo anterior, en la sección de la derecha actuarán las fuerzas que se presentan en la figura 2-2b. Si suponemos que las fuerzas internas están distribuidas
Figura 2-2 (a)
Figura 2-2 (b)
entonces uniformemente en la sección, entonces el esfuerzo en cualquier punto será
y y el esfuerzo uniforme en la dirección axial sobre la sección transversal en cualquier punto será
.
Integrando se tiene
y como [2-2
el cuerpo esta en equilibrio,
,
53
2 . 1 . 2 E s f u er z o n or m al y t an g e n ci al
Si en la barra de la figura 2-2a hacemos un corte inclinado tal que su normal forme un ángulo q con la horizontal, [Fig. 2-3a], la fuerza
que actúa a
la izquierda, y que es igual a la resultante de las fuerzas internas, se puede descomponer en dos componentes; una normal al plano, contenida en el plano,
Figura 2-3 (a)
cosq y otra
sinq.
Figura 2-3 (b)
Teniendo en cuenta que el área de la sección inclinada es sección transversal, se pueden definir dos esfuerzos, uno normal
, siendo A el área de la y otro tangencial
así:
y
(a)
(b) Figura 2-4
54
En resumen, el vector esfuerzo en un punto se puede especificar de varias formas, [Fig. 2-4], dependiendo de la orientación de los ejes que pasen por el punto, o lo que es lo mismo, de la orientación del plano que pase por dicho punto. Así, en la figura 2-4a, el vector esfuerzo es referido al plano transversal, pero referido al
plano
inclinado
un
ángulo
,
el
esfuerzo en el mismo punto es . Quiere esto decir que si se conoce el esfuerzo en un punto con relación a un plano escogido arbitrariamente, mediante transformaciones se puede especificar el esfuerzo con relación a cualquier otro plano.
55
2.1.3
Matriz de esfuerzos en un punto
, Ay , A z , perpendiculares a los A través de un punto interno O de un cuerpo, se pueden considerar tres planos A x
ejes x , y, z respectivamente, [Fig. 2-5].
Figura 2-5
, Ay , A z , Los vectores esfuerzo en O sobre A x
pueden ser descompuestos en sus componentes en la dirección de los ejes coordenados como se muestra. Utilizando notación matricial, para los vectores se tiene:
(Los subíndices de las componentes del vector esfuerzo se refieren; el primero, al plano en que actúan y el segundo a la dirección.) A la matriz:
.
se le define como la matriz de esfuerzos en el punto O.
56
s>0
s<0
t>0
t<0
Figura 2-6
Se utiliza la siguiente convención para los signos: si la normal al plano considerado está en la dirección positiva del eje coordenado, los esfuerzos son positivos si están en la dirección positiva del eje; y si la normal está en la dirección negativa, los esfuerzos son positivos si están en la dirección negativa de los ejes, [Fig. 2-6].
57
2.1.4 Estado de esfuerzos en un punto
su normal, donde l , m y n son los cosenos El estado de esfuerzos en un punto está caracterizado por la matriz de esfuerzos en ese punto. Esto significa que, si la matriz de esfuerzos es conocida, el vector esfuerzo sobre cualquier plano está determinado unívocamente.
directores de
y teniendo en cuenta
que
.
Para demostrar lo anterior consideremos un pequeño elemento tetraédrico del cuerpo, con el punto O en uno de sus vértices, [Fig. 2-7]. Designando por perpendiculares a respectivamente,
, los
,
las áreas
ejes x, y y z al área del plano
inclinado,
Figura 2-7
Entonces [2-3]
De las ecuaciones de equilibrio en la dirección x, se tiene
en forma matricial se puede escribir
y de las ecuaciones en [2-3],
entonces o en forma compacta . Considerando el equilibrio en y y z se obtiene respectivamente que
[2-4] La ecuación [2-4] muestra que para una matriz 58
de esfuerzos
dada, el vector esfuerzo
esta unívocamente determinado en un plano cuya normal unitaria es
.
59
2.2 Transformación de tensores Se ha visto en los párrafos anteriores que el estado de esfuerzos se puede representar por medio de una matriz referida a un sistema de ejes coordenados. Si para el mismo punto se selecciona un sistema de ejes con diferente orientación, las matrices que definen los estados de esfuerzos serán diferentes pero, obviamente, los estados siguen siendo los mismos. Esto conlleva a una definición formal de tensor: El conjunto de entidades matemáticas que describen el mismo objeto abstracto, independientemente de los sistemas coordenados a los que son referidas estas entidades, es un tensor.
Considérese un sistema de ejes x’, y’, z’ que tiene cualquier orientación con respecto a los ejes x, y, z, [Fig. 2-8].
Para poder expresar los tensores para diferentes orientaciones de los ejes coordenados es indispensable familiarizarse con una matriz de transformación conocida como matriz de rotación. Figura 2-8
Con referencia al sistema x, y, z, los vectores unitarios,
,
, y
se pueden expresar
como:
que determina la orientación entre dos siste conoce como la matriz de rotación. Puesto que para un sistema rotado x’y’z’ se cu
[2-5]
donde (l 11 ,l 12,l 13), (l 21 ,l 22 ,l 23), (l 31 ,l 32 ,l 33) ,son los cosenos directores de los ejes x’, y’, z’, respectivamente, con referencia a los ejes x, y, z.
es fácil demostrar que la transpuesta de de
,
,
.
La matriz
[2-6]
60
En efecto, teniendo en cuenta las ecuaciones [2-5] y [2-6] se tiene que
Como
Es decir
, entonces
teniendo en cuenta las ecuaciones [3-5] se obtiene que
[28]
Considérese el vector esfuerzo
en O
actuando sobre un plano inclinado de normal o, en forma matricial
, [Fig. 2-9].
[2-9]
multiplicando por
en ambos lados
entonces [2-10]
Figura 2-9
Se puede concluir entonces que para expresar un vector referido a un sistema x’, y’, z’, girado arbitrariamente con respecto a un sistema x, y, z se multiplica el vector por la transpuesta de la matriz de rotación.
y
entonces
Por consiguiente, de la ecuación [2-9] se tiene que, , entonces [2-12] [2-11] De las ecuaciones [2-4], [2-10] y [2-11], se tiene
premultiplicando por
y postmultiplic
se tiene 61
Como
, entonces
entonces :
[2-13]
62
2.2.1 tensor
Determinación de una componente específica de un
Todas las matrices que cumplen con la ley de transformación dada por la ecuación [2-13] son tensores de segundo orden. Entonces, para cualquier matriz matriz
referida a un sistema x, y, z existirá otra
referida a un sistema x’, y’, z’ tal que
[2-14]
denotando el vector
por la matriz fila (l 11 , l 12 , l 13) y teniendo en cuenta que
se tiene que
entonces, teniendo en cuenta [3-14]
En forma similar se pueden determinar las demás componentes de la matriz
, por ejemplo
. Nótese que los subíndices 1, 2, 3 hacen referencia a los ejes x, y, z respectivamente. En resumen, las componentes de la matriz
en términos de la matriz
vienen dados por las
siguientes transformaciones
[2-15]
63
Obviamente estas fórmulas se utilizan cuando se desea conocer una componente específica de la matriz. Cuando se desea conocer todas las componentes se debe utilizar la ecuación [2-14].
64
2.3
Deformaciones
Siendo Las fuerzas internas en un cuerpo deformable, causan en general un cambio de longitud entre dos puntos cualesquiera dentro del cuerpo. Esto quiere decir que, en general, los desplazamientos de dos puntos son diferentes y son función de la posición.
u=u(x,y,z), las w=w(x,y,z)
v=v(x,y,z)
y
componentes escalares del vector desplazamiento en el punto P(x,y,z). Consideremos dos rectas materiales mutuamente perpendiculares PQ y PS en el estado no deformado del cuerpo y las mismas rectas en el estado deformado, [Fig. 2-10].
Figura 2-10 Se define la deformación unitaria en la dirección de x como
[2-16]
Similarmente la deformación unitaria en P en la dirección y es
[2-17]
65
y en la dirección z
[2-18]
Las deformaciones
,
,
también se conocen como componentes lineales de la deformación
en P. Adicionalmente se define la deformación angular en P en el plano xy a la disminución del ángulo entre PQ y PS como
Para ángulos pequeños, de la figura 3-9 se tiene que
por lo tanto
[2-19]
Análogamente para los otros dos planos se tiene:
[2-20]
y
[2-21]
Se define el tensor de deformaciones
en términos de las deformaciones lineales y angulares por la
matriz
[2-22]
66
2.3.1
Estado de deformación en un punto
Si se conoce el tensor de deformación en un punto con respecto a los ejes x, y, z, la deformación unitaria en cualquier dirección
está unívocamente determinada por la ecuación
[2-23] Entonces el estado de deformación en un punto está completamente caracterizado por el tensor de deformación en ese punto, Ver sección 2-2 (Transformación de tensores).
67
2.4
Esfuerzos y deformaciones principales Si
es un vector
unitario normal a un plano principal y el esfuerzo normal Se ha visto que cuando se conoce el tensor de esfuerzos
correspondiente, entonces
en un punto, con respecto a los ejes
x, y, z, el mismo tensor con respecto a los ejes x’, y’, z’ esta dado por de la ecuación [2-4] se tiene que . , Se desea determinar la orientación de los ejes tal, que los esfuerzos en los tres planos perpendiculares a dichos ejes sean normales, es decir, que en dichos planos nos existan esfuerzos cortantes. A estos planos se les denomina planos principales y a los esfuerzos que actúan en ellos, esfuerzos principales.
entonces
y
es decir
[2-24]
Realizando el producto se tienen tres ecuaciones lineales. Para que estas ecuaciones tengan solución se necesita que el determinante de la matriz sea cero. El determinante se puede escribir como
[2-25]
donde
[2-26]
,
, 68
.
Nótese
que
I 1 es
la
suma
de
los
elementos de la diagonal de la matriz de esfuerzos, I 2 la suma de los menores
Para determinar las orientaciones de los ejes principales, se reemplaza cada valor de en la ecuación [2-24,] teniendo en cuenta que
principales de la misma matriz, e I 3 es el determinante de la matriz de esfuerzos. I 1 , I 2 , e I 3 son los invariantes del tensor esfuerzo. La solución de la ecuación [2-25], que es la ecuación característica de esfuerzos, da tres valores de que corresponden a los esfuerzos principales.
. En completa analogía con el esfuerzo, es posible definir un sistema de coordenadas a lo largo de las cuales no hay deformación angular. Estos ejes son los ejes principales de la deformación. La ecuación característica para las deformaciones será entonces
[2-27] donde ,
, [2-28]
son los invariantes del tensor de deformaciones.
69
2 . 5 M áx i m o e s f u er z o cor tan t e
Sean los esfuerzos principales
,
,
, [Fig.
2-11], sobre un plano inclinado ABC cuya normal unitaria es
; el vector esfuerzo es , entonces
.
Figura 2-11
El esfuerzo normal sobre el plano es
, entonces
.
Como el cuadrado del esfuerzo cortante en el plano es
, entonces
.
Teniendo en cuenta que
, se obtiene
.
Determinando
y
e igualando a cero para determinar
tres conjuntos de l, m y n que hacen que
l
se encuentra que existen
sea máximo:
m
n
0 0 0
70
Esto quiere decir que los esfuerzos cortantes máximos ocurren en planos que bisecan el ángulo entre dos de los tres ejes principales. Los esfuerzos correspondientes a estos tres planos son:
[2-29]
Figura 2-12 Obviamente el esfuerzo cortante máximo se obtendrá de la diferencia entre el máximo y el mínimo esfuerzo principal.
71
2 . 6
R ela ci on e s es f u er z o d ef or m aci ón Hasta ahora las discusiones dadas para el esfuerzo y deformación han sido independientes de las propiedades específicas de cada cuerpo. Para hallar relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones es necesario conocer las propiedades del material. A estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones constitutivas.
Las ecuaciones que se deducen en esta sección son válidas para materiales homogéneos, isotrópicos y elásticos. Por homogéneo se entiende un cuerpo que posee en cada porción las mismas propiedades físicas; por isotrópico, si posee las mismas propiedades físicas en todas direcciones, y por elástico, si cuando una fuerza externa, que produce una deformación que no excede un cierto límite, se remueve, el cuerpo recobra sus dimensiones iniciales.
72
2.6.1 Ensayo de tensión Si una barra cilíndrica se somete a una carga d e tensión axial, variable con el tiempo, se puede registrar la variación del esfuerzo con la deformación unitaria . El gráfico típico para un material dúctil se muestra en la figura 2-13.
Figura 2-13
De O a A el esfuerzo es proporcional a la deformación (zona elástica) [2-30]
donde E es el módulo elástico o módulo de Young. El máximo esfuerzo que puede ser aplicado sin que se produzca una deformación permanente al remover la carga aplicada se llama límite elástico. Cuando el esfuerzo sobrepasa el límite elástico se alcanza el punto B donde se produce una pequeña deformación permanente. Al esfuerzo correspondiente se le conoce como esfuerzo de fluencia (el material fluye plásticamente). Cuando la deformación plástica aumenta, por el aumento de la carga, se alcanza un valor máximo de esfuerzo, punto C; al esfuerzo en este punto se le conoce como esfuerzo máximo de tracción o resistencia a la tracción.
Al alcanzar este punto se produce una deformación localizada, con una notable disminución del área de la sección transversal, de tal manera, que la deformación continúa con disminución de la carga hasta alcanzar el punto D donde el material se fractura. El esfuerzo correspondiente es el esfuerzo de rotura. Así como la fuerza de tracción produce un alargamiento longitudinal, también se producen contracciones en las direcciones transversales. Se ha encontrado experimentalmente que la deformación transversal es una fracción constante de la deformación longitudinal
[2-31]
donde
es conocida como la relación de
Poisson. Aplicando el principio de superposición: la deformación inducida por dos esfuerzos es igual a la suma de las deformaciones inducidas por cada esfuerzo individualmente; para más de un componente de esfuerzo, se tiene:
73
[2-32]
Una relación similar a la dada por la ecuación [231] se aplica para esfuerzos y deformaciones angulares
,
[2-33]
Las ecuaciones [2-32] y [2-35] expresan las deformaciones en función de las tensiones. Se verá ahora como se obtienen las tensiones a partir de las deformaciones. Sea
haciendo
e
[2-34] ,
los primeros invariantes de las matrices de deformación y tensiones respectivamente.
se tiene:
[2-35]
Sumando las ecuaciones [ miembro a miembro se obtiene
.
2-32]
[2-36]
donde G es el módulo elástico de corte o módulo de rigidez.
Las ecuaciones [2-32] se pueden escribir de la siguiente manera
[2-37]
Despejando
y remplazando
de la ecuación [ 2-36] se obtiene
,
74
haciendo
y teniendo en cuenta la ecuación [ 2-34], se obtiene que
[2-38]
Las ecuaciones [2-38] junto con las ecuaciones [2-35] conforman las llamadas ecuaciones de Lamé, que relacionan linealmente los esfuerzos normales con las deformaciones longitudinales y los esfuerzos de corte con las deformaciones angulares.
75
2.7
Alargamiento en tensión simple Aplicando la ley de Hooke, en el caso de tensión simple se tiene
. Puesto que en este caso
y
, entonces Figura 2-14 .
Si el alargamiento total de la barra es
, entonces
, la deformación unitaria, es
; el
alargamiento es
entonces el diámetro se contrae en una cantidad
[2-39] . Para
y
[2-40]
se tiene que Las ecuaciones [2-39] y [2-40] se aplican en compresión teniendo en cuenta que P es negativa.
76
2.7.1 Alargamiento en barras de sección variable Considérese la barra de sección variable representada en la figura 215. Por las condiciones de equilibrio, la fuerza en cualquiera de las dos secciones es P; la deformación total es igual a la suma de las deformaciones de las dos partes. Figura 2-15 [2-41]
77
2.7.2
Deformación en barras sometidas a múltiples fuerzas En relación con la figura 2-16, en la sección 1 la fuerza actuante es , entonces
, en la sección 2 la fuerza actuante es
,
entonces Figura 2-16 ,
por consiguiente
[2-42]
Por último, si los materiales de cada sección son diferentes:
[2-43] .
78
3 3.1
D i n ám i c a Cinemática del cuerpo rígido en movimiento plano
La cinemática es la parte de la dinámica que estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen.
79
3.1.1
Tipos de movimientos
En el plano, un cuerpo puede moverse de tres formas diferentes: traslación, rotación al rededor de un eje fijo y movimiento plano general.
Traslación Un cuerpo está en traslación si todas las partículas (puntos) que lo componen describen la misma trayectoria. La traslación puede ser rectilínea o curvilínea. [Fig. 3-1].
(a) Traslación rectilínea
(b) Traslación curvilínea Figura 3-1
Una característica del movimiento de traslación es que cualquier recta, considerada como perteneciente al cuerpo, permanece siempre en la misma dirección. Esto se puede apreciar en la figura 3-1 donde la recta AB es paralela a la recta A’B’. Rotación alrededor de un eje fijo Cuando cada partícula del cuerpo se mueve en un plano perpendicular al eje y describe una circunferencia cuyo radio es su distancia al eje, el cuerpo está en rotación alrededor de ese eje [Fig. 3-2].
80
Figura 3-2 Se puede apreciar que todas las partículas equidistantes del eje describen idénticas trayectorias; por esto es frecuente tomar una lámina representativa en cambio de todo el cuerpo; así el movimiento se puede considerar como un movimiento plano que normalmente se denomina rotación alrededor de un punto fijo (intersección del eje con la lámina representativa del cuerpo). Sin embargo no se debe perder de vista que la rotación es alrededor de un eje fi jo.
Movimiento plano general Un movimiento en el plano que no es traslación ni rotación alrededor de un eje fijo es un movimiento plano general [Fig. 3-3].
Figura 3-3
El movimiento plano general es la combinación de una traslación y una rotación. Por ejemplo, el movimiento presentado en la Figura 3-3 se puede obtener entre otras, de una de las siguientes formas, [Fig. 3-4]. a) Rotación alrededor de A y traslación de A hasta A’; b) Traslación de B a B’ y rotación alrededor de B’
Figura 3-4 Nótese que tanto el orden en que se combinan los movimientos como el punto alrededor del cual se hace la rotación son arbitrarios.
81
3.1.2 Ecuaciones de movimiento El movimiento de un cuerpo está completamente definido si se puede determinar la posición de cualquier punto perteneciente a él en cualquier tiempo. A continuación se presentarán para cada tipo de movimiento las relaciones matemáticas que permiten definir el movimiento de un cuerpo con base en los conceptos explicados con anterioridad.
Traslación Consideremos dos puntos A y B de un cuerpo en traslación, [Fig. 3-5]
La posición de A y B con respecto a un sistema xy de referencia se representan por medio de los vectores de posición y
respectivamente, y la posición de
B con respecto de A por
. Como
se tiene que
Figura 3-5
Donde
,
y
representan las
derivadas con respecto del tiempo de los vectores , y respectivamente. Puesto que en un movimiento de traslación no varía entonces
es cero; por
consiguiente
donde
,
y
representan la segunda derivada con respecto del tiempo de los vectores , y respectivamente. Como
es
cero, entonces
y como
, en traslación
[3-2]
[3-1] Es decir, en traslación, todos los puntos de un cuerpo tienen la misma velocidad.
Entonces, en traslación las aceleraciones de todos los puntos de un cuerpo también son iguales.
De otra parte, la aceleración de B es:
De las consideraciones anteriores 82
con respecto a
, se puede
postular que las derivadas respecto al tiempo de un vector que pertenece a un cuerpo en traslación son cero
[3-3]
Movimiento alrededor de un eje fijo Sin perder generalidad supongamos que el eje de rotación es el eje z . Sea A un punto del cuerpo rígido y su vector de posición, [Fig. 3-6]. Como se sabe, la velocidad de A, , es tangente a la trayectoria y ésta está contenida en un plano perpendicular al eje de rotación. El desplazamiento angular de la recta OA se denota por
y su velocidad angular por
.
(a)
(b) Figura 3-6
Al vector contenido en el eje de rotación
[3-5]
, se le define como el vector velocidad angular. Si la rotación es en sentido antihorario vista desde el eje positivo, el vector velocidad angular se considera positivo, de otra forma es negativo. Cuando se considera una lámina representativa del cuerpo en rotación, [Fig. 3-6b] sale del plano si es positivo y entra si es negativo; como de cualquier manera el vector se ve como un punto, la velocidad angular se representa por medio de un arco circular indicando con una cabeza de flecha el sentido de rotación. Sin embargo no se debe perder de vista que el vector velocidad angular entra o sale del
La aceleración definición
de
la
de
A
ecuación
es
por
[3-5],
entonces 83
plano del dibujo.
[3-6]
Volviendo a la figura 3-6a y recordando que la velocidad de A es
donde
es la aceleración
angular del cuerpo.
y teniendo en cuenta que
se
tiene que:
Notando que la
dirección
El vector aceleración angular tiene el mismo sentido de la velocidad angular si ésta aumenta y sentido contrario si tiende a disminuir. La ecuación [3-6] expresa que la aceleración de una partícula que pertenece a un cuerpo que rota alrededor de un eje fijo tiene dos componentes: una tangencial y una normal
y que de
coincide
dirección del vector
con
la
; se define
. Las magnitudes de estas componentes respectivamente
son
vectorialmente la velocidad de A como [3-7] [3-4] puesto que también
se puede generalizar que la derivada de un vector que pertenece a un cuerpo que
r es Donde la distancia perpendicular de la partícula al eje de rotación.
Ambas componentes están en el plano del movimiento. Esta es la razón por la cual el movimiento se puede considerar como un movimiento en el plano.
rota alrededor de un eje fijo es
Movimiento plano general
Como se mencionó anteriormente, movimiento plano general es la combinación una traslación y una rotación alrededor de punto (intersección del eje con el plano movimiento) arbitrariamente seleccionado.
el de un de
Entonces de acuerdo a la figura 3-7, para determinar la velocidad del punto A se debe conocer la velocidad de cualquier otro punto, por ejemplo B, y la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado.
Figura 3-7
84
En consecuencia velocidad
la
comprende una velocidad de traslación, y otra debida a la rotación alrededor de B [3-8] Esta expresión se puede obtener a partir de los vectores de posición de A y B, [Fig. 3-8].
Figura 3-8
y como
es un vector que está en rotación alrededor de B, su derivada
la ecuación [3-5],
es, de acuerdo a
, entonces
La aceleración de A es
[3-9]
donde
es
la
aceleración tangencial de A debido a la rotación alrededor de B y es
la
aceleración normal por la rotación alrededor de B, [Fig. 3-9].
Figura 3-9
Movimiento restringido
85
Consideremos el mecanismo bielamanivela-corredera representado en la figura 3-10, que es utilizado para transformar el movimiento circular en un movimiento rectilíneo alternativo. En este mecanismo se pueden identificar los movimientos descritos anteriormente. Figura 3-10 El punto B pertenece tanto a la manivela AB como a la biela BC y por último elpunto C pertenece tanto a la biela como a la corredera. Entonces al determinar la velocidad de A se esta determinando la velocidad de un punto de la biela. Del otro punto de la biela, C, se conoce la dirección de la velocidad, que corresponde a la dirección de la velocidad de la corredera. Con esta información es posible determinar: la velocidad angular de la biela, su aceleración angular, la velocidad y aceleración de la corredera y por supuesto la velocidad y aceleración de cualquier punto de los elementos del mecanismo. Veamos:
La manivela AB rota alrededor de un eje fijo que pasa por A. La corredera posee un movimiento de traslación rectilínea y la biela BC un movimiento plano general. Supongamos que se desea conocer tanto la velocidad como la aceleración de la corredera conocida la velocidad angular de la manivela AB que se supone constante. Es importante hacer notar que para transmitir un movimiento debe haber uniones (pares cinemáticos) entre los diferentes elementos. En el caso en que se esta considerando, en el punto A que pertenece al bastidor, que se considera fijo, y a la manivela, existe un par cinemático.
Análisis de velocidades, [Fig. 3-11]
Figura 3-11
de
magnitud
y se conoce su dirección, quees perpendicular a la barra BC. Se tienen entonces dos incógnitas
perpendicular a AB.
y De
se
conoce
la
dirección
que
que se pueden hallar
resolviendo el triangulo de velocidades representado en la figura 3-11b.
es
horizontal y de
Análisis de aceleraciones, [Fig. 3-12] es perpendicular a la barra BC
y
de
magnitud
,
desconocida. 86
La aceleración de B normal es dirigida de B hacia A; la aceleración de B tangencial es 0 porque es constante.
Nuevamente se tienen dos incógnitas y que se pueden hallar resolviendo el polígono aceleraciones, [Fig. 3-12].
de
La aceleración de C es
es
de
dirección
conocida;
horizontal. Figura 3-12 tiene de magnitud
y
va dirigida de C hacia B.
Interpretación física de los resultados En la figura 3-11b se ve que la velocidad de la corredera es hacia la izquierda y se deduce que la velocidad angular de la biela BC es antihoraria. De la figura 3-12 se deduce que la aceleración de la corredera, es
hacia la izquierda, esto quiere decir que su velocidad esta disminuyendo en el instante representado, y que la aceleración angular de la biela BC es antihoraria, lo cual indica que, para el instante considerado, la velocidad angular de la biela está aumentando.
87
3.2 Cinética del cuerpo rígido en movimiento plano Estudiaremos a continuación la relación que existe entre las fuerzas que actúan en un cuerpo y el movimiento que éste adquiere.
88
3.2.1
Generalidades
Definir el movimiento de un cuerpo es equivalente a determinar la posición de cualquier recta que pertenezca al cuerpo en cualquier instante t . Por ejemplo, si para el cuerpo representado en la figura 3-13 se puede determinar la posición, digamos, de la recta AB en cualquier instante, entonces el movimiento quedará completamente definido. Ahora bien, para determinar la posición de la recta AB q se requieren tres coordenadas, dos lineales x A y y A y una coordenada angular . Los puntos A y B son arbitrarios.
Figura 3-13
La determinación de estas tres coordenadas requiere de tres ecuaciones independientes que se hallarán a continuación. Consideremos el cuerpo rígido de la figura 3-14 sobre el cual actúa un sistema arbitrario de fuerzas. Desde el punto de vista del cuerpo como un todo, el sistema de fuerzas comprende las fuerzas externas ejercidas por otros cuerpos y las fuerzas de interacción
entre las diferentes partículas, estas últimas se ejercen por pares de igual magnitud y de sentido contrario de tal manera que se anulan.[1] Por esto, sólo es necesario tener en cuenta, para el sistema completo, las fuerzas externas. Ahora bien, cada partícula de masa dm adquiere una cierta aceleración que será proporcional a la fuerza efectiva que actúa sobre ella.
Figura 3-14
89
Como de acuerdo con la segunda ley de Newton
se puede escribir que
[3-10]
Para
determinar
la
sumatoria
,
consideremos por conveniencia un sistema de ejes centroidales, [Fig. 3-15]. Figura 3-15
Teniendo en cuenta la ecuación [3-6], aceleración de cualquier partícula i en movimiento plano es
entonces
Como
es cero por ser el primer momento del
cuerpo con respecto a un eje centroidal, entonces
ya que
Es decir, el centro de masa se mueve como si la resultante de las fuerzas externas se estuviera aplicando en ese punto. Sin embargo, vamos a demostrar que, en general, la fuerza resultante no pasa por el centro de masa. Con base en los sistemas equivalentes representados en la figura 3-16 y tomando momentos alrededor del centro de masa se tiene
, donde m es
la masa del cuerpo, por consiguiente
.
Figura 3-16 De la ecuación [3-6]
90
Los dos primeros términos de la derecha son evidentemente iguales a cero, por consiguiente
Como respecto
es el momento de inercia del cuerpo con al
eje
centroidal
perpendicular
al
plano
de
movimiento, se tiene que
En conclusión, un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo en movimiento plano, es equivalente, en general, a un sistema que comprende un vector aplicado en c y un par Ia perpendicular al plano movimiento, [Fig. 3-17]
de
Figura 3-17 Esta equivalencia se puede formular matemáticamente como
[3-11]
El sistema de la derecha en la figura 3-17 se puede representar como se ilustra en la figura 3-18.
91
Figura 3-18 Como el sistema consiste de una fuerza y un par que son mutuamente perpendiculares, se puede representar por una fuerza única tal que . Esto demuestra que en general que la fuerza resultante no pasa por el centro de masa y que la distancia de su línea de acción es
[3-12]
Esta ecuación demuestra que si la resultante de un sistema de fuerzas pasa por el centro de masa, la aceleración angular es cero y que si el cuerpo esta inicialmente en reposo, no habrá rotación y por consiguiente el cuerpo tendrá un movimiento de traslación rectilíneo.
92
3.2.2 Casos particulares A continuación estudiaremos los casos particulares que se presentan en movimiento plano general.
Traslación Como el cuerpo no tiene movimiento rotacional a=0 entonces pasa por el centro de masa y se debe cumplir que
, la fuerza resultante .
Figura 3-19
Rotación centroidal Se llama rotación centroidal a la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es es perpendicular al plano de movimiento. movimiento.
93
Figura 3-20 En este caso el sistema equivalente de las fuerzas aplicadas es un par y por consiguiente la fuerza resultante es cero. El par resultante
es igual a
Rotación no centroidal El sistema equivalente para este caso se representa en la figura 3-21. donde Si se toma momentos con respecto a O se tiene , ya que el
momento
de
es
cero. y
entonces
[3-13]
Pero como
I
es el momento de inercia
O
del cuerpo con respecto al eje que pasa por O y es perpendicular al plano de movimiento. A diferencia de la rotación centroidal, la fuerza resultante en el caso de rotación no centroidal es diferente de cero ya que el centro de masa posee aceleración. El hecho de resaltar en la rotación no centroidal es que la ecuación [3-13] es de la misma forma que la ecuación [3-11] lo cual no se cumple para cualquier otro punto.
94
Figura 3-21
Movimiento plano general La ecuación [3-13] también se cumple en movimiento plano general en dos casos: 1. Si se toman momentos con respecto a un punto que no tenga aceleración pero que se puede estar moviendo. 2. Cuando se toman momentos con respecto a un punto cuya aceleración esta dirigida hacia el centro de masa.
Veamos: Si el punto O no tiene aceleración, [Fig. 322], al tomar momentos con respecto a O se tiene
Figura 3-22 95
Si el punto
O tiene
aceleración dirigida hacia C, [Fig. 3-23], la aceleración de C es
Figura 3-23 Tomando momentos con respecto a O se tiene:
Movimiento de rodadura Si un cuerpo rueda sobre otro, puede ocurrir que en el punto de contacto no haya movimiento relativo, en cuyo caso se dice que el movimiento es de rodadura pura, o que haya movimiento relativo; en este caso se habla de rodadura con deslizamiento. Si por ejemplo una rueda, disco, cilindro o esfera rueda sin deslizar sobre una superficie plana, [Fig. 3-24], la fuerza de fricción f puede tomar cualquier valor entre 0 y mSN , pero la aceleración del centro de masa es ar , entonces las ecuaciones
y
se utilizan para determinar f y a.
Figura 3-24
Si el cuerpo no esta en rodadura pura, [Fig. 3-25] la fuerza de fricción es
y la 96
aceleración del centro de masa es diferente de ar. Con las ecuaciones se determinan
a
C
y
y
a.
Figura 3-25 Cuando en una situación determinada no se sabe si hay o no rodadura pura, se supone inicialmente que no hay deslizamiento, entonces la fuerza de fricción es desconocida pero se conoce la relación entre aC y a.Si al determinar
se encuentra que es mayor que
de fricción debe tomarse como
y que
, quiere decir que el cuerpo esta deslizando y que la fuerza .
97
3 . 3
T r abaj o y E n e r g í a
Un método alternativo para resolver problemas dinámicos es el de trabajo y energía. Con este método no es necesario determinar las aceleraciones: lineal, del centro de masa y la angular del cuerpo. Es especialmente útil cuando hay que relacionar velocidades y desplazamientos con las fuerzas que están involucradas en el sistema. Adicionalmente tiene la ventaja de trabajar con entidades escalares: trabajo y energía, y de obviar las fuerzas que no realizan trabajo.
98
3.3.1 Ecuación de trabajo y energía A partir de la ecuación de movimiento para una partícula
efectuando el producto escalar con
Entonces, como
e integrando se tiene
,
[3-14]
La ecuación [3-14] es la formulación del principio del trabajo y la energía que establece que el trabajo realizado sobre una partícula es igual al cambio de su energía cinética. Una relación similar se puede establecer para un sistema de partículas que conforman un cuerpo rígido:
donde
U
1-2
es el trabajo de todas las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo y T y T la energía cinética final e 2 1 inicial del cuerpo rígido. continuación veremos cómo determinan estas magnitudes.
A se
99
3.3.2
Energía cinética
La energía cinética de un cuerpo es la suma de la energía cinética de cada una de las partículas que lo componen. Consideremos un cuerpo rígido en movimiento plano, [Fig. 3-26]. La energía de una partícula de masa velocidad
v
dm
es
y .
Escogiendo un punto arbitrario C, como punto de referencia, la velocidad de la partícula se puede expresar como
. Figura 3-26
Entonces, la energía cinética del cuerpo es
En movimiento plano, el último término de la ecuación es igual a que
ya
es perpendicular a
en un vector paralelo a
y
.
Donde
v es C
masa e
es el momento de inercia
centroidal. entonces
Si C es un punto fijo O,
[3-16]
Ahora bien, si el punto C es el centro de masa, la integral
es cero; entonces la energía
cinética del cuero rígido en movimiento plano es [3-15]
la velocidad del centro de
donde
I
es el momento de inercia
O
respecto a un eje de rotación que pasa por O y es perpendicular al plano de movimiento.
100
3.3.3 Trabajo realizado por fuerzas que actúan sobre un cuerpo
Partiendo de la definición de trabajo de una fuerza sobre una partícula P
teniendo en cuenta que donde
es la posición de P con respecto a
C
Figura 3-27
Para un sistema de partículas (cuerpo rígido) y un sistema arbitrario de fuerzas, el trabajo total es
[3-17]
donde
y
y
.
101
3.3.4
Trabajo realizado por pares
La ecuación [3-17] puede ser aplicada al trabajo realizado por pares de fuerzas haciendo
,
entonces
y
[3-17]
102
3.3.5
Fuerzas conservativas - Energía potencial
Cuando una fuerza produce un trabajo que es independiente de la trayectoria, la fuerza es conservativa, de lo contrario es no conservativa. Casos típicos de fuerzas conservativas son las fuerzas de origen gravitacional, eléctrico y las fuerzas de origen elástico. El negativo del trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un sistema, al pasar de una posición inicial a otra, es la energía potencial que posee el sistema en su segunda configuración con respecto a la primera. Esta cantidad de energía adquirida es independiente de la trayectoria del sistema y es función de la posición únicamente. Figura 3-28
El trabajo realizado por el peso de un cuerpo (mg) situado en la superficie de la tierra al ser elevado una distancia h donde h es pequeña con relación al radio de la tierra es igual a
.
En el caso de una fuerza ejercida por un resorte (fuerza elástica), el trabajo realizado por ésta al pasar de la posición inicial (1) a la posición final (2) es
Entonces, por definición la energía potencial del sistema es
entonces la energía potencial elástica será referida al estado inicial, que se considera con una energía potencial cero. El valor numérico de la energía potencial es arbitrario, porque el estado inicial es escogido arbitrariamente. Esto quiere decir que cualquier constante puede ser sumada a la energía potencial y la di ferencia de la función entre dos estados permanece invariable.
habiendo asociado arbitrariamente una energía potencial elástica inicial de cero (V 1=0) en la posición no deformada del resorte.
En un sistema donde las fuerzas que realizan trabajo son conservativas, el trabajo se puede expresar como
entonces la ecuación energía queda así:
de
trabajo
y 103
