Ti Vasija y Serpentin

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ÍNDICE ÍN D I CE ......................................... ............................................................. ........................................ ........................................ ........................................ ........................................ ...................... 1 7

M AN UA L DE PRÁCTI CAS....... CAS.......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... .. 2

7.1 7.1

DESC DESCRI RIP PCIÓN CIÓN DEL DEL EQUI EQUIP PO .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 2

7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 7.1.6

7.2 7.2

Introducción............... Introducción..................... ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............. ..........2 ...2 Descripción................. Descripción....................... ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............. ..........3 ...3 Posibilidades prácticas pr ácticas...... ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............6 .....6 Accesorios....... Accesorios ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ .............1 .......1 3 Dimensiones y pesos ............ .................. ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ .............1 .......1 3 Servicios requeridos ............ .................. ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ .............1 .......1 3

FUND FUNDAM AMEN ENTO TO TEÓR TEÓRIC ICO. O...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ......... .... 14

7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 7.2.8 7.2.9 7.2.10

7.3 7.3 7.4 7.4

Introducción............... Introducción..................... ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ .............1 .......1 4 Transferencia Transferencia de calor en intercambiadores intercambiadores de calor ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... .......20 20 Coeficiente global de transferencia de calor ............ ................... ............. ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ .............2 .......2 2 Coeficiente Coeficiente de transferencia transferencia de calor por convección (h).... (h)....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ..... 26 Obtención Obtenció n del número de Nusselt........... Nusselt................. ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ........... 28 Distribución Distribución de temperaturas temperaturas en intercambiadores intercambiadores de calor ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ..... 32 Diferencia Diferencia media logarítmica logarítmica de temperaturas temperaturas ...... ......... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... .......3 ...333 Cálculo Cálculo del del coefic coeficient ientee de transfe transferenc rencia ia de calor calor a partir partir de la la tasa de trans transfere ferencia ncia de de calor.... calor..........3 ..344 Metodo ntu-efectividad ntu-efectividad para el análisis análisis de un intercambiador intercambiador de calor........ calor........... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ..... 35 Cálculo Cálculo de la transf transferen erencia cia de calor calor en intercam intercambiad biadores ores de vasija vasija agitad agitada.. a......................................................... ............. 37

Adve Advert rten enci cias as,, inst instru rucc ccio ione ness prin princi cipa pale less y prec precau auci cion ones es ......................................... ..................................................... ............ 44 RELA RELACI CIÓN ÓN DE PRÁC PRÁCTI TICA CAS S.......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 45

7.4.1 Práctica 1: Sistema de Control: Calibración Calibración de los sensores de temperaturas.... temperaturas....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... .......45 45 7.4.2 Práctica 2: Sistema de Control: Calibración Calibración de los sensores sensores de caudal ....... .......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... .......4 ...466 7.4.3 Práctica 3: Estudio de la histéresis del sensor de Caudal.... Caudal....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ..... 47 7.4.4 7.4.4 Práctica Práctica 4: Balance Balance global de energía energía en el intercambiad intercambiador or y estudio de pérdidas.. pérdidas............................................. .........4 ..488 7.4.5 Práctica 5: Determinac Determinación ión de la efectividad efectividad del intercambi intercambiador. ador. Método Método NTU.... NTU....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... .......5 ...511 7.4.6 7.4.6 Práctica Práctica 6: 6: Influen Influencia cia del del caudal caudal en en la trans transfere ferencia ncia de calor. calor. Cálcu Cálculo lo del número número de Reyno Reynolds.. lds.... 56 7.4.7 7.4.7 Práctica Práctica 7: Influenci Influenciaa de la la agitación agitación en la vasij vasijaa sobre sobre la transfe transferenci renciaa de calor calor en en operació operación na lotes. 6 0 7.4.8 7.4.8 Práctica Práctica 8: 8: Influenc Influencia ia del del volumen volumen de agua agua en la la vasija vasija sobre sobre la transf transferenc erencia ia de calor en operación a lotes.....................................................................................................................................................................64

7.5 7.5 7.5.1

APÉN APÉNDI DICE CE ......... .............. .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 68 APÉNDICE 1:Tabla de propiedades del agua ............. ................... ............ ............ ............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............. ........... 68


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7 MANUAL DE PRÁCTICAS 7.1 DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO 7.1.1 Introducción El intercambiador de calor de vasija con serpentín de EDIBON S.A. nos permite el estudio de la transferencia de calor entre el agua caliente que circula por un serpentín y el agua fría que está contenida en la vasija. Este equipo además permite el estudio de un proceso a lotes, (calentamiento de una masa constante de agua contenida en la vasija). El equipo consta de dos partes: unidad base e intercambiador de carcasa y tubo. La unidad base cumple las siguientes funciones: 1. Calentamiento del agua. 2. Medida de los caudales de agua fría y agua caliente. 3. Bombeo del agua caliente. 4. Variación del sentido de circulación del agua fría. El intercambiador de vasija con serpentín nos permite medir las temperaturas a la entrada y salida del intercambiador, tanto en el agua fría como en el agua caliente. La unidad base y el intercambiador se unen mediante tubos flexibles asegurando la circulación del agua caliente y fría.


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La interface nos permite visualizar por pantalla las medidas realizadas durante el ensayo: temperaturas en el intercambiador, temperatura del agua del depósito de calentamiento y caudales de agua. 7.1.2 Descripción Cir cuito cui to de de agua cali cali ente

El agua caliente fluye a lo largo de un circuito cerrado. Una resistencia eléctrica (AR-1) inmersa en el depósito, calienta el agua hasta una temperatura determinada (ST-1). El agua sale del depósito y es impulsada por una bomba (AP-1). Parte del agua entra en el intercambiador y parte retorna al depósito mediante un bypass. En el bypass existe una válvula para la regulación del caudal de agua caliente (AVR-1). El agua se enfría a lo largo del intercambiador y al salir pasa por un sensor de caudal (SC-1) para luego entrar en el depósito de calentamiento y así iniciar de nuevo el ciclo. Para el control y vaciado del agua caliente, el circuito está equipado con 3 válvulas de bola: 2 en la unidad base (AV-1 y AV-6) y 1 a la entrada del intercambiador (AV-8). Cir Ci r cui to de agua f r ía

El agua de enfriamiento entra de la red principal, atraviesa una válvula de control del flujo (AVR-2) y un regulador de presión programado a 0.5 Bar para evitar sobrepresiones en el equipo. Después pasa por el sensor de caudal (SC-2). A continuación, el agua entra al intercambiador, a lo largo del cual se calienta. El agua sale del intercambiador y es dirigida al desagüe.

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El agua fría puede entrar al intercambiador por ambos extremos dependiendo de la posición de las válvulas (AV-2, AV-·3, AV-4 y AV-5) que permite flujo paralelo o flujo contracorriente. Esta configuración puede observarse en el siguiente dibujo o en la pegatina de la unidad base.

Figura 1.2.1. FLUJO CONTRACORRIENTE Válvula AV-2

CERRADA

Válvula AV-3

ABIERTA

Válvula AV-4

ABIERTA

Válvula AV-5

CERRADA


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FLUJO PARALELO Válvula AV-2

ABIERTA

Válvula AV-3

CERRADA

Válvula AV-4

CERRADA

Válvula AV-5

ABIERTA

I ntercambiador de calor

El intercambiador de calor está formado por una vasija y un serpentín. La vasija contiene agua fría que es calentada por un serpentín inmerso en el agua fría. Por el serpentín circula agua caliente. Además el agua de la vasija está por una hélice que al girar provoca un aumento en la transferencia de calor. El intercambiador podrá trabajar con alimentación continua o con proceso a lotes. -En operación a lotes , la masa contenida en la vasija permanece constante. Una vez calentada o enfriada hasta una temperatura determinada, se vacía el contenido y se vuelve a llenar para repetir el proceso. Permite estudiar la evolución de la temperatura con el tiempo. También nos permite mantener la temperatura constante en el fluido, que será de gran utilidad en muchos procesos químicos.


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-Con alimentación conti nua , existe un caudal de entrada y salida a la vasija permanente. Es la operación convencional de cualquier intercambiador, es un proceso continuo de renovación del líquido de la vasija. El rebosadero que atraviesa la vasija es un tubo que por su parte superior permite la salida del caudal de agua fría durante el proceso de alimentación continua.

El intercambiador tiene 5 termopares : 3 para medir la temperatura del agua fría (ST-2 , ST-4 y ST6) y 2 para medir la temperatura del agua caliente (ST-3 y ST-5). Sistema de control

La temperatura del agua del tanque se controla mediante la potencia de la resistencia y limita la temperatura a 70ºC. El caudal de agua fría se regula mediante la válvula de control (AVR2). El caudal de agua caliente se regula con el sistema de variación de la velocidad de la bomba y con la válvula de regulación situada en el bypass (AVR1). 7.1.3 Posibilidades prácticas 7.1.3.1 Prácticas con el intercambiador trabajando en alimentación continua Práctica 1: Sistema de control: Calibración de los sensores de temperaturas.


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Práctica 2: Sistema de control: Calibración de los sensores de caudal. Práctica 3: Estudio de la histéresis del sensor de caudal. Práctica 4: Balance global de energía en el intercambiador y estudio de pérdidas. Práctica 5: Determinación de la efectividad del intercambiador. Método NTU. Práctica 6: Influencia del caudal en la transferencia de calor. Cálculo del número de Reynolds. 7.1.3.2 Prácticas con el intercambiador trabajando en proceso a lotes Práctica 7: Influencia de la agitación en la vasija sobre la transferencia de calor. Práctica 8: Influencia del volumen de agua en la vasija sobre la transferencia de calor. 7.1.3.3 Especificaciones Diagrama de la unidad base del equipo:


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Los puntos 1, 2 , 3 y 4 representan las conexiones de los tubos flexibles que unen el intercambiador con la unidad base.


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Identificación de los elementos disponibles en la unidad TIRS: I dentificación ST-1 ST-2

Descripción

Sensor de temperatura del agua del depósito Sensor de temperatura del agua fría a la entrada del intercambiador ST-3 Sensor de temperatura del agua caliente a la entrada del intercambiador ST-4 Sensor de temperatura del agua fría en el interior de la vasija ST-5 Sensor de temperatura del agua caliente a la salida del intercambiador ST-6 Sensor de temperatura del agua fría a la salida del intercambiador SC-1 Sensor de caudal del agua caliente SC-2 Sensor de caudal del agua fría AVR-1 Válvula de regulación del caudal de agua caliente AVR-2 Válvula de regulación del caudal de agua fría AN-1 Interruptor de nivel del agua del depósito AR-1 Resistencia eléctrica AB-1 Bomba centrífuga de circulación del agua caliente AV-2,AV-3, Válvulas de bola del circuito de agua fría para fijar flujo AV -4 y AV -5 paralelo ó flujo contracorriente AV-1,AV-6, Válvulas de bola para vaciado de las tuberías. AV -7 y AV -8 AV-9 AV-10

Válvula de bola del rebosadero Válvula de bola para vaciado de la vasija

Descripción de los elementos que conforman el equipo. I ntercambiador de calor

• Formado por una vasija de pvc-glass: Dint = 0.188m Dext = 0.200m


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• Un rebosadero o tubo de pvc-glass que permite la salida del agua de la vasija por su parte superior para mantener el caudal constante durante el proceso de alimentación continua.

• Un serpentín de cobre por el que circula el agua caliente: Dint = 4.35 mm Dext = 6.35 mm Longitud total del tubo que forma el serpentín: 5 m Diámetro total del serpentín: 0.1 m

• Un agitador electrónico con varilla de agitación en forma de hélice y con un rango de giro entre 50 y 2000 rpm.

• Una regla graduada situada sobre la superficie de la vasija nos indica el volumen de agua contenida en la vasija.

Depósito de calentami ento

Depósito de acero inoxidable equipado con:

• Resistencia eléctrica (AR-1). • Termopar tipo J para medir la temperatura del agua (ST-1). • Interruptor de nivel para controlar el nivel de agua del depósito (AN-1).

• Tapa de acero inoxidable para evitar el contacto con el agua caliente.


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Existe un agujero en la tapa que nos permite visualizar el nivel de agua, e incluso rellenar el depósito.

• Válvula de vaciado del agua del depósito. Esta válvula sobresale por un agujero en la plancha del equipo para facilitar su manejo. Bomba (AB -1)

Bomba centrífuga con adaptador de velocidad variable. Sensores

• Sensor de caudal: -transductor electrónico de caudal con cuerpo de copolímero de acetaldehído y juntas de compresión de latón en ambos extremos. -2 unidades: una para el agua caliente (SC-1) y otra para el agua fría (SC-2).

• Sensor de temperatura: -termopar tipo J de 100 mm de longitud y 4 mm de diámetro. -5 unidades: una para el depósito de agua (ST-1) y cuatro distribuidas en el intercambiador (ST2, ST-3, ST-4 y ST5) I nterruptor de ni vel

-interruptor de láminas e imán actuador con pivotamiento, encapsulados en molduras de polímero impermeable. -1 unidad para controlar el nivel de agua del depósito (AN-1).


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Sistema de calentami ento

Grupo resistencia y termostato con caperuza para calentamiento del agua del depósito (AR-1). Contr ol del f lu jo

2 válvulas de control con cuerpo de latón: una para controlar el agua fría (AVR-2) y otra para controlar el agua caliente (AVR-1). Contr ol del senti do de fluj o del agua fría

4 válvulas de bola que según se manipulen nos proporcionan flujo paralelo o contracorriente en el intercambiador (AV-2, AV-3, AV-4 y AV-5). Este sistema de variación del sentido del flujo de agua fría no será útil para este tipo de intercambiador, ya que el movimiento del agua en la vasija será siempre circular debido al agitador con independencia de la entrada o salida. Este sistema será sin embargo muy importante en otros intercambiadores como tubos concéntricos, placas o carcasa y tubo. Por este motivo, se utilizará una sola configuración (flujo paralelo) que no variará en la realización de las prácticas del equipo TIRS. Válvulas de vaciado

5 válvulas de bola que nos permiten vaciar el conjunto de las tuberías (AV-1, AV-6, AV-7, AV-8 y AV-10).


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7.1.4 Accesorios 4 tubos flexibles para conectar el intercambiador con la unidad base, incluidos junto con el equipo TIRS de EDIBON. 7.1.5 Dimensiones y pesos UNI DAD BASE

Peso Neto: 30 kg. Altura: 400 mm Anchura: 1000 mm Profundidad: 500 mm I NTERCAM BI ADOR DE CAL OR

Peso Neto: 20 kg. Altura: 500 mm Anchura: 1000 mm Profundidad: 500 mm 7.1.6 Servicios requeridos - Alimentación eléctrica: 220V 50 Hz (110 V 60 Hz). En el conector de energía eléctrica se indica la alimentación correcta para la cual ha sido realizado el equipo. - Toma de agua de la red - Desagüe de agua


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7.2 FUNDAMENTO TEÓRICO 7.2.1 Introducción Calor es energía en tránsito debido a una diferencia de temperaturas. Dondequiera que exista una diferencia de temperaturas en un medio o entre varios medios, se produce transferencia de calor. Existen tres tipos diferentes de procesos de transferencia de calor ó modos: conducción, convección y radiación. Conducción: Es el modo de transferencia de calor a través de sólidos y a través de fluidos estacionarios. El mecanismo físico de conducción es la difusión de energía originada por las interacciones entre moléculas del medio. La ecuación que cuantifica el proceso de transferencia de calor por conducción se conoce como Ley de Fourier. En el caso unidimensional y estacionario, la tasa de transferencia de calor a través de una pared vendrá dada por la siguiente expresión: q = − K ⋅ A

Donde

⋅

( T 2

− T 1 ) x

( Ecuación 1 )

q ≡ tasa de transferencia de calor (w) K ≡ conductividad térmica de la pared (w/m k) A ≡ área perpendicular a la dirección del flujo de calor (m2) x ≡ espesor de la pared (m) T2 ≡ temperatura en la superficie fría de la pared (k)


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T1 ≡ temperatura en la superficie caliente de la pared (k) Resistencia térmica Un concepto importante para evaluar la transferencia de calor, es el de resistencia térmica. Existe una analogía entre la difusión de calor y la carga eléctrica. Al igual que asociamos la resistencia eléctrica con la conducción de electricidad, la resistencia térmica se puede asociar con la conducción de calor. La ley de Ohm de la electricidad define la resistencia como: R e

donde ( V 1

V 1 − V 2

= −

V 2 ) es

la diferencia de potencial eléctrico e I es la corriente

eléctrica. En transmisión de calor, podemos considerar que la resistencia térmica es: R t =

T 1

− T 2 q

donde ( T 1 − T ) 2 es la diferencia de temperaturas y q es la tasa de transferencia de calor. A partir de la ecuación 1, deducimos la resistencia térmica de conducción: R t ,cond =

x K ⋅ A

Convección: Es el modo de transferencia de calor entre una superficie y un fluido en movimiento a diferentes temperaturas. Es consecuencia de la


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superposición de dos fenómenos físicos, energía transportada por el movimiento aleatorio de las moléculas (difusión) y energía transportada por el movimiento macroscópico

del

fluido

(gran

número

de

moléculas

moviéndose

colectivamente). Podemos clasificar la transferencia de calor por convección en, convección forzada y convección natural. Convección forzada ocurre cuando el flujo es causado por medios externos como un ventilador, una bomba o el viento atmosférico. Convección natural ocurre cuando el flujo está inducido por fuerzas de flotabilidad, las cuales resultan de diferencias de densidad causadas por variaciones de temperatura en el fluido. Una consecuencia de la interacción fluido-superficie, es la formación de una región en el fluido a través de la cual la velocidad varía desde cero en la superficie a un valor finito asociado con el fluido. Ésta es la capa límite hidrodinámica. Si además la temperatura entre la superficie y el fluido varían, aparece una capa límite térmica, donde la temperatura varía desde la temperatura en la superficie hasta la temperatura en el exterior del fluido. Es en esta capa delgada en la que se efectúa el 99% de la transferencia de calor entre la superficie y el fluido. Un primer paso en el tratamiento de la transferencia de calor por convección es determinar si la capa límite hidrodinámica es laminar o turbulenta, ya que la tasa de transferencia de calor depende fuertemente de esta condición. En régimen laminar, el movimiento del fluido es ordenado y es posible


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identificar las líneas de corriente a lo largo de las cuales se mueven las partículas. El fluido laminar está asociado con números de Reynolds bajos, es decir, el ratio entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad es bajo. De este modo, las perturbaciones en el fluido (originadas por la rugosidad superficial o por la misma corriente libre) se disipan rápidamente, manteniéndose el flujo ordenado (laminar). Si el número de Reynolds es alto, las fuerzas de inercia son suficientemente grandes como para amplificar las perturbaciones producidas en un flujo laminar, generando torbellinos que nos indican la aparición del régimen turbulento en el fluido. El régimen turbulento, se caracteriza por movimiento irregular y fluctuaciones aleatorias en la velocidad. Dado que la difusitividad de los torbellinos es mucho mayor que la difusitividad molecular del régimen laminar, los perfiles de velocidad y temperatura en el corazón de la capa límite son más uniformes en régimen turbulento y por lo tanto el gradiente de velocidad y de temperaturas es mucho mayor. Como consecuencia, la tasa de transferencia de calor es mucho mayor en flujos turbulentos que en flujos laminares. Por contra, elevados gradientes de velocidad causan grandes tensiones superficiales, lo que nos conduce a afirmar que el régimen turbulento tiene el efecto adverso de incrementar la caída de presión en la dirección del flujo. Esta mayor pérdida de presión requerirá bombas o ventiladores de mayor potencia. Independientemente de si estamos en régimen laminar o turbulento, la


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tasa de transferencia de calor por convección entre una superficie y un fluido viene dada por la ley de enfriamiento de Newton, cuya expresión: q = A h (T s − T∞ ) donde

( Ecuación 2 )

q ≡ tasa de transferencia de calor (w) h ≡ coeficiente de transferencia de calor por convección (w/m2 k) A ≡ área de transferencia de calor (m2) T s ≡ temperatura en la superficie (k) T∞ ≡ temperatura en el fluido (k) La capa límite térmica es la zona delgada en contacto con la superficie

a través de la que se produce la transferencia de calor. Esta capa ofrece una resistencia al flujo de calor. De este modo, existe una resistencia de convección análoga a la de conducción: R t ,conv

=

T s

− T ∞ q

=

1 h ⋅ A

Radiación: La radiación térmica es energía emitida por un medio (sólido, líquido o gas) que está a una temperatura determinada. La emisión se atribuye a cambios en las configuraciones de los electrones en los átomos y moléculas constituyentes. La energía de radiación se transporta por ondas electromagnéticas, no siendo necesaria la presencia de un medio, de hecho, la transferencia de energía de radiación es más eficiente en el vacío. Un cuerpo negro es una superficie ideal que: absorbe toda la radiación


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incidente, emite el máximo de energía posible para una temperatura y longitud de onda dada y emite lo mismo en todas las direcciones. La emisión de un cuerpo negro viene dada por la ley de StefanBoltzmann: E b

= σ ⋅ T s4

E b ≡ emisión de un cuerpo negro (w/m2)

donde

σ ≡ constante de Stefan-Boltzman (σ = 5,67 10-8 w/m2 k 4) T s ≡ temperatura absoluta de la superficie (k) Si consideramos una pequeña superficie gris (superficie en la que su absortividad es igual a su emisividad) a temperatura T s, rodeada por una superficie isoterma mucho mayor (alrededores) a temperatura Tsur, la tasa de transferencia de calor por radiación desde una superficie gris, obtenida a partir de la ley de Stefan-Boltzmann, es: q

4 ) = ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ ( T s4 − T sur

( Ecuación 3 )

donde q ≡ tasa de transferencia de calor por radiación desde una superficie gris (w)

ε ≡ emisividad de la superficie gris σ ≡ constante de Stefan-Boltzman (σ = 5,67 10-8 w/m2 k 4) A ≡ área de la superficie gris (m2) T s ≡ temperatura de la superficie gris (k)


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Tsur ≡ temperatura de los alrededores (k) Al igual que para conducción y convección, existe una resistencia térmica de radiación: R t , rad =

T s

− T sur q

=

1 A ⋅ ε ⋅ σ ⋅ ( T s

2 + T sur ) ⋅ ( T s2 + T sur )

7.2.2 Transferencia de calor en intercambiadores de calor Un intercambiador de calor es un dispositivo desarrollado por el hombre, para la

transferencia de calor entre dos fluidos a diferentes

temperaturas separados por una pared sólida. Tienen numerosas aplicaciones ingenieriles y como consecuencia existen diferentes modelos adaptados a cada aplicación. El más simple es el construido con dos tubos concéntricos, donde los fluidos pueden moverse en el mimo sentido o en sentidos contrarios. En flujo paralelo, los fluidos caliente y frío entran y salen por el mismo extremo, y fluyen en el mismo sentido. En contracorriente, los fluidos entran y salen por extremos opuestos y fluyen en sentido contrario.

Intercambiador de calor de tubos concéntricos en flujo paralelo

Intercambiador de calor de tubos concéntricos en contracorriente

En gran número de procesos industriales se necesita calentar o enfriar


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líquidos contenidos en vasijas o reactores. Estas vasijas suelen incorporar un agitador para aumentar la turbulencia del líquido y mejorar la transferencia de calor. Por eso, a estos sistemas se les denomina vasijas agitadas. Existen dos posibilidades para efectuar la transferencia de energía con el fluido de la vasija:

• Mediante una camisa, que envuelve exteriormente la vasija, a través de la cual pasa el fluido de calentamiento o enfriamiento. Una modificación de este sistema es usar serpentines lapa, es decir, un serpentín de sección cuadrada adosado a la superficie externa de la vasija. Esto mejora el control de la distribución del flujo, respecto a la camisa.

• Mediante un serpentín inmerso en el interior de la vasija, que también proporciona turbulencia adicional al fluido de la vasija. El funcionamiento de las vasijas agitadas puede ser a lotes o mediante alimentación continua. - En operación a lotes , la masa contenida en la vasija permanece constante. Una vez calentada o enfriada hasta una temperatura determinada, se vacía el contenido y se vuelve a llenar para repetir el proceso. También nos permite mantener la temperatura constante en el fluido, que será de gran utilidad en muchos procesos químicos. - Con ali mentación conti nua , existe un caudal de entrada y salida a la vasija permanente. Es un proceso continuo de renovación del líquido de la


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vasija.

7.2.3 Coeficiente global de transferencia de calor Para representar el fenómeno global de transferencia de calor entre los fluidos del intercambiador, recurrimos a las resistencias térmicas que aparecen en cada medio. El flujo de calor en su camino desde el fluido caliente hasta el frío, tiene que vencer la resistencia ejercida por la capa límite del fluido caliente, la resistencia de la pared de separación y la resistencia ejercida por la capa límite del fluido frío. Estas tres resistencias dispuestas en serie, conforman una resistencia total (R t), suma de cada una.


Distribución de temperaturas

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Pared de separación

Fluido frío

Fluido calient e

T∞,h

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Ts,h

Ts,c

T∞,c

donde Ah ≡ área de la superficie en contacto con el fluido caliente (m2) Ac ≡ área de la superficie en contacto con el fluido frío (m2) T∞,h ≡ temperatura media del fluido caliente (k) T∞,c ≡ temperatura media del fluido frío (k) Ts,h ≡ temperatura de la superficie en contacto con el fluido caliente (k) Ts,c ≡ temperatura de la superficie en contacto con el fluido frío (k) hh ≡ coeficiente de convección del fluido caliente (w/m2 k) hc ≡ coeficiente de convección del fluido frío (w/m2 k)


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K ≡ conductividad térmica de la pared de separación (w/m k) A ≡ área media de la superficie de separación (m2) x ≡ espesor de la pared de separación (m) La tasa de transferencia de calor será: q=

T ∞ , h − T ∞ ,c R t

T ∞ ,h

=

1 h h ⋅ A h

+

− T ∞ ,c x

K ⋅ A

+

1

( Ecuación 4)

h c ⋅ A c

Definimos el coeficiente global de transferencia de calor, U ,como un factor que para una configuración geométrica e hidrodinámica dada, nos da el valor del calor total transferido, la multiplicarlo por el área de intercambio y por la diferencia total de temperaturas. q = U ⋅ A ⋅ ( T ∞ , h

− T ∞ ,c )

donde por comparación con la ecuación 4 obtenemos: 1 U ⋅ A

= R t =

1 h h ⋅ A h

+

x K ⋅ A

+

1 h c ⋅ A c

Por ejemplo: para un intercambiador de calor de tubos concéntricos de longitud L, en el que el fluido caliente circula por el tubo interior y el fluido frío por el espacio entre el tubo interior y el tubo exterior, las superficies de intercambio serán Ah = π Dint L y Ac = π Dext L siendo Dint y Dext los diámetros interior y exterior del tubo interior del intercambiador y dado que la pared de intercambio es cilíndrica, la resistencia de conducción se debe expresar en coordenadas cilíndricas,


1 U ⋅ A

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 Dext   Dint  1 1   + = R t = + h h ⋅ π ⋅ D int ⋅ L 2 ⋅ π ⋅ L ⋅ K h c ⋅ π ⋅ D ext ⋅ L ln

Durante el funcionamiento normal del intercambiador, los fluidos transportan impurezas que con el tiempo se van adhiriendo sobre las superficies, formando una capa adicional que incrementa la resistencia térmica total. Como tenemos dos fluidos, se generan dos resistencias adicionales, llamadas resistencias de contaminación. Éstas son variables ya que aumentan con el tiempo de funcionamiento, pasando de un valor nulo cuando el intercambiador es nuevo hasta un valor máximo al final de su vida útil. La resistencia generada por el fluido interior la denominaremos R f,h y la generada por el fluido exterior, R f,c. Incorporando estas resistencias al coeficiente global de transferencia de calor tendremos:

1 U ⋅ A

= R t =

1 hh

⋅ π ⋅ D int ⋅ L

+ R f ,c +

 D  ln ext    Dint  2 ⋅ π ⋅ L ⋅ K

+ R f , h +

1 h c ⋅ π ⋅ D ext ⋅ L

Las resistencias de contaminación sólo se pueden conocer empíricamente ya que su naturaleza es difícil de conocer. En la siguiente tabla se muestran algunos valores experimentales de resistencias de contaminación:


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FLUIDO Agua de mar y agua tratada para alimentación en calderas ( T < 50 ºC ) Agua de mar y agua tratada para alimentación en calderas ( T > 50 ºC ) Agua de río ( T < 50 ºC )

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R f ⋅ A (m2 k / w) 0.0001 0.0002 0.0002-0.001

Fuel oil

0.0009

Fluidos refrigerantes líquidos Vapor de agua

0.0002

Agua de pozo o de ciudad

0.0001 0.001-0.002

Los términos más influyentes en el valor de la resistencia térmica total son los términos de convección. Dado que los diámetros están especificados, será fundamental determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección ( h ), para predecir el intercambio de calor. 7.2.4 Coeficiente de transferencia de calor por convección (h) El intercambiador de calor trabaja con dos fluidos que se mueven a velocidades conocidas. Por lo tanto la convección será forzada. Para abordar el cálculo del coeficiente h, tenemos que basarnos en el análisis dimensional de las ecuaciones de Navier Stokes de la mecánica de fluidos. Estos resultados nos indican que la temperatura adimensional es función del número de Reynolds (Re ), del número de Prandtl (Pr ) y de la geometría adimensional. Si definimos el número de Nusselt (Nu ) como el gradiente de temperatura adimensional en la superficie, podemos decir que el Nu es función del Re ,del Pr y de la geometría adimensional. Nu = f ( Re, Pr, geometría adimensional )


Donde

Re D

=

ρ⋅u ⋅D µ

y Pr =

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ν = µ ⋅ Cp α K f

Siendo ρ ≡ densidad del fluido (kg/m3) u ≡ velocidad media del fluido en la sección transversal del tubo (m/s) D ≡ diámetro interior del tubo (m)

µ ≡ viscosidad dinámica del fluido (kg/m s) ν ≡ viscosidad cinemática del fluido (m2/s) α ≡ difusitividad térmica del fluido (m2/s) Cp ≡ capacidad calorífica del fluido (J/kg k) K f ≡ conductividad térmica del fluido (w/m k) Nota: Debido a que las condiciones de flujo varían de un punto a otro de la superficie, h también varía a lo largo de la superficie. De ahí que tomemos un coeficiente de convección medio, integrando el coeficiente de convección local en toda la superficie. Este valor medio será el usado para obtener el número de Nusselt medio y la tasa de transferencia de calor media, que serán las variables usadas en este estudio. Por otro lado, a partir de la ley de enfriamiento de Newton y del análisis dimensional podemos relacionar el Nu con h : h

=

Nu D ⋅ K f D

Nota: Para fluidos que circulan por tubos, tanto el Re como el Nu se


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basan en el diámetro D (ReD y NuD). Si la superficie fuera plana estarían basados en una longitud característica L ( Re L =

ρ⋅ u ⋅ L h ⋅ L , Nu L = ) µ K f

7.2.5 Obtención del número de Nusselt El problema se basa en encontrar la función f de la ecuación 5. El método más sencillo es utilizar correlaciones empíricas obtenidas a partir de medidas realizadas en laboratorios. Estas correlaciones tienen la siguiente forma algebraica: NuD = C ReDm Prn Los valores de C, m y n son independientes de la naturaleza del fluido, pero varían con la naturaleza de la geometría superficial y del tipo de flujo. El fenómeno de transferencia de calor entre fluidos en flujo interno, es decir, fluidos confinados por una superficie, debe tener en cuenta, además de si el flujo es laminar o turbulento, la existencia de una región de entrada y de una región totalmente desarrollada, tanto térmica como hidrodinámica. 7.2.5.1 Número de Nusselt para flujo en tubos circulares Cuando el fluido entra en el tubo, comienza a crecer la capa límite a medida que avanza a lo largo del tubo. Una vez que toda la sección transversal está ocupada por la capa límite, se alcanza la región de flujo totalmente desarrollado hidrodinámicamente, en la cual los efectos viscosos se extienden a toda la sección y el perfil de velocidad no cambia al avanzar a lo largo del tubo. La distancia desde la entrada hasta la región de flujo totalmente desarrollado hidrodinámicamente se denomina longitud de entrada hidrodinámica (xfd,h).


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espesor de la capa límite

u

δ δ Región de entrada hidrodinámica

Región de flujo totalmente desarrollado hidrodinámicamente

xfd, h

Para hallar xfd,h hay que determinar si el flujo es laminar o turbulento. El número de Reynolds crítico correspondiente al inicio de la turbulencia en flujos totalemente desarrollados es ReD,c ≈ 2300 aunque es a partir de ReD ≈ 10000 cuando tenemos condiciones totalmente turbulentas. Por lo tanto,

flujo laminar → xfd,h ≈ 0.05 D ReD flujo turbulento → 10 D ≤ xfd,h ≤ 60 D

Una vez expuestas las consideraciones hidrodinámicas, veamos los efectos térmicos. Si el flujo entra a una temperatura uniforme, menor que la de la superficie del tubo, comienza a crecer la capa límite térmica, hasta alcanzar la región de flujo totalmente desarrollado térmicamente. En esta zona, el perfil de temperaturas varía a lo largo del tubo aunque el parámetro adimensional de temperaturas permanece constante (

− T = cte ). Donde Tm es la temperatura media en la sección T s − T m T s

transversal del tubo, Ts es la temperatura en la superficie del tubo y T es la


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temperatura en el fluido que varía con la distancia a la superficie del tubo La distancia desde la entrada hasta la región de flujo totalmente desarrollado térmicamente es la longitud de entrada térmica, xfd,t. espesor de la capa límite térmica

δ T

δ T

Región de entrada térmica xfd,

Región de flujo totalmente desarrollado

t

Los valores de la longitud de entrada térmica son: flujo laminar → xfd,t ≈ 0.05 D ReD Pr flujo turbulento → xfd,t ≤ 10 D Una vez que el flujo ya está definido tanto hidrodinámicamente como térmicamente podemos seleccionar la correlación experimental correspondiente. Aquí tenemos algunos casos significativos: 1. Régimen laminar totalmente desarrollado hidrodinámica y térmicamente con temperatura en la superficie constante, y Pr ≥ 0.6: NuD = 3,66 2. Régimen laminar totalmente desarrollado hidrodinámica y térmicamente con flujo de calor por unidad de superficie constante, y Pr ≥ 0.6:


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NuD = 4,36 3. Régimen laminar. Entrada térmica: desarrollo de condiciones térmicas en presencia de un perfil de velocidades totalmente desarrollado, con temperatura en la superficie constante: Nu D

= 3.66 +

0.0668 ⋅ ( D / L ) ⋅ Re D ⋅ Pr 1 + 0.04 ⋅ (( D / L ) ⋅ Re D ⋅ Pr )2 / 3

4. Régimen laminar. Entrada combinada: los perfiles de velocidad y temperatura se desarrollan simultáneamente. Para temperatura en la superficie constante, y 0.48< Pr < 16700: 0 .14

1 / 3  µ  Re D ⋅ Pr   Nu D = 1.86 ⋅   ⋅    L / D   µ s  

5. Régimen turbulento totalmente desarrollado hidrodinámica y térmicamente con 0.6 ≤ Pr ≤ 160, con ReD ≥ 10000 y con (L/D) ≥ 10: NuD = 0.023 Re D0.8 Prn donde n = 0,4 si Ts > Tm (el fluido se está calentando) y n = 0,3 si Ts < Tm (el fluido se está enfriando). 6. Régimen turbulento totalmente desarrollado hidrodinámica y térmicamente con 0.5 ≤ Pr ≤ 2000, con 3000
=

( f / 8 ) ⋅ ( Re D − 1000 ) ⋅ Pr 1 + 12.7 ⋅ ( f / 8 )

1 / 2

⋅ ( Pr 2 / 3 − 1)

Nota: Las propiedades físicas del fluido en las anteriores correlaciones


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están basadas en el promedio de la temperatura media

T m

=

T m , i

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+ T m , o 2

siendo

Tm,i la temperatura media a la entrada al intercambiador y Tm,o la temperatura media a la salida del intercambiador. 7.2.6 Distribución de temperaturas en intercambiadores de calor La distribución de temperaturas de un intercambiador de calor en flujo paralelo y en contracorriente se muestran en las siguientes figuras: temperatu ra

temperatu ra

Th,

Th, calient

∆T

Th,

1

o

∆T 1

∆T

Th, Tc,

2

Tc, frí

calient

o

∆T

o

o

frí

2

Tc,

Tc, 0

posició n FLUJO PARALELO

L

0

posició n

L

FLUJO CONTRACORRIENTE

Th,i ≡ temperatura del fluido caliente a la entrada del intercambiador Th,o ≡ temperatura del fluido caliente a la salida del intercambiador Tc,i ≡ temperatura del fluido frío a la entrada del intercambiador Tc,o ≡ temperatura del fluido frío a la salida del intercambiador En el intercambiador de flujo paralelo, la zona más caliente del fluido caliente intercambia calor con la zona más fría del fluido frío, en la región de


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entrada. Al comienzo la transferencia de calor es grande ya que la diferencia de temperaturas es máxima, pero esa diferencia decae rápidamente a lo largo del intercambiador, aproximándose asintóticamente a cero. Es importante decir que para este tipo de intercambiadores, la temperatura de salida del fluido frío nunca excede a la temperatura de salida del fluido caliente. En el de flujo contracorriente, la zona más caliente del fluido caliente intercambia calor con la zona más caliente del fluido frío y la zona más fría del fluido caliente con la zona más fría del fluido frío. Esta configuración proporciona una transferencia de calor tan buena, entre las partes calientes de ambos fluidos en un extremo, como entre las partes frías en el otro extremo. Además la temperatura de salida del fluido frío puede exceder a la temperatura de salida del fluido caliente. 7.2.7 Diferencia media logarítmica de temperaturas Como hemos visto, la diferencia de temperaturas entre los fluidos varía a lo largo del intercambiador. Por eso, es conveniente definir un valor medio,∆Tm, para el cálculo de la transferencia de calor total: q = U A ∆Tm A partir del análisis desarrollado en la mayoría de los libros de texto de transferencia de calor, encontramos que la diferencia de temperatura media apropiada es una diferencia de temperatura media logarítmica ,∆Tlm :


∆T lm =

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∆T 1 − ∆T 2  ∆T  ln  1    ∆T 2 

que incorporada al cálculo de la tasa de transferencia de calor q = U A ∆Tlm siendo ∆T1 = Th,i − Tc,i

∆T1 = Th,i − Tc,o

y

y

∆T2 = Th,o − Tc,o

∆T2 = Th,o − Tc,i

en flujo paralelo

en flujo contracorriente.

Notar que, para mismas temperaturas de entrada y salida, ∆Tlm para flujo contracorriente es mayor que para flujo paralelo. De este modo, el área requerida para una determinada tasa de transferencia de calor q es menor para contracorriente que para flujo paralelo, asumiendo el mismo valor de U. 7.2.8 Cálculo del coeficiente de transferencia de calor a partir de la tasa de transferencia de calor Dos relaciones importantes para el análisis de un intercambiador de calor son los balances de energía globales, tanto del fluido caliente como del fluido frío. Despreciando los cambios de energía potencial y cinética a lo largo del intercambiador, obtenemos: Tasa general de transferencia de calor desde el fluido caliente: qh = mh Cph ( Th,i − Th,o )

( Ecuación 6 )

Tasa general de transferencia de calor desde el fluido caliente: qc = mc Cpc ( Tc,o − Tc,i )

( Ecuación 7 )


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donde m h y m c son los gastos másicos, y Cp h y Cp c son los calores específicos de los fluidos caliente y frío. Nota: En teoría, q h debiera ser igual a q c pero debido a pérdidas de energía al ambiente y a errores de medida en instrumentos y en observaciones, no son exactamente iguales. Anteriormente dedujimos otra expresión importante para la transferencia de calor a partir de una extensión de la ley de enfriamiento de Newton utilizando U en lugar de h : q = U A ∆Tlm Si obtenemos q a partir de la ecuación 6 ó 7 (utilizaremos la ecuación 6 ya que el efecto de las pérdidas a los alrededores del fluido caliente es menor. El fluido caliente está rodeado por el fluido frío mientras que éste último el que está en contacto con el ambiente) el coeficiente global de transferencia de calor multiplicado por el área de transferencia será: U ⋅ A

=

qh

∆T lm

=

qh

∆T 1 − ∆T 2  ∆T  ln  1    ∆T 2 

Nota: Se puede calcular U , obteniendo un valor medio del área de transferencia: A m = π ⋅ L ⋅

Dint + D ext 2

donde D i nt y D ext son los diámetros interior

y exterior del tubo interior y L es la longitud del intercambiador. 7.2.9 Metodo ntu-efectividad para el análisis de un intercambiador de calor Si las temperaturas de salida del intercambiador no son conocidas,


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para calcular la tasa de transferencia de calor a partir de la diferencia media logarítmica de temperaturas tendríamos que resolver el problema por iteración, partiendo de una valor aproximado de una de las temperaturas. Este método sería lento y costoso. En estos casos es preferible usar el método NTUEfectividad. Primero definimos la efectividad como el cociente entre el calor realmente intercambiado y el máximo que podría transferirse en un intercambiador de área infinita en flujo contracorriente.

ε=

q real q max imo

donde qmaximo = mh Cph ( Th,i − Tc,i ) si mh Cph < mc Cpc porque el fluido caliente experimentaría el cambio mayor de temperatura y qmaximo = mc Cpc ( Th,i − Tc,i ) si mc Cpc < mh Cph porque el fluido frío experimentaría el cambio mayor de temperatura siendo ( Th,i − Tc,i ) el máximo posible de diferencia de temperaturas que sufrirá uno de los dos fluidos. Por lo tanto, la efectividad será:

− T h , o ε= si mh Cph < mc Cpc T h , i − T c , i T h, i

ε=

T c, o T h , i

− T c , i si mc Cpc < mh Cph − T c ,i

El número de unidades de transmisión (NTU) es un parámetro adimensional ampliamente usado para el análisis de intercambiadores de calor y se define como:


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U ⋅ A

NTU =

( m ⋅ Cp ) min

Por otro lado podemos definir el coeficiente de capacidad (CR ):

=

C R

( m ⋅ Cp ) min ( m ⋅ Cp ) max

Ahora podemos expresar ε como función de C R y de NTU :

ε=

ε=

1− e

− NTU ⋅( 1+ C ) R

para flujo paralelo

1 + C R 1− e

− NTU ⋅( 1−C )

1 − C R ⋅ e

R

− NTU ⋅( 1− C )

para flujo contracorriente

R

Una vez calculada la efectividad, las temperaturas a la salida del intercambiador serán: Th,o = Th,i − ε ( Th,i − Tc,i ) si

mh Cph < mc

si

mc Cpc < mh

Tc,o = Tc,i + CR ( Th,i − Th,o ) Tc,o = Tc,i + ε ( Th,i − Tc,i ) Th,o = Th,i − CR ( Tc,o − Tc,i )

7.2.10 Cálculo de la transferencia de calor en intercambiadores de vasija agitada 7.2.10.1

Cálculo de la transferencia de calor entre los fluidos con


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alimentación continua Cuando la vasija agitada funcione con ambos fluidos circulando continuamente, la tasa de transferencia de calor entre ambos será la expresión ya conocida: dQ

&= Q

dt

siendo A

= U ⋅ A ⋅ ∆T lm U ≡ coeficiente

global de transferencia de calor

≡ área de transferencia de calor

∆T lm ≡ variación de temperatura logarítmica media

7.2.10.2

Cálculo de la transferencia de calor entre los fluidos en operación a

lotes Dado que la masa de fluido de la vasija no se renueva, su temperatura irá aumentando o disminuyendo a medida que transcurre el tiempo, debido al fluido que circula por la camisa o por el serpentín. La tasa de transferencia de calor para el fluido de la vasija será: &= Q

dQ dt

dT = m&⋅ Cp ⋅ v dt

siendo m& ≡ masa de fluido contenido en la vasija Cp

≡ capacidad calorífica

dT v dt

tiempo

≡ variación de la temperatura del fluido de la vasija con el


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Conociendo que la tasa de transferencia de calor también viene dada por la expresión, Q&= U ⋅ A ⋅ ∆T , podemos igualar ambas relaciones: &⋅ Cp ⋅ m

dT v dt

= U ⋅ A ⋅ ∆T

Reordenando términos e integrando a ambos lados,

∫

⋅ = ∫ U A ⋅ dt &⋅ Cp ∆T m

dT v

Nota: Para simplificar los cálculos, asumiremos que la temperatura del fluido en la vasija es uniforme en todo el recipiente en un instante determinado (Tv) y que el incremento de temperatura que se produce en el intercambiador entre ambos fluidos es: ∆T = T Lm + T v , siendo TLm la temperatura media del fluido que circula por la camisa o por el serpentín, T Lm =

T L ,i

+ T L ,o 2

, donde TL,i y

TL,o son las temperaturas a la entrada y a la salida respectivamente. Asumiremos también que TLm permanece constante con el tiempo. De este modo, T v ,2

dT v

∫ T Lm − T v

T v ,1

=

t

 T − T  U ⋅ A ⋅ ∫ dt  → ln Lm v1   = m&⋅ Cp ⋅ t &⋅ Cp − m T T  Lm v 2  0 U ⋅ A

Por lo tanto, el tiempo transcurrido desde que la temperatura del fluido de la vasija pasa de T v1 hasta Tv2 es: t =

&⋅ Cp m U ⋅ A

 T − T  ⋅ ln Lm v1    T Lm − T v 2 

Del mismo modo, la evolución de la temperatura final del fluido de la


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vasija con el tiempo es:

T v 2

= T Lm − ( T Lm

− U ⋅ A ⋅t − T v1 ) ⋅ e m&⋅Cp

Representando gráficamente esta expresión,

T (temperatura) TL m

Tv 2

Tv 1

t (tiempo )

7.2.10.3

Cálculo de los coeficientes de convección Coeficiente de convección del fluido que circula por un serpentín La transferencia de calor en serpentines será dependiente de los mismo

parámetros que para fluidos dentro de tubos, aunque el movimiento circular a través del serpentín genera una turbulencia adicional. Para ello se aplica un factor ala coeficiente de convección en tubos rectos. Una correlación empírica es la siguiente:


h serpentín

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 d  = h tuborecto ⋅ 1 + 3.5 ⋅ t  d c   

siendo d t ≡ diámetro interno del tubo que forma el serpentín d c≡ diámetro

global del serpentín

h tuborecto≡ coeficiente

de convección de un tubo recto de mismo

diámetro y misma longitud que el tubo del serpentín Coeficiente de convección del fluido en el interior de una vasija agitada Para obtener el número de Nusselt se utilizan correlaciones empíricas que no solo se aplican a geometrías estándar sino que también tienen en cuenta variaciones de la geometría, c

Nu v

 µ  = K ⋅ Re aa⋅ Pr b ⋅    ⋅ ( Factores _ de _ corrección _ de _ la _ geometría) µ  s  ≡ número de Nusselt basado en el diámetro interior de la vasija,

Nu v

referido a la transferencia de calor sobre la superficie exterior del serpentín o sobre la superficie interior de la vasija Re a

Re a

≡ número de Reynolds de agitación =

N ⋅ D i 2

ν

donde N ≡ velocidad de giro del agitador (rev/s) D i

≡ diámetro de la pala de agitación (m)

ν ≡ viscosidad cinemática(m2/s)


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Pr ≡ número de Prandtl k , a , b , c ≡ constantes

que varían con la geometría de la vasija y del

agitador µ ≡ viscosidad a la temperatura promedio en la vasija

µ s ≡ viscosidad a la temperatura de la superficie exterior del serpentín

o interior de la vasija A continuación veremos dos de estas correlaciones, que nos serán útiles en nuestro intercambiador. Superficie exterior del ser pentín como superficie de tr ansferenci a de calor:

Correlación de Ackley (1960) y Nagata (1972) siendo la superficie exterior del serpentín la superficie de transferencia de calor: 0 .14

Nu v

 µ  = 0.078 ⋅ Re a 0.62 ⋅ Pr 1 / 3 ⋅     µ s 

0. 5

0 .2

 d / D   D / D  ⋅  t v  ⋅  v i   0.03   3 

Esta correlación es válida si se satisfacen los siguientes parámetros: Agitador hélice de 3 álabes x l D v

=1 ,

x i x l

=1 , 3

Di D v

=1 , 3

d t D v

= 0.03 ,

d t d g

=1

Super ficie inter ior de la vasija como superficie de tr ansferencia de calor:

Correlación de Ackley (1960) y Nagata (1972) siendo la superficie interior de la vasija la superficie de transferencia de calor:


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0.14

Nu v

 µ  = 0.37 ⋅ Re a 2 / 3 ⋅ Pr 1 / 3 ⋅     µ s 

0 .25

 D / D  ⋅  v i   3 

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0. 15

 x  ⋅  i    x l 

Esta correlación es válida si se satisfacen los siguientes parámetros: Agitador hélice de 3 álabes x l D v

=1 ,

x i x l

=1 , 3

Di D v

=1 3

siendo: x l ≡ altura de fluido en la vasija D v

≡ diámetro interior de la vasija

x i

≡ distancia desde el fondo de la vasija hasta las palas del agitador

D i

≡ diámetro de las palas del agitador

d t ≡ diámetro

interior del tubo del serpentín

d g ≡ separación

entre vueltas del serpentín

Coeficiente de convección del fluido en el interior de una camisa Es muy difícil proporcionar correlaciones precisas de transferencia de calor en una camisa ya que el flujo a través de ésta depende en gran medida de la posición de la entrada y salida del fluido en la camisa. Brown proporcionó datos para el coeficiente de convección de agua fluyendo en una camisa en el rango de 635 a 1170 w/m2K.


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7.3 ADVERTENCIAS, INSTRUCCIONES PRINCIPALES Y PRECAUCIONES - EVITAR

EL

CONTACTO

CALENTAMIENTO

YA

CON

EL

QUE

SE

DEPÓSITO

DE

ALCANZAN

TEMPERATURAS DEL ORDEN DE 70 ºC - No abrir la válvula de purga del depósito de calentamiento mientras el depósito esté lleno. - Llenar el depósito de agua por encima del interruptor de nivel. - No retirar la tapa del depósito, durante el desarrollo de las prácticas. - Comprobar que la válvula AV-9 está abierta y que AV-10 está cerrada para trabajar con el sistema en alimentación continua. Asimismo comprobar que AV-10 está cerrada para trabajar en procesos a lotes. - Comprobar la correcta posición de las válvulas antes de iniciar cada práctica. - Comprobar que el ordenador está conectado a la interfase y que cada uno de los sensores del equipo está conectado a la interfase. Arrancar el programa SACED.


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7.4 RELACIÓN DE PRÁCTICAS 7.4.1 Práctica 1: Sistema de Control: Calibración de los sensores de temperaturas. 7.4.1.1 Objetivo El objetivo principal de esta práctica es introducir al alumno en el complejo mundo de los sensores y su calibración. 7.4.1.2 Elementos necesarios. Para el desarrollo de esta práctica se requiere de: Sistema SACED suministrado con el equipo. Termómetro perfectamente calibrado. Un recipiente o vaso. Una fuente de calor. Aproximadamente 0.5 kg de hielo. 7.4.1.3. Desarrollo de la práctica. Para más información del desarrollo de la práctica, remítase al manual de calibración.


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7.4.2 Práctica 2: Sistema de Control: Calibración de los sensores de caudal 7.4.1.1. Objetivo El objetivo principal de esta práctica es introducir al alumno en el complejo mundo de los sensores y su calibración. 7.4.1.2. Elementos necesarios. Para el desarrollo de esta práctica se requiere de: Sistema SACED suministrado con el equipo. Un vaso o recipiente calibrado. Un cronómetro. 7.4.1.3. Desarrollo de la práctica. Para el calibrado del sensor de caudal se encenderá la bomba y se anotarán las lecturas en voltios proporcionadas por el sensor de caudal. A su vez habrá que medir el caudal manualmente, midiendo con un cronómetro, el tiempo que tarda en llenarse un vaso calibrado que recoge el agua que entra al depósito de calentamiento. Realizando una representación de estas lecturas (voltios) con la magnitud física se realizará una regresión lineal de la misma, determinando el Offset (A0) y el span (A1). Para más información del desarrollo de la práctica, remítase al manual de calibración.


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7.4.3 Práctica 3: Estudio de la histéresis del sensor de Caudal. 7.4.3.1 Objetivo El objetivo de este ensayo es la determinación de la reproducibilidad de los sensores. 7.4.3.2 Procedimiento de Ensayo. Para la realización de esta práctica se realizará el mismo procedimiento descrito en la práctica anterior, pero se anotará los valores de tensión obtenidos en un proceso de incremento de caudal y en uno de disminución de caudal. La presentación de los resultados, nos proporcionará la histéresis del sensor. Recuerde, un buen sensor es aquel que proporciona una muy pequeña curva de histéresis. Para más información, remítase al manual de calibración M4.


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7.4.4 Práctica 4: Balance global de energía en el intercambiador y estudio de pérdidas. 7.4.4.1 Objetivo Realizar el balance global de energía en el intercambiador calculando el calor cedido por el fluido caliente, el calor ganado por el fluido frío y las pérdidas de calor. Calcular la diferencia de temperaturas media logarítmica y el coeficiente global de transferencia de calor. 7.4.4.2 Elementos necesarios Intercambiador de vasija con serpentín Edibon TIRS. 7.4.4.3 Desarrollo de la práctica 1. Comprobar que las válvulas están abiertas y que tenemos configuración en flujo paralelo. 2. Comprobar que el depósito de calentamiento está lleno de agua, por encima del interruptor de nivel. 3. Comprobar que la válvula AV9 está abierta y que la válvula AV10 está cerrada. 4. Encender la bomba y la resistencia (alimentación del equipo). 5. Fijar la temperatura del depósito en 50 ºC (ST1). 6. Fijar el caudal de agua caliente en unos 3 l/min (SC1)y ajustar el


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caudal de agua fría hasta alcanzar condiciones de operación estacionarias manteniéndose la temperatura fijada en el depósito constante. 7. Fijar la velocidad de giro del agitador en 500 rpm. 8. Anotar las medidas de temperaturas y caudales en la hoja experimental. 9. Repetir los pasos 5 y 6 para distintas temperaturas del agua del depósito: 55 ºC, 60ºC y 65 ºC. 10.Una vez realizadas las medidas, calcular el calor cedido por el agua caliente, el calor absorbido por el agua fría, las pérdidas de calor, la diferencia de temperaturas media logarítmica y el coeficiente global de transferencia de calor. 7.4.4.4 Resultados y tablas Tabla para la recogida de medidas durante la práctica ENSAYO 1

ST1 ( ºC ) ST2 ( ºC ) ST3 ( ºC ) ST4 ( ºC ) ST5 ( ºC ) ST6 ( ºC ) SC1 ( l/min ) SC2 ( l/min ) Volumen vasija ( l ) Velocidad giro (rpm )

ENSAYO 2

ENSAYO 3

ENSAYO 4

50

55

60

65

3

3

3

3

5.5

5.5

5.5

5.5

500

500

500

500

A partir de estas medidas recogidas se pide calcular las siguientes variables termodinámicas:


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- calor cedido por el agua caliente (qh) - calor absorbido por el agua fría (qc) - pérdidas de calor (ql ) - diferencia de temperaturas media logarítmica entre el agua caliente y el agua fría (∆Tlm) - coeficiente global de transferencia de calor (U) ENSAYO 1

ENSAYO 2

ENSAYO 3

qh ( w ) qc ( w ) ql ( w )

∆Tlm ( k ) U ( w/m2k )

7.4.4.5 Conclusiones y comentarios Comentar los resultados obtenidos.

ENSAYO 4


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7.4.5 Práctica 5: Determinación de la efectividad del intercambiador. Método NTU. 7.4.5.1 Objetivo Determinar

la

efectividad

del

intercambiador

tanto

experimentalmente como teóricamente (con el método NTU) y compararlas. Estimar las temperaturas de salida del agua caliente y del agua fría y compararlas con los valores medidos. Representar la distribución de temperaturas a lo largo del intercambiador tanto para el agua fría como par el caliente. 7.4.5.2 Elementos necesarios Intercambiador de vasija con serpentín EDIBON TIRS. 7.4.5.3 Desarrollo de la práctica 1. Comprobar que las válvulas están abiertas y que tenemos configuración en flujo paralelo. 2. Comprobar que el depósito de calentamiento está lleno de agua, por encima del interruptor de nivel. 3. Comprobar que la válvula AV9 está abierta y que la válvula AV10 está cerrada. 4. Encender la bomba y la resistencia (alimentación del equipo). 5. Fijar la temperatura del depósito en 65 ºC (ST1).


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6. Fijar la velocidad de giro del agitador en 500 rpm 7. Fijar el caudal de agua caliente en unos 3 l/min (SC1) y ajustar el caudal de agua fría hasta alcanzar condiciones de operación estacionarias manteniéndose la temperatura fijada en el depósito constante. 8. Anotar las medidas de temperaturas y caudales en la hoja experimental. 9. Aumentar la velocidad de giro del agitador hasta 1000 rpm. 10.Asegurarnos de que se mantienen 65ºC en el depósito y que circulan los mimos caudales de agua fría y caliente que fijamos en el paso 5. 11. Una vez estabilizado el sistema anotar las medidas de temperaturas

y caudales en la hoja experimental. 12.Una vez realizadas las medidas, calcular la efectividad experimental, la efectividad teórica con el método NTU, y las temperaturas teóricas a la salida del intercambiador. Representar la distribución de temperaturas para los casos 500 rpm y 1000 rpm.


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7.4.5.4 Resultados y tablas Tabla para la recogida de medidas durante la práctica

ENSAYO 1 ST1 ( ºC )

ENSAYO 2 65

65

3

3

5.5

5.5

500

1000

ST2 ( ºC ) ST3 ( ºC ) ST4 ( ºC ) ST5 ( ºC ) ST6 ( ºC ) SC1 ( l/min ) SC2 ( l/min )

Volumen vasija ( l ) Velocidad giro (rpm )

A partir de estas medidas recogidas se pide calcular las siguientes variables termodinámicas: - efectividad experimental (ε) - calor cedido por el agua caliente (qh) - diferencia de temperaturas media logarítmica entre el agua caliente y el agua fría (∆Tlm ) - los parámetros: U⋅A , NTU y CR . - efectividad obtenida con el método NTU (εNTU) - temperaturas a la salida del intercambiador tanto del agua caliente como del agua fría obtenidas a partir de la efectividad experimental


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(Th,o y, Tc,o)

ENSAYO 1

ENSAYO 2

ε qh ( w )

∆Tlm ( k ) U⋅A ( w/k ) NTU CR

ε NTU Th,o ( ºC ) Tc,o ( ºC )

7.4.5.5 Conclusiones y comentarios Comentar los valores obtenidos, comparando la efectividad experimental (ε) con la efectividad obtenida por el método NTU (εNTU). Comparar también los valores medidos de las temperaturas a la salida del intercambiador con las obtenidas a partir de la efectividad experimental. Comentar la influencia de la velocidad de agitación en la vasija sobre la efectividad y las temperaturas. 7.4.5.6 Gráficas complementarias Representar la distribución de temperaturas para el primer ensayo (500 rpm) y para el segundo (1000 rpm). Para ello representar en el eje de ordenadas los valores de la temperatura del agua caliente y del agua fría en ºC


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(T); y en el eje de abcisas representar la posición a lo largo del intercambiador en metros (x). Tener en cuenta que la longitud de intercambio es de 5m correspondiente a la longitud del serpentín y que tenemos dos puntos de medida: Agua fría: ST2 en x=0, ST6 en x= L = 5m Agua caliente: ST3 en x=0 y ST5 en x= 5m


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7.4.6 Práctica 6: Influencia del caudal en la transferencia de calor. Cálculo del número de Reynolds. 7.4.6.1 Objetivo Estudiar la influencia del caudal de agua caliente en la transferencia de calor en el intercambiador. Calcular la velocidad y el número de Reynolds asociado al movimiento de cada fluido. 7.4.6.2 Elementos necesarios Intercambiador de vasija con serpentín Edibon TIRS. 7.4.6.3 Desarrollo de la práctica 1. Comprobar que las válvulas están abiertas y que tenemos configuración en flujo paralelo. 2. Comprobar que el depósito de calentamiento está lleno de agua, por encima del interruptor de nivel. 3. Comprobar que la válvula AV9 está abierta y que la válvula AV10 está cerrada. 4. Encender la bomba y la resistencia (alimentación del equipo). 5. Fijar la temperatura del depósito en 65 ºC (ST1). 6. Fijar la velocidad de giro en 500 rpm 7. Fijar el caudal de agua caliente en unos 3 l/min (SC1) y ajustar el caudal de agua fría hasta alcanzar condiciones de operación


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estacionarias manteniéndose la temperatura fijada en el depósito constante. 8. Anotar las medidas de temperaturas y caudales en la hoja experimental, sin olvidarse de calcular la temperatura media del agua caliente. 9. Disminuir el caudal de agua caliente hasta unos 2.5 l/min manteniendo constante el caudal de agua fría. A su vez hay que conseguir la misma temperatura media en el agua caliente (para que las propiedades físicas del agua caliente no varíen durante la práctica). Para ello habrá que disminuir la potencia de la resistencia del depósito y hacer el promedio entre la temperatura T3 y T5 (Tm h = T 3 + T 5 ), hasta alcanzar un valor lo más próximo 2

posible al del ensayo anterior. 10.Cuando se estabilice el sistema anotar las temperaturas y caudales en la hoja experimental. 11.Repetir los pasos 7 y 8 para caudales de agua caliente de 2 l/min y 1.5 l/min. 12.Calcular el calor cedido por el fluido caliente, el ganado por el fluido frío y las pérdidas. Determinar la diferencia de temperaturas media logarítmica y el coeficiente global de transferencia de calor. Obtener las velocidades de los fluidos caliente y frío y el número de Reynolds.


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7.4.6.4 Resultados y tablas Tabla para la recogida de medidas durante la práctica ENSAYO 1 ST1 ( ºC )

ENSAYO 2

ENSAYO 3

ENSAYO 4

65

ST2 ( ºC ) ST3 ( ºC ) ST4 ( ºC ) ST5 ( ºC ) ST6 ( ºC ) Tmh=(ST3+ST5)/2 SC1 ( l/min )

3

2.5

2

1.5

Volumen vasija (l)

5.5

5.5

5.5

5.5

Velocidad giro (rpm)

500

500

50 0

500

SC2 ( l/min )

A partir de estas medidas recogidas se pide calcular las siguientes variables termodinámicas: - calor cedido por el agua caliente (qh) - calor absorbido por el agua fría (qc) - pérdidas de calor (ql ) - diferencia de temperaturas media logarítmica entre el agua caliente y el agua fría (∆Tlm) - coeficiente global de transferencia de calor (U) - velocidad del agua caliente y del agua fría en el intercambiador


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(uh,uc) - nº de Reynolds para el agua caliente y para el agua fría (Re Dh, Re ReDc)

ENSAYO 1

ENSAYO 2

ENSAYO 3

ENSAYO 4

qh ( w ) qc ( w ) ql ( w )

∆Tlm ( k ) U ( w/m2k ) uh (m/s) uc (m/s) ReDh ReDc

7.4.6.5 Conclusiones y comentarios Analizar la influencia del caudal y el Re D D en la transferencia de calor.


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7.4.7 Práctica 7: Influencia de la agitación en la vasija sobre la transferencia de calor en operación a lotes. 7.4.7.1 Objetivo Estudiar el efecto del número de Reynolds de agitación sobre la transferencia de calor. 7.4.7.2 Elementos necesarios Intercambiador de vasija con serpentín Edibon TIRS. Cronómetro. 7.4.7.3 Desarrollo de la práctica 1. Comprobar que las válvulas están abiertas y que tenemos configuración en flujo paralelo. 2. Comprobar que el depósito de calentamiento está lleno de agua, por encima del interruptor de nivel. 3. Comprobar que la válvula AV10 está cerrada. 4. Llenar la vasija, suministrando agua de la red. Una vez alcanzado el nivel del rebosadero (V=5.5 litros), cerrar el suministro de agua. 5. Encender la bomba y la resistencia (alimentación del equipo). 6. Fijar la temperatura del depósito en 60 ºC (ST1) y el caudal de agua caliente en 3 l/min (SC1).


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7. Fijar la velocidad de giro en 500 rpm 8. Anotar las medidas de temperaturas en la hora experimental a la vez que se pone en marcha el cronómetro. 9. Anotar las medidas de la temperatura en la vasija (ST4) y a la entrada y salida del agua caliente (ST3 y ST5) cada minuto de tiempo transcurrido. 10.Transcurridos 10 minutos, volver a anotar las medidas de temperaturas y rellenar la hoja experimental. 11.Repetir los pasos 8, 9 y 10 para distintas velocidades de giro: 1000 rpm y 1500 rpm. 12.Una vez realizadas las medidas, calcular el calor cedido por el agua caliente, el calor absorbido por el agua fría, las pérdidas de calor, el incremento de temperatura media y el coeficiente global de transferencia de calor. Representar la evolución de la temperatura de la vasija con el tiempo y estimar su valor en t=10 minutos para cada una de las 3 velocidades de giro.


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7.4.7.4 Resultados y tablas Tablas para la recogida de medidas durante la práctica Tiempo (min) ENSAYO 1

ENSAYO 2

ENSAYO 3

ST3(ºC) ST4(ºC) ST5(ºC) ST3(ºC) ST4(ºC) ST5(ºC) ST3(ºC) ST4(ºC) ST5(ºC) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ENSAYO 1

ENSAYO 2

ENSAYO 3

ST1 ( ºC )

60

60

60

SC1 ( l/min )

3

3

3

Volumen vasija (l)

5.5

5.5

5.5


500

1000

1500

A partir de estas medidas recogidas se pide calcular las siguientes variables termodinámicas: - calor cedido por el agua caliente (qh) - calor absorbido por el agua fría (qc) - pérdidas de calor (ql )


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- incremento de temperatura media entre el agua caliente y el agua fría (∆Tm) - coeficiente global de transferencia de calor (U) - nº de Reynolds de agitación para el agua fría (Rea) - incremento de temperatura del agua de la vasija después de transcurridos 10 minutos (Tv2 – Tv1)

ENSAYO 1

ENSAYO 2

ENSAYO 3

qh ( w ) qc ( w ) ql ( w )

∆Tm ( k ) U ( w/m2k ) Rea Tv2 – Tv1

7.4.7.5 Conclusiones y comentarios Analizar el efecto de Rea sobre el resto de parámetros calculados. Comparar el parámetro (T v2 – Tv1) respecto del valor experimental obtenido con las medidas (ST4(t=10)–ST4(t=0)). 7.4.7.6 Gráficas complementarias Representar la temperatura del agua de la vasija con el tiempo (ST4 vs t). Representar en la misma gráfica, la expresión teórica de la temperatura del agua de la vasija frente al tiempo. (Tv vs t). Comparar ambas gráficas.


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7.4.8 Práctica 8: Influencia del volumen de agua en la vasija sobre la transferencia de calor en operación a lotes. 7.4.8.1 Objetivo Estudiar el efecto sobre la transferencia de calor de la masa de agua contenida en la vasija. 7.4.8.2 Elementos necesarios Intercambiador de vasija con serpentín Edibon TIRS. Cronómetro. 7.4.8.3 Desarrollo de la práctica 1. Comprobar que las válvulas están abiertas y que tenemos configuración en flujo paralelo. 2. Comprobar que el depósito de calentamiento está lleno de agua, por encima del interruptor de nivel. 3. Comprobar que la válvula AV10 está cerrada. 4. Llenar la vasija, suministrando agua de la red. Una vez alcanzado el nivel del rebosadero (V=5.5 litros), cerrar el suministro de agua. 5. Encender la bomba y la resistencia (alimentación del equipo). 6. Fijar la temperatura del depósito en 60 ºC (ST1) y el caudal de agua caliente en 3 l/min (SC1). 7. Fijar la velocidad de giro en 500 rpm


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8. Anotar las medidas de temperaturas en la hora experimental a la vez que se pone en marcha el cronómetro. 9. Anotar las medidas de la temperatura en la vasija (ST4) y a la entrada y salida del agua caliente (ST3 y ST5) cada minuto de tiempo transcurrido. 10.Transcurridos 10 minutos, volver a anotar las medidas de temperaturas y rellenar la hoja experimental. 11.Repetir los pasos 8, 9 y 10 para distintos volúmenes en la vasija: 4 litros y 3 litros. Para obtener estos volúmenes bastará con abrir la válvula AV10 lentamente, hasta alcanzar el nivel indicado en la vasija. 12.Una vez realizadas las medidas, calcular el calor cedido por el agua caliente, el calor absorbido por el agua fría, las pérdidas de calor, el incremento de temperatura media y el coeficiente global de transferencia de calor. Representar la evolución de la temperatura de la vasija con el tiempo y estimar su valor en t=10 minutos para cada uno de los 3 volúmenes.


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7.4.8.4 Resultados y tablas Tablas para la recogida de medidas durante la práctica Tiempo (min) ENSAYO 1 (V=5.5 litros)

ENSAYO 2 (V=4 litros)

ENSAYO 3 (V=3 litros)

ST3(ºC) ST4(ºC) ST5(ºC) ST3(ºC) ST4(ºC) ST5(ºC) ST3(ºC) ST4(ºC) ST5(ºC) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ENSAYO 1

ENSAYO 2

ENSAYO 3

ST1 ( ºC )

60

60

60

SC1 ( l/min )

3

3

3

Volumen vasija (l)

5.5

4

3


500

500

500

A partir de estas medidas recogidas se pide calcular las siguientes variables termodinámicas: - calor cedido por el agua caliente (qh) - calor absorbido por el agua fría (qc) - pérdidas de calor (ql )


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- incremento de temperatura media entre el agua caliente y el agua fría (∆Tm) - coeficiente global de transferencia de calor (U) - nº de Reynolds de agitación para el agua fría (Rea) - incremento de temperatura del agua de la vasija después de transcurridos 10 minutos (Tv2 – Tv1)

ENSAYO 1

ENSAYO 2

ENSAYO 3

qh ( w ) qc ( w ) ql ( w )

∆Tm ( k ) U ( w/m2k ) Rea Tv2 – Tv1

7.4.8.5 Conclusiones y comentarios Analizar el efecto del volumen de agua en la vasija sobre el resto de parámetros calculados. Comparar el parámetro (Tv2 – Tv1) respecto del valor experimental obtenido con las medidas (ST4(t=10)–ST4(t=0)). 7.4.8.6 Gráficas complementarias Representar la temperatura del agua de la vasija con el tiempo (ST4 vs t). Representar en la misma gráfica, la expresión teórica de la temperatura del agua de la vasija frente al tiempo. (Tv vs t). Comparar ambas gráficas.


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7.5 APÉNDICE 7.5.1 APÉNDICE 1:Tabla de propiedades del agua

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Ti Vasija y Serpentin

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