UNIVERZITET U NIŠU M AŠINSKI FAKULTET Katedra za proizvodno informacione tehnologije i menadžment
OBRADA METALA PLASTIČNIM DEFORMISANJEM Tema: TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA
Dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
2
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona
Dejstvo spoljašnjih sila na čvrsto telo izaziva u njemu pojavu unutrašnjih (otpornih) sila čiji količnik sa jedinicom površine, kada ista teži nuli, u mehanici kontinuma predstavlja napon (stress ):
F d F t lim A0 A dA ( n)
Dakle, vrednost ukupnog napona
pored sile i površine zavisi od pravca normale na izabranu površinu.
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
3
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona Ukoliko se navedeni vektor ukupnog napona u
izabranoj tačci kontinuma razloži u dva upravna pravca dobija se normalna i tangencijalna komponenta napona : (n)
t
n n
t 2 2 2
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
4
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona
Kako naponsko stanje u tačci kontinuma zavisi od položaja izabrane ravni, odnosno njene normale, ukupni napon po Košiju, predstavlja skalarni proizvod :
n T gde je naponsko stanje u tačci čvrstog tela definisano (n)
t
tenzorom napona (stress tensor ):
x xy xz T yx y yz zx zy z 2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
5
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona
S obzirom na to da važi zakon o konjugovanosti smičućih napona ( xy yx ,... , naponsko stanje je definisano sa šest komponenata tenzora napona.
Tenzor napona se može razložiti na sferni tenzor (spherical tensor ) napona (T s ) i devijator napona (stress deviator ) ( D ): xz x xy s T T D y yz yx zx zy z 2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
6
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona gde je: srednji normalni napon (mean normal stress ). Promenu oblika i dimenzija tela može proizvesti samo devijator napona, dok sferni tenzor napona proizvodi samo promenu zapremine tela. Srednji normalni napon (hidrostatički pritisak) se
definiše sledećom relacijom: x y z 1 2 3 m 3
3
gde su: 1 , 2 , 3 glavni normalni naponi (principal stress ). 2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
7
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona Glavni normalni naponi (pricipal stress ) za izabranu tačku kontinuma deluju u tri međusobno upravne ravni, glavne ravni (principal plane ) u kojima su smičići naponi jednaki nuli.
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
8
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona
Glavni smičići naponi (pricipal shear stress ) deluju u parovima ravni, pod uglom od 45 i pri tome važe relacije: 1 2 2 3 3 1 ; 23 ; 31 ; 12 2 2 2
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
9
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona Efektivni normalni napon (effective stress )
predstavlja pozitivnu skalarnu veličinu, ekvivalentnu dejstvu svih komponenata tenzora napona: 1 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 e 2
odnosno ekvivalentni smičući napon: e
e
3
Kako u procesima deformisanja metala egzistiraju mala ubrzanja i inercijalne sile, diferencijalne jednačine ravnoteže su: 2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
10
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam napona x xy xz 0 x y z yx y yz 0 x y z zx zy z 0 x y z
Tri jednačine ravnoteže sadrže šest nepoznatih komponentnih napona, pa su za njihovo rešavanje potrebne dodatne jednačine; problem je, dakle, tri puta statički neodređen. 2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
11
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam deformacija
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
12
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam deformacija Pojmom deformacija (strain ) u mehanici kontinuma se
definišu promene međusobnih rastojanja materijalnih tačaka čvrstog tela.
Napomena: Pri praktičnim proračunima kao pokazatelj deformacionog stanja bira se karakteristični stepen deformacije, sa pozitivnim predznakom. 2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
13
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam deformacija Apsolutna deformacija (elongation ) predstavlja
razliku odgovarajućih dimenzija pre i nakon deformisanja: x x0 x1
y y0 y1 z z 0 z 1
Takođe, moguće je definisati pojam relativne ili jedinične deformacije (nominal strain ), na primer: x
x x0
x0 x1 x0
,
z z 0 z 1 z z 0
z 0
ili realtivna promena poprečnog preseka (reduction in area ) :
A A0 A1 A0
2. december 2013
A0
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
14
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam deformacija Najbolji pokazatelj deformacija je logaritamska deformacija (logaritmic, natural strain ) : z 0
j
dz
z 0
z n z
n
1
z 1
A1 A0
j z
to je prirodni logaritam količnika početne i trenutne dimenzije.
Pri ravnomernom istezanju cilindrične epruvete mogu se definisati: relativno izduženje (), relativna promena poprečnog preseka () i logaritamska deformacija (j). Između njih postoji jednoznačna veza: 1 2. december 2013
1 1
ej
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
15
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam deformacija
Deformaciono stanje u tačci čvrstog tela je definisano tenzorom deformacije (strain tensor ): x 1 T yx 2 1 2 zx
U x x 1 U U y x y 2 x 1 U z U x 2 x z 2. december 2013
1
2
xy
y
1 2
zy
1
2 1
yz 2 z
U y x 2 y U y y 1 U x U z 2 z x 1 U x
xz
U z x 2 z 1 U y U z y 2 z U z z
1 U x
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
16
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam deformacija Tenzor deformacije (strain tensor ) se može razložiti s T na sferni tenzor deformacije i devijator deformacije D 1 1 x xy xz 2 2 1 1 s yx y yz T T D 2 2 1 1 zx zy z 2 2 gde je: - srednja linijska deformacija (mean linear strain ) i definiše se sledećom relacijom: x y z 1 2 3 3
2. december 2013
3
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
17
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam deformacija Glavne linijske deformacije unutar kontinuma za datu
tačku javljaju se u tri međusobno upravna glavna
pravca u kojima su ugaone deformacije jednake nuli. Glavne ugaone deformacije unutar kontinuma za datu
tačku javljaju se u ravnima, koje su paralelne sa jednom koordinatnom ravni i koje sa ostalim koordinatnim ravnima grade uglove od 45; pri tome važe relacije: 12
1 2 ;
2. december 2013
23
2 3 ;
31
3 1 ;
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
18
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Definicije i pojam deformacija Ekvivalentna deformacija (equivalent strain )
predstavlja pozitivnu skalarnu veličinu, koja treba da zameni dejstvo svih komponenata tenzora deformacije : e
2 3
( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2
odnosno ekvivalentna ugaona deformacija: e 3 e
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
19
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA
Veza između napona i deformacija
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
20
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA
Veza između napona i deformacija U oblasti elastičnosti ta veza je jednoznačna, odnosno jednom naponu odgovara jedna deformacija, odnosno po Hook-ovom zakon u x pravcu imamo: x
1 E
x
p y z
odnosno deformacija smicanja u xy ravni je: xy
xy
G
gde je E - modu elastičnosti, p - Poasonov koeficijent i G – moduo klizanja: E G 21 p 2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
21
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA
Veza između napona i deformacija U oblasti plastičnosti veza između napona i deformacija (constitutive equation ) nije jednoznačna, jednom naponskom stanju odgovara samo jedno deformaciono
stanje, ali obratno ne važi, odnosno jedno deformaciono stanje mogu da proizvedu različita naponska stanja. U području malih elastično plastičnih deformacija postoji veza:
D D
U području plastičnog tečenja važi sledeća realcija između devijatora deformacija i devijatora napona: Dd d D 2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
22
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA
Veza između napona i deformacija ili u razvijenom obliku: d x x
d y y
d z z
d
Prema deformacionoj teoriji, za veće plastične deformacije kontinuma, veze između glavnih napona i glavnih deformacija definišu se sledećom relacijom: 1 2 e 1 2 2 3 3 1 3 j e j 1 j 2
2. december 2013
j 2 j 3
j 3 j 1
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
23
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Prikaz naponsko deformacionog stanja
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
24
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Prikaz naponsko deformacionog stanja Naponsko i deformaciono stanje kontinuma promenljivo je u toku procesa deformisanja. Pojedini delovi
zapremine su izloženi elastičnim odnosno plastičnim deformacijama u različitim vremenskim intervalima. Za
njihov slikoviti prikaz i analizu koriste se izdvojeni delovi deformabilne zapremine .
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
25
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Prikaz naponsko deformacionog stanja
Tri strelice na elementu zapremine označavaju troosno (zapreminsko) naponsko i deformaciono stanje; dve strelice dvoosno (ravansko) naponsko i deformaciono stanje; jedna strelica jednoosno (linearno) naponsko stanje.
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
26
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA Prikaz naponsko deformacionog stanja
Moguća deformaciona stanja
Moguća naponska stanja
2. december 2013
dr Saša Ranđelović, vanredni profesor
27
TEORIJA NAPONA I DEFORMACIJA
2. december 2013
28
