Tesis Diagrama Interaccion Circular Manual y CsiCol

Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles

"DISEÑO ASISTIDO DE ELEMENTOS EN HORMIGÓN ARMADO, MUROS Y PILARES DE SECCIÓN CIRCULAR, DE ACUERDO AL CÓDIGO ACI 318-05"

Tesis para optar al Título de: Ingeniero Civil en Obras Civiles.

Profesor Patrocinante: Sr. Alejandro Niño Solís. Ingeniero Civil, Máster en Diseño y Cálculo de Edificios Profesor Co-Patrocinante: Sr. Jorge Morales Vilugron Ingeniero Electrónico, MBA.

FERNANDO JAVIER MOREIRA LÓPEZ VALDIVIA - CHILE 2010

INDICE GENERAL 1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. ...................................................................... 1 1.2 OBJETIVOS. ................................................................................................ ................... 1 1.2.1 Objetivo general. gen eral. ........................................................................................................... ..................................................................................... ...................... 1 1.2.2 Objetivos específicos............................................................. específicos. .................................................................................................... ........................................ 2 1.3 METODOLOGÍA DE TRABAJO. ................................................................................ ..................................................................... ........... 2 1.3.1 Revisión y desarrollo de d e la teoría de diseño. ...................................................... ................................................................. ........... 2 1.3.1.1 1.3.1.2 1.3.1.3 1.3.1.4

Revisión de la teoría de diseño. ..................................... .................. ..................................... .................................... ................................... ................. 2 Revisión y compatibilidad de los proceso con ACI 318 – 05. 05. ................................... ................ ........................... ........ 2 Prueba y corrección de los procedimientos en forma manual. ................................... ................ ........................... ........ 3 Desarrollo de algoritmos. ................................................................................................... 3

1.3.2 Desarrollo del sitio web...................................................................................... web........................... ...................................................................... ........... 3 1.3.2.1 1.3.2.2 1.3.2.3 1.3.2.4 1.3.2.5

Análisis y filtrado de datos provenientes de SAP2000 y ETABS. .................................. ................. .................... ... 3 Desarrollo del ingreso de datos. .................................... ................. ..................................... .................................... ................................... ................. 3 Desarrollo de los proceso de diseño. .................................. ................ .................................... ..................................... .............................. ........... 4 Desarrollo de la salida de resultados. .................................... .................. .................................... ..................................... ........................... ........ 4 Revisar y corregir el modelo. ............................................................................................. 4

1.3.3 Resultados y Conclusiones. Co nclusiones. .................................................... ............................................................................................ ........................................ 4 1.4 HIPÓTESIS DE TRABAJO. .......................................................................................... ............................................................................... ........... 4

CAPÍTULO II...................................................................... ................................... ........................................................ ..................... 5 2.1 GENERALIDADES. ............................................................................................ ........... 5 2.1.1 Supuestos de diseño. .................................................................................................... ......................................... ...............................................................5 2.1.2 Principios y requisitos generales. ............................................................... .................................................................................. ................... 7 2.1.3 Resistencia de diseño. ........................................................................................ ............................. ...................................................................... ........... 9 2.1.4 Diagramas de interacción M-N. M- N. .................................................................................. 10 2.2 DISEÑO DE MUROS. .................................................................................................. ....................................... ........................................................... 11 2.2.1 Generalidades. ............................................................................................................. ............................................................ ................................................. 11 2.2.2 Diseño refuerzo cortante. ............................................................................................ ................................................................ ............................ 12 2.2.2.1 2.2.2.2

Cuantía refuerzo cortante. ................................................................................................ 13 Cuantía mínima refuerzo cortante. ................................... ................ ..................................... .................................... .............................. ............ 15

2.3 DISEÑO PILAR CIRCULAR. PILAR CIRCULAR. ...................................................................................... 16 2.3.1 Generalidades. ............................................................................................................. ............................................................ ................................................. 16 2.3.2 Diseño refuerzo cortante. ............................................................................................ ................................................................ ............................ 18 2.3.2.1 2.3.2.2

Cuantía refuerzo cortante. ................................................................................................ 19 Cuantía mínima refuerzo cortante. .................................... .................. .................................... ..................................... ............................ ......... 20

2.4 DISEÑO DE REFUERZO A FLEXIÓN Y CARGA AXIAL. .................................... 21 2.4.1 Diseño refuerzo r efuerzo flexo-compresión. ............................................................................. 21 2.4.1.1 2.4.1.2 2.4.1.3 2.4.1.4 2.4.1.5

Análisis de carga balanceada. ..................................... .................. ..................................... .................................... .................................... .................. 21 Forma de falla. .................................................................................................................. 24 Análisis falla a tracción. ................................................................................................... 25 Análisis para falla a compresión. ..................................................................................... 26 Cálculo del área de refuerzo. .................................. ................ ..................................... .................................... .................................... ...................... ... 27

2.4.2 Armadura de borde bo rde en flexo-tracción................................. fl exo-tracción.......................................................................... ......................................... 29 2.5 DISEÑO SISMICO DE MUROS. ................................................................................ .......................................... ...................................... 31 2.5.1 Generalidades. ............................................................................................................. ............................................................ ................................................. 31 2.5.2 Diseño sísmico refuerzo cortante. ............................................................................... 31 2.5.3 Diseño sísmico s ísmico refuerzo refue rzo flexo-compresión. ....................................................... ................................................................ .........33 2.5.3.1 2.5.3.2

Elemento especial de borde para muros estructurales. ................................... ................. .................................... .................. 33 Refuerzo transversal para elementos de borde. ................................................. ............................... ................................. ............... 36

2.5.3.3

Condiciones de borde en muros sin elemento especial. ....................................... ..................... .............................. ............ 37

2.6 DISEÑO SISMICO DE PILARES CIRCULARES.................................................... 38 2.6.1 Generalidades. ............................................................................................................. ............................................................ ................................................. 38 2.6.2 Diseño sísmico refuerzo cortante. ............................................................................... 38 2.6.3 Diseño sísmico s ísmico refuerzo refue rzo flexo-compresión. ....................................................... ................................................................ .........40 2.7 DETALLES DE REFUERZOS. ................................................................................... 40 2.7.1 Límite de espaciamiento y disposiciones geométricas. ............................................... 40 2.7.2 Protección de hormigón hormi gón para el refuerzo. ................................................................... ............................................... .................... 41 2.7.3 Condiciones para refuerzo en espiral. ......................................................................... ..................................................... .................... 42 2.7.4 Condiciones para estribos................................. estribos............................................................................................ ........................................................... 42 2.7.5 Longitudes de desarrollo y empalmes. .................................................... ........................................................................ .................... 43 2.7.5.1 2.7.5.2 2.7.5.3

Generalidades. .................................................................................................................. 44 Desarrollo de barras a tracción. ..................................... .................. ..................................... .................................... ................................. ............... 44 Empalmes soldados y mecánicos. .................................... ................. ..................................... .................................... .............................. ............ 45

2.8 SOLUCIÓN DE ECUACIONES. ................................................................................. 46 2.8.1 Solución exacta de ecuaciones ecuac iones de orden cúbico........................................................... cúbico. .......................................................... 47 2.8.2 Solución numérica de ecuaciones. ............................................................................... .............................. ................................................. 47 2.8.2.1 2.8.2.2 2.8.2.3 2.8.2.4 2.8.2.5

Método de bisección................................... ................ ..................................... .................................... .................................... .................................. ............... 48 Método de Newton-Raphson...................................... .................. ..................................... .................................... .................................... .................. 49 Método de la secante. ....................................................................................................... 51 Método Lin. ...................................................................................................................... 53 Método de Bairstow. ........................................................................................................ 56

CAPÍTULO III .................................................................... ....................................................................................... ................... 59 3.1 GENERALIDADES. ............................................................................................ .........59 3.1.1 Tecnología utilizada. ................................................................................................... ............................................................................... .................... 59 3.1.2 Descripción del sitio web. ........................................................................................... ....................................................................... .................... 61 3.1.3 Recolección de datos provenientes de un archivo externo. externo .......................................... 66 3.2 PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. ....................................................................... ................................ ....................................... 69 3.2.1 Procedimiento general de d e cálculo para muros............................................................. muros................................. ............................ 70 3.2.2 Procedimiento general de d e cálculo para pilares circulares. .......................................... ...................... .................... 71 3.2.3 Condición pilar de borde. ............................................................................................ ................................................................................... .........72 3.2.4 Cálculo de información geométrica de la sección. ...................................................... 72 3.2.5 Análisis de carga Balanceada. B alanceada. ......................................................... ..................................................................................... ............................ 76 3.2.6 Cálculo profundidad equivalente de esfuerzos................................ esf uerzos............................................................ ............................ 79 3.2.6.1 3.2.6.2 3.2.6.3

3.2.7 3.2.8 3.2.9 3.2.10

Profundidad equivalente en muros. .................................... .................. .................................... ..................................... ............................ ......... 79 Profundidad equivalente en pilares circulares. .................................. ................. .................................... ............................... ............ 95 Elección de solución para profundidad equivalente de esfuerzos. .................................. ................. ................... 99

Procedimiento de cálculo del área áre a de refuerzo a flexión. ......................................... .................................. .......100 Cálculo de pilares de borde. ...................................................................................... 104 Cálculo de refuerzos de corte. ................................................................................... 107 Longitud de empalmes. ............................................................................................. ................................................................. ............................ 110

CAPÍTULO IV ................................................................................ ............................................. ........................................ ..... 112 4.1 GENERALIDADES. ............................................................................................ .......112 4.2 DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN........................................................ INTERACCIÓN.......................................................................... .................. 112 4.2.1 Comparación de un diagrama diagr ama M-P para muros. muros . ........................................................ 112 4.2.2 Comparación de un diagrama M-P para pilares circulares. ...................................... ............................... .......115 4.3 EJEMPLOS DE BIBLIOGRAFÍA EXISTENTE. ................................................... .... ............................................... 118 4.3.1 Diseño de un pilar circular. ....................................................................................... ................................................................................ .......119

4.3.2 Diseño de un muro. ...................................................................................................121 4.4 DISEÑO CON SOFTWARE EXISTENTE. ............................................................. 122 4.4.1 Diseño de un muro mediante el programa ETABS. .................................................. 122 4.4.2 Diseño de un pilar circular mediante el programa PROKON. .................................. 126

CAPÍTULO V ....................................................................................... 130 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. .............................................. 133 REFERENCIA ARCHIVOS DE APLICACIÓN WEB. .................. 134

ANEXO A.............................................................................................. 136 A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6

INGRESO DE DATOS MEDIANTE ARCHIVO. ................................................... 136 PROCEDIMIENTO GENERAL DE CÁLCULO. ................................................... 137 PROCEDIMIENTO DISEÑO DE MUROS. ............................................................ 138 PROCEDIMIENTO DISEÑO DE PILARES CIRCULARES. ............................... 139 CÁLCULO PROFUNDIDAD EQUIVALENTE DE ESFUERZOS. ...................... 140 PROCEDIMIENTO VERIFICAR TENSIONES. ................................................... 141

ANEXO B .............................................................................................. 142 B.1 EJEMPLO DISEÑO MANUAL DE UN MURO. ..................................................... 142 B.1.1 Diseño de refuerzo a flexo-compresión. ................................................................... 143 B.1.2 Diseño de refuerzo a corte. ........................................................................................ 149 B.2 EJEMPLO DISEÑO MANUAL DE UN PILAR CIRCULAR. ............................... 150 B.2.1 Diseño de refuerzo a flexo-compresión. ................................................................... 151 B.2.1.1 B.2.1.2 B.2.1.3

Verificar cuantía mínima. .............................................................................................. 151 Verificar cuantía máxima. ............................................................................................. 159 Cálculo de cuantía necesaria. ........................................................................................ 163

B.2.2 Diseño de refuerzo a corte. ........................................................................................ 169

ANEXO C.............................................................................................. 172 C.1 DISEÑO PRIMER NIVEL DE UN EDIFICIO. ....................................................... 172 C.1.1 Planteamiento del problema. ..................................................................................... 172 C.1.2 Ingreso de datos mediante archivo Excel. ................................................................. 174 C.1.3 Completar información en forma manual. ................................................................175 C.1.4 Resultados del diseño. ............................................................................................... 177 C.1.5 Memoria de cálculo entregada por calculohormigon.com. .......................................178

RESUMEN

Al momento de diseñar una estructura resistente de hormigón armado para una edificación, se debe considerar las cargas a las que podría estar sometida a lo largo de su vida útil, ya sean cargas por peso propio, sobrecargas, cargas sísmicas u otras. En función de dichas cargas el ingeniero debe calcular los esfuerzos a los que se vería sometida la estructura para cada estado de carga y combinaciones de ellos, este proceso puede realizarse apoyado de programas computacionales como SAP2000, ETABS u otros, los que pueden entregar una gran cantidad de esfuerzos sobre cada elementos, de los cuales se debe escoger entre las combinaciones de cargas más desfavorables para el elemento a diseñar. Este proceso puede ser muy engorroso, por lo cual se hace necesario contar con un programa computacional que simplifique el procedimiento. El presente trabajo de tesis consiste en la elaboración de un sitio web que tenga la capacidad de diseñar elementos en hormigón armado tales como muros de corte y pilares de sección circular, considerando además una solución efectiva al momento de enfrentarse al problema mencionado al comienzo de éste resumen, todo esto basado en la norma ACI 318-05 del American Concrete Institute. El desarrollo de éste trabajo consistió en la revisión a fondo de la teoría existente respecto al diseño de elementos en hormigón armado, para luego crear un procedimiento de cálculo a implementar en la elaboración del programa, así finalmente se desarrolló este sitio web en función a los requerimientos expuestos y se verificó su correcto funcionam iento.

SUMMARY

At the instance of design a reinforced concrete resisting structure for a edification, they must considerate the loads which could be involved along life time, being self-weight loads, sismic loads or others. Considering these loads the engineer must be calculate the stresses where are involved the structure for each loads state and mixtures of them; this process could be realized supported by computational applications like SAP2000, ETABS, etcetera. This softwares can deliver a big amount of stresses over each elements, which must be choose between worst loads combination of the designing element. This process could be very complicated, so it is necessary get a software that provides a simple work. The present thesis work consist in a web application development that can design reinforced concrete elements like shear walls and circular section columns also considering an effective solution at the time of facing such problem mentioned above; all of this based on American Concrete Institute’s Standard ACI 318-05.

The development of this work was based on deep revision of the current design of reinforced concrete elements theory, then implement a calculate procedure algorithm. Finally, this web application was developed based in exposed requirements and then was verified its well deployment.

Capítulo I Introducción.

1.1

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. En la actualidad un volumen importante de proyectos son diseñados en Hormigón

Armado. Si bien Chile cuenta con una normativa que regula este diseño (NCh 430 Of.2008), aquella hace referencia a su similar del American Concrete Institute (ACI 318), código con el que en realidad se está diseñando dichos elementos. Frente a la necesidad de realizar diseños confiables y en un período de tiempo razonable, se hace importante contar con programas computacionales que simplifiquen el proceso. Este tipo de programas si bien se encuentran en el mercado, son de un alto costo y no necesariamente adaptados a los requerimientos actuales. Al momento de diseñar un proyecto en Hormigón Armado, se usan programas como SAP2000 o ETABS, entre otros, para obtener las solicitaciones sobre cada elemento. Estos entregan esfuerzos por cada uno de ellos y cada combinación de esfuerzos, generándose así grandes listados de los que se debe escoger los casos más desfavorables para diseñar cada uno. Este proceso requiere de mucho tiempo ya que fácilmente pueden ser listados de miles de datos. Además, en el caso de esfuerzos combinados de Momento y Carga Axial, la elección de la combinación más desfavorable puede ser muy compleja. Por ejemplo, si se usa como criterio diseñar con la combinación asociada al momento máximo de la lista, dentro de ella puede haber otro cuya combinación M-N se encuentre fuera del Diagrama M-N del elemento diseñado. Lo mismo puede suceder si se escoge la mayor carga axial, de forma que un proceso adecuado sería diseñar para cada combinación y quedarse con la que encierre a las demás. El presente proyecto pretende crear un programa capaz de diseñar muros y pilares circulares de Hormigón Armado basado en la norma ACI 318-05, ya sea por entrada de datos en forma directa o por planillas de resultados extraídos directamente de SAP2000 o ETABS.

1.2

OBJETIVOS.

1.2.1

Objetivo general. El objetivo del presente trabajo es implementar el diseño asistido para pilares de sección

circular y muros de Hormigón Armado, basado en el código ACI 318 – 2005. 1

1.2.2 -

Objetivos específicos. Definir los requerimientos de diseño a implementar en el desarrollo del programa computacional.

-

Definir los procedimientos de diseño a usar, diagramas de flujo y algoritmos necesarios para los procesos de cálculo.

-

Escoger las tecnologías de desarrollo web a utilizar considerando los requerimientos tanto de ingreso de datos, procesos y salida de resultados.

-

Crear un sitio web capaz de diseñar muros y pilares de sección circular, en el cual sea posible ingresar en forma simultanea la cantidad de elementos que el usuario desea analizar, ya sea en forma manual o de archivos provenientes de SAP2000 o ETABS.

-

Publicar el sitio web en un servidor de pago y observar su funcionamiento, ventajas y limitaciones para el usuario.

1.3

METODOLOGÍA DE TRABAJO. El tema se desarrollará primero en forma teórica, revisando la teoría de diseño basada en

ediciones anteriores al ACI 318 – 05, luego de contar con un algoritmo adecuado, se comenzará a desarrollar la programación del procedimiento. Finalmente será probado y se concluirá sobre el diseño.

1.3.1

Revisión y desarrollo de la teoría de diseño.

1.3.1.1

Revisión de la teoría de diseño. Como primera aproximación se desarrollará un procedimiento basado en la metodología

existente, para lo cual es necesario realizar una revisión de la teoría de diseño, generalidades, supuestos, tipos de solicitaciones y normativa que la regula, ya sea en libros de diseño de hormigón armado, apuntes del ramo u otros.

1.3.1.2

Revisión y compatibilidad de los proceso con ACI 318 – 05. Una vez consultada la teoría existente y normativa ya sea de versiones anteriores del ACI

u otras, se procederá a revisar el código ACI 318-05, con el fin de ver las diferencias respecto a ediciones anteriores y adquirir las consideraciones de ésta para el desarrollo de los procedimientos de cálculo. Para ello se comenzará revisando los capítulos de diseño general de elementos como el capítulo 9 sobre “Requisitos de resistencia y funcionamiento”, capítulo 10 de “Flexión y carga axial”, capítulo 11 de “Cortante y torsión”, y otros asociados a ellos, luego una

2

A quienes con sus actos me enseñaron sobre el amor incondicional ... Graciela y Rolando.

revisión de los capítulos más específicos como el 14 de “Muros” y el capítulo 21 de “Disposiciones especiales para el diseño sísmico”.

1.3.1.3

Prueba y corrección de los procedimientos en forma manual. A modo de verificar que los procedimientos sean los adecuados y arrojen resultados

razonables, se probará manualmente con distintos casos de cargas en forma manual. De presentarse errores, se realizarán las correcciones necesarias hasta que el modelo funcione de forma correcta. En caso que requiera ciclos iterativos, deberá verificarse que ellos tengan la convergencia adecuada.

1.3.1.4

Desarrollo de algoritmos. Para realizar una programación computacional ordenada, se desarrollará antes un

algoritmo con todos los pasos necesarios para el diseño, considerando cada caso posible dentro de la metodología de cálculo, condiciones, ciclos iterativos, rutinas y subrutinas que en conjunto logren cumplir con los procedimientos de diseño previamente establecidos.

1.3.2

Desarrollo del sitio web.

1.3.2.1

Análisis y filtrado de datos provenientes de SAP2000 y ETABS. Para lograr manipular los datos provenientes de éstos programas de cálculo estructural se

hará una revisión de la forma en que estos entregan sus resultados, principalmente las salidas de cargas sobre cada elemento y las propiedades de su sección, luego se desarrollarán los procedimientos de análisis de datos que deberá realizar el sitio web con el fin de filtrar la información y almacenar solo lo necesario para el diseño de cada elemento. Finalmente se implementará el código apropiado para el desarrollo de los procedimientos recién descritos.

1.3.2.2

Desarrollo del ingreso de datos. Se desarrollará una interface adecuada y de fácil manejo, para esto se aprovecharán las

tecnologías de desarrollo web como puede ser html, php, javascript, Ajax y otras, así una vez escogidas las que más se acomoden a los re quisitos del sitio, con ellas se crearán pantallas de ingreso de datos en que el usuario pueda ver en forma gráfica e inmediata de qué se trata cada uno de los valores que está ingresando. Además se implementará la carga de archivos tipo Excel y Access desde el computador del usuario al servidor.

3

1.3.2.3

Desarrollo de los proceso de diseño. En base al algoritmo ya creado en la etapa teórica, se realizará la programación del

procedimiento de diseño mediante lenguaje php, este se dividirá en varios archivos partiendo por los procedimientos más generales que irán haciendo llamadas a archivos más específicos que contengan las subrutinas del procedimiento general.

1.3.2.4

Desarrollo de la salida de resultados. Para la muestra de resultados del sitio web se crearán los archivos de salida mediante

formato html a visualizar directamente en el navegador web, y en formato pdf para su descarga, estos deberán contener la información más relevante respecto al diseño realizado, acompañado de diagramas e imágenes que ilustren la interpretación de los valores entregados.

1.3.2.5

Revisar y corregir el modelo. Una vez terminado el sitio web, se probará comparando con estructuras diseñadas en

SAP2000, ETABS u otros programas de diseño en hormigón armado, para probar su funcionamiento y analizar las diferencias que puedan producirse en los resultados.

1.3.3

Resultados y Conclusiones. Una vez finalizado el proceso de prueba y corrección, se hará una evaluación de su

funcionamiento, con el fin de compararlo con otros programas existentes y ver en qué medida aporta al diseño de estructuras en hormigón armado.

1.4

HIPÓTESIS DE TRABAJO. En base a la teoría existente respecto al diseño de elementos en hormigón armado, y el

desarrollo de las tecnologías de aplicación web, se plantea como hipótesis que; es posible desarrollar un sitio web capaz de cumplir con los requerimientos planteados en los objetivos del presente trabajo de tesis.

4

Capítulo II Diseño de elementos según ACI 318-05 y teoría del Hormigón Armado.

2.1

GENERALIDADES. El hormigón en masa presenta una buena resistencia a compresión, como les ocurre a las

piedras naturales, pero ofrece muy escasa resistencia a la tracción, por lo que resulta inadecuado para piezas que hayan de trabajar a flexión o tracción. Pero si se refuerza el hormigón en masa disponiendo barras de acero en las zonas de tracción, el material resultante, llamado hormigón armado, está en condiciones de resistir los distintos esfuerzos que se presentan en las construcciones. Los iniciadores del hormigón armado como material de construcción fueron los franceses Monier y Coignet que ya en 1861 dieron reglas para la fabricación de vigas, bóvedas, tubos, etc. Desde entonces, a lo largo de más de un siglo, la técnica del hormigón armado a experimentado un amplio desarrollo, pudiendo decirse que en la actualidad ese material ha llegado a ser de empleo preferente en numerosas aplicaciones, siendo estas más amplias que las de cualquier otro material de construcción. El hormigón armado presenta como ventaja indiscutible frente a los demás materiales, su cualidad de formáceo, es decir, de adaptarse a cualquier forma de acuerdo con el molde o encofrado que lo contiene. Ello proporciona al técnico que lo emplea una mayor libertad al proyectar estructuras, con la contrapartida de exigir de él un proyecto más prolijo, por existir más variables que definir y más aspectos que detallar (Jiménez et al, 2000).

2.1.1

Supuestos de diseño. El diseño de elementos sometidos a flexión y carga axial se realiza en base a las

compatibilidades de equilibrio y geométricas de deformación, los siguientes supuestos figuran en la norma ACI 318-05 y forman los parámetros base para consideraciones geométricas de deformación y esfuerzos. 5

-

Las deformaciones unitarias en el refuerzo y en el concreto deben suponerse directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro.

-

La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto se supone igual a 0.003.

-

La resistencia a la tracción del concreto no debe considerarse en los cálculos de elementos de concreto reforzado sometidos a flexión y a carga axial.

-

El esfuerzo en el refuerzo cuando sea menor que f y debe tomarse como E s veces la deformación unitaria del acero. Para deformaciones unitarias mayores que las correspondientes a f y, el esfuerzo se considera independiente de la deformación unitaria e igual a f y. Según lo anterior, la tensión que desarrolla el refuerzo se calcula como:

 E s s , si  s   y f s   , si  s   y  f y

(2.1)

E s : Módulo de elasticidad del refuerzo. 

:

Deformación unitaria neta del refuerzo.



:

Deformación unitaria neta en fluencia del refuerzo.

s

y

f y : Resistencia a la fluencia del refuerzo. El esfuerzo en la zona a compresión del hormigón está formado por un tramo de comportamiento elástico con una relación esfuerzo-deformación prácticamente lineal hasta esfuerzos cercanos a 0.5 f c’ , seguido de esto y para esfuerzos superiores la relación se asimila a una parábola con esfuerzo máximo de f c’ . Se supone para los fines de este análisis, que el diagrama de compresión curvo equivale a uno rectangular con un esfuerzo medio de 0.85 f c’ . Se supone además que el diagrama rectangular de altura a tiene el mismo centro de gravedad y la misma magnitud total que el diagrama curvo (McCormac J, 2001). La relación entre los esfuerzos de compresión en el hormigón y la deformación unitaria de éste se cumple con lo señalado en 10.2.7 de ACI 318-05: a   1 c

(2.2)

6

'  0.85 , Si 18  f c  30 MPa   1  0.85  0.008  f c'  30 , Si 30  f c'  55 MPa '  0.65 , Si f c  55 MPa 

(2.3)

: Distancia desde la fibra extrema en compresión al eje neutro.

c '

f c : Resistencia a la compresión del hormigón. Figura 2.1: Par de fuerzas de compresión y tracción del momento nominal.

Fuente: Figura 2.11, McCormac J, 2001.

2.1.2

Principios y requisitos generales. Según 10.3.2 de ACI 318-05, la condición de balance existe cuando el refuerzo en tracción

alcanza la deformación unitaria ε y al mismo tiempo que el hormigón alcanza su deformación unitaria última. Figura 2.2: Condición de balance.

Fuente: Propia.

Las secciones se denominan controladas por compresión si la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, εt , es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el concreto en compresión alcanza su límite de deformación supuesto de 0.003. El límite de deformación unitaria controlada por compresión es 7

la deformación unitaria neta de tracción del refuerzo en condiciones de deformación unitaria balanceada (ACI 318-05, 2005). Las secciones son controladas por tracción si la deformación unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción, εt , es igual o mayor a 0.005, justo cuando el concreto en compresión alcanza su límite de deformación unitaria asumido de 0.003. Las secciones con εt entre el límite de deformación unitaria controlada por compresión y 0.005 constituyen una región de transición entre secciones controladas por compresión y secciones controladas por tracción (ACI 318-05, 2005). Según lo anterior: Secciones controladas por compresión:

 t

  y

(2.4)

Secciones controladas por tracción:





t

0.005

(2.5)

Zona de transición:

 y

  t  0.005

(2.6)

Para elementos no preesforzados en flexión y elementos no preesforzados con carga axial ’ mayorada de compresión menor a 0.1 f c A g , εt en el estado de resistencia nominal no debe ser

menor a 0.004. (ACI 318-05, 2005). La resistencia axial de diseño no debe tomarse mayor que  P nmax  . Para elemento no preesforzado con refuerzo en espiral:  P nmax 





'

0.85 0.85 f c

 A

A st   f y A st 

(2.7)

A st   f y A st 

(2.8)

g 

Para elemento no preesforzado con estribos:  P n max 







'

0.80 0.85 f c

 A

g 

: Factor de reducción de resistencia.

A g : Área bruta de la sección. A st : Área total de refuerzo longitudinal.

f y : Resistencia a la fluencia del refuerzo. 8

f c : Resistencia a la compresión del hormigón.

2.1.3

Resistencia de diseño. En el diseño de hormigón armado, los elementos deben modelarse con la resistencia

suficiente para absorber los casos de cargas más desfavorables. La resistencia de diseño debe tomarse como la resistencia nominal multiplicada por los factores de reducción  especificados en código ACI 318-05. Carga Nominal 

Carga última 

(2.9)

El factor de reducción de resistencia  debe ser el dado en 9.3.2.1 a 9.3.2.7 de ACI 318-05, que señala los siguientes valores: Cortante y torsión ..................................................................................

0.75

Secciones controladas por tracción .........................................................

0.9

Secciones controladas por compresión con refuerzo en espiral .………..

0.7

Secciones controladas por compresión con otro ti po de refuerzo ………..

0.65

Para las secciones en las que la deformación unitaria neta a la tracción en el acero extremo en tracción en el estado de resistencia nominal, εt , se encuentra entre los límites para secciones controladas por compresión y las secciones controladas por tracción, se permite que  aumente linealmente desde el valor correspondiente a las secciones controladas por compresión hasta 0.90, en la medida que εt aumente desde el límite de deformación unitaria controlado por compresión

hasta 0.005 ( ACI 318-05, 2005). Según lo anterior se tiene que: Para elementos con refuerzo en espiral.  0.7 , Si  t   y  0.2  t   y  , Si  y   t  0.005   0.7   0 . 005  y   0.9 , Si  t  0.005

(2.10)

Para elementos con otro tipo de refuerzo.  0.65 , Si  t   y  0.2  t   y  , Si  y   t  0.005   0.65    0 . 005 y   0.9 , Si  t  0.005

(2.11)

9

t :





y

:

Deformación unitaria neta del refuerzo extremo. Deformación unitaria neta en fluencia del refuerzo.

En cualquier elemento estructural que se diseñe para resistir E,  para cortante debe ser 0.60 si la resistencia nominal a cortante del elemento es menor que el cortante correspondiente al desarrollo de la resistencia nominal a flexión del elemento. La resistencia nominal a flexión debe determinarse considerando las cargas axiales mayoradas más críticas e incluyendo E (ACI 31805, 2005). Los valores de f y y f yt usados en los cálculos de diseño no deben exceder de 560 MPa, excepto para aceros de preesforzado y para los refuerzos transversales en espiral (ACI 318-05, 2005).

2.1.4

Diagramas de interacción M-N. El diseño de columnas de hormigón armado en zonas sísmicas presenta la particularidad de

que, por un lado una misma columna puede estar sujeta a una gran cantidad de combinaciones posibles de esfuerzos, y por otro lado, si la estructura posee gran número de columnas, las secciones a analizar, si se las encara en forma individual, podría llevar a un procedimiento que podría ser tedioso y concluir con el diseño de un “muestrario” de columnas.

Para acciones gravitatorias, la única combinación para verificar en estado último es la que corresponde a las cargas mayoradas D y L por los factores 1.4 y 1.7 respectivamente (1.2 y 1.6 según ACI 318 – 05). Sin embargo y adicionalmente, para acciones sísmicas se deben verificar una cantidad de combinaciones importantes que surgen de las posibles direcciones que se consideren para el potencial sismo, y de las variaciones de los puntos de aplicación de dichas acciones en función de las distintas ubicaciones asignadas al centro de masas de la estructura. Unas de las formas prácticas de abordar el problema del diseño de columnas es, a través de la construcción de un diagrama de interacción de resistencia, M-P, que defina la combinación de carga axial y el momento flector que provoque la falla de una columna prediseñada en el intervalo completo de excentricidades (relación M/P) desde 0 a infinito. Para cualquier excentricidad, existe un solo par de valores de P n y M n, resistencias nominales, que producirán la falla de la sección de la columna. Este par de valores puede dibujarse como un punto en un gráfico que relacione P n y M n como el que se presenta en la Fig. 5.23. La curva es continua y representa el universo de excentricidades posibles. En este diagrama, cualquier línea radial representa una excentricidad particular e = M/P.

10

Conceptualmente el diagrama a los efectos del diseño se utiliza así: cualquier combinación de carga y excentricidad que pueda ser representada dentro del área limitada por el diagrama de interacción puede ser soportada sin falla. Del diagrama se observa que la presencia de carga axial moderada incrementa la resistencia a flexión (LLOPITZ C, 2001). Figura 2.3: Diagrama de interacción para la resistencia nominal de una c olumna sometida a flexión y carga axial combinadas. Pn

Intervalo de falla a compresión.

r a p a a . r g e . o a ñ c e e a d o u d q i n e r i a r m o p t e e e c d e t y a r T r a l o d e. v r a n g e

e=

e b Intervalo de falla a tracción.

Mo

Mn

Fuente: Fig. 5.23, LLOPITZ C, 2001.

2.2

DISEÑO DE MUROS.

2.2.1

Generalidades. La mayoría de los muros de concreto en edificios consta de muros de cargas que soportan

no sólo cargas verticales sino también algunos momentos laterales. Como resultado de la considerable rigidez en su plano, desempeñan un papel importante en la resistencia a las fuerzas de viento y de los sismos (McCormac J, 2001). Cuando se diseña una construcción que sea resistente a los sismos, debe recordarse que las partes relativamente rígidas de una estructura atraen fuerzas mucho mayores que las partes flexibles. Una estructura con muros de cortante de concreto reforzado será muy rígida y atraerá por ello a grandes fuerzas sísmicas. Si los muros cortantes son frágiles y fallan, el resto de la estructura no será capaz de absorber el impacto. Pero si los muros cortantes son dúctiles (lo serán si están reforzados apropiadamente), serán muy eficaces para resistir las fuerzas sísmicas. La figura 17.2 muestra un muro de cortante sometido a una fuerza lateral V u. El muro es en realidad una viga en voladizo de ancho h y peralte total l w. En la parte (a) de la figura el muro está siendo flexionado de izquierda a derecha por V u por lo que se requieren barras de refuerzo en el 11

lado izquierdo tensionado. Si V u se aplica desde la derecha, como se muestra en la parte (b) de la figura, el refuerzo se requerirá en el extremo derecho del muro. Puede verse entonces que un muro de cortante necesita reforzarse por tensión en ambos lados, ya que V u puede tener los dos sentidos (McCormac J, 2001). Figura 2.4: Muro de corte.


Los muros deben diseñarse para cargas excéntricas y cualquier carga lateral o de otro tipo a las que estén sometidos, esto puede realizarse en base a la norma ACI 318-05. -

Los muros sometidos a cargas axiales deben diseñarse de acuerdo con 14.2, 14.3 y ya sea 14.4, 14.5 ó 14.8 de ACI 318-05.

-

El diseño para cortante debe cumplir con lo estipulado en 11.10 de ACI 318-05.

-

Los elementos en compresión construidos monolíticamente con muros deben cumplir con lo establecido en 10.8.2 de ACI 318-05.

2.2.2

Diseño refuerzo cortante. Los muros de corte deben soportar solicitaciones horizontales en sentido longitudinal al

muro, que según las condiciones de carga y geometría pueden ser contrarrestadas principalmente por las capacidades de resistencia a corte que tenga el muro. Para ello se arma con refuerzos horizontales y verticales distribuidos a lo largo del alma del muro. El diseño de refuerzos para resistir esfuerzos cortantes debe estar basado en:  V n  V u

(2.12)

12

V n

 V c  V s

(2.13)

V n : Resistencia nominal al esfuerzo cortante. V u : Fuerza cortante mayorada. V c : Resistencia nominal al esfuerzo cortante proporcionada por el hormigón. V s : Resistencia nominal al esfuerzo cortante proporcionada por el refuerzo.

El valor de V c puede ser el menor de los valores calculados con: V c



1 4

f c' h  d 

N u d 4 w

  ' 2 N u      w  f c    h  w   hd  V c  0.5 f c'    10 M u  w    V 2 u   N u

(2.14)

(2.15)

: Carga axial mayorada normal a la sección, debe tomarse como positiva para compresión y negativa para tracción.

M u

: Momento mayorado en la sección.

V u

: Fuerza cortante mayorada en la sección.

'

Si

M u V u

2.2.2.1 Si

f c

: Resistencia a la compresión del hormigón.

w

: Longitud del muro.

h

: Espesor del muro.

d

: Distancia desde la fibra extrema al centroide del refuerzo en tracción.



w

2

 0 , no se puede utilizar 2.15.

Cuantía refuerzo cortante. V u



0.5 V c ,

el refuerzo de corte para muros debe diseñarse de acuerdo a 11.10.8 de

ACI 318-05. 13

Donde V u exceda  V , el refuerzo para cortante horizontal debe diseñarse para satisfacer c

las ecuaciones 2.12 y 2.13, donde V s se debe calcular por medio de: V s

Av f y d 

Av

s

(2.16)

: Área de refuerzo horizontal para cortante con espaciamiento s.

:

s

Espaciamiento del refuerzo tansversal. d

: Distancia desde la fibra extrema al centroide del refuerzo en tracción. Puede suponerse

f y

d



0.8 l w en

muros.

: Resistencia a la fluencia del refuerzo.

Para el cálculo de d también se puede usar: d 

 A d  A si

i

(2.17)

si

A si : Área de refuerzos en la línea de refuerzos i.

d i : Distancia a la fibra extrema en compresión.

-

La cuantía de refuerzo horizontal para cortante,  t , no debe ser menor que 0.0025.

-

La cuantía de refuerzo vertical para cortante,  l , no debe ser menor que la mayor de: 

hw 



l w 

 l  0.0025  0.5  2.5 

   t  0.0025

(2.18)

 l  0.0025

hw

: Altura total del muro.

l w

: Largo total del muro.

pero no necesita ser mayor a ρt.. -

El espaciamiento del refuerzo horizontal para cortante no debe exceder el menor de

l w 5 ,

3 h , ó 450 mm, donde l w es la longitud total del muro.

14

 l w 5  st  menor  3 h  450 mm 

-

(2.19)

El espaciamiento del refuerzo vertical para cortante no debe exceder el menor de 3h ,

ó 450 mm, donde l w es la longitud total del muro.  l w 3  sl  menor  3 h  450 mm 

2.2.2.2 Si V u

l w 3 ,

(2.20)

Cuantía mínima refuerzo cortante. 

0.5 V c , el refuerzo de corte para muros debe diseñarse de acuerdo a 11.10.9 o de

acuerdo con el capítulo 14 de ACI 318-05. -

La cuantía mínima para refuerzo horizontal, ρt, es 0.0025 para barras corrugadas.

-

La cuantía mínima para refuerzo vertical, ρl, es 0.0015 para barras corrugadas.

-

El refuerzo vertical y horizontal debe espaciarse a no más de tres veces el espesor del muro, ni de 450 mm.  3h

s  menor 



450 mm

(2.21)

Los muros con un espesor mayor que 250 mm, excepto los muros de sótanos, deben tener el refuerzo en cada dirección colocada en dos capas paralelas a las caras del muro de acuerdo con: (a) Una capa consistente en no menos de 1/2, y no más de 2/3 del refuerzo total requerido para cada dirección debe colocarse a no menos de 50 mm ni a más de 1/3 del espesor del muro a partir de la superficie exterior. (b) La otra capa, consistente en el resto del refuerzo requerido en esa colocarse a no menos de 20 mm ni a más de 1/3 del espesor

dirección, debe

del muro a partir de la

superficie interior. El refuerzo vertical no necesita estar confinado por estribos laterales cuando el refuerzo vertical no es mayor de 0.01 veces el área total de concreto, o cuando el refuerzo vertical no se requiere como refuerzo de compresión.

15

2.3

DISEÑO PILAR CIRCULAR.

2.3.1

Generalidades. Las columnas son elementos utilizados para resistir básicamente solicitaciones de

compresión axial aunque, por lo general, ésta actúa en combinación con corte, flexión o torsión ya que en las estructuras de concreto armado, la continuidad del sistema genera momentos flectores en todos sus elementos (Harmsen T, 2002). Las columnas cuadradas o rectangulares son las más comúnmente usadas debido a la simplicidad de su cimbra. Sin embargo, cuando se usa en espacios abiertos, las columnas circulares son muy atractivas. La cimbra para las columnas circulares suele hacerse con tubos de cartón y de plástico que se desprenden y se desechan una vez que el concreto ha fraguado (McCormac, 2001). Figura 2.5: Tipos de columnas.


Si una espiral continua hecha con barras o alambrón grueso se enrolla alrededor de las barras longitudinales, como se muestra en la figura 8.2(b), la columna se denomina columna zunchada o con espiral. Las espirales son más efectivas que los estribos para incrementar la

resistencia de una columna. Las espirales de paso estrecho cumplen muy bien su función de 16

mantener en posición las barras longitudinales y de aislar el concreto interior, con lo que se aumenta considerablemente la resistencia a la compresión axial. Conforme el concreto dentro de la espiral tiende a expanderse lateralmente bajo la carga de compresión, en la espiral empieza a desarrollarse un esfuerzo de tensión de aro; la columna no fallará hasta que la espiral fluya o se rompa, permitiendo el resquebrajamiento del concreto interior. Las columnas zunchadas suelen ser redondas pero también pueden fabricarse con secciones rectangulares, octagonales y de otras formas. En estas columnas, la disposición de las barras longitudinales sigue siendo circular. Las espirales, si bien aumentan la resistencia de las columnas, debido al aumento en la elasticidad incrementan apreciablemente los costos; por ello se usan solo en columnas fuertemente cargadas y en zonas sísmicas, debido a la gran resistencia que tienen frente a cargas dinámicas. Las espirales incrementan en forma muy efectiva la ductilidad y la tenacidad de las columnas pero resulta varias veces más caras que las columnas con estribos (McCormac, 2001). -

El área de refuerzo longitudinal, A st , para elementos no compuestos a compresión no debe ser menor que 0.01 A g ni mayor que 0.08 A g (ACI 318-05, 2005).

-

El número mínimo de barras longitudinales en elementos sometidos a compresión debe ser de 4 para barras de estribos circulares o rectangulares, 3 para barras dentro de estribos triangulares y 6 para barras rodeadas por espirales, que cumplan con 10.9.3 (ACI 318-05, 2005).

-

La cuantía volumétrica del refuerzo en espiral debe ser mayor o igual a:

 s

 A g  f c'  0.45   1 A f ch yt  

(2.22)

A g : Área bruta de la sección. Ach : Área de la sección transversal del elemento, medida entre los bordes exteriores del refuerzo transversal.

f yt : Resistencia a la fluencia del refuerzo transversal. '


El valor de f yt debe ser menor o igual a 700 MPa. Cuando f yt es mayor a 420 MPa, no se puede usar empalmes por traslapo indicado en la sección 1.7.3 punto (a) (ACI 318-05, 2005).

17

2.3.2

Diseño refuerzo cortante. Para resistir los esfuerzos horizontales de corte sobre el pilar, se arma con estribos o

espirales en dirección transversal al refuerzo longitudinal. El diseño de estos debe estar basado en las ecuaciones 2.12 y 2.13.  V n V n

 V u

 V c  V s

(2.12)

(2.13)

V n

: Resistencia nominal al esfuerzo cortante.

V u

: Fuerza cortante mayorada.

V c

: Resistencia nominal al esfuerzo cortante proporcionada por el hormigón.

V s

: Resistencia nominal al esfuerzo cortante proporcionada por el refuerzo.

El valor de V c para elementos sometidos a compresión axial puede ser calculado como:  N u   f c'    V c  1  b d  14 A g   6  w     N u

(2.23)

: Carga axial mayorada normal a la sección, debe tomarse tomarse como positiva para compresión y negativa para tracción.

A g '

: Área bruta de la sección.

f c


bw

: Ancho del muro.

d


o bien de forma más exacta se puede calcular como:  V d  b d V c   f c'  120 w u  w M 7 

u



M u

: Momento mayorado en la sección.

V u

: fuerza cortante mayorada en la sección.

 w

: Cuantía de refuerzo.

(2.24)

18

pero reemplazando M u por M m.  4h  d    8 

M m  M u  N u 

(2.25)

Al calcular V c de esta forma nunca debe ser mayor a: V c



0.3

f c' bw d

1

0.3 N u

A g

(2.26)

Si M m resulta ser negativo, V u se debe calcular con la ecuación 2.26. El valor de V c en caso de tracción axial se debe calcular como:  0.3 N u  f c'  V c  1  bw d   6 A g  

(2.27)

donde V c no debe ser menor que cero, y N u es negativo para tracción. Para elementos circulares, el área usada para calcular V c debe tomarse como el producto del diámetro y la altura efectiva de la sección de concreto. Se permite tomar d como 0.80 veces el diámetro de la sección de concreto (ACI 318-05, 2005). -

Los valores de f y y f yt usados en el diseño del refuerzo para cortante no debe exceder 420 MPa, excepto que el valor no debe exceder 560 MPa para refuerzo electrosoldado de alambre corrugado.

-

El espaciamiento del refuerzo de cortante colocado perpendicularmente al eje del elemento no debe exceder de d /2 en elementos de concreto no preesforzado, de 0.75h en elementos preesforzados, ni de 600 mm.

-

En caso de que V s sobrepase: V s 

f c' 3

bw d

las separaciones indicadas en los puntos anteriores se deben reducir a la mitad.

2.3.2.1

Cuantía refuerzo cortante.

Donde V u exceda  V c, el refuerzo para cortante horizontal debe diseñarse para satisfacer las ecuaciones 2.12 y 2.13, donde V s se debe calcular por medio de: V s 

Av f yt d s

(2.16)

19

Av

: Área de refuerzo cortante con espaciamiento s.

f yt

: Resistencia a la fluencia del refuerzo transversal.

s

: Espaciamiento del refuerzo transversal.

d


Para el cálculo de d se puede usar: d 

 A d  A si

i

(2.17)

si

A si : Área de refuerzos en la línea de refuerzos i.

d i : Distancia a la fibra extrema en compresión.

Pero Vs no debe ser mayor a

2.3.2.2

2

f c' bw d .

3

Cuantía mínima refuerzo cortante.

Si V

u

 0.5 V c

, el refuerzo de corte debe diseñarse con una cuantía mínima de:

Av ,min 

'

1 16

f c'

bw s f yt

f c


f yt


bw

: Ancho del muro.

s


pero no debe ser menor a

0.33

bw s f yt

(2.28)

.

20

2.4

DISEÑO DE REFUERZO A FLEXIÓN Y CARGA AXIAL. Las cargas de compresión axial generalmente no se presentan por si solas, ya sea porque se

aplican en forma excéntrica al elemento o porque además soporta cargas laterales que generan momentos sobre este, en tal caso el refuerzo longitudinal debe ser diseñado considerando la interacción entre carga axial y momento, el cual se aplica en las ecuaciones de equilibrio estático como P u y P ue.

2.4.1

Diseño refuerzo flexo-compresión. El cálculo del refuerzo longitudinal consiste en plantear las ecuaciones de equilibrio

estático y las compatibilidades geométricas de deformación para así por medio de un sistema de ecuaciones obtener el área de refuerzo necesario para las cargas requeridas y la profundidad equivalente de esfuerzos a. Para escoger los valores apropiados de las soluciones del sistema se realiza un análisis de carga balanceada, con el cual se puede comparar los valores obtenidos y escoger el indicado para el caso.

2.4.1.1

Análisis de carga balanceada.

Cuando el elemento se encuentra trabajando en estado plástico tanto en el hormigón en compresión como en el acero extremo en tracción, con una deformación unitaria εy, es posible calcular una profundidad equivalente de esfuerzos en estado de balance ab y/o la carga axial P b asociada. Así esta se puede comparar con la profundidad equivalente de esfuerzos o la carga axial obtenida por medio de las ecuaciones de equilibrio y determinar si el elemento se encuentra en estado de compresión o de tracción.

a)

Supuestos. El análisis de carga balanceada asume que el hormigón en compresión llega a su

deformación unitaria máxima al mismo tiempo que el acero extremo en tracción llega a su tensión de fluencia, tal como señala la figura:

21

Figura 2.6: Deformación unitaria en estado de balance.

Fuente: Propia.

b)

Profundidad equivalente de esfuerzos. De la Figura 2.7 se puede obtener la siguiente relación: cb 0,003



d 0,003   y

(2.29)

f y

 y



ab



E s

(2.30)

 1cb

(2.31)

Reemplazando 2.30 y 2.31 en 2.29 se tiene: ab 

0,003 E s 0,003 E s

 f y

 1 d

(2.32)

ab

: Profundidad equivalente de esfuerzos en estado de balance.

cb

: Profundidad de la fibra neutra en estado de balance.

 1

: Factor que relaciona profundidad del bloque rectangular equivalente con la profundidad del eje neutro.

E s

: Módulo de elasticidad del refuerzo.

f y


 y

: Deformación unitaria neta en fluencia del refuerzo.

22

d

c)


Carga axial balanceada. A partir de las ecuaciones de equilibrio es posible encontrar la carga axial que satisface la

condición de balance. Figura 2.7: Elemento, deformación unitaria y esfuerzos en estado de balance.

Fuente: Propia.

Ecuaciones de equilibrio:

 F  0  M 

As

 M 

P u   0,85 f c' a b  A s' f s'  A s f s 

 0 P u e'   0,85 f c' a bd  0,5 a  A s' f s' d  d '

C . P .

  l   l   l   0 P u e   0,85 f c' a b  0,5 a   A s' f s'   d '   A s f s   d '   2   2   2  

(2.33)

(2.34) (2.35)

Para la condición de balance a es:

23

0,003 E s

ab 

0,003 E s

 f y

 1d

(2.32)

Además: 



f s A s

1





f y '

A s

Resolviendo el sistema con las ecuaciones 2.33 y 2.35 para las variables A s y P b se llega a:     ' ' f s 2d  a   f y 2d  a  '   P b  0,425 f c ab bw  '  1   1 '  '   f s  e  d  d   f y  e  d  d     2     2

2.4.1.2

(2.36)

Forma de falla.

Es necesario asumir una supuesta forma de falla que luego será ajustada a la situación real de forma iterativa.

P n 

P n 

P u 

P u 

 P b

 f s'  f y   f  f y  Falla a tracción  s  c  0,003   0,9

 P b

 f s  f y  f '  f y  s  Falla a compresión   c  0,003   0,65 Estribo    0,7 Espiral

Según el supuesto que resulte se debe hacer el análisis para falla a tracción o compresión. Una vez que se tenga εt se usa los siguientes supuestos:

-

Secciones controladas por compresión:

 t -

  y

Secciones controladas por tracción:

 t  0.005

24

-

Zona de transición:

 y

2.4.1.3

  t  0.005

Análisis falla a tracción.

A partir del diagrama de deformaciones y las ecuaciones de equilibrio se puede obtener la profundidad equivalente de esfuerzos para la falla a tracción. Figura 2.8: Deformación unitaria y tensiones sobre el elemento.

Fuente: Propia.

Supuestos: f s'



f y

f s



f y

 c



0,003

  0,9 A s'

 A s

De la Figura 2.9 se tiene: c 0,003



c  d '  s'

(2.37)

Reemplazando: c

a 

,   ' s

f s'

(2.38 y 2.39)

E s

Resulta: '

f s



0,003 E s

a



 d ' a



(2.40)

25

Reemplazando en la ecuación 2.33 y 2.35 la tensión del refuerzo inferior f s y resolviendo el sistema para a, se llega a la ecuación de tercer grado: K 1 a 3  K 2 a 2  K 3 a  K 4  0

(2.41)

Dónde: K 1





'

0,425 f c bw 0,003 E s





f y 

 

K 2  0,85 f c' bw  0,003 E s d ' 1 



2

K 3  0,00255 f c'bw E s  d ' 

(2.42 a)    f y d  2  

 

P u 

 l   l    0,003 E s  e  w  d '   f y  e  w  d '      2   2  

P  l  K 4  0,003 u E s  d '  e  w  d '    2 

(2.42 b)

(2.42 c)

(2.42 d)

Resolviendo esta ecuación para los parámetros indicados se tiene la profundidad equivalente de esfuerzos a para la falla a tracción.

2.4.1.4

Análisis para falla a compresión.

A partir del diagrama de deformaciones y las ecuaciones de equilibrio se puede obtener la profundidad equivalente de esfuerzos para la falla a compresión. Supuestos: f s'



f y

f s



f y

 c



0,003

  0,9 A s'

 A s

De la Figura 2.9 se tiene: c 0,003



d  c  s

(2.43)

Reemplazando: c

a  1

 s 

f s E s

(2.38 y 2.44)

Resulta: 26

f s



0,003 E s

 1 d



a

a

(2.45)

Reemplazando en la ecuación 2.33 y 2.35 la tensión del refuerzo inferior f s y resolviendo el sistema para a, se llega a la ecuación de tercer grado: K 1a 3  K 2 a 2

 K 3 a 

K 4

0

(2.41)

Dónde: K 1  0,425 f c' bw 0,003 E s  f y 



 

K 2  0,85 f c' bw  0,003 E s d 1 



K 3  0,00255 f c'bw E s  d 2 

K 4  0,003

P u 

 

E s  d  e 

(2.46) '    f y d  2  

 

P u 

 l   l    0,003 E s  e  w  d '   f y  e  w  d '      2   2  

  d '  2 

l w

(2.47)

(2.48)

(2.49)

Resolviendo esta ecuación para los parámetros indicados se tiene la profundidad equivalente de esfuerzos a para la falla a compresión.

2.4.1.5

Cálculo del área de refuerzo.

A partir del diagrama de deformaciones se tiene la deformación en el refuerzo de acero extremo f s. Reemplazando 2.38 en 2.43 resulta:

 t  0.003

 1d  a  a

(2.50)

Teniendo la deformación unitaria en el refuerzo extremo en tracción se puede clasificar el elemento según lo señalado en 2.4.1.2. En secciones en que la deformación unitaria neta del acero en tracción εt se encuentra entre los limites definidos como falla a compresión y tracción, se permite que  aumente linealmente desde el valor correspondiente a secciones controladas por compresión hasta 0,9 en la medida que εt aumente desde ε y hasta 0,005 (ACI 318 – 05, 2005). 27

Así, según el refuerzo a cortante que se use, se tiene: Para elementos con refuerzo de espiral. 0.7  0.2  t   y     0.7  0 . 005   y  0.9

, Si  t   y , Si  y   t  0.005

(2.10)

, Si  t  0.005

Para elementos con refuerzo de estribo. 0.65  0.2  t   y     0.65    0 . 005 y   0.9

, Si  t   y , Si  y   t  0.005

(2.11)

, Si  t  0.005

Si el  supuesto es igual al calculado se continúa con los siguientes cálculos, si  no coincide se debe recalcular a. Para la siguiente iteración se usará el nuevo  calculado, además: -

Se hace el supuesto de falla a compresión si: 

-

t   y

Se supone falla a tracción si:  t



 y

Así, se repetirá el proceso hasta que  converja en un único valor, con el que se calcularan los pasos siguientes. De la compatibilidad geométrica usada para calcular la deformación unitaria en el acero extremo y considerando las ecuaciones 2.38 y 2.44, se tiene: -

Si  t   y : f s  0.003 E s

 d  a 

 f y

(2.45)

a   d   f

(2.40)

a

f s'  f y

-

Si  t   y : f s  f y '

f s'  0.003 E s

a

y

28

Para finalizar el proceso de solución del sistema, en la ecuación 2.33 igualando A s y A’ s, al despejar A s se tiene: A s 

2.4.2

 P u  ' 0 . 85 f b a   c w   f s'  f s     1

(2.41)

Armadura de borde en flexo-tracción. El diagrama de interacción entre la carga axial y el momento en el tramo de tracción axial

tiene un comportamiento lineal, esto permite calcular en forma exacta el área de refuerzo. Figura 2.9: Diagrama de interacción M-P.

Mn Mo Pn

Po

Fuente: Propia.

De la figura 2.10 se observa la siguiente relación:

M 0 P 0



M 0  M n P n

(2.52)

M o

: Momento asociado a carga axial nula.

P o

: Carga axial de tracción asociada a momento nulo.

M n

: Resistencia nominal a flexión.

P n

: Resistencia axial nominal.

Además: M n 

M u 

, P n 

P u 

(2.53 a y b)

29

M u

: Momento último sobre la sección.

P u

: Carga axial última sobre la sección.




Reemplazando 2.53 a y b en 2.52:

M 0 P u



 M 0 P 0 M u P 0

(2.54)



Los términos P o y M o se calculan asumiendo que el refuerzo alcanza la tensión de fluencia f y.

P o



2 A s

f y

(2.55)

 

M 0  A s f y  d 

a o 



(2.56)

2 

A s

: Área de refuerzo longitudinal a tracción.

f y


d


ao

: Profundidad equivalente de esfuerzo asociado a carga axial nula.

La profundidad equivalente de esfuerzos a en M o se puede calcular por medio de la ecuación 2.33 despreciando el aporte del refuerzo en compresión y considerando que en ese punto la carga axial es igual a cero. ao 

'

A s f y

0,85 f c' bw

(2.57)

f c


bw

: Ancho del elemento.

Reemplazando a en M o y P o, M o en 2.54 se tiene el área de refuerzo longitudinal.

A s



2  f y d bw



0,5 m P u



2 f d b y

w 

0,5 m P u

2  f y m



2







4  f y m 2 e  d bw P u

(2.58) 30

: Excentricidad de la carga axial.

e

m

2.5

f y 

'

0,85 f c

(2.59)

DISEÑO SISMICO DE MUROS. Desde hace mucho se ha reconocido la utilidad de los muros en la planeación estructural

de edificios de niveles múltiples. Cuando los muros se colocan en posiciones ventajosas dentro de una construcción, pueden ser muy eficientes para resistir las cargas laterales producidas por el viento o los sismos. Estos muros se han denominado muros de cortante debido a que con frecuencia gran parte de la carga lateral de un edificio, si no es que toda, y la fuerza cortante horizontal se transfieren a estos elementos estructurales. El nombre no es muy apropiado ya que en raras ocasiones el modo crítico de resistencia está relacionado con el cortante. (Park et al, 1996). Para cumplir con estas expectativas deben ser considerados refuerzos especiales para resistir las cargas sísmicas con el propósito de que los elementos estructurales cumplan sus funciones específicas sin el riesgo de fallar por ejemplo por pandeo de refuerzos longitudinales o por cortantes no pronosticados en un diseño sin cargas sísmicas.

2.5.1

Generalidades. El diseño de muros sometidos a cargas sísmicas debe basarse en el capítulo 21.7 de ACI

318-05, considerando además los aspectos generales del capítulo 21. -

La resistencia especificada a la compresión del concreto, f c , no debe ser menor que 20 '

MPa (ACI 318-05, 2005). -

El valor de f yt para el refuerzo transversal incluyendo los refuerzos en espiral no debe exceder de 420 MPa (ACI 318-05, 2005).

2.5.2

Diseño sísmico refuerzo cortante. Para resistir los esfuerzos de corte, se disponen mallas de refuerzo horizontal y vertical en

el alma del muro. Las cuantías de refuerzo distribuido en el alma, ρl y ρt , para muros estructurales no debe ser menores que 0.0025, excepto que si V u no excede Acv

f c'

12

, se pueden reducir ρl y ρt a los 31

valores requeridos en 14.3. El espaciamiento del refuerzo en cada dirección en muros estructurales no debe exceder de 450 mm. El refuerzo que contribuye a V n debe ser continuo y debe estar distribuido a través del plano de cortante (ACI 318-05, 2005). Según lo anterior: Si V u

Si V u





Acv f c' 12

Acv f c' 12

 l



0.0015

 t



0.0025

 l



0.0025

 t



0.0025

En un muro deben emplearse cuando menos dos capas de refuerzo cuando V u exceda Acv

f c'

6

(ACI 318-05,2005).

La resistencia nominal a cortante no debe exceder: V n



Acv



 c

'

f c



 t

f y



(2.59)

Acv : Área bruta de la sección limitada por el espesor del alma y la longitud de la sección.

f y '


f c


 t

: Cuantía del área de refuerzo transversal.

1 4    1 1  h  c     w  1.5    4 6   w 1 6 

, Si

hw w

 1.5

, Si 1.5  , Si

hw


w


hw w

hw w

 2

(2.60)

2

32

Si

2.5.3

hw w

 2      t

Diseño sísmico refuerzo flexo-compresión. Los muros estructurales y partes de dichos muros sometidos a una combinación de carga

axial y flexión deben diseñarse de acuerdo con 10.2 y 10.3, excepto que no se debe aplicar 10.3.6 ni los requerimientos de deformación no lineal de 10.2.2. Debe considerarse como efectivo el concreto y el refuerzo longitudinal desarrollado dentro del ancho efectivo del ala, del elemento de borde y del alma del muro. Debe considerarse el efecto de las aberturas (ACI 318-05, 2005) .

2.5.3.1

Elemento especial de borde para muros estructurales.

La necesidad de usar elementos especiales de borde en los extremos de muros estructurales debe evaluarse de acuerdo con 21.7.6.2 ó 21.7.6.3. Deben satisfacerse también los requisitos de 21.7.6.4 y 21.7.6.5 (ACI 318-05, 2005). Esta sección se aplica a muros y pilas de muros que son efectivamente continuos desde la base de la estructura hasta la parte superior del muro y son diseñados para tener una única sección crítica para flexión y carga axial. Los muros que no satisfagan estos requisitos deben ser diseñados usando 21.7.6.3 (ACI 318-05, 2005). Indicaciones de sección 21.7.6.2 de ACI 318-05: -

Las zonas de compresión deben ser reforzadas con elementos especiales de borde donde: c

c

w

600 u hw 

(2.61)

: Mayor profundidad del eje neutro calculada para la fuerza axial mayorada y resistencia nominal a momento congruente con el desplazamiento de diseño δu .

 u

: Desplazamiento de diseño.

hw


w


El cociente  u hw no debe tomarse menor que 0.007.

33

-

Donde se requieran elementos especiales de borde según 21.7.6.2(a), el refuerzo del elemento especial de borde debe extenderse verticalmente desde la sección crítica por una distancia no menor que la mayor entre l w y M

u

4V u

(ACI 318-05, 2005).

Los muros estructurales que no sean diseñados de acuerdo con las indicaciones de 21.7.6.2 deben tener elementos de borde especiales en los bordes y alrededor de las aberturas de los muros estructurales cuando el esfuerzo de compresión máximo de la fibra extrema correspondiente a las fuerzas mayoradas incluyendo los efectos sísmicos E, sobrepase 0.2 f c′ . Los elementos de borde especiales pueden ser descontinuados donde el esfuerzo de compresión calculado sea menor que 0.15 f c′ . Los esfuerzos deben calcularse para las fuerzas mayoradas usando un modelo lineal elástico y las propiedades de la sección bruta. Para muros con alas, debe usarse un ancho de ala efectiva como se define en 21.7.5.2 (ACI 318-05, 2005). Según lo anterior: Figura 2.10: Tensión en los extremos de un muro.

As`

As Mu

Pu d'

Vu

d-d'

d'

lw Pu/Ag

Mu·(lw /2)/Ig

Pu

Pu/Ag Mu·(lw /2)/Ig

Fuente: Propia.

M u

: Momento último sobre la sección.

P u


A g

: Área bruta de la sección. A g  bwl w

I g

: Momento de inercia de la sección bruta del elemento con respecto al eje que pasa por el centroide. I g 

bw l w3 12

34

Sumando los esfuerzos y reemplazando se tiene:  1, 2



P u bw l w



6 M u bw l w

(2.62 a y b)

2

Entonces sí:   1  0,2 f c '  Usar Pilar de borde  '  1  0,2 f c  Armadura longitudin al en extremos

En donde se requieran elementos especiales de borde, de acuerdo con 21.7.6.2 ó 21.7.6.3 se debe cumplir con las siguientes condiciones: -

(a) El elemento de borde se debe extender horizontalmente desde la fibra extrema en compresión hasta una distancia no menor que el mayor valor entre

c



0.1l w y

c

/ 2,

donde

c corresponde a la mayor profundidad del eje neutro calculada para la fuerza axial

mayorada y resistencia nominal a momento consistente con el desplazamiento de diseño δu (ACI 318-05, 2005). -

(b) En las secciones con alas, los elementos de borde deben incluir el ancho efectivo del ala en compresión y se deben extender por lo menos 300 mm dentro del alma (ACI 318-05, 2005).

-

(c) El refuerzo transversal de los elementos especiales de borde debe cumplir con los requisitos especificados en 21.4.4.1 a 21.4.4.3, excepto que no se necesita cumplir con la ecuación (21-3) (ACI 318-05, 2005).

-

(d) El refuerzo transversal de los elementos especiales de borde en la base del muro debe extenderse dentro del apoyo al menos en la longitud de desarrollo del refuerzo longitudinal de mayor diámetro de los elementos especiales de borde, a menos que los elementos especiales de borde terminen en una zapata o losa de cimentación, en donde el refuerzo transversal de los elementos especiales de borde se debe extender, a lo menos, 300 mm dentro de la zapata o losa de cimentación (ACI 318-05, 2005).

-

(e) El refuerzo horizontal en el alma del muro debe estar anclado para desarrollar f y, dentro del núcleo confinado del elemento de borde (ACI 318-05, 2005).

35

2.5.3.2

Refuerzo transversal para elementos de borde.

El refuerzo transversal en estos elementos debe cumplir con el punto (c) de la sección anterior. El refuerzo transversal debe cumplir lo siguiente: -

(a) La cuantía volumétrica no debe ser menor que:  s

'



f c'

0.12

f yt

(2.63)

f c


f yt


ni menor que el valor que resulte de la ecuación 2.22. -

(b) El área total de la sección transversal del refuerzo de estribos cerrados de confinamiento rectangulares, A sh, no debe ser menor que: A sh  0.09

s

s  bc f c' f yt

(2.64)


bc : Dimensión transversal del núcleo de la columna medida centro a centro de las ramas exteriores del refuerzo transversal de área Ash.

-

(c) El refuerzo transversal debe disponerse mediante estribos cerrados de confinamiento sencillos o múltiples. Se pueden usar ganchos suplementarios del mismo diámetro de barra y con el mismo espaciamiento que los estribos cerrados de confinamiento. Cada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal. Los extremos de los ganchos suplementarios consecutivos deben alternarse a lo largo del refuerzo longitudinal (ACI 318-05, 2005).

-

(d) Si el espesor de concreto fuera del refuerzo transversal de confinamiento excede 100 mm, debe colocarse refuerzo transversal adicional con un espaciamiento no superior a 300 mm. El recubrimiento de concreto sobre el refuerzo adicional no debe exceder de 100 mm (ACI 318-05, 2005). La separación del refuerzo transversal debe cumplir con: 36

0.25 min b p , L p   s  6 d b  s  o

(2.65)

b p

: Ancho del elemento de borde del muro.

L p

: Largo de la sección transversal del elemento de borde.

d b

: Diámetro de la barra de refuerzo longitudinal.

Dónde:  350  hx    3 

so  100  

h x

(2.66)

: Espaciamiento máximo horizontal, medido centro a centro, entre ganchos suplementarios o ramas de estribos cerrados de confinamiento en todas las caras de la columna.

El valor h x no debe ser mayor a 150 mm ni menor a 100 mm. El espaciamiento horizontal de los ganchos suplementarios o las ramas de los estribos cerrados de confinamiento múltiples, h x, no debe exceder 350 mm medido centro a centro (ACI 318-05, 2005).

2.5.3.3

Condiciones de borde en muros sin elemento especial.

Cuando no se requieren elementos especiales de borde de acuerdo con lo indicado en 21.7.6.2 ó 21.7.6.3, se debe cumplir con (a) y (b): -

(a) Si la cuantía de refuerzo longitudinal en el borde del muro es mayor que

2.8 / f y

, el

refuerzo transversal de borde debe cumplir con lo indicado en 21.4.4.1(c), 21.4.4.3 y 21.7.6.4(c). El espaciamiento longitudinal máximo del refuerzo transversal en el borde no debe exceder de 200 mm; -

(b) Excepto cuando V u en el plano del muro sea menor que

Acv

f c'

12

, el refuerzo

transversal que termine en los bordes de muros estructurales sin elementos de borde debe tener un gancho estándar que enganche el refuerzo de borde, o el refuerzo de borde debe estar abrazado con estilos en U que estén empalmados al refuerzo horizontal y tengan su mismo tamaño y espaciamiento (ACI 318-05, 2005).

37

Según el punto (a), cuando la cuantía sea mayor a

2.8 / f y

, se debe cumplir con lo

siguiente: -

El refuerzo transversal debe disponerse mediante estribos cerrados de confinamiento sencillo o múltiple. Se pueden usar ganchos suplementarios del mismo diámetro de barra y con el mismo espaciamiento que los estribos cerrados de confinamiento. Cada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal. Los extremos de los ganchos suplementarios consecutivos deben alternarse a lo largo del refuerzo longitudinal (ACI 318-05, 2005).

-

El espaciamiento horizontal de los ganchos suplementarios o las ramas de los estribos cerrados de confinamiento múltiples, h x, no debe exceder 350 mm medido centro a centro (ACI 318-05, 2005).

2.6

DISEÑO SISMICO DE PILARES CIRCULARES. Al igual que en el caso de los muros, los pilares circulares deben ser diseñados con

refuerzos adicionales para resistir las cargas sísmicas manteniendo la funcionalidad del pilar.

2.6.1

Generalidades. Este tipo de diseño se aplica solo a secciones de pórticos especiales resistentes a momentos

que cumplan con las siguientes condiciones: -

Que resistan fuerzas inducidas por sismo.

-

Que el elemento resista un P u mayor a A g

-

La dimensión menor de la sección transversal, medida en una línea recta que pasa a través

f 'c

10

.

del centroide geométrico, no debe ser menor que 300 mm. -

La relación entre la dimensión menor de la sección transversal y la dimensión perpendicular no debe ser menor que 0.4.

2.6.2

Diseño sísmico refuerzo cortante. El refuerzo transversal debe cumplir lo siguiente:

-

(a) La cuantía volumétrica no debe ser menor que:

38

 s

'



f c'

0.12

f yt

(2.63)

f c


f yt


ni menor que el valor que resulte de la ecuación 2.22. -

(b) El área total de la sección transversal del refuerzo de estribos cerrados de confinamiento rectangulares, A sh, no debe ser menor que: s  bc f c'  A g 

A sh  0.3

A sh  0.09

f yt

    1    A  ch  

s  bc f c' f yt

(2.67) (2.64)

A g

: Área bruta de la sección.

Ach

: Área de la sección transversal medida entre los bordes exteriores del refuerzo transversal.

s


bc

: Dimensión transversal del núcleo de la columna medida centro a centro de las ramas exteriores del refuerzo transversal de área Ash.

-

(c) El refuerzo transversal debe disponerse mediante estribos cerrados de confinamiento sencillos o múltiples. Se pueden usar ganchos suplementarios del mismo diámetro de barra y con el mismo espaciamiento que los estribos cerrados de confinamiento. Cada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal. Los extremos de los ganchos suplementarios consecutivos deben alternarse a lo largo del refuerzo longitudinal (ACI 318-05, 2005).

-

(d) Si el espesor de concreto fuera del refuerzo transversal de confinamiento excede 100 mm, debe colocarse refuerzo transversal adicional con un espaciamiento no superior a 300 mm. El recubrimiento de concreto sobre el refuerzo adicional no debe exceder de 100 mm (ACI 318-05, 2005). La separación del refuerzo transversal debe cumplir con:

39

0.25 D  s  6 d b  s  o  350  hx    3 

so  100  

(2.65)

(2.66)

D

: Diámetro del pilar circular.

h x

: Espaciamiento máximo horizontal, medido centro a centro, entre ganchos suplementarios o ramas de estribos cerrados de confinamiento en todas las caras de la columna.

El valor so no debe ser mayor a 150 mm ni menor a 100 mm. El espaciamiento horizontal de los ganchos suplementarios o las ramas de los estribos cerrados de confinamiento múltiples, h x, no debe exceder 350 mm medido centro a centro (ACI 318-05, 2005).

2.6.3

Diseño sísmico refuerzo flexo-compresión. El área de refuerzo longitudinal, A st , no debe ser menor que 0.01 A g ni mayor que 0.06 A g

(ACI 318-05, 2005). Los empalmes mecánicos deben cumplir 21.2.6 y los empalmes soldados deben cumplir 21.2.7. Los empalmes por traslapo se permiten sólo dentro de la mitad central de la longitud del elemento, deben diseñarse como empalmes por traslapo de tracción y deben estar rodeados por refuerzo transversal que cumpla con 21.4.4.2 y 21.4.4.3 (ACI 318-05, 2005).

2.7

DETALLES DE REFUERZOS.

2.7.1

Límite de espaciamiento y disposiciones geométricas. Los límites mínimos se establecieron originalmente con el fin de permitir el flujo rápido del

concreto dentro de los espacios comprendidos entre las barras y entre las barras y el encofrado sin crear hormigueros, y con objetivo de evitar la concentración de barras en el mismo plano que puede causar un agrietamiento por esfuerzo cortante o retracción (ACI318SR-05, 2005). El límite de espaciamientos está basado en la sección 7.6 de ACI 318-05. 40

-

La distancia libre mínima entre barras paralelas de una capa debe ser d b , pero no menor de 25 mm (ACI 318-05, 2005).

-

En elementos a compresión reforzados con espirales o estribos, la distancia libre entre barras longitudinales no debe ser menor de 1.5d b , ni de 40 mm (ACI 318-05, 2005).

-

La limitación de distancia libre entre barras también se debe aplicar a la distancia libre entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes (ACI 318-05, 2005).

-

En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, la separación del refuerzo principal por flexión no debe ser mayor de 3 veces el espesor del muro o de la losa, ni de 450 mm (ACI 318-05, 2005).

2.7.2

Protección de hormigón para el refuerzo. El recubrimiento del refuerzo debe ser controlado para evitar la exposición del refuerzo a

ambientes corrosivos o abrasivos que puedan reducir su sección, asegura una buena adherencia del refuerzo al hormigón, y permite el flujo adecuado del hormigón fresco entre el refuerzo y el encofrado. Según 7.7.1 de ACI 318-05, la protección de concreto para el refuerzo no debe ser menor que: - Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a él .......................................................................

75 mm

- Concreto expuesto a suelo o a la intemperie: Barras No. 19 a No. 57 ..................................

50 mm

Barras No. 16 y menores ...............................

40 mm

- Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo: Losas, muros, viguetas: Barras No. 43 y No. 57 ..................................

40 mm

Barras No. 36 y menores ................................

20 mm

Vigas, columnas: Armadura principal, estribos, espirales ..........

40 mm

41

2.7.3

Condiciones para refuerzo en espiral. El refuerzo en espiral para elementos a compresión debe cumplir con:

-

Para elementos construidos en obra, el diámetro de barra utilizada en espirales no debe ser menor de 10 mm (ACI 318-05, 2005).

-

El espaciamiento libre entre hélices de la espiral no debe exceder de 80 mm ni ser menor de 25 mm (ACI 318-05, 2005).

-

La cuantía volumétrica del refuerzo en espiral debe ser mayor o igual a:

 s

 A g  f c'  0.45   1 A f ch yt  

(2.22)

A g : Área bruta de la sección.

Ach : Área de la sección transversal del elemento, medida entre los bordes exteriores del refuerzo transversal.

f yt : Resistencia a la fluencia del refuerzo transversal. '


-

El valor de f yt debe ser menor o igual a 700 MPa. Cuando f yt es mayor a 420 MPa, no se puede usar empalmes por traslapo indicado en el punto (a) de esta sección (ACI 318-05, 2005). El refuerzo en espiral debe empalmarse, si se requiere, por alguno de los siguientes

métodos: (a) Empalme por traslapo no menor que 300 mm ni menor al largo indicado en: - Barra o alambre corrugado sin recubrimiento ...............................

48d b

- Barra o alambre liso sin recubrimiento .........................................

72d b

- Barras o alambres corrugados recubiertos con epóxico ................

72d b

(b) Usar empalmes mecánicos o soldados descritos en 1.7.5.3 (ACI 318-05, 2005).

2.7.4

Condiciones para estribos. Los estribos para elementos sometidos a compresión deben cumplir con lo siguiente: 42

-

Todas las barras no preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos transversales de por lo menos No. 10, para barras longitudinales No. 32 o menores; y No. 13 como mínimo, para barras longitudinales No. 36, No. 43 y No. 57 y paquetes de barras. Se permite el uso de alambre corrugado o refuerzo electrosoldado de alambre con un área equivalente (ACI 318-05, 2005).

-

El espaciamiento vertical de los estribos no debe exceder 16 diámetros de barra longitudinal, 48 diámetros de barra o alambre de los estribos, o la menor dimensión del elemento sometido a compresión (ACI 318-05, 2005).

- Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de esquina y barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo interior no mayor de 135º, y ninguna barra longitudinal debe estar separada a más de 150 mm libres de una barra apoyada lateralmente. Cuando las barras longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso de un estribo circular completo (ACI 318-05, 2005). Figura 2.11: Detalle de refuerzo transversal.

Fuente: Fig.R7.10.5, ACI 318-05, 2005.

La distancia vertical entre los estribos de los extremos del elemento y la parte superior de la zapata o losa de entrepiso, o el refuerzo horizontal más bajo de la losa o ábaco superior, debe ser menor a la mitad del espaciamiento entre estribos (ACI 318-05, 2005).

2.7.5

Longitudes de desarrollo y empalmes. El concepto de longitud de desarrollo se basa en el esfuerzo de adherencia obtenible sobre

la longitud embebida del refuerzo. Las longitudes de desarrollo especificadas se requieren, en gran medida, por la tendencia de las barras sometidas a esfuerzos altos a fisurar el concreto que retiene la barra cuando las secciones de concreto son relativamente delgadas. Una barra 43

individual embebida en una masa de concreto no necesita una longitud de desarrollo tan grande; aunque una fila de barras, aun en concreto masivo, puede crear un plano débil con agrietamiento longitudinal a lo largo del plano de dichas barras (ACI318SR-05, 2005).

2.7.5.1

Generalidades.

La tracción o comprensión calculada en el refuerzo de cada sección de elementos de concreto estructural debe ser desarrollada hacia cada lado de dicha sección mediante una longitud embebida en el concreto, gancho o dispositivo mecánico, o una combinación de ellos. Los ganchos no se deben emplear para desarrollar barras en compresión (ACI 318-05, 2005). '

Los valores de

f c usados en este capítulo no deben exceder de 8.3 MPa (ACI 318-05,

2005).

2.7.5.2

Desarrollo de barras a tracción.

Para barras corrugadas y alambres corrugados l d debe ser:

 d

     9 f y  t  e s    d b 10 f '  cb  K tr  c      d   b    

(2.68)

f y : Resistencia a la fluencia del refuerzo. '

f c : Resistencia a la compresión del hormigón. cb

: Menor valor entre la distancia del centro de una barra a la superficie de hormigón más cercana o la mitad de la separación centro a centro de las barras que se desarrollan.

d b : Diámetro nominal de la barra.

en donde el término cb

K tr



 K tr



Atr f yt 10 s·n

d b

no debe tomarse mayor a 2.5 y

(2.69)

44

Atr : Área total de todo el refuerzo transversal dentro del espaciamiento s que

cruza el plano potencial de hendimiento a través del refuerzo que está siendo desarrollado.

f yt : Resistencia a la fluencia del refuerzo transversal. s


n

: Número de barras que se empalman o desarrollan dentro del plano de hendimiento.

en donde n es el número de barras o alambres que se empalman o desarrollan dentro del plano de hendimiento. Se puede usar K tr = 0 como una simplificación de diseño aún si hay refuerzo transversal presente (ACI 318-05, 2005). En la ecuación 2.69 se deben usar los siguientes valores: -

(a) Cuando para el refuerzo horizontal se colocan más 300 mm de concreto fresco debajo de la longitud de desarrollo o un empalme,  t



1.3 .

Otras situaciones 

t



1.0 (ACI

318-05, 2005). -

(b) Barras o alambres con recubrimiento epóxico con menos de 3d b de recubrimiento, o separación libre menor de 6d b , recubrimiento epóxico, 

e





1.2 .

e



1.5 .

Para todas las otras barras o alambres con

Refuerzo sin recubrimiento, 

e



1.0 .

No obstante,

el producto  · no necesita ser mayor de 1.7 (ACI 318-05, 2005). t

-

e

(c) Para barras No. 19 o menores y alambres corrugados, 

s



0.8 .

Para barras No. 22 y

mayores,  s  1.0 (ACI 318-05, 2005). -

(d) Donde se use concreto liviano, tomarse como normal, 

2.7.5.3



0.56





1.3 .

No obstante, cuando f ct se especifica, λ puede

f c' f ct pero no menor que 1.0. Donde se utilice concreto de peso

1.0 (ACI

318-05, 2005).

Empalmes soldados y mecánicos.

Un empalme mecánico completo debe desarrollar en tracción o compresión, según sea requerido, al menos 1.25 f y de la barra (ACI 318-05,2005). Excepto en lo dispuesto por este reglamento, toda soldadura debe estar de acuerdo con “Structural Welding Code — Reinforcing Steel ” (ANSI/AWS D1.4) (ACI 318-05,2005). 45

Un empalme totalmente soldado debe desarrollar, por lo menos, s, 1.25 f y de la barra (ACI 318-05,2005).

2.8

SOLUCIÓN DE ECUACIONES. Las ecuaciones de interés para determinar el valor de la profundidad equivalente de

esfuerzos a son polinomios de orden cúbico, cuadrado y lineal, que pueden ser resueltos tanto de forma exacta como por medio de métodos numéricos. También será importante para el caso de elementos circulares, la solución de ecuaciones cuya incógnita solo se puede encontrar a través de métodos numéricos. Sea y f  x  . Los valores de x que hacen que y=0 se denominan raíces de la ecuación. El 

teorema fundamental del álgebra indica que todo polinomio de grado n tiene n raíces. En el caso de las raíces reales, se tiene que corresponden a los valores x que hacen que la función corte el eje de las abscisas (Acatlán, 2008). Las raíces de un polinomio pueden ser reales o complejas. Si un polinomio tiene coeficientes ao , ao , ao , ..., an 1 , an reales, entonces todas las raíces complejas siempre ocurrirán 

en pares conjugados complejos. Por ejemplo, un polinomio cúbico tiene la siguiente forma general: f ( x)



a0 x3



a1x 2



a2 x  a3

Figura 2.12: Ceros de una función. y

f(x)=cos(x)

x x1

x2

x3

x4

Fuente: Acatlán, 2008.

El teorema fundamental del álgebra indica que un polinomio de grado n, tiene n raíces. En el caso del polinomio cúbico pueden darse los siguientes casos:

-

Tres raíces reales distintas. 46

-

Una raíz real con multiplicidad 3.

-

Una raíz real simple y una raíz real con multiplicidad 2.

-

Una raíz real y un par conjugado complejo.

2.8.1

Solución exacta de ecuaciones de orden cúbico. Es posible calcular las soluciones exactas de un polinomio de orden cúbico, de las cuales

hasta dos podrían ser imaginarias. Si un polinomio cúbico tiene la forma: a x 3  b x 2

x



b 3a



c x  d  0

 3 2 3a  2b  9abc  27a d  

  2b 3  9abc  27a 2 d    

 b

2

4





3a



 b

2

2

 3ac 

 3ac    2b  9abc  27a 3

1 3

3



 3 2 3a  2b  9abc  27a d  

1  i 

 b

4

2

2



2

d

  

2

d



2

  



b 3a

 b

4

2

2

3

(2.71 a)

 3ac 

 3ac    2b  9abc  27a 3

3

 3ac    2b  9abc  27a 3

3

2



d

2

  

2

d



2

1  i 3  b  3 2 3a  2b  9abc  27a d  

1  i 

 b

4

3·2

i

2.8.2

2

1 3

  

1 3

1 3

(2.71 b)

a



 3 2 3   2b  9abc  27 a d  

3

1

1 3

1

a

1  i 3  b

 3 2 3   2b  9abc  27 a d  

3

 3ac    2b  9abc  27a

3·2

x

 b

4

3

3·2

x

1 3

2



b

(2.70)

 b

4

2

2

 3ac 

 3ac    2b  9abc  27a 3

3

 3ac    2b  9abc  27a 3

3

2



d

2

  

2

d



2

  

1 3

1 3

(2.71 c)

a

: Termino imaginario que representa

1 .

Solución numérica de ecuaciones. En general, los métodos para encontrar las raíces reales de ecuaciones algebraicas y

trascendentales se dividen en métodos de intervalos y en métodos abiertos.

47

Los métodos de intervalos aprovechan el hecho de que una función en forma típica cambia de signo en la vecindad de una raíz. Reciben dicho nombre debido a que se necesita de dos valores iniciales que deben “encapsular” a la raíz. A través de este tipo de métodos se va

reduciendo gradualmente el tamaño del intervalo de manera que la aplicación repetida de los métodos siempre generan aproximaciones cada vez más cercanas al valor real de la raíz, por lo que se dice que son métodos convergentes (Acatlán, 2008). Los métodos abiertos, en contraparte, se basan en fórmulas que requieren de un solo valor inicial x (aproximación inicial a la raíz). Algunas veces, estos métodos se alejan del valor real de la raíz conforme crece el número de iteraciones, es decir, divergen (Acatlán, 2008).

2.8.2.1

Método de bisección.

Este método, también conocido como método de partición del intervalo, parte de una ecuación algebraica o trascendental f ( x) y un intervalo [ x1, x2], tal que f ( x1) y f ( x2) tienen signos contrarios, es decir, tal que existe por lo menos una raíz en ese intervalo (Acatlán, 2008). Una vez determinado el intervalo [ x1, x2] y asegurada la continuidad de la función en dicho intervalo, se evalúa ésta en el punto medio xm del intervalo. Si f ( xm) y f ( x1) tienen signos contrarios, se reducirá el intervalo de x1 a xm, ya que dentro de estos valores se encuentra la raíz buscada. Si f ( xm) y f ( x1) tienen el mismo signo, se reducirá el intervalo de xm a x2. Al repetir este proceso hasta lograr que la diferencia entre los dos últimos valores de xm será una buena aproximación de la raíz (Acatlán, 2008). El algoritmo del método es el que sigue: 1. Escoger los valores x1 y x2 del intervalo. 2. Comprobar la existencia de una raíz en el intervalo [x1, x2] verificando que f  x  f  x   0 . De 1

2

no ser así, será necesario elegir otros valores para x1 y x2. 3. Tomar v y calcular f ( xm ) . 4.

Si f ( xm ) =0 se encontró la raíz de la función (fin del método). De lo contrario, ir al paso 5.

5.

Sea T la tolerancia deseada (el margen de error aceptado). Si  x

2

 x1



2  T se

encontró

una aproximación a la raíz con un margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario, ir al paso 6. 6.

Si f  x  f  xm   0 , entonces hacer 1

x

2



x

m

y repetir desde 3; de lo contrario, hacer

x

1



x

m

y

repetir desde 3.

48

2.8.2.2

Método de Newton-Raphson.

Este método parte de una primera aproximación

x

n

y mediante la aplicación de una

fórmula recursiva se acerca a la raíz de la ecuación, de manera tal que la nueva aproximación x

n 1

se localiza en la intersección de la tangente a la curva de la función en el punto x y el eje de n

las abscisas (Acatlán, 2008). Figura 2.13: Solución por método Newton-Raphson.

Fuente: Acatlán, 2008.

Sabemos que tan( )  f ( xn )

(2.72)

Y que por definición tan( ) 

f ( xn ) xn  xn1

(2.73)

f ( xn )

f ( xn ) xn  xn1

(2.74)

Es decir 

Y entonces xn 1  xn  

f  xn  f '  xn 

;

n  0, 1, 2, ...

(2.75)

Para determinar en qué casos converge este método, se usará el mismo criterio que en el del punto fijo: h( x )  x 

f ( x) f ( x)

(2.76) 49

Y si para una  en el intervalo x

n 1

h( )  1

   a

se cumple que

(2.77)

entonces el método converge en la n-ésima iteración. Aunque el método casi siempre converge a la solución en un número reducido de iteraciones, a continuación se enlistan algunos de los casos de divergencia más comunes: 1. Círculo vicioso. Cuando al utilizar

x

n

se obtiene por la tangente un valor x 1 que al sustituir n

en la fórmula recursiva regresa al mismo valor x . n

2. Indeterminación. Cuando evaluamos la fórmula en un punto donde la función tiene un máximo o un mínimo. 3. Aparente divergencia. Cuando la aproximación inicial

x

o

está muy alejada del valor real de

la raíz, es posible que en las primeras iteraciones el método proporcione valores aparentemente divergentes y, sin embargo, el método conduzca después de algunas iteraciones a la solución. La interpretación geométrica del método de Newton-Raphson es muy similar a la del punto fijo: a partir de una aproximación inicial traza una tangente y se toma como

x

1

x

o

, se dirige una recta vertical hacia la curva y=f ( x), se

el punto de intersección entra la tangente y el eje de las

abscisas; de nuevo, verticalmente a la curva, etc (Acatlán, 2008). El algoritmo del método consiste en: 1.

Calcular f  x .

2.

Escoger una aproximación inicial x .

'

o

Sea n=0. 3.

Evaluar xn

4.

Comparar a) Si b) Si

x

x

n 1

x



1

xn  f  xn  f ' xn  .

n 1

x

n

con

x

n

 xn  xn  xn

n 1

1

 xn  xn  xn1

x

n 1

:

, el método converge. Ir al paso 5. , el método diverge, aparentemente. Se detiene el método y se

escoge una nueva aproximación x . o

50

c)

Si

x

n 1

 xn  xn  xn1

, el método se ha estancado. Se detiene el método y se escoge una

nueva aproximación x . o

Note que en la primera iteración no es posible aplicar aún este criterio, por lo que se omite este paso y se continúa en 5. 5.

Si

x

n



x

n 1



0,

se encontró la raíz de la función (fin del método). De lo contrario, ir al paso

6. 6.

Sea T la tolerancia deseada (el margen de error aceptado). Si x

n

 xn 

1

 T

se encontró una

aproximación a la raíz con un margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario, ir al paso 3 haciendo n=n+1.

2.8.2.3

Método de la secante.

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar a resultar engorroso. Sin embargo, la forma funcional de f ( x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. El método de la secante es casi idéntico al de regula falsi salvo por un detalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto. Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante (Cerquera Y, 2008). Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.

Lo

que

hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca (Cerquera Y, 2008). Figura 2.14: Representación gráfica del método de la secante.

Fuente: Fig. 1, Cerquera, 2008. 51

Una forma de evitar el cálculo de f '( x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta f '  xo   f  x  f  xo   x 

1



1



xo . Esta variante se conoce con el nombre de

método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración: x2  x1  f  x1  x1  xo   f  x1   f xo  (Cerquera Y, 2008). Figura 2.15: Representación geométrica de las iteraciones al aplicar el método de la secante.

Fuente: Fig. 2, Cerquera Y, 2008.

La sucesión queda expresada en términos generales como: 

  f xn      f x f x  n   n

xn  xn1  

xn1  xn 2

(2.78)

1

1

2

A partir de ciertos valores x0 y x1 dados. El algoritmo deberá parar cuando

x

n 1

 xn

sea

menor que la precisión requerida. Obviamente, para poder arrancar el método se necesitan dos valores iniciales (Cerquera Y, 2008). Forma de hacerlo: Primero hay que definir algunos conceptos como: xn Es el valor actual de X. xn−1 Es el valor anterior de X. xn+1 Es el valor siguiente de X.

Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentra la raíz (Cerquera Y, 2008).

52

Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que se llaman A y C (Cerquera Y, 2008). Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f(C). Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la fórmula B



 A f C 



C f  A  f C  f  A (Cerquera Y, 2008). 

2.8.2.4

Método Lin.

El método de Lin consiste en factorizar una ecuación de grado n en un polinomio cuadrático por un polinomio de grado n-2, de manera que se obtienen las raíces por parejas del factor cuadrático, y se repite el procedimiento en tanto sea necesario (Acatlán, 2008). Sea P  x

0 una



ecuación algebraica de la forma

P( x)  a0 x n



a1 x n

1





a2 x n



2





an 1x  an

(2.79)



Se obtiene un factor cuadrático de la forma x2



px  q

(2.80)

Y se expresa P( x)

donde



( x2

px  q)(b0 xn



bn 1 x y bn son



2



b1x n

3





b2 x n



4





bn 3 x  bn 2 )  bn 1x  bn 





(2.81)

los residuos del polinomio.

Para determinar los coeficientes

bi ; i



0, 1, 2, ..., n 2 

del polinomio reducido efectuamos la

multiplicación en P( x)



b0 x n b2 x n

pb0 x n

 

bn 2 x

2 2



1







pb2 x n



pbn 2 x  qbn



3

qb0 x n 





2

qb2 x n 

 

2 

4

b1x n 

1







pb1x n

bn 3x 3 





2



qb1x n

pbn 3x 2 

3





bn 1x  bn 



qbn 3x  

(2.82)

Ahora, igualando los coeficientes de las mismas potencias a0



b0

a1



b1

a2



b2

an an

1







pb1  qb0



bn

bn

pb0

1





pbn

qbn

2



qbn

3

2

53

Y despejando los coeficientes del polinomio reducido b0 b1

bn

a1



b2 bn

a0





1



a2





pb0



an

an

pb1





1



qb0

pbn

qbn









2

qbn





3

2

De manera que los coeficientes del polinomio reducido están dados por bk ak pb k 1 qbk 2 ; 







K 0, 1, 2 ..., n 2; 





b1 b2 







0

(2.83)

Y los residuos por bn 1 

bn

Para que

x

2





an 1 pbn 



a n qbn 

 px  q





2



qbn

3

(2.84 a y b)



2

sea un factor del polinomio P ( x) es necesario que

bn 1

y

bn sean

iguales a cero (Acatlán, 2008).  an1  pbn2  qbn3 0  an  qbn 2 0

(2.85 a y b)

Despejando a p y q de 1.85: p 

an 1  qbn 3 bn 2

q

an bn  2

Si se conocen los valores de p y q podemos calcular los coeficientes

(2.86 a y b) bi ; i



0,1, 2, ..., n 2 

del

polinomio reducido (Acatlán, 2008). A partir de valores iniciales para p y q y mediante un proceso iterativo se determinan estos valores con la precisión que se requiera. Para ello, se definen los incrementos

 p y  q :

 p  p *  p; q  q *  q

(2.87 a y b)

Donde p* y q* son las nuevas aproximaciones de p y q, respectivamente: p* 

an 1  qbn 3 bn  2

q* 

an bn 2

(2.86 a y b) 54

Sustituyendo an 1

 p 

qbn3



bn  2



p

q 

an bn  2

 p 

an 1  pbn  2  qbn 3 bn 1  bn 2 bn 2

q 

an  qbn 2 b  n bn 2 bn 2



q

(2.88 a y b)

O sea

(2.89 a y b)

Esto es bn 1 

p*  p 

bn

2

(2.90 a y b)

bn

q*  q 

bn

2

El método converge cuando

bn1 , bn ,  p y  q tienden

a cero, y para cualquiera de ellos se

puede fijar la tolerancia en el error (Acatlán, 2008). Note que si

bn





2

0 no

es posible aplicar el método.

El algoritmo del método consiste en los siguientes pasos: 1.

Hacer p=q=0.

2.

Calcular los coeficientes del polinomio reducido bk



ak

pbk



1





qbk 2 ; 

k



0,1, 2,

,n



2;

b1 



b2 



0

(2.83)

Y los residuos bn 1 

bn

3.





an 1 pbn 



a n qbn 





2



qbn

3



(2.84 a y b)

2

Verificar que bn  0 y calcular las nuevas aproximaciones de p y q 2

p*  p  q*  q 

bn 1 

bn

2

bn bn

(2.90 a y b)

2

55

Si

bn



2



0 se

concluye que no es posible aplicar el método para resolverle polinomio en

cuestión (Acatlán, 2008). 4.

Sea T la la tolerancia deseada (el margen de error permitido). Si p  p  T y q *

*

q



T

se han

encontrado aproximaciones a los valores de p y q con un margen de error menor a T . De lo contrario es necesario hacer una nueva iteración comenzando en el paso 2 haciendo p=p* y q=q* (Acatlán, 2008).

2.8.2.5

Método de Bairstow.

Este método depende de dividir el polinomio entre un factor cuadrático. Sea P ( x x)=0, el polinomio general de grado n de la forma P( x)  a0 x n



a1 x n

1





a2 x n



2





an 1x  an

(2.79)



Sabemos que al obtener el factor cuadrático x2



px  q

(2.80)

tenemos que P( x)



( x2



px  q)(b0 xn



2



b1x n

3





b2 x n



4





bn 3 x  bn 2 )  bn 1x  bn 



(2.81)



Al igual que en el método de Lin, podemos concluir que b0 b1

bn

a1



b2 bn

a0



a2



1







pb0



an

an

pb1



1









qb0

pbn

qbn





2



qbn



3

2

y que los coeficientes del polinomio reducido están dados por bk ak pb k 1 qbk 2 ; 









K 0, 1, 2 ..., n 2; 

b1 b2











0

(2.83)

y los residuos por bn 1  an1  pbn2  qbn3

(2.84 a y b)

bn  a n  qbn2

Bairstow estudió la posibilidad de encontrar aproximaciones de los residuos través de una serie de Taylor para las variables independientes p  p   p y *

q*  q   q

bn1

y

bn a

: 56

bn1  p*, q *  bn1  bn  p*, q *  bn

 bn 1  p

 bn



 p

 bn 1

 p 

 p 

 q

 bn

q

(2.91 a y b)

q

 q

Igualando a cero tenemos  bn1  p  bn

 q

 q  bn

(2.92 a)

1

 q

 bn

 p 

 p

 bn1

 p 

 q  bn

(2.92 b)

De esta forma, pueden calcularse los valores de

 p

y

q

al resolver el sistema de

ecuaciones lineales y, consecuentemente, obtener los valores de las nuevas aproximaciones p*  p   p

y

q*  q   q

(Acatlán, 2008).

El algoritmo del método consiste en los siguientes pasos: 1. Hacer p=q=0. 2. Calcular los coeficientes del polinomio reducido bk ak pb k 1 qbk 2 ; 







K 0, 1, 2 ..., n 2; 





b1 b2 







0

(2.83)

Y los residuos bn 1 

bn





an 1 pbn 



a n qbn 





2



qbn

3

(2.84 a y b)



2

3. Calcular las derivadas parciales de los residuos b  y n 1

bn :

 bn 1  bn 1  bn  bn , , ,  p q  p q 



4. Resolver el sistema  bn1  p  bn  p

 p 

 p 

 bn1  q

 bn  q

 q  bn 1

(2.92 a)

 q  bn

(2.92 b)

5. Obtener los valores de las nuevas aproximaciones p  p   p y *

q*  q   q

.

57

6. Sea T la la tolerancia deseada (el margen de error permitido). Si p  p  T y q *

*

q



T se

han

encontrado aproximaciones a los valores de p y q con un margen de error menor a T (fin del método). De lo contrario es necesario hacer una nueva iteración comenzando en el paso 2 haciendo p=p* y q=q* (Acatlán, 2008).

58

Capítulo III Procedimientos de diseño y funcionamiento del sitio web.

3.1

GENERALIDADES. Con tal de lograr los objetivos planteados en esta tesis, el modelo computacional a elaborar

deberá cumplir de forma eficiente los procedimientos de cálculo para muros de hormigón armado, ya sea que requieran pilares de borde o no, y para los pilares de sección circular. Con el fin de explicar su funcionamiento se detallará el procedimiento, ecuaciones y ciclos iterativos necesarios para encontrar los valores requeridos en cada módulo, luego se mostrará un diagrama de flujo que resuma en forma gráfica el procedimiento antes explicado.

3.1.1

Tecnología utilizada. El programa computacional desarrollado consiste en una página web diseñada

principalmente en lenguaje php, el cual permite realizar los cálculos matemáticos, ciclos iterativos, discriminación de variables, etc., que en conjunto con los lenguajes HTML, Javascript y Ajax dan la posibilidad de armar un sitio dinámico y capaz de satisfacer las exigencias necesarias en un programa de estas características. -

PHP: (acrónimo de "PHP: Hypertext Preprocessor") es un lenguaje de "código abierto" interpretado, de alto nivel, embebido en páginas HTML y ejecutado en el servidor. Lo que distingue a PHP de la tecnología JavaScript, la cual se ejecuta en la máquina cliente, es que el código PHP es ejecutado en el servidor. El servidor web puede ser incluso configurado para que procese todos los archivos HTML con PHP. Lo mejor de usar PHP es que es extremadamente simple para el principiante, pero a su vez, ofrece muchas características avanzadas para los programadores profesionales (Saether et al, 2001).

-

HTML: Bueno, HTML no significa más que HyperText Markup Language. Éste es el lenguaje utilizado con el fin de crear documentos para lo que se conoce como World Wide Web. Este lenguaje no se centrará en el aspecto del documento fuente, sino que dará igual si el texto está o no formateado, ya que para conseguir que éste se visualice con un 59

determinado formato será necesaria la inserción de unos determinados indicadores por el documento fuente. Casi todos los programas que interpretan páginas Web leen texto normal y corriente, pero la utilización del lenguaje HTML tiene muchas ventajas, como las ya mencionadas antes: incluir texto como efectos, imágenes, enlaces con otras páginas y direcciones, aplicaciones multimedia, etc. Cuando se creó este lenguaje se pensó en que fuera portable al 100%, es decir, que pudiera ser llevado o visualizado independientemente del sistema operativo que gobernara el ordenador. Así pues es perfectamente factible crear una página HTML en un PC con DOS para luego ponerla en un servidor de HTML, de una máquina UNIX y que la vean los amigos que tengan un MAC o un PC con sistema operativo LINUX. Esta característica se debe a que todo lo que hay en la página es texto, caracteres ASCI, los cuales son interpretados por todos los tipos de sistemas operativos. Mediante este tipo de servicio se pueden elaborar aplicaciones de todo tipo, desde bases de dato a aplicaciones multimedia; en fin, un inmenso mundo de posibilidades a nuestro alcance (Soria R, 1999). -

JAVASCRIPT: JavaScript es un lenguaje de programación que se utiliza principalmente para crear páginas web dinámicas. Una página web dinámica es aquella que incorpora efectos como aparición y desaparición de texto, animaciones, acciones que se activan al pulsar botones u otros elementos y ventanas con mensajes de aviso al usuario. Técnicamente, JavaScript es un lenguaje de programación interpretado, por lo que no es necesario compilar los programas para ejecutarlos. En otras palabras, los programas escritos con JavaScript se pueden probar directamente en cualquier navegador sin necesidad de procesos intermedios (Eguíluz J, 2007).

-

AJAX: El término AJAX se acuñó por primera vez en el artículo “Ajax: A New Approach to Web Applications” publicado por Jesse James Garrett el 18 de Febrero de 2005. Hasta

ese momento, no existía un término normalizado que hiciera referencia a un nuevo tipo de aplicación web que estaba apareciendo. En realidad, el término AJAX es un acrónimo de Asynchronous JavaScript + XML, que se puede traducir como “JavaScript asíncrono + XML”.

El artículo define AJAX de la siguiente forma:

60

“ Ajax no es una tecnología en sí mismo. En realidad, se trata de la unión de varias

tecnologías que se desarrollan de forma autónoma y que se unen de formas nuevas y sorprendentes.”

Las tecnologías que forman AJAX son: ▪ XHTML y CSS, para crear una presentación basada en estándares. ▪ DOM, para la interacción y manipulación dinámica de la presentación. ▪ XML, XSLT y JSON, para el intercambio y la manipulación de información. ▪ XMLHttpRequest, para el intercambio asíncrono de información. ▪ JavaScript, para unir todas las demás tecnologías.

Desarrollar aplicaciones AJAX requiere un conocimiento avanzado de todas y cada una de las tecnologías anteriores. En las aplicaciones web tradicionales, las acciones del usuario en la página (pinchar en un botón, seleccionar un valor de una lista, etc.) desencadenan llamadas al servidor. Una vez procesada la petición del usuario, el servidor devuelve una nueva página HTML al navegador del usuario (Eguíluz J, 2007).

3.1.2

Descripción del sitio web. Como se indica en el punto anterior, el programa consiste en un sitio web, almacenado bajo

el dominio www.calculohormigon.com, por lo cual cualquier usuario puede acceder a él de forma gratuita solo contando con acceso a internet. Esto presenta una importante ventaja ya que los programas dedicados al diseño de elementos en hormigón armado son de pago y deben ser instalados en cada computador en que se quiera utilizar, a diferencia de éste sitio que es gratuito y al acceder a él vía internet no requiere de ningún tipo de instalación previa. El sitio es capaz de diseñar o verificar pilares de sección circular y muros de hormigón armado, basado en el código de diseño ACI 318-05, ya sea de a un elemento o de forma múltiple. Además entrega la posibilidad de filtrar las solicitaciones e información de cada elemento provenientes del cálculo estructural de los programas SAP2000 o ETABS, también da la opción de guardar una memoria de cálculo en formato .pdf con un resumen de los procedimientos de diseño e imágenes relacionadas a él. El sitio inicia con una página que da la posibilidad de ingresar datos generales sobre el proyecto a calcular y escoger la opción de diseñar un elemento desde cero, es decir ingresando 61

cada dato en forma manual, o bien ingresando un archivo .xls o .mdb proveniente de cálculos realizados en el programa SAP2000 o ETABS respectivamente, con la finalidad de reducir el tiempo que tardaría un usuario en ingresar cada dato en forma manual. Además cuenta con un menú en donde se puede encontrar información y ayuda relacionada con el sitio (ver figura 3.1). La siguiente página consta de dos secciones, una a la izquierda con un menú donde se pueden ingresar los datos necesarios para el cálculo, ya sea información de los materiales, dimensiones de los elementos, etc. Y otra sección a la derecha en donde se visualiza los datos ingresados, ya sea la tabla con la información de los distintos casos a analizar, o bien la geometría del elemento que se esté detallando (ver figura 3.2). En el caso de ingresar datos sobre la geometría de la sección a diseñar, mientras se van ingresando los datos en la sección de la izquierda, en la imagen de la derecha se va mostrando la forma de la sección según los datos que el usuario está ingresando (ver figura 3.3). Figura 3.1: Página inicio del sitio web.

Fuente: Propia.

62

Figura 3.2: Página ingreso de datos, menú y tabla resumen.

Fuente: Propia. Figura 3.3: Página ingreso de datos geométricos y geometría de la sección.

Fuente: Propia.

Luego de ingresar toda la información y una vez que se ha presionado el botón calcular, se procesan los datos en forma interna y se carga una nueva página con una tabla resumen de los resultados obtenidos. Además da la posibilidad de imprimir la lista de resultados en formato .pdf o abrir una nueva página que muestra el detalle de los resultados. 63

En caso de que el cálculo presente algún error como por ejemplo que la sección a diseñar sea insuficiente para resistir las solicitaciones ingresadas, o que en caso de verificar un elemento, el refuerzo sea insuficiente o excesivo, en esta página aparecerá un aviso de error indicando el elemento en el que se produjo, las causas y alguna alternativa de solución (ver figura 3.4). La página que contiene el detalle de cálculos entrega los resultados obtenidos en uno de los elementos seleccionados por el usuario en la página de resumen de resultados, esta muestra datos como el resumen de valores ingresados por el usuario, para el caso de un muro el diagrama de tensiones en los extremos, análisis de carga balanceada, profundidad del bloque en compresión, tensiones de refuerzo, factores de reducción, áreas de refuerzo en el elemento, diagrama de interacción M-P, detalles de refuerzos y los chequeos necesarios para verificar el correcto diseño. Además permite guardar la información en un archivo .pdf (ver figura 3.5). Figura 3.4: Página resumen de resultados.

Fuente: Propia.

64

Figura 3.5: Página detalle de resultados, gráfica sección.

Fuente: Propia.

Todas las páginas (salvo la última descrita) cuentan con una barra de tareas desplegable en la parte superior de cada una de ellas, con la que se puede mover por las distintas páginas del sitio o buscar información relacionada con el mismo. Figura 3.6: Barra de tareas del sitio web.

Fuente: Propia.

Respecto a las unidades de trabajo, el programa cuenta con una sección donde se pueden escoger las unidades que luego se aplican a todos los valores a ingresar y resultados que este entregue, también independiente de las unidades generales ingresadas se puede usar unidades particulares para cualquier dato que el usuario estime est ime necesario. En general el sitio es capaz de calcular listas de elementos cada uno con la cantidad de combinaciones o estados de carga que el usuario estime conveniente.

65

3.1.3

Recolección de datos provenientes de un archivo externo. Como antes se mencionó, el sitio es capaz de cargar un archivo .xls o un .mdb proveniente

de cálculos realizados en el programa SAP2000 o ETABS, procesarlos y almacenar los valores adecuados para considerar las situaciones más desfavorables entre los varios estados de carga que pueden entregar los programas antes mencionados. Para subir el archivo al servidor en la página principal se debe presionar el botón "Agregar Tabla", esto carga un recuadro donde se puede buscar y enviar el archivo. Figura 3.7: Página carga de archivos.

Fuente: Propia.

El programa SAP2000 puede entregar un archivo Excel con toda la información y resultados que intervienen en el cálculo de un proyecto, este archivo contiene tablas organizadas según el tipo de dato y con un nombre especifico en cada hoja. El archivo Excel a cargar no necesita tener modificaciones desde su creación en SAP 2000, pero dependiendo del tamaño de este puede ser recomendable borrar hojas que el sitio web no requiera, con el fin de no perder tiempo en cargar al servidor un archivo muy extenso, que dependiendo de la velocidad de carga y el tamaño podría tardar varios minutos. Las hojas del archivo Excel generado por SAP2000 en las que el programa interviene para recoger datos son las siguientes: - Element Forces – Frames: Contiene los esfuerzos sobre los pilares para los distintos estados de carga y para distintos tramos de cada elemento. De esto se selecciona las cargas necesarias para realizar un diseño que considere las combinaciones de carga más desfavorables. -

Section Cut Forces: Contiene los esfuerzos sobre los muros para los distintos estados de

carga. De igual forma que con los pilares, se toman las combinaciones necesarias para realizar un diseño que considere las cargas más desfavorables. - Frame Section Assignments: Indica el nombre del elemento cuyo número está asociado a los estados de carga en Element Forces – Frame. 66

- Frame Props 01 – General : De ella se recuperan las dimensiones de los elementos con el nombre que fue rescatado en la hoja antes nombrada. - Frame Props 02 - Concrete Col : De esta hoja el sitio obtiene el recubrimiento, número de barras y el tipo de refuerzo de corte. -

Groups 2 – Assignments: De esta se tiene el número de elemento según el nombre asociado

a las cargas en Section Cut Forces. - Area Section Assignments: Aquí se recupera el nombre de la sección del muro al cual fue asignado el número recuperado en la hoja anteriormente nombrada. - Area Section Properties: A partir del nombre de la sección de muro obtenido en la hoja antes nombrada, en esta se recupera el espesor del muro. De estas hojas las únicas imprescindibles para el sitio son Element Forces – Frames para pilares de sección circular y Section Cut Forces para muros, de no estar alguna de las demás solo ocurrirá que el usuario tendrá que ingresar dichos datos en forma manual. El programa ETABS puede entregar un archivo Access con toda la información y resultados que intervienen en el cálculo de un proyecto, este archivo contiene tablas organizadas según el tipo de dato y con un nombre especifico. El archivo Access a cargar no necesita tener modificaciones desde su creación en ETABS, pero dependiendo del tamaño de este puede ser recomendable borrar tablas que el sitio web no requiera, con el fin de no perder tiempo en cargar al servidor un archivo muy extenso, que dependiendo de la velocidad de carga y el tamaño podría tardar varios minutos. Las tablas del archivo Access generado por ETABS en las que el sitio interviene para recoger datos son las siguientes: - Control Parameters: Contiene las unidades de trabajo y la versión de ETABS con la que fue

generado el archivo. - Column Forces: Contiene los esfuerzos sobre los pilares para los distintos estados de carga y

para distintos tramos de cada elemento. De esto se selecciona las cargas necesarias para realizar un diseño que considere las combinaciones de carga más desfavorables. - Pier Forces: Contiene los esfuerzos sobre los muros para los distintos estados de carga. De

igual forma que con los pilares, se toman las combinaciones necesarias para realizar un diseño que considere las cargas más desfavorables. - Frame Section Assignments: De ella se reconoce el tipo de sección, para el caso de pilares

circulares acepta solo secciones que en esta tabla estén definidas como circular. 67

- Frame Section Properties: En esta tabla están las dimensiones y nombre de los pilares a

analizar. - Concrete Column Properties: Aquí se obtienen valores referentes a las propiedades de cada

pilar y la distribución de refuerzos en él. - Pier Section Properties: De esta tabla el sitio obtiene las dimensiones de los muros a analizar.

De estas hojas las únicas imprescindibles para el sitio son Column Forces para pilares de sección circular y Pier Forces para muros, de no estar alguna de las demás solo ocurrirá que el usuario tendrá que ingresar dichos datos en forma manual. Tanto SAP2000 como ETABS entregan las cargas sobre pilares en varias secciones de éste y para las distintas combinaciones, el sitio toma cada una de ellas, pero con la intención de resumir las extensas tablas, en el caso de que las cargas axiales sean iguales en cada punto del pilar se considera solo el punto en que tenga el mayor momento. Este procedimiento no afecta en el propósito de diseñar para la combinación M-P más desfavorable ya que a una carga axial constante si se usa el mayor momento, para cualquier combinación de carga axial y momento menor al escogido, caerá siempre dentro del diagrama combinado M-P. Figura 3.8: Punto más desfavorable para una carga axial fija.

Fuente: Propia.

Las cargas de esfuerzo cortante y momento vienen dadas en dirección x e y, por lo cual para el caso de los pilares circulares se considera la componente generada por los esfuerzos de ambas direcciones, de la siguiente forma: M 

V 

 M

2

x 

V

2

x 

M y2 

V y2 

(3.1) (3.2)

En el caso de los muros se distingue entre las cargas paralelas a la línea del muro y las perpendiculares a ella.

68

Ver diagrama de flujo en anexo A.1.

3.2

PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. Se presenta primero un esquema general del proceso para luego entrar en detalles por cada

sección de cálculo aquí descrita. En términos muy generales, en el caso de ingresar más de una combinación de carga para un elemento, el sitio diseña para la primera combinación y las siguientes las verifica para ver si efectivamente la combinación de cargas M-P cae dentro del diagrama descrito por el diseño del primer estado de cargas, de caso contrario el sitio asume esta nueva combinación de carga como la combinación de diseño y las que le sigan serán verificadas o diseñadas según lo antes descrito. Figura 3.9: Diagrama general de diseño para N combinaciones de carga. Inicio

Diseña M1-P1

Sección de diseño

i=2

Verifica

Verificar Mi-Pi con la Sección de Diseño

No Verifica

No Diseño Mi-Pi i=i+1

Sección de diseño

i=i+1

i>N

Si FIN

Fuente: Propia.

En caso de ingresar el diámetro de los refuerzos, el sitio se salta el proceso de diseño pasando directamente a verificar la sección, en donde comprueba que las combinaciones de carga caigan efectivamente dentro del diagrama combinado M-P del elemento. Luego de completar el proceso, ya sea de diseño o verificación, el sitio calcula algunos puntos del diagrama M-P para mostrar un gráfico del mismo, indicando también el punto en que se ubica la sección diseñada y acompañado de un completo informe con resultados de cálculos basados en dicho punto de diseño. Ver diagrama de flujo en anexo A.2.

69

3.2.1

Procedimiento general de cálculo para muros. El proceso de diseño de muros distingue entre los que requieren pilar de borde y los que no,

por medio de un procedimiento que se detallará más adelante. Para el caso de muros que no requieren pilar de borde el sitio se encarga de encontrar la profundidad de esfuerzos equivalentes a, así luego calcula la cuantía de refuerzo necesaria. Para ello y con el fin de no obtener resultados incoherentes, primero verifica si las solicitaciones se satisfacen con la cuantía mínima, de cumplir se queda con esa cuantía, sino verifica para la cuantía máxima, en caso de que esta no cumpla las condiciones se descarta el diseño, ya que no habría forma de que el muro resista las cargas, si verifica para una cuantía máxima recién ahí se realiza el diseño para encontrar la cuantía necesaria. Figura 3.10: Diagrama cálculo de cuantía longitudinal del elemento. Inicio

Verifica

Diseñar con cuantía mínima

Verificar cuantía mínima

Verifica

No verifica

Verificar cuantía máxima

Calcular cuantía necesaria

No verifica

La sección no satisface las cargas solicitantes

Diseña con cuantía necesaria

Fin

Fuente: Propia.

Según lo antes descrito se distinguen dos procesos dentro del procedimiento general, uno es verificar una cuantía conocida, ya sea la cuantía mínima, máxima o una ingresada por el usuario. Para éste caso, con el fin de encontrar la profundidad equivalente de esfuerzos, se asume una posición de la fibra neutra en base a las líneas de refuerzo en fluencia, los valores k y k’ indican la cantidad de líneas de refuerzo que fluyen en tracción desde el extremo inferior y la cantidad de líneas que fluyen en compresión desde el extremo superior de la sección respectivamente.

70

Figura 3.11: Contador de líneas de refuerzo en fluencia. f y f y

k'=3

f y

Refuerzos fluyendo en compresión

E.N.

Refuerzos fluyendo en tracción f y f y

k=2

Fuente: Propia.

El sitio calcula estos valores y luego verifica si la posición de la fibra neutra cae efectivamente en el tramo que corresponde a dichos valores, de no ser así, este calcula nuevamente pero ahora usando el k y k’ resultante de la iteración anterior, y así hasta que converge en una posición fija. El otro caso es cuando se diseña sin conocer la cuantía, se procede de manera similar a lo anterior para encontrar la profundidad equivalente de esfuerzos, pero además se desconoce el valor de  , por lo que se da un valor supuesto y se itera hasta que los valores de  y  sean sup

iguales o muy cercanos. Para el caso de muros que requieren pilar de borde, el procedimiento es similar, también se itera para encontrar la profundidad equivalente por medio de los valores k y k’ , se itera para encontrar  y además se itera para que la longitud del pilar de borde converja a un valor definitivo. Finalmente se diseña los refuerzos de corte que se distinguen entre los que estarán o no sometidos a cargas sísmicas, en caso de estar sometido a esfuerzos sísmicos requiere de mayor cantidad de refuerzo tanto para el alma como para el refuerzo de corte en los elementos de borde que además necesitan de ganchos intermedios. Ver diagrama de flujo en anexo A.3.

3.2.2

Procedimiento general de cálculo para pilares circulares. El procedimiento de cálculo de refuerzo longitudinal es idéntico al caso en que los muros

no requieren pilar de borde, primero se verifica para una cuantía mínima, si no verifica se revisa la cuantía máxima, si esta verifica se diseña para encontrar la cuantía necesaria.

71

En este caso y con respecto al diseño de muros cambia la forma del área de la sección y el número de líneas de refuerzo que ahora debe calcularse dependiendo del número de barras que tenga el pilar. Además el refuerzo de corte podría ser estribos o en forma de espiral, que serán diseñados según el capítulo 11 de ACI 318-05 si el elemento no está sometido a cargas sísmicas, y en conjunto con el capítulo 21 de la misma norma en caso de que el elemento deba resistir dichas cargas. Ver diagrama de flujo en anexo A.4.

3.2.3

Condición pilar de borde. Como señala 2.5.3.1 en el caso de que las tensiones al borde del muro superen 0.2 f c’ el

muro deberá llevar pilares que resistan la totalidad de los esfuerzos a los bordes de él. El procedimiento consiste en calcular la tensión en cada extremo del muro y luego decidir si requiere o no pilar de borde.  1



 2 

Luego:

3.2.4

 1

P u



bwl w P u



bwl w

'

6 M u

(2.62 a)

2

bwl w 6 M u

(2.62 b)

bwl w2

 0.2 f c



Usar Pilar de borde

 1  0.2 f c'



No usar Pilar de borde

Cálculo de información geométrica de la sección. Debido a que algunos cálculos básicos son requeridos por el sitio en varias ocasiones

durante el proceso, a modo de resumen este cuenta con una sección que realiza aquellos procedimientos. En general calcula los valores d y d’ , área bruta de la sección A g , la deformación unitaria del acero εy, el factor de reducción de resistencia  y el factor β 1. Antes es importante señalar la forma en que el sitio enumera las líneas de refuerzo, que se dividen en refuerzos superiores que están en la zona de compresión y refuerzos inferiores que están en la zona de refuerzos en tracción.

72

Figura 3.12: Numeración líneas de refuerzo. 1

d'3

2

d'2

3

d'1

d'1

Refuerzo superior n=3

d'3

d'2

3

Refuerzo inferior n=3

2 1

Fuente: Propia.

Para el caso de pilares circulares la posición de las líneas de refuerzo depende de la orientación que se le dé al realizar el cálculo. Figura 3.13: Líneas de refuerzo en pilar de sección circular.

Un refuerzo superior

Dos refuerzos superiores

d3 d2

d2

d1

d1 d'3 d'2

d'1

d'2 d'1

Fuente: Propia.

En el primer caso la cantidad de líneas de refuerzos está dado por:  N  2  N  2  1 , Si resto   0  4   4  n N  2   N  2  1.5 , Si resto  0  4  4 

(3.3 a)

En el segundo caso se calcula como:  N 4  n  N  0.5  4

 N  0 4    N  , Si resto   0  4 

, Si resto

(3.3 b)

73

n

: Número de líneas de refuerzo.

N

: Número de refuerzos distribuidos en el pilar circular.

  : Función que entrega el resto decimal de un número, es el número

resto

menos la parte entera del mismo.

Estas expresiones cuentan solo las líneas de refuerzo superior o inferior, en el caso de que exista refuerzo en el eje central de la sección se considera como dos líneas de refuerzo, una vista desde el refuerzo superior y otra desde el inferior, ambas tendrán un área de refuerzo igual a la mitad correspondiente a la línea de refuerzo completa. En el caso de los pilares de sección circular también es importante definir la cantidad de barras que hay en cada línea de refuerzo, ya que en algunos casos serán dos barras y en otros solo una. 1 , Un refuerzo sup . p1   2 , Dos refuerzos sup . p2



p3

 ... 

pn

1



2

  n  2   n  1 , Un refuerzo sup.  resto 4   0  Dos refuerzos sup.  resto 4   0      pn   n  2   n  2 , Un refuerzo sup.  resto    0  Dos refuerzos sup.  resto   0   4   4 

El cálculo de d i’ está dado por: 

 

d i ' d pc  0.5 D  d pc 1  cos 2



i  1  

i

: Número de la línea de refuerzo.

n

: Número de líneas de refuerzo.

D

: Diámetro del pilar.



n  

(3.4)

d pc : Recubrimiento más radio del refuerzo en el pilar circular.

La distancia desde el refuerzo inferior hasta la fibra superior extrema se calcula como: d i  D  d i '

(3.5)

74

d i ' :

Distancia desde el centro del refuerzo superior de la línea de refuerzo i a la fibra extrema en compresión, o distancia desde el centro del refuerzo inferior de la línea de refuerzo i a la fibra inferior extrema del hormigón.

y el área bruta de la sección es: 2

 D       2 

A gpc

(3.6)

En el caso de que sea un muro que no requiere pilar de borde se calcula d y el área bruta como: d i



A gw

d i'

(3.7)

bwl w

(3.8)

l w 



bw

: Ancho de la sección del muro.

l w

: Largo del muro.

Cuando el muro lleva pilar de borde, esta sección del sitio se encarga de distribuir los refuerzos a lo largo de la sección del pilar según la longitud que este requiera y la distancia entre refuerzos. Las líneas de refuerzo se distribuyen partiendo desde el borde a una distancia r (recubrimiento más radio del refuerzo) y separadas a una distancia equivalente a la separación entre las primera y segunda línea de refuerzo ingresada por el usuario, en caso de que con dicha separación el refuerzo se haga insuficiente para la sección de pilar de borde, el sitio asume la separación mínima aceptable para una barra de 32 mm. Figura 3.14: Distribución de refuerzo en sección del pilar de borde. r

5@sp

r

Lp

Fuente: Propia.

El cálculo del valor d’ se realiza de la siguiente forma:

75

Si L p  r  i  1 s p



r :

d p n  i   L p  r  i·s p

(3.9)

'

sino: d p' n  i  L p  r  i  1 s p  0.5  L p  r  i  1 s p  r 

(3.10 a)

d p' n  i  1  r

(3.10 b)

i

: Número de la línea de refuerzo a la que se le quiera calcular d p’ .

s p : Separación entre barras longitudinales de pilar de borde.

Se distingue el caso en que el valor señalado sea menor a r para que la última barra quede a una distancia r del borde y la barra que la antecede quede centrada entre la última y la antepenúltima barra. Los valores de d se calculan igual que en otros casos, el área bruta depende del recubrimiento que tenga el pilar. Si

r  0.5d b



40

mm :

A gp  b p  2r  40 L p  2r  40

3.2.5

b p

: Ancho del pilar de borde.

L p

: Ancho del pilar de borde.

d b

: Diámetro de la barra longitudinal.

(3.11)

Análisis de carga Balanceada. Como indica la sección 2.4.1.1 el análisis de estado balanceado corresponde al caso en que

el refuerzo extremo llega a la fluencia, la relación antes mostrada para obtener la carga axial de balance puede ser bastante más extensa dependiendo de la cantidad de refuerzos que tenga la sección. En general, independiente de la forma de la sección y del número de líneas de refuerzo, la carga axial de balance está dada por: P b 

0.85 f c'  MA S 1 S 3   A S 2 S 4  e S 1 S 3   S 2 S 4 

(3.12) 76

n

S 2

S 1  pi f si '

 h

'

i

si

S 3 p1 f y   pi f si i 2

A

: Área de la sección.

MA

: Momento de área de la sección.

f c


f y


f si

: Tensión en la línea de refuerzo superior i.

f si

: Tensión en la línea de refuerzo inferior i.

A si

: Área de refuerzo en la línea de refuerzos i.

'

d i

'

i

 h  n  h  S 4 p1 f y   d 'i    pi f si   d i'   2  i  2  2 

n

'



 p f  2  d  i 1

i 1

'

n

: Distancia del refuerzo i de la línea de refuerzos superior a la fibra extrema en compresión.

pi

: Cantidad de barras en la línea de refuerzos i.

e


n

: Número de líneas de refuerzo superior o inferior.

h

: Altura de la sección del elemento, en caso de un pilar circular es el diámetro del pilar.

Además como un método para discriminar las posibles soluciones al encontrar la profundidad de esfuerzos equivalentes a, se calcula también un área de refuerzos para la condición de balance.

 MA  e A e S  S   S  S  '

Ab



0.85 f c 1

3

2

(3.13)

4

En el caso de los muros, se asume que todas las líneas de refuerzo tendrán la misma área de refuerzo, por lo que se suprimen los términos A

i

A 1

y reemplazando el área de momento y área

de la sección resulta: '

 1 h  ab S 1 S 3   S 2 S 4    2  eS 1 S 3   S 2 S 4 

0.85 f c b·ab 

P b 

(3.14)

77

 1 h  ab   e   2  Ab  eS  S   S  S  '

0.85 f c b·ab  1

3

2

(3.15)

4

n

S 2 

S 1   f si '

n

 h



 f  2  d  '

'

si

i

i 1

i 1

n  h  h  '  S 4  f y   d 1    f si   d i'   2  i  2  2 

n

S 3 f y   f si i 2

Para el caso de los pilares circulares se debe primero desarrollar los términos de área y área de momento. Figura 3.14: Diferencial de área en sector circular. y

a

y x dx

x1

r

x2

Fuente: Propia.

y  a  r  r 2  x 2 x1

2 a·r  a

 

2

, x

2

(3.16) 

2 a·r



2

a

Integrando el área y·dx entre x1 y x2 se tiene el área del segmento circular. A 

A 

x2



x1

 r  a    r  a  a 2 r  a   r 

y dx  r 2 arccos 

D 2 4

 0.5 D  a    0.5 D  a  a  D  a   0.5 D 

arccos

(3.17)

El área de momento se calcula integrando el diferencial de área por la distancia desde el centroide al eje x. MA 

x2



x1

x y  1 x 2   r  a   dA  r  a  x y dx   x y dx 2  2  2

1

2

1

78

MA

2 



a D

3



a



a( D



a)

(3.18)

Considerando la cantidad de barras por línea de refuerzo, las sumatorias resultan como: n

S 1  pi f si '

S 2

 h   d i   2 

n



pi f si' 

i 1

i 1

n

S 3  pi f si

S 4

 h

n

'



 p f  2  d  i si

'

i

i 1

i 1

3.2.6

Cálculo profundidad equivalente de esfuerzos.

3.2.6.1

Profundidad equivalente en muros.

Considerando las ecuaciones de equilibrio 2.33 y 2.35 se puede generalizar para una cantidad n de refuerzos en cada extremo del elemento. Ecuaciones de equilibrio:

 F  0

 M 

C . P .

' P u   0,85 f c' A  A s' 1 f s'1  ...  A sn f sn'  A sn f sn  ...  A s1 f s1 

  h   h  '  0 P u e   0,85 f c MA  A s' 1 f s'1  d 1'   ...  A sn' f sn'   d n'   2   2    h h      A sn f sn   d n'   ...  A s1 f s1   d 1'   2   2  P u


e





A


MA

: Momento de área de la sección respecto a su eje centroidal.

'

f c '

: Tensión en la línea de refuerzos superiores i.

f si

: Tensión en la línea de refuerzos inferiores i.

A si'

: Área de refuerzos en la línea de refuerzos superiores i.

A si

: Área de refuerzos en la línea de refuerzos inferiores i.

'

(3.20)


f si

d i

(3.19)

: Distancia del refuerzo i de la línea de refuerzos superior a la fibra extrema en compresión. 79

n


h

: Altura de la sección.

Con ambas ecuaciones (3.19 y 3.20) se forma un sistema del cual se puede obtener entre otras cosas la profundidad equivalente de esfuerzos a, ya que las tensiones elásticas, el área y el momento de área de la sección se describen en función de esta. El planteamiento y resolución de este sistema depende del tipo de sección ya sea rectangular o circular y de si el área de refuerzo del elemento es conocida o se pretende determinar por medio de este proceso. Este sistema puede cambiar dependiendo de si la tensión en algunas líneas de refuerzo supera el valor de fluencia f y, caso en el cual f si debe considerarse igual a f y, por lo que el sistema se plantea de una u otra forma dependiendo de esto. Para generalizar la solución de este se usará un contador de elementos en fluencia, la cantidad de elementos que fluyen a partir del refuerzo extremo serán llamados k , y la cantidad de elementos que fluyen a partir del refuerzo superior serán llamados k’ . Si k ’ o k son menores al número de líneas de refuerzo n, los elementos fluyen en el sentido positivo, o sea las barras inferiores en tracción y las superiores en compresión. En caso de que k ’ o k sea mayor al número de líneas de refuerzo, fluyen todos los elementos en el extremo superior e inferior respectivamente, mientras que en el extremo opuesto (inferior y superior respectivamente) los elementos fluyen en sentido negativo desde 2n-k+1 hasta n o desde 2nk’+1 hasta n, o en compresión para las líneas inferiores y tracción para las superiores. Figura 3.16: Líneas de fluencia positiva. Compresión

n=5

1

1

f y

2

2

f y

3

3

f y

n=5

4

4

5

5

k'=3

E.N. E.N.

5 4

n=5

5 4

3 2

f y

1

f y

n=5

3 2

k=2

1

Tracción

Fuente: Propia.

80

Figura 3.17: Líneas de fluencia negativa. Compresión

E.N.

1

1

f y

2

2

f y

3

f y

3

n=5

n=5

n=5

4

-f y

4

f y

5

-f y

5

f y

5

f y

5

-f y

4

f y

3

f y

2

f y

1

f y

k=7

k'=6

4

E.N. n=5

3 2 1

Tracción

Fuente: Propia.

Considerando estos tramos donde las tensiones en los refuerzos pueden ser elásticas o plásticas, es posible identificar 6 tramos distintos en que se puede definir las tensiones de una misma forma. Para ver esto de modo más claro se puede observar la figura 3.18 que señala en forma generalizada los tipos de tensiones que se pueden dar dependiendo de la posición del eje neutro. Si de la figura se toma los casos B y C los tramos de tensiones que muestran se pueden generalizar: -

Como f y desde 1 al mínimo entre k’ y n.

-

Como f’ si desde k’+1 a 2n-k .

-

Como -f y desde 2n-k+1 a n.

-

Como -f y desde 2n-k’+1 a n.

-

Como f si desde k+1 a 2n-k’ .

-

Como f y desde 1 al mínimo entre k y n.

Luego se puede generalizar el caso A de la figura 3.18 combinado con el caso B-C antes mostrado: -

Como f y desde 1 al mínimo entre k’ y n.

-

Como f’ si desde k’+1 al mínimo entre 2n-k y n.

-

Como -f y desde 2n-k+1 a n.

-

Como -f y desde 2n-k’+1 a n.

-

Como f si desde k+1 al mínimo entre 2n-k’ y n. 81

-

Como f y desde 1 al mínimo entre k y n.

Otro punto a considerar es descontar la superficie de hormigón desplazado por las barras de acero, esta superficie debe ser descontada en las líneas de refuerzo que trabajen a compresión, la zona comprimida comprende las líneas de refuerzo entre la línea de refuerzo 1 y x’ 1 en los refuerzos superiores, y entre las líneas x2 y n de los refuerzos inferiores: 

 2n  k 'k   2  

 2n  k 'k   2  

x'1  min n, k 'entero 



x2  k  1  entero

Mientras que las líneas traccionadas están entre x’ 2 y n en los refuerzos superiores y entre 1 y x1 en las líneas de refuerzo inferiores. 

 2n  k 'k   2  

x' 2  k '1  entero

 2n  k 'k   2  

x1  min n, k  entero



(*) El término entero() corresponde a la función parte entera .

Así ahora es posible plantear el sistema de ecuaciones de forma general considerando sumatorias en cada tramo antes definido. Ecuaciones de equilibrio: P u 

x '1

min( k ',n )

 A  f y

' c

' si

 0,85 f A 

i 1



min( 2 n  k , n ) ' ' si si i  x '2

  A  f  0.85 f '    A

 0.85 f 'c 

' si

' si

c

i  k ' 1

f 

n

min( 2 n  k ', n )

x1

min( k , n )

i  2 n  k ' 1

i  x2

i  k 1

i 1

 A si  f y  0.85 f 'c  

n

 A si f y '

i  2 n  k 1

 A si  f si  0.85 f 'c    A si f si   A si f y

 h   h   0,85 f MA   A  f y  0.85 f 'c   d i'    A si'  f si'  0.85 f ' c   d i'    2  i k '1  2  i 1 min( 2 n  k , n ) n n  h  ' '  h '  ' '  h '    A si f si   d i    A si f y   d i    A si  f y  0.85 f 'c   d i'   2  i 2 nk 1  2  i 2 n k '1  2  i  x ' x '1

min( k ', n )

P u e

' c

(3.21)

' si

(3.22)

2



min( 2 n  k ', n )



i  x2

min( k , n )  h  h  h  '  '  A si  f si  0.85 f 'c|   d i    A si f si   d i    A si f y   d i'   2  i k 1  2   2  i 1 x1

(*) Las sumatorias que van desde un número mayor a uno menor son iguales a cero.

82

Figura 3.18: Tipos de tensiones en las líneas de refuerzo según la posición del eje neutro.

A

B Compresión

Compresión f y

1

k'

. . .

k'

k'

n

f y

. . . f y

2

f y

Compresión k'

i=k'+1

k'

n

f y

n

f y

n

k'

f y

. . f y .

i=1

2n-k

E.N.

f'si

. . .

i=k'+1

2n-k

k'

-f y

2n-k+1

E.N.

n

n

f sn

n

k+1

. . .

. . .

f s(k+1)

i=k+1

k

. . .

. . . f y

2n-k'

Tracción E.N. entre líneas de refuerzo superior e inferior

f y i=1

-f y

f y

2n-k'+1

i=2n-k'+1

-f y f s(2n-k')

k

n

E.N.

k

1

i=2n-k+1

n

f si

. . .

f y

k

f y

. . .

-f y

n n

n

. . .

k'+1

i=1

f y

n-1

f y

1

. . .

f'si

. . . f'sn

n

f y

n n

. . .

1

i=1

f's(k'+1)

k'+1

C

2n-k'

f'si

. . .

n

f s(k+1)

k+1 k

k

. . . 1

f y . . . f y

f y

n-1

i=k+1 n

n

. . .

k

f y

2

f y

1

f y

i=1

f y i=1

Tracción

Tracción E.N. entre líneas de refuerzo inferior

f y

E.N. entre líneas de refuerzo superior

Fuente: Propia.

83

a)

Muro con refuerzo conocido. Cuando se conoce previamente el área de refuerzo en la sección de muro, es posible

determinar las cargas que esta puede resistir, lo cual es útil para verificar si el diseño de una sección es el adecuado, o bien en caso de diseñar para varias combinaciones de carga, se hace para la más desfavorable y las demás combinaciones solo se verifican de esta forma. En este caso se calcula el valor de a con el fin de determinar la carga P u que el elemento puede resistir con la cuantía de refuerzo que cuenta, así luego ésta se compara con la carga solicitante para verificar si la sección esta adecuadamente diseñada o no. A



MA

bw a



1 2

(3.23)



bw a l w



a



(3.24)

Así: P u 

x '1

min( k ',n )

 A  f y  0.85 f 'c  

' c w

 0,85 f b a 

i 1



 A  f  0.85 f 'c  

' si

' si

' si

i k ' 1

min( 2 nk ,n ) ' ' si si i  x '2

 A f 

n

min( 2 nk ',n )

x1

min( k ,n )

i 2 nk ' 1

i  x2

i  k 1

i 1

n

 A si f y '

i 2 nk 1

(3.25 a)

 A si  f y  0.85 f 'c    A si  f si  0.85 f 'c    A si f si   A si f y

 h   h   d i'    A si'  f si'  0.85 f 'c   d i'     2  ik '1  2  i 1 min( 2 n k ,n ) n n  h   h   h  (3.25 b)   A si' f si'   d i'    A si' f y'   d i'    A si  f y  0.85 f 'c   d i'   2  i2nk 1  2  i2 nk ' 1  2  i  x '

P u e

 0,425 f c' bw a l w  a  

min( k ',n )

A si'  f y  0.85 f 'c 

x '1

2



min( 2 n k ',n )

 i  x2

min( k ,n )  h  h  h  '  '  A si  f si  0.85 f 'c|   d i    A si f si   d i    A si f y   d i'   2  ik 1  2   2  i 1 x1

P u


e

: Excentricidad de la carga axial. '

f c '


f si


f si


'

A si


A si


'

d i


n

: Número de líneas de refuerzo superior o inferior. 84

l w

: Largo del muro, en este caso representa la altura h de la sección.

bw

: Ancho del muro.

La solución de este sistema pasa por resolver una ecuación cúbica de la forma: K 0 a 3  K 1 a 2

 K 2

a  K 3

0

(3.26)

Donde los términos K i se obtienen a partir del sistema de ecuaciones, las variables en este sistema son a y P  , por lo cual de 3.21 se toma el termino u

P u

 y se reemplaza en 3.22 para

dejar una nueva ecuación en función de a, y de ésta ordenar los términos del polinomio.

'

K 0

 0.425 f c

(3.27 a)

b

 

K 1  0.85 f c' b  e 

K 2



K 3

 0.003 E s



 

A si  e 

i 1 min( 2 n k , n )



S 2.2  0.003 E s

i  x '2

  d i'  2  h

 h  A si  e   d i'   2 

S 5.2



 0.003 E s

A si

i k 1

'

 h  S   A si d i  e   d i   2  i  k  '

7.1

n



min  2 n k ',n 



i  x2

 h   d i'  A si d i  e   2  '

 

A si  e 



'

i

  d i'  2 

h

S 5.1  0.003 E s  0.85 f 'c 



i  x2

S 6  f y

min k ,n 



 

A si  e 

i 1

S 7.2



min  2 nk ,n 



S 8.2



x1

  d i'  2 

h

  d 'i  2 

 h '   e   d i   2 



h

'

 

A si  e 

h

A si d i

i  x '2

' 1

S 8.1 

si

min( 2 n  k ',n )

x '1

'

h

 A  e  2  d 

' 1

 h   e   d i   2 



x '1

i k '1

i 2 n  k 1

'

4

(3.27 d)

S 2.1  0.003 E s  0.85 f 'c 

S 3  f y

 h  S   f y  0.85 f 'c   A si  e   d i   2  i  n k  x1

(3.27 c)

 1 S 7.1  S 7.2  S 8.1  S 8.2 

n

2

(3.27 b)



2 

S 1  S 2.1  S 2.2  S 3  S 4  S 5.1  S 5.2  S 6

min( k ',n )

S 1   f y  0.85 f 'c 

h 



 A d  e  2  d  '

si

i

'

i

i  k 1

En caso de que a supere la profundidad máxima de h (altura de la sección), el área de la sección se hace una constante y el momento de área se hace nulo, por lo cual el valor de a se tiene como:

85

a

 K 3 0.85 f c b·h·e  '

K 2

(3.28)


b)

Muro con pilar de borde. El largo de la sección de los pilares de borde en un muro se determina según la profundidad

del eje neutro calculado considerando la carga axial mayorada y el momento resistente de la sección del muro, por lo cual el procedimiento se basa en el cálculo de la profundidad equivalente de esfuerzos a, siendo conocida el área de refuerzo en la sección. En este caso se calcula el valor de a con el fin de determinar el valor de convergencia de  y la ubicación de la fibra neutra c para establecer la longitud del pilar de borde y hacer que esta converja hasta el valor adecuado para la sección a diseñar. De 3.21 se toma el termino P u y se reemplaza en 3.22 para dejar una nueva ecuación en términos de a. A  bw a

MA



1 2

(3.23)



bw a l w

a





(3.24)

Así: P u  0,85 f b a 

x '1

min(k ',n )

' si

y

' si

c

i 1



min(2 nk ,n ) ' ' si si i  x '2

n

 A  f  0.85 f '    A  f  0.85 f '    A f   A f

' c w

' si

c

i k ' 1 min( 2 nk ',n )

n

x1

' si y i 2 nk 1

min(k ,n )

(3.25 a’)

 A  f  0.85 f '    A  f  0.85 f '    A f   A f

si i 2 nk ' 1

y

c

si

si

c

i  x2

si si

i k 1

si y

i 1

x '  h  h  '   0,425 f bw a l w  a    A  f y  0.85 f 'c   d i    A si'  f si'  0.85 f 'c   d i'    2  ik '1  2  i 1 min( 2 n k ,n ) n n  h   h   h  (3.25 b)   A si' f si'   d i'    A si' f y'   d i'    A si  f y  0.85 f 'c   d i'  2 2 2       i  x ' i 2 nk 1 i 2 nk ' 1 min(k ',n )

P u e

' c

1

' si

2



min( 2 n k ',n )

 i  x2

 h   h  min(k ,n)  h  A si  f si  0.85 f 'c|   d i'    A si f si   d i'    A si f y   d i'   2  i k 1  2   2  i 1 x1

P u

: Carga axial última sobre la sección. : Excentricidad de la carga axial.

e '

f c '


f si


f si

: Tensión en la línea de refuerzos inferiores i. 86

'

A si


A si


'

d i


n


l w

: Largo del muro, en este caso representa la altura de la sección.

bw

: Ancho del muro.

En este caso se despeja el termino P u en 3.25 a’ y se reemplazará en 3.25 b quedando solo una ecuación en términos de la variable a. Este sistema puede cambiar dependiendo de si algunos elementos superan el valor de fluencia f y, caso en el cual f si debe considerarse igual a f y, por lo que el sistema tendría una u otra solución dependiendo de esto.Al igual que en el caso anterior para generalizar la solución de este sistema se usará los contadores de elementos en fluencia k y k’ ya mencionados. La solución de este sistema pasa por resolver una ecuación cúbica de la forma: K 0 a 3  K 1 a 2

 K 2

a  K 3

0

(3.26)

Donde los términos K i se obtienen a partir del sistema de ecuaciones reemplazando el termino P u de la primera ecuación en la segunda y ordenando los términos en función del polinomio. K 0  0.425 f c' b

(3.27 a)

 e

h      2 

K 1  0.85 f c' b 

K 2



S 9

K 3

 0.003

 i 1

S 10.2

 0.003 E s

S 10.1



S 10.2



S 11



S 12

E s  1 S 15.1  S 15.2

min( k ', n )

S 9   f y  0.85 f 'c 



(3.29 b)

min( 2 n  k ,n )



i  x '2

 e h  A si    d i'    2 

 e h '     A si  d i    2  





S 13.1



S 13.2



(3.29 c)

S 14

S 16.1  S 16.2 

(3.29 d)

S 10.1  0.003 E s  0.85 f 'c 

 e

x '1

h



 A    2  d  si

' i

i  k ' 1

S 11  f y

n

 i 2 n k 1

 e

A si 

 



  d i'  2 

h

min( 2 n k ',n )  e h  e h '  '  S 12   f y  0.85 f 'c   A si    d i  S 13.1  0.003 E s  0.85 f 'c   A si    d i  i  2 n  k ' 1 i  x   2    2  n

2

87

x1



S 13.2  0.003 E s

 e

A si 

 

i k 1

S 15.1

x '1





2



 d i' 

S 14  f y



min  2 n  k ', n 



i  x2

min  k ,n 



S 15.2 

'

 e

A si 

 

i 1

 e h  A si d i    d  i    2   '

i  k ' 1

S 16.1 



h

min  2 nk ,n 



 e h  A si d    d i'    2 

S 16.2



 e

A si d i' 

 

i  x '2

' i

  d 'i  2 

h



x1

 e



  d i'  2 

h



h

 A d    2  d  '

si

'

i

i

i  k 1

En caso de que a supere la profundidad máxima de h (altura de la sección), el área de la sección se hace una constante y el momento de área se hace nulo, por lo cual el valor de a se tiene como: a



K 3 e ' 0.85 f c b·h  K 2  

(3.30)


c)

Muro con refuerzo desconocido. Si se pretende diseñar el área de refuerzo que requiere la sección para resistir las

solicitaciones, por medio de éste proceso se encuentra la profundidad equivalente de esfuerzos a y luego con ella el área de refuerzo A s en cada línea. En este caso se calcula el valor de a con el fin de determinar el área de refuerzo A s necesario para resistir la carga de diseño P u  . P u 

'  A si  f y  0.85 f 'c  i 1



P u e 

x '1

min( k ',n ) '

 0,85 f c bw a 

' '  A si  f si  0.85 f 'c  i k ' 1

min( 2 nk ,n ) ' ' si si i  x '2

 A f 

n

min( 2 nk ',n )

x1

min( k ,n )

i 2 nk ' 1

i  x2

i k 1

i 1

n

 A si f y '

i 2 nk 1

(3.25 a)

 A si  f y  0.85 f 'c    A si  f si  0.85 f 'c    A si f si   A si f y

 0,425 f bw a l w  a   ' c

min( k ',n )



' si

A

 f  0.85 f '   h  d    A  f  0.85 f '   h  d  y

c

' i

x '1

' si

' si

c

 2  ik '1  2 min( 2 n k ,n ) n n  h  ' '  h '  ' '  h '    A si f si   d i    A si f y   d i    A si  f y  0.85 f 'c   d i'   2  i2nk 1  2  i2 nk ' 1  2  i  x ' i 1

' i



(3.25 b)

2



min( 2 n k ',n )

 i  x2

x min( k ,n )  h  h  h '  '  '  A si  f si  0.85 f 'c|   d i    A si f si   d i    A si f y   d i   2  ik 1  2   2  i 1 1

P u


e

: Excentricidad de la carga axial. '

f c


88

'

f si


f si


'

A si


A si


'

d i


n


l w

: Largo del muro, en este caso representa la altura de la sección.

bw

: Ancho del muro.

Este sistema puede cambiar dependiendo de si algunos elementos superan el valor de fluencia f y, caso en el cual f si debe considerarse igual a f y, por lo que el sistema tendría una u otra solución dependiendo de esto. La solución de este sistema pasa por resolver una ecuación cúbica de la forma: K 0 a 3  K 1 a 2

 K 2

a  K 3

0

(3.26)

Los términos K i se obtienen a partir del sistema de ecuaciones, donde las variables serían a y A s, por lo cual de 3.25 a se toma el término A s y se reemplaza en 3.25 b para dejar una nueva

ecuación en términos de a y luego se ordena en función del polinomio. '

K 0



0.425 f c

(3.31 a)

b 

1     h     2 

K 1  0.85 f c'b 

K 2 

K 3



P u 

P u



e      0.85 f c`b     

e 



(3.31 b) h    2 

(3.31 c)

 

(3.31 d)

Para resumir en algo las expresiones se definen los términos alfa, beta, gamma y delta.   S 17



S 18.1



S 18.2



S 19



S 20



S 21.1



S 21.2



S 22

  S 29.1  S 29.2  S 30.1  S 30.2    S 23  S 24.1  S 24.2  S 25  S 26  S 27.1  S 27.2  S 28 89

  S 31.1  S 31.2  S 32.1  S 32.2 min( k ',n )

S 17   f y  0.85 f 'c 



S 18.1  0.003 E s 0.85 f 'c 

pi

min( 2 n k , n )





pi

i  k ' 1

i 1

S 18.2  0.003 E s

x '1

n

S 19  f y

pi

i  x '2



pi

i 2 n k 1

min( 2 n  k ',n )

n

S 20   f y  0.85 f 'c 





S 21.1  0.003 E s  0.85 f 'c 

pi

x1

S 21.2  0.003 E s

min( k ,n )



S 22  f y

pi

i k 1



S 23   f y  0.85 f 'c 

i 1

min( 2 n k , n )



i  x '2

 h  pi   d i'   2 

 h  pi   d i'   2 

 h  S 26   f y  0.85 f 'c   pi   d i'   2  i 2 n k ' 1 n

S 27.2  0.003 E s

x1



 h   d i   2 

pi 

i k 1

S 29.1  0.003 E s  1



pi

i 1

min( k ',n )

S 24.2  0.003 E s

'

min( 2 n k ',n )

 p d i

i

S 24.1  0.003 E s  0.85 f 'c 

S 25  f y

n



i

i 2 n k 1

min( 2 n k ',n )



S 27.1  0.003 E s  0.85 f 'c 

 h   d i'   2 

pi 

i  x2

S 28  f y

min( k ,n )

 i 1

 h   d i'   2 

pi 

S 29.2  0.003 E s  1

x1

 p d i

i

i k 1

 p d '

i

min( 2 nk ,n )

 pi d 'i

S 30.2  0.003 E s  1

i  x '2

min( 2 n k ',n )

 h '  pi d i   d i    2  i  x

S 31.2  0.003 E s  1

 h  S 32.1  0.003 E s  1  pi d 'i   d i'   2  i k ' 1

 h

x1



 p d  2  d  i

'

i

i

i k 1

2

x '1

'

i

'

i  k ' 1

S 31.1  0.003 E s  1



 p  2  d 

 h   d i   2 

pi 

x '1

i

 h

x '1

i  k ' 1

i  x2

S 30.1  0.003 E s  1

pi

i  x2

i  2 n  k ' 1

S 32.2  0.003 E s  1

min( 2 n k ,n )

 h



 p d '  2  d  i

i

' i

i  x '2

En muros usar pi =1 ya que todas las líneas de refuerzo tienen la misma cantidad de barras, así el valor de A si que se obtenga más adelante equivale a el área de refuerzo en la línea de refuerzo i. En caso de que a supere la profundidad máxima de h (altura de la sección), el área de la sección se hace una constante y el momento de área se hace nulo, por lo cual el valor de a se tiene como: 90

P e  P u    0.85 f c' b  h    u      a P u e  P     u  0.85 f c' b  h     

(3.32)


d)

Procedimiento de solución a polinomios. Dadas las ecuaciones planteadas en las secciones anteriores, el cálculo de a puede obtenerse

de resolver una ecuación cúbica, cuadrada o lineal. Como se vio en el planteamiento de las ecuaciones, en el caso de que la profundidad equivalente de esfuerzos a sea mayor a h, la solución sale de una ecuación lineal, además en el caso de que los valores K 0 y K 1 sean nulos la solución sería: a

 

K 3

K 2

(3.33)

Tanto para el uso del método Lin como para los casos en que el valor K 0 sea nulo, se resuelve por medio de una ecuación cuadrática: K 1 a 2



K 2 a  K 3



0

 K 2  K 2  4 K 1 K 3

(3.34)

2

a

2 K 1

(3.35)

En el caso de ecuaciones cúbicas también existen soluciones exactas pero estas son complicadas de implementar en un programa por involucrar el valor imaginario i. Por ello se usarán métodos iterativos y solo de ser necesario se aplicará la solución sin número imaginario de las soluciones exactas. Para la solución de ecuaciones cúbicas se usará el método Lin explicado en 2.8.2.4, el cual se implementará de la siguiente forma: Sea el polinomio cúbico P(x). P  x   K 0 x 3  K 1 x 2



K 2 x  K 3

(3.36)

Puede ser expresado como:



P  x   x 2





p x  q b0 x  b1   b2 x  b3

(3.37)

1. Se definen los factores del polinomio cuadrático, que en la primera iteración se suponen nulos. 91

p

0,



q



0

2. Se definen nuevas aproximaciones a los valores anteriores, en la primera iteración se considera igual a los definidos en el punto 1, y se calcula el termino bo. p' p ,

q'



b0



q

K 0



3. Calcular el término b1 y verificar que no sea igual a cero, de lo contrario no se podrá utilizar este método. b1



K 1



p b0

Solo si b1≠0 continuar con el paso 4, sino ir al paso 7. 4. Calcular los demás términos bi. b2



K 2



p b1

b3



K 3



q b1



q b0

5. Re calcular los términos p y q. p  p'

b2 b1

,

q  q'

b3 b1

6. Se calcula la diferencia entre los p y q anteriores con sus nuevas aproximaciones y se compara con T. p  p T



'



T ,

q  q'



T

0.0001

Si alguno de los valores resulta mayor a T, se vuelve al paso 3 cambiando p y q por p’ y q’ respectivamente. p' p , 

q'



q

Si ambos valores resultan ser menores a T=0.0001 entonces se sigue con el paso 17 y los últimos valores calculados de p y q en el paso 5. En caso de que el Método Lin no entregue los valores de p y q se usa como alternativa el Método de Bairstow, con el cual es posible encontrar los mismos factores p y q.

92

7. Se definen los factores del polinomio cuadrático, que en la primera iteración se supondrán nulos. p



0,

q



0

8. Se definen nuevas aproximaciones a los valores anteriores, en la primera iteración se considera igual a los definidos en el punto 1, y se calcula el termino bo. p

'

b0

p ,

q'



q

K 0



9. Calcular el término b1 y verificar que no sea igual a cero, de lo contrario no se podrá utilizar este método. b1

K 1





p b0

Solo si b1≠0 continuar con el paso 10, sino ir al paso 13. 10. Calcular los demás términos bi. b2



K 2

b3



K 3





p b1



q b0

q b1

11. Se re calculan los términos p y q. p  p'

1  b0b3

   b2  , b1  b1 

q  q'

b3 b1

12. Se calcula la diferencia entre los p y q anteriores con sus nuevas aproximaciones y se compara con T. p  p T



'



T ,

q  q'



T

0.0001

Si alguno de los valores resulta mayor a T, se vuelve al paso 9 cambiando p y q por p’ y q’ respectivamente. p' p , 

q'



q

Si ambos valores resultan ser menores a T=0.0001 entonces se sigue con el paso 17 y los últimos valores calculados de p y q en el paso 11.

93

En caso de que el método de Bairstow no entregue los valores de p y q se calcula por medio de la primera alterativa de solución exacta, se usa esta ya que en su expresión no intervienen términos imaginarios. 13. Se verifica que el valor dentro de la raíz sea mayor a cero. 4



 K 1

2

  3

 3 K 0 K 2

  2 K 1

3

 9 K 0 K 1 K 2  27 K 0

2

K 3



2



0

Además los divisores no deben ser iguales a cero. K 0



0,

efectivamente es distinto de cero ya que de lo contrario la ecuación no sería

cúbica. 

2 K 1

3

 9 K 0 K 1 K 2 

2

27 K 0 K 3



4



2

 K 1

 3 K 0 K 2

  3

 

2 K 1

3

 9 K 0 K 1 K 2 

27 K 0

2

K 3



2



0

Si se cumplen estas condiciones se calcula a como: a



 K 1 3 K 0

 K 4  K

2

 3 K 0

3 2    2 K 1  9 K 0 K 1 K 2  27 K 0 K 3  

  2 K 3  9 K K K  27 K 2 K   1 0 1 2 0 3  

4

 K

1

2

1 3

 3 K 0 K 2 

2

1

2

1

 3 K 0 K 2    2 K 1  9 K 0 K 1 K 2  27 K 0 3

3

 3 K 0 K 2    2 K 1  9 K 0 K 1 K 2  27 K 0

3·2

3

1 3

3

2

K 3

  2



2

  2

K 3

1 3



1 3

(3.38)

K 0

De no cumplirse las condiciones necesarias se calcula por medio del método de NewtonRaphson. 14. Se asigna un valor inicial para comenzar las iteraciones. x



h

15. Se calcula x1. x1  x 

K 0 x 3  K 1 x 2  K 2 x  K 3 3 K 0 x 2  2 K 1 x  K 2

(3.39)

16. Se calcula la diferencia entre x y x1 y se compara con T. x  x1  T T



0.0001

Si resulta mayor a T, se vuelve al paso 15 cambiando x por x1. x  x1

Si resulta ser menor a T=0.0001 entonces se termina el proceso y se tiene: 94

a



x1

17. En caso de que el método de Lin o el método de Bairstow entregue los valores bi, p y q, se resuelve el polinomio cuadrático y el lineal que como se vio anteriormente multiplicados forman el polinomio cúbico que se espera resolver. a1

 

b1

b0

Se debe verificar si el discriminante sea mayor o igual a cero. 

Si p 2  4q  0 :

Si p

2

Si p

2

 4q  0

:

 4q  0

:

a2

a2 , 3 



p

2

 p  p 2  4q 2

(3.40)

No existe solución 2 y 3.


3.2.6.2 a)

Profundidad equivalente en pilares circulares. Pilar Circular con refuerzo desconocido.

En este caso se calcula el valor de a con el fin de determinar el área de refuerzo A s necesario para resistir la carga de diseño P u  , de manera similar a los muros pero considerando el área y momento de área de una sección circular. A 

MA

D 2 4

2 

3

 0.5 D  a    0.5 D  a  a  D  a   0.5 D 

arccos 



a D



a



a( D



a)

(3.17)

(3.18)

Las variables en este sistema son a y A s, por lo cual de 3.21 se toma el término A s y se reemplaza en 3.22.  P u e   P u  f MA  a  f A    0 . 85     0 . 85 c c    a     0          '

'

(3.43)

Los términos alfa, beta, gamma y delta son los mismos indicados en 3.2.6.1 c), tomando en cuenta que en el caso de pilares circulares los pi pueden variar según lo descrito en 3.2.4.

95

En caso de que a supere la profundidad máxima de h (altura de la sección), se resuelve por medio de: 

a '

0.85 f c 

K 3

D

(3.44)

2

4

e  K 2


b)

Pilar Circular con refuerzo conocido. En este caso se calcula el valor de a con el fin de determinar la carga P u que el elemento

puede resistir con la cuantía de refuerzo que cuenta, así luego esta se compara con la carga solicitante para verificar si la sección esta adecuadamente diseñada o no. Las variables en este sistema serían a y P u

P u

 , por lo cual de 3.21 se tomará el término

 y se reemplazará en la 3.22 para dejar una nueva ecuación en términos de a. '

0.85 f c a

 Ae  MA  K a  K 2

3



0

(3.45)


e '

f c


Los valores K 2 y K 3 que intervienen en estos términos son los mismos definidas en 3.2.6.1 a). En caso de que a supere la profundidad máxima de h (altura de la sección), el área de la sección se hace una constante y el momento de área se hace nulo, por lo cual el valor de a se tiene como:  K 3

a ' c

0.85 f 

D 2 4

(3.46 a’)

 e  K 2


c)

Procedimiento de solución a ecuaciones. A diferencia de las ecuaciones de muros, en los pilares circulares se complican al incluir los

términos de área y momento de área, los cuales están en función de a, pero esta no puede ser despejada y no tiene una forma regular como los polinomios, por ello dependiendo el caso cada ecuación se resuelve de distinta forma. -

Pilar Circular con refuerzo desconocido y a menor a D . 96

En este caso se pretende resolver 2.49 para lo cual se usaran los métodos iterativos descritos en 2.8.2. Se define la ecuación:  P e 2  F a    u  0.85 f c'  a D  a  a( D  a)     a    3    2  P u   0.5 D  a  '  D    0.85 f c  arccos    0.5 D  a  a  D  a    a     0.5 D   4   

(3.47)

Los valores de a se encontrarán resolviendo la función para:

 

F a  0

(3.48)

Primero se encuentra un intervalo de solución por medio del método de Bisección, para esto se divide el intervalo de 0 a D en 100 tramos iguales y se verifica en que tramos existe solución. 1. Se calculan los términos extremos al intervalo en el cual se verificará si existe solución a 3.48. ai

D 



i

100

a i





1

D 

100

i





1

Se calculan los valores F ai y F ai  1 en 3.47. 2. Se verifica si existe solución en el intervalo. Si F ai F ai 1  0 xa

D 

100

i



   F  

F xa



xb

1

D

 100

i  1  

D 

i

100

   F  

F xb

D

 100

 

i

Si F ai F ai 1  0 D  Si F  i   0 la solución está en el extremo izquierdo del tramo. 

 100 

a

D 

i

100

D Si F  i  1   0 la solución está en el extremo derecho del tramo. 

 100

a



D 

100

i





1

97

3. Se calcula el número de iteraciones. i

Si

i

 100



i

1

se detiene el proceso, de lo contrario se vuelve al paso 1.

Luego de tener los intervalos de solución se afina la solución por medio del método de la secante. 4. Se define los valores iníciales de a para comenzar con las iteraciones. a0  x a ,

a1  x b

5. Se debe verificar que los valores de a no superen el diámetro y así asegurar convergencia a soluciones en el intervalo ]0, D]. Si ai  D

 D

a i

6. Se calcula los valores

   1 ,

F a i

   y se verifica que el denominador a usar en el

F a i

método de la secante sea distinto de cero. Si

F ai  1  F ai 



0

se sigue con el paso 7, sino se va al paso 8.

7. En caso de que el denominador resulte cercano a cero se usara como siguiente aproximación de la raíz uno de los valores que delimitan el intervalo de solución. Si F ai F  xb   0



  X

a i 1

b

Si F ai F  xb   0



  X

a i 1

a

8. Se calcula la nueva aproximación de a. ai   ai  1 ai  1  ai   F ai  F ai  F ai  1

(3.49)

El valor de a no puede caer fuera del intervalo de solución [ xa, xb], por lo cual de ocurrir esto se debe reemplazar a por el valor extremo del intervalo correspondiente al lado en que se sale el valor calculado. Si ai  1  xa

 a i  1  xb 98

Si F ai F  xb   0 ai  1  X b

Si F ai F  xb   0



  X

a i 1

a

9. Si ai  1  ai   T termina la iteración, sino se sigue con el paso 5. -

Pilar Circular con refuerzo conocido y a menor a D . El procedimiento es equivalente al de un Pilar Circular con refuerzo desconocido, la única diferencia es la función a analizar.

 D 2   2  0.5 D  a  F a   0.85 f c' a  arccos   0.5 D  a  a  D  a e  a  D  a  a( D  a)  3  0.5 D    4 

(3.50)

 K 2 a  K 3


3.2.6.3

Elección de solución para profundidad equivalente de esfuerzos.

Luego de calcular los posibles valores para la profundidad equivalente de esfuerzos a, se debe discriminar los valores encontrados para obtener una única solución que se ajuste realmente al problema planteado. En caso de que se desconozca la cuantía de refuerzo se compara la carga axial última y el valor a con sus similares en estado de balance. Si

P u  P b

y a  ab se encuentra en estado de compresión por lo cual como lo indica la

condición, el valor de a que se escoge es menor a ab. Si

P u  P b

y

a



a

se encuentra en estado de tracción por lo cual como lo indica la

condición, el valor de a que se escoge es mayor a ab. En caso de que se conozca la cuantía de refuerzo se compara el área de refuerzo extremo y el valor a con sus similares en estado de balance. Si

A 1 Ab

 a  ab se encuentra en estado de compresión por lo cual como lo indica la

condición, el valor de a que se escoge es menor a ab.

99

Si

A 1 Ab

a  ab se



encuentra en estado de tracción por lo cual como lo indica la

condición, el valor de a que se escoge es mayor que ab.

3.2.7 a)

Procedimiento de cálculo del área de refuerzo a flexión. Cálculo factor de reducción ø. En el caso que se esté diseñando para encontrar la cuantía de refuerzo, se debe calcular el

factor  en cada iteración hasta llegar a un único valor de este, el cual refleja si el elemento se encuentra en estado de compresión, tracción o bien en la transición entre ellas. El cálculo de  depende de la deformación de la fibra extrema. et



0.003

 d 1



a

a



(2.50)

: Factor que relaciona profundidad del bloque rectangular equivalente con

 1

la profundidad del eje neutro. d


a

: Profundidad equivalente de esfuerzos.

Este depende del tipo de refuerzo transversal. Para elementos con refuerzo de espiral.  0.7 , Si  t   y  0.2  t   y  , Si  y   t  0.005   0.7   0 . 005  y   0.9 , Si  t  0.005

(2.10)

Para elementos con refuerzo de estribo.  0.65 , Si  t   y  0.2  t   y  , Si  y   t  0.005   0.65    0 . 005 y   0.9 , Si  t  0.005

b)

(2.11)

Cálculo tensión refuerzo. Se calcula también la tensión en cada refuerzo a partir de la profundidad del eje neutro c. f s



0.003 E s

d



c

c

(3.51)

100

f s '

c)



0.003 E s

c

d '



c

(3.52)

Verificar cuantía mínima y máxima. Con el propósito de que el problema no se resuelva fuera de parámetros reales de

aplicación, se revisa que la cuantía calculada no sea menor a la mínima ni mayor a la máxima. Esto además evita problemas de cálculo ya que por ejemplo un caso podría entregar un a negativo u otros valores que no corresponden al desarrollo de este tipo de problemas.

Para

esto

se

calcula la carga axial y momento en estado último que puede resistir la sección con la cuantía ya sea mínima o máxima y luego se compara con la carga última solicitante. Cuantía mínima:  min



0.01

Cuantía máxima:  max



 max



0.08

0.06

Para elementos sometidos a cargas sísmicas.

El área por cada línea de refuerzo depende del tipo de elemento a diseñar. Muro sin pilar de borde: A si

A g

Ag  

2n

(3.60)

: Área bruta de la sección del muro.

Pilar circular con un refuerzo superior: A si 

A gp  n

pi

(3.61 a)

Pilar circular con dos refuerzos superiores: A si 

A gp  n

pi

(3.61 b)

A gp : Área bruta de la sección del pilar circular.

 n

: Cuantía de refuerzo en el pilar de borde. : Número de líneas de refuerzo. 101

pi

: Cantidad de barras en la línea de refuerzos i.

Por medio de las ecuaciones de equilibrio se calcula las cargas resistentes con la cuantía a verificar. P u



 0.85 f c' A  S 2  S 1 

n

(3.64) n

S 1  A si f si

S 2   A si f si'

i 1

i 1


A '

f c


'

f si


f si


A si

: Área de refuerzos en la línea de refuerzos i.

En el caso del pilar circular, el área en compresión se discrimina si a es menor, mayor o igual al diámetro del pilar. M u



'  0.85 f c MA  S  S  3 4

 h  S   A si f si   d 'i   2  i n

3

1

h

(3.65) S 2 

n

 h



 A f  2  d '  '

si si

i

i 1

: Altura de la sección del elemento, en caso de un pilar circular es el diámetro del pilar. '

d i


Para verificar si el elemento satisface las cargas solicitantes con la cuantía mínima se asume las cargas antes calculadas como mínimas y se compara con las cargas solicitantes. Si P u  P u min y M u  M u

min

usar armadura mínima, sino calcular cuantía necesaria.

Para verificar si el elemento no satisface las cargas solicitantes con la cuantía máxima, se calcula para esta cuantía, se asumen las cargas antes calculadas como máximas y se compara con las cargas solicitantes.

102

Si P u  P u

y M u

max



M u max usar

calcular cuantía necesaria, sino, la sección no cumple

con las condiciones necesarias.

d)

Verificar tensiones. Al principio del proceso se supone por medio de los valores k y k’ la cantidad de líneas de

refuerzo que fluyen en la sección, ya sea en sentido positivo o negativo a la configuración previamente establecida, para completar el proceso se debe verificar que los datos calculados entreguen efectivamente las líneas de fluencia esperadas, de lo contrario se debe continuar con el proceso iterativo suponiendo ahora los valores k y k’ que entregue el siguiente procedimiento. El contador de valores k consiste en una iteración que va aumentando k en una unidad cada vez que se cumple f si  f y , luego el valor k obtenido pasa por una segunda iteración que cuenta con los valores f sn i    f y , de esta forma k resulta ser el número de líneas de refuerzo que '



fluyen a partir de la línea inferior. El contador de valores k’ consiste en la misma iteración pero partiendo desde las líneas superiores de refuerzo, cuenta si f si '



f y ,

luego el k’ pasa por una segunda iteración que cuenta

los valores f sn i    f y , de esta forma k’ resulta ser el número de líneas de refuerzo que fluyen a 

partir de la línea superior de refuerzos. Si

k



k sup

y

k '



'

k sup entonces

se cumple el supuesto, de lo contrario se sigue con la

iteración usando los nuevos valores de k y k’ , y calculando nuevamente la profundidad equivalente de esfuerzos a. Ver diagrama de flujo en anexo A.6.

e)

Área refuerzo flexión. En el caso que se calcule para una cuantía desconocida, una vez que se tiene la

profundidad equivalente de esfuerzos se calcula el área de acero que será distribuido en las líneas de refuerzo. De las ecuaciones 3.19 y 3.20 se despeja A si de cada una de ellas resultando las ecuaciones 3.66 a y b.  P u    0.85 f c A     A si  S  S '

2

(3.66 a)

1

 P u   e  0.85 f c MA    A si   '

S 3

(3.66 b) 103

Reemplazando P u / ϕ de la ecuación 3.19 en 3.20 y despejando A si resulta la ecuación 3.67. A si



 MA

0.85 f ' c

S 5





n

Ae S 4

(3.67) n

S 1  pi f si

S 2   pi f si'

i 1

i 1

S 3 

n



 h   d i   2 

pi  f si  f si  '

i 1

S 5 

n



 

pi f ' si  e 

i 1

'

S 4 



n

h



 p f  e  2  d  i

si

'

i

i 1

  d i  2  h

'

Al calcular estas sumatorias en las líneas de refuerzo a compresión se debe descontar el esfuerzo del hormigón desplazado por las barras de refuerzo, esto se puede ver comparando si c es mayor a d’ i o d i dependiendo si se está calculando en las líneas de refuerzo superior o inferior respectivamente. El área de refuerzo A si será calculado como el valor máximo entre 3.66 a, 3.66 b y 3.67, salvo que algún denominador de éstas ecuaciones resulte ser nulo. Dado los pi calculados en 3.2.4 para pilares circulares, el valor A si corresponde a la sección de una barra de refuerzo longitudinal, por lo que el área total de refuerzo será el producto de A si por la cantidad de refuerzos asumido desde el comienzo del cálculo. En el caso de los muros pi vale uno por lo que el A si calculado equivale al área de refuerzo de una línea de refuerzos, es decir dos barras por lo que el área total de refuerzo será el producto de A si por dos veces la cantidad de líneas de refuerzo.

3.2.8 a)

Cálculo de pilares de borde. Carga axial sobre pilares de borde. El diseño de pilares de borde en un muro implica realizar un proceso iterativo para

encontrar el largo de la sección del pilar, en una primera iteración no se tiene el largo, por lo que se calcula la carga sobre cada pilar como se describe en la figura 3.19, para luego en función de esta calcular el área de sección de pilar de borde necesario para resistirla. N u1 

P u

N u 2 

P u

2

2





M u l w  2r M u l w  2r

(3.68 a)

(3.68 b)

104

Figura 3.19: Esfuerzos en extremos del muro.

Pu Mu Vu

lw

Pu /Ag

Pu /Ag

Mu(lw /2)/Ig

Mu(lw /2)/Ig

Fuente: Propia.

Luego de que se tiene la primera aproximación al largo de la sección, se puede estimar la carga sobre cada pilar considerando el momento de inercia en cada pilar. N u1 

P u

N u 2 

P u

2

2





b p L p M u 2 I

b p L p M u

 b p L p I  2   4

2 I

b)

(3.69 a)

l w  Lp 

(3.69 b)

  L2 p   E s  2   1 l Lp A S          w  s 1  3 E     c 

 l  S 1    w  d pi'   i 1  2 n

l w  Lp

(3.70)

2

Largo sección pilar de borde. Antes de contar con la profundidad del eje neutro c, se puede estimar el largo de la sección

del pilar considerando la carga máxima que puede resistir el pilar de borde. Con la carga axial sobre cada pilar y por medio de la relación 2.7 o 2.8 se calcula el área de la sección del pilar y así con el ancho del muro se calcula el largo de la sección del pilar. Pilar con estribos:

105

A gp 



max  N u1 , N u 2 



 0.85 f c   0.85 f c 

0.8·0.65 0.06 f y

(3.71 a)

Pilar con zuncho: A gp 



max  N u1 , N u1 



0.85·0.7 0.06 f y

 0.85 f c   0.85 f c 

(3.71 b)

Luego: L p

A gp 

(3.72 a)

b p

Cuando el recubrimiento supera los 40 mm lo restante no debe ser considerado en el cálculo del área bruta, por lo tanto la longitud del pilar de borde está dada por: L p  2 r  0.5d b  40 

A gp

b

p

 2 r  0.5d b  40

(3.72 b)

Cuando el sitio tiene la profundidad del eje neutro el largo del pilar se calcula como:  c  L p  max  , c  0.1l w   2



(3.73)

Independiente de la forma en que se calcule, se limita la longitud del pilar de borde a la mitad del largo del muro. Si L p 

l w 2

 L p 

l w 2

Además no se permite que el largo del pilar sea menor al ancho del muro. Si L p  bw

c)



L p



bw

Refuerzo carga axial. En base al área de la sección de pilar de borde y de la misma relación 2.7 o 2.8, se tiene el

área de refuerzo. Área refuerzo a compresión. Pilar con estribos:

A scp

 max  N u1 , N u 2    0.85 f c A gp   0.8·0.65    ' f y  0.85 f c

(3.74 a)

106

Pilar con zunchos:  max  N u1 , N u 2    0.85 f c A gp   0.85·0.7    ' f y  0.85· f c

A scp

(3.74 b)

Área refuerzo a tracción. A stp



min  N u1 , N u 2  0.9 f y

(3.75)

Entre el refuerzo a compresión y el refuerzo a tracción se escoge el área mayor siempre y cuando este sea mayor al área resultante de una cuantía mínima. A sp  max  A stp , A scp , 0.01A gw 

3.2.9 a)

(3.76)

Cálculo de refuerzos de corte. Resistencia corte hormigón. La resistencia a corte de un elemento esta dado principalmente por la resistencia que

proporciona el hormigón dependiendo también de la carga axial sobre el elemento ya que esta aumenta la capacidad de resistencia. En el caso de los muros: Si

M u V u



w

0

2

   ' 2 N u      c     w  f   h  P d w   h d V c  min  0.25 f c' h·d  u , 0.5 f c'    M   w 4 l 10 u w      V 2   u    

(3.77)

sino V c 

1 4

f c' h  d 

N u d 4w

(2.14)

n

 A si d i d 

i 1 n

 A si i 1

107

En el caso de los pilares circulares:   f c' P u 2  V u  1  0.8 D 2   14·0.8 D  6

b)

(3.78)

Espaciamiento. Se define el espaciamiento que tendrán los refuerzos de corte en el elemento. En el caso de los muros, estos llevan refuerzo tanto horizontal como vertical y su

espaciamiento dependerá de las condiciones a las que sea solicitado. Sometido a cargas sísmicas: S 1  450 mm

S 2



450 mm

Sin cargas sísmicas:

S 1

S 2

  l w  min  , 3 bw , 450  ,   5  min 3 b , 450 , w    l w  min  , 3 bw , 450  ,   3  min 3 b , 450 , w 

V u

 0.5·0.75V c

V u

 0.5·0.75V c

V u

 0.5·0.75V c

V u

 0.5·0.75V c

(3.79 a)

(3.79 b)

Para pilares circulares: 2 '  0.8 D f c min 0.2 D, 300 , V s   3 S   2 ' 0.8 D f c  min 0 . 4 D , 600 , V     s 3 

(3.80)

Pero se debe considerar las siguientes limitaciones: -

Pilares reforzados con estribos. 16 d b , Si S  16 d b  S  48 d bt , Si S  48 d bt  D , Si S  D 

-

Pilares reforzados con espiral.

108

80

, Si S  80

25

, Si S  25

S  

c)

Resistencia refuerzo corte. En el caso de que la resistencia proporcionada por el hormigón no sea suficiente para

resistir las cargas de corte, se considera la resistencia a corte proporcionada por el refuerzo en muros:  V u   V c   0.75 

V s  max  0,

(3.81)

En el caso de los pilares circulares V s debe cumplir con: V s

d)



2 3

0.8 D

2

f c '

(3.82)

Armadura refuerzo de corte en muros. El refuerzo a corte en un muro se distribuye en sentido horizontal y vertical. Refuerzo de muros sometidos a cargas sísmicas. Ah

Si

Ah bw S 1



S 1 V s f y d

(3.83)

(3.84)

 0.0025

 h 

Ah bw S 1

 v  0.0025

Sino '  Acv f c 0.0015 , V u   12  v   ' Acv f c  0.0025 , V u  12 

 h



(3.85)

0.0025

Refuerzo de muros sin cargas sísmicas. Si V u  0.5·0.75 V c

109

Ah

S 1 V s



f y d

(3.83)

Ah  Ah , Si  0.0025  b S bw S 1  w 1  h   A h 0.0025 , Si  0.0025  bw S 1

  0.0025         max    hw     0 . 0025 0 . 5 2 . 5  0 . 0025   min       ,   h  l w        v      h     0.0025 , Si Ah  0.0025  bw S 1

Si V u

(3.86)

Si

Ah bw S 1

 0.0025

(3.87)

 0.5 ·0.75 V c

 h



0.0025

 v



0.0015

Los pilares de borde se refuerzan con estribos o espiral para resistir el esfuerzo de corte.  S V s , Si V u  0.75V c  0.8 f D y  Av    D ·S f ' 0.33 D ·S  c max   , Si V  0.75V , u c   16 f y  f y   

3.2.10

(3.88)

Longitud de empalmes.

En caso de que un refuerzo no tenga la longitud necesaria, este puede ser empalmado con otro refuerzo, considerando eso sí las siguientes longitudes de empalme. El término cb

 K tr



d b

no debe ser mayor que 2.5, pero según R12.2 de ACI 318SR-

05 si este valor es menor pueden ocurrir fallas por hendimiento, por lo cual será reemplazado en la ecuación 2.68 por 2.5.  9 f y      t e s  d '  10 f  b 2.5 c  

l d  

(3.89)

f y : Resistencia a la fluencia del refuerzo. 110

'

f c : Resistencia a la compresión del hormigón. d b

: Diámetro nominal de la barra.

 1 , Si d b  22 mm 0.8 , Si d b  22 mm

 s     1  t



1

 e  1

111

Capítulo IV Evaluación del modelo.

4.1

GENERALIDADES. El sitio web elaborado tiene la capacidad de diseñar y/o verificar tanto muros de hormigón

armado como pilares de sección circular en base a la norma ACI 318-05, por lo cual para verificar el correcto desempeño de éste es que se realizarán ejemplos comparativos con diagramas de interacción, literatura existente y programas de diseño en hormigón armado basados en la misma norma.

4.2

DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN. A continuación se compara un diagrama creado por el sitio versus un diagrama de fuentes

existentes en condiciones equivalentes. La semejanza entre éstos da un primer indicio para considerar el correcto funcionamiento del sitio web.

4.2.1

Comparación de un diagrama M-P para muros. Basado en los diagrama de interacción que tiene el “Manual de cálculo de Hormigón

Armado, segunda edición en base al Código ACI 318-05” de Gerdau Aza, se compara un muro con refuerzos uniformemente distribuidos armado con la cuantía mínima de 0.01Ag. f c'  250 kgf / cm2

(Resistencia a la compresión del hormigón)

f y  4200

(Resistencia a la fluencia del refuerzo)

bw w

hw







20

kgf / cm2

cm

(Ancho del muro)

300 cm

(Largo del muro)

220 cm

(Alto del muro)

112

n



15

d  10

d 1 '



5

(Cantidad de líneas de refuerzo por cada extremo)

cm

(Separación entre líneas de refuerzo)

cm

(Distancia desde centroide de refuerzo extremo a borde del muro) Figura 4.1: Geometría y cargas sobre el muro.

Fuente: Propia.

Este muro se diseña en el sitio web ingresando una combinación de carga cualquiera bajo la condición de que resulte armado con una cuantía mínima, compara un muro con refuerzos uniformemente distribuidos armado con la cuantía mínima de 0.01Ag. Figura 4.2: Distribución de refuerzos uniforme en sección del muro.

Fuente: Propia.

Dada ésta configuración de refuerzos el sitio entrega el siguiente diagrama de interacción:

113

Figura 4.3: Diagrama de Interacción M-P entregado por el sitio web para el caso en análisis.

Fuente: Propia.

Comparado con el diagrama de Gerdau Aza “G-066 Diagrama de Interacción Pu-Mu” página 184, se observa en la figura que los puntos azules (las coordenadas que entrega el sitio para éste diagrama) coinciden con el diagrama para una cuantía de 1%, salvo algunas diferencias pequeñas. Figura 4.4: G-066 Diagrama de Interacción Pu-Mu, indicado algunos puntos por donde pasa el diagrama de interacción entregado por el sitio web para el mismo caso.

Fuente: Diagrama G-066, Larraín, 2005.

Ahora para realizar una comparación numérica se muestra una tabla con los valores de cada caso y un cálculo de las diferencias entre cada uno calculando la bondad de ajuste mediante el valor R 2 que finalmente se muestra como un porcentaje de error acumulado en las columnas %ΔP y %ΔM.

114

Tabla 4.1: Análisis comparativo entre diagrama G-066 del Manual de Cálculo de Hormigón Armado de Gerdau Aza y el diagrama entregado por el sitio web para el caso en análisis.

Fuente: Propia.

Los valores de R 2 calculado en ésta tabla son de 0,987 para Pu y de 1,037 para Mu, lo cual indica que el modelo entrega una buena aproximación, y como se puede observar las diferencias acumuladas no superan el 5,9%, los motivos de éstas pueden ser: -

Diferencias de aproximación en el cálculo numérico: Los procedimientos de cálculo van arrastrando errores de aproximación al trabajar con distinta cantidad de valores decimales.

-

El uso de distintos métodos de cálculo: Hay muchas formas de realizar éste proceso, como por ejemplo considerar un centroide de refuerzo en cada extremo del muro o bien tomando en cuenta la posición de cada línea de refuerzo, como lo aborda el sitio web. Estos métodos son equivalentes pero pueden resultar pequeñas diferencias.

-

Rescatar los datos de un dibujo: Los diagramas de Gerdau Aza están publicados solo gráficamente, por lo cual el proceso de obtener los datos de éste se hace en forma manual y aproximada.

4.2.2

Comparación de un diagrama M-P para pilares circulares. Basado en el diagrama de interacción que entrega el programa CSI COL V8, en función de

la norma ACI 318-05, se compara un pilar de sección circular con refuerzo superior a la cuantía mínima. '

f c



250

kgf / cm

2


f y  4200 kgf / cm2


D  70 cm

(Diámetro del pilar) 115

hw n

 200

8



 ref d '

cm





(Alto del pilar) (Cantidad de barras de refuerzo)

25

5

mm

cm

(Diámetro de barras) (Distancia desde centroide de refuerzo extremo al borde del pilar) Figura 4.5: Geometría y cargas sobre el pilar.

Fuente: Propia.

Este pilar circular se verifica en el sitio web ingresando las dimensiones, detalles del refuerzo y una combinación de carga que no supere sus capacidades. Figura 4.6: Distribución de refuerzos en sección del pilar.

Fuente: Propia.

Dada ésta configuración de refuerzos el sitio entrega el siguiente diagrama de interacción: 116

Figura 4.7: Diagrama de Interacción M-P entregado por el sitio web para el pilar se sección circular en análisis.

Fuente: Propia.

Comparado con el diagrama que entrega CSI COL V8 para éste caso, se observa en la figura que los puntos rojos (las coordenadas que entrega el sitio) coinciden con el diagrama, salvo algunas diferencias pequeñas. Figura 4.8: Diagrama de Interacción Pu-Mu entregado por CSI COL CO L V8 para el pilar se sección circular, indicado algunos puntos por donde pasa el diagrama de interacción entregado por el sitio web para el mismo caso.

Fuente: Extraído del informe informe entregado por CSI COL V8.

Ahora para realizar una comparación numérica se muestra una tabla con los valores de cada caso y un cálculo de las diferencias entre cada uno calculando la bondad de ajuste mediante el valor R 2 que finalmente se muestra como un porcentaje de error acumulado en las columnas %ΔP y %ΔM.

117

Tabla 4.2: Análisis comparativo entre diagrama entregado por CSI COL V8 y el diagrama entregado por el sitio web para el caso en análisis.

Fuente: Propia.

Los valores de R 2 calculado en ésta tabla son de 0,988 para Pu y de 1,001 para Mu, lo cual indica que el modelo entrega una buena aproximación, y como se puede observar las diferencias acumuladas no superan el 4,9%, los motivos de éstas pueden ser: -

Diferencias de aproximación en el cálculo numérico: Los procedimientos de cálculo van arrastrando errores de aproximación al trabajar con distinta cantidad de valores decimales.

-

El uso de distintos métodos de cálculo: No existe una única forma de realizar éstos cálculos por lo que los procedimientos usados en el sitio web no necesariamente neces ariamente deben coincidir con los que usa CSI COL, lo cual puede arrastrar pequeñas diferencias entre los resultados de ambos.

-

Rescatar los datos de un dibujo: El diagrama entregado por CSI COL han sido rescatados gráficamente, por lo cual el proceso de obtener los datos de éste se hace en forma manual y aproximada.

4.3

EJEMPLOS DE BIBLIOGRAFÍA EXISTENTE. A modo de comparación con el diseño que entrega el sitio web, se toman ejemplos de

diseño tanto para muros como pilares circulares de bibliografía existente y se resuelven para observar las diferencias entre uno y otro.

118

4.3.1

Diseño de un pilar circular. Se desea reforzar una columna zunchada cuadrada de 20 plg. (508 mm) mediante varillas

dispuestas simétricamente en círculo de 16 plg. (406 mm) de diámetro entre centros. Para el concreto, f’ c =3000 lb./plg.2 (20.7 N/mm2) y para el acero f y =40000 lb./plg.2 (276 N/mm2). Calcular el área de acero requerida si se desea que la sección soporte una carga última de 380,000 lb (1690 kN) con una exentricidad de 11.55 plg. (293 mm) con respecto a un eje principal de la sección. Suponer un factor φ de reducción de capacidad de 0.75 (Park et al,1996).

Este ejercicio considera un pilar de sección rectangular con una distribución de refuerzos en forma circular, pero se resolverá asumiendo una sección circular, para lo cual el mismo libro presenta la teoría de A. Whitney en la página pá gina 155, la cual permite diseñar dise ñar el refuerzo longitudinal en pilares de sección circular para estados de falla en compresión y/o en tracción. Además se aumenta el diámetro a 25 pulg para suplir la superficie que se reduce al cambiar de sección. Falla a la tensión 1/ 2 2      0.85e   t m d s  0.85 e  2  0.38    0.38 P u   0.85 h f c '    h h h 2 . 5      

Falla a compresión

   A f  A g f 'c st y   P u    3 9 . 6 e h e  1  1.18   d s  0.8 h  0.67 d s  2

Para éste caso:   0.75

(Factor de reducción de capacidad)

h  25 pul g

(Altura de la sección, o diámetro de ésta)

f c'



3000


f y



40000

d s



20

A g



lb / pul g 2 lb / pul g 2

pul g

490.87

pul g 2

(Resistencia a la fluencia del refuerzo) (Distancia entre barras opuestas radialmente) (Área bruta de sección circular)

119

m



f y 0.85 f 'c

De ésta forma según la teoría de A. Whitney resulta una cuantía de 2% para falla a tensión y de 1.3% para falla a compresión, por lo cual la cuantía escogida para éste diseño será de 2% y la sección está controlada por la falla a tracción. Desarrollando el ejemplo en el sitio web resulta una cuantía de 2.7% y la falla se produce por un efecto combinado siendo ϕ=0.72. Figura 4.9: Resultados entregados por el sitio web para el diseño de pilar de sección circular en análisis.

Fuente: Propia.

La diferencia entre ambos diseños es de un 0.7% de cuantía, lo cual parece algo significativo, pero hay que tener en cuenta las siguientes observaciones: -

En el mismo ejemplo de éste libro (página 157) explican que el método de Whitney puede desviarse seriamente hacia el lado inseguro.

-

El método de Whitney se usa diseñando para tracción y compresión en forma separada, lo cual produce que se sobre valoren las capacidades de una sección que al ser diseñada por efectos combinados puede resistir considerablemente menos.

-

El método de Whitney diseña de forma aproximada asumiendo una distancia desde el centroide de la superficie comprimida al centro de la sección, mientras que el sitio web calcula considerando la posición de cada barra.

-

Además se debe considerar las aproximaciones numéricas, transformación de unidades y todo tipo de cálculos que van arrastrando pequeñas diferencias.

120

4.3.2

Diseño de un muro. Se diseñará el refuerzo de corte para el ejemplo 21.4 de PCA Notes on ACI 318-05, que

muestra la siguiente figura. Figura 4.10: Dimensiones y carga sobre el muro del ejemplo 21.4 de PCA Notes on ACI 318-05.

Fuente: Figura ejemplo 21.4, Kamara M, 2005.

f c'



f y



3000

60000

psi

psi

(Resistencia a la compresión del hormigón) (Resistencia a la fluencia del refuerzo)

Se considera un caso sin cargas sísmicas, por lo cual no rige el capítulo 21 de ACI 318-05. El resultado de éste ejemplo muestra que el refuerzo de corte horizontal tiene una cuantía de 0.005, y el refuerzo vertical una cuantía de 0.0038, mientras que el sitio web entrega una cuantía de 0.0045 para el refuerzo horizontal, y de 0.0035 para el refuerzo vertical. Figura 4.11: Resultados entregados por el sitio web para el diseño del muro en análisis.

Fuente: Propia.

121

Tabla 4.3: Análisis comparativo entre el diseño de refuerzo cortante del ejemplo 21.4 de PCA Notes on ACI 318-05 y el cálculo entregado por el sitio web para el mismo caso.

Fuente: Propia.

Como se observa las diferencias llegan hasta un 10%, las cuales se producen por: -

El uso de distintos métodos de cálculos: La principal diferencia es en el cálculo de la distancia del centroide de los refuerzos inferiores hasta la fibra extrema en compresión del hormigón, en PCA Notes asumen d como 0.8l w mientras que el sitio lo calcula considerando la posición de cada línea de refuerzo, esto produce diferencias en la resistencia a corte del hormigón y por consecuencia en las cuantías de refuerzo.

-

Diferencias de aproximación en el cálculo numérico: Los procedimientos de cálculo van arrastrando errores de aproximación al trabajar con distintas cantidades de valores decimales.

4.4

DISEÑO CON SOFTWARE EXISTENTE. Para comprobar la efectividad del sitio web, se resuelve un ejemplo de muro y de pilar

circular que luego se compara con el diseño del mismo mediante los programas ETABS y PROKON, con los cuales se puede diseñar elementos en hormigón armado en base a la norma ACI 318-05.

4.4.1

Diseño de un muro mediante el programa ETABS. Calcular el área de refuerzo a flexión y corte para un muro de 20 cm de espesor, 2,4 m de

largo y 2,3 m de alto, sometido a un estado de esfuerzos que incluye cargas sísmicas. P u



M u V u





f c'

56

470 ton m 

96



(Carga axial sobre el muro)

ton

ton

250

kgf / cm2

(Momento sobre el muro en sentido longitudinal) (Cortante sobre el muro en sentido longitudinal) (Resistencia a la compresión del hormigón) 122

f y



4200

kgf / cm2

E c  210000

kgf / cm2

(Resistencia a la fluencia del refuerzo) (Elasticidad del hormigón)

2 E s  2100000 kgf / cm (Elasticidad del acero)

Diseño en ETABS: El diseño de éste muro se realiza primero considerando las cargas a flexo-compresión para diseñar el refuerzo a flexión usando el siguiente modelo de muro: Figura 4.12: Modelo de muro con cargas de flexo-compresión analizadas en ETABS.

Fuente: Extraído de modelo ingresado en ETABS.

Se define la combinación COMB1 con las cargas de éste ejemplo, el diseño en ETABS entrega los siguientes resultados. Los resultados en la figura 4.13 muestran que el muro debe ser armado con un área de 61.6 cm2 en el borde comprimido, y 65,7 cm2 en el borde traccionado. Figura 4.13: Resultados de diseño a flexo-compresión del muro de hormigón armado analizado en ETABS.


El diseño a cortante se realiza con el siguiente modelo de muro. 123

Figura 4.14: Modelo de muro con carga de corte analizadas en ETABS.

Fuente: Extraído de modelo ingresado en ETABS. Figura 4.15: Resultados de diseño a corte del muro de hormigón armado analizado en ETABS.


Los resultados muestran que el muro debe llevar un área de refuerzo horizontal a razón de 13.3 cm2 por cada metro lineal.

Diseño en Sitio Web: Ingresadas las cargas, propiedades de los materiales y geometría de la sección se realizan los cálculos que entregan una memoria en formato pdf. Figura 4.16: Resultados entregados por el sitio web para el diseño del muro en análisis.

Fuente: Propia.

124

Figura 4.17: Refuerzo propuesto por el sitio web para el diseño del muro en análisis.

Fuente: Propia.

Los resultados muestran un refuerzo de flexo-tracción calculado de 62.4 cm2 en cada borde formado por 8 barras de 32 mm de diámetro, esto es 64.3 cm2. Mientras que el diseño a cortante resulta un área de refuerzo horizontal de 6 cm2 cada 45 cm de alto, y 2.25 cm2 de refuerzo vertical cada 45 cm. En la siguiente tabla se pueden observar las diferencias entre ambos cálculos. Tabla 4.4: Análisis comparativo entre el diseño de refuerzos mediante el programa ETABS y el cálculo entregado por el sitio web para el muro en análisis.

Fuente: Propia.

Como se observa las diferencias no superan el 2.1%, las razones de estas variaciones pueden ser: -

El uso de distintos métodos de cálculo.

-

El uso de distintas formas de distribuir los refuerzos, por ejemplo puede que el centroide de los refuerzos extremos no sea el mismo para cada caso.

125

-

Diferencias de aproximación en el cálculo numérico: Los procedimientos de cálculo van arrastrando errores de aproximación al trabajar con distintos tipos de aproximaciones.

4.4.2

Diseño de un pilar circular mediante el programa PROKON. Diseñar el refuerzo a flexo-compresión y cortante para un pilar de sección circular de 60

cm de diámetro y 2 m de alto, sometido a cargas sísmicas. P u



M u

V u

13





52

26

(Carga axial sobre el pilar)

ton

ton m 

(Momento sobre el pilar) (Cortante sobre el pilar)

ton

f c'  25 MPa


f y


 420

MPa

E c



210000

E s



2100000

kgf / cm2

kgf / cm2

(Elasticidad del hormigón) (Elasticidad del acero)

Diseño en PROKON: El diseño de éste pilar se realiza según la norma ACI 318-05, considerando los siguientes datos y distribución de refuerzos: Figura 4.18: Modelo de pilar circular analizado en PROKON.

Fuente: Extraído de modelo ingresado en PROKON. 126

Dada dicha configuración, el diseño se hace considerando el momento uni-axial. Figura 4.19: Diagramas de interacción y área de refuerzo calculada para pilar circular analizado en PROKON.

Fuente: Extraído de modelo ingresado en PROKON.

El refuerzo axial diseñado resulta ser 63.84 cm2 , con una cuantía de 2.26%. Figura 4.20: Refuerzo propuesto para pilar circular analizado en PROKON.

Fuente: Extraído de modelo ingresado en PROKON.

El refuerzo axial se arma con 8 barras de 32 mm de diámetro y el refuerzo de corte en espiral de 10 mm de diámetro cada 30 cm.

Diseño en Sitio Web: Ingresadas las cargas, propiedades de los materiales y geometría de la sección se realizan los cálculos que entregan una memoria en formato pdf.

127

Figura 4.21: Resultados entregados por el sitio web para el diseño del pilar de sección circular en análisis.

Fuente: Propia. Figura 4.22: Refuerzo propuesto por el sitio web para el diseño del pilar de sección circular en análisis.

Fuente: Propia.

Los resultados muestran que el pilar requiere 54.21 cm2 de refuerzo a flexo-compresión, lo cual está formado por 8 barras de 32 mm de diámetro. El refuerzo de corte es de espiral de 10 mm de diámetro cada 24 cm. Tabla 4.5: Análisis comparativo entre el diseño de refuerzos mediante el programa PROKON y el cálculo entregado por el sitio web para el pilar de sección circular en análisis.

Fuente: Propia.

128

Como se observa el refuerzo propuesto en ambos cálculos resulta ser el mismo, pero en los valores calculados hay diferencias de hasta un 20%, lo cual no significa que sea un error sino solo diferencias que se producen por las siguientes razones: -

El uso de distintos métodos de cálculo: Tal vez esta sea la principal razón para que la diferencia de refuerzo longitudinal calculado sea de 15%, el sitio web considera la posición de cada barra y define líneas de refuerzo en las posiciones de éstas barras, por lo cual no es lo mismo diseñar un pilar circular con 4 barras que uno con 8 o con 24, cada caso va dando mejores propiedades al pilar a medida que aumenta la cantidad de barras, es así que se probó también con 4 barras lo que da un refuerzo longitudinal de 66.9 cm2 , mientras que con 8 barras como fue diseñado el área se reduce a 54.21 cm2. En cambio el programa PROKON parece no tener estas consideraciones ya que no permite diseñar para una cantidad de barras definidas por el usuario. Además PROKON tiene otras consideraciones como por ejemplo el peso propio del elemento, cosa que no considera el sitio web.

-

Diferencias de interpretación de la norma: En el caso del espaciamiento del refuerzo de corte en espiral, el ACI 318-05 da la posibilidad de considerar el ancho de la sección de pilar circular como 0.8·D (80% del diámetro del pilar), y una de las condiciones para el cálculo del espaciamiento es que no exceda la mitad de ese ancho, lo cual en éste caso da 24 cm.

-

Diferencias de aproximación en el cálculo numérico: Los procedimientos de cálculo van arrastrando errores de aproximación al trabajar con distintos tipos de aproximaciones.

129

Capítulo V Resultados y Conclusiones. El sitio web calculohormigon.com creado en el desarrollo de éste trabajo de tesis tiene la capacidad de diseñar y verificar elementos de hormigón armado, ya sean muros de corte como pilares de sección circular, en forma individual o conjunta, para una o varias combinaciones de carga y ya sea para información ingresada de forma manual o bien rescatando los datos de informes entregados por los programas SAP2000 y ETABS. Razones por las cuales éste sitio posee características únicas que dan la posibilidad de realizar cálculos en forma rápida y efectiva, considerando por ejemplo que el sitio tiene la capacidad de captar todas las combinaciones de cargas para las cuales calculan los programas de análisis estructural antes mencionados, y diseñar para la carga más desfavorable chequeando cada uno de los estados de carga. A esto además hay que agregar el hecho de que estamos hablando de un sitio web por lo cual se puede acceder a él desde cualquier lugar en que se cuente con una conexión a internet. Considerando que éste sitio está diseñado para usuarios con un grado de conocimiento razonable en el cálculo de estructuras y el diseño de hormigón armado, el sitio cuenta con una interfaz simple y acompañada de indicaciones y observaciones que van guiando el correcto uso de este, además de una página de ayuda y videos con los cuales se puede comprender rápidamente los procedimientos que se deben realizar en cada proceso. Al diseñar en el sitio, este da la posibilidad de visualizar y guardar un informe en formato pdf con la información general del diseño realizado y el detalle de cada elemento mostrando la información más relevante, dibujos que muestran el comportamiento de la sección, diagrama de interacción M-P y una imagen con el detalle del refuerzo propuesto por el sitio. Este sitio se encuentra alojado en un servidor de pago y asociado al dominio calculohormigon.com, en general el sitio funciona de forma correcta al diseñar elementos ingresando datos manualmente, las funciones necesarias para crear imágenes, proceso de información, procedimientos de cálculo y creación de archivos pdf, todas funcionan correctamente, y su velocidad de carga como en todo sitio web depende principalmente de la velocidad de conexión a internet del usuario. En el ingreso de datos mediante archivos Excel, si bien el procedimiento funciona correctamente, su uso es muy limitado, esto se debe a que una vez cargado el archivo desde el equipo del usuario al servidor el sitio almacena toda la información en un arreglo mediante código php, pero éstos archivos suelen ser muy extensos y contienen una 130

cantidad de información excesiva para la capacidad de memoria que asigna el servidor al sitio web, lo cual hace que solo sea posible trabajar con archivos Excel más pequeños, que contengan solo un par de elementos. Algunas soluciones a éste tema pueden ser, contar con un servidor dedicado exclusivamente a este sitio, de forma que se pueda asignar la cantidad de memoria necesaria para un mejor desempeño, o bien crear un código descargable que procese el archivo desde el equipo del usuario y cargue al servidor solo la información necesaria. Lo mismo debería ocurrir en la carga de archivos Access, pero además sucede que desde el servidor no han activado el uso de una función necesaria para la lectura de este tipo de archivos, lo cual no sería problema si se contara con un servidor propio o de dedicación exclusiva. Respecto a los procedimientos de diseño utilizados en el desarrollo del sitio, se trató de desarrollar procedimientos que entreguen resultados lo más precisos posible, un ejemplo de ello es que para el cálculo de las fuerzas que ejercen las barras dentro de las ecuaciones de equilibrio se consideró la posición de cada una de ellas, distinto a lo que se hace en desarrollos más simplificados donde se considera que todo el refuerzo se concentra en un centroide, esto produce diferencias significativas principalmente el en diseño de pilares circulares ya que las distancias al centro de la sección varían bastante más que en los muros que son de sección mucho más alargada. Es importante también señalar que el sitio cuenta con algunas limitaciones de diseño: -

El diseño de elementos no incluye el efecto de esbeltez ya que este es un sitio netamente de diseño (no considera análisis estructural) y se espera que las cargas ingresadas ya estén mayoradas en caso de requerirlo

-

Este sitio no verifica el refuerzo para resistir esfuerzos perpendiculares al muro ya que ese tema se analiza con el diseño de losas, tema que no corresponde al desarrollo de esta tesis.

-

El diseño de pilares es uni-direcional, es decir calcula para esfuerzo cortante y momento en una sola dirección, en el caso de que las cargas extraídas desde Excel o Access sean bidireccionales, se asumen ambas como componentes de la carga con la que finalmente diseña el sitio.

-

Según el punto 10.3.5 de ACI 318-05 para elementos no preesforzados que resistan cargas axiales menores a 0.1A g f’ c , εt no debe ser menor a 0.004, lo cual en los cálculos del sitio no se considera ya que esto pertenece al diseño de vigas, tema que no corresponde al desarrollo de ésta tesis. En dicho caso el sitio entrega una observación quedando a su criterio verificar que ésta condición se cumpla. En base a los análisis comparativos realizados en el capítulo IV se observa que el

procedimiento y resultados del sitio web es similar al de las referencias consultadas, siendo en algunos casos casi idénticos y en otros

que se producen diferencias mayores se debe

principalmente a no trabajar con la misma norma, o a no utilizar los mismos procedimientos y/o 131

consideraciones de diseño, lo cual en ningún caso significa un error sino solamente diferencias de cálculo por los motivos ya explicados. Tomando en cuenta los puntos antes expuestos se puede decir que el sitio web desarrollado en el marco de esta tesis logra un considerable ahorro de tiempo reduce las posibilidades de cometer errores de cálculo, realiza cálculos más efectivos y se presenta como una herramienta potencialmente útil en la labor de un ingeniero calculista que requiera éste tipo de diseños.

132

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2008.

Unidad

2

Raíces

de

ecuaciones.

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FLASH UPLOADER. (Disponible en: http://don.citarella.net/actionscript-examples/flashfile-

uploader/. Descargado el: 17 de Enero de 2010).

FPDF. Fpdf Library PDF Generator. (Disponible en: http://www.fpdf.org/. Descargado el: 08 de Septiembre de 2007). PHP-ExcelReader. PHP Library for read Excel files. (Disponible en: http://phpexcelreader.sourceforge.net/. Descargado el: 14 de Junio de 2007).

134

ANEXOS

135

Anexo A Diagramas de Flujo: Descripción de los procesos.

A.1

INGRESO DE DATOS MEDIANTE ARCHIVO.

Figura A.1.1: Diagrama de flujo ingreso de datos mediante archivos. INICIO j=0 2

j=j+1 No

i≤Largo _tabla_pilares-1

Si

Solicitación=MODAL No

Si Si

Si Elemento[j]=Elemento[i]

Solicitación=MODAL

No

No

j=j+1, k=1, L=1 Elemento[j]=Elemento[i] Solicitacion[j-1][k]=Solicitacion[i][k] Pu[j-1][k]=Pu[i]

No Elemento[j]=Elemento[i] Si

j=j+1 Elemento[j]=Elemento[i]

Solicitacion[j-1][k]=Solicitacion[i][k] No

2

Tipo elemento=Pilar Circular

No

No

Si

Si

Solicitacion[j1][k]=Solicitacion[i][k] Pu[j-1][k]=Pu[i] No

Si k=1, L=1 Solicitacion[j-1][k]=Solicitacion[i][k] Pu[j-1][k]=Pu[i] Mu[j-1][k]=M

L=1, k=k+1 Solicitacion[j-1][k]=Solicitacion[i] Pu[j-1][k]=Pu[i]

M

V



V

1

[ i ]

2

 V

2

[ i ]



M

1

[i]2



M



V

2

V



V

1

[

i

]

2

No

L=L+1 L=1, k=k+1 Solicitacion[j-1][k]=Solicitacion[i] Pu[j-1][k]=Pu[i]

[i]2 M

2 2

Si

[

i

]



2

V

Si



M 1 [ i ]

V 1 [ i

]

Mu[j-1][k]=M Vu[j-1][k]=V

M



M 1 [ i ]

V



V 1 [ i

Pu[j-1][k]=Pu[i] Si L=L+1

]

Mu[j-1][k]>M

Si

Mu[j-1][k]>M No No



N_Comb[j-1]=k N_Comb[j-1]=k i≤Largo _tabla

Si

2

No FIN

Fuente: Propia.

136

A.3

PROCEDIMIENTO DISEÑO DE MUROS. Figura A.1.3: Diagrama de flujo procedimiento cálculo de muros. INICIO No Pilar_Borde=No_Usar - Cálculo datos - Carga Axial Pilares - Supuesto Lp

Si

- Asi mínima - Análisis Carga Balanceada K=0, K_=0, i=0

- Cálculo datos - Asi mínima - Análisis Carga Balanceada

K_sup=k, K__sup=k_ i=i+1 - Cálculo de a - Cálculo Tensión Refuerzo - Verificar tensiones

Lp_sup=Lp Si

Tensiones=Verifica - Carga axial pilares - Tipo esfuerzo - Cálculo Datos - Refuerzo Carga Axial - Verificar Cuantía Límite

No - Deformación Fibra Extrema - Cálculo de ø - Verificar cuantía Máxima

Asi=Asp/n_lin_ref

No

Diseño_Armadura=Calcular_ Cuantia_necesaria

Ø=0

Si - Asi máximo - Análisis Carga Balanceada

Øsup=Ø i1_8=0

Diseño_Armadura=Usar_ Armadura_Mínima

K=0, K_=0, i1_3=0

- Supuesto forma falla - Análisis carga balanceada

- Área refuerzo flexión - Verificar cuantía límite

K_sup=k, K__sup=k_ I1_3=i1_3+1

K=0 K_=0

- Cálculo de a - Cálculo Tensión Refuerzo - Verificar tensiones

K_sup=k K__sup=k_ i1_8=i1_8+1

Tensiones=Verifica - Cálculo de a - Cálculo Tensión Refuerzo - Verificar tensiones Si

Tensiones=Verifica

No - Deformación Fibra Extrema - Cálculo de ø lØ-Øsupl≠0

Si

No - Deformación Fibra Extrema - Cálculo de ø - Verificar cuantía Máxima Refuerzo=Desconocido K=0, K_=0 Ø=0, i1_4=0 Øsup=Ø, i1_5=0

Si

i1_4=i1_4+1

No K_sup=k, K__sup=k_ i1_5=i1_5+1

Cálculo de Lp No lLp-Lpsupl≠0

Si

- Cálculo de a - Cálculo Tensión Refuerzo - Verificar tensiones Tensiones=Verifica

Si

No - Deformación Fibra Extrema - Cálculo de ø lØ-Øsupl ≠0

Si

No - Área refuerzo flexión - Verificar cuantía límite Refuerzo Corte FIN

Fuente: Propia. 138

A.4

PROCEDIMIENTO DISEÑO DE PILARES CIRCULARES. Figura A.1.4: Diagrama de flujo procedimiento cálculo de pilares circulares. INICIO - Cálculo Datos - Asi mínima - Análisis Carga Balanceada K=0, K_=0 i30_2=0 K_sup=k, K__sup=k_ i30_2=i30_2+1 - Cálculo de a - Cálculo Tensión Refuerzo - Verificar tensiones Si

Tensiones=Verifica No - Deformación Fibra Extrema - Cálculo de ø - Verificar cuantía Máxima

No Diseño_Armadura=Calcular_Cuantia_necesaria Si - Asi máxima - Análisis Carga Balanceada

Diseño_Armadura=Usar_Armadura_Mínima

K=0, K_=0 i1_3=0

- Área refuerzo flexión - Verificar cuantía límite

K_sup=k, K__sup=k_ I1_3=i1_3+1 - Cálculo de a - Cálculo Tensión Refuerzo - Verificar tensiones Si

Tensiones=Verifica No - Deformación Fibra Extrema - Cálculo de ø - Verificar cuantía Máxima Refuerzo=Desconocido K=0, K_=0 Ø=0, i1_4=0 Øsup=Ø

i1_4=i1_4+1 i1_5=0 K_sup=k, K__sup=k_ i1_5=i1_5+1 - Cálculo de a - Cálculo Tensión Refuerzo - Verificar tensiones Si Tensiones=Verifica No - Deformación Fibra Extrema - Cálculo de ø lØ-Øsupl≠0

Si

No - Área refuerzo flexión - Verificar cuantía límite Refuerzo Corte FIN

Fuente: Propia. 139

A.6

PROCEDIMIENTO VERIFICAR TENSIONES.

Figura A.1.6: Diagrama de flujo procedimiento verificar tensiones y contador de líneas de refuerzo en flue ncia. k=-1 i=0 Si i=i+1 k=k+1

fs[i]≥fy y i≤n No i=n+1 Si j=-1 K=k-1 Si

No

j=j+1 k=k+1

fs’[n-j]≤ -fy y j
No k’=-1 i=0 Si i=i+1 k’=k’+1

Fs’[i]≥fy y i≤n No i=n+1 Si j=-1 k’=k’-1 Si j=j+1 k’=k’+1

fs[n-j]≤ -fy y j
No

Tensión=Verifica

Si

K=ksup y k’=k’sup

No

Tensión=No Verifica

FIN

Fuente: Propia.

141

Anexo B Desarrollo manual de los procedimientos de cálculo implementados.

B.1

EJEMPLO DISEÑO MANUAL DE UN MURO. A modo de ejemplo se resuelve en forma manual el diseño de refuerzos para un muro con

las siguientes características: P u

M u V u

Tonf m 

4200

kgf / cm2


kgf / cm2


E c



210000

E s



2100000

bw



cm

15

(Momento sobre el muro en sentido longitudinal) (Cortante sobre el muro en sentido longitudinal)

ton

250





58

26



f c' f y



(Carga axial sobre el muro)

Tonf

35



kgf / cm2 kgf / cm2

(Elasticidad del hormigón) (Elasticidad del acero) (Ancho del muro)

l w  250

cm

(Largo del muro)

hw

cm

(Alto del muro)

r





220

3

cm

n3 d '1



3

(Recubrimiento más radio del refuerzo) (Cantidad de líneas de refuerzo)

cm

(Distancia línea de refuerzo 1 a extremo del muro)

142

d '1  13 cm


d '1  23 cm


- Considerar cargas en condiciones sísmicas. El desarrollo de éste ejemplo se hará usando los procedimientos implementados en la creación del sitio web, este puede ser algo extenso para un cálculo a mano por lo que solo se presentarán las ecuaciones y procedimiento a utilizar acompañado de los resultados obtenidos realizando el cálculo manual, los que pueden variar en algo al comparar con los resultados que entrega el sitio ya que este trabaja con números de varios decimales y al calcular a mano las diferencias se van acumulando de forma significativa.

B.1.1

Diseño de refuerzo a flexo-compresión.

Condición Pilar de Borde:  1 

 2



P u bwl w P u bwl w





6 M u 2

bwl w 6 M u 2

bwl w

 46.5 kgf / cm2

27.8 kgf / cm

(2.62 a)

2

(2.62 b)

 

La condición 0.2f’ c equivale a 50 kgf/cm2 por lo cual este muro no requiere usar pilar de borde.

Datos necesarios para el cálculo:

d 1



d 2

cm

247



237

cm

d 3



227

cm

El procedimiento de diseño primero verifica si las cargas pueden ser resistidas por la cuantía mínima que exige el ACI 318-05, por lo cual el área de refuerzo se asume como el 1% de la sección bruta de la sección del muro. A s



0.01 bw l w 





37.5

2

cm

Cada línea de refuerzo debe llevar un área de A s /2n. A s1



0.01 bw l w 





37.5

2

cm

Para verificar si el refuerzo resiste las solicitaciones, se calcula las cargas que puede resistir la sección con esta área de refuerzo considerando la misma excentricidad de las solicitaciones, 143

esto es importante ya que solo se puede comparar usando la misma excentricidad, de otro modo no tiene sentido hace una comparación entre las cargas resistentes y las solicitantes. e

M u





165.7

cm

P u

Otros datos importantes de señalar son los factores de reducción que exige el ACI 318-05:  



t



0.65

(Factor de reducción de resistencia a compresión)

0.9

(Factor de reducción de resistencia a tracción)



c

ct

(Factor de reducción de resistencia a cortante)

0.75



Por último:  1

(Factor de relación entre profundidad del eje neutro y profundidad

0.85



de bloque equivalente de esfuerzos)  y



f y E s



0.002

(Deformación unitaria de fluencia del acero)

Análisis de carga balanceada: Profundidad equivalente para el estado de balance. ab 

cb

0,003 E s

ab 

 1 d 1  125.97 cm

0,003 E s  f y

 1



148.2 cm

Deformación unitaria para cada línea de refuerzo.  ' sbi  0.003

 ' sb1



ab   d 'i 

0.0029

1

ab

 sbi  0.003

 sb 2

 ' sb3

 sb3

0.0025

ab

 sb1  0.002

 ' sb 2  0.0027 

 1d i  ab 





0.0018

0.0016

Tensión del refuerzo por cada línea, hay que considerar que ésta no puede ser mayor que f y. 144

f ' sbi



f ' sb1



0.003 E s

ab

 1d 'i  ab



f sbi  0.003 E s

4200

kgf / cm2

f sb1

1

ab

kgf / cm2

4200



 d i  ab 

f ' sb 2



4200

kgf / cm2

f sb 2



3773.7

kgf / cm2

f ' sb3



4200

kgf / cm2

f sb3



3349.5

kgf / cm2

Para el cálculo de la carga axial de balance se deben desarrollar las sumatorias de tensiones considerando que en las líneas de refuerzo que se encuentren a compresión, se debe descontar el esfuerzo del hormigón desplazado por las barras de acero. El alto de la sección, h, corresponde al largo del muro. S 1 

n

 f '

sbi

 11962.5 kgf / cm

S 2 

2

i 1

S 3 

 f '

sbi

i 1

n

 f

sbi

 7123.2 kgf / cm

S 5 

2

n

 f

sbi

i 2

i 2

  

'

 h    d 'i   1339800 kgf / cm  2 

 h    d 'i   764303.4 kgf / cm  2 

 h    S f d    '  y y i   2       412132.3 kgf h     e S  S  f y   S  S  f y   d 'i    2   

0.85 f c  MA

P b 

n

S  S  f   A   S 1

1

3

3

2

2

4

4

Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos: Supuesto inicial; ninguna de las barras llega al estado de fluencia, así k’ =0 y k =0. K 0  0.425 f c' b  1593.8 kgf / cm

 

K 1  0.85 f c' b  e 

x1

(3.27 a)

h 

  129776.8 kgf

(3.27 b)

2 

  2n  k 'k   min n, k  entero    3 2   

 2n  k 'k  4 2  

 2n  k 'k    3 2  



 2n  k 'k  4 2  

x'2  k '1  entero 

x2  k  1  entero 

S 1  A si  f y  0.85 f 'c 



x'1  min n, k 'entero 

   e  2  d '    0 0

h

i

i 1

145



3

S 2.1  A si 0.003 E s  0.85 f 'c 



h

  e  2  d '   6130983.8 i

kgf  cm

i 1

S 2.2  0.003 E s A si



3



h

  e  2  d '   0 i

i 4



3



h

  e  2  d '   0

S 3  f y A si

i

i 7

S 4  A si  f y  0.85 f 'c 



3



h

  e  2  d '   0 i

i 7

S 5.1  A si 0.003 E s  0.85 f 'c 

S 5.2 0.003 E s A si



3

 h   e   d 'i   0  2  i 4  3



h

  e  2  d '   0 i

i 1



0

S 6  f y A si



h

  e  2  d '   0 i

i 1

K 2



S 1  S 2.1  S 2.2  S 3  S 4  S 5.1  S 5.2  S 6

S 7.1  A si

 d '   e  2  d '    14342.9 3

h

i

i

 38935985.5

kgf  cm

(3.27 c)

cm4

i 1

S 7.2  A si

3



d 'i  e 

 

h



h

i 4

3

S 8.1  A si

  d 'i   0 2  

 d '  e  2  d '   0 i

i

i 4



3

S 8.2  A si



h

 d  e  2  d '   1235342.9 i

i

cm4

i 4

K 3  0.003 E s  1 S 7.1  S 7.2  S 8.1  S 8.2   6692067355.2 kgf  cm2

(3.27 d)

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación cúbica: 1593.8a

3

 129776.8a

2

 38935985.5a  6692067355.2 

0

(3.26)

La única solución real de este polinomio es: a



99.2

cm

146

En este caso no hay otra alternativa que escoger esta solución ya que las demás son imaginarias, por lo que el cálculo de la carga axial de balance se hace innecesario como medio de comparación para discriminar las posibles soluciones. c

a

 1

cm

 116.7

Tensiones en cada línea de refuerzo: Hay que considerar que ésta no puede ser mayor que f y. f ' si  0.003 E s

f ' s1



c  d 'i 

f si  0.003 E s

c

4200

kgf / cm2

f s1



d i  c  c

4200

kgf / cm2

f ' s 2



4200

kgf / cm2

f s 2



4200

kgf / cm2

f ' s 3



4200

kgf / cm2

f s 3



4200

kgf / cm2

Como se observa, desde las líneas superiores de refuerzo fluyen 3 líneas de refuerzo, lo que significa que k’ =3, mientras que desde las líneas inferiores también fluyen 3 líneas, o sea k =3. En vista de que los valores de k’ y k cambiaron en comparación al supuesto anterior, se debe realizar

una nueva iteración considerando como supuesto estos nuevos valores.

Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos (segunda iteración): Supuesto; k’ =3 y k =3.

S 1



x1



3

x'1

x2



4

x'2

4015983.2

kgf cm 





3

4

S 2.1



0

S 3  0

S 4



0

S 5.2  0

S 6



21870001.1

K 2



S 1  S 2.1  S 2.2  S 3  S 4  S 5.1  S 5.2  S 6

S 7.2



0

S 8.1  0

S 8.2



0



0

S 5.1



0

kgf cm

 17854017.9

S 7.1  0

S 2.2



kgf  cm

(3.27 c)

147

K 3



0

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación cúbica: 1593.8a

3

(3.26)

a 2 17854017.9a  0

 129776.8

Este polinomio tiene tres soluciones reales, una nula, una negativa y: a

72.7



cm

Nuevamente existe solo una solución posible a éste análisis.. c

a  1

 85.5

cm

Tensiones en cada línea de refuerzo: Hay que considerar que ésta no puede ser mayor que f y. f ' si  0.003 E s

f ' s1



c  d 'i 

f si  0.003 E s

c

4200

kgf / cm2

f s1



d i  c  c

4200

kgf / cm2

f ' s 2



4200

kgf / cm2

f s 2



4200

kgf / cm2

f ' s 3



4200

kgf / cm2

f s 3



4200

kgf / cm2

Nuevamente resulta que todas las líneas de refuerzo trabajan a fluencia, es decir k’ =3 y k =3, como esta vez los valores k’ y k resultaron ser igual a los supuestos significa que se ha encontrado la profundidad equivalente de esfuerzos a la que está el muro bajo la excentricidad de las cargas solicitantes.

Deformación de refuerzo extremo y factor de reducción:

d

 t



0.003





0.0057

t



i

c



c





0.005

0.0057



  0.9

Cargas resistentes: En función a lo antes calculado ahora se evalúa la carga axial y momento que puede resistir la sección armada con la cuantía de refuerzo mínima y la excentricidad las cargas de diseño. S 1 

3

 A f  78750 si si

kgf

i 1

148

3

S 2 

 A f ' si

si

 74765.6 kgf

i 1

 h

3



 A f  2  d '   8820000

S 3 

si si

i

kgf  cm

i 1

3

S 4 

 A f ' si

si

i 1

 h    d 'i   8373750 kgf  cm  2 

(*) Recordar que en las líneas de refuerzo a compresión se debe descontar el esfuerzo del hormigón desplazado por las barras de refuerzo, esto se puede ver comparando si c es mayor a d’ i o d i dependiendo si se está calculando en las líneas de refuerzo superior o inferior respectivamente.

P u min



 0.85 f 'c a  b  S 2

 



S 1   204943.5

kgf

 

1

M u min   0.85 f 'c a bh  a   S 3  S 4   33961552 .3 2 P u min

 P u

B.1.2



M u min

 M u

Usar A si





6.25

kgf  cm

2

cm

Diseño de refuerzo a corte. Se diseña el refuerzo de corte horizontal y vertical que va distribuido a lo largo y alto del

muro con el fin de resistir las solicitaciones de corte.

Condición solicitaciones sísmicas: Las cargas de diseño del muro consideran esfuerzos sísmicos por lo que se debe verificar lo siguiente: V u  ct

 34666.7 kgf 

M u  hw

 29292.9 kgf

Dado que se cumple esta condición, el factor de reducción de resistencia al corte seguirá siendo 0.75, de caso contrario debería haberse reducido a 0.6.

Resistencia a corte del hormigón: El centroide de esfuerzos de las barras a tracción se calcula considerando que en este ejemplo las líneas de refuerzo inferior están todas trabajando a tensión. n

 A si d i d 

i 1 n

 237

cm

 A si i 1

M u V u



w

2

 98.1 cm  0

Ya que esta condición no cumple la resistencia a corte del muro proporcionada por el hormigón se calcula como: 149

V c 

1 4

f c' h  d 

N u d 4 w

 521507 N

Espaciamiento: Bajo cargas sísmicas el espaciamiento no debe exceder de 450 mm tanto en el refuerzo de corte horizontal como vertical. Para este ejemplo se asume ese espaciamiento, pero se debe tomar en cuenta que bajo la normativa chilena este el espaciamiento S 1 no debe exceder de 20 cm.

Resistencia refuerzo corte: Este debe absorber los esfuerzos de corte nominal que superan a la resistencia proporcionada por el hormigón.  V   max   V , 0   0    u

V s

c

ct

Refuerzo horizontal: Ah



Ah bw S 1 Ah

S 1V s f y d



0

 0  0.0025   h  0.0025

 0.0025 bw S 1  1.69

cm2

Corte nominal máximo: hw l w V u  ct

 0.88  1.5   c  0.25

 340080.3 N  l wbw  c f 'c   h f y   850544.3 N  VERIFICA

Refuerzo horizontal: V u

 255060

Av



B.2

N  l wbw

0.0015 bw S 2



f 'c

 154758.5

12

N 

 h  0.0015

2

1.01 cm

EJEMPLO DISEÑO MANUAL DE UN PILAR CIRCULAR. A modo de ejemplo se resuelve en forma manual el diseño de refuerzos para un pilar

circular con las siguientes características: P u 172332 

kgf

(Carga axial sobre el pilar) 150

M u



5049329

V u 25247 '

f y





250



(Momento sobre el pilar) (Cortante sobre el pilar)

kgf



f c

kgf cm

2

kgf / cm


kgf / cm2


4200

E c  210000

kgf / cm2

(Elasticidad del hormigón)

E s  2100000 kgf / cm2 (Elasticidad del acero) D  55 cm

(Diámetro del pilar)

h  200 cm

(Alto del pilar)

d pc

(Recubrimiento más radio del refuerzo)



5

cm

n  16

(Cantidad de líneas de refuerzo)

- Considerar cargas en condiciones sísmicas. - Usar estribos. El desarrollo de éste ejemplo se hará usando los procedimientos implementados en el desarrollo del sitio web, este puede ser algo extenso para un cálculo a mano por lo que solo se presentarán las ecuaciones y procedimiento a utilizar acompañado de los resultados obtenidos realizando el cálculo manual, los que pueden variar en algo al comparar con los resultados que entrega el sitio ya que este trabaja con números de varios decimales y al calcular a mano las diferencias se van acumulando de forma significativa.

B.2.1

Diseño de refuerzo a flexo-compresión.

B.2.1.1

Verificar cuantía mínima.

Cálculo de datos: Se diseña el refuerzo longitudinal con una distribución circular a una distancia d pc del borde del pilar, por lo cual se debe calcular la posición de las líneas de refuerzo y la

cantidad de barras de refuerzo en cada línea. N  2  16  2   1.5  5 0  n 4  4 

resto

151



 

d i ' d pc  0.5 D  d pc 1  cos 2



d 1 ' 5

d 2 '



d 3 '



11.6

d 4 '



18.9



(3.4)

n  

d 1

cm



i  1  

cm

50



d 2



cm

d 3

cm

d 5 '  27.5 cm

6.7

cm

48.3

cm



43.4

cm

d 4



36.1

cm

d 5



27.5

cm

A g  2375.8 cm2

Se verifica primero si la sección resiste las solicitaciones con la cuantía de refuerzo mínima, para lo cual se calcula el área de acero por cada línea. A s



A s1  1.485

0.01 A g



2

cm

23.76

cm2

A s 2  A s 3  A s 4  2.97 cm2

A s 5

 1.485

cm2

Para verificar si el refuerzo resiste las solicitaciones, se calcula las cargas que puede resistir la sección con esta área de refuerzo considerando la misma excentricidad de las solicitaciones, esto es importante ya que solo se puede comparar usando la misma excentricidad, de otro modo no tiene sentido hace una comparación entre las cargas resistentes y las solicitantes. e

M u P u

 29.3 cm

Otros datos importantes de señalar son los factores de reducción que exige el ACI 318-05:  c  t

0.65

(Factor de reducción de resistencia a compresión)

0.9

(Factor de reducción de resistencia a tracción)





 ct



0.75

(Factor de reducción de resistencia a cortante)

Por último:  1



0.85

(Factor de relación entre profundidad del eje neutro y profundidad de bloque equivalente de esfuerzos)

 y



f y E s



0.002

(Deformación unitaria de fluencia del acero)

152

Análisis de carga balanceada: Profundidad equivalente para el estado de balance. ab 

cb



0,003 E s

 1 d 1  25.5 cm

0,003 E s  f y ab



 1

30 cm

Deformación unitaria para cada línea de refuerzo.  ' sbi  0.003  ' sb1



ab   1d 'i 

 sbi  0.003

ab

0.0025

 sb1



 d i  ab 



0.0023

 sb2

 ' sb3



0.0018

 sb3



0.0013

 ' sb 4



0.0011

 sb4



0.0006

 sb5



0.0003

 ' sb5  0.00025

ab

0.002

 ' sb 2



1

0.0018

Tensión del refuerzo por cada línea, hay que considerar que ésta no puede ser mayor que f y.

ab   1d 'i 

f ' sbi  0.003 E s

ab

f sbi



0.003 E s

f ' sb1  4200

kgf / cm2

f sb1



4200

f ' sb2  4200

kgf / cm2

f sb2



3840.9

 d i 1



ab 

ab

kgf / cm2 kgf / cm2

f ' sb 3  3866.1 kgf / cm2

f sb3  2816.1 kgf / cm2

f ' sb4  2333.1 kgf / cm2

f sb4



f ' sb 5  525 kgf / cm2

f sb5

 

A 

MA

D2 4 2 

3

1283.1

525

kgf / cm2 kgf / cm2

 0.5 D  ab  2   0.5 D  ab  ab  D  ab   1078 cm  0.5 D 

arccos 



ab D



ab



ab ( D



ab )



13754.7

3

cm

(3.17)

(3.18)

Para el cálculo de la carga axial de balance se deben desarrollar las sumatorias de tensiones considerando que en las líneas de refuerzo que se encuentren a compresión, se debe descontar el 153

esfuerzo del hormigón desplazado por las barras de acero. El alto de la sección, h, corresponde al diámetro del pilar circular. Otro punto importante es la cantidad de barras en cada línea de refuerzo de un pilar circular, para este ejemplo la primera línea tiene una barra, la segunda, tercera y cuarta 2 barras y la quinta se considera que tiene una barra ya que se cuenta una barra para las líneas superiores de refuerzo y una para las líneas inferiores. Estos valores siempre deben multiplicar a los términos de las sumatorias como se muestra en seguida. 5

S 1   pi f ' sbi  1  4200  0.85  250  2  4200  0.85  250  2  3866.1  0.85  250 i 1

 2  2333.1  0.85  250  1  525  0.85  250  23823.4

 h   55   55            d ' 1  4200 0 . 85 250  5 2  4200 0 . 85 250        6.7  sbi i  2   2   2   55   55   2  3866.1  0.85  250  11.6   2  2333.1  0.85  250   18.9   2   2   55   1  525  0.85  250  27.5   408277.334 kgf / cm  2 

5

S 2 

kgf / cm2

 p f ' i

i 1

5

S 3   pi f sbi  2  3840.9  2  2816.1  2 1283.1  1   525  0.85  250 i 2

 15142.7

kgf / cm2

 h   55   55    d 'i   2  3840.9  6.7   2  2816.1  11.6   2   2   2  i 2  55   55   2  1283.1  18.9   1   525  0.85  250  27.5   271392.5 kgf / cm  2   2 

S 4 

5

 p f

i sbi

  

 h    S f d    '  y y i    2      255486.3 kgf   h   e S  S  f y   S  S  f y   d 'i    2   

0.85 f c  MA '

P b 

1

S  S  f   A   S 1

3

3

2

2

4

4

Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos: Supuesto inicial; ninguna de las barras llega al estado de fluencia, así k’ =0 y k =0. x1

  2n  k 'k   min n, k  entero   5 2   

 2n  k 'k  6 2  

x2  k  1  entero 



 2n  k 'k    5 2  

x '1  min n, k 'entero 



 2n  k 'k  6 2  

x'2  k '1  entero

154

S 1   f y  0.85 f 'c 



0



h

 A  e  2  d '   0 si

i

i 1



5



h

 A  e  2  d '   1096319.6

S 2.1  0.003 E s  0.85 f 'c 

si

i

kgf  cm

i 1



5



h

 A  e  2  d '   0

S 2.2  0.003 E s

si

i

i 4



5

S 3  f y



h

 A  e  2  d '   0 si

i

i 11

S 4   f y  0.85 f 'c 

5



 

A si  e 

i 11

  d 'i   0 2 

h



5



h

 A  e  2  d '   0

S 5.1  0.003 E s  0.85 f 'c 

si

i

i 6



5

S 5.2  0.003 E s



h

 A  e  2  d '   3250948.5 si

i

kgf  cm

i 1



0

S 6  f y



h

 A  e  2  d '   0 si

i

i 1

K 2



S 1  S 2.1  S 2.2  S 3  S 4  S 5.1  S 5.2  S 6



5

S 7.1 



h

 A d '  e  2  d '   3038.2 si

i

i



4347268.1

kgf  cm

(3.27 c)

cm4

i 1



5

S 7.2 



h

 A d '  e  2  d '   0 si

i

i

i 6



5

S 8.1 



h

 A d '  e  2  d '   0 si

i

i

i 6



5

S 8.2 



h

 A d  e  2  d '   22119.3 si

i

i

cm4

i 6

K 3  0.003 E s  1 S 7.1  S 7.2  S 8.1  S 8.2   134718329.9 kgf  cm2

(3.27 d)

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación: 

  2  27.5  a    27.5  a  a55  a    a55  a  a55  a    27.5    3    4347268.1 a  134718329.9  0 

212.5a 29.3756.25 arccos 

155

La única solución real de esta ecuación es: a

20.3



cm

En este caso esta es la única solución, por lo que el cálculo de la carga axial de balance se hace innecesario como medio de comparación para discriminar las posibles soluciones. c

a

 23.8

 1

cm

Tensiones en cada línea de refuerzo: Hay que considerar que ésta no puede ser mayor que f y. f ' si

0.003 E s



c



d 'i 

c

f si





f ' s1  4200

kgf / cm2

f s1

f ' s 2  4200

kgf / cm2

f s 2

f ' s 3  3237

kgf / cm2

0.003 E s

4200

kgf / cm2

f s 3



4200

kgf / cm2



3243.2

967.7

kgf / cm2

f s 5



967.7

 

c



f s 4

f ' s 5

c

kgf / cm2

kgf / cm2





4200

1307.7

f ' s 4

d i

kgf / cm2 kgf / cm2

Como se observa, desde las líneas superiores de refuerzo fluyen 2 líneas de refuerzo, lo que significa que k’ =2, mientras que desde las líneas inferiores fluyen 3 líneas, o sea k =3. En vista de que los valores de k’ y k cambiaron en comparación al supuesto anterior , se debe realizar una

nueva iteración considerando como supuesto estos nuevos valores.

Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos (segunda iteración): Supuesto; k’ =2 y k =3. x1

S 1  141062



5

x'1  4

x2  6

x'2

kgf  cm

S 2.1

K 2





983378.3

5



616117.3

kgf cm 

S 6

 1511713.5

S 1  S 2.1  S 2.2  S 3  S 4  S 5.1  S 5.2  S 6

S 7.1  1644 cm4

kgf cm 

S 4  0

S 3  0 S 5.2





S 2.2



274095.8

S 5.1



0

kgf cm 

kgf  cm 502940

S 7.2

kgf  cm

 1196.5

(3.27 c)

cm4

156

S 8.1

K 3



S 8.2

0

 43388035 .1



cm4

5261.9

kgf  cm2

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación: 

  2  27.5  a    27.5  a  a55  a    a55  a  a55  a    27.5   3 



212.5a 29.3756.25 arccos 

  502940 a  43388035.1  0 

a



c

18.4

a  1

cm

 21.6

cm




0.003 E s

c



d 'i 

c

f si





f ' s1  4200

kgf / cm2

f s1

f ' s 2  4200

kgf / cm2

f s 2

d i

0.003 E s



c

c

4200

kgf / cm2



4200

kgf / cm2

f s 3



4200

kgf / cm2

f ' s 4  790.4 kgf / cm2

f s 4



4200

kgf / cm2

f ' s 5  1720.8 kgf / cm2

f s 5



f ' s 3  2919.6

kgf / cm2

kgf / cm2

1720.8

Como se observa, desde las líneas superiores de refuerzo fluyen 2 líneas de refuerzo, lo que significa que k’ =2, mientras que desde las líneas inferiores fluyen 4 líneas, o sea k =4. En vista de que los valores de k’ y k cambiaron en comparación al supuesto anterior, se debe realizar una


Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos (tercera iteración): Supuesto; k’ =2 y k =4.

S 1  141062 S 3  0

x1  5

x'1  4

x2  7

x'2

kgf  cm

S 2.1

5



616117.3

S 4  0

kgf cm 

S 2.2



S 5.1



274095.8

kgf cm 

0

157

S 5.2 K 2



S 6



1984570.6

S 1  S 2.1  S 2.2  S 3  S 4  S 5.1  S 5.2  S 6

S 7.1

 1621.6

S 8.1



K 3

kgf  cm

274095.8



cm4

0

kgf cm 

 679199.6

kgf  cm

S 7.2



1196.5

cm4

S 8.2



1196.5

cm4

(3.27 c)

kgf  cm2

 21497509

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación: 



 27.5  a    27.5  a   27.5 

212.5a 29.3756.25 arccos 

  679199.6 a  21497509  0 

a



c

18.4

a  1



a



2

55    55   55    3 a

a

a



a

a



cm

 21.6

cm

Tensiones en cada línea de refuerzo: Hay que considerar que ésta no puede ser mayor que f y. f ' si  0.003 E s

c  d 'i  c

f si





f ' s1  4200

kgf / cm2

f s1

f ' s 2  4200

kgf / cm2

f s 2



f ' s 3  2917.5 kgf / cm2

f s 3



f ' s 4  787.1 kgf / cm2

f s 4



f ' s 5  1725.7

f s 5

kgf / cm2

0.003 E s

d i



c

c

4200

kgf / cm2

4200

kgf / cm2

4200

kgf / cm2

4200

kgf / cm2

 1725.7

kgf / cm2

Como se observa, desde las líneas superiores de refuerzo fluyen 2 líneas de refuerzo, lo que significa que k’ =2, mientras que desde las líneas inferiores fluyen 4 líneas, o sea k =4, como esta vez los valores k’ y k resultaron ser igual a los supuestos significa que se ha encontrado la profundidad equivalente de esfuerzos a la que está el pilar circular bajo la excentricidad de las cargas solicitantes.

Deformación de refuerzo extremo y factor de reducción:  t  0.003

d i  c  c

 0.0039

158

 t   y  0.0039  0.005    0.9  0.25

0.005  0.0039 0.005   y

 0.81

Cargas resistentes: En función a lo antes calculado ahora se evalúa la carga axial y momento que puede resistir la sección armada con la cuantía de refuerzo mínima y la excentricidad las cargas de diseño. 5

 A f

S 1 

si si

 46218.2 kgf

i 1

5

S 2 

 A f ' si

si

 24940.4 kgf

i 1

S 3

 h

5



 A f  2  d '   705453 si si

kgf  cm

i

i 1

5

S 4 

 A f ' si

si

i 1

 h    d 'i   521898.2 kgf  cm  2 

(*) Recordar que en las líneas de refuerzo a compresión se debe descontar el esfuerzo del hormigón desplazado por las barras de refuerzo, esto se puede ver comparando si c es mayor a d’ i o d i dependiendo si se está calculando en las líneas de refuerzo superior o inferior respectivamente,









   27.5  a    27.5  a  a55  a   S 2  S 1  27.5   

P u min   0.85 f 'c 756.25 arccos 

 102530.7 kgf



2 3

 



M u min   0.85 f 'c  a55  a  a55  a   S 3  S 4  3004212



P u min  P u

B.2.1.2

 M u min  M u 



kgf  cm


Verificar cuantía máxima. En vista que la cuantía mínima no es suficiente para resistir las solicitaciones, antes de

realizar el diseño se verifica si con la cuantía máxima es posible resistir dichas cargas.

Cálculo de datos: Bajo condiciones sísmicas la cuantía máxima que se puede usar es de 6%, para lo cual se calcula el área de acero por cada línea. A s



0.06 A g

A s1  8.9 cm2



142.5

cm2

A s 2  A s 3  A s 4  17,8 cm2

A s 5

 8.9

cm2

159

Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos: Supuesto; k’ =0 y k =0. 5

x'1

x2  6

x'2

x

1

S 1 S 3



K 2





5

6

0

S 2.1

0

S 4



0

S 6



0



S 5.2



kgf  cm

 19507115 .6





S 1  S 2.1  S 2.2  S 3  S 4  S 5.1  S 5.2  S 6

S 7.1



18230.4

S 8.1



0

cm4

K 3  808369043 .9

S 7.2



S 8.2



kgf cm

6578398 .7



 26085514.3

S 2.2



0

S 5.1



0

(3.27 c)

kgf  cm

0

cm4

132725.5

kgf  cm2

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación: 



 27.5  a    27.5  a  27 . 5      26085514 .3 a  808369043 .9  0 212.5a 29.3756.25 arccos

a



c

26.7

a  1



a



2

55    55   55   3 a

a

a



a

a



cm

 31.4 cm




0.003 E s

c



d 'i 

c

f si



0.003 E s

d i  c c

f ' s1  4200 kgf / cm2

f s1  3725.5 kgf / cm2

f ' s 2  4200 kgf / cm2

f s 2

f ' s 3  3976.1 kgf / cm2

f s 3  2404.1 kgf / cm2

f ' s 4  2512.4 kgf / cm2

f s 4



f ' s 5  786 kgf / cm2

f s 5

 786



3382.6

940.4

kgf / cm2

kgf / cm2 kgf / cm2 160

Como se observa, desde las líneas superiores de refuerzo fluyen 2 líneas de refuerzo, lo que significa que k’ =2, mientras que desde las líneas inferiores ninguna fluye, o sea k =0. En vista de que los valores de k’ y k cambiaron en comparación al supuesto anterior, se debe realizar una


Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos (segunda iteración): Supuesto; k’ =2 y k =0. x1

S 1  846434 S 3



S 5.2 K 2



4



5

x2  5

x'2  7

kgf  cm

S 2.1

0

kgf  cm

 17862418 .7



x'1



5286193 .9

S 4



0

S 6



0

S 1  S 2.1  S 2.2  S 3  S 4  S 5.1  S 5.2  S 6

S 7.1



S 8.1



16909.4

cm4 4

cm

7179.2

kgf cm

S 2.2



S 5.1





0

kgf cm

1589221

 25584267.6

S 7.2



0

S 8.2



125546.3



(3.27 c)

kgf  cm

cm4

K 3  801294864 kgf  cm2

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación: 



 27.5  a    27.5  a  27 . 5      25584267.6 a  801294864  0 212.5a 29.3756.25 arccos 

a

26.9



c

a  1



a



2

55    55   55   3 a

a

a



a

a



cm

 31.6 cm


c  d 'i 

f si



kgf / cm2

f s1



f ' s 2  4200 kgf / cm2

f s 2

f ' s1



4200

c



0.003 E s

d i



c

c

3665.2

kgf / cm2

3324.4

kgf / cm2

161

f ' s 3



3990.1

kgf / cm2

f s 3



2351.8

f ' s 4



2535.1

kgf / cm2

f s 4



896.9

f s5

 

f ' s 5  819.1 kgf / cm2

819.1

kgf / cm2 kgf / cm2 kgf / cm2

Como se observa, desde las líneas superiores de refuerzo fluyen 2 líneas de refuerzo, lo que significa que k’ =2, mientras que desde las líneas inferiores ninguna fluye, o sea k =0, como esta vez los valores k’ y k resultaron ser igual a los supuestos significa que se ha encontrado la profundidad equivalente de esfuerzos a la que está el pilar circular bajo la excentricidad de las cargas solicitantes.

Deformación de refuerzo extremo y factor de reducción:  t



0.003

d

i



c

c

 t  0.0017   y





0.0017

   0.65

Cargas resistentes: En función a lo antes calculado ahora se evalúa la carga axial y momento que puede resistir la sección armada con la cuantía de refuerzo mínima y la excentricidad las cargas de diseño. 5

S 1   A si f si  140596.7

kgf

i 1

5

S 2   A si f ' si  220696.8

kgf

i 1

 h

5

S 3 



 A f  2  d '   2770651.9 si si

i

kgf  cm

i 1

5

S 4 

 h   d 'i   3703897.5 kgf  cm si   2 

 A f ' si

i 1










   27.5  a    27.5  a  a55  a    S 2  S 1  27.5   

P u max   0.85 f 'c 756.25 arccos 

 211360.2 kgf

  2  M u max   0.85 f 'c  a55  a  a55  a   S 3  S 4  6121995.3 kgf  cm 3   

162

P u max

B.2.1.3



P u

M u max





M u




Cálculo de cuantía necesaria. Ya que la cuantía máxima sí resiste las cargas solicitantes, se puede diseñar para una

cuantía menor a esta, capaz de satisfacer la solicitación requerida.

Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos: Ahora se debe diseñar para un área de refuerzo A si desconocida bajo los siguientes supuestos iniciales: P u  c

 265126.2 kgf  P b  255486.3 kgf    0.65 k '



0

k

5

x'1

6

x'2



0

Además: x

1



x2



S 17   f y  0.85 f 'c 

0

p

i





5 6

0

i 1

5

S 18.1  0.003 E s  0.85 f 'c   pi  48700

kgf / cm2

i 1

S 18.2  0.003 E s

5

p

i

0

i 6

S 19  f y

5

p

i

0

i 11

S 20   f y  0.85 f 'c 

5

p

i

0

i 11

S 21.1  0.003 E s  0.85 f 'c 

5

p

i

0

i 6

5

S 21.2  0.003 E s  pi  50400

kgf / cm2

i 1

S 22  f y

0

p

i

0

i 1

  S 17  S 18.1  S 18.2  S 19  S 20  S 21.1  S 21.2  S 22  9910

kgf / cm2 163

S 23   f y  0.85 f 'c 

 h

0



 p  2  d '   0 i

i

i 1

 h

5

S 24.1  0.003 E s  0.85 f 'c 



 p  2  d '   688593.7 i

i

kgf / cm

i 1

S 24.2  0.003 E s

 h

5



 p  2  d '   0 i

i

i 6

S 25  f y

 h

5



 p  2  d '   0 i

i

i 11

 h   d 'i   0  2 

5



S 26   f y  0.85 f 'c 

pi 

i 11

 h

5

S 27.1  0.003 E s  0.85 f 'c 



 p  2  d '   0 i

i

i 6

S 27.2  0.003 E s

 p   2  d '    712630.8 5

h

i

i

kgf / cm

i 1

 h

0

S 28  f y



 p  2  d '   0 i

i

i 1

  S 23



S 24.1  S 24.2



S 25

 S 26 

S 27.1  S 27.2



S 28

 24037.2

kgf / cm

5

 p d  0

S 29.1  0.003 E s  1

i

i

i 6

5

 p d  1783857.6

S 29.2  0.003 E s  1

i

i

kgf / cm

i 1

5

S 30.1  0.003 E s  1

 p d ' i

i

 572363.8 kgf / cm

i 6

5

 p d '

S 30.2  0.003 E s  1

i

i

0

i 1

  S 29.1  S 29.2



S 30.1  S 30.2   2356221.4

 h

5

kgf / cm



 p d  2  d '   0

S 31.1  0.003 E s 

i

i

i

i 6

 h

5



 p d  2  d '   27502345.2

S 31.2  0.003 E s 

i

i

i

kgf

i 1

5



S 32.1  0.003 E s 

i 1

 h   d 'i   5813589.9 kgf  2 

pi d 'i 

164

 h

5



 p d '  2  d '   0

S 32.2  0.003 E s 

i

i

i

i 6

  S 31.1  S 31.2



S 32.1  S 32.2

 21688755 .3

kgf

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación:  P e  141.7a 55  a     u

a 55  a





 P



 

9910  a  2356221.4   

  27.5  a  756 . 25 arccos    27.5  a    27.5  

a 55  a



u

 212.5 



 24037.2  a  21688755 .3  0 

La única solución de esta ecuación es: a



25.4

cm

En este caso esta es la única solución, por lo que el cálculo de la carga axial de balance se hace innecesario como medio de comparación para discriminar las posibles soluciones. c

a  1

 29.9

cm


c  d 'i  c

f si





f ' s1  4200

kgf / cm2

f s1

f ' s 2  4200

kgf / cm2

f s 2

f ' s 3  3857.1 kgf / cm2 f ' s 4  2318.5

f ' s 5  503.7

kgf / cm2

kgf / cm2

0.003 E s

d i



c

c

kgf / cm2

4200

3878.2

kgf / cm2

f s 3  2849.7

kgf / cm2



f s 4



f s5

 

1311

kgf / cm2

503.7

kgf / cm2

Como se observa, desde las líneas superiores de refuerzo fluyen 2 líneas de refuerzo, lo que significa que k’ =2, mientras que desde las líneas inferiores solo una fluye, o sea k =1. En vista de que los valores de k’ y k cambiaron en comparación al supuesto anterior, se debe realizar una


Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos (segunda iteración): k '



2

x1  4

k



1

x'1  5 165

x2

S 17



5

x'2 2



11962.5 kgf / cm

S 18.1

S 19  0 S 21.2



37800

kgf / cm2

2



S 20



S 22



30437.5 kgf / cm

0



S 25



S 27.2

S 24.1

0

S 26



S 28



570880.8 kgf / cm

  S 23  S 24.1  S 24.2

S 18.2



0

S 21.1



6087.5 kgf / cm

2

2

255503.1 kgf / cm



6

4200kgf / cm

  S 17  S 18.1  S 18.2  S 19  S 20  S 21.1  S 21.2  S 22 S 23





 82087.5 kgf / cm

298531 kgf / cm

S 27.1

0

94599



147262.5 kgf / cm

S 29.2



S 30.1



473703.3 kgf / cm

S 30.2







0

0

kgf / cm

 S 25  S 26  S 27.1  S 27.2 

S 29.1

S 24.2

2

S 28

kgf / cm

 77653.3

1368845.1kgf / cm

0

  S 29.1  S 29.2  S 30.1  S 30.2   1989810.9 kgf / cm S 31.1 S 32.2





S 31.2

0



21477970 .2 kgf

S 32.1



3716796.3 kgf

0

  S 31.1  S 31.2  S 32.1  S 32.2

 17761174

kgf

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación:  P u e  141.7a 55  a    

a



 P u



 

55  a 82087.5  a  1989810.9   

  27.5  a  756 . 25 arccos    27.5  a   27 . 5   

a

 212.5 



55  a  77653.3  a  17761174   0 




c

25.8

a  1

cm

 30.4 cm

Tensiones en cada línea de refuerzo: Hay que considerar que ésta no puede ser mayor que f y.

166

f ' si

0.003 E s



c



d 'i 

c

f si





f ' s1  4200

kgf / cm2

f s1

f ' s 2  4200

kgf / cm2

f s 2

f ' s 3  3897.9 kgf / cm2

0.003 E s

c

c kgf / cm2

3708.3

kgf / cm2

f s 3  2696.9

kgf / cm2

1183.9

kgf / cm2

600.5

kgf / cm2



kgf / cm2

f s 4



f ' s 5

kgf / cm2

f s 5

 

600.5



4062.7

f ' s 4  2385 

d i

Como se observa, desde las líneas superiores de refuerzo fluyen 2 líneas de refuerzo, lo que significa que k’ =2, mientras que desde las líneas inferiores ninguna fluye, o sea k =0. En vista de que los valores de k’ y k cambiaron en comparación al supuesto anterior, se debe realizar una


Cálculo de profundidad equivalente de esfuerzos (tercera iteración): k '

x1 x2



2

k

4

x'1

5

x'2





S 17  11962.5 kgf / cm2

S 18.1

S 19

S 20



0

S 22



0



S 21.2

0



44100 kgf / cm2







2



0

30437.5 kgf / cm

5 7

S 18.2



S 21.1



0

2

6087.5 kgf / cm

  S 17  S 18.1  S 18.2  S 19  S 20  S 21.1  S 21.2  S 22  92587.5 kgf / cm2 S 23



255503.1 kgf / cm

S 24.1

S 25



0

S 26



0

S 28



0

S 27.2  



712630.8 kgf / cm

S 23  S 24.1  S 24.2





298531 kgf / cm

S 25  S 26  S 27.1  S 27.2

S 27.1



S 28

147262.5 kgf / cm

S 29.2

 1636595.1

S 30.1  473703.3 kgf / cm

S 30.2



S 29.1



S 24.2

 158596.8





0

0

kgf / cm

kgf / cm

0

  S 29.1  S 29.2  S 30.1  S 30.2   2257560.9 kgf / cm

167

S 31.1



S 31.2

0



27502345.2

kgf

S 31.1



3716796 .3 kgf

S 32.2  0

  S 31.1  S 31.2



S 32.1  S 32.2



23785549 kgf

La profundidad equivalente de esfuerzos se encuentra resolviendo la ecuación:  P e  141.7a 55  a     u

a 55  a





 P



 

92587.5  a  2257560 .9   

  27.5  a  756 . 25 arccos    27.5  a   27 . 5   

a 55  a



 212.5 

u



 158596.8  a  23785549   0 




c

25.8

a  1

cm

 30.4 cm


c  d 'i  c

f si





f ' s1  4200

kgf / cm2

f s1

f ' s 2  4200

kgf / cm2

f s 2



f ' s 3  3895.2

kgf / cm2

f s 3



f ' s 4  2380.5

kgf / cm2

f s 4



f ' s 5  594 kgf / cm2

f s 5

0.003 E s

d i



c

c

4074.5

kgf / cm2

3719.7

kgf / cm2

2707.1

kgf / cm2

1192.4

kgf / cm2

 594

kgf / cm2

Como se observa, desde las líneas superiores de refuerzo fluyen 2 líneas de refuerzo, lo que significa que k’ =2, mientras que desde las líneas inferiores ninguna fluye, o sea k =0, como esta vez los valores k’ y k resultaron ser igual a los supuestos significa que se ha encontrado la profundidad equivalente de esfuerzos a la que está el pilar circular bajo la excentricidad de las cargas solicitantes.

Deformación de refuerzo extremo y factor de reducción:  t  0.003

d i  c  c

 0.0019

168

 t  0.0019   y

   0.65

Cálculo de área de refuerzo: En función a lo antes calculado ahora se calcula el área de refuerzo que el pilar deberá llevar para resistir las solicitaciones de diseño. S 1 

5

 p f

i si

 18506.4 kgf / cm2

i 1

S 2 

5

 p f ' i

 24045.5 kgf / cm2

si

i 1

S 3 

5

 p  f ' i

si

i 1

S 4 



5

 h   f si   d 'i   763018.3 kgf / cm2  2  

h

 p f  e  2  d '   895234.6 i si

i

kgf / cm

i 1

5

S 5 

 p f ' i

si

i 1

 h   e   d 'i   294512.9 kgf / cm  2 


 2     27.5  a    27.5  a  a 55  a    a55  a  a55  a   29.3756.25 arccos 3   27.5    A s  0.85 f 'c  S  S 1

5

 6.47 cm

4

2

El valor de A s1 se escoge del mayor calculado entre las ecuaciones 3.66 a, 3.66 b y 3.67, en este caso la mayor se obtiene de 3.67. A s



nA s1

 103.6

2

cm



  0.044

Usar 16 barras de 32 mm de diámetro.

B.2.2

Diseño de refuerzo a corte. Se diseña el refuerzo de corte transversal que va distribuido a lo alto del pilar con el fin de

resistir las solicitaciones de corte.

Condición solicitaciones sísmicas: Las cargas de diseño del pilar consideran esfuerzos sísmicos por lo que se debe verificar lo siguiente: 169

V u  ct

 229776 kgf 

M u  h p

 38841 kgf

Dado que se cumple esta condición, el factor de reducción de resistencia al corte seguirá siendo 0.75, de caso contrario debería haberse reducido a 0.6.

Resistencia a corte del hormigón: Según 11.3.3 de ACI 318-05 para elementos circulares se puede calcular el área para V c como el producto del diámetro por d que se puede considerar como 0.8 veces el mismo diámetro.  N u  f c'  V c  1   14 A  6 g  

0.8 D

2

 200804 N

Resistencia refuerzo corte: Este debe absorber los esfuerzos de corte nominal que superan a la resistencia proporcionada por el hormigón.  V u

  V c , 0   13193.3 kgf   ct 

V s  max 

Refuerzo corte máximo: V s

 129426.7 N 

2

f 'c 0.8 D2

3

 798966.6 N



VERIFICA

Espaciamiento: V s  129426.7 N 

f 'c 3

2

0.8 D  399483.3 N 

S  min 0.4 D,600 mm  220 mm

Bajo cargas sísmicas se deben tomar las siguientes consideraciones: Si se cumple que: D  550 mm  300 mm  P u  1690576.9 N 

A g f 'c 10



582671.7 N

Se debe verificar que: S  6d b  192 mm   D S  4  137.5 mm

Ya que el espaciamiento calculado es mayor a las condiciones que se exigen bajo cargas sísmicas, se debe asumir el espaciamiento como el menor de éstos valores. S



137.5 mm

170

Área refuerzo corte: V u  247673.1 N   ct V c  150603 N  Av 

V s S 0.8 D f y

 0.98

(*) El diámetro del refuerzo se calcula considerando que Av se forma por dos secciones de barra, una por cada lado del estribo. Usar estribos de 10 mm de diámetro separados a 13.75 cm.

171

Anexo C Diseño de elementos vía planilla de datos externos usando calculohormigon.com.

C.1

DISEÑO PRIMER NIVEL DE UN EDIFICIO. Se pretende diseñar los elementos del primer nivel de un pequeño edificio conformado por

muros y pilares de sección circular, se diseñará cada elemento por medio del sitio web elaborado en esta tesis, con la ayuda del archivo Excel extraído del cálculo de esfuerzos mediante SAP2000.

C.1.1

Planteamiento del problema. Diseñar los muros y pilares del primer nivel de un edificio de 2 pisos conformado

estructuralmente por muros, pilares de sección circular y vigas. Figura C.1.1: Modelo de edificio analizado en SAP2000.

Fuente: Extraído de modelo ingresado en SAP2000.

172

Figura C.1.2: Planta primer nivel de edificio a diseñar con sitio web. 26.-MURO400x20

0 2 x 0 0 4 O R U M . 5 1

0 0 4

18.-MURO300x15

300

0 2 x 0 0 4 O R U M . 0 3

0 0 4

100

0 2 x 0 0 4 O R U M . 7 1

5 1 x 0 0 4 O R U M . 5 2

20.-MURO300x15

300

8.-PILAR50

300

0 0 4

21.-MURO300x15

100

100

300

9.-PILAR50

10.-PILAR50

12.-PILAR60

0 0 4

5.-PILAR50

0 2 x 0 0 4 O R U M . 1 3

0 0 4

19.-MURO300x15

29.-MURO400x20

0 0 4

0 2 x 0 0 4 O R U M - . 2 3

0 0 4

100

28.-MURO400x20

5 1 x 0 0 4 O R U M - . 3 2

5 1 x 0 0 4 O R U M . 2 2

0 2 x 0 0 4 O R U M . 4 1

0 0 4

27.-MURO400x20

6.-PILAR50

7.-PILAR50

11.-PILAR60

0 0 4

2.-PILAR50

3.-PILAR50

1.-PILAR60

13.-MURO400x20

4.-PILAR50

0 2 x 0 0 2 O R U M - . 6 1

0 0 2

24.-MURO200x20

Fuente: Propia.

El edificio está construido en una zona sísmica y en presencia de fuertes vientos, que además del peso propio de la estructura, conforman los estados de carga que muestra la figura C.1.3. Usar hormigón H30 y acero A63-42H. Hormigón:

H30

f c'



250

kgf / cm2

E c



210000

kgf / cm2

(Resistencia a la compresión del hormigón) (Elasticidad del hormigón)

Acero: A63-42 f y



4200

kgf / cm2


173

E s



2100000

kgf / cm2

(Elasticidad del acero)

Figura C.1.3: Estados de carga sísmicas y de viento sobre el edificio a diseñar con sitio web. ot 0

ie

o

n to

n

ot

°

0

ie

ot 6

ei

o ot

r 6

ei

ot e 1

ot

r 6

ei

ot

V 1

°

o

n

ot

r 6

ei

ot e 1

1

2

n

ot

o

r 6

ei r

si

ot n

P V

P

si n

P V

1

V 1

2

si n

e

°

si n

P

1

o

n P

V

°

ie

to

n

2

si n

1

V

0

ie

o

0

ot

to P

1 2

n P

V

°

ie

si n

1

V

0

n

ot si

n

o

si n

P

1

o

ot

ot to

n

2

n

n

o

si

to P

V 1

o

si n

1

e 1

P V

e 1

10 ton

Y

Sismo X

n o to 0 1

m si S

Fuente: Propia.

C.1.2

Ingreso de datos mediante archivo Excel. Con anterioridad fue ingresado el edificio antes descrito a SAP200 con las cargas y

propiedades descritas, definiendo también las combinaciones de carga que propone el ACI 31805, así luego desde SAP2000 se exportó un archivo Excel con toda la información y resultados del análisis estructural. Se comienza en la página ingresando los datos del proyecto y cargando el archivo Excel exportado de SAP2000, luego se presiona enviar para que el sitio cargue el archivo en el servidor. 174

Figura C.1.4: Ingreso de información del proyecto y carga del archivo Excel en www.calculohormigon.com.

Fuente: Propia.

C.1.3

Completar información en forma manual. La carga y el procesamiento de los datos puede tardar varios segundo y hasta minutos,

pero una vez finalizado el sitio muestra la tabla con la información cargada y la información rescatada de cada elemento (ver figura C.1.5). Luego se debe revisar y completar la información faltante, en este caso el material a usar es el que da el sitio por defecto y las cargas ya están extraídas del archivo Excel, por lo que queda solo agregar algunos datos de las secciones de los elementos. Se usará las unidades de kgf y cm que el sitio define por defecto (ver figura C.1.6). Una vez ingresados los datos se presiona calcular, el proceso de cálculo puede tardar varios segundos, en este caso fueron unos 40 segundos aproximadamente, finalmente el sitio web entrega un resumen del diseño realizado.

175

Figura C.1.5: Elementos cargados por www.calculohormigon.com desde archivo Excel. Contiene las combinaciones de carga propuestas por el usuario en el modelo analizado en SAP2000, la geometría y nombre de los muros y pilares de sección circular del proyecto.

Fuente: Propia.

176

Figura C.1.6: Página ingreso de datos en www.calculohormigon.com, una vez completados los datos faltantes sobre las secciones de los elementos.

Fuente: Propia.

C.1.4

Resultados del diseño. En este primer cálculo el sitio web no muestra errores en ninguno de los elementos

diseñados, los resultados muestran que todos los elementos diseñados resisten las solicitaciones armados por la cuantía mínima de refuerzo, además ninguno de los muros requiere el uso de pilares de borde. La totalidad de los pilares de sección circular diseñados están controlados por tracción, mientras que en los muros algunos están controlados por compresión, otros por tracción y uno por efectos combinados.

177

Figura C.1.7: Página resumen de resultados en www.calculohormigon.com.

Fuente: Propia.

C.1.5

Memoria de cálculo entregada por calculohormigon.com. En la página de resumen de resultados presionando en el boton “Crear pdf” se puede ver y

descargar la memoria de cálculo con el resumen de los elementos diseñados y el detalle de cada uno de ellos. La memoria comienza con una descripción del proyecto en información general.

178

Figura C.1.8: Memoria de cálculo en formato pdf entregada por www.calculohormigon.com. Información del proyecto y datos generales.

Fuente: Propia.

Entrega tablas resumiendo el resultado del diseño de muros y pilares circulares. Figura C.1.9: Memoria de cálculo en formato pdf entregada por www.calculohormigon.com. Tabla resumen diseño de pilares circulares.

Fuente: Propia.

179

Figura C.1.10: Memoria de cálculo en formato pdf entregada por calculohormigon.com. Tabla resumen díseño de muros.

Fuente: Propia.

Luego comienza a entregar el detalle de cada elemento diseñado. Partiendo por los datos ingresados. Figura C.1.11: Memoria de cálculo en formato pdf entregada por calculohormigon.com. Datos ingresados para diseño del elemento.

Fuente: Propia.

Las combinaciones de carga para las cuales se diseñó.

180

Figura C.1.12: Memoria de cálculo en formato pdf entregada por www.calculohormigon.com. Combinaciones de carga con las que fue diseñado el elemento.

Fuente: Propia.

Esquema del estado de balance, profundidad del eje neutro y deformación unitaria. Figura C.1.13: Memoria de cálculo en formato pdf entregada por www.calculohormigon.com. Estado de balance, deformación unitaria y profundidad eje neutro del elemento.

Fuente: Propia.

Diagrama de interacción y tensiones de la sección bajo la combinación de diseño.

181

Tesis Diagrama Interaccion Circular Manual y CsiCol

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