Tugas T ugas Fisika Stat Statisti istik k Resume Bab 11
Oleh : Muhammad Habibie NIM 15726251040
PROGRAM ST!I P"N!I!I#AN $ISI#A PROGRAM PAS%ASAR&ANA NI'"RSITAS N"G"RI (OG(A#ARTA 2016
TERMODIN TERM ODINAMIKA AMIKA ST STA ATIS TISTIK TIK 11. PENDAHULUAN Pendekatan statistik memiliki hubungan yang dekat baik dengan termodinamika maupun maupun teori teori kinetik kinetik gas. gas. Pada Pada sistem sistem partik partikel el dimana dimana energi energi partik partikelny elnyaa dapat dapat ditentukan, ditentukan, Anda Anda dapat menurunkan menurunkan persamaan persamaan keadaan keadaan dan persamaan persamaan energinya energinya dengan rata-rata statistik. Termodinamika statistik memberikan penafsiran entropi yang lebih mendalam. Termodinamika statistik tidak seperti teori kinetik gas, tidak hanya berkutat kepada tinjauan tumbukan antar molekul maupun tumbukan molekul dengan dinding. Lebih dari dari itu, itu, termodi termodinam namika ika statisti statistik k menyad menyadari ari kenya kenyataan taan bahwa bahwa moleku molekul-m l-molek olekul ul berjumlah sangat banyak dan karakteristik karakteris tik rata-rata dari rata-rata dari sejumlah besar molekul dapat dihitung bahkan tanpa mengetahui informasi spesifik dari molekul tertentu. Metode Metode statisti statistik k dapat dapat diterap diterapkan kan tidak tidak hanya hanya pada pada moleku molekull tetapi tetapi juga juga foton, foton, gelombang elastik pada zat padat, dan entitas fisika kuantum yang abstrak yang disebut fungsi fungsi gelombang. gelombang. ita akan menggunakan menggunakan istilah netral !partikel" untuk merujuk kepada besaran-besaran tersebut. 11.1 KEADAAN ENERGI DAN TINGKAT ENERGI
Gamba) 11*1. Tiga gelombang stasioner yang pada senar yang terikat pada kedua ujung
#alam beberapa kejadian, persamaan ini, se$ara eksak analogi dengan persamaan gelombang yang menjelaskan perambatan gelombang trans%ersal dalam sebuah dawai yang ditegangkan, yang ujung-ujungnya terikat. &eperti yang sudah banyak diketahui,
dawai dawai akan akan berget bergetar ar dalam dalam keadaa keadaan n steady steady dalam bentuk gelombang stasioner, tiga diantaranya seperti yang ditunjukkan dalam +amba) 11*1. Terdapat sebuah simpul ' pada amplitudo minimum dan perut A pada amplitudo maksimum. esimpulan yang penting dari ini semua adalah bahwa selalu ada bilangan bulat dari dari perut dalam mode getaran pada keadaan steady keadaan steady(( ) perut pada gambar ))-) *a+, pada gambar ))-) *b+, dan dan selan selanju jutny tnya. a. arak arak antar antaraa simp simpul ul dan dan peru perutt sebesa sebesarr seten setengah gah dari dari panj panjan ang g
λ gelomb gelombang ang,, sehingg sehinggaa jika jika L merupakan merupakan panjang dawai, dawai, panjang gelombang gelombang gelombang stasioner yang mungkin adalah ) λ = ⋅ L λ ) = L , ,
λ
dari
)
= ⋅ L
,
d.l.l(
atau se$ara umum dapat dinyatakan din yatakan dengan,
λ f
=
) n j
L,
n j dimana merupakan jumlah perut / ), , , . . . 0erdasarkan 0erdasarkan mekanika mekanika kuantum, kuantum, gelombang gelombang &$hrodinge &$hrodingerr stasioner stasioner sebenarnya sebenarnya
λ ekui%alen ekui%alen dengan partikel ini, dan panjang gelombang gelombang
dari gelombang stasioner
berhubungan dengan momentum momentum p p dari dari partikel yang memenuhi persamaan h p = λ *))-)+ dimana h merupakan konstanta Plank$. #alam sistem M& 3,34 × )2 −1 h= s Momentum partikel yang diperbolehkan hanya memiliki salah satu dari serangkaian keadaan p j
= n j
h L
*))-+ ika sebuah partikel bergerak babas dalam arah manapun di dalam kubus dengan sisi L sisi L yang sisi-sisinya sisi-sisinya sejajar dengan sumbu x, x, y, y, z dari dari sistem koordinat kartesius, komponen momentum x momentum x,, y, y, dan z dan z diperbolehkan diperbolehkan hanya memiliki nilai sebagai berikut. h h h p x = n x p y = n y p z = n z L L L , , dengan n x, n y, dan n z merupakan merupakan bilangan bulat yang disebut dise but bilangan kuantum, masingmasing dapat memiliki beberapa nilai ), , , d.l.l. Masing-masing bilangan kuantum
bertanggung jawab terhadap arah dari momentum. emudian jika p j merupakan resultan momentum dari beberapa momentum n x, n y, n z . p
j
= p + p + p = *n + n + n
x
+n +n +=n
x
y
z
x
y
z
+
h 1 L (
*n
y
z
atau, jika kita tuliskan
j
, maka
p
j
=n
j
h 1 L
∈ 5nergi kinetik
dari sebuah partikel bermassa m, ke$epatan v, dan momentum p /
mv adalah
∈=
)
mv
∈ j 5nergi
=
p m
p j berhubungan dengan momentum p j
∈ j =
m
, oleh karena itu
=n
j
h
6mL
*))-+ 'ilai dari n x, n y, dan n z disebutkan untuk mendefinisikan keadaan dari sebuah
n j partikel, dan energi yang berhubungan dengan nilai kemungkinan dari
merupakan
n j tingkat energi. Tingkat energi bergantung hanya kepada nilai dari
dan bukan
tergantung pada nilai indi%idu n x, n y, dan n z . #engan kata lain, energi hanya bergantung kepada besar momentum p j dan tidak bergantung kepada arahnya. 7olume V dari kotak kubus dengan sisi L adalah L3, sehingga L2 / V 2/3( dan persamaan *))-+ dapat ditulis, untuk partikel bebas dalam kotak kubus adalah, h ∈ j = n j V − 8 6m *))-1+ n) = Tingkat energi terendah * j / )+ adalah untuk n x / n y / n z / ). emudian dan h − 8 V ∈ j = 6m
9anya ada satu keadaan *satu set bilangan kuantum nx, ny, nz + yang memiliki energi
ini. :leh karena itu, tingkat energi terendah tak terdegenerasi dan g1 / ). omponen x,
y, dan z berhubungan dengan momentum p1 adalah sama, dan masing-masing sama
dengan h/2L. Pada tingkat energi selanjutnya * j / + kita mungkin memiliki salah satu dari keadaan
berikut ini;
nx
ny
nz
)
)
)
)
)
)
:leh karena itu, pada keadaan pertama, $ontohnya, momentumnya adalah h h h p x = , p y = , p y = , L L L
n
= *n x + n y + n z + = 3
Pada masing-masing keadaan,
, dan pada tingkat energi ini,
∈ j =
3h
6m
V − 8
arena tiga keadaan memiliki energi yang sama, tingkat degenerasinya g 2 / .
∈ j Gamba) 11*2. =epresentasi skematik dari serangkaian tingkat energi
, tingkat degenerasinya g j dan
bilangkan okupasi j.
#engan jelas, jumlah dari bilangan okupasi j dari semua tingkat energi sama dengan jumlah total partikel ;
∑
=
j
j
*))-4+
&elain itu, karena partikel dalam keadaan ini terlibat dalam beberapa keadaan j
∈ j semuanya memiliki energi yang sama
, energi total dari partikel pada tingkat energi j
∈ j j adalah
dan energi total ! dari sistem adalah ∈ j j = !
∑ j
*))-4+ ika sistem berada dalam medan gaya konser%atif seperti medan gra%itasi, listrik, atau magnet, energi total ! akan terdiri dari sebagian dari potensial energi ! p dari sistem. ika energi potensial adalah nol, energi total ! kemudian merupakan energi dalam " dan
∑∈ j
j
= "
j
*))-4+
11-2 KEADAAN MAKRO DAN KEADAAN MIKRO
&pesifikasi dari jumlah j pada masing-masing tingkat energi disebut sebagai keadaan makro dari assembly. >ontohnya, keadaan makro dari gambar ))- ditetapkan sebagai serangkaian bilangan okupasi 1 / 4, 2 / 1, 3 / , # / . ika partikel tak terbedakan, spesifikasi dari jumlah total partikel pada masingmasing energi disebut sebagai keadaan mikro dari assembly.
ika satu atau dua partikel pada tingkat energi 1 berada pada keadaan selain *+ dan *4+, keadaan mikronya akan menjadi berbeda, tetapi keadaan makronya akan tidak berubah karena kita masih memiliki # / . #engan jelas, banyak keadaan mikro yang akan berhubungan dengan keadaan mikro yang sama. ika partikel terbedakan, spesifikasi dari keadaan energi dari masing-masing partikel disebut sebagai keadaan mikro dari assembly. ?aitu, kita harus menetapkan tidak hanya berapa banyak partikel dalam masing-masing keadaan, tetapi partikel yang mana mereka itu. Maka anggaplah bahwa partikel pada gambar ))- terbedakan dan ditandain dengan a$ b$ %$ d.l.l dan pada tingkat energi ke-1 partikel a berada pada keadaan *+ dan partikel *b+ beada pada keadaan *4+( pada tingkat energi ke-, partikel % berada pada keadaan *)+ dan partikel d dan e berada pada keadaan *+ dan *1+ berturut-turut, dan selanjutnya. ika ada lebih dari satu partikel pada keadaan energi tertentu, penukaran dari susunan huruf-huruf tanda partikel tidak dianggap berubah pada keadaan mikro. :leh karena itu, anggaplah dua partikel *)+ pada tingkat energi ditandai p dan &. eadaan mikro dianggap sama jika huruf ditulis susunan p& dan &p. eadan mikro dan makro yang mungkin dari assembly partikel analogi dengan tabel umur sekolompok indi%idu. &ebagai $ontoh misalkan ada sejumlah anak-anak pada masing-masing kelas di sekolah dasar yang memiliki total 36 siswa. elas
)
1
4
um.Ana
32
@2
3
3)
3
4
k elas berhubungan dengan tingkat energi dan spesifikasi jumlah anak pada masingmasing kelas mendefinisikan keadaan makro. eadaan makro yang berbeda dengan jumlah total anak yang sama ditampilkan sebagai berikut. elas
)
1
4
um.Ana
4
4@
32
@
3
31
k
Perubahan distribusi mungkin memiliki akibat makroskopik( membutuhkan jumlah guru yang berbeda, perbadaan peralatan, perbedaan jumlah buku teks, d.l.l. Tiap kelas dapat dibagi ke dalam beberapa kelas, yaitu, pada keadaak makro pertama menjelaskan mungkin ada kelas pada kelas ) dan kelas pada kelas . elas-kelas i ni akan berhubungan dengan keadaah degenerasi energi dari masing-masing tingkat energi. Mungkin ada keadaan degenerasi pada tingkat energi ke-), d.l.l.
ika anak-anak dipertimbangkan sebagai partikel tak terbedakan *$ontoh yang sebenarnya kurang baik+, kemudian keadaan mikro sistem akan menjadi elas
)*a+
)*b+
)*$+
*a+
*b+
um.Ana
32
4
2
k
eadaan mikro yang berbeda dari keadaan makro yang sama misalkan seperti ini elas
)*a+
)*b+
)*$+
*a+
*b+
um.Ana
32
2
4
4
2
k
Meskipun jumlah anak pada masing-masing kelas berubah, jumlah anak-anak pada msing-masing kelas adalah tetap. Akan tetapi, pada distribusi, elas
)*a+
)*b+
)*$+
*a+
*b+
um.Ana
32
2
@
2
2
k akan berhubungan dengan keadaan makro karena jumlah anak pada masing-masing kelas berubah, meskipun jumlah anak ssatu sekolah tetap konstan. etika anak-anak ditinjau sebagai partikel terbedakan, keadaan mikro berbeda, jika 5%elyn berada pada kelas )*a+ dan Mildred pada kelas )*b+, atau lainnya, atau atau jika keduanya berada pada kelas )*b+. Akan tetapi, pada kasus terakhir keadaan mikro sama jika nama Mildred mun$ul sebelum 5%elyn atau setelah 5%elyn dianggap sama saja 11-3 PROBABILITAS TERMODINAMIKA
&e$ara alternatif, seseorang dapat meninjau sejumlah besar N
assembly tertentu *sebuah ensembel+. Misalkan,
∆N
dari replika dari
menjadi jumlah dari replika
yang berada pada beberapa salah satu keadaan mikro yang mungkin. Postulat
termodinamika statistik dapat dinyatakan sebagai jumlah
∆N
adalah sama untuk
semua keadaan mikr'. Postulat tersebut tampatknya tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip-prinsipdasar, dan tentu itu tidak bisa dibuktikan se$ara eksperimen. #asar kebenaran terletak pada kebenaran dari kesimpulan yang ditarik dari kesimpulan ini. #engan mengingat $ontoh pada pembahasan sebelumnya, jika semua keadaan mikro memiliki kemungkinan yang sama dan populasi sekolah dibatasi maksimal 36 siswa, waktu berjalan dari tahun ke
tahun, semakin lama masing-masing distribusi siswa pada masing-masing kelas akan sama dengan satu sama lain. &e$ara alternatif, jika dalam selang waktu tertentu seseorang mengamati beberapa sekolah dasar yang memiliki populasi 36 siswa, maka masing-masing distribusi anak tiap kelas akan memiliki frekuensi yang sama. Pada masing-masing kasus, $ontoh yang disajikan pada pembahasan sebelumnya akan terjadi dengan rentang waktu yang sama.
umlah keadaan mikro yang memiliki kemungkinan sama yang berhubungan dengan keadaan mikro k disebut probabilitas termodinamika W *&imbol W
dari keadaan makro.
k
berasal dari huruf erman yang berarti probabilitas dari asal kata, Ω
(ahrs%heinli%hkeit . umlah total
dari keadaan mikro dari sebuah assembly, atau
probabilitas termodinamika dari assembly, sama dengan jumlah semua keadaan makro dari probabilitas termodinamika dari masing-masing keadaan mikro;
Ω = ∑W k k
Maka tujuan utama daru teori statistik adalan untuk menurunkan ungkapan rata-
j rata dari jumlah partikel
pada masing-masing tingkat energi j dari assembly.
ngkapan ini dapat diturunkan yang disebut bilangan 'kupasi dari tingkat energi j. Misalkan jk merupakan bilangan okupasi dari tingkat energi j pada keadaan makro g
j k . 'ilai rata-rata kelompok dari bilangan okupasi dari tingkat energi j,
, ditentukan
dengan mengalikan jk dengan jumlah replika pada keadaan makro k , dengan N
menjumlah semua keadaan makro dan membaginya dengan jumlah replika,
.
umlah total dari replika dari sebuah assembly yang berada pada keadaan makro k sama
dengan hasil kali jumlah replika
∆N
yang berada dalam beberapa keadaan mikro dan
k
jumlah keadaan mikro
yang terkandung dalam keadaan makro. :leh karena itu g ) j = jk W k ∆N N
Akan tetapi, N
∑ k
= ∑W k ∆N k
#an karena
∆N
sama untuk semua keadaan makro, kita dapat mengembalikannya
dari penyebut dan pembilangnya. =ata-rata kelompoknya adalah, jk W k g ) k j = jk W k =
∑ ∑W
k
Ω∑ k
k
*))-6+ &ama halnya, kita dapat menghitung rata-rata waktu dari bilangan okupasi dari g
j tingkat energi j,
. &eperti yang telah dijelaskan di atas, postulat bahwa semua
keadaan mikro memiliki kemungkinan yang sama berarti bahwa selama periode
∆t tertentu, masing-masing keadaan mikro mun$ul dengan inter%al
yang sama. Total
waktu assembly yang ditemukan pada keadaan makro k merupakan hasil waktu
∆t inter%al waktu
k
dan jumlah keadaan mikro dari keadaan makro k ,
. umlah dari
hasil perkalian ini untuk semua keadaan mikro merupakan total waktu t ; t = W k ∆t
∑ k
g
j =ata-rata waktu dari bilangan okupasi dari tingkat energi j,
, ditentukan dengan
∆t
k
mengalikan bilangan okupasi jk dari tingkat energi j dalam keadaan makro k ,
,
dengan yang assembly habiskan dalam keadaan makro k , dengan menjumlahkan hasil perkalian ini dalam semua keadaan makro, dan membaginya dengan total waktu t) :leh karena itu, waktu rata-ratanya adalah t j
=
)
∑ ∆t = ∑
jk W k
∑ t
jk W k
k
∆t
k
W k
∆t
k
karena
∆t
sama untuk semua keadaan makro, kita dapat mengembalikannya dari
penyebut dan pembilangnya. =ata-rata kelompoknya adalah, jk W k t ) j = k jk W k =
∑ ∑W
k
Ω∑ k
k
*))-B+
Perbandingan persamaan *))-6+ dan *))-B+ menunjukkan bahwa jika semua keadaan mikro memiliki kemungkinan yang sama, rata-rata *aktu dari bilangan
j okupasi sama dengan rata-rata kelompok, dan kita dapat menuliskannya sebagai
.
11-4 STATISTIK BOSE-EINSTEIN k
Peluang termodinamik
keadaan mikro sebuah assembly bergantung pada statistik
partikel-partikel yang dipatuhi oleh assembly. Pada beberapa penyusunan partikel pada tingkat j. ita mungkin memiliki partikel a dan b pada tingkat ), partikel % pada tingkat , tidak ada partikel, yang berada pada tingkat , partikel d$e$f pada tingkat 1, dan seterusnya. #istribusi partikel pada tingkat ini dapat dinyatakan dalam sebuah persamaan ; C*l+abD C*+%D C*DC*1+def D ..........................................*)- )2+ #imana dalam setiap kelompok dalam kurung tersebut terdapat huruf yang mengikuti nomor didepannya yang menandakan bahwa partikel-partikel tersebut berada pada tingkat-tingkat yang diwakili oleh nomor. ika semua nomor dan huruf disusun dalam semua deret yang mungkin dari g j
partikel-partikel di sekitar tingkat-tingkat energinya sehingga ada * g j
dan setiap deret
+ − )+
mengandung
angka-angka dan notasi-notasi yang dapat disusun pada
setiap keadaan. &ejumlah deret yang berbeda dimana objek terbedakan dapat disusun menjadi E *' faktorialF. Ada pilihan untuk bentuk yang pertama dalam * − )+
deret tersebut,
* − +
untuk bentuk yang kedua,
untuk bentuk yang ketiga,
dan seterusnya. umlah keseluruhan dari semua deret yang mungkin adalah ; * - )+* G + . . .) / E &ebagai $ontoh, ada tiga huruf a, b, dan $ dapat disusun menjadi deret sebagai berikut ; ab%$ a%b$ b%a$ ba%$ %ba$ %ab ita melihat bahwa ada enam deret yang mungkin, yang sebanding dengan E.
#engan menggunakan $ontoh pada bagian sebelumnya, jumlah ( dari deret yang berbeda di mana @2 anak-anak kelas satu dapat berbaris adalah @2E. ditunjukkan pada Lampiran > pendekatan &tirlingH s) untuk logaritma natural dari faktorial untuk I adalah
ln xE = x ln x
− x.
arenanya ln @2E = @2 ln @2
− @2 = 14
log )2 @2E = 14 8 .2 = )23 @2E = )2
* g j
)26
+ − )+
umlah deret yang mungkin dari
* g j
nomor dan huruf karena itu g j
dan jumlah total dari semua deret dari g j C* g j
+ − )+
j
nomor dan
huruf adalah
+ − )+ED......... ............................................*)) − ))+
Meskipun masing-masing dari urutan ini merupakan kemungkinan distribusi partikel antara tingkat-tingkat energi, banyak dari mereka mewakili distribusi yang sama. Misalnya, salah satu deret yang mungkin sebagai berikut; C*+D C*l+abD C*1+def D C*F%D . . . arena partikel sebenarnya dibedakan, urutan yang berbeda dari persamaan seperti berikut ; C*l+%aD C*+eD C*+D C*1+bdf D . . . juga mewakili distribusi yang sama dengan *))-)2+ karena setiap tingkat diberikan j mengandung jumlah partikel yang sama. 9uruf-huruf
dapat disusun dalam urutan
j E
j E
$ara yang berbeda, jadi *))-))+ juga harus dibagi dengan pada distribusi yang berbeda untuk tingkat j adalah ;
ω j
=
g j C g j
+ j − )+ED
g j E j E
yang mungkin lebih mudah ditulis sebagai
1 James Stiri!g" Matematika#a! Sk$ta!%ia &1'(')1**+,
karenanya angka
ω j
=
+ j − )+E ,.......................................*)) − )+ * g j − )+E j E
* g j
dimana, g j E = g j * g j
− )+E
ika tingkat tidak terdegenerasi, jika hanya ada satu keadaan pada tingkat dan g j
=) , maka hanya ada satu $ara yang mungkin di mana partikel-partikel di tingkat itu
ω j bisa disusun, dan karenanya
=)
g j
=)
Tetapi jika
ω j
=
, Persamaan.*))-)+ menjadi
j E 2E j E
= ).
2E = ) :leh karena itu kita harus mengatur
, yang dapat dianggap sebagai kon%ensi yang
diperlukan untuk mendapatkan jawaban yang benar. &ebuah diskusi lebih lanjut dapat ditemukan dalam Lampiran >. j
=2
ika tingkat j adalah kosong dan
ω j
ω j dan
=
* g j * g j
− )+)
− )+E*2+E
=)
=) untuk tingkat itu.
ntuk masing-masing kemungkinan distribusi dalam berbagai tingkat, kita boleh menggunakan apa saja dari kemungkinan distribusi dalam masing-masing tingkat yang + − !
lain, jadi jumlah total dari kemungkinan distribusi, atau peluang termodinamika
ω j adalah perkalian pada semua tingkat dari nilai-nilai
untuk masing-masing tingkat
atau ; + − !
=W , = ∏ ω j = ∏ j
j
+ j − )+E ,........................*)) − )+ * g j − )+E j E
* g j
∏ j #imana simbol
, berarti bahwa t'tal perkalian dari semua fa$tor yang mengikuti,
∑ j untuk sebuah nilai dari subskrip j. 9al ini sesuai dengan simbol
yang merupakan
t'tal penjumlahan dari sebuah deretan fa$tor-faktor. k
Peluang termodinamika g j
untuk tiap-tiap keadaan makro, untuk keadaan makro,
=
k /), saat
dalam semua tingkat dan semua jumlah kerja adalah nol ke$uali dalam
3 tingkat 3, dimana
=)
2 = 4, , dan dalam tingkat 2, dimana )
=
+ ) − )+E * + 4 − )+E . = x) = 3. E)E E4E
Artinya, partikel tunggal ditingkat 3 yang terdapat dalam tiga keadaan, dan di tingkat terendah lima partikel yang tersisa akan didistribusikan dalam ) $ara yang berbeda di antara tiga keadaan, membuat total 3 kemungkinan penyusunan yang berbeda. Total jumlah kemungkinan keadaan mikro dari sistem atau peluang termodinamika dari sistem adalah
Ω = ∑W k = )4. k
umlah
kerja
rata-rata
setiap tingkat,
dihitung dari
Persamaan.
*))-6+,
diberikan di kanan tingkat yang sesuai. Misalnya, pada tingkat , kita lihat bahwa keadaan makro meliputi )4 mi$rostates, di masing-masing ada satu partikel di tingkat . eadaan makro 3 men$akup @2 keadaan mikro yang mana masingmasing terdapat juga satu partikel dalam di tingkat , dan seterusnya. umlah kerja ratarata dari tingkat adalah ;
=
)
Ω∑
k W k
k
=
)@ )4
= 2,6.
#alam sembarang keadaan makro k yang mana tingkat tidak ditempati, hubungan
k ( k nilai dari k adalah nol dan hasil perkalian
untuk tingkat itu adalah nol. >atatan,
meskipun jumlah kerja sebenarnya dari berbagai tingkat dalam keadaan makro harus
merupakan sebuah bilangan bulat atau nol, jumlah kerja rata-rata tidak perlu sebuah bilangan bulat.
11-5 STATISTIK FERMI-DIRAC
&tatistik Jermi dan #ira$ berlaku untuk partikel tak terbedakan yang mematuhi prinsip eksklusif Pauli, &ebuah kemungkinan penyusunan diberikan sebagai berikut ; C*)+aD C*+bD C*+D C*1+$D C*4+D .................................. *))-)1+ yang berarti bahwa keadaan *)+, *+, *1+, . . .dengan kuota satu partikel g j
masing-masing keadaan, sementara *+, *4+, ... kosong. Ada kemungkinan
lokasi
g j
untuk karakter pertama, mengikuti salahsatu penghitungan * g j
− +
untuk karakter kedua hanya C g j
. Lokasi yang mungkin C g j
− * j − )+D
turun terus sampai
atau
− * j + )+D lokasi untuk karakter terakhir. arena salah satu lokasi dari salah satu
karakter boleh memiliki salah satu lokasi yang mungkin dari masing-masing lain, j
g j
jumlah total $ara yang member
karakter dapat ditunjukkan ke dalam , yaitu ; g j E g j * g j − )+* g j − +...* g j − j + )+ = ..............*)) − )4+ * g j − j +EK
saat, g j E= g j * g j
− )+* g j − +...* g j − j + )+* g j − j +E
untuk tingkat j;
ω j
=
g j E * g j
− j +E j E
.........................................*)) − )3+
. − -
dari keadaan makro dalam statisti$ J-# adalah . − -
=W , = ∏ ω j = ∏ j
j
g j E * g j
− j +E j E
......................*)) − )@+
Peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro, dihitung dari persamaan . − -
, yang tertulis di bawah kolom yang bersesuaian. #engan demikian dalam keadaan makro ), ) =
E
E
.
E
.
* − )+E)E * − +EE * − +EE
= x x) = B
umlah total mungkin keadaan makro adalah
Ω = ∑W k = @. k
11-6 STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN
Pada statistik MaIwell-0oltzmann partikel dari suatu assembly dinggap berbeda. Tetapi, pada statistik 0-5 tidak ditentukan jumlah partikel yag dapat menempati energi basis yang sama. arena pada tingkat
N j
terdapat beberapa partikel pada tingkatan
ini, maka jumlah distribusi total yang mungkin terjadi pada tingkatan ini adalah sebagai berikut; N j
ω j= g j
................................................. *))-)6+
#istribusi total yang dapat ditempatkan pada semua tingkatan, dengan spesifikasi dari satu set partikel pada tingkatan lainnya adalah sebagai berikut; N w j= g j ............................................ *))-B+ j j
∏
Tetapi untuk
∏ ω j j
∏
tidak sama dengan
J
W k
seperti dalam statistik lainnya
sejak penyimpangan dari partikel pada setiap le%el *serta pertukaran antar bagian atau daerah pada tingkatan yang sama+ hal tersebut menyebabkan mi$rostate yang berbeda. *ika partikel berupa partikel yang tidak dibedakan, maka pertukaran partikel pada tiap tingkat tidak menghasilkan mi$rostate yang berbeda+. Misalnya, jika partikel
b pada
j dimana
a dan
c adalah
a dan
b , kita memiliki
sembilan susunan yang berbeda dari partikel pada tingkatan ini. Pertanyaan selanjutnya adalah ada berapa $ara jika total pada
a
dari
N
partikel sehingga partikel dapat
didistribusikan pada berbagai tingkatan energi, dengan memberikan nomor pada tiap tingkatan dari partikel seperti
N 1 , N 2 , N 3
11-7 INTERPRETASI ENTROPI SECARA STATISTIK
Pada bagian ini kita mendapatkan hubungan dan mulai bertanya apa saja bagian-bagian dari model statistik dari sebuah sistem yang dapat dikaitkan dengan entropi. Prinsip pada termodinamika menyebabkan hasil yang diperoleh terhadap entropi berbeda antara satu bagian yang dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut; T ∆ S =∆ U + P ∆ V − μ ∆ ..................................... *))-)+ #ari sudut pandang statistik, perubahan dari energi dari sebuah assembly, pada %olume, dan jumlah partikel mengakibatkan perubahan jumlah total kemungkinan mi$rostate yang terdapat pada sistem. Ω1 Ω2 ika dan dari probabilitas termodinamika dari sistem, dan setiap mi$rostate dari salah satu sistem, kemungkinan akan memiliki satu mi$rostate. umlah kemungkinan dari mi$rostate oleh dua sistem merupakan hasil dari Ω=Ω 1 Ω2
Ω1
dan
Ω2
............................................ *))-+
ntuk sistem yang bebas dapat dinyatakan; dJΩ =k B Ω dΩ dJΩ =k B
dΩ Ω
JΩ =k B ln Ω S = k B ln Ω Jungsi tersebut hanyalah fungsi dari
Ω
......................................... *))-1+
yang memenuhi syarat bahwa entropi
merupakan bagian dari logaritma sebaliknya probabilitas dari termodinamika merupakan perkalian dari logaritma.
11-8 FNGSI DISTRIBSI BOSE-EINSTEIN
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memperoleh hubungan antara nilai relatif dari
ln Ω
untuk dua sistem yang memiliki jumlah set tingkat energi yang
sama. 'amun pada sistem kedua jumlah partikel kurang dari jumlah partikel pada
n ≪ N , dan di mana
n , dimana untuk
sistem pertama yang dinayatakan dengan
energi kurang dari pada yang pertama yang dinyatakan dengan adalah energi pada le%el arbitrary pada pada tingkat
n ϵ r
, dengan
ϵ
r
r . #engan demikian, simbol
unprimed ditujukan untuk sistem pertama dan simbol primed untuk sistem kedua ' ' N = N − n ,U =U −n ϵ r .................................... *))-)+ '
W rk
Probabilitas termodinamika
pada ma$rostate
k
pada sistem unprimer
dinyatakan dengan; W k =
( g j + N jk −1 ) ! ∏ j ( g j−1 ) ! N jk !
............................................ *))-N
Pada sistem primer '
W rk =
( g + N
j
rk
j
' jk
! ...................................... *))-1+
'
W rk
yang berarti probabilitas termodinamika pada
k pada sistem primer, dan
r merupakan tingkat yang telah dipilih se$ara
Lambang ma$rostate
−1 ) !
' jk
∏ ( g −1 ) ! N j
bermakna
a$ak dari satu partikel yang dihilangkan atau dihapus. &edangkan lambang N jk
'
dan
N jk menunjukkan jumlah partikel pada tingkat
j pada ma$rostate
pada sistem unprimer dan primer.
´ 0agian terakhir dari persamaan N r Ω r dapat dinyatakan dengan; '
'
´ r Ω=( gr + N ´ r ) Q r N '
'
#an
´r N
'
´ r g r + N '
=
Ωr Ω
(11−35 )
jk bermakna k
Pada sistem mikroskopik dimana terdapat banyak partikel, maka penghapusan dari salah satu partikel dari salah satu le%el merupakan $ara yang tidak mungkin pada saat rata-rata jumlah rata-rata partikel pada tingkat tersebut terpenuhi. #an $ara terbaik adalah dengan $ara
´ ´ memperkirakan dengan N r= N r ; '
´r N
'
=
´ r g r + N
Ωr Ωr
(11−36 )
#engan menggunakan logaritma pada kedua sisi, dapat dinyatakan dengan;
ln
´r N ´r g r + N
'
= ln
Ω r Ω
Tetapi '
ln
Ω r Ω
=ln Ω' r− ln Ω
#engan menggunakan persamaan *))-1+, yaitu
´r N '
S = k B ln Ω
'
− = S S = ∆ S ( 11−37 ) ln ´r k B k B g r + N
#engan menggunakan prinsip termodinamika, entropi akan berbeda
∆S
antara dua
keadaan yang tidak tertutup atau sistem terbuka yang mana %olumenya *sesuai dengan %ariabel ekstensif+ adalah konstan akan memberikan energi yang berbeda perbedaan
∆ N
pada setiap partikel, dan suhu dinayatakan dengan
∆ U
, dan
T , oleh persamaan
*6-))+; T ∆ S =∆ U − μ ∆ N
#imana
μ merupakan potensial kimia pada setiap partikel. ntuk dua keadaan dapat
dinayakan dengan;
∆ U =−ϵ r
∆ N =−1
#an karena itu, maka; μ − ϵ r ∆ S= T
r dipilih se$ara bebas dan begitu pula pada tingkat
#ari persamaan *))-@+, sejak tingkat j
ln
´ N j ´ g j + N j
=
μ− ϵ j k B T
dan ´ g j + N j ´ N j
=
g j ´ N j
+ 1= exp
ϵ j
− μ
k b T
&ehingga kita dapat menyatakan sebagai;
´ j N g j
1
=
( ) ϵ
exp
j
− μ
k B T
−1 ............................................ *))-6+
Persamaan tersebut merupakan fungsi distribusi fungsi 0ose-5instein, yang menyatakan ratarata jumlah partikel pada setiap kulit pada setiap tingkat
´ /g j , N j j , jumlah energi
pada keadaan, dan potensial kimia μ , konstantan uni%ersal
k B
dan suhu
T .
ϵ
j
11.! FNGSI DISTRIBSI FERMI-DIRAC
ntuk mendapatkan fungsi distribusi dalam statistik J-#, kita menentukan dua K = − )
assembly pada jumlah partikel yang masing-masing
dan
. #i beberapa r ,
pasangan makros,
pada semua tingkatan ke$uali pada le%el r( dan di le%el
K rk = rk − )
" K = " − ∈r .
"
. 5nergi yang sesuai adalah dan Peluang termodinamik untuk keadaan makro yang berhungan dengan assembly tidak utama dan utama adalah; k
=
∏ * g j
K
g j E
j
rk = ∏ j
− jk +E jk E
g j E * g j
− K jk +E K jk E
emudian K
rk
W rk
=∏ j
* g j − jk +E jk E * g j − K jk +E K jk E
?ang setelah mengalami pengurangan menjadi; W
K rk
W k
=
rk g r − K rk
atau
rk W k
= * g r − Krk +W
Krk
k #engan menjumlahkan semua nilai
∑ W rk
k
k
maka diperoleh
= g r ∑W
K rk −
k
∑ K W rk
K rk
k
%a!
r g r
− K r
=
ΩK r Ω .........................................*))-B+
K r = r #i sini didapatkan
r , jika keadaan $ukup degerasi,
K r
dan
besar dari yang lain. #engan alasan yang sama seperti pada statistik 0-5
dapat lebih
j
)
=
g j
∈ j − µ +) k / +
eIp
.................................... *))-12+ yang mana adalah fungsi distribusi .ermi-ira%. Oni berbeda dari distribusi 0-5 yang mempunyai nilai ) pada angka -).
11-1" FNGSI DISTRIBSI KLASIK
j #alam sistem partikel tak terbedakan, rata-rata jumlah partikel
di setiap le%el
g j sangat jauh lebih sedikit daripada jumlah pada bagian le%el
, sehingga rata-rata
j g j jumlah partikel per keadaan
, sangat ke$il. Angka pada pers *))-6+ dan *))-12+
sangat besar( jadi kita dapat mengabaikan angka )( dan kedua fungsi distribusi 0-5 dan J-# diturunkan menjadi
j
= eIp
g j
µ − ∈ j k + / ........................................*))-1)+
?ang mana adalah fungsi distribusi klasik)
11-11 PERBANDINGAN FNGSI DISTRIBSI PADA PARTIKEL TAK TERBEDAKAN
Jungsi distribusi dari partikel tak terbedakan semuanya dapat digambarkan oleh persamaan tunggal
j g j
a = −) di mana
)
= eIp a
dalam statistik 0-5,
∈ j − µ k + /
= +)
+a .....................................*))-1+
a dalam statistik J-#, dan
=2
dalam
statistik klasik. ur%a pada
j g j , bergantung pada suhu untuk statistik 0-5 dan J-# berkomplot sebagai fungsi
*∈ j
− µ +
k + /
dari banyaknya ukuran
*:leh karena itu energi meningkat ke arah
∈ j kanan+. :rdinat kur%a mempunyai arti, tentu saja, hanya pada absis di mana energi
j g j mempunyai salah satu nilai yang diijinkan. etika
sangat ke$il, distribusi 0-5
dan J-# sangat mirip, dan keduanya menurunkan distribusi klasik.
∈ j = µ
j g j dari nilai
>atatan pada saat
∈ j untuk le%el di mana
dalam statistik 0-5 menjadi infinitif dan
µ
kurang dari
adalah negatif dan karena itu tak berarti.
Artinya, dalam statistik ini, potensial kimia harus kurang dari energi yang diijinkan
∈ j ditingkat paling rendah. Partikel-partikel seperti berkonsentrasi di le%el
hanya
µ
sedikit lebih besar dari
Gamba) 11*11
#alam statistik J-#, dengan kata lain semua le%el populasinya menurun ke yang paling
∈ j j g j rendah dan
,
mendekati ). Artinya, tingkat energi rendah hampir se$ara
keseluruhan dipopulasikan dengan satu partikel per keadaan.
1- FUNSI DISTRI/USI MA0WELL /OLTMANN Jungsi distribusi dalam statistik M
-0 diperoleh dengan $ara yang sama seperti pada
statistik 0-5 dan J-# statistik. Peluang termodinamik untuk keadaan maksro yang berhungan dengan assembly tidak utama dan utama adalah k
= E∏ j
Kk = K E
g j
j
j E
g j
K j
∏ K E j
j
&etelah menjumlahkan semua makro, diperoleh
r g r
= Ω Kr Ω ....................................... *))-1+
dan dengan prosedur yang sama seperti sebelumnya,
j g j
= eIp
− ∈ j
µ
k +/
...........................* ))-11+ yang merupakan fungsi distribusi 0ax*ell-+'ltzmann. Oni berbeda dari fungsi distribusi klasik, yang kadang-kadang disebut sebagai QpengkoreksiQ dar i fungsi 0ollzmann, pada
j pembilang di sebelah kiri adalah rata-rata jumlah pe$ahan partikel di le%el
,
j ,
sehingga sisi kiri adalah jumlah pe%ahan dari partikel per keadaan di tingkat
manapun.
12 FUNSI PARTISI Jungsi distribusi dalam statistik MaIwell-0oltzmann dapat ditulis;
j
− ∈ j µ = eIp g j eIp k / k / + +
∑
j
j =
etika
dan potensi kimia
∑
j
j
µ
j
tidak tergantung pada
, maka
− ∈ j µ g j eIp = = eIp k +/ k +/
umlah di bagian akhir disebut fungsi partisi atau jumlah keadaan lebih dan diwakili oleh R. *
1 =
− ∈ j
∑ g eIp k / j
j
+
..................................... *))-14+ Jungsi partisi hanya tergantung pada suhu T dan pada parameter-parameter yang menentukan tingkat-tingkat energi. 9al itu lanjutan dua persamaan sebelumnya dalam statistik M-0;
eIp
µ
k +/
=
) 1
................................................ *))-13+ adi sistem yang diberikan, rata-rata jumlah partikel per keadaan di setiap le%el
∈ j berkurang se$ara eksponensial dengan energi
dan pada suhu T yang lebih rendah,
kelebihan ke$epatan tersebut adalah penurunan ke$epatannya. Jungsi distrubusi klasik dapat ditulis;
j
− ∈ j µ = eIp g j eIp k +/ k +/ j
#an penjumlahan semua nilai
∑
j
j
, kita dapatkan
− ∈ j µ = = eIp g j eIp ∑ k +/ k +/
1 Lalu jika fungsi partisi
ditentukan dengan $ara yang sama seperti di statistik M-0,
kita dapatkan;
= eIp k + / 1 µ
..................................... *))-16+
#an fungsi distrubusi klasik dapat ditulis;
− ∈ j = eIp 1 k +/
j g j
................................. *))-1B+
13 /ESARAN TERMODINAMIKA DARI SE/UAH SISTEM Perlu diingat bahwa semua sifat termodinamika dari sebuah sistem juga ditentukan oleh
4 persamaan karakteristik yaitu, fungsi 9elmholtz yang dinyatakan dalam
5 atau fungsi
4
/ dan
. #isini
V
/ dan
5 dan
tegak lurus dengan
6
beberapa pasangan %ariabel seperti %olume dan tekanan . adi kita memulai dengan menyatakan turunan untuk fungsi 9elmholtz dan
ln 1 dalam
. &eperti ditunjukkan dalam 0agian 6-), fungsi-fungsi ini terkait dengan µ
potensi kimia
oleh persamaan.
∂ ∂ 7 . µ = = ∂ / ,5 ∂ / , 4 ........................... *))-42+ ntuk sebuah sistem yang mematuhi statistik M0, potensi kimia dari sistem berkaitan dengan fungsi partisi oleh Persamaan. *))-13+;
= − k + / ln 1
µ
...................................... #alam statistik klasik, potensial kimia diberikan melalui Persamaan. *))-16+;
*))-4)+
µ = − k +/ ( ln 1 − ln ) 1 = Jungsi partisi,
∑ g eIp( − ∈ j
j
k +/ )
............................. *))-4+ , adalah sebuah fungsi suhu dari suatu
V sistem dan parameter yang menentukan tingkat energi dari sistem *seperti %olume
µ
8 atau medan magnet
4
+. &ehingga Pers. *))-4)+ dan *))-4+ menyatakan
dalam
5
bentuk atau . Anggapan pertama sebuah sistem dari partikel yang tak terbedakan mematuhi statistik
4 klasik dan salah satu tingkat energi adalah fungsi dari parameter
4 partisi adalah sebuah fungsi dari
. emudian fungsi
/ dan
, dan karena ini adalah %ariabel QnaturalQ
. dari fungsi 9elmholtz
, kita mulai dari pers. *))-42+ dan *))-4+.
∂ . = −k / ( ln 1 − ln ) + ∂ / , 4 ............................ *))-4+
4 &isi kanan dari persamaan ini adalah konstan ketika
4 konstanta
/ dan
konstan. Penggabungan
/ dan
menghasilkan;
. = − k +/ ( ln 1 − ln + )) ........................ *))-41+
∫ ln d = ln −
etika
. Persamaan *))-4+ akan terpenuhi jika fungsi
f ( / , 4 )
. ditambahkan ke sisi kanan persamaan *))-41+, tapi karena
f ( / , 4 )
= 2 nol ketika
=2
, maka bahwa
. Persamaan *))-41+ adalah lambang
, / , 4
. untuk
harus menjadi
dalam bentuk
( :leh karena itu semua sifat termodinamika dalam
sebuah sistem dapat ditentukan oleh metode 0agian @-.
9 =
9 5ntropi
−( ∂ . ∂/ ) , 4
yaitu dedapatkan dengan
sehingga
∂ ln 1 + k + ( ln 1 − ln + )) ∂/ 4
9 = k +/
.......*))-44+
" = . + /9 etika
, energi internal yaitu
" = k +/
∂ ln 1 ∂/ 4
............................*))-43+ Lambang untuk suatu entropi sekarang dapat ditulis kembali sebagai berikut;
9 =
" + k + ( ln 1 − ln + )) /
...................*))-4@+ 7ariabel intensif 5 digabungkan dengan %ariabel ekstensif 4 didapatkan dengan
5 = − ( ∂ . ∂ ) ,/ sehingga
∂ ln 1 5 = k +/ ∂ 4 / .......................... *))-46+
,/ , dimana persamaan keadaan dari suatu sistem, menyatakan ? sebagai fungsi dari
4 . dan
#engan demikian semua sifat-sifat termodinamika dari sistem ini dapat
1 ditentukan jika
/
4 diketahui sebagai fungsi dari
dan
7
= µ
ntuk sistem sebuah komponen, fungsi
7
. , sehingga dari Persamaan.
= − k +/ ( ln 1 − ln ) ...................... *))-4B+
Tapi se$ara umum untuk %ariabel 4 dan 5 ,
7 = " − /9 − 54 = . + 5, 7 − . = 5, dan dari persamaan *))-41+ dan *))-4B+
7 − . = k +/
adi untuk setiap sistem mematuhi statistik klasik dan di mana tingkat energi adalah fungsi dari sebuah parameter S ekstensif tunggal,
5, = k +/ ..................................... *))-32+ #alam kasus khusus di mana parameter S adalah %olume 7 dan ? adalah tekanan P,
6V = k +/ Oni adalah persamaan keadaan gas ideal sebagai perolehan dari teori kinetik,
k + ditambahkan bahwa konstanta umum
yang diperkenalkan sebelumnya hanya
9 = k + ln Ω sebagai konstanta proporsionals dalam persamaan
k = ; : konstanta 0oltzmann
k + . arena
adalah konstanta umum$ dimana dalam
; : kasus khusus ini sama dengan assembly
amami.
Pada
sama dengan
; : , itu harus sama
pembahasan
selanjutnya,
tanpa memperhatikan untuk
kemudahan,
dengan
9 = k ln Ω
+
menghilangkan indeks dan menulis dengan mudah . Pernyataan untuk sifat termodinamika dari suatu sistem yang mengikuti statistik klasik dan sebuah sistem di mana tingkat energi ditentukan oleh parameter ekstensif S diperoleh;
. = − k/ ( ln 1 − ln + )) ...............*))-3)+
ln 1 ∂ " = k / ∂/ 4
......................*))-3+
9 =
" + k ( ln 1 − ln + )) / ..................*))-3+
dan
∂ ln 1 ∂ 4 /
5 = k /
.........................*))-31+ &istem partikel tak terbedakan menuruti statistik M-0 dan di mana tingkat energi ditentukan oleh parameter S, hubungan untuk dan ? tidak berubah, tetapi hubungan untuk J dan & adalah
. = − k / ln 1 ..............................*))-34+
dan
" 9 = + k ln 1 / ............................. .*))-33+ 9ubungan ini berbeda dari partikel tak terbedakan oleh sebuah istilah proporsional
ln 1 − *Lihat soal ))-)+.
∂7 = − k/ ln 1 ∂ / ,5 ............................ *))-3@+ &isi kanan persamaan ini adalah konstan ketika T dan ? konstan. Penggabungan saat kontanta T dan ? menghasilkan
7 = − k/ ln 1 ........................... *))-36+
g */ , 5 + 0erubah-ubah fungsi
yang harus ditambahkan ke sisi kanan pers. *))-36+
7
= 2
=2
yaitu nol juga karena
ketika
. Persamaan ini mun$ul pada awalnya
. ≠ 7 bertentangan dengan pers. *))-34+ sejak
. 'amun, pers. *))-34+ bermula dari
sebuah sistem di mana tingkat energi adalah fungsi dari parameter ekstensif 4 , sedangkan Pers. *))-36+ berlaku untuk sistem di mana tingkat energi tergantung pada parameter intensif ?.
9 =
−( ∂7 ∂/ ) 4 ,5
5ntropi sekarang diperoleh dengan
dan karenanya
∂ ln 1 + k ln 1 ∂ / 5
9 = k /
.................. *))-3B+ 5ntalpi 8 sama 7 9 , jadi
∂ ln 1 ∂/ 5
8 = k/
..........................*))-@2+ #an persamaan *))-3B+ dapat ditulis
9 =
8 /
+ k ln 1 ............................... *))-@)+
Persamaan keadaan diperoleh
∂7 = − k / ∂ ln 1 ∂/ ,/ ∂5 /
4 =
.............*))-@+ ika parameter 5 adalah intensitas sebuah medan konser%atif dari gaya, energi partikelnya hanya energi potensialnya *gra%itasi, magnet, atau elektrik+. 5nergi internal
! dari suatu sistem adalah kemudian nol, dan total energi ! p potensialnya
4 . ika
mewakili %ariabel ekstensif bergabung dengan %ariabel
! p = 54
5 intensif
adalah hanya energi
, energi potensial
8 = " + 54
8 . emudian sejak entalpi
didefinisikan sebaga
" = 2 dan
berarti
! = ! p
= 8
dan pers. *))-@2+ dan *))-@)+ dapat ditulis
∂ ln 1 ∂ / 5
. = k /
.............................*))-@+ dan
! 9 = + k ln 1 / ..................................*))-@1+
∈ j &atu-satunya perbedaan adalah bahwa
5
4 )
sekarang berfungsi pada kedua
dan
,
5 / 4 ) dan fungsi partisi adalah fungsi dari , dan . &ejak suatu sistem memiliki kedua
! p = 5 4
" energi internal
dan energi potensial
! = " + ! p
! total energi
= " + 5 4
adalah
. ∗
dan karena itu kita menggunakan fungsi umum 9elmholtz Persamaan. *@-1+ sebagai
, didefinisikan oleh
. ∗
= ! − /9 = " − /9 + 5 4
Potensial imia sekarang
∂ . ∗ µ = ∂ / K, 4 ,/ )
ika suatu sistem mematuhi statistik klasik,
= −k/ ( ln 1 − ln )
µ
/ , 4 ) , / #an penggabungan pada konstanta
. ∗
,
= − k/ ( ln 1 − ln + )) .................... *))-@4+ 4 ) , 5 )
Penempatan fungsi yang bergantung pada
/
dan
sama dengan nol seperti
sebelumnya. 7ariabel 5 1 dan 4 2 bergabung dengan 4 1 dan 5 2, adalah didapatkan dengan; ∗
∂ . ∂ ln 1 5 ) = − = k / ∂ 4 ) ,/ K,5 ∂ 4 ) / K,5
.......... *))-@3+
4
∂ . ∗ ∂ ln 1 = − = − k / ∂ 5 ∂ 5 ) ,/ K, 4 / K, 4 )
)
.............. *))-@@+ &istem ini memiliki dua persamaan keadaan, menyatakan 5 1 dan 4 2 dalam suku , / , 4 )
5
dan
.
9 5ntropi
adalah
∂ . ∗ ∂ ln 1 + k ( ln 1 − ln + )) 9 = − k/ = / / ∂ ∂ 4 ,5 , 4 ,5 )
)
*))-@6+ ∗
.
!
5nergi total
sama dengan
+ /9 , jadi
∂ ln 1 ∂/ 4 ,5
! = k /
)
................................ *))-@B+ dan karenanya,
