1. Los Dueños Dueños de FastFoods, FastFoods, Inc., Inc., están están tratando tratando de decidir decidir si construyen construyen una nueva nueva sucursal sucursal en un centro comercial abierto, en un centro comercial cerrado o en un lugar remoto del que los analistas opinan que tienen un gran potencial de crecimiento. Además del costo de construcción $ 100000, independiente del lugar, la renta anual de arrendamiento de cinco años en el centro al aire libre es de 30 000 $, en el centro comercial cerrado es de 50 000 $ y en un lugar retirado es de 10 000 $. La probabilidad las ventas de 5 años estén por debajo del promedio se estima en 0.3, la probabilidad en el promedio es de 0.5, y de que estén por encima del promedio es de 0.2. El personal de mercadotecnia a preparado la siguientes proyecciones de recuperación para cinco años para cada resultado posible: VENTAS
Cent Centro ro al Aire Aire Cent Centro ro Cerr Cerrad adoo Libre
Por debajo del 10 0 00 0 promedio Promedio 2 00 0 00 Por encima del 40 0 00 0 promedio
Luga Lugarr Ret Retir irad adoo
2 00 00 0
5 00 0 0
4 000 0 0
1 0 00 0 0
6 00 00 0
3 00 0 00
Utilice la matriz de ganancias para calcular a mano la decisión óptima y la ganancia asociada, usando cada uno de los siguientes criterios e ignorando cualquier flujo de efectivo después de cinco años: a) MáxiMax b) MaxiMin c) Hu Hurw rwiicz (con (con α=0.6) d) Savage e) Apliqu Apliquee tambi también én el criter criterio io de de bayes. bayes. f) Laplace g) Prepare Prepare una tabl tablaa resumen resumen con los los resultad resultados. os. Resolución.-
Costo de construcción = 100000 $ Arrendamiento de 5 años en el centro al aire libre = 30000 $ Arrendamiento de 5 años en el centro cerrado =
50000 $
Arrendamiento de 5 años en un lugar retirado =
10000 $
Acciones a j
Estados de Naturaleza
Probblidad. P( k )
a1: Construir en el centro al aire libre
θ1: Ventas por debajo del promedio
P(θ1)=0.3
a2: Construir en el centro cerrado
θ2: Ventas en el promedio
P(θ2)=0.5
a3: Construir en un lugar retirado
θ3: Ventas por encima del promedio
P(θ3)=0.2
k
Tabla de recuperación (Utilidad en cinco años) *104 $
θ1 θ2 θ3 a1 10 20 4 0 a2 20 40 6 0 a3 5 10 3 0 Beneficio = Recuperación-(consto de construcción - costo del alquiler) a j /
k
a11:10-10-3*5= -15*10 4 $
a21: 20-10-5*5= - 15*10 4 $
a31: 5-10-1*5= -10*10 4 $
a12:20-10-3*5= -5*10 4 $
a22: 40-10-5*5= 5*10 4 $
a32: 10-10-1*5= -5*10 4 $
a13:40-10-3*5= 15*10 4 $
a23: 60-10-5*5= 25*10 4 $
a33: 30-10-1*5= 15*10 4 $
Matriz de ganancias * 104 $
a j /
a1 a2 a3
k
θ1 - 15 - 15 - 10
θ2 -5 5 -5
θ3 15 25 15
( Max f a j ,θ k ) a) Max a j θ k
( Min f a j ,θ k ) b) Max a
Max f ( a j ,θ k
Min f ( a j ,θ k
θ k
a 1 15 a2 25 a3 15
θ k
j
θ k
Max 25 a2
a1 -15 a2 -15 a3 -10
Max -10*104 a3
c) Hurwicz
Max(α * Max f a j ,θ k a j
θ k
+
(1 − α ) * Min f ( a j ,θ k ) ) θ k
0.6 * 0.6 * 0.6 *
15 25 15
+ + +
0.4 0.4 0.4
* * *
(-15) =3 (-15) =9 (-10) =5
Max
9*104 a2
d) Savage
Max f a j ,θ k θ k
− f (a j ,θ k )
a11: -10-(-15)= 5
a21: -10-(-15)= 5
a31: -10-(-10)=0
a12: 5-(-5)= 10
a22: 5-5=0
a32: 5-(-5)=10
a13: 25-15=10
a23: 25-25=0
a33:25-15=10
Matriz Retificada a j /
k
a1 a2 a3 Aplicando
[(
θ1 5 5 0
θ2 10 0 10
θ3 10 0 10
)]
Min( Max f a j ,θ k ) θ k
a j
Max f a j ,θ k θ k
θ 1
10
θ 2
5
θ 3
10
Min
5*104 a2
( E f a j ,θ k * P (θ k ) ) e) Criterio de Bayes: Max a j
a1 :-15*0.3-5*0.5-15*0.2 = -10 a2 :-15*0.3+5*0.5+25*0.2=3 a3 :-10*0.3-5*0.5+15*0.2 = -2.5
1 * ∑ f ( a j ,θ k ) n
f) Laplace Max a j
Max
3*104 a2
a1 :
Max
35 1 15 − = * ( 5 15 ) = 11.67 ∑ 3 3
a2 :
15 1 + = = 5 * ( 25 ) 5 -15 + ∑ 3 3 a3 : 0 1 3 * ∑ (−10− 5 + 15) = 3 = 0
11.67*104 a1
g)
MaxiMax MaxiMin 25*104 -10*104 a2 a3
Hurwicz 9*104 a2
Savage Bayes 5*104 3*104 a2 a2
Laplace 11.67*104 a1
2. La administ administraci ración ón FastFoods FastFoods,, Inc., Inc., del ejercic ejercicio io 1, esta esta con consid sideran erando do contratar contratar a la empresa empresa Predictions Predictions Science para que lleve a cabo una investigación investigación de mercado mercado y poder determinar determinar en circunstancias regulares, si un número significativo va ha comer (I1) o no va ha comer (I2) en su restaurante. El departamento de mercadotecnia de Prediction Science, junto con FastFoods, Inc., cree que si el resultado de las ventas esta por encima del promedio, 85 % de las veces, la investigación tendría como resultado I1, y 15% de las veces I2. Para el resultado de ventas promedio, ambos indicadores son igualmente probables; y si las ventas están por debajo del promedio, I1 es 25% probable que ocurre e I2 es 75% probable que ocurra. a) Trace Trace un árbol árbol de probab probabili ilidad dades es apropia apropiada da b) Calcule la ganancia esperada sin información de muestra c) Calcule Calcule la ganancia ganancia esperada esperada con con informació informaciónn de la muestra muestra d) Calcule Calcule el valor valor esperado esperado de la la informació informaciónn de la muestra muestra e) Combin Combinee los resultado resultadoss obtenidos obtenidos en los incisos incisos (a) a (d) para determi determinar nar si se debe lleva llevarr a cabo la investigación Resolución.Y/
k
I1: van ha comer I2: no van ha comer
θ1: Por debajo del promedio 0.25 0.75
θ2: En el promedio θ3: Encima del promedio 0.5 0.85 0.5 0.15
a) -9.949 0.1515 0.5051
a1 a1
-15 -5
0.3434
8.383
-15
8.838 a2
0.5051
a2
I1(0.495)
-15
0.1515
0.3434
a3
1.1105
5 25 -
0.1515 0.5051
a3
0.3434
42.8679
-5 15
-10.04850.4455
Proceso
0.4950
a1 a1
-2.7225 0.4455 0.4950
a2
0.0594
a3
-8.2665
0.4455 0.4950
a3
0.0594
Con Experimentación
22.999*104 $
-5 -15
a2
Por Bayes sin experimentación 23*104 $
-15
0.0594
-2.7225 I1(17.27)
10
-15 5 25 --10
-5 15
Observando Observando estos los dos comportamientos comportamientos se podría decir que es conveniente conveniente experimenta experimentarr ya que la diferencia es mínima (10 $), pero si es que se va ha la experimentación ya no convendria entonces a la conclusión que se llega es que no debe llevarse a cabo la investigación. 3. Para el problejma problejma FastFoods, FastFoods, Inc., descrito descrito en el problem problemaa 1, la la administra administración ción siente siente que las las probabilidades de los resultados de las ventas depende donde esté el restaurante. Las probabilidad y entradas anuales esperadas esp eradas para cada localización se dan en las siguientes tablas: CENTRO AL AIRE LIBRE VENTAS Por debajo del promedio Promedio Por encima del promedio CENTRO CERRADO VENTAS Por debajo del promedio Promedio Por encima del promedio CENTRO RETIRADO VENTAS Por debajo del promedio Promedio Por encima del promedio
PROBABILIDAD 0.15 0.6 0.25
RECUPERACIÓN 100000 $ 200000 $ 400000 $
PROBABILIDAD 0.35 0.50 0.15
RECUPERACIÓN 200000 $ 400000 $ 600000 $
PROBABILIDAD 0.20 0.40 0.20
RECUPERACIÓN 50000 $ 100000 $ 100000 $
a) Trace un árbol árbol de decisiones decisiones apropiado apropiado que identifi identifique que los nodos de probabi probabilidad lidad y de decisión decisión b) Calcule la ganancia esperada en cada nodo de probabilidad. c) Identif Identifiqu iquee la la deci decisió siónn ópti óptima ma Resolución.-
a) 23.5
0.15 0.60
a1
36*104 $
a1
40 a2
0.50 0.15
a3
11
0.40 0.20
c) la decisión optima es a2
a3=11*104 $
40 60
0.20
a3
b) La ganancia esperada de cada nodo es:
20
0.35
a2
a2=36*104 $
20
0.25 36
a1=23.5 *104 $
10
5 10 30
4. Larry Larry Litig Litigant ant acaba acaba de recibi recibirr una llama llamada da tele telefó fóni nica ca de su abog abogado ado,, Berni Bernie, e, en la que le informa que el médico al que demando demando esta dispuesto a cerrar el caso por 25000 $. Larry debe decidir si acepta o no esta oferta. Si la rechaza, el abogado estima una probabilidad de 20 % de que la otra parte retire su oferta y se vayan a juicio, juicio, un 60% de probabilidad de que no cambie la oferta y un 20 % de probabilidad de que aumente su oferta a 35000 $. Si la otra parte no cambia su oferta o la aumenta, Larry puede decidir de nuevo aceptar la oferta de irse a juicio. Su abogado ha indicado que el caso tiene probabilidades, pero también lados débiles ¿Cuál será la decisión del juez? El abogado estima un 40% de probabilidad de que el juez le dé la razón al medico, medico, en cuyo caso Larry tendrá que pagar aproximadamente aproximadamente 10000 $ en gratificaciones gratificaciones;; un 50% de que el dictamen salga a favor de Larry, quien recibiría 25000$ además de las gratificacio gratificaciones; nes; y un 10% de probabilidad probabilidad de que gane el juicio juicio y obtenga 100000$ además de las gratificaciones. a) Trace un árbol árbol de decisiones decisiones apropiado apropiado en el que se identi identifiquen fiquen los nodos nodos de probabilid probabilidades ades y de decisión. b) Calcule a mano la ganancia asociada en cada nodo de decisión. ¿Deberá Larry aceptar o rechazar la oferta inicial? Resolución.-
a)
a1: Aceptar la oferta
25000
22000 $ 035000
22000 0.2 0.6 0.2
60
0.4
-10000
a2: Rechazar la oferta
15500
0.5 0.1
25000
25000+10000 2*(10000)
b) ( E f a j ,θ k * P (θ k ) ) Criterio de Bayes: Max a a1 :0*0.2+0.6*25000+0.2*35000 =22000 a2 :0.4*(-10000)+0.5*(25000+10000)+0.1*2*(10000) j
Max
22000 $ a2
5. La adminis administra tració ciónn de califo californi rniaa Gas and Electr Electrics ics esta en proceso proceso de decidi decidirr si reempl reemplaza aza su flotilla de vehículos viejos mediante la adquisición nuevos a un costo de 18000$ cada uno o usados a un costo de 10000$ por camión. Alternativamente, puede alquilar camiones por un periodo de cinco años a un costo de 2500$ al año por camión nuevo y de 1500$ por vehículo usado. Después de ese periodo, la compañía adquiere los camiones que estaban nuevos a 10000$ y los que eran usados a 5000$ por vehículo. De la experiencia pasada, la administración de la compañía sabe que el valor de reventa de los camiones, de los camiones, nuevos y usados, depende de su condición al final de los cinco años:
CONDICION
VALOR ESTIAMADO DE REVENTA DE VEHICULO USADO
VALOR ESTIMADO DE REVENTA DE VEHICULO USADO
Mala Regular Buena
2 0 00 $ 40 0 0$ 6 0 00$
80 00$ 10 5 00 $ 1 3 0 00 $
a) Identif Identifiqu iquee las altern alternati ativas vas de decis decisión ión.. b) Identifique los posibles estados/resultados. c) Constru Construye ye la matriz matriz de gan gananci ancias as para cada pareja pareja alternati alternativa-re va-resul sultad tado, o, ignorá ignorándol ndolee valor valor temporal del dinero. d) Constru Construya ya el el árbol árbol de deci decisió sión. n.
6. Para el problema problema de FastFood FastFoods, s, Inc., del ejerci ejercicio cio 1 la utilid utilidad ad de la ganancia ganancia mas pequeña pequeña de -150000 se fija en 0 y de la ganancia mayor, de 250000$ se fija en 1000. Un proceso de entrevistas entrevistas con la administración, administración, como se describe describe en el ejercicio ejercicio 2, ha tenido como resultado resultado utilidades utilidades para las restantes ganancias que se pueden aproximar aproximar mediante mediante la siguiente siguiente función utilidad: Utilidad de x miles de dólares = 18.75+0.2x+0.00005x2 a). Utilice esta función para calcular las utilidades de todas las ganancias restantes. b). Identifique la decisión que maximiza la utilidad esperada.
7.
¿Qué es la teor ¿Qué teoría ía de jueg juegos os?? Incl Inclúy úyas asee en la resp respue uest staa vari varios os enfo enfoqu ques es para para reso resolv lver er estrategias y valores del juego.
8. ¿En qué se disti distingue ngue un juego juego de dos dos personas de otro de tres personas personas o más más grande?
9. ¿Cuáles ¿Cuáles son las principale principaless dificultades dificultades de la teoría teoría de juegos? juegos? ¿Cómo ¿Cómo pueden resolverse? resolverse?
10. Encuéntrese las estrategias optimas para X y Y, así como los valores del juego juego para lo siguiente: a)
X Y 11 - 3 8 7 -5 5
-4 -8 -6
X
b) Y 4 8 -1
4 3 1 7 2 -1
11. Encuént Encuéntrese rese las estrategi estrategias as óptima óptimass para X y Y y el valor del juego. Demuést Demuéstrese rese que las estrategias óptimas satisfacen las desigualdades del juego. -8 -3 -3
8 -4 -4
9 -5 -6
12. Encuéntrese las estrategias óptimas para Y, y el valor del juego: 6 4 3
1 4 -1
6 5 3
1 -2 2
4 4 -2
2 1 0 4
4 5 7 q p 6
13. Encuentre Encuentre el intervalo de los valores para “p” y “q” que harán el elemento elemento (2,2) un punto silla en los juegos siguientes:
a)
b)
1 p 6
q 5 2
6 10 3
14. Un candidato candidato presidencial presidencial esta pensando entrar a la elección primaria primaria del sorteo Super Tuesday (ST). Sus consejeros piensan que si entra puede salir bien (Quedar primero o segundo) o salir mal (quedar tercero o mas abajo). Con probabilidades respectivas de 0.4 y 0.6. Salir de Super Tuesday significa que recibirá donativos alrededor de 4 millones de dólares para la campaña,
mientras que si sale mal tendrán una perdida de 2.4 millones de dólares para la campaña, mientras que si sale mal tendrán una perdida de 2.4 millones de dólares después de pagar el tiempo de TV. De otra manera puede no entrar al Super Tuesday y no incurra en gastos. Los consejeros consejeros del candidato candidato se dan cuenta cuenta de que sus probabilidades probabilidades de éxito éxito en el Super Tuesday pueden quedar afectados por los resultados de la primario (mas pequeña) de New Hampshire (N.H.) que tiene lugar tres semanas antes del Super Tuesday. Los analistas políticos piensan que los resultados de la primaria de New Hamphire son correctos dos tercios de las veces en cuanto a predecir el resultado de la primaria de Super Tuesday. Entre los consejeros se encuentran un experto en análisis de decisiones que utiliza esta información para calcular las siguientes probabilidades: P{el candidato salga bien en S.T,/ el candidato salga bien en el N.H.}=1/7 P{el candidato salga bien en S.T,/ el candidato salga mal en el N.H.}=1/4 P{el candidato salga bien en el N.H.}=7/15 El costo de entrar y hacer campaña en la primaria de N.H. se estima en 400000$ a) Trace Trace y etiq etiquet uetee el árbol árbol de decis decisión ión.. b) Evalué el árbol de decisión. c) ¿Cuánto ¿Cuánto dinero dinero vale vale la pena paga paga por por la información información perfecta? perfecta?
15. El gerente de un supermercado supermercado estima que su clientela clientela diaria es del orden de 2000 personas. El número real es una variable aleatoria con distribución normal con media 2000 y varianza de 160. un empleado que recibe 300 pesos diarios puede dar servicio efectivo a 100 clientes, ya que arriba de ese numero su servicio se deteriora considerablemente con la consiguiente pérdida
de clientes. Cada cliente que se pierde le representa a la tienda una pérdida promedio de 60 pesos, mientras que el cliente satisfecho compra en promedio 150 pesos. a) Si la función función de utilidad utilidad del gerente gerente es neutral neutral ¿Cuántos ¿Cuántos empleados empleados debería debería emplearse? emplearse? b) ¿Y si tiene aversión al riesgo? c) ¿Con ¿Con prope propens nsió iónn al rie riesg sgo? o?
16. Oilco Debe determinar determinar si perforar o no el amr de la china del sur para buscar petróleo. petróleo. Cuesta 10000 100 000$ 0$ perfo perfora rarr y, si se encue encuent ntra ra petról petróleo eo,, su valor valor se calc calcula ula en 600 60000 0000 dó dóla lare res. s. Actualmente Oilco cree que hay 45% de probabilidades que el campo contenga petróleo. Antes
de perfora, Oilco puede contratar, por 10000$, aun geólogo para obtener mas información acerca de la probabilidad que haya petróleo en el lugar. Hay un 50% de probabilidades que el geólogo emita un dictamen favorable, contra 50% de probabilidades que el dictamen sea desfavorable. Si el dictamen es favorable, hay una probabilidad de 80% que el campo tenga petróleo. Si el dictamen es desfavorable, hay 10% de probabilidades que haya petroleo. Determinar las acciones de Oilco. (Considere el problema como árbol de decisión)
17. La compañía de fertilizantes fertilizantes Nitro crea un producto nuevo, si vende ese producto y tiene éxito, éxito, sus utilidades serán 50000$; si fracasa perderá 35000$. En el pasado eficacia del fertilizante a un costo de 50000$. Si el resultado es favorable, hay 80% de probabilidades de que tenga éxito
en el 60% de probabilidade probabilidadess de que el resultado sea favorable favorable 40$ de que sea desfavorable. desfavorable. Calcule la estrategia optima de Nitro. (considere el problema como árbol de decisión)