Teoria Investigacion de Operaciones 2 (completa).pdf

MANUAL DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

CATEDRÁTICO: m. c. RAÚL LEONEL GUZMÁN SAMPAYO. REALIADO POR: CASTRO OCHOA AGUSTIN. ELIZALDE RAMIREZ FERNANDO. RODRIGUEZ MARTINEZ JOAQUIN C. SONI SANTOS IRIS ABRIL. ESPECIALIDAD: INGENIERA INDUSTRIAL PERIODO: AGOSTO!DICIEMBRE "##$ CERRO AZUL% VER.

ÍNDICE UNIDAD I:

PROGRAMACIÓN DINÁMICA

1.1 Características de la programación dinámica: etapas, estados,

fórmula recursiva, programación en avance y retroceso…….. .........................4 1.2  Algunos modelos de ejemplos de Programación inámica………………...! 1.3  Programación dinámica determinística……………………………………..…" 1.4  Programación dinámica pro#a#ilística………………………………….……..$ 1.5  Pro#lema de dimensionalidad de Programación inámica…………………$ %jercicios resueltos……………………………………………………………..…..&' %jercicios propuestos……………………………………………………………..…(&

UNIDAD II: TEORÍA DE COLAS (.& )ntroducción y casos de aplicación……………………………………………(4 (.( efiniciones características y suposiciones………………………………….(4 (.* +erminología y notación. …………………………………………………..…..(! (.4 Proceso de nacimiento y muerte odelos Poisson. ……………………………………………………………....(" (.- n servidor, fuente finita, cola finita. ……………….…………………………($ (.! n servidor, cola infinita, fuente infinita…………………………………….…*' (." /ervidores m0ltiples, cola infinita, fuente infinita. ……………………………*( (.$ /ervidores m0ltiples, cola finita, fuente finita. ……………………………..…*4 %jercicios resueltos…………………………………………………………………..*! %jercicios propuestos……………………………………………………………..…4'

UNIDAD III:

TEORÍA DE DECISIÓN

*.& Características generales de la teoría de decisiones. ……………………..4* *.( Criterios de decisión determinísticos y pro#a#ilísticos……………………..44 *.* 1alor de la información perfecta. ……………………………………………..4*.4 2r#oles de decisión. …………………………………………………………...4! *.- +eoría de dualidad. ………………………………………………………….…4" *.! ecisiones secuenciales. ………………………………………………….…..43 *." Análisis de sensi#ilidad. …………………………………………………...…..43 %jercicios resueltos…………………………………………………………………..-& %jercicios propuestos………………………………………………………………..--

UNIDAD IV: CADENAS DE MARKOV 4.& )ntroducción. …………………………………………………………………….-$ 4.( ormulación de las cadenas de ar5ov. ……………………………….……-$

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ÍNDICE UNIDAD I:

PROGRAMACIÓN DINÁMICA

1.1 Características de la programación dinámica: etapas, estados,

fórmula recursiva, programación en avance y retroceso…….. .........................4 1.2  Algunos modelos de ejemplos de Programación inámica………………...! 1.3  Programación dinámica determinística……………………………………..…" 1.4  Programación dinámica pro#a#ilística………………………………….……..$ 1.5  Pro#lema de dimensionalidad de Programación inámica…………………$ %jercicios resueltos……………………………………………………………..…..&' %jercicios propuestos……………………………………………………………..…(&

UNIDAD II: TEORÍA DE COLAS (.& )ntroducción y casos de aplicación……………………………………………(4 (.( efiniciones características y suposiciones………………………………….(4 (.* +erminología y notación. …………………………………………………..…..(! (.4 Proceso de nacimiento y muerte odelos Poisson. ……………………………………………………………....(" (.- n servidor, fuente finita, cola finita. ……………….…………………………($ (.! n servidor, cola infinita, fuente infinita…………………………………….…*' (." /ervidores m0ltiples, cola infinita, fuente infinita. ……………………………*( (.$ /ervidores m0ltiples, cola finita, fuente finita. ……………………………..…*4 %jercicios resueltos…………………………………………………………………..*! %jercicios propuestos……………………………………………………………..…4'

UNIDAD III:

TEORÍA DE DECISIÓN

*.& Características generales de la teoría de decisiones. ……………………..4* *.( Criterios de decisión determinísticos y pro#a#ilísticos……………………..44 *.* 1alor de la información perfecta. ……………………………………………..4*.4 2r#oles de decisión. …………………………………………………………...4! *.- +eoría de dualidad. ………………………………………………………….…4" *.! ecisiones secuenciales. ………………………………………………….…..43 *." Análisis de sensi#ilidad. …………………………………………………...…..43 %jercicios resueltos…………………………………………………………………..-& %jercicios propuestos………………………………………………………………..--

UNIDAD IV: CADENAS DE MARKOV 4.& )ntroducción. …………………………………………………………………….-$ 4.( ormulación de las cadenas de ar5ov. ……………………………….……-$

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4.* Procesos estocásticos. …………………………………………………….…!' 4.4 Propiedad ar5oviana de primer orden. ……………………………………!' 4.- Pro#a#ilidades de transición estacionarias de un solo paso……………...!& 4.! Pro#a#ilidades de transición estacionarias de n pasos…………………...!* 4." %stados a#sor#entes. …………………………………………………………!4 4.$ Pro#a#ilidades de transición estacionarias de estados esta#les. +iempos de primer paso. ………………………………………………….!%jercicios resueltos…………………………………………………………………!! %jercicios propuestos………………………………………………………………"(

UNIDAD V: OPTIMIZACIÓN DE REDES -.& +erminología……………………………………………………………………"-.( Pro#lema de la ruta más corta. 6edes cíclicas y acíclicas. ………………"" -.* Pro#lema del ár#ol de mínima e7pansión. …………………………………$' -.4 Pro#lema de flujo má7imo. …………………………………………………...$& -.- Pro#lema de flujo de costo mínimo. ………………………………………...$* -.! Programación lineal en teoría de redes. ……………………………………$! -." so de programas de computación. ……………………………………..…$$ %jercicios resueltos……………………………………………………………..….3%jercicios propuestos……………………………………………………………..&'* 8i#iliografía………………………..………………………………………………..&'-

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UNIDAD I:

PROGRAMACIÓN DINÁMICA 1.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA: ETAPAS, ESTADOS, FÓRMULA RECURSIVA, PROGRAMACIÓN EN AVANCE Y EN RETROCESO 9a programación dinámica es una tcnica matemática ;ue se utili, y enla, y a las decisiones ;ue se plantearán en el futuro. 9a programación dinámica parte de una pe;ue?a porción del pro#lema y llega a la solución óptima para esa pe;ue?a parte del pro#lema, entonces gradualmente se agranda el pro#lema @allando la solución óptima en curso a partir de la anterior. %ste proceso se repite @asta o#tener la solución óptima del pro#lema original. %l pro#lema de la diligencia es un prototipo literal de los pro#lemas de programación dinámica. Por tanto una manera de reconocer una situación ;ue se puede formular como un pro#lema de programación dinámica es poder identificar una estructura análoga a la del pro#lema de la diligencia.

Cara!"r#$!%a$ &'$%a$. &. %l pro#lema se puede dividir en etapas ;ue re;uieren una política de decisión en cada una de ellas. (. Cada etapa tiene cierto n0mero de estados asociados con su inicio. 9os estados son las distintas condiciones posi#les en las ;ue se puede encontrar el sistema en cada etapa del pro#lema. *. %l efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa. 4. %l procedimiento de solución está dise?ado para encontrar una política óptima para el pro#lema completo. 4

-. ado el estado actual, una política óptima para las etapas restantes es independiente de la política adoptada en etapas anteriores. %ste es el principio de optimalidad para programación dinámica. !. %l procedimiento de solución se inicia al encontrar la política óptima para la 0ltima etapa. ". /e dispone de una relación recursiva ;ue identifica la política óptima para la etapa n, dada la política óptima para la etapa nB&. 9a forma precisa de relación recursiva difiere de un pro#lema a otro de programación dinámica, pero usaremos una notación análoga a la siguiente:  D n0mero de etapas. n D eti;ueta para la etapa actual = n D &,(,...,> sn D estado actual para la etapa n 7n D varia#le de decisión para la etapa n 7nE D valor óptimo de 7n =dado sn> fn=sn,7n> D contri#ución a la función o#jetivo de las etapas n, nB&,...,, si el sistema se encuentra en el estado sn en la etapa n, la decisión inmediata es 7n y en adelante se toman decisiones óptimas. fnE=sn> D fn=sn,7nE> 9a relación recursiva siempre tendrá la forma: fnE=sn> D mín fn=sn,7n> ó fnE=sn> D ma7 fn=sn,7n> $. Cuando se usa esta relación recursiva, el procedimiento de solución comien
Pr(")%*%"+!( )" $(-%+. &. /e construye una relación recursiva ;ue identifica la política óptima para cada estado en la etapa n, dada la solución óptima para cada estado en la etapa n B l. (. /e encuentra la decisión óptima en la 0ltima etapa de acuerdo a la política de decisión esta#lecida. Com0nmente la solución de esta 0ltima etapa es trivial, es decir, sin ning0n mtodo esta#lecido, tomando en cuenta solamente la Fcontri#uciónF de la 0ltima etapa. *. 9a idea #ásica detrás de la relación recursiva es tra#ajar F@acia atrásF, preguntándose en cada etapa: G;u efecto total tendría en el pro#lema si tomo una decisión particular en esta etapa y act0o óptimamente en todas las etapas siguientesH

5

/i se resolviera el pro#lema F@acia adelanteF, es decir, de la primera etapa @acia la sería necesario reali
1./ E0EMPLOS DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA E r(&"*a )" a )%%2"+%a. n ca se muestra en la ta#la siguiente.

E r(&"*a )" a$ *(+")a$. Para el pro#lema de las monedas con programación dinámica se necesita crear un algoritmo ;ue permita a una má;uina e7pendedora devolver el cam#io mediante el menor n0mero de monedas posi#le. ediante la programación dinámica se solucionará el caso en el ;ue el n0mero de monedas de cada tipo es ilimitado. %n el pro#lema de las monedas mediante el algoritmo vora< el ;ue el n0mero de monedas es ilimitado.

6

E r(&"*a )" a *(3%a. /ean n o#jetos no fracciona#les de pesos pi y #eneficios #i. %l peso má7imo ;ue puede llevar la moc@ila es C. Iueremos llenar la moc@ila con o#jetos, tal ;ue se ma7imice el #eneficio. 9os pasos ;ue vamos a seguir son los siguientes: • • •

1er ;ue se cumple el principio de optimalidad de 8ellman. 8uscar ecuaciones recurrentes para el pro#lema. Construir una ta#la de valores a partir de las ecuaciones.

1.4 PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA 9os pro#lemas determinísticos de programación dinámica son a;uellos en los cuales el estado asociado en la etapa siguiente está totalmente determinado por el estado y la política de decisión de la etapa actual. 9a siguiente figura descri#e el funcionamiento de la programación dinámica determinística.

Sn

Sn+1 Contribución al objetivo

f n (Sn,Xn)

Cn (Xn)

f n+1* (Sn+1* )

9os pro#lemas de programación dinámica determinística son a;ullos en los ;ue el estado en la etapa siguiente ;ueda completamente determinado por el estado y la política en la etapa actual. na manera de catalogar los pro#lemas de programación dinámica determinística es por la forma de la función o#jetivo. Por ejemplo, el o#jetivo podría ser minimi


1.5 PROGRAMACIÓN DINÁMICA PROBABILÍSTICA 9a programación dinámica pro#a#ilística difiere de la programación dinámica determinística en ;ue el estado de la etapa siguiente no ;ueda completamente determinado por el estado y la decisión de la política en el estado actual. %n lugar de ello e7iste una distri#ución de pro#a#ilidad para lo ;ue será el estado siguiente. /in em#argo, esta distri#ución de pro#a#ilidad todavía esta completamente determinada por el estado y la decisión de la política del estado actual. %n la siguiente figura se descri#e diagramáticamente la estructura #ásica ;ue resulta para la programación dinámica pro#a#ilística, en donde  denota el n0mero de estados posi#les en la etapa nB&. Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados y decisiones posi#les en todas las etapas, a veces reci#e el nom#re de ár#ol de decisión. /i el ár#ol de decisión no es demasiado grande, proporciona una manera 0til de resumir las diversas posi#ilidades ;ue pueden ocurrir.

1.6 PROBLEMA DE DIMENSIONALIDAD  EN PROGRAMACIÓN DINÁMICA 9a programación dinámica tradicional permite o#tener las trayectorias óptimas de control para procesos no lineales, variantes, con cual;uier tipo de funcional o índice de desempe?o y con restricciones en las varia#les. 9os algoritmos pueden ser programados en cual;uier sistema de cómputo digital ampliamente disponi#les en la actualidad. 9a aplicación de estos algoritmos a sistemas continuos e7ige la discreti
!

Por otro lado, las ventajas significativas ;ue ofrece la programación dinámica para la solución de pro#lemas de control óptimo, tales como, la o#tención de una solución óptima glo#al, el tratamiento de sistemas no lineales y variantes, la utili
"

E0ERCICIOS RESUELTOS E7"r%%( 8 1 Considere la siguiente red en la ;ue cada n0mero junto a una ligadura representa la distancia real entre el par de nodos ;ue conecta. %l o#jetivo es encontrar la ruta mas corta del origen al destino. tilice programación dinámica para resolver este pro#lema construyendo manualmente las ta#las usuales para nD*, nD( y nD&.

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Ruta:  'L8LL+

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E7"r%%( 8 / na compa?ía esta planeando una estrategia de pu#licidad durante el a?o pró7imo para sus * productos mas importantes. Como los * son #astante diferentes, cada esfuer para los diferentes gastos en pu#licidad: Masto pu#licidad & ( * 4

en Producto & " &' &4 &"

Producto (

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tilice programación dinámica para resolver este pro#lema.

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11

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12

J( D & J( D ( J( D * J( D 4

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13

E7"r%%( 8 4 %l Norld Oealt@ Council, se dedica a mejorar la atención mdica en los países su#desarrollados del mundo. ispone de - #rigadas mdicas para asignarlas a * de estos países con el fin de mejora el cuidado de la salud, la educación para la salud y los programas de capacitación, entones, el consejo necesita determinar cuantas #rigadas de#e asignar =si lo @ace> a cada uno de estos países para ma7imi. %n la ta#la siguiente se dan las estimaciones de estos a?os de vida adicionales de vida por persona =en m0ltiplos de mil> para cada país y para cada n0mero posi#le de #rigadas mdicas asignadas. GCual es la asignación ;ue ma7imi
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14

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J( D ' J( D & J( D ( J( D *

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J( D ' J( D & J( D ( J( D * J( D 4

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D &'' D &'' D &&D &(D &&'

J( D ' J( D & J( D ( J( D * J( D 4 J( D -

f (=-,'> D P(='> B f *E=-'> D 'B&*' D &*' f (=-,&> D P(=&> B f *E=-&> D ('B&'' D &(' f (=-,(> D P(=(> B f *E=-(> D 4-B$' D &(f (=-,*> D P(=*> B f *E=-*> D "-B"' D &4f (=-,4> D P(=4> B f *E=-4> D &&'B-' D &!' f (=-,-> D P(=-> B f *E=--> D &-'B' D &-' J(

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D &!' D &"' D &!D &!' D &-D &('

16

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E7"r%%( 8 5 na estudiante universitaria tiene " días para preparar los e7ámenes finales de 4 cursos y ;uiere asignar el tiempo ;ue tiene para estudiar de la manera más eficiente posi#le. ecesita por lo menos un día para cada curso y ;uiere concentrarse solo en un curso cada día, por lo ;ue ;uiere asignar &, (, * ó 4 días a cada curso. Como @ace poco tomó un curso de investigación de operaciones, @a decidido aplicar programación dinámica para @acer estas asignaciones ;ue ma7imicen el total de puntos o#tenidos en los 4 cursos. %stima ;ue las distintas opciones de días de estudio redituarán puntos de calificación seg0n la siguiente ta#la:

0mero ías & ( * 4

Puntos de calificación estimados de Curso & Curso ( Curso * * ! "

! 3

( 4 " $

Curso 4 ! " 3 3

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J* D & J* D ( J* D * J* D & J* D ( J* D * J* D 4

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E7"r%%( 8 6 na compa?ía está a punto de introducir un nuevo producto al mercado muy competido y está planeando su estrategia de comerciali
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E0ERCICIOS PROPUESTOS E7"r%%( Pr(-"$!( 8 1 %l gerente de ventas de una editorial de li#ros de te7to universitarios tiene seis agentes de ventas ;ue puede asignar a tres regiones distintas del país. Oa decidido ;ue cada región de#e tener por lo menos un agente y ;ue cada agente individual de#e ;uedar restringido a una de estas regiones con el fin de ma7imi
6egión & *4$ "' $3

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E7"r%%( Pr(-"$!( 8 / na campa?a política se encuentra en su 0ltima etapa y las preliminares indican ;ue la elección está pareja. no de los candidatos tiene suficientes fondos para comprar tiempo de +1 por un total de - comerciales en @oras de mayor audiencia en estaciones locali
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21

tilice programación dinámica para determinar como de#en distri#uirse los - comerciales entre las 4 áreas con el fin de ma7imi
E7"r%%( Pr(-"$!( 8 4 %l propietario de una cadena de tres supermercados compró - cargas de fresas frescas. 9a distri#ución de pro#a#ilidad estimada para las ventas potenciales de las fresas antes de ;ue se ec@en a perder difiere entre los * supermercados. %l propietario ;uiere sa#er como de#e asignar las - cargas a las tiendas para ma7imi
+ienda & ' 3 &4 &" (&

+ienda ( ' ! && &&3 ((

+ienda * ' 4 3 &* &$ ('

tilice programación dinámica para determinas cuantas cargas de#en asignarse a cada tienda para ma7imi
E7"r%%( Pr(-"$!( 8 5 9a presidenta de un partido político en un estado está @aciendo planes para las pró7imas elecciones presidenciales. Cuenta con la cola#oración de ! voluntarios para tra#ajar en los distritos electorales y los ;uiere asignar a 4 distritos de manera ;ue se ma7imice su efectividad. %lla piensa ;ue sería ineficiente asignar un voluntario a más de un distrito pero está dispuesta a no asignar a nadie a cual;uiera de ellos si pueden lograr más en otro distrito. 9a siguiente ta#la da el aumento estimado en el n0mero de votos para el candidato del partido en cada distrito si se asignan distintos n0meros de voluntarios: 1oluntarios ' & ( * 4 !

istrito & ' 4 3 &&$ (( (4

istrito ( ' " && &! &$ (' (&

istrito * ' &' &&$ (& ((

istrito 4 ' ! && &4 &! &" &$ 22

%ste pro#lema tiene varias soluciones optimas so#re cantos voluntarios de#en asignarse a cada distrito a fin de ma7imi
E7"r%%( Pr(-"$!( 8 6 Considere la siguiente red de proyecto para un sistema tipo P%6+, donde el n0mero junto al arco es el tiempo re;uerido para la actividad correspondiente. Considere el pro#lema de encontrar la trayectoria más grande =el mayor tiempo total> a travs de esta red desde el vento uno =inicio del proyecto> al evento 3 =terminación del proyecto>, ya ;ue la trayectoria más larga es la ruta crítica. a> GCuáles son las etapas y los estados para la formulación de programación dinámica de este pro#lemaH #> tilice programación dinámica para resolver este pro#lema construyendo las ta#las usuales.

23

UNIDAD II:

TEORÍA DE COLAS /.1 INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN. 9as líneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas: Personas esperando para reali. esde la perspectiva de la )nvestigación de Kperaciones, los pacientes ;ue esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas da?adas esperando reparación, tienen muc@o en com0n. Am#os =gente y má;uinas> re;uieren de recursos @umanos y recursos materiales como e;uipos para ;ue se los cure o se los @aga funcionar nuevamente.

/./ DEFINICIONES CARACTERÍSTICAS Y SUPOSICIONES. na cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos ;ue descri#en sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. 9os modelos sirven para encontrar un #uen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. 9os sistemas de colas son modelos de sistemas ;ue proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cual;uier sistema en donde los tra#ajos o clientes llegan #uscando un servicio de alg0n tipo y salen despus de ;ue dic@o servicio @aya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas 9a teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. %sta se presenta, cuando los QclientesR llegan a un QlugarR demandando un servicio a un QservidorR, el cual tiene una cierta capacidad de atención. /i el servidor no está disponi#le inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.  A lo largo del tiempo se producen llegadas de clientes a la cola de un sistema desde una determinada fuente demandando un servicio. 9os servidores del sistema seleccionan miem#ros de la cola seg0n una regla 24

predefinida denominada disciplina de la cola. Cuando un cliente seleccionado termina de reci#ir su servicio =tras un tiempo de servicio> a#andona el sistema, pudiendo o no unirse de nuevo a la fuente de llegadas.

F-"+!" 6eci#e el nom#re de fuente el dispositivo del ;ue emanan las unidades ;ue piden un servicio. /i el n0mero de unidades potenciales es finito, se dice ;ue la fuente es finitaS en caso contrario se dice ;ue es infinita. Cuando la fuente es finita se suele asumir ;ue la pro#a#ilidad de ;ue se produ
T%"*( "+!r" "2a)a$ %7isten dos clases #ásicas de tiempo entre llegadas: eterminístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. n ejemplo clásico es el de una línea de ensam#le, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invaria#les de tiempo. Pro#a#ilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y varia#le. 9os tiempos entre llegadas pro#a#ilísticos se descri#en mediante una distri#ución de pro#a#ilidad.

M"a+%$*($ )" $"r9%%( /e llama capacidad del servicio al n0mero de clientes ;ue pueden ser servidos simultáneamente. /i la capacidad es uno, se dice ;ue @ay un solo servidor =o ;ue el sistema es monocanal> y si @ay más de un servidor, multicanal. %l tiempo ;ue el servidor necesita para atender la demanda de un cliente =tiempo de servicio> puede ser constante o aleatorio.

D%$%%+a )" a (a %n sistemas monocanal, el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo con uno de los siguientes criterios =prioridades>: • • • •

%l ;ue llegó antes. %l ;ue llegó el 0ltimo. %l ;ue menos tiempo de servicio re;uiere. %l ;ue más re;uiere.

25

S--"$!($ %l modelo simple de teoría de colas ;ue se @a definido, se #asa en las siguientes suposiciones: a> n solo prestador del servicio y una sola fase. #> istri#ución de llegadas de poisson donde l D tasa de promedio de llegadas. c> +iempo de servicio e7ponencial en donde m D tasa de promedio del servicio. d> isciplina de colas de servicio primero a ;uien llega primeroS todas las llegadas esperan en línea @asta ;ue se les da servicio y e7iste la posi#ilidad de una longitud infinita en la cola.

/.4 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN. Cara!"r#$!%a$ ("ra!%9a$. edidas de desempe?o para una línea de espera ;ue incluyen la pro#a#ilidad de ;ue no @aya unidades en el sistema, la cantidad promedio en la línea, el tiempo de espera promedio, etc. O"ra%+ )" "$!a)( "$!a&". Kperación normal de la línea de espera despus de ;ue @a pasado por un periodo inicial o transitorio. 9as características operativas de las líneas de espera se calculan para condiciones de estado esta#le. Ta$a *")%a )" "2a)a. Cantidad promedio de clientes o unidades ;ue llegan en un periodo dado. Ta$a *")%a )" $"r9%%(. Cantidad promedio de clientes o unidades ;ue puede atender una instalación de servicio en un periodo dado. L#+"a )" "$"ra )" a+a"$ *;!%"$. 9ínea de espera con dos o más instalaciones de servicio paralelas. B(<-"a)(. Cuando las unidades ;ue llegan no pueden entrar a la línea de espera de#ido a ;ue el sistema está lleno. 9as unidades #lo;ueadas pueden ocurrir cuando no se permiten las líneas de espera o cuando las líneas de espera tienen una capacidad finita. P(&a%+ %+=%+%!a. Po#lación de clientes o unidades ;ue pueden #uscar servicio, no tiene un límite superior especificado. P(&a%+ =%+%!a. Po#lación de clientes o unidades ;ue pueden #uscar servicio, tiene un valor fijo y finito. sualmente siempre es com0n utili
26

P'D Pro#a#ilidad de ;ue no @aya clientes en el sistema 9;D 0mero de clientes promedio en una línea de espera 9D 0mero de clientes promedio en el sistema =Clientes en cola y clientes ;ue están siendo atendidos>. N;D +iempo promedio ;ue un cliente pasa en la línea de espera. ND +iempo total promedio ;ue un cliente pasa en el sistema. PnD Pro#a#ilidad de ;ue @aya n clientes en el sistema. PTD Pro#a#ilidad de ;ue un cliente ;ue llega tenga ;ue esperar por el servicio. +odas estas características operativas de estado esta#le se o#tienen mediante formulas ;ue dependen del tipo de modelo de línea de espera ;ue se este manejando. Para calcular stas, se necesitan los siguientes datos: UD la cantidad promedio de llegadas por periodo =la tasa media de   llegadas> VD la cantidad promedio de servicios por periodo =la tasa media de servicio>

/.5 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE. MODELOS POISSON. 9a mayor parte de los modelos elementales de colas suponen ;ue las entradas =llegada de clientes> y las salidas =clientes ;ue se van> del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. %ste importante proceso de teoría de pro#a#ilidad tiene aplicaciones en varias áreas. /in em#rago en el conte7to de la teoría de colas, el trmino nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el trmino muerte se refiere a la salida del cliente servido. %l estado del sistema en el tiempo t =t '>, denotado por  =t>, es el n0mero de clientes ;ue @ay en el sistema de colas en el tiempo t. %l proceso de nacimiento y muerte descri#e en trminos pro#a#ilísticos cómo cam#ia  =t> al aumentar t. %n general, dice ;ue los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. e manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes: SUPOSICIÓN 1. ado  =t> D n, la distri#ución de pro#a#ilidad actual del tiempo ;ue falta para el pró7imo nacimiento =llegada> es e7ponencial con parámetro =nD',&,(,….>.

2

SUPOSICIÓN 2.  ado  =t> D n, la distri#ución de pro#a#ilidad actual del tiempo ;ue falta para la pró7ima muerte =terminación de servicio> es e7ponencial con parámetro =nD&,(,….>. SUPOSICIÓN 3. 9a varia#le aleatoria de la suposición & =el tiempo ;ue falta @asta el pró7imo nacimiento> y la varia#le aleatoria de la suposición ( =el tiempo ;ue falta @asta la siguiente muerte> son mutuamente independientes. %7cepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. /e @an o#tenido algunos resultados so#re esta distri#ución de pro#a#ilidad de  =t> pero son muy complicados para tener un #uen uso práctico. Por otro lado, es #astante directo derivar esta distri#ución despus de ;ue el sistema @a alcan.

D%$!r%&-%+ )" "2a)a$. efinir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distri#ución de pro#a#ilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muc@as situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrirá. %n tales casos, los analistas cuantitativos @as encontrado ;ue la distri#ución de pro#a#ilidad de Poisson proporciona una #uena descripción del patrón de llegadas. 9a función de pro#a#ilidad de Poisson proporciona la pro#a#ilidad de 7 llegadas en un periodo específico. 9a función de pro#a#ilidad es como sigue: P=7>D V7eU 7W para 7D ',&,(,…

/.6 UN SERVIDOR, FUENTE FINITA, COLA FINITA. Para los modelos de línea de espera introducidos @asta a@ora, la po#lación de unidades o clientes ;ue llegan para servicio se @an considerado ilimitadas. %n trminos tcnicos, cuando no se pone límite respecto a cuántas unidades pueden #uscar servicio, se dice ;ue el modelo tiene una po#lación infinita. 8ajo esta suposición, la tasa media de llegada U permanece constante sin importar cuántas unidades @ay en el sistema de línea de espera. %sta suposición de una po#lación infinita se @ace en la mayoría de los modelos de 2!

línea de espera. %n otros casos, se asume ;ue la cantidad má7ima de unidades o clientes ;ue pueden #uscar servicio es finita. %n esta situación, la tasa media de llegada para el sistema cam#ia, dependiendo de la cantidad de unidades en la línea de espera y se dice ;ue el modelo de línea de espera tiene una po#lación finita. 9as fórmulas para las características operativas de los modelos de línea de espera anteriores de#en modificarse para e7plicar el efecto de la po#lación finita. %l modelo de po#lación finita ;ue se e7pone en esta sección se #asa en las siguientes suposiciones. 1. 9as llegadas para cada unidad siguen una distri#ución de pro#a#ilidad de Poisson, con una tasa media de llegada U. 2. 9os tiempos de servicio siguen una distri#ución de pro#a#ilidad e7ponencial, con una tasa media de servicio V. 3. 9a po#lación de unidades ;ue pueden #uscar servicio es fini ta. Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce como modelo XX& con una po#lación finita. 9a tasa de llegada media para el modelo XX& con una po#lación finita se define en función de cuán a menudo llega o #usca servicio cada unidad. %sta situación difiere de la de modelos de línea de espera anteriores en los ;ue U denota#a la tasa media de llegada para el sistema. Con una po#lación finita, la tasa media de llegada para el sistema varía, dependiendo de la cantidad de unidades en el sistema. %n lugar de ajustar para la tasa de llegada del sistema cam#iante, en el modelo de po#lación finita U indica la tasa media de llegada para cada unidad.

Cara!"r#$!%a$ ("ra!%9a$ ara, " *()"( M>M>1 (+ -+a (&a%+ =%+%!a )" )"*a+)a+!"$. 9as siguientes formulas se usan para determinar las características operativas de estado esta#le para el modelo XX& con una po#lación finita donde: U D la tasa media de llegada para cada unidad VD la tasa media de servicio   el tama?o de la po#lación &. Pro#a#ilidad de ;ue no @aya unidades en el sistema:

2"

(. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera:

*. Cantidad promedio de unidades en el sistema:

4. +iempo promedio ;ue pasa una unidad en la línea de espera:

-. +iempo promedio ;ue pasa una unidad en el sistema:

!. Pro#a#ilidad de ;ue una unidad ;ue llega tenga ;ue esperar por el servicio:

.

Pro#a#ilidad de n unidades en el sistema:

/.? UN SERVIDOR, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA. 9as fórmulas ;ue pueden usarse para determinar las características ope rativas de estado esta#le para una línea de espera de un solo canal se citarán más adelante. 9as fórmulas son aplica#les si las llegadas siguen una distri#ución de pro#a#ilidad de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distri#ución de pro#a#ilidad e7ponencial. ostramos cómo pueden usarse las fórmulas para determinar las características de operación de un sistema de un servidor, cola infinita y fuente infinita, y por tanto, proporcionarle a la administración información 0til para la toma de decisiones. 9a metodología matemática usada para derivar las fórmulas para las características operativas de las líneas de espera es #astante compleja. /in em#argo, el propósito no es proporcionar el desarrollo teórico de estos modelos, sino mostrar cómo las fórmulas ;ue se @an ela#orado pueden dar información acerca de las características operativas de la línea de espera.

3#

Cara!"r#$!%a$ ("ra!%9a$. 9as fórmulas siguientes pueden usarse para calcular las características operativas de estado esta#le para una línea de espera de un solo canal con llegadas de Poisson y tiempos de servicio e7ponenciales, donde: UD la cantidad promedio de llegadas por periodo =la tasa media de llegada>. VD la cantidad promedio de servicios por periodo =la tasa media de servicio>. P'D Pro#a#ilidad de ;ue no @aya clientes en el sistema:

9;D 0mero de clientes promedio en una línea de espera:

9D 0mero de clientes promedio en el sistema =Clientes en cola y clientes ;ue están siendo atendidos>:

N;D +iempo promedio ;ue un cliente pasa en la línea de espera:

ND +iempo total promedio ;ue un cliente pasa en el sistema.

PnD Pro#a#ilidad de ;ue @aya n clientes en el sistema.

31

PTD Pro#a#ilidad de ;ue un cliente ;ue llega tenga ;ue esperar por el servicio.

/.@ SERVIDORES MLTIPLES, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA. na línea de espera con canales m0ltiples consiste en dos o más canales de servicio ;ue se supone son idnticos desde el punto de vista de su capacidad. %n el sistema de canales m0ltiples, las unidades ;ue llegan esperan en una sola línea y luego pasan al primer canal disponi#le para ser servidas. 9a operación de un solo canal de 8urger ome puede e7pandirse a un sistema de dos canales al a#rir un segundo canal de servicio. 9a siguiente figura muestra un diagrama de la línea de espera de dos canales de 8urger ome. %n esta sección presentamos fórmulas ;ue pueden usarse para determinar las características operativas de estado esta#le para una línea de espera de varios canales. %stas fórmulas son aplica#les si e7isten las siguientes condiciones. &.9as llegadas siguen una distri#ución de pro#a#ilidad de Poisson. (.+iempo de servicio para cada canal sigue una distri#ución de pro#a#ilidad e7ponencial. *. 9a tasa media de servicio V es la misma para cada canal. 4. 9as llegadas esperan en una sola línea de espera y luego pasan al primer canal disponi#le para el servicio.

Cara!"r#$!%a$ O"ra!%9a$

32

Pueden usarse las siguientes fórmulas para calcular las características operativas de estado esta#le para líneas de espera con canales m0ltiples, donde: U. la tasa media de llegada para el sistema. V. la tasa media de servicio para cada canal. !." la cantidad de canales. P'D Pro#a#ilidad de ;ue no @aya clientes en el sistema

9;D 0mero de clientes promedio en una línea de espera

9D 0mero de clientes promedio en el sistema =Clientes en cola y clientes ;ue están siendo atendidos>.

N;D +iempo promedio ;ue un cliente pasa en la línea de espera.

ND +iempo total promedio ;ue un cliente pasa en el sistema.

PnD Pro#a#ilidad de ;ue @aya n clientes en el sistema.

PTD Pro#a#ilidad de ;ue un cliente ;ue llega tenga ;ue esperar por el servicio: 33

e#ido a ;ue V es la tasa media de servicio para cada canal, ! V es la tasa media de servicio para el sistema de canales m0ltiples. Como sucedió con el modelo de línea de espera de un solo canal, las fórmulas para las características operativas de las líneas de espera con m0ltiples canales sólo pueden aplicarse en situaciones donde la tasa media de servicio para el sistema es mayor ;ue la tasa media de llegadasS en otras pala#ras, las fórmulas son aplica#les sólo si ! V es mayor ;ue U.

/. SERVIDORES MLTIPLES, COLA FINITA, FUENTE FINITA. %ste tipo de modelo es el XXc : MXYXY, donde el límite del sistema es finito igual a S eso ;uiere decir ;ue el tama?o má7imo de la cola es  Z c. 9as tasas de llegada y de servicio son U y V. 9as características operativas para este sistema se calculan como sigue:

Pro#a#ilidad de n unidades en el sistema:

Pro#a#ilidad de ;ue no @aya unidades en el sistema:

34

Cantidad de unidades promedio en la línea de espera:

Para determinar N;, N y 9, se calcula el valor de Uef como sigue:

E0ERCICIOS RESUELTOS E7"r%%( R"$-"!( 8 1 arty[s 8ar#er /@op tiene una pelu;uería. 9os clientes llegan a la tasa de (.( clientes por @ora, y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de cinco 35

por @ora. se el modelo de llegadas de Poisson y tiempos de servicios e7ponenciales para responder las siguientes preguntas. a.GCual es la pro#a#ilidad de ;ue no @aya unidades en el sistemaH #.GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue un cliente este reci#iendo un corte de pelo y nadie este esperadoH c.GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue un cliente este reci#iendo un corte de pelo y un cliente este esperandoH d.GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue un cliente este reci#iendo un corte de pelo y dos cliente este esperandoH U D (.( clientesX@r. D '.'*" clientesXmin. V D - cortesX@r. D '.'$* cortesXmin. a> P' D &  (.( -

D '.-!

#> P' D (.( -

'

'.-! D '.-!

c> P& D

(.( -

&

'.-! D '.(4!4

d> P( D (.( -

(

'.-! D '.&'$4

E7"r%%( R"$-"!( 8 / NilloT 8roo5 8an5 opera una ventanilla para atención de automovilistas ;ue permite a los clientes completar sus transacciones #ancarias desde sus autos, en las ma?anas de los días @á#iles, las llegadas a las ventanillas ocurren al a
36

calcule las pro#a#ilidades de ;ue llegaran e7actamente ', &, ( y * clientes durante un periodo de cinco minutos. c. /e esperan demoras si llegan más de tres clientes durante cual;uier periodo de cinco minutos. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue ocurran esas demorasH a> '.4 7 - D ( clientesX-min. D U

 b)

=(>' e( 'W

D '.&*-*

P& D =(>& e( &W

D '.("'"

P( D =(>( e( (W

D '.("'"

P* D =(>* e( *W

D '.&$'4

P' D

c> P=demoras> D & Z ='.&*-* B '.("'" B '.("'" B '.&$'4> D '.&4(3

E7"r%%( R"$-"!( 8 4 %n el sistema de línea de NilloT 8roo5 ational 8an5, suponga ;ue los tiempos de servicio para la ventanilla de atención en el automóvil siguen una distri#ución de pro#a#ilidad e7ponencial con una tasa media de servicio de *! clientes por @ora o '.! clientes por minuto. se la distri#ución de pro#a#ilidad e7ponencial para responder las siguientes preguntas. a. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue el tiempo de servicio sea de un minuto o menosH #. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue el tiempo de servicio sea de dos minutos o menosH c. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue el tiempo de servicio sea de mas de do minutosH

a)

P =tiempo de servicio \ & min> D & Z e'.!=&> D '.4-&( 3

 b)

P =tiempo de servicio \ ( min> D & Z e'.!=(> D '.!3$$

c> P =tiempo de servicio ] ( min> D & Z '.!3$$ D '.*'&(

E7"r%%( R"$-"!( 8 5 9os pacientes llegan a un consultorio de un dentista a un tasa media de (.$ pacientes por @ora. %l dentista puede tratar a los pacientes a una tasa media de * pacientes por @ora. n estudio de los tiempos de espera de los pacientes muestra ;ue, en promedio, un paciente espera *' min de ver al dentista. a> GCuáles son las tasas medias de llegada y de tratamiento en función de pacientes por minutoH #> GCuál es la cantidad promedio de pacientes en la sala de esperaH c> /i un paciente llega a las &': &' A. . GA ;ue @ora se espera ;ue salga del consultorioH λ  D (.$ pacientes X @rs. µ  D * pacientes X @rs.

N; D *' min.  D (.$ X !' D '.'4!" pacientes X min. µ  D * X !' D '.'- pacientes X min. a) λ

#> 9; D ='.'4!" E *'> D &.4'& pacientes N; D *' min. N D *' B =&X'.'-> D -' minutos &': &' B -' min. D &&: '' A. . c)

E7"r%%( R"$-"!( 8 6 9os tra#ajos llegan en forma aleatoria a una planta de ensam#ladoS suponga ;ue la tasa media de llegada es de - tra#ajos por @ora. 9os tiempos de servicio =en minutos por tra#ajo> no siguen la distri#ución la pro#a#ilidad

3!

e7ponencial. A continuación se muestra dos dise?os propuestos para la operación de ensam#lado de la planta. +)%PK % /%61)C)K )/%^K %)A %/1)AC)_ %/+2A6  A !. ' *. ' 8 !. ('. ! a> GCuál es la tasa media de servicio en tra#ajos por @ora para cada dise?oH #> Para las tasas medias d e servicio en el inciso a, GIu dise?o parece proporcionar la tasa de servicio mejor o mas rápidaH c> GCuáles son las desviaciones estándar de los tiempos de servicio en @orasH d> se el modelo X M X & para calcular las características operativas para cada dise?o e> GCuál dise?o proporciona las mejores características operativasH GPor ;uH λ  D - tra#ajos X @ra D '.'$** tra#ajos X min.

a> Para A. µ  D !.' min. X tra#ajo D &' tra# X @ra D '. &!" tra#ajos X min. Para 8. µ  D !.(- min. X tra#ajo D 3.! tra#ajos X @ora D '.&! tra#ajos X min. #> 9a del dise?o A c>  A. σ  D *.' min X !' min. D '.'- @rs   8. σ  D .! min X !' min. D '.'& @rs d>   A. Po D & Z -X&' D '.9; D =- ( E '.'- ( >B =- X&'>( D '.*&(- tra#ajos (E =&=-X&'> 9 D '.*&(- B -X&' D '.$&(- tra#ajos N; D '.*&(- X - D '.'!(- @rs. N D '.'!(- B &X &' D '.&!(- @rs. PT D -X&' D '.8. Po D & Z -X 3.! D '.4"3( 9; D =- ( E '.'& (> B =-X3.!> ( D '.($-" tra#ajos ( E =& Z ->X3.!>

3"

9 D '.($-" B -X3.! D '.$'!- tra#ajos N; D '.($-"X - D '.'-"& @rs N D '.($-" B &X3.! D '.&!&* @rs PT D - X 3.! D '.-('$ e> %l dise?o 8. por;ue tiene un tiempo de espera ligeramente menor y e7iste mayor pro#a#ilidad de ;ue no @aya ning0n cliente en la fila.

E0ERCICIOS PROPUESTOS E7"r%%( Pr(-"$!( 8 1 %l escritorio de referencias de una #i#lioteca universitaria reci#e solicitudes de ayuda. /uponga ;ue puede usarse una distri#ución de pro#a#ilidad de Poisson, con una tasa media de &' solicitudes por @ora ;ue descri#e el patrón de llegada y ;ue los tiempos de servicio siguen una distri#ución de pro#a#ilidad e7ponencial, con una tasa media de servicio de &( solicitudes de ayuda en el sistemaH a. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue no @aya solicitudes de ayuda en el sistemaH #. GCuál es la cantidad promedio de solicitudes ;ue esperan por el servicioH c. GCuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de ;ue empiece el servicioH d. GCuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencias en minutos =tiempos de espera mas tiempo de servicioH e. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue una nueva llegada tenga ;ue esperar por el servicioH

E7"r%%( Pr(-"$!( 8 / %l gerente de la marina ore and Aft desea investigar la posi#ilidad de agrandar el muelle de modo de ;ue dos em#arcaciones puedan detenerse para cargar com#usti#le y reci#ir servicio de manera simultanea. /uponga ;ue la tasa media de llegada es de - yates por @ora y ;ue la tasa media de servicio para cada canal es de &' por @ora. a> GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue el muelle estará ociosoH #> GCuál es a cantidad promedio de em#arcaciones ;ue estará esperando por servicioH c> GCuál es el tiempo promedio ;ue pasara una em#arcación esperando por servicio en el muelleH d> GCuál es el tiempo promedio ;ue pasara un #ote en el muelleH e> /i usted fuera el gerente de la marina ore and Aft, G%staría satisfec@o con el nivel d servicio ;ue proporcionara su sistemaH GPor ;uH

4#

E7"r%%( Pr(-"$!( 8 4 n estudio de una operación de servicio de comidas con canales m0ltiples en el par;ue de #is#ol 6ed 8irds muestra ;ue el tiempo promedio entre la llegada de un cliente al mostrador y su partida con un pedido surtido es de &' minutos. urante el juego, los clientes llegan a una tasa promedio de 4 por minuto. 9a operación de servicio de comida re;uiere un promedio de ( minutos por pedido del cliente. a> GCuál es la tasa media de servicio por canal en función de clientes por minutoH #> GCuál es el tiempo de espera promedio en la línea antes de colocar un pedidoH c> %n promedio GCuántos clientes @ay en el sistema del servicio de comidasH

E7"r%%( Pr(-"$!( 8 5 *.ovies +onig@t es un esta#lecimiento típico de renta de videos y 1 para clientes ;ue ven películas en casa. urante las noc@es entre semana, los clientes llegan a ovies +onig@t a una tasa promedio de &.(- clientes por minuto. %l dependiente del mostrador puede atender un promedio de dos clientes por minuto. /uponga llegadas de Poisson y tiempos de servicio e7ponenciales. a. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue no @aya clientes en el sistemaH #. GCuál es la cantidad promedio de clientes ;ue esperan por el servicioH c. GCuál es el tiempo promedio ;ue espera un cliente para ;ue comience el servicioH d. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue un cliente ;ue llega tenga ;ue esperar por el servicioH e. G 9as características operativas indican ;ue el sistema de mostrador con un solo dependiente proporciona un nivel de servicio acepta#leH

E7"r%%( Pr(-"$!( 8 6 /peedy Kil proporciona un servicio de un solo canal de cam#io de aceite y lu#ricación de automóviles. 9as llegadas nuevas ocurren a una tasa de (.automóviles por @ora y la tasa media de servicio es de cinco automóviles por @ora. /uponga ;ue las llegadas siguen una distri#ución de pro#a#ilidad de Poisson y ;ue los tiempos de servicio ;ue siguen una distri#ución e7ponencial. a. GCuál es la capacidad promedio de automóviles en el sistemaH #. GCuál es el tiempo promedio ;ue espera un automóvil para ;ue comience el servicio de aceite y lu#ricaciónH c. GCuál es el tiempo promedio ;ue pasa un automóvil en el sistemaH

41

d. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue una llegada tenga ;ue esperar por el servicioH

UNIDAD III:

TEORÍA DE DECISIÓN

42

4.1 4.1 CARA CARACT CTE ERÍ RÍS STIC TICAS GENE GENERA RALE LES S DE LA TEO TEORÍ RÍA A DE DECISIONES. %n lugar de tomar decisiones en periodo largo, la preocupación a@ora se refiere a tomar ;ui<á una sola decisión =o a lo más una secuencia de unas cuantas decisiones> so#re ;ue @acer en el futuro inmediato. o o#stante, todavía todavía se tienen tienen factores factores aleatorios fuera de nuestro nuestro control control ;ue crean cierta incertidum#re so#re el resultado de cada uno de los diferentes cursos de acción. %l anál anális isis is de deci decisi sion ones es prop propor orci cion ona a un marc marco o conc concep eptu tual al y una una meto metodo dolo logí gía a para para la toma toma de deci decisi sion ones es racio raciona nall en este este cont conte7 e7to to.. na na pregunta ;ue surge con frecuencia es si tomar la decisión necesaria en este momento o @acer primero algunas prue#as =con alg0n costo> para reducir el nivel de incertidum#re so#re el resultado de la decisión. Por ejemplo, la prue#a puede ser reali
E7"*( r(!(!%(. 9a MK%686K`% CKPA es due?a de unos terrenos en los ;ue puede @a#er petróleo. n geólogo consultor @a informado a la gerencia ;ue piensa ;ue e7iste una posi#ilidad de & a 4 de encontrar petróleo. e#ido a esta posi#ilidad, otra compa?ía petrolera @a ofrecido comprar las tierras en 3' '''. /in em#argo, la Mofer#ro5e está considerando conservarla para perforar ella misma. /i encuentra petróleo, la ganancia esperada de la compa?ía será apro apro7i 7ima mada dame ment nte e de "'' "'' '''S '''S incu incurri rrirá rá en una una prd prdid ida a de &'' &'' ''' ''' si encuentra un po. /in em#argo, otra opción anterior a tomar una decisión es llevar a ca#o una e7ploración sísmica detallada en el área área para para o#te o#tene nerr una una mejo mejorr estim estimac ació ión n de la pro# pro#a# a#ili ilida dad d de enco encont ntra rarr petróleo. %ste caso es de una toma de decisiones con e#$e%imentación, y en ese momento se proporcionarán los datos adicionales necesarios. %sta compa?ía está operando sin muc@o capital por lo ;ue una prdida de &'' ''' sería #astante seria.

43

4./ CRITERIOS DE PROBABILÍSTICOS.

DECISIÓN

DETERMINÍSTICOS

Y

D"!"r*%+#$!%($. 9os enfo enfo; ;ues ues de la tom toma de decis ecisio ione ness ;ue no re;u re;uie iere ren n un conocimiento de las pro#a#ilidades de los estados de la naturale
%nfo;ue conservador  %l en&o'ue conse%(ado%  eval0a cada alternativa de decisión desde el punto de vista del $eo% del  $eo% resultado ;ue pueda ocurrir. 9a alternativa de decisión recomendada es la ;ue proporciona el mejor de los peores resultados posi#les. Para un pro#lema en el ;ue la medida de salida es la ganancia el enfo;ue conservador conduciría al tomador de decisiones a elegir la alternativa ;ue ma7imi
44

posi#le y luego recomienda la alternativa de decisión ;ue evita la posi#ilidad de resultados e7tremadamente FmalosF.

Pr(&a&%#$!%($. %n muc@ muc@as as situ situac acio ione ness de toma toma de deci decisi sion ones es pode podemo moss o#te o#tene nerr evaluaciones de pro#a#ilidad para los estados de la naturale
%l (alo% %l (alo% es$e%ado )-+ de la alternativa de decisión d & se define como sigue:

%n pala#ras, el valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los resultados ponderados para la alternativa de decisión. %l peso para un resu resultltad ado o es la pro# pro#a# a#ililida idad d del del esta estado do de la natu natura rale< le
4.4 VALOR DE LA INFORMACIÓN PERFECTA.  Antes de reali ;ue la e7perimentación eliminará toda la incertidum#re so#re cuál es el estado de la naturale. %sta cantidad, cantidad, llamada llamada (alo% (alo% es$e%ado es$e%ado de la in&o%mación in&o%mación $e%&ecta proporciona una 45

cota superior para el valor potencial del e7perimento. %ntonces, si esta cota superior es menor ;ue el costo del e7perimento, este definitivamente de#e llevarse a ca#o. /uponga ;ue el e7perimento puede identificar de manera definitiva cual es el verdadero estado de la naturale re;uiere ponderar el pago má7imo para cada estado de la naturaleS ste se calcula como: 1%)PD pago esperado con información perfecta Z pago esperado sin e7perimentación.  Así, como la e7perimentación casi nunca puede proporcionar información perfecta, el 1%)P da una cota superior so#re el valor esperado de la e7perimentación.

4.5 ÁRBOLES DE DECISIÓN. n ár#ol decisión proporciona una forma para desplegar visualmente el pro#lema y despus organi
46

9os nodos del ár#ol de decisión se conocen como nodos de decisión y los arcos se llaman %amas. n nodo de decisión, representado por un cuadrado, indica ;ue una decisión necesita tomarse en ese punto del proceso. n nodo de $%oailidad, representado por un círculo, indica ;ue ocurre un evento aleatorio en ese punto.

4.6 TEORÍA DE DUALIDAD. %l dual es un pro#lema de P9 ;ue se o#tiene matemáticamente de un modelo primal de P9 dado. 9os pro#lemas dual y primal están relacionados a tal grado, ;ue la solución símple7 óptima de cual;uiera de los dos pro#lemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro. %l concepto de dualidad indica ;ue para cada pro#lema de P9 @ay una asociación y una relación muy importante con otro pro#lema de programación lineal, llamado precisamente dual. /i el Primal es:

4

á7 b D CJ s.a.  AJ≤  # 7i≥  ' %l ual es: in b D #+ s.a.  A+ ≥ C+ yi≥  '

U$($ )" a =(r*-a%+ )-a. 9as estructuras duales permiten entre otras cosas: a)

6esolver pro#lemas lineales ;ue tienen más restricciones ;ue actividades. Como el grado de dificultad en resolver un programa lineal por medio de una computadora está en función del n0mero de filas de la matri< A y no en el n0mero de columnas, al aplicarse la dualidad a un pro#lema primal donde m  n, se o#tiene otro pro#lema lineal donde el n0mero de filas n es menor al n0mero de columnas m.

b)

Oacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los pro#lemas de programación lineal.

c> Crear nuevos algoritmos para la solución de pro#lemas de redes de optimi Menerar mtodos como el dual simples para el análisis de sensi#ilidad de los programas de programación lineal.

Pr(%")a)"$ )" r%*a  )" )-a. a> /i el Primal es un pro#lema de a7imi, el ual es un pro#lema de inimi.  b)

9os valores de los recursos del Primal son los valores de los coeficientes de la función o#jetivo del ual.  los valores de los coeficientes de la función o#jetivo del Primal son los valores de los recursos del ual.

c)

9a matri< de los coeficientes tecnológicos del ual es la matri< transpuesta de los coeficientes tecnológicos del Primal.  como =A +>+DA entonces el ual=ual>DPrimal.

$)

%l n0mero de restricciones del Primal es igual al n0mero de varia#les de decisión del ual, es decir, por cada restricción del Primal e7iste una varia#le ual asociada. 4!

e)

%l n0mero de varia#les de decisión del Primal es igual al n0mero de restricciones del ual, es decir, por cada varia#le del Primal e7iste una restricción asociada del ual.

f)

/i una restricción del Primal esta en la forma canónica del pro#lema, la varia#le ual asociada es no negativa y viceversa.

%)

/i una restricción del Primal no esta en la forma canónica del pro#lema, la varia#le ual asociada es no positiva y viceversa.

&)

/i una restricción del Prima es una igualdad, la varia#le ual asociada es sin restricción de signo y viceversa.

4.? DECISIONES SECUENCIALES. 9as decisiones secuenciales de inversiones es un caso interesante ;ue se resuelve con lo ;ue se denomina un ár#ol de decisiones. Para estos casos es necesario primero conocer =con una encuesta> las pro#a#ilidades relativas a la preferencia de los mercados con respecto a un nuevo servicio ;ue se desea ofertar y ello arrojaría un  tal ;ue sería el peso su#jetivo ;ue se utili seg0n cada inversión para cada alternativa. Pero siempre considerando el van de la decisión de no @acer nada o sea de seguir con sus servicios actuales. Por ejemplo una empresa operadora de turismo tiene la posi#ilidad de contratar por &' a?os sus servicios para una nueva operación diferente a su actual operación. si sus servicios actuales le proporciona por ejemplo -''.''' unidades monetarias por a?o, y tendría ;ue a#andonar ese servicio para aceptar el nuevo contrato, ;ue incluso le supone reali
4.@ ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. %l análisis de sensi#ilidad puede usarse para determinar cómo los cam#ios en las pro#a#ilidades para los estados de la naturale
las entradas causa un cam#io en la alternativa de decisión recomendada, la solución para el pro#lema de análisis de decisión es sensi#le a esa entrada particular. e#e @acerse un esfuer
E0ERCICIOS RESUELTOS E7"r%%( 8 1 5#

Pinsese a@ora en una empresa de productos alimenticios para ganado, ;ue desea suministrar a la granja tres tipos de pastillas vitamínicas. %sta empresa de#e convencer a los responsa#les de la granja para ;ue aporten las vitaminas ;ue el ganado necesita mediante sus pastillas, y no mediante los preparados ;ue @asta a@ora utili
b)

c)

Cada 5ilogramo del preparado P & aporta - unidades de vitamina A, &.unidades de vitamina 8 y & unidad de vitamina C. %l precio ;ue de#ería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: -y &B&,-y(B&y*. A la granja no le resultarían renta#les las pastillas a no ser ;ue -y &B&,-y(B&y* ≤  (. Cada 5ilogramo del preparado P ( aporta * unidades de vitamina A, * unidades de vitamina 8 y &,- unidades de vitamina C. %l precio ;ue de#ería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: *y &B*y(B&,-y*. A la granja no le resultarían renta#les las pastillas a no ser ;ue *y &B*y(B&,-y* ≤  *. Por supuesto, los precios de las pastillas vitamínicas de#en ser positivos, por tanto se tienen además las condiciones de no negatividad de y&, y( y y*.

/uponiendo ;ue la granja se decida por utili
A9 a7 D (y& B *y( 51

s. a. -y& B *y( ≥  (" &.-y& B *y( ≥  &y& B &.-y( ≥  3 /olución: =&.-> -y& B *y( D ("   =-> &.-y& B *y( D &  ".-y& B 4.-y( D 4'.  ".-y&  &-y( D  " &'.-y( D *4.y( D  *4.- X  &'.y( D *.(3 y& B &.-y( D 3 y& D 3 Z &.-=*.(3> y& D 4.'" a7 D (=4.'"> B *=*.(3> D &$.'&

E7"r%%( 8 / /uponga ;ue de sea invertir &', ''', en el mercado de valores, comprando acciones de una de dos compa?ías: A y 8. 9as acciones de la compa?ía A son arriesgadas, pero podrían producir un rendimiento de -' so#re la inversión durante el pró7imo a?o. /i las condiciones del mercado de valores no son favora#les, las acciones pueden perder el (' de su valor. 9a empresa 8 proporciona utilidades seguras, de &- en un mercado a la al
)nvertir en ercado a la al  -, ''' acciones de A

52

( ercado a la #aja ='.4>

  (, '''

& )nvertir enercado a la al &, -'' acciones de 8

* ercado a la #aja ='.4>

 -''

Para las acciones A D  -, ''' E'.! B =(''> E '.4 D (('' Para las acciones 8 D  &, -'' E '.! B  -'' E '.4 D  &&'' %n #ase a estos cálculos se recomienda invertir en la empresa A.

E7"r%%( 8 4 Pitts#urg@ evelopment Corporation =PC> compro unos terrenos en los ;ue se construirá un nuevo complejo de condominios de lujo. 9a u#icación proporciona una vista espectacular del centro de Pitts#urg y del +riangulo orado, donde se unen los ríos Alleg@eny y ononga@ela para formar el rió K@io. PC planea fijar los precios de las unidades del condominio entre *'', ''' y  & 4'' ''' cada una. PC comisiono los #ocetos ar;uitectónicos preeliminares para tres proyectos de diferente tama?o: uno con *' condominios, otro con !' y uno más con 3'. %l 7ito financiero del proyecto depende del tama?o del complejo de condominios y del evento fortuito para la demanda ;ue e7ista de los inmue#les. %l pro#lema de decisión de PC es seleccionar el tama?o del nuevo proyecto ;ue llevara a la mayor ganancia dada la incertidum#re en la demanda de los condominios. d& D complejo pe;ue?o con *' condominios. d( D complejo mediano con !' condominios. d* D complejo grande con 3' condominios. 9os resultados posi#les para un evento fortuito o estados de la naturale
53

Complejo pe;ue?o, d & Complejo mediano, d ( Complejo grande, d * •

$ &4 ('

%l má7imo de los valores de resultados má7imos es (', por lo ;ue se recomienda la alternativa de decisión de un complejo de condominios grande.

-n&o'ue conse%(ado%  Primero, identificamos el resultado mínimo para cada una de las alternativas de decisiónS luego, seleccionamos la alternativa de decisión ;ue ma7imi
de

6ij D  1 jE  1ij  %l siguiente paso es enlistar el arrepentimiento má7imo para cada alternativa de decisión. +a#la de prdida de oportunidad o arrepentimiento. %stado de la naturale
Complejo mediano, d ( Complejo grande, d *

! '

( &!

 Arrepentimiento má7imo para cada alternativa de decisión  Alternativa de dedición Complejo pe;ue?o, d & Complejo mediano, d ( Complejo grande, d *

Arrepentimiento má7imo &( ! &!

/e toma el mínimo del arrepentimiento má7imo ;ue es !, el cual corresponde a un complejo mediano.

E0ERCICIOS PROPUESTOS E7"r%%( 8 1 +iene usted oportunidad de invertir en tres fondos de a@orros: servicios, de crecimientos agresivos y glo#ales. %l valor de su inversión cam#iara, dependiendo de las condiciones del mercado. Oay &' de pro#a#ilidades de ;ue el mercado #aje, -' de ;ue ;uede esta#le, y 4' de pro#a#ilidades de ;ue su#a. 9a ta#la siguiente muestra el cam#io porcentual en el valor de la inversión #ajo las tres condiciones: 6endimientos en un a?o por inversión de &','''  Alternativa ercado #aja => ercado moderado => ercado su#e /ervicios BB" B$ Crecimiento &' BB*' glo#al B( B" B(' a> 6epresente el pro#lema con un ár#ol de decisión #> GCuál fondo de a@orro de#erá seleccionarH

E7"r%%( 8 / %scri#ir el dual del siguiente pro#lema y determinar su solución óptima usando la #ase primal optima. inimi
55

7&, 7(, 7*, 74 ≥  '

E7"r%%( 8 4 9a siguiente ta#la de resultados muestra las ganancias para un pro#lema de análisis de decisiones con dos alternativas y tres estado de la naturale
%stado de la naturale
&'' &''

("-

Construya un ár#ol de decisión para este pro#lema. /i el tomador de cisiones no sa#e nada so#re las pro#a#ilidades de los tres estados de la naturale
E7"r%%( 8 5 9a decisión de /oTt@land Corporation de producir una línea nueva de productos recreativos a dado como resultado a la necesidad de construir ya sea una planta pe;ue?a o una grande. 9a mejor selección del tama?o de al planta depende de cómo reaccione el mercado a la nueva línea de producción. Para reali
E7"r%%( 8 6

56

9a ta#la de resultados siguiente muestra la ganancia para un pro#lema de decisión con dos estados de la naturale
%stado de la naturale
& *

se una análisis de sensi#ilidad grafico para determinar le rango de pro#a#ilidades del estado de la naturale D '.( y P =s (> D '.$. GCuál es la mejor decisión usando el enfo;ue del valor esperadoH a)

UNIDAD IV: 5

CADENAS DE MARKOV 5.1 INTRODUCCIÓN. %n los pro#lemas de toma de decisiones, con frecuencia surge la necesidad de tomar decisiones #asadas en fenómenos ;ue tienen incertidum#re asociada a ellos. %sta incertidum#re proviene de la variación in@erente a las fuentes de esa variación ;ue eluden el control o proviene de la inconsistencia de los fenómenos naturales. %n lugar de manejar esta varia#ilidad como cualitativa puede incorporarse al modelo matemático y manejarse en forma cuantitativa. Por lo general este tratamiento se puede lograr si el fenómeno natural muestra un cierto grado de regularidad de manera ;ue sea posi#le descri#ir la variación mediante un modelo pro#a#ilístico. %ste capítulo presenta modelos de pro#a#ilidad para procesos ;ue evolucionan en el tiempo de una manera pro#a#ilística. +ales procesos se llaman  $%ocesos estoc0sticos. %l capitulo está dedicado a un tipo especial llamado cadena de a%!o( . 9as cadenas de ar5ov tienen la propiedad particular de ;ue las pro#a#ilidades ;ue descri#en la forma en ;ue el proceso evolucionará en el futuro dependen sólo del estado actual en ;ue se encuentra el proceso y, por tanto son independientes de los eventos ocurridos en el pasado. uc@os procesos se ajustan a esta descripción por lo ;ue las cadenas de ar5ov constituyen una clase de modelos pro#a#ilisticos de gran importancia.

5./ FORMULACIÓN DE LAS CADENAS DE MARKOV. na cadena de ar5ov es una serie de eventos, en la cual la pro#a#ilidad de ;ue ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. %n efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. F6ecuerdanF el 0ltimo evento y esto condiciona las posi#ilidades de los eventos futuros. %sta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de ar5ov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. %n la figura se muestra el proceso para formular una cadena de ar5ovS el generador de ar5ov produce uno de n eventos posi#les. %  j. donde j D &, (, . . . , n, a intervalos discretos de tiempo =;ue no tiene ;ue ser iguales >. 9as pro#a#ilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen del estado del generador. %ste estado se descri#e por el 0ltimo evento generado. %n la figura 4.&.&, el 0ltimo evento generado fue % j. de manera ;ue el generador se encuentra en el estado  j .

5!

9a pro#a#ilidad de ;ue % 5  sea el siguiente evento generado es una pro#a#ilidad condicional: P = % 5 X  j >. %sto se llama pro#a#ilidad de transición del estado  j  al estado % 5. Para descri#ir completamente una cadena de ar5ov es necesario sa#er el estado actual y todas las pro#a#ilidades de transición.

Pr(&a&%%)a)"$ )" !ra+$%%+. na forma de descri#ir una cadena de ar5ov es con un diagrama de estados, como el ;ue se muestra en la figura de a#ajo. %n sta se ilustra un sistema de ar5ov con cuatro estados posi#les :  &, ( , * y 4  . 9a pro#a#ilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica en el diagrama'

Ktro mtodo para e7@i#ir las pro#a#ilidades de transición es usar una mat%i de t%ansición. . 9a matri< de transición para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en la ta#la siguiente .

5"

Ktro mtodo para e7@i#ir las pro#a#ilidades de transición es usar una matri< de transición. . Para n D ', &, (, ....

%l superíndice n no se escri#e cuando n D &.

5.4 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. n proceso estocástico se define sencillamente como una colección inde7ada de varia#les aleatorias  J & , donde el su#índice t toma valores de un conjunto + dado. Con frecuencia + se toma como el conjunto de enteros no negativos y J, representa una característica de inters medi#le en el tiempo t. Por ejemplo, el proceso estocástico, J & , J( , J*, .., Puede representar la colección de niveles de inventario semanales =o mensuales> de un producto dado, o puede representar la colección de demandas semanales =o mensuales> de este producto. n estudio del comportamiento de un sistema de operación durante alg0n periodo suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura. %n puntos específicos del tiempo t , el sistema se encuentra e7actamente en una de un n0mero finito de estados mutuamente e7cluyentes y e7@austivos, eti;uetados ', &, . . , /. 9os periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento puede depender del comportamiento general del sistema en el ;ue se encuentra sumergido el proceso estocástico. Aun;ue los estados pueden constituir una caracteri
5.5 PROPIEDAD MARKOVIANA DE PRIMER ORDEN. n $%oceso ma%!o(iano de o%den 1 es un proceso estocástico de orden & en el cual su pasado no tiene ninguna influencia en el futuro si su presente está especificado.

6#

Cuando una pro#a#ilidad condicional depende 0nicamente del suceso inmediatamente anterior, cumple con el Principio de ar5ov de Primer Krden, es decir:  P ( X  (t  +1)

  j  X  (#)

=

 K # ,  X  (1)

=

 K 1 ,.....,

=

 X  (t )

i)

=

 P ( X  (t  +1)

=

  j  X  (t )

=

i)

=

  p ij

=

D"=%+%%(+"$ "+ ($ r("$($ )" Mar(9 )" r%*"r (r)"+: -stados: 9as condiciones en las cuales se encuentra un ente ó sucesos posi#les. -nsaos: 9as ocurrencias repetidas de un evento ;ue se estudia. P%oailidad de 4%ansición: 9a pro#a#ilidad de pasar de un estado actual al siguiente en un período ó tiempo, y se denota por  p%7 =la pro#a#ilidad de pasar del estado % al estado 7 en una transición ó período>

Cara!"r#$!%a$ )" ($ r("$($ )" Mar(9 )" r%*"r (r)"+: /e pueden usar como modelo de un proceso físico ó económico ;ue tenga las siguientes propiedades:

a Iue la pro#a#ilidad cumpla con el principio de ar5ov. & %7istencia de un n0mero finito de estados. c)

9as $ij son constante con respecto al tiempo ó período.

) %nsayos en períodos iguales. /i un suceso depende de otro además del inmediatamente anterior, este es un proceso de ar5ov de mayor orden. Por ejemplo, un proceso de segundo orden descri#e un proceso en el cual el suceso depende de los dos sucesos anteriores.

5.6 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS DE UN SOLO PASO. na tienda de cámaras tiene en almacn un modelo especial de cámara ;ue se puede ordenar cada semana. /ean d &, d(, ... las demandas de esta cámara durante la primera, segunda, ... , semana, respectivamente. /e supone ;ue las i son varia#les aleatorias independientes e idnticamente distri#uidas ;ue tienen una distri#ución de pro#a#ilidad conocida. /ea J '  el n0mero de cámaras ;ue se tiene en el momento de iniciar el proceso, J & el n0mero de cámaras ;ue se tienen al final de la semana uno, J ( el n0mero de cámaras al final de la semana dos, etc. /uponga ;ue J ' D * . %l sá#ado en la noc@e la

61

tienda @ace un pedido ;ue le entregan el lunes en el momento de a#rir la tienda. 9a tienda @ace un pedido ;ue le entregan el lunes en el momento de a#rir la tienda. 9a tienda usa la siguiente política = s, /> & para ordenar : si el n0mero de cámaras en inventario al final de la semana es menor ;ue s D& =no @ay cámaras en la tienda>, ordenar =@asta> /D*. e otra manera, no coloca la orden =si se cuenta con una o más cámaras en el almacn, no se @ace el pedido>. /e supone ;ue las ventas se pierden cuando la demanda e7cede el inventario. %ntonces, J& para t D ', &, .. es un proceso estocástico de la forma ;ue se aca#a de descri#ir. 9os estados posi#les del proceso son los enteros ', &, (, * ;ue representan el n0mero posi#le de cámaras en inventario al final de la semana. K#serve ;ue J i, en donde Ji es el n0mero de cámaras en el almacn al final de la semana t = antes de reci#ir el pedido >, es una cadena de ar5ov. /e verá a@ora cómo o#tener las pro#a#ilidades de transición =de un paso>, es decir, los elementos de la mat%i de t%ansición = de un paso>.

/uponiendo ;ue cada  t tiene una distri#ución Poisson con parámetro . Para o#tener %ntonces durante

la

es necesario evaluar

semana

. Por lo tanto, fue de tres

 Así, aleatoria Poisson con parámetro y /i durante

. /i

,

significa ;ue la demanda o más cámaras.

, la pro#a#ilidad de ;ue una varia#le tome el valor de * o másS

se puede o#tener de una manera parecida. , entonces la semana

de#e

esto, encontrar si .

. Para o#tener ser & o .

,

o#serve

, la demanda más. Por Para

;ue

%n consecuencia, si , entonces la demanda durante la semana tiene ;ue ser e7actamente &. por ende, . 9os elementos restantes se o#tienen en forma similar, lo ;ue lleva a la siguiente a la siguiente matri< de transición = de un paso>:

62

5.? PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS DE N PASOS. 9as ecuaciones de C@apman`olmogorov proporcionan un mtodo para calcular estas pro#a#ilidades de transición de n pasos :

%stas ecuaciones simplemente se?alan ;ue al ir de un estado i al estado  j en n pasos, el proceso estará en alg0n estado 5 despus de e7actamente m =menor ;ue n> pasos. Así, %s solo la pro#a#ilidad condicional de ;ue, si se comien
9os casos especiales de mD& y mDn& conducen a las e7presiones Para toda i, j, y n de lo cual resulta ;ue las pro#a#ilidades de transición de n pasos se pueden o#tener a partir de las pro#a#ilidades de transición de un paso de manera recursiva. Para nD(, estas e7presiones se vuelven :

ote ;ue las

son los elementos de la matri< P =(> , pero tam#in de#e

de o#servarse ;ue estos elementos, se o#tienen multiplicando la matri< de transición de un paso por sí mismaS esto es , P =(> D P E P D P( . 63

%n trminos más generales, se concluye ;ue la matri< de pro#a#ilidades de transición de n pasos se puede o#tener de la e7presión: P=n> D P E P .... P D Pn D PPn& D Pn& P. %ntonces, la matri< de pro#a#ilidades de transición de n pasos se puede o#tener calculando la nsima potencia de la matri< de transición de un paso. Para valores no muy grandes de n, la matri< de transición de n pasos se puede calcular en la forma ;ue se aca#a de descri#ir, pero cuando n es grande, tales cálculos resultan tediosos y, más a0n, los errores de redondeo pueden causar ine7actitudes.

5.@ ESTADOS ABSORBENTES. /e dice ;ue un estado i es a#sor#ente si la pro#a#ilidad de transición =de un paso> $i* es igual a &. na cadena de ar5ov es A#sor#ente si: a +iene por lo menos un estado A#sor#ente. & %s posi#le ir de cada estado no a#sor#ente @asta por lo menos un estado a#sor#ente. o es necesario efectuar esta transición en un pasoS ni es necesario tener la posi#ilidad de alcan
1 %l n0mero esperado de pasos antes de ;ue el proceso sea a#sor#ido. / %l n0mero esperado de veces ;ue el proceso está en cual;uier estado dado no a#sor#ente. 4 9a pro#a#ilidad de a#sorción por cual;uier estado a#sor#ente dado. na ve< ;ue la cadena llega al estado ! permanece a@í para siempre. /i ! es un estado a#sor#ente y el proceso comien
64

sujeta a las condiciones

9as pro#a#ilidades de a#sorción son importantes en las caminatas aleatorias. na caminata aleatoria es una cadena de ar5ov con la propiedad de ;ue, si el sistema se encuentra en el estado i, entonces en una sola transición, o #ien permanecerá en i o se moverá a uno de los estados  inmediatamente adyacentes a i. Por ejemplo, la caminata aleatoria con frecuencia se usa como a modelo para situaciones ;ue incluyen juegos de a
5. PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS DE ESTADOS ESTABLES. TIEMPOS DE PRIMER PASO. /ea P la matri< de transición de una cadena de  estados. %7iste entonces un vector

tal ;ue'

/e esta#lece ;ue para cual;uier estado inicial i ,

.

%l vector a menudo se llama dist%iución de estado estale, o tam#in dist%iución de e'uili%io para la cadena de ar5ov. Para encontrar la distri#ución de pro#a#ilidades de estacionario para una cadena dada cuya matri< de transición es P, seg0n el teorema, para n grande y para toda i ,

=&>.

Como Pij =n B &> D = renglón i de Pn >=columna j de P>, podemos escri#ir  =(>

65

E0ERCICIOS RESUELTOS E7"r%%( 81   9os administradores de la empresa eT angled /ofdrin5 Company consideran ;ue la pro#a#ilidad de ;ue un cliente compre la #e#ida 6ed Z 6ot Pop, o el principal producto de competencia, /0per Cola, se #asan en la compra más reciente del cliente. /upóngase ;ue son apropiadas las siguientes pro#a#ilidades de transición: 6ed 6ot Pop /uper Cola 6ed 6ot Pop '.3 '.& /0per Cola '.& '.3 a> +race el diagrama de ár#ol de dos periodos para un cliente ;ue compro la ultima ve< 6ed 6ot Pop. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue este cliente compre 6ed 6ot Pop en una segunda compraH #> GCuál es la participación de mercado a largo pla /e esta planeando una importante campa?a de pu#licidad para aumentar la pro#a#ilidad de atraer a los clientes de /0per Cola. 9os administradores consideran ;ue la nueva compa?ía aumentaría a '.&- la pro#a#ilidad de ;ue un cliente cam#ie de /0per Cola a 6ed 6ot Pop. GCuál es el efecto proyectado de la campa?a de pu#licidad so#re las participaciones del mercadoH a> Primera /egunda compra compra 6ed 6ot Pop '.3

#."

'.& 6ed 6ot Pop '.&

D '.$&

/0per Cola D '.'3 6ed 6ot Pop D '.'&

#.1

1

'.3 6ed 6ot Pop   /0per Cola '.3 #.1

#

'.& 6ed 6ot Pop'.&

/0per Cola #." /0per Cola

'.3

/0per Cola D '.'3 6ed 6ot Pop D ' /0per Cola D ' 6ed 6ot Pop D ' /0per Cola D '

h'.$(, '.&$ 66

9a pro#a#ilidad de ;ue un cliente compre dos veces consecutivas la marca de refresco 6ed 6od Pop es de '.$(. #> 

'.&=& Z y> Z '.&y D ' '.& Z '.&y Z '.&y D ' '.& Z '.(y D '  '.(y D '.& y D '.&X'.( y D '.-

'.3 7 B '.& y D 7 '.& 7 B '.3 y D y '.& 7 B '.&y D '  '.&7 Z '.&y D ' 7B yD &

7D&Zy 7 D & Z '.7 D '.-

7D&Zy 9a participación en el mercado a largo pla

 '.37 B '.&-y D 7 '.&7 B '.$-y D y 7ByD& '.&7 B '.&-y D '  '.&7 Z '.&-y D ' 7B yD& 7D&Zy

#.1(1  )  #.15  # #.1  #.1  #.15  # #.1  #.25  # #.25  #.1   #.1  #.25   #.4

-1 -  1  #.4 -  #.6

/e espera ;ue con la pu#licidad reali
E7"r%%( 8/   %l centro de computación de la niversidad 6oc5#ottom @a estado e7perimentando periodos considera#les de tiempo muerto en sus computadoras. /upóngase ;ue se definen los ensayos de un proceso correspondiente de ar5ov como periodos de una llora y ;ue la pro#a#ilidad de ;ue el sistema est en estado de operación o en estado inactivo se #asa en el 6

estado del sistema en el periodo anterior. 9os datos @istóricos muestran las siguientes pro#a#ilidades de transición:  A Kperante Kperante D")noperante

)noperante '.3' '.*'

'.&' '."'

/i el sistema está inicialmente operando, Gcuál es la pro#a#ilidad de ;ue se caiga el sistema en la siguiente @ora de operaciónH #. GCuáles son las pro#a#ilidades de estado esta#le de ;ue el sistema se encuentre en estado operante y en estado inoperanteH a.

a>



9a pro#a#ilidad de ;ue caiga el sistema es de '.&. #>



'.37 B '.*y D 7 '.&7 B '."y D y 7ByD& '.&7 B '.*y D ' '.&7 Z '.*y D ' 7 D & y

'.&=& Z y> Z '.*y D ' '.& Z '.&y Z '.*y D ' '.& Z '.4y D ' '.4y D '.& y D '.& X '.4 y D '.(-

7D&Zy 7 D & Z '.(7 D '."-

E7"r%%( 84 /e pueden e7presar como procesos de ar5ov los patrones de compra de dos marcas de dentífrico, con las siguientes pro#a#ilidades de transición: %special 8 A %special 8 '.3' '.&' A '.''.3&. GIu marca parece tener la mayor cantidad de clientes lealesH %7pli;ue.

6!

'. GCuáles son las participaciones de mercado ;ue se proyectan para l as

dos marcasH  9a marca ;ue tiene la mayor cantidad de clientes leales es A. #>

 '.37 B '.'-y D 7 '.&7 B '.3-y D y 7ByD& '.&7 B '.'-y D '  '.&7  '.'-y D ' 7D&Zy

'.&=& Z y> Z '.'-y D ' '.& Z '.&y Z '.'-y D ' '.& Z '.&-y D ' '.&-y D & y D '.& X '.&y D (X*

7 D & y 7 D & Z (X* 7 D &X*

%special 8 tendrá una participación esperada en el mercado a largo pla
E7"r%%( 85 /upóngase ;ue en el pro#lema anterior entra en el mercado una nueva marca de crema dental, de manera ;ue se tienen las siguientes pro#a#ilidades de transición:

E$"%a B E$"%a B '.$' MDA '.''.4' TBa+a

MDA '.&' '."'.*'

TBa+a '.&' '.(' '.*'

GCuáles son las nuevas participaciones de mercado a largo pla


6"

'.$7 B '.'-y B '.4< D 7 '.&7 B '."-y B '.*< D y '.&7 B '.('y B '.*< D < 7B yB
& '.(- ( ' ' '.((- '.' ' ' ' ' ' ' &.* '.((-

'.(7 B '.'-y B '.4< D '  '.&7 Z '.(-y B '.*< D '  '.&7 B '.('y Z '."< D ' 7B yB
&.*< D '.((< D '.((- X &.* < D '.&"*&

'.( '.'- '.4 ' '.& '.(- '.* ' '.& '.( '." ' & & & & 6& D 6& X '.( & '.(( ' '.& '.(- '.* ' '.& '.( '." ' & & & & 6( D '.&6& B 6( 6* D '.&6& B 6* 64 D 6& B 64 & '.(( ' ' '.((- '.- ' ' '.((- '.- ' ' &.(* & 6* D 6* B 6( 64 D &.(-6( B '.((-6*

'.((-y B '.-< D ' '.((-y B '.-='.&"*&> D' '.((-y B '.'$!-- D ' '.((-y D  '.'$!-y D '.'$!-- X '.((y D '.*$4! -++1 -1 -  1  #.3!46  #.131 -  #.4423

Participaciones de mercado a largo pla
E7"r%%( 86 9a empresa `9 C@ristmas +ree arm es propietaria de un vivero con -''' ár#oles de @oja perenne. Cada a?o, `9 permite a los vendedores de ár#oles de avidad al menudeo ;ue seleccionen y corten ár#oles para vender a clientes individuales. 9a `9 protege los ár#oles pe;ue?os =usualmente de menos de 4 pies de altura> de manera ;ue se les permite crecer y estar disponi#les para su venta en a?os futuros. %n la actualidad, &-'' ár#oles se clasifican como ár#oles protegidos, mientras ;ue los *-'' restantes están disponi#les para su corte. /in em#argo, aun cuando e7ista un ár#ol disponi#le para corte en un a?o determinado, es posi#le ;ue no se le seleccione para corte sino @asta unos a?os despus. Aun;ue la mayoría de los ár#oles ;ue no

#

se cortan en un a?o determinado siguen de pie @asta el a?o siguiente, algunos ár#oles mueren durante ese a?o y se les pierde.  Al considerar la operación de ár#oles navide?os de la `9 como un proceso de ar5ov con periodos anuales, se definen los cuatro siguientes estados:

E$!a)( 1 Cortado y vendido E$!a)( / Perdido por enfermedad E$!a)( 4 emasiado pe;ue?o para corte E$!a)( 5 isponi#le para corte pero no cortado y vendido 9a siguiente matri< de transición resulta apropiada:

/

GCuántos de los -''' ár#oles del vivero se venderán en alg0n momento dado, y cuántos se perder 

/

1

 0 

6& D 6&X '.(6( D 6( X'.)ZID

D

)ZID

D

 0   0   0 

6& D '.-6& B '.(6( 0  0 

0 

Cantidad de ár#oles cortados y vendidos: *-$' ár#oles Cantidad de ár#oles perdidos: &4(' ár#oles

E0ERCICIOS PROPUESTOS E7"r%%( 81  /e determinó ;ue una de las causas del pro#lema del tiempo muerto de una ma;uinaria era una pie
encuentre en los estados de operación e inactivoH

'. /i se estima ;ue el costo de ;ue el sistema est descompuesto en

cual;uier periodo es de -'' =incluyendo las utilidades ;ue se pierden por el tiempo muerto y el mantenimiento>, Gcuál es el costo de e;uili#rio para el nuevo componente de la ma;uinaria, con #ase en los periodosH

E7"r%%( 8/ %n el análisis de participación de mercado, considrese ;ue está, evaluando los procesos de ar5ov correspondientes a las visitas de compras de un cliente pero ;ue no se sa#e en donde compró en la 0ltima semana. Por ello, se podría suponer ;ue e7iste una pro#a#ilidad de '.- de ;ue un cliente @aya comprado en urp@y[s y una pro#a#ilidad de '.- de ;ue el cliente @aya comprado en  As@ley[s en el periodo 'S es decir, &='> D '.- y (,='> D '.-. adas estas pro#a#ilidades de estado iniciales, ela#ore una ta#la, ;ue muestre la pro#a#ilidad de cada estado en periodos futuros. GIu se o#serva respecto a las pro#a#ilidades a largo pla
E7"r%%( 84  ada la siguiente matri< de transición, con los estados & y ( como estados a#sor#entes, Gcuál es la pro#a#ilidad de ;ue las unidades de los estados * y 4 terminen en cada uno de los estados a#sor#entesH

/

E7"r%%( 85 /upóngase ;ue es apropiada la siguiente matri< de transición:

/

/i Oeidmanks tiene 4,''' en la categoría de antigedad de ' a *' días, y -,''' en la categoría de antigedad de *& a 3' días, Gcuál es su estimación del monto de inco#ra#les ;ue la compa?ía e7perimentaráH

E7"r%%( 86 n pro#lema importante en el área principal de Cincinnati implica el tráfico automovilístico ;ue intenta cru el sistema se encuentre en el estado de demorasH K#srvese ;ue tal es la pro#a#ilidad de ;ue se encuentre en el estado de demora para ( periodos consecutivos. &. GCuál es la pro#a#ilidad de ;ue el tránsito se encuentre a largo pla
UNIDAD V:

OPTIMIZACIÓN DE REDES 6.1 TERMINOLOGÍA /e @a desarrollado una terminología relativamente e7tensa para descri#ir los tipos de redes y sus componentes. na red consiste en un conjunto de  $untos y un conjunto de l/neas ;ue unen ciertos pares de puntos. 9os puntos se llaman nodos =o vrtices>. 9as líneas se llaman a%cos =o ligaduras, aristas o ramas>. 9os arcos se eti;uetan dando nom#re a los nodos en sus puntos terminalesS por ejemplo,  56 sería el arco entre los nodos  5 y 6. 9os arcos de una red pueden tener un flujo de alg0n tipo ;ue pasa por ellosS si el flujo a travs de un arco se permite sólo en una dirección =como en una calle de un sentido>, se dice ;ue el arco es un a%co di%i7ido. 9a dirección se indica agregando una ca#e, se dice ;ue el arco es un a%co no di%i7ido. Para ayudar a distinguir entre los dos tipos de arcos, con frecuencia se @ará referencia a los arcos no dirigidos con el sugestivo nom#re de li7adu%a.  Aun;ue se permita ;ue el flujo a travs de un arco no dirigido ocurra en cual;uier dirección. /e supone ;ue ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrán flujos simultáneos en direcciones opuestas. /in em#argo, en el proceso de toma decisiones so#re el flujo en un arco no dirigido, se permite @acer una secuencia de asignaciones de flujos en direcciones opuestas, pero en el entendimiento de ;ue el flujo real será el &lu*o neto =la diferencia de los flujos asignados en las dos direcciones>. Por ejemplo, si se asigna un flujo de &' en una dirección y despus un flujo de 4 en la dirección opuesta, el efecto real es la cancelación de 4 unidades de la asignación original, lo ;ue reduce el flujo en la dirección original de &' a !. Aun para un arco dirigido, en ocasiones se usa la misma tcnica como una manera conveniente de reducir un flujo previamente asignado. %n particular, se puede @acer una asignación ficticia de flujo en la dirección Fe;uivocadaF a travs de un arco dirigido para registrar una dirección en esa cantidad en el flujo ;ue va en la dirección FcorrectaF. na red ;ue tiene sólo arcos dirigidos se llama %ed di%i7ida. e igual manera, si todos sus arcos son no dirigidos, se dice ;ue se trata de una red no di%i7ida. na red con una me se puede convertir en una red dirigida, si se desea, sustituyendo cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidos en

direcciones opuestas. =espus se puede optar por interpretar los flujos a travs de cada par de arcos dirigidos como flujos simultáneos en direcciones opuestas o de proporcionar un flujo neto en una dirección, seg0n se ajuste al caso.> Cuando dos nodos no están unidos por un arco surge la pregunta natural de si están conectados por una serie de arcos. na trayectoria entre dos nodos es una sucesión de a%cos distintos fue conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias ;ue conectan a los nodos K y + en la siguiente figura, es la sucesión de arcos O6"6"4 )O ;6;  ;4+,  viceversa.

Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se @ace la distinción entre t%aecto%ias di%i7idas y t%aecto%ias no di%i7idas. na t%aecto%ia di%i7ida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección =si la tienen> es @acia el nodo j, de manera ;ue el flujo del nodo i al nodo j a travs de esta trayectoria es facti#le. na t%aecto%ia no di%i7ida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección =si la tienen> puede ser @acia o desde el nodo j. =K#serve ;ue una trayectoria dirigida tam#in satisface la definición de trayectoria no dirigida, pero el inverso no se cumple.> Con frecuencia una trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos @acia el nodo j y otros desde l =es decir, @acia el nodo i+< las trayectorias no di%i7idas juegan un papel muy importante en el análisis de las redes di%i7idas. n ciclo es una trayectoria ;ue comien /e dice ;ue dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no di%i7ida entre ellos. =K#serve ;ue no es necesario ;ue la trayectoria sea dirigida aun cuando la red es dirigida.> na %ed cone#a es una red en la ;ue cada par de nodos está conectado.

6./ PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA. REDES CÍCLICAS Y ACÍCLICAS. Considere una red cone7a y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura =arco no dirigido> se asocia una distancia no negativa. %l o#jetivo es encontrar la ruta más corta =la trayectoria con la mínima distancia total> del origen al destino. /e dispone de un algoritmo #astante sencillo para este pro#lema. 9a esencia del procedimiento es ;ue anali, desde el origenS el pro#lema ;ueda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. 9os nodos pueden representar ciudades, fá#ricas, plantas, entre otrosS los arcos o flec@as representan las distancias ;ue @ay entre las carreteras o caminos ;ue enla como acíclicas. &. Algoritmo de ij5stra (. Algoritmo loyd

A2(r%!*( )" D%7$!ra %l algoritmo de ij5stra tienen por o#jeto determinar las rutas mas cortas entre lo nodo fuente y los demás nodos de la red. %l algoritmo de loyd es general, por;ue permite determinar la ruta mas corta entre dos nodos cuales;uiera en la red.  Algoritmo de ij5stra. /ea ui  la distancia mas corta entre el nodo & @asta el nodo i , y se define d i* = ] ' > como la longitud del arco =i,* >. %ntonces el algoritmo define la eti;ueta de un nodo inmediato posterior j como hu * ,i  D hui  = d i* ,i , d i* > ?  9a eti;ueta del nodo de inicio es h',  , ;ue indica ;ue el nodo no tiene predecesor. 9as eti;uetas de nodos en el algoritmo de ij5stra son de dos clases: temporales y permanentes. na eti;ueta temporal se modifica si se encuentra una ruta mas corta a un nodo. Cuando no se ve ;ue se puede encontrar rutas mejores, cam#ia la eti;ueta de un estado temporal a permanente. Paso '. %ti;uetar el nodo fuente =nodo &> con la eti;ueta permanente h ',  . )gualar i  D &.

Paso i. a) Calcular las eti;uetas temporales hui  = d i* ,i  para cada nodo j al cual pueda llegarse desde el nodo i, siempre y cuando j no tenga tarjeta permanente, si el nodo j ya esta eti;uetado con hu * ,!  por otro nodo 5, y si ui  = d i*  @ u * , sustituir hu * ,!  por hu *  = d i* , i .  b) /i todos los nodos tienen eti;uetas permanentes, detenerse. %n caso contrario, seleccionar la eti;ueta hu% , s ;ue tenga la distancia mas corta =u% > entre todas las eti;uetas temporales =los empates se rompen en forma ar#itraria. Oacer ;ue i  D %  y repetir el paso i.

A2(r%!*( )" F(). %l algoritmo de loyd es más general ;ue el de ij5stra, por;ue determina la ruta mas corta entre dos nodos cuales;uiera de la red. %l algoritmo representa una red de n nodos como matri< cuadrada con n renglones y n columna. %l elemento =i,* > de la matri< e7presa la distancia d i*  del nodo i  al nodo  * , ;ue es finita si i  esta conectado directamente con  * , e infinitamente en caso contrario.

igura. Kperación triple de loyd

%l concepto de loyd es directo. ados tres nodos i,*  y ! , con las distancias entre si indicadas en los tres arcos, es mas corto ir a !   desde i pasando por *  si di*  B d *!   di!  %n este caso, lo óptimo es reempla para indicar ;ue están #lo;ueados. )gualar !  D i.

Paso general !. efinir el renglón !  y la columna !  como %en7lón $i(ote y columna $i(ote.  Aplicar la o$e%ación t%i$le  a cada elemento d ij en 5&  para toda i  y  * . si se satisface la condición: di5 B d5j  dij, =i5, j5 e ij> @acer los siguientes cam#ios: a)  b)

Crear 5 reempla
6.4 PROBLEMA DEL ÁRBOL DE MÍNIMA EPANSIÓN. %l pro#lema del ár#ol de e7pansión mínima tiene algunas similitudes con la versión principal del pro#lema de la ruta más corta. %n am#os casos se considera una red no di%i7ida  cone#a, en la ;ue la información dada incluye alguna medida de lon7itud positiva =distancia, costo, tiempo, etc.> asociada con cada ligadura. 9os dos pro#lemas involucran tam#in el @ec@o de seleccionar un conjunto ligaduras de ligaduras ;ue tiene la lon7itud total m0s co%ta entre todos los conjuntos de ligaduras ;ue satisfacen cierta propiedad. Para el pro#lema de la ruta más corta esta propiedad es ;ue la ligadura seleccionada de#e proporcionar una trayectoria entre el origen y el destino. Para el ár#ol de e7pansión mínima la propiedad re;uerida es ;ue las ligaduras seleccionadas de#en proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. na red con n nodos re;uiere sólo )n " &> ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. o de#en usarse más ligaduras ya ;ue esto aumentaría, sin necesidad, la longitud total de las ligaduras seleccionadas. 9as )n " &> ligaduras de#en elegirse de tal manera ;ue la red resultante =con sólo las ligaduras seleccionadas> forme un 0%ol de e#$ansión. Por lo tanto, el pro#lema es encontrar el ár#ol de e7pansión con la longitud total mínima de sus ligaduras. %ste pro#lema tiene muc@as aplicaciones prácticas importantes. Por ejemplo, puede ser 0til en la planeación de redes de transporte ;ue no se transitarán muc@o y en las ;ue la in;uietud principal es proporcionar alguna trayectoria entre todos los pares de nodos de la manera más económica %l pro#lema del ár#ol de mínima e7pansión se puede resolver de una forma #astante directa, es ocurre ;ue se trata de uno de los pocos pro#lemas de )nvestigación de Kperaciones en el ;ue ser codicioso en cada etapa del procedimiento de solución conduce al final a una solución óptimaW Así, con el inicio en cual;uier nodo, la primera etapa consiste en elegir la rama más corta posi#le a otro nodo, sin preocuparse del efecto de esta elección pueda tener en las decisiones posteriores. %n la segunda etapa se trata de identificar el nodo no conectado ;ue est más cerca de cual;uiera de los dos ;ue se aca#an de conectar y despus agregar la ligadura correspondiente a la red. %ste proceso se repite @asta ;ue se @ayan conectado todos los nodos. %l algoritmo de e7pansión mínima enla
/e selecciona, de manera ar#itraria, cual;uier nodo y se conecta =es decir se pone una ligadura> al nodo más cercano distinto de ste.

(. /e identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado, y se conectan estos dos nodos =es decir, se agrega una ligadura entre ellos>. %ste paso se repite @asta ;ue se @ayan conectado todos los nodos. 3.

%mpates: los empates para el nodo más cercano distinto =paso &> o para el nodo no conectado más cercano =paso (>, se pueden romper en forma ar#itraria y el algoritmo todavía de#e llevar a una solución óptima. o o#stante, estos empates son se?al de ;ue pueden e7istir =pero no necesariamente> soluciones óptimas m0ltiples. +odas esas soluciones se pueden identificar si se #uscan las demás formas de romper los empates @asta el final. %ste algoritmo termina en n & iteraciones.

6.5 PROBLEMA DE FLU0O MÁIMO. %n una red en la ;ue los arcos tienen limitada su capacidad, se @a de @acer pasar la má7ima cantidad de flujo posi#le, de un nodo =&> a otro =n>, prefijados, a los ;ue se llama, respectivamente, fuente y sumidero. /e utili y ;ue el flujo se de#e conservar. Caaci$a$ -ia $e lo arco Caaci$a$ -ia $e lo e i%ual a la oferta arco e i%ual a la $ionibili$a$

Caaci$a$ 7nia $e lo arco e i%ual a la $ean$a

 5l7o%itmo de eti'uetado $a%a el $%olema del &lu*o m0#imo. %l algoritmo avan
desde el nodo fuente a esos nodos =so#re la ;ue puede @a#er un cam#io de flujo>. 9os nodos no eti;uetados son a;uellos ;ue el algoritmo todavía no @a alcan al nodo sumidero =n>, implicando ;ue ya no puede @a#er mas aumento de flujo del nodo & al nodo n>. P5SOS. P%ime%a &ase: eti'uetas. %ste algoritmo es de naturale con eti;ueta #> sin eti;ueta  Al inicio el algoritmo todos los nodos están sin eti;ueta. /i Jij es el flujo ;ue va de  i a  j, se define como el flujo ficticio ;ue va de  j a i. /ea gij D uij B Jij, la capacidad del arco no saturada del arco A ij.  Al comien
;ueda resuelto. %n este caso  t reci#e una eti;ueta el flujo actual cam#iara de acuerdo a lo ;ue se e7plica a continuación. Se7unda &ase: /e inicia desde  t @acia al nodo inicial. %l nuevo flujo se determina mediante la suma de J j5 B δ t y a si sucesivamente por los todos los nodos de la ruta determinada. na ve< @ec@o lo anterior se vuelve aindiar el proceso de eti;uetado.

6.6 PROBLEMA DE FLU0O DE COSTO MÍNIMO. %l pro#lema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los pro#lemas de optimi para el flujo a travs de un arco. )gual ;ue el pro#lema de transporte o el de asignación, puede manejar varios orígenes =nodos fuente> y varios destinos =nodos demandas> para el flujo, de nuevo con costos asociados. e @ec@o, estos cuatro pro#lemas son casos especiales del pro#lema de flujo de costo mínimo. 9a ra<ón por la ;ue el pro#lema del flujo de costo mínimo se puede resolver de manera tan eficiente es ;ue se puede formular como un pro#lema de programación lineal.  A continuación se descri#e el pro#lema del flujo de costo mínimo: &. (. *. 4. -.

9a red es una red dirigida cone7a. Al menos uno de los nodos es nodo fuente. Al menos uno de los nodos es nodo demanda. %l resto de los nodos son nodos de tras#ordo. /e permite el flujo a travs de un arco sólo en la dirección indicada por la flec@a, donde la cantidad má7ima de flujo está dada por la capacidad del arco. =/i el flujo puede ocurrir en am#as direcciones, de#e representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.> !. 9a red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir ;ue todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda. ". %l costo del flujo a travs del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad. $. %l o#jetivo es minimi

A%a%(+"$ )" r(&"*a )" =-7( )" ($!( *#+%*( %l tipo más importante de aplicación del pro#lema del flujo de costo mínimo es en la operación de la red de distri#ución de una compa?ía. %n la siguiente ta#la se muestran algunos tipos de aplicaciones comunes del pro#lema de del flujo de costo mínimo:

T%( )" A%a%+

N()($ F-"+!"$

N()($ Tra$&(r)(

Kperación de una red uentes de #ienes Almacenes de distri#ución intermedios

)" N()($ D"*a+)a

)"

Consumidores

 Administración de uente de )nstalaciones de 6ellenos desec@os sólidos desec@os sólidos procesamiento Kperación de una red  Agentes de ventas Almacenes de suministros intermedios Coordinación de plantas me
de uentes efectivo tiempos específicos

)nstalaciones de procesamiento

Producción de u ercado artículo específico producto específico

del

de Kpciones de ecesidades en inversión a corto efectivo pla
de en

Ca$($ "$"%a"$. -A PRO6A-5 - 4R5NSPOR4-. n pro#lema de transporte es un caso particular de pro#lema de programación lineal en el cual se de#e minimi, teniendo en cuenta los distintos precios de envío de cada punto de oferta a cada punto de demanda. n pro#lema de transporte ;ueda definido por la siguiente información: &. n conjunto de m puntos de oferta. Cada punto de oferta i tiene asociado una oferta si. (. n conjunto de n puntos de demanda. Cada punto de demanda j tiene asociada una demanda d j.

*. Cada unidad enviada desde un punto de oferta i a un punto de demanda j tiene un costo unitario de transporte c -A PRO6A-5 - 5SIBN5CIÓN  9os pro#lemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual n0mero de orígenes con igual n0mero de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. %l pro#lema de asignación de#e su nom#re a la aplicación particular de asignar @om#res a tra#ajos = o tra#ajos a má;uinas>, con la condición de ;ue cada @om#re puede ser asignado a un tra#ajo y ;ue cada tra#ajo tendrá asignada una persona. 9a condición necesaria y suficiente para ;ue este tipo de pro#lemas tenga solución, es ;ue se encuentre #alanceado, es decir, ;ue los recursos totales sean iguales a las demandas totales. %l modelo de asignación tiene sus principales aplicaciones en: +ra#ajadores, Kficinas al personal, 1e@ículos a rutas, á;uinas, 1endedores a regiones, productos a fa#ricar, etc.

-A PRO6A-5 - 4R5S6ORO. %ste caso especial en realidad incluye todas las características generales del pro#lema del flujo de costo mínimo, e7cepto por no tener capacidades finitas en los arcos. %ntonces, cual;uier flujo de costo mínimo en el ;ue cada arco pueda llevar cual;uier cantidad de flujo deseada se llama tam#in un pro#lema de tras#ordo.

-A PRO6A-5 - A5 RU45 S COR45. %l pro#lema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados donde sólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como el nodo destino. %l o#jetivo es determinar un camino de cone7iones ;ue minimi
-A PRO6A-5 - DAUEO FIO. uc@os pro#lemas pueden ser modelados mediante una red en la cual se considera ;ue los arcos tienen la capacidad de limitar la cantidad de un producto ;ue se puede enviar a travs del arco. %n estas situaciones, frecuentemente se desea transportar la má7ima cantidad de flujo desde un punto de partida llamado fuente @acia un punto final denominado po
6.? PROGRAMACIÓN LINEAL EN TEORÍA DE REDES. %ste tema se ilustrará con ejemplo para ;ue se tenga un mejor entendimiento del mismo. Puesto ;ue en los modelos de redes se tiene un o#jetivo dadas determinadas restricciones, estos modelos se pueden formular como un pro#lema lineal, ;ue posteriormente se podrá resolver con alguno de los programas de computación ;ue se presentan más adelante. -*em$lo. 9a )/+6)8+)K 9))+% CK. fa#ricará el mismo nuevo producto en dos plantas distintas y despus tendrá ;ue enviarlo a dos almacenes de distri#ución, donde cual;uiera de las dos fá#ricas puede a#astecer a cual;uiera de los dos almacenes. 9a red de distri#ución disponi#le para el envío de este producto se muestra en la siguiente figura, donde l y ( son las dos fá#ricas,  Al y A( son los dos almacenes y C es el centro de distri#ución. 9as cantidades ;ue de#en enviarse desde & y ( se muestran a la i<;uierda, y las cantidades ;ue de#en reci#irse en A.& y A( se muestran a la derec@a. Cada flec@a representa un canal facti#le de envío. %ntonces & puede enviar directamente a A& y tiene tres rutas posi#les =&LCLA(, lL(LCLA( y &LA&LA(> para mandar #ienes a A(. 9a fá#rica ( tiene sólo una ruta a A( =(LCLA(> y una a A& =(LCLA(LA&>. %l costo por unidad enviada a travs de cada canal se muestra al lado de la flec@a. +am#in, junto a &L( y CLA( se muestran las cantidades má7imas ;ue se pueden enviar por estos canales. 9os otros canales tienen suficiente capacidad para manejar todo lo ;ue las fá#ricas pueden enviar. 9a decisión ;ue de#e tomarse se refiere a cuánto enviar a travs de cada canal de distri#ución. %l o#jetivo es minimi para representar las cantidades enviadas a travs de los canales respectivos. %7isten varias restricciones so#re los valores de estas varia#les.  Además de las restricciones usuales de no negatividad, se tienen dos %est%icciones de cota su$e%io%, J)( \ & ' y JCA( \ $', impuestas por la capacidad limitada de envío de los dos canales, lL( y CLA(. +odas las demás restricciones surgen de las cinco %est%icciones de &lu*o neto, una para cada localidad. %stas restricciones tienen la siguiente forma: 6estricción de flujo neto para cada localidad:

Cantidad en(iada " cantidad %eciida  cantidad %e'ue%ida. Como se indica en la figura, estas cantidades re;ueridas son -' para &, 4' para (, *' para A& y !' para A(. GCuál es la cantidad re;uerida para CH +odas las unidades producidas en las fá#ricas se necesitan en alg0n momento en los almacenes. Por lo tanto, la cantidad total enviada del centro de distri#ución a los almacenes de#e ser i7ual a la cantidad total enviada desde las fá#ricas al centro de distri#ución. %n otras pala#ras, la di&e%encia de estas dos cantidades enviadas =la cantidad re;uerida para la restricción de flujo neto> de#e ser ce%o. Como el o#jetivo es minimi
D -' D 4'

B J(C  J(C B JCA(

 J)A&

D'

B J A)A(  J A(A& D *'  JCA(  J A)A( B J A(A& D !'

J)(

\ &' J)(,

J)C, J)A&,

JCA( \ $' J(C, JCA(, J A)A(, J A(A& ] '

6.@ USO DE PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN.

E0EMPLO Considere la siguiente figura ;ue representa las posi#les rutas de transporte, suponga ;ue el n0mero junto a las fec@as es el costo entre cada nodo:

HINSB:

Pa$( 1: A#rir NinI/8 ir al men0 ileXeT Pro#lem. Pa$( /: %legir la opción /@ortest Pat@Pro#lem, esta#lecer numero de nodos y nom#re del pro#lema como sigue:

Pulsar K`.

%n la ta#la ;ue aparece a continuación insertar los valores de la red del pro#lema a resolver.

Pa$( 4: ir al men0: /olve and Analy
ar clic en Q/olveR

Pa$( 5: NinI/8 arroja el resultado de pro#lema.

ar clic para o#servar la solución gráfica:

9a ruta mas corta es: &L(L-L$L3D&Ot%os e*em$los: %l pa;uete NinI/8 contiene un ejemplo resuelto de cada tipo de pro#lemas de esta unidad, para acceder a ellos ir al men0: ileX9oad Pro#lem.

SOLVER  Andrs 9oreto es presidente de una microempresa de inversiones ;ue se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. n nuevo cliente @a solicitado ;ue la compa?ía se @aga cargo de administrar para l una cartera de &'', '''. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una me
 Acciones

Precio =>

6endimiento Anual )nversión Posi#le %stimado por =>  Acción =>

avesa

!'

"

!'.'''

+electricidad

(-

*

(-.'''

6ampa

('

*

*'.'''

Para solucionar este pro#lema de#emos seguir los pasos para l a construcción de modelos de programación lineal =P9>: &. efinir la varia#le de decisión. (. efinir la función o#jetivo. *. efinir las restricciones. 9uego construimos el modelo: AJ b D "J& B *J( B *J* /.A.: !'J& B(-J( B ('J* D &''.''' !'J& D !'.''' (-J( D (-.''' ('J* D *'.''' Ji D '  A continuación se construye el modelo en una @oja de cálculo de %7cel de la siguiente manera:

%n la fila ( se coloca la varia#le de decisión la cual es el n0mero de acciones y sus valores desde la 8( @asta la (. %n la fila * el rendimiento anual y sus valores desde 8* @asta *. %n la celda %* colocaremos una formula la cual nos va indicar el rendimiento anual total, Dsumaproducto=8(:(S8*:*>. esde la fila 8- @asta la $ colocaremos los coeficientes ;ue acompa?an a las varia#les de decisión ;ue componen las restricciones. esde la %- @asta la %$ se encuentra la función de restricción =9)> y no es mas ;ue utili la cual se alojaría en la celda %-, luego daríamos un copy @asta la %$. esde la - @asta $ se encuentran los valores de las restricciones. esde la M- @asta M$ se encuentra la @olgura o e7cedente.

na ve< completada la @oja de cálculo con el modelo respectivo M6A8% / OKqAW, y seleccione F/olver…F en el men0 de FOerramientasF, a@í tendrá ;ue especificar dentro del cuadro de dialogo de /olver: o o o

9a celda ;ue va a optimi
 Así tendremos la siguiente pantalla:

Como se puede o#servar en la celda o#jetivo se coloca la celda ;ue se ;uiere optimi
%n nuestro ejemplo el má7imo rendimiento anual fue de &("-', y la cantidad de acciones a comprar serían "-', &''' y &-'' para avesa, +electricidad y 6ampa respectivamente.

E0EMPLOS RESUELTOS E7"r%%( 8 1 9a administración de /eervada Par5 necesita determinar los caminos #ajo los cuales se de#en tender las líneas telefónicas para conectar todas las estaciones con una longitud mínima de ca#le. /e descri#irá paso a paso la solución de este pro#lema con #ase en los datos ;ue se dan en la siguiente figura:

9os nodos y distancias para el pro#lema se resumen enseguida, en donde las líneas delgadas, a@ora representan ligaduras  $otenciales. %n forma ar#itraria, se selecciona el nodo O para comen
%l nodo no conectado más cercano a cuales;uiera de los nodos O o  5 es el nodo 6 )m0s cercano a 5+. a 5+. /e conecta el nodo 6 al nodo 5. nodo 5.

%l nodo nodo no conect conectad ado o más más cerc cercan ano o a O, 5 o 6 es el nodo C =más cercano a 6+. /e conecta el nodo C al nodo 8.

%l nodo no conectado más cercano a O, 5, 6 o C es el nodo - =más cercano a 6+. /e conecta el nodo - al nodo 6.

%l nodo no conectado más cercano a los nodos O, 5, 6, C o - es el nodo  =más cercano a -+. /e conecta el nodo  al nodo -.

%l 0nico nodo no conectado es el nodo +. está más cerca del nodo . /e conecta el nodo + al nodo .

+odos nodos

los @an ;uedado conectados, por lo ;ue sta es la solución =óptima> ;ue se #usca#a. 9a longitud total de las ramas es &4 5ilómetros.  Aun;ue con este procedimiento a primera vista puede parecer ;ue la elección del nodo inicial afectaría la solución final =y la longitud total de las ligaduras>, en realidad no es así. /e sugiere ;ue se verifi;ue este @ec@o para el ejemplo, aplicando de nuevo el algoritmo, pero iniciando en un nodo distinto de K.

E7"r%%( 8 / /upóngase ;ue en la red ;ue se muestra en la siguiente figura, los nodos son centros de consumo elctrico, y los n0meros en los arcos son distancias en 5ilómetros. /e trata de encontrar el ár#ol ;ue con una longitud total mínima, comunica a todos los nodos. Como el costo de tendido de ca#le elctrico es proporcional a la distancia, se @a#rá encontrado, con la distancia mínima, tam#in el costo mínimo. 3

C !

* (

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(

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6

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

'

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8 4

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)+%6AC)_ PA/K KK

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A6CK/ %

& ( * 4 ! " $ 3 &'

/%9%CC)KAK % %9 268K9 C =A68)+6A6)K>

& ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( * ( *

/%9%CC)KAK % %9 268K9

 268K9 '



AC D ( &



A D ( (

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A8 D ! 4

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A8% D 4 -

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AA D ! !

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A%O D ! "

K

A AK D " $

)

AO D $

3 /olución optima, con longitud total mínima de 44 unidades.

%l ár#ol mínimo de comunicación, ;ue no es necesariamente 0nico, se muestra a continuación. C

< 2

2

9 6



3 :

8

=

6 !

 4 ;

E7"r%%( 8 4

?

6

>

na ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur ;ue le permite alcan
/K9C)_ h&,-

h(,*

h&,∞ 

h&,!

h-,*

h*,!

h&,-

KK K   j K 5 & & & ( & * & 4 ( * ! "

δ  j

 ∞ ∞ ∞

! *

g j5 %+)I%+A  `  ! * " $

h&,∞ h&,- h&,! h&,- h(,* h*,! h-,*

KK 5 " D h-,* - D h(,* ( D h&,-

. % 9qK J j5 J-" D ' B * D * J(- D ' B * D * J&( D ' B * D *

g j5 g-" D $ Z * D g(- D * Z * D ' g&( D - Z * D (

/e satisfacen * unidades

K K  j & & & & * 4 -

KK δ  5  j

g j5 %+)I%+A  `

& ( * 4 ! "

 ( ! * -

 ∞ ∞ ∞

! *

h&,∞ h&,( h&,! h&,- h*,* h4,- h-,*

5

KK 5 " D h-,* - D h*,* * D h&,!

. % 9qK J j5 J-" D * B * D ! J*- D ' B * D * J&* D ' B * D *

g j5 g-" D - Z * D ( M*- D * Z * D ' g&( D ! Z * D *

/e satisfacen * unidades

5

K K  j & & & & * !

K K 5 & ( * 4 ! "

δ  j

 ∞ ∞ ∞

* *

g j5 %+)I%+A KK 5 . % 9qK J j5 " D h!,* J!" D ' B * D * ` /e h*,* J*! D B*D* ! Dsatisfacen tres' unidades * D h&,* J&* D * B * D !  h&,∞ ( h&,( * h&,* - h&,- " h*,* " h!,*

g j5 M!" D " Z * D 4 M*! D " Z * D 4 g&* D * Z * D '

K K  j & & & ( * !

K K 5 & ( 4 * ! "

δ  j

 ∞ ∞

( ( (

g j5 %+)I%+A KK 5 " D h!,( ` ! D h*,( * D h(,(  h&,∞ ( D h&,( ( h&,( - h&,- ( h(,( 4 h*,( 4 h!,(

. % 9qK J j5 J!" D * B ( D J*! D * B ( D J(* D ' B ( D ( J&( D * B ( D -

g j5 g!" g*! g(* g&(

. % 9qK J j5 J!" D - B ( D " J*! D ' B ( D ( J(* D ' B ( D (

g j5 g!" D ( Z ( D ' g*! D - Z ( D * g(* D - Z ( D *

D4Z(D( D4Z(D( D(Z(D' D(Z(D'

/e satisfacen ( unidades

K K  j & & 4 !

K K 5 & 4 ! "

g j5 %+)I%+A KK 5 " D h!,( `  j ! D h4,- 4 D h&,-   h&,∞ ∞ - h&,- - - h4,- - ( h!,( δ

/e satisfacen ( unidades.

Σ  nidades satisfec@as D * B * B * B( B( D &*

/e tiene un flujo má7imo de &* ''' vX@, lo cual no cumple con el re;uerimiento de &- ''' v X @.

%l flujo vial ;ueda distri#uido de la siguiente manera:

E0ERCICIOS PROPUESTOS E7"r%%( 8 1 /e tiene una ruta de caminos en una reserva ecológica.

9as letras representan la locali
E7"r%%( 8 / /uponga ;ue la compa?ía nacional de su#sistencias populares tiene un programa anual de costalera. %sta se compra de dos fá#ricas, una en rida con capacidad de producción má7ima de &' millones de costales al a?o, y otra en saltillo con capacidad de producción má7ima de " millones de costales al a?o. 9os e7cedentes de la fá#rica de rida pueden transferirse a la planta de saltillo. 9a disponi#ilidad de transporte entre las dos fá#ricas permite un má7imo de $ millones de costales por a?o. Oay tres centros almacenadotes: el ., Muadalajara y Ka7aca. 9a siguiente matri< proporciona la capacidad má7ima anual d e transporte de las fá#ricas a los centros almacenadotes. es Muadalajara tino Krigen /altillo rida

$ (

..

Ka7aca

4 *

 *

=%n millones de costales por a?o> 9os e7cedentes de Muadalajara y Ka7aca pueden transferirse al .. 9a capacidad má7ima de transporte es de * y 4 millones de costales respectivamente. na ve< en los centros almacenadotes, los costales se entregan a los ejidatarios de la región. 9a capacidad má7ima de entrega es de 4 mi llones en la región almacenadota de Muadalajara, " millones en la región del , y millones en la región de Ka7aca. GCuál es el flujo má7imo anual de costales nuevos ;ue pueden circular en este sistemaH 6 D &4 millones de costales

E7"r%%( 8 4 %n un pe;ue?o aeropuerto ;ue está creciendo, la compa?ía aerea local piensa comprar un tractor nuevo para mover el tren de carros ;ue llevan y traen el e;uipaje de los aviones. entro de tres a?os se instalará un nuevo sistema mecani, al final del a?o i y si se rempla.

i

' & (

& $

q ( &$ &'

* *& (& &(

%l pro#lema es determinar en ;u momento de#e rempla ormule este como un pro#lema de la ruta más corta.

BIBLIOGRAFÍA

)ntroducción a la )nvestigación de Kperaciones /. Oillier, rederic5 q. 9ie#erman, Merald /e7ta %dición. todos y odelos de )nvestigación de Kperaciones 1ol. & odelos eterminísticos PraTna, quan %ditorial 9imusa )nvestigación de Kperaciones  A. +a@a, Oamdy %ditorial Prentice Oall todos Cuantitativos Para los egocios  Anderson, /Teeney, Nilliams %ditorial +@omson