Fundaciones en suelos con
y (tomado de Joseph Bowles (1997)):
La figura 4-2 describe un posible caso para una fundación sobre un suelo que tenga ambos parámetros de resistencia, llámese cohesión y ángulo de fricción interna. Aquí una cuña de falla es mostrada basada tanto en consideraciones teóricas como observaciones de modelos de fundaciones, cuando la cuña se desplaza en la masa del suelo se generan presiones laterales a lo largo de la línea contra la cuña afe. ag , que tiende a desplazar horizontalmente al bloque agf contra
“Capacidad de carga simplificada para suelos con cohesión y ángulo de fricción interna”. Tomado de “Foundation, Analysis and Design, 5th Edition”, pág. 216, Bowles, J.E. (1997)
Las presiones a lo largo de la línea vertical af son mostradas por el bloque de esfuerzos ubicado al lado derecho de esa línea; se puede demostrar usando los círculos de esfuerzos de Mohr que la cuña agb genera líneas de esfuerzo de desplazamiento, como se muestra en el pequeño diagrama de bloque de esfuerzos ubicado en con respecto a la horizontal y para una fundación con una base lisa o suave de manera que ab sea el plano principal.
⁄
De manera similar, la cuña afe tiene un ángulo de plano de deslizamiento de que termina en la línea ae (que también es tomado como plano principal), en un ángulo de .
⁄
Del bloque de esfuerzos ubicado a la derecha de la línea vertical af de de longitud H, se puede calcular la presión resistente total de la tierra como al integrar la siguiente ecuación:
Quedando:
∫ ∫ {̅ } Usando la definición de dada en la figura 4-2 e integrando (siendo necesario puesto que varía de hacia basado en la profundidad z), se obtiene: ̅ √ Para hallar se tienen que sumar las fuerzas en la dirección vertical para la media cuña a razón de un ancho unitario usando las fuerzas mostradas en la Fórmula g
a
f
Fórmula h
adg
figura referida para obtener:
Presión de la fundación:
Peso de la cuña:
Cohesión del suelo: Presión lateral:
Para la ecuación:
Fórmula i
Sustituyendo los valores de H y A, como se muestra en la figura 4-2 se obtiene:
√ [ √ ]̅ √ ̅ ̅
Fórmula j
Reemplazando los multiplicadores ,
y
fórmula “j” en el comúnmente usado formato: Fórmula k
por factores
se puede reescribir la
La fórmula “j” subestima el
de manera substancial por diversos factores:
1.- La zona afg no es reconocida o es despreciada. 2.- La interface o “textura” de la fundación es usualmente rugosa y contribuye un efecto de rugosidad. 3.- La forma del bloque agfe define pobremente la zona que resiste el movimiento de la cuña hacia la masa del suelo. Una espiral logarítmica define mejor la superficie del plano de deslizamiento desde g hasta f y parcialmente a lo largo de f hasta e. 4.- La solución propuesta es para una franja de ancho unitario que se proyecta a través de una fundación continua, por lo que debe ser reajustada para fundaciones cuadradas, circulares o de longitudes finitas (o introducir un factor de forma). 5.- La resistencia a corte desde el plano ae hasta la superficie de la tierra no es reconocida, por lo tanto requiere alguna clase de ajuste (o introducir un factor de profundidad). 6.- Otros factores se requerirán si introducir un factor de inclinación).
es inclinada con respecto a la vertical (o
Estas disertaciones son solo para ilustrar los problemas que se encuentra en definir la capacidad de carga última de un suelo y no está previsto que se usen para efectos de diseño. Las ecuaciones que se darán en la próxima parte pueden usarse para cualquier diseño. Comentario de Joseph Bowles (1997) respecto a las ecuaciones de capacidad de carga última de suelos “Actualmente no existe un método para obtener la capacidad última de carga de
una fundación que no sea un estimado. Vesic (1973), tabuló 15 soluciones teóricas desde 1940 – y omitió por lo menos uno de los métodos más populares actualmente en uso; desde entonces se han incorporado numerosas propuestas. Han sido muy pocas las verificaciones experimentales de algunos de éstos métodos, excepto por el uso de fundaciones modeladas; el uso de prototipos con bases de 25 a 75mm y de 25 a 200mm de largo es popular debido a que la “carga última” puede ser generada en una pequeña caja preparada de suelo en el laboratorio usando máquinas capaces de desarrollar esfuerzos de compresión de 400 kN. Zapatas de tamaño real tan pequeñas como aquellas de 1m x 1m pueden generar cargas últimas por el orden de 3000 a 4000 kN, esto implica que se debe tener disponible preparaciones de sitio y equipos muy costosos para generar y medir cargas de tales magnitudes.
Los modelos de prueba – particularmente en suelos arenosos – no producen resultados confiables comparados con los prototipos a tamaño real debido a la distorsión por la diferencia de escalas; esto es debido a que la reacción del modelo involucra solo una pequeña cantidad de granos de suelo comparado con la cantidad que abarca un elemento a escala real. Por ejemplo, las arenas requieren de un confinamiento para desarrollar su resistencia, la zona de confinamiento debajo de un modelo de 25x55mm de dimensión es casi insignificante comparado con la zona de confinamiento de una fundación real de dimensiones pequeñas, digamos una de 1m x 2m. A pesar de ésta enorme discrepancia en las pruebas, el uso de modelos es generalizado y la literatura regularmente muestra los reportes basados en los resultados de un nuevo programa de pruebas. Las pruebas mediante máquinas centrífugas son realizadas por algunos laboratorios que pueden costearse los equipos, en este tipo de prueba el modelo de la fundación es colocada en una simulación del suelo de fundación y es sometida a giros en una centrifugadora; casi cualquier valor práctico de un múltiplo o fracción de la fuerza gravitacional puede ser modelada ajustando la velocidad de giro de la centrifugadora, sin embargo, debido a un enorme número de razones prácticas, mayormente con respecto a la simulación del suelo, éste método no es tan ampliamente adoptado. Ecuación de capacidad de carga de Terzaghi:
Una de las primeras ecuaciones de capacidad de carga fue propuesta por Terzaghi 1943, estas ecuaciones son similares a la fórmula “k” pero Terzaghi usó factores de modificación de forma que fueron mencionados cuando se discutió las limitaciones de la fórmula “k”.
Ecuación general:
̅ ⁄ ⁄ ( ) Para:
Valores de : Para fundaciones continuas: Para fundaciones cuadradas y circulares:
Valores de : Para fundaciones continuas: Para fundaciones cuadradas: Para fundaciones circulares:
Las ecuaciones de Terzaghi fueron elaboradas a partir de una modificación parcial de la teoría de capacidad de carga desarrollada por Prandtl (1920, aprox.), ésta modificación hace uso de la teoría de la plasticidad para analizar el efecto de punzonado de una base rígida en un material suave o compresible (suelo). De forma similar a la fórmula “k” , la ecuación básica aplicaba para cualquier caso en
donde un ancho unitario de una fundación continua de gran longitud produjera un esfuerzo plano, todos los factores de modificación de forma se hicieron pero los factores de modificación de carga fueron calculados de manera distinta.
“Comparación de modelos de capacidad de carga última Terzaghi – Hansen vs. Meyerhof”. Tomado de “Foundation , Analysis and Design, 5th Edition”,pág. 221, Bowles, J.E. 1997
⁄
Terzaghi definió en las figuras 4-2 y 4-3, donde la mayoría de las teorías usa el ángulo mostrado; se aprecia en las ecuaciones propuestas que se aplicaron los factores de modificación de forma ( ) en términos de cohesión y base.
La ecuación de capacidad de carga de Terzaghi fue desarrollada – como también lo fue la fórmula “k” – sumando las fuerzas verticales en la cuña bac de la figura 43. La diferencia en los factores de modificación de carga N resulta a partir de que se asume la espiral logarítmica ad y la cuña de salida o marginal cde de la figura 4-3; esto hace una diferencia substancial de como es calculado, en donde en cambio arroja diferentes valores de . Las líneas de deslizamiento por corte mostradas en la figura 4-3 ilustran cualitativamente las trayectorias de los esfuerzos en la zona plástica debajo de la fundación al mismo tiempo que la capacidad última de carga se genera.
“Factores de modificación de carga para las ecuaciones de Terzaghi”. Tomado de “Foundation, Analysis and Design, 5th Edition”,pág. 222, Bowles, J.E. 1997
Dicho esto, las ecuaciones de capacidad de carga de Terzaghi están dirigidas a , donde es la fundaciones “superficiales” que cumplan con la condición: profundidad de la fundación y es el ancho; de manera que la resistencia a corte a lo largo de cd de la figura 4-3 pueda ser despreciable.
Terzaghi nunca aclaró muy bien como obtuvo el valor usado para calcular el factor de modificación de carga , sin embargo aportó un ábaco con una curva a escala pequeña vs y tres valores específicos de para valores de como se muestra en la tabla 4-2. El autor tomó puntos adicionales de ésta curva y usó una computadora para recalcular y obtener de ésta manera
valores mejor ajustados de donde los valores tabulados de mostrados en la tabla 4-2 puedan ser calculados de la ecuación para mostrados anteriormente. Los valores de adoptados por Meyerhof indican que son bastantes cercanos a los de Terzaghi con la salvedad de los ángulos . Otras aproximaciones para incluyen los siguientes:
( ) ( )
esic 1973 pangler y Handy 192
El valor de ha tenido uno de los rangos de valores sugeridos más amplios comparado con el resto de los factores de modificación de carga, por ejemplo, una investigación literaria ha revelado que para se observó que .
Para efectos de éste texto los valores de las tablas 4-2 y 4-4 dan un rango desde 79 hasta 109. Kumbhojkar (1993) recientemente presentó una serie de valores de con el argumento de que son mejores representaciones de los valores propuestos por Terzaghi que aquellos expresados en la tabla 4-2, una mirada más cercana a estos valores se muestra en la siguiente tabla:
“Tabla comparativa del valor de
respecto a valores específicos de diversos autores ”. Tomado de “Foundation, Analysis and Design, 5th Edition”,pág. 223 , Bowles, J.E. (1997)
Afortunadamente el término no modifica significativamente la capacidad de carga calculada, de manera que cualquiera de los valores de las tablas 4-2 o 4-4 pueden ser usados (o quizás un valor promedio entre ambos).
Bolton y Lau (1993), produjeron nuevos valores de y para fundaciones continuas y circulares para interfaces con el suelo rugosas y lisas, se observa que sus valores de tanto para interfaces rugosas como para lisas son un poco diferentes de los valores propuestos por Hansen para fundaciones continuas rugosas. Los valores de para fundaciones circulares abarcan más de dos veces los valores para fundaciones continuas; los valores de para fundaciones rugosas se muestran más o menos similares con respecto a los valores de Vesic en la tabla 4-4.
Como en la tabla 4-4 los valores tienen factores de modificación de forma y profundidad , a ser aplicados, parece que estos “nuevos” valores ofrecen poca
ventaja y son ciertamente más difíciles de calcular (ver comparación con los valores de Terzaghi en la tabla precedente). Incorporación del efecto de compresibilidad de suelos arcillosos o arenosos sueltos:
Cuando Terzaghi introdujo en 1943 su ecuación de capacidad de carga, lo hizo dirigido a suelos densos con falla por corte general y suelos sueltos o compresibles con falla por corte local; para éstos últimos suelos propuso reducir la cohesión y el ángulo de fricción interna como sigue:
Terzaghi (y otros), consideran ambos tipos de contacto de base, rugosos y lisos; es muy poco probable que alguien proyecte ubicar una fundación en un suelo suelto y que el concreto vaciado directamente contra el suelo siempre será rugoso, aún los estanques de acero no son lisos porque la base de los mismos siempre es tratada con sellos de pinturas especiales o emulsiones asfálticas para protegerles de la corrosión Ecuación de capacidad de carga de Meyerhof:
Meyerhof (1951, 1963) propuso una ecuación de capacidad de carga similar a la de Terzaghi pero incluyó un factor de modificación de forma con el término de profundidad ; también incluyó factores de modificación de profundidad y factores de modificación de inclinación de la carga (ambos mencionados en la
disertación de la fórmula “j”, para casos donde la carga de la fundación es
inclinada con respecto a la vertical. Estas adiciones producen la ecuación general de capacidad de carga de la forma siguiente:
̅ ̅ (( ) ) Para cargas verticales:
Para cargas inclinadas: Donde:
Para los factores de modificación de forma, profundidad e inclinación ver tabla 4-3.
“Factores de modificación de forma, profundidad e inclinación para la ecuación de capacidad de carga de Meyerhof”. Tomado de “Foundation, Analysis and Design, 5th Edition”, pág. 222, Bowles, J.E. (1997)
Meyerhof obtuvo los valores N haciendo pruebas en la zona abd’ con el arco ad’ de la figura 4-3b, que incluye una aproximación para el corte a lo largo de la línea cd de la figura 4-3a. Los factores de modificación de forma, profundidad e inclinación en la tabla 4-3 son de Meyerhof (1963), y son distintos de alguna manera de sus valores de 1951; los factores de modificación de forma no difieren demasiado de aquellos proporcionados por Terzaghi excepto por la adición del factor .
“Factores de modificación de capacidad de carga para las ecuaciones de Meyerhof, Hansen y esic”. Tomado de “Foundation, Analysis and Design, 5th Edition”,pág. 223, Bowles, J.E. 1997
Observando que el efecto del corte a lo largo de la línea cd de la figura 4-3a continuaba ignorada de alguna manera, Meyerhof propuso factores de modificación de profundidad . También propuso reducir la capacidad de carga usando los factores de modificación de inclinación de la carga cuando la carga resultante estuviese inclinada respecto a la vertical con un ángulo ; cuando el factor es usado debería ser evidente que no es aplicable para casos donde , considerando que un deslizamiento de la base de la fundación podría ocurrir con éste término – incluso si existe una cohesión de la base para el término , también resalta que todos los factores si el ángulo .
Hasta una profundidad aproximada de en la figura 4-3a, la capacidad de carga última de Meyerhof no discrepa tanto respecto al valor de Terzaghi, las diferencias se muestran más pronunciadas a medida que aumentan las relaciones .
⁄
Ecuación de capacidad de carga de Hansen:
En 1970 Hansen propuso una ecuación general para calcular la capacidad de carga de un suelo dado, incluyendo nuevos factores de modificación de carga ; se logra apreciar de manera inmediata de que se trata de una extensión más detallada de la ecuación general propuesta por Meyerhof en 1951. Los factores de forma, profundidad y otros factores que integran la ecuación general de capacidad de carga de Hansen son dados según sigue:
̅ ̅ ( ) ⁄ Ecuación general: Para
:
sar misma fórmula propuesta por Meyerhof sar misma fórmula propuesta por Meyerhof
Factores de forma: para
para fundaciones continuas
para todo valor de
Factores de profundidad: para
para todo
para
en radianes.
Notas: 1.- sar las dimensiones “efectivas” de base
de Hansen.
2.- Los valores expresados son consistentes con cualquier caso de carga vertical o de carga vertical acompañada de una carga horizontal .
⁄ ⁄
3.- Con una carga vertical y una carga de tipo (y ó ), se debe calcular dos valores de factor forma y profundidad con la nomenclatura y . Para los términos use los valores o
⁄ Factores de Inclinación de la carga:
para
para 2
para 2
Notas: 1.- Use
así como cualquier
o
, o ambos si
.
2.- Para el caso de , Hansen (1970) no dio un valor, el que se muestra arriba es de Hansen (1961) que también es usado por Vesic. 3.-
adhesión de la base, el cual se computa como de
4.- Refiérase al bosquejo para la identificación de los ángulos y , profundidad de fundación , ubicación del (paralelo y en el tope de la zapata, usualmente también produce excentricidad). Note especialmente que es la fuerza normal a la base y no es la resultante de combinar y .
“Detalle de las variables para los factores de inclinación de carga, base inclinada y base en pendiente de Hansen”. Tomado de “Foundation, Analysis and Design, 5th Edition”,pág. 227, Bowles, J.E. 1997
“2da serie de detalles de las variables para los factores de inclinación de carga, base inclinada y base en pendiente de Hansen”. Tomado de “Foundation, Analysis and Design, 5th Edition”,pág. 227, Bowles, J.E. 1997
Factores de rasante de apoyo (zapata en ladera):
Factores de base (zapata inclinada): para
para
en radianes.
Estos valores representan las revisiones y extensiones de propuestas iniciales hechas en 1957 y 1961. Las extensiones incluye factores de base para situaciones donde la zapata o fundación se encuentre inclinada con respecto a la horizontal y para la posibilidad de una inclinación o pendiente de la rasante de fundación se designa los factores de rasante de apoyo .
Cualquiera de las ecuaciones arriba descritas que no estén expresadas en función de puede ser usadas como tales (las limitaciones están expresadas en las notas). Note que cuando la base está inclinada, y son perpendiculares y paralelas respectivamente a la base, comparado cuando está horizontal como lo muestra el bosquejo.
Para una fundación en pendiente los factores tanto de Hansen como de Vesic pueden usarse para reducir (o incrementar, dependiendo de la dirección de ), la capacidad de carga usando factores dados en la tabla 4-4.
⁄
La ecuación permite implícitamente cualquier valor y por ende puede usarse tanto para fundaciones superficiales (zapatas, losas), como para fundaciones profundas (pilotes, pilotines); una observación al término sugiere que un gran incremento de a grandes profundidades, para limitar este efecto a parámetros modestos o más discretos, Hansen propuso los siguientes valores:
ara
ara
̅
Estas expresiones presentan una discontinuidad en
⁄
,sin embargo note el se tiene: uso de las expresiones “menor o igual que” y “mayor que”; para
⁄
“Valores de la relación para diferentes valores de en la ecuación general de capacidad de carga de Hansen”. Tomado de “Foundation, Analysis and Design, 5th Edition”,pág. 22 5, Bowles, J.E. (1997)
⁄ ⁄
Se puede apreciar que el uso de la expresión para controla el incremento en y y que son congruentes con las observaciones que establecen que aparenta aproximarse a un valor limitante a cierto valor de profundidad , donde éste valor de es referido frecuentemente como la profundidad crítica.
⁄
Ecuación de capacidad de carga de Vesic:
El procedimiento de Vesic (1973, 1975b), es esencialmente el mismo que el método de Hansen (1961), con cambios selectivos. Los factores de modificación de carga y son los mismos que usó Hansen pero el factor es un poco diferente (ver tabla 4-4). También existen diferencias en los términos y . La ecuación de Vesic es de alguna manera más fácil de aplicar que la de Hansen porque éste último usa los términos incorporándolos en los cálculos de los términos donde Vesic no lo hace.
Consideraciones sobre cuál ecuación usar:
Las ecuaciones de Terzaghi, siendo éstas las primeras en su tipo, han sido usadas ampliamente debido a su facilidad de uso (no se tiene que calcular todos los factores de modificación adicionales tales como forma, profundidad, entre otros), y todavía son muy usadas – quizás más de lo que deberían – sin embargo solo aplican para cargas aplicadas concéntricamente sobre una rasante de fundación completamente horizontal; estas no se pueden aplicar para fundaciones que resistan cortes horizontales y/o momentos aplicados ni para bases inclinadas. Los métodos tanto de Meyerhof como de Hansen son ampliamente usados para tales casos, el método de Vesic no ha sido muy difundido en su uso, sin embargo es el método sugerido por la norma API RP2A (1984). Como se ha señalado previamente, existe muy poca diferencia entre los métodos de Hansen y Vesic; dicho esto es bueno resumir de la forma siguiente:
⁄
1.- Usar las ecuaciones de Terzaghi para suelos muy cohesivos donde ,o para una estimación rápida de para compararlo con otros métodos. No se debe usar para fundaciónes con momentos y/o resistiendo fuerzas horizontales o para bases que se encuentren inclinadas o con subrasantes inclinadas.
2.- Usar las ecuaciones de Meyerhof, Hansen y Vesic para cualquier situación, dependiendo de la preferencia y afinidad que tenga el usuario con algún método en particular. 3.- Usar las ecuaciones de Hansen y Vesic cuando la base esté inclinada, cuando la fundación esté en una pendiente o cuando .
⁄
Se considera como buenas prácticas el uso de al menos dos métodos y comparar ambos valores de , si ambos valores discrepan mucho se recomienda usar un tercer método, en caso tal, use un promedio aritmético para calcular el valor del esfuerzo admisible para el diseño siempre y cuando el asentamiento no controle el diseño.
Consideraciones adicionales:
Se debe evitar usar tablas de factores de modificación de carga que requieran interpolación por encima de 2°; para ángulos de fricción interna mayores a 35° los factores pueden variar mucho y por grandes cantidades, las interpolaciones pueden arrojar grandes diferencias o errores, tanto así, que alguien que esté auditando el procedimiento no podrá verificar el valor de .
Los métodos usados para desarrollar las ecuaciones de capacidad de carga no satisfacen la condición de momento de equilibrio pero si satisface las condiciones y , ésta omisión no es importante debido a que las condiciones de equilibrio estático son obviamente satisfechas cuando se alcanza la carga última pero, por supuesto, el modelo de interacción puede no ser el mismo.
∑ ∑
Las ecuaciones de capacidad de carga tienden a ser conservadoras la mayoría de las veces, esto en parte debido a que es práctica común usar estimados conservadores para los parámetros de suelo. Adicionalmente, después de obtener un valor conservador de , el mismo es reducido más todavía al calcularse el esfuerzo admisible usando un factor de seguridad, esto significa que la probabilidad de que el valor sea “seguro” es bastante alta.
Hay evidencia que señala de que el término no incrementa la capacidad de carga sin límite para pequeñas fundaciones de aproximadamente 1m de ancho. Para valores elevados de base tanto Vesic (1969) como De Beer (1965) sugirieron que el valor límite de se aproxima para el caso de fundaciones profundas, el autor sugiere el siguiente factor de reducción:
para
Donde
para SI.
Ésta ecuación arroja los siguientes resultados:
“alores del factor
para diferentes anchos de base”. Tomado de “Foundation, Analysis and Design, 5th Edition”,pág. 230, Bowles, J.E. (1997)
Se puede usar éste factor de reducción con cualquier método de capacidad de carga conocido, ejemplo:
Esta ecuación es particularmente aplicable para bases de ancho grandes con relaciones pequeñas donde es el término que predomina. Sobre las ecuaciones de capacidad de carga en general se pueden resaltar los siguientes aspectos:
⁄
1.- La cohesión predomina en suelos cohesivos.
̅
2.- El término de profundidad pequeña profundidad incrementa
predomina en suelos sin cohesión, solo una substancialmente.
3.- El término de ancho de base incorpora un pequeño incremento en la capacidad de carga tanto en suelos cohesivos como en los no cohesivos. En casos donde este término puede ser despreciable con pequeño margen de error.
4.- No se debe proyectar una fundación en la superficie o rasante de una masa de suelo no cohesivo. 5.- Es altamente improbable que se proyecte una fundación sobre un suelo no cohesivo a una profundidad menor a 0,5. Si se trata de suelos sueltos deberá ser compactado previamente para elevar la densidad. 6.- En los casos donde el suelo debajo de la fundación no sea homogéneo o sea estratificado, cuidados especiales deben aplicarse para determinar su capacidad de carga. 7.- Cuando una fundación se debe diseñar para cargas particulares, a excepción del método de Terzaghi, se debe usar un proceso iterativo dado que los factores de forma, profundidad e inclinación dependen del ancho B, las iteraciones deben hacerse a razón de incrementar el ancho a cada 0,010m. 8.- Al compararse los métodos la ecuación de Terzaghi es mucho más fácil de aplicar que los otros, por lo tanto resulta muy atractivo de usar para muchos usuarios, particularmente para bases sometidas solo a cargas verticales y . La ecuación es también usada ampliamente para fundaciones profundas pero con factores de modificación de carga N ajustados.
⁄
9.- Vesic (1973) recomienda que los factores de profundidad no deben ser usados en fundaciones superficiales debido a incertidumbres en la calidad de la sobrecarga equivalente, sin embargo el incluye valores para tal caso a pesar de su recomendación.
⁄
