2008
Universidad Autónoma de Colombia John Jaiber González Murillo
Función de Transferencia Motor DC Ingeniería Electrónica Control Análogo Grupo 50
Contenido 1.
Introducción .......................... ................... ............................ ...................... ............................ ................... 3
2.
Funcionamiento de un motor DC.................. ............................ ....................... ........................... ................ 4 2.1.
¿Qué es un motor? ....................... ...................... ............................... ................... ............................ .. 4
2.2.
Conceptos básicos de Fuerzas Electromagnéticas ........................ .............................. ....................... .. 4
2.2.1.
Fuerza electromagnética..................... ............................ ...................... ......................... ............. 4
2.2.2.
Campo magnético producido por corrientes ........................ .............................. ....................... .. 5
2.2.3.
Interferencia de una línea de fuerza magnética.......................... ...................... ........................... 5
2.2.4.
Generación de Torque a partir del campo magnético y de la corriente........................... ............. 5
2.3.
Partes de un Motor DC ....................................................................................................................... 6
3.
Modelo Matemático de un Motor DC controlado por armadura................................................................. armadura................................................................. 7
4.
Función de Transferencia Transferencia a partir de Tabla de Parámetros del DC Motor Ø 24 1.16.011. XXX ................... 10 4.1.
Parámetros del motor conocidos ...................................................................................................... 10
4.2.
Parámetros desconocidos ................................................................................................................. 10
4.3.
Búsqueda de parámetros desconocidos ............................................................................................ 11
4.4.
Cálculo de K m y de t m......................................................................................................................... 12
4.5.
Funciones de Transferencia para los motores Buehler de 12V y 24V .................................................. 13
•
Función Transferencia DC Motor Ø 24 1.16.011.532 12V .................................................................. 13
•
Función Transferencia DC Motor Ø 24 1.16.011.545 24V .................................................................. 16
6.
Bibliografía........................ ...................... ........................... .................... ............................ ................... ... 19
7.
Anexos ........................... ................... ............................ ................... ............................... ................... ...... 20 7.1.
Parámetros de los motores DC ...................... ........................... ....................... ........................... ...... 20
Página 2
1. Introducción
El objetivo de éste trabajo es determinar la función de transferencia de un motor a partir de sus parámetros básicos que se encuentran en la hoja de especificaciones del fabricante. Para esto, primero se deben conocer las bases del funcionamiento de los motores DC y el modelamiento matemático de éste cuando es controlado por un voltaje de armadura V a. En el proceso se mostraran los pasos para llegar a la función de transferencia general y los datos que se deben encontrar para hallar la planta a controlar (el motor DC). Finalmente se mostraran las graficas en MatLab de la respuesta con realimentación y la respuesta al escalón unitario.
Página 3
2. Funcionamiento de un motor DC 2.1.
¿Qué es un motor?
Un motor es una máquina rotatoria que convierte energía eléctrica en energía mecánica [1]. En el caso de los motores DC, la energía eléctrica está dada en forma directa, es decir, de una sola polaridad que se puede presentar en forma de corriente o de voltaje. La salida a correspondiente a la excitación se presenta en movimiento angular con una velocidad y un torque determinado por las características del motor.
Figura 1. Las propiedades básicas que determinan el movimiento del motor se deducen del electromagnetismo, por tal motivo a continuación se explicaran tales principios. 2.2.
Conceptos básicos de Fuerzas Electromagnéticas
2.2.1. Fuerza electromagnética La dirección del flujo magnético producido por un imán permanente siempre va del polo N al polo S. Cuando un conductor se coloca en un campo magnético y fluye corriente a través de él, el campo magnético y la corriente interactúan entre sí para producir la fuerza. La fuerza se llama "fuerza electromagnética".
Figura 2.
Página 4
2.2.2. Campo magnético producido por corrientes Los campos magnéticos producidos por la corriente y los imanes permanentes interactúan para producir la fuerza electromagnética. Cuando fluye la corriente en el conductor, se genera un campo magnético que se determina por medio de la regla de la mano derecha. Apuntando con el dedo pulgar en la dirección de la corriente, la dirección del campo magnético se determina a partir de la dirección de la envolvente generada por los demás dedos.
Figura 3. 2.2.3. Interferencia de una línea de fuerza magnética Los campos magnéticos producidos por la corriente y los imanes permanentes interfieren entre sí. Las líneas de fuerza magnética distribuidas en la misma dirección actúan entre sí para aumentar su fuerza, mientras que el flujo distribuido en la dirección opuesta reduce la fuerza.
Figura 4. 2.2.4. Generación de Torque a partir del campo magnético y de la corriente. La fuerza que genera el movimiento del motor esta dado por el producto de la densidad de flujo magnético, la corriente que circula a través del conductor y por la longitud de este.
Figura 5. Página 5
Figura 6. 2.3.
Partes de un Motor DC
El motor está formado por un conmutador, un anillo conductor seccionado en dos segmentos, cada segmento esta conectado a a cada extremo de la espira conductora y aislados electricamente uno del otro. A medida que la espira gira, cada escobilla toca alternativamente ambos segmentos del conmutador. En consecuencia, las conexiones eléctricas se invierten a la mitad de cada revolución en el instante en que la espira es perpendicular al campo magnético. De esta manera, el momento de torsión que actua sobre la espira lo hace siempre en le misma dirección y ésta gira continuamente en el mismo sentido. Generalmente la armadura es el elemento del motor que se encuentra girando y los imanes son permanentes; la parte del motor que gira se se denomina rotor y la parte estacionaria se denomina estator [2].
Figura 7. Página 6
3. Modelo Matemático de un Motor DC controlado por armadura
Figura 8. [2]El circuito equivalente al motor DC se muestra en la figura 9, en donde la armadura de éste se
representa como un circuito con resistencia R a conectada en serie a una inductancia L a y a una fuente de voltaje Vb que representa la fuerza contra electromotriz en la armadura cuando el rotor gira. En los motores de imán permanente con escobillas, el campo magnético del estator se crea a partir de imanes permanentes, y por tanto, el flujo magnético se supone constante (Ф) [3]. Los demás parámetros del diagrama se definen a continuación:
Página 7
Para un análisis lineal, se supone que el torque o par que genera el motor es proporcional al flujo magnético producido por los imanes permanentes y a la corriente eléctrica de la armadura. (E.1.1) Como el flujo eléctrico se considera constante la ecuación anterior queda de la siguiente forma: (E.1.2) Donde
es denominada constante de torque y está dada en
.
Cuando la armadura se encuentra girando en el campo magnético, se induce en los conductores un fem Vb, la cual es directamente proporcional a la velocidad angular ω m, siendo Kb la constante de esta fuerza electromotriz. (E.1.3) Por medio de la ecuación de malla del circuito se determina la ecuación diferencial de éste de la siguiente manera:
(E.1.4) Aplicando la ley de Newton se deduce la ecuación para determinar el torque que se genera por el movimiento del motor:
(E.1.5)
Página 8
De acuerdo a las ecuaciones anteriores y aplicando la transformada de Laplace se obtiene que la función de transferencia entre el desplazamiento angular y el voltaje aplicado es la siguiente:
(E.1.6) Cuando se trabaja en le determinación de las funciones de transferencia de los motores DC, en ocasiones se considera que la inductancia de la armadura L a es muy pequeña comparada con la resistencia eléctrica de la armadura R a, y al despejar i a de E.1.4 se obtiene el término .
/
Como se considera que entonces el término se aproxima a cero quedando la ecuación de la corriente de armadura de la siguiente forma al sustituir E.1.3 en E.1.4:
(E.1.7)
Sustituyendo E.1.7 en E.1.2 y el resultado sustituyéndolo en E.1.5 se obtiene:
(E.1.8) Con las ecuaciones anteriores las nuevas restricciones y aplicando la transformada de Laplace se obtiene que la función de transferencia entre el desplazamiento angular y el voltaje aplicado es la siguiente:
(E.1.9) Donde Km es la constante de ganancia del motor y t m es la constante de tiempo del motor y están dadas por:
(E.1.10)
(E.1.11)
Página 9
4. Función de Transferencia a partir de Tabla de Parámetros del DC Motor Ø 24 1.16.011. XXX
Para determinar la función de transferencia de un motor DC existen varios métodos. En este caso vamos a hacerlo de una forma más exacta, pues al tener los datos que el fabricante específico para cada motor tenemos una mayor certeza de lo que estamos realizando. Ha de tenerse en cuenta que no en todas las fichas técnicas de los motores aparecen todos los datos que necesitamos y es por eso que debemos investigar ecuaciones que relaciones los datos disponibles con los que queremos adquirir. 4.1.
Parámetros del motor conocidos
Los datos que aparecen a continuación se encuentran en el anexo que tiene la hoja de datos de los motores utilizados para el experimento, datos básicos para determinar los valores de K m y tm.
Constante
Símbolo Hoja Datos
Símbolo F. Transferencia
Torque constant Rated torque Rated speed Rated voltage Rotor inertia Terminal resistance
kt
Ki
TN
Unidades
/
Motor 12V
Motor 24V
14*10-3
28*10-3
Tm
4*10-3
4*10-3
nN V
Va
rpm Vdc
5000 12
4600 24
J R
Jm Ra
g*cm2 Ω
3.2 13
3.2 61
Figura 9. 4.2.
Parámetros desconocidos
Constante
Símbolo F. Transferencia
Unidades
viscous friction
Bm
Electrical constant
Kb
N*m*s/rad Ó N*m/rpm V*s/rad Ó V/rpm
Figura 10.
Página 10
4.3. •
•
Búsqueda de parámetros desconocidos
La constante de voltaje o eléctrica está relacionada con la constante de torque como se muestra en la siguiente ecuación [4]:
14.66 /
(E.1.12)
29.32 /
(E.1.13)
La constante de fricción viscosa se determino así [5]:
Figura 11. A menudo la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad angular y este modelo de fricción se denomina fricción viscosa que se expresa matemáticamente en forma vectorial como:
(E.1.14) De forma escalar y cambiando a unidades de la función de transferencia se reemplaza a f por B m, teniendo en cuenta que ω es la velocidad angular en rad/s ó en rpm; donde
1
/ .
Con los símbolos que llevamos en el trabajo, la E.1.14 quedaría de la siguiente forma:
(E.1.15)
Página 11
Como tenemos el dato de la velocidad (rated speed) del motor y el Torque de éste (Rated torque), lo único que debemos hacer es despejar a B m de E.1.15 y reemplazar valores:
7.63 10 869.56 10 8.30 10
(E.1.16)
(E.1.17)
Constante
Símbolo F. Transferencia
Unidades
Motor 12V
Motor 24V
Electrical constant
Kb
14.66 /
29.32 /
viscous friction
Bm
V*s/rad Ó V/rpm N*m*s/rad Ó N*m/rpm
7.6310
8.3010
Figura 12.
4.4.
Cálculo de K m y de t m
Como ya se tiene todos los valores necesarios para encontrar lo parámetros que determinan la función de transferencia de un motor DC controlado por armadura, ahora solamente ahí que reemplazar valores en las ecuaciones E.1.10 y E.1.11:
/ 1410 45.98 14.6610 1410 7.6310 13Ω (E.1.18)
/ 2810 29.3210 2810 8.310 61Ω 21.09 (E.1.19) Página 12
K g m 13Ω 32010 14.6610 1410 7.6310 13Ω 13.6 6 10 (E.1.20)
K g m 13Ω 32010 29.3210 2810 8.310 61Ω 3.13 10 (E.1.21)
4.5.
•
Funciones de Transferencia para los motores Buehler de 12V y 24V
Función Transferencia DC Motor Ø 24 1.16.011.532 12V
45.98 1 13.66 10
(E.1.22) >> s=tf('s') Transfer function: s >> g1=tf(45.98/(s*(1+0.01366*s))) Transfer function: 45.98 --------------0.01366 s^2 + s >> sisotool(g1)
Página 13
Figura 13.
Figura 14.
Página 14
>> step(g1)
Figura 15.
Página 15
•
Función Transferencia DC Motor Ø 24 1.16.011.545 24V
21.09 1 3.13 10
(E.1.23)
Figura 16.
Figura 17. Página 16
>> step(g2)
Figura 18.
Página 17
5. Conclusiones
•
•
•
Se puede comprobar gracias a este trabajo que las funciones de transferencia de los motores DC se pueden hallar fácilmente, siempre y cuando se tengan los parámetros básicos que brindan las hojas de datos de los fabricantes.
Es complicado obtener una ficha técnica con todos los parámetros básicos, y allí se ve la calidad del motor que se está comprando, pues entre mas especificaciones tenga éste, mejor se podrá trabajar.
La determinación de la función de transferencia, a partir de los parámetros que brindan los fabricantes, es más exacta pues como se vio solo se utilizaron valores y formulas exactas sin aproximaciones.
Página 18
6. Bibliografía
[1]
What’s a motor? http://www.mabuchi-motor.co.jp/en_US/technic/t_0100.html
[2]
Control en posición de servomecanismos de corriente directa http://betosoria.googlepages.com/jllm
[3]
Technical terms http://www.buehlermotor.com/C12572C600247071/CurrentBaseLink/W276WGW4003WEB REN
[4]
Technical notes: DC motors http://www.buehlermotor.com/C12572C600247071/CurrentBaseLink/W276WGWN321WEB REN
[5]
The Physics of the DC Motor
[6]
http://www.freestudy.co.uk/control/t3.pdf
[7]
http://www.gizmology.net/motors.htm
[8]
http://virtual.cvut.cz/dyn/examples/examples/control/dcmotor-p/index.html
Página 19
7. Anexos 7.1.
Parámetros de los motores DC
VN kE
Rated Voltage Voltage Constant
Rm
Speed Regulation Constant Electrical Time Constant
tE tM Rth1 Rth2 kt R IS IO IN Pout Pout max
TN TS nN nO hN Pin JR
Voltage for which normal data are valid Ratio between induced voltage and angular velocity with motor driven as a generator Ratio between no load speed and stall torque
Time required to reach 63% of final value of current in locked rotor condition Mechanical Time Time required to reach 63% of speed under no Constant load condition with rated voltage applied Thermal Resistance Characteristic value of thermal transfer resistance. (No additional heat sink, locked rotor.) Torque Constant Ratio between generated torque and motor current Terminal Resistance Mean value of ratio between rated voltage and stall current Stall Current Ratio between applied voltage and terminal resistance No Load Current Current under no load condition at rated voltage Rated Current Current under rated load at rated voltage Rated Output Power Mechanical power at rated torque and rated speed available at motor shaft Maximum Output Power Maximum mechanical power at rated voltage. (Normally not applicable for continuous running) Rated Torque Torque at rated output power available at motor shaft Stall Torque Torque at rated voltage with the motor shaft stalled Rated Speed Speed at rated voltage and rated torque No Load Speed Speed at nominal voltage under no load condition Rated Efficiency Ratio between rated output power and rated input power Rated Input Power Product of rated voltage by rated current Rotor Inertia Mass moment of inertia of rotor
V mV/r.p.m. r.p.m./ mNm ms ms K/W
mNm Ohms A A A W W
mNm mNm r.p.m. r.p.m. % W gcm 2 Página 20
STOCK SERVICE
DC Motor Ø 24
1.16.011. XXX Design Commutator
Copper/3-segments Copper/5-segments (only 1.16.011.304)
RFI Protection
VDR (only 1.16.011.200)
Insulation class
Winding F, otherwise A
Protection class
IP20
Commutation
Graphite/copper-carbon brushes
Armature
sintered, straight slot
Magnet system
Permanent magnets, 2-pole
Bearings
2 sintered bronze bearings
Housing
Steel, corrosion protected
End shields
brush e nd plastic (1.16.011.532/545) brush end zinc die-cast (1.16.011.179/304/200) drive end zinc die-cast
1.16.011.532/545
Type 1.16.011.XXX
532
545
179
304
200
Characteristics* Rated voltage
V
V
12
24
12
12
24
Rated power
PN
W
2.1
1.9
3.6
3.8
3.6
Rated torque
TN
mNm
4.0
4.0
5.0
4.5
5.0
Rated speed
nN
rpm
5000
4600
6850
8000
6850
Rated current
IN
A
0.35
0.18
0.59
0.65
0.30
No load speed
nO
rpm
7400
7500
10350
12000
10150
No load current
IO
A
0.05
0.03
0.09
0.12
0.08
Starting torque
TS
mNm
12
10
14
14
16
Starting current
IS
A
0.90
0.40
1.60
1.75
0.81
max. Output power
Pmax
W
2.4
2.0
3.9
4.4
4.2
max. Constant torque
Tmax
mNm
2.4
2.3
3.2
3.0
3.8
Weight
G
g
35
35
40
40
40
Rotor inertia
J
gcm2
3.2
3.2
3.2
3.2
3.2
Terminal resistance
R
Ohm
13
61
7.5
6.9
30
Mech. time constant
τ
ms
–
–
–
–
–
Electr. time constant
τ
ms
–
–
–
–
–
No load characteristics*
Starting characteristics*
Performance characteristics
Motor parameters*
m e
Speed regulation constant
Rm
rpm/mNm
600
725
715
858
620
Torque constant
kt
mNm/A
14
28
9.9
8.8
22
Thermal resistance
Rth1
K/W
23
23
23
23
23
Thermal resistance
Rth2
K/W
21
21
21
21
21
mm
0.05 – 0.6
0.05 – 0.6
0.05 – 0.6
0.05 – 0.6
0.05 – 0.6
Axial play Direction of rotation
bidirectional
Operational conditions Temperature range Humidity at room temperature
T
°C
-10 - +70
rel. F.
%
15 - 55
g H2O / m3
2 - 25
No condensation Axial force
FA
N
2
Radial force, 5 mm from mounting surface
FR
N
5
Operating mode at P max
S5
Operating mode at Tmax
S1
* at 25° C
1.16.011.532/545
1.1.16.011.179/304/200 Customized versions The following modications are available upon request: 3
Encoder or hall sensor
3
External RFI board or internal VDR
3
Speed adjustment through winding change
3
Lead sets
3
Shaft length on both ends
3
Shaft conguration (at, grooved, etc.)
3
Drive conguration
3
Adapters and mounting plates
Note: Can be used with Buehler gear motor types 1.61.065.xxx and 1.61.117.xxx