Metode bazate pe modelul mediului discret (modelul Winkler)
Modelul Winkler asimileaz ă terenul cu un mediu discret reprezentat prin resoarte independente (Fig. K.4 si K.5 ). Resoartele independente independente permit determinarea deformatiei terenului aflat sub baza fundatiei, dar nu şi în afara ariei direct înc ă rcate. rcate.
Relaţia caracteristică pentru modelul Winkler este: p = ks z unde: p - presiunea într-un punct al al suprafeţei de contact dintre funda ţie şi teren z - deformaţia pe verticala în acel punct ks - factor de propor ţionalitate între presiune şi deformaţie, care caracterizeaz ă rigiditatea resortului, denumit coeficient de pat Stabilirea valorii coeficientului de pat ks
1. Pe baza incercarii de incarcare cu placa (fig. K.6).
Pentru un punct de coordonate (p, z) apar ţinând diagramei de înc ă rcare rcare – tasare, în zona de comportare cvasi-liniar ă , coeficientul de pat se ob ţine: k's = p/z unde: k's - coeficientul de pat pat obţinut printr-o încercare cu placa de latur ă Bp
Pentru acelaşi teren, diagrama de înc ă rcare – tasare depinde de dimensiunile şi rigiditatea plă cii. Coeficientul de pat k s de utilizat în cazul unei funda ţii de latură B se determina in functie de k's: ks = α k's unde: α - coeficient de corelare definit de Terzaghi: Bp pentru pă mânturi coezive α= B 2 ( Bp + 0.3) α= pentru pă mânturi necoezive 2B unde: Bp - latura plă cii de formă pă trată ; Bp = 0.30m B - lăţimea bazei fundaţiei Pe baza parametrilor geotehnici de compresibilitate Coeficientul de pat, k s, se determina in functie de E s si νs: Es ks = km α(1 − ν s2 ) unde: km - coeficient funcţie de raportul dintre lungimea şi lăţimea suprafeţei de contact a fundaţiei a α= a: semilăţimea bazei fundaţiei b b: semilungimea bazei fundaţiei Coeficientul de pat, k s , se determina in functie de modulul edometric, E oed: ks B = 2 Eoed 2. Pe baza valorilor orientative, k s , date in tabelul K.2.
3. Prin calcul invers În cazul în care se dispune de valori mă surate ale modulelor de deformaţie liniară , Es, pentru toate stratele de pamant aflate in limita zonei active a fundatiei (definita conform anexei H), valoarea coeficientului de pat, k s , se obtine: p k s = ef s unde: pef - presiunea efectiva medie la baza fundatiei s - tasarea absolută probabilă a fundaţiei
Metode analitice de calcul Grinda continuă pe o singură direcţie Grinda de lungime infinită încă rcată cu o forţă
concentrată (fig. K.7)
Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate a grinzii solicitată la încovoiere se scrie: 4
dz =p dx 4 unde: p - încă rcarea pe unitatea de lungime EI - rigiditatea grinzii Între p şi presiunea de contact la nivelul tă lpii de fundare se poate scrie rela ţia: p = pB unde: B - lăţimea grinzii Înlocuind se obține: 4 dz EI 4 + pB = 0 dx d 4 z 4k s B + z=0 dx 4 4EI kB Se introduce notaţia: λ = 4 s , unde λ se mă soară în m-1. 4EI Ecuaţia devine: 4 dz + 4λ 4 z = 0 4 dx Soluţia generală a ecuaţiei este: λx z = e ( C1 cos λx + C 2 sin λx ) + e −λx (C 3 cos λx + C 4 sin λx ) Constantele de integrare C i, i=1÷4, se determină din condiţiile de margine: Ecuaţia devine: Pλ −λx Pλ ϕ ( λx ) z= e ( cos λx + sin λx ) = 2k s B 2k s B 1 unde: ϕ1 ( λx ) = e−λ x ( cos λx + sin λx ) dz Pλ 2 −λ x Pλ 2 e sin λx = − =θ=− ϕ ( λx ) dx ksB k sB 2 EI
unde : ϕ2 ( λx ) = e −λ x sin λx 1 Se introduce nota ţia l e = , unde le este lungimea elastic ă . λ
Ple −λ x Pl e ( cos λx − sin λx ) = − e ϕ3 ( λx ) 4 4 unde : ϕ3 ( λx ) = e −λ x ( cos λx − sin λx ) P P T = − e−λ x cos λx = − ϕ4 ( λx ) 2 2 −λ x unde : ϕ4 ( λx ) = e cos λx M=−
Grindă de lungime infinită acţionată de mai multe forţe concentrate:
În situaţia în care grinda este ac ţionată de mai multe forţe concentrate P i, i=1÷n, determinarea valorilor pentru z, θ, M, T într-o secţiune dată se face prin suprapunerea efectelor (fig. K.10):
z=
λ
2k s B λ2
n
∑ Pi ϕ1 ( λx i ) i =1 n
Piϕ2 ( λx i ) ksB ∑ i =1 le n M = ∑ Pi ϕ3 ( λx i ) 4 i =1 1 n T = ∑ Pi ϕ4 ( λx i ) 2 i =1 Grindă de lungime infinită acţionată de un moment încovoietor Momentul încovoietor M 0 este înlocuit în calcul prin cuplul P_x (fig. K.11). θ=
Pentru determinarea tas ă rii grinzii într-o secţiune situată la distanţa x faţă de punctul de aplicare al cuplului se utilizeaz ă relaţia. Astfel, pentru calculul s ă geţii în cazul grinzii infinite ac ţionată de un moment încovoietor M0 este utilizată funcţia φ2(λx) , funcţie care descrie rotirea în cazul grinzii infinite acţionate de o for ţă concentrată P. Aceasta înseamn ă că pentru θ, M şi T se vor utiliza, prin permutare, func ţiile φ1, φ3 şi φ4 după coresponden ţa descrisă în tabelul K.7.
M0λ2 z= ϕ ( λx i ) 2k s B 2 M 0λ3 θ= ϕ ( λx i ) k sB 3 M M = 0 ϕ 4 ( λx i ) 2 M T = − 0 ϕ1 ( λx i ) 2le Grinda de lungime finită Pentru folosirea funcţiilor determinate în cazul grinzii de lungime infinit ă , grinda de lungime finită se calculeaz ă prin metoda forţelor fictive. Se consider ă grinda de lungime finit ă care este transformat ă în grindă infinită prin prelungirea fictivă a capetelor A şi B (fig. K.12).
Asupra grinzii de fundare considerat ă ca grindă infinită acţioneaz ă sistemul de încă rcă ri Pi, i=1÷n, împreună cu forţele fictive Vi, i=1÷4 amplasate de o parte şi de cealalt ă a grinzii cu valori astfel determinate încât starea de eforturi şi deformaţii în grinda de lungime finită să nu se modifice. Pentru determinarea for ţelor fictive se impun condi ţiile pentru capetele libere ale grinzii şi anume: MA=0, TA=0, MB=0, TB=0. Utilizând funcţiile φ3 şi φ4 definite anterior şi impunând condi ţiile pentru capetele libere ale grinzii se ob ţin patru ecuaţii liniare pentru determinarea valorilor for ţelor fictive. Pentru simplificarea calculelor se alege distan ţa de la forţa V1 la capă tul A al grinzii astfel încât momentul încovoietor s ă fie egal cu zero, iar punctul de aplica ţie pentru V2 astfel încât forţa tă ietoare corespunz ă toare în secţiunea A să fie egală cu zero. În acelaşi mod se procedează şi cu forţele V3 şi V4 cu privire la momentul şi forţa tă ietoare în capă tul B al grinzii. Din tabelele pentru func ţiile φ3 şi φ4 rezultă că , pentru ca for ţele fictive care apar întro ecuaţie să se anuleze alternativ, distan ţele de la capetele grinzii finite la punctele de aplicaţie ale forţelor fictive să fie alese după cum urmează :
x=
π π pentru care ϕ3 = 0 4λ 4
x=
π π pentru care ϕ4 = 0 2λ 2
Forţele Vi, i=1÷4 astfel obţinute se introduc în schema de înc ă rcare a grinzii finite iar calculul deformaţiilor şi al eforturilor secţionale se poate face utilizând tabelele şi diagramele pentru grinda infinită . Pentru momentele concentrate momentele fictive vor fi alese dup ă cum urmează : x=
π π pentru care ϕ4 = 0 2λ 2
x=
3π 3π pentru care ϕ = 0 4λ 4