Torre de Hanoi(Estudio)

Javier Ruiz y Jordi Peña, México DF, 2001

ANTECEDENTES El problema de las torres de Hanoi, también llamado las Torres de Brama o el problema del fin del mundo, se atribuye al matemático francés Édouard Lucas d‟Amiens, que lo publicó en 1883 en París b ajo el pseudónimo de 'N. Claus de Siam'. Se le llamó las Torres de Hanoi probablemente debido a que por esas fechas en las que Francia estaba involucrado militarmente en Tonkin y Annam el nombre Hanoi aparecía mucho en las primeras planas de los diarios. El problema está inspirado en una leyenda de un templo hindú en donde se empleaba un rompecabezas para probar la habilidad mental de los jóvenes sacerdotes. Otro matemático francés, De Parville, desarrolló en 1884 la siguiente historia, muy relacionada con el problema: "En el gran templo de Benarés, debajo de la cúpula que marca el centro del mundo, yace una base de bronce, en donde se encuentran acomodadas 3 agujas de diamante, cada una del grueso del cuerpo de una abeja y de una altura de 50 cm aproximadamente En una de estas agujas, Dios, al momento de la creación, colocó 64 discos de oro el mayor sobre el plato de bronce, y el resto de menor tamaño conforme se llega a la cima. Día y noche, incesantemente, los sacerdotes del templo mueven los discos de una aguja a otra de acuerdo con las leyes impuestas e inmutables de Brahma, que requieren que los sacerdotes se encuentren todo el tiempo laborando, no muevan más de un disco a la vez y que deben colocar el disco en alguna de las agujas de modo que no cubra a un disco de radio menor. Cuando los 64 discos hayan sido transferidos de la aguja en la que Dios colocó los discos, al momento del a

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creación, a otra aguja, el templo y los brahmanes se convertirán en polvo y junto con ellos el mundo desaparecerá." (De Parville, 1884)

SOLUCIÓN TÍPICA La solución más corta (podríamos llamarle perfecta) y conocida por todos los estudiantes del problema consiste en una serie de movimientos cíclicos de cada pieza. Si el número de discos que hay en una torre es impar, debemos mover el primer disco hacia la posición en que deseamos que esa torre quede al final. Si es par, comenzaremos moviéndolo hacia el otro poste. Esto es fácil de recordar si nos imaginamos el problema con un solo disco (a donde lo movamos, ahí terminará la "torre") y con dos discos (necesitamos mover el primer disco a un lugar donde no estorbe, luego el segundo disco Al poste de destino y luego el disco pequeño encima del segundo). Una vez realizado ese primer movimiento, el segundo disco se moverá al poste libre, y después volvemos a mover el primer disco, en la misma dirección (circular) a donde se movió la primera vez . De aquí en adelante, lo único que hay que hacer es ir alternando el movimiento de este primer disco con algún otro movimiento posible

(obviamente, siguiendo las reglas, sólo hay uno: el disco pequeño sobre el grande), siempre recordando la dirección a la que empezó ese primer disco. (De hecho, los discos número impar siguen todos una dirección y los discos número par siguen la contraria).

JUSTIFICACIÓN El problema de las Torres de Hanoi ha sido estudiado por mucho tiempo, e indudablemente al ser un problema matemático, es una fuente de descubrimientos y curiosidades inagotable, inagotable, que se puede seguir estudiando por siglos y se hallarán siempre más y más relaciones con el mundo abstracto de las matemáticas y con otros aspectos de la vida. En este trabajo pretendemos exponer algunas curiosidades curiosidades que nosotros descubrimos y que consideramos que son una buena aportación para todo aquél que se interese por el estudio de este legendario y mítico juego-problema.

HIPÓTESIS Todos los aspectos de las torres de Hanoi se pueden explicar matemáticamente, usando numeración binaria o potencias de dos. Por ello, cuando se juega de manera perfecta, sin cometer errores, se pueden predecir el número total de movimientos y su secuencia, total y para cada pieza, la posición de cada pieza después de cualquier número de movimientos, la relación entre el movimiento de una pieza y otra, etc.





Descubrir la explicación matemática para todos los aspectos posibles del juego, y las l as relaciones entre ellas: -

número de movimientos totales

-

número de movimientos de cada pieza

-

secuencia de piezas que se mueven

-

apariencia de las torres en un movimiento dado

-

número de "tiempos" que espera cada pieza entre cada uno de sus movimientos (es constante)

Demostrar que el juego se basa en potencias de 2.

MATERIAL Y MÉTODO En vista de que es un problema matemático-abstracto, matemático-abstracto, es posible trabajar usando simplemente la imaginación, o cualesquiera objetos que nos representen al juego; sin embargo ayuda mucho tener el juego armado, e incluso programas de computadora que lo simulen y nos ayuden a hacer cálculos. Nosotros usaremos un juego de las Torres de Hanoi de madera, con 7 discos, y el programa de simulación que se encuentra en el sitio de internet Cut the knot; asimismo, nos podremos apoyar en la hoja de cálculo Microsoft Excel para hacer tablas tablas y gráficas para los análisis. Nuestro método consistirá en observar y analizar todos los aspectos que hasta ahora hemos querido estudiar del juego y su forma de resolución, así como siempre estar abiertos a nuevos aspectos de los cuales podrían resultar relaciones interesantes, con cosas muy variadas.





RESULTADOS LAS MATEMÁTICAS EN LAS TORRES DE HANOI El problema de las torres de Hanoi es un problema eminentemente 100% matemático, y por ello todos sus aspectos se pueden describir mediante relaciones matemáticas y fórmulas. He aquí algunas de ellas.

TOTAL DE MOVIMIENTOS También una fórmula conocida por todos los estudiosos del tema, el número mínimo de movimientos para resolver el problema, para cualquier número n de discos, es: 2n

1

Con esto vemos que el número de movimientos aumenta de manera exponencial cuando agregamos más discos. Esta fórmula se puede obtener de una manera relativamente sencilla si hacemos la siguiente observación: para mover todos los discos de un poste a otro, es necesario mover n 1 discos a un poste intermedio, luego mover el último disco al poste destino, y luego mover los n 1 discos al poste destino. Esto significa que el número de movimientos para un número n de discos es el doble del número de movimientos n para 1, aumentado en uno ; o, el doble, disminuido en uno, del número de movimientos para n 1 aumentado en uno . Luego, en vista de que para n = 1 disco el número de movimientos m = 1, entonces:





Lo demostramos por inducción, partiendo desde la base descrita arriba, de que para mover n+1 discos hay primero que mover n, luego 1 y luego otra vez n: y

2 – 1 = 1

(para un disco, un movimiento solamente)





minutos, o sea 5,124,095,576,030,431.0041666... horas, o 213,503,982,334,601.29184 días, que hacen contando los años bisiestos, 58,454,204,609 siglos más 6 años; ¡más de 5 mil millones de siglos! Con esto podemos estar tranquilos: el final del mundo entonces se encuentra bastante lejos.

NÚMERO DE MOVIMIENTOS QUE ESPERA CADA DISCO Si observamos un disco k , veremos que durante la resolución del problema su movimiento es, digamos, rítmico. Con esto nos referimos a que entre su primer y segundo movimientos, habrá pasado la misma cantidad de movimientos de otros discos que entre su segundo y te rcero, y así sucesivamente. Siempre „espera‟ la misma cantidad de movimientos antes de hacer el suyo (y además, siempre hace su movimiento en la misma dirección, opuesta a la de los discos superior e inferior). Este número lo podemos ver así: para que el disco # k que acabamos de mover pueda hacer su siguiente movimiento, debe esperar a que el disco # k +1 se mueva a la posición que le toca, para que el # k se ponga encima. Sin embargo, el lugar a donde se debe mover el disco # k +1 está ocupado por k 1 discos, que necesitarán de 2 k 1 1 movimientos para cambiar de posición (y, ya que queremos mover el disco # k +1, +1, la nueva posición de esta torre de discos será sobre el disco # k ); ); luego movemos el disco # k +1, y por último quitamos la torre de k 1 discos que está encima del disco # k para que tanto éste como el # k +1 +1 (que es hacia donde queremos mover el # k ) queden libres. Así termina la espera del disco # k , y si contamos los movimientos vemos que son: (2k 1 1) + 1 + (2k inducción, equivale a 2 k

1

1), que, análogamente a lo que arriba demostramos por 1.

NÚMERO TOTAL DE MOVIMIENTOS DE CADA DISCO Ahora describiremos el número de movimientos que ha realizado cada disco al final del juego. Recordando el razonamiento que vimos arriba, es obvio que el último disco de la torre (# n) realiza sólo un movimiento; el anterior lo podemos ver como el último de la torre de n 1 discos, que necesita primero quitarse de encima del disco # n y luego ponerse encima de él una vez que éste haya tomado su posición final: 2 movimientos para el disco # n 1. Análogamente, para cada uno de esos movimientos del disco # n 1, se necesitan 2 del disco anterior: 4 en total. Y así sucesivamente, de x se mueve 2 x veces. De esta modo que para una torre de n discos, el disco # n manera vemos también que el disco más pequeño se mueve la mitad del total de movimientos aumentados en uno (obviamente, puesto que siempre se alternan los movimientos entre el disco pequeño y otro disco); esto coincide con la fórmula 2

n

1

que usamos arriba en algún momento, o escrita más correctamente, .







(mod 3); si n es par, se moverá primero al otro poste, y su segundo movimiento será al poste destino, por por lo tanto el número de movimientos será será congruente con con 2 (mod 3). Esto lo podemos constatar en la siguiente tabla:

n

k

1

2

1 1 2 2 1 3 4 2 4 8 4 5 16 8 6 32 16 7 64 32 8 128 64 9 256 128 10 512 256 11 1024 512 12 2048 1024 13 4096 2048 14 8192 4096 15 16384 8192 16 3276816384 32768 16384

3

4

5

6

1 2 1 4 2 1 8 4 2 1 16 8 4 2 32 16 8 4 64 32 16 8 128 64 32 16 256 128 64 32 512 256 128 64 1024 512 256 128 2048 1024 512 256 4096 2048 1024 512 8192 4096 2048 1024

7

8

9

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

1 2 4 8 16 32 64 128 256

1 2 4 8 16 32 64 128

10

1 2 4 8 16 32 64

11

1 2 4 8 16 32

12

1 2 4 8 16

13

14

1 2 4 8

15

1 2 4

16

1 2

1





LA NUMERACIÓN BINARIA COMO REPRESENTANTE DE LAS TORRES DE HANOI Hemos llegado a la parte que nosotros consideramos más interesante e innovadora de nuestro trabajo. Ahora vamos a demostrar que una simple secuencia de números binarios de uno en uno (0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, ...) nos puede indicar varias cosas acerca del problema de las torres torr es de Hanoi.

INDICADOR DEL DISCO QUE SE MUEVE Para empezar, nos indica qué disco se mueve en cada turno; para esto asignamos un dígito a cada disco, empezando por el disco más pequeño como el último dígito, y vamos asignando discos mayores a dígitos de orden mayor. Así, al convertir el número de movimiento x en binario, obtenemos la numeración de la tabla de abajo (en este caso, para n = 4 discos; m = 24 1= 15 movimientos). Esta lista nos muestra el disco que se debe mover en cada turno x. Para ello, debemos de observar en qué digito aparece un 1 nuevo (con nuevo nos referimos a que en el turno anterior ese dígito era un 0). Así, vemos que en el turno 1 aparece un 1 en el último dígito, que representa al disco más pequeño. (La dirección en que debe moverse el disco ya se discutió al principio.) En el turno 2, aparece un 1 en el segundo dígito, por lo que movemos el segundo disco (a la única posición que puede moverse). En el turno 3, tenemos 1’s tanto en el último como en el penúltimo dígito, sin embargo el 1 del segundo dígito ya se encontraba ahí en el turno anterior, por lo que no movemos ese disco; el 1 del último dígito sí es nuevo, por lo que le corresponde moverse al disco más pequeño, en la misma dirección con la que empezó. Así continuamos hasta que todos los dígitos sean 1„s, con lo que habremos llegado a x = m = 2n 1 (con un movimiento más, x = 2n, llegaríamos a un 1 con varios 0„s, que evidentemente es una potencia de 2).

x

número binario 1 2

1 1

0





NÚMERO DE DISCOS EN CADA POSTE Además de indicarnos cuál es el disco que se debe mover, el número de movimientos en binario nos puede decir cómo se vería “gráficamente” el tablero de juego después de x movimientos. Para ello es importante tener presentes todos los lle nándolos con 0‟s si no se han utilizado aún, de esta dígitos (discos) desde el principio, llenándolos manera podemos saber cuántas torres de discos hay (con “una torre” nos referimos a un grupo de discos sucesivos ordenados en el mismo poste); cada grupo de 0‟s o 1‟s será una torre que contendrá tantos discos como 1‟s o 0‟s se encuentren en el grupo. En este caso la tabla nos indica el juego cuando n = 5 discos.( m =31); en las columnas de “aspecto de los postes” una suma indica que hay dos torres diferentes en el mismo

poste, una sobre otra (con uno o más discos faltantes para completar la l a secuencia). secuencia). El primer sumando indica la torre inferior y los demás las torres superiores en orden ascendente. x número binario 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 1 1

4 0 5 0 6 0 7 0

0 0

1 1

0 0

0 1

0

1

1

0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

0 13 0 14 0 15 0

1 1 1

1 1 1

0 0 1

0 1 0

1

1

1

1

16 1 17 1 18 1 19 1

0 0 0

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

8 9 10 11 12

0 0 0 0

20 1 21 1

aspecto de los postes 4 1 3 1 1 3 2 2+1 2+1

1 1 2

2

3

1 1 1+1 1+2

3 2 1 1

1 1+1 1+1 1

1 1

2 2 3 4

1 1

1 1 1+1

4 3 2

1 1

1+2 1+2 1+1

2 1 1+1

1+2 1+1 1 1

2 2 1





CONCLUSIONES Al trabajar con una investigación de este tipo, cada detalle nuevo que se descubre da pie a nuevos objetivos, y muchos de los objetivos pueden ser considerados en sí como nuevos descubrimientos. Es por eso que como conclusiones únicamente nos queda incluir una especie de resumen o recapitulación de los temas tratados en la sección de resultados. Quizá todos los descubrimientos y objetivos que tratamos tienen en común una cosa; tratar de abstraer el juego, convertir una serie de reglas que se aplican a un objeto concreto en pura lógica abstracta.

Demostramos, primero con sentido común y luego con inducción matemática, que la fórmula para obtener el mínimo número de movimientos con n discos es: 2n

1

Vimos también que esa misma fórmula nos dice cuántos movimientos debe esperar el disco # n entre cada uno de sus movimientos.

Para saber el número total de movimientos del disco # n, descubrimos la fórmula 2n

1

Este número, además, será congruente congruente con 1 (mod 3) si el número del disco tiene la misma paridad que el número total de discos, y será congruente con 2 (mod 3) si la paridad del número número de disco es opuesta a la del del número total de discos, discos, como lo vimos en una tabla coloreada como tablero de ajedrez.

En una sucesión aritmética de uno en uno, escrita en su forma binaria, una cifra





Uno de los detalles más curiosos es que este mismo listado en binario nos puede decir cuántos discos hay en cada uno de los l os grupos separados que hay: simplemente contamos cuántos 1‟s y cuántos 0‟s hay agrupados y tendremos ese resultado (tomando

en cuenta que si en una misma torre hay una discontinuidad en el tamaño de los discos, entonces se consideran grupos separados).

Estamos seguros de que las torres de Hanoi aún esconden muchos detalles por descubrir, si bien tal vez no los veamos nosotros esperamos que nuestro trabajo sirva de inspiración para aquellos que algún día tengan la curiosidad de pensar un poco más allá de las reglas de este juego o cualquier otro evento. Las matemáticas no son más que el producto de la capacidad de abstracción de la mente humana, humana, y puesto que que nuestra mente tiene una capacidad infinita, son igual de infinitas las posibilidades de ver el mundo a través de los ojos de esta ciencia que, si bien no en todos los casos nos es de utilidad directa, seguro que sí causa placer para aquellos que la practican, así como los l os atletas disfrutan del deporte y el ejercicio físico.

BIBLIOGRAFÍA: Cervantes Dávalos, Rafael. La Torre de Hanoi con cuatro postes. Tesis para obtener el título de Licenciado en Matemáticas Aplicadas, Instituto Tecnológico Autónomo de México, México DF, 1999, págs 1-6  Claus, N: "La tour d'Hanoi: jeu de calcul", Science et Nature, vol. 1, no. 8, pp. 127-128, (19 de enero) 1884. 



de Parville, Henri: "Recreations Mathematiques: La tour d'Hanoi et la Question du Tonkin", La Nature, pp. 285-286, part I, Paris 1884

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http://guiafe.com.ar/aedd/wwwboard/messages/1082.h http://guiafe.com.ar/aedd/wwwboard/mes sages/1082.html tml http://labcq-master.qro.itesm.mx/~compu2/au http://labcq-master.q ro.itesm.mx/~compu2/autoestudio/sesion11 toestudio/sesion11/tsld035.htm /tsld035.htm

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http://perso.wanadoo.es/rodoval/heureka/snark/ha http://perso.wanadoo.es/rodova l/heureka/snark/hanoi_a.html noi_a.html http://research.cem.itesm.mx/mquintan/AA http://research.c em.itesm.mx/mquintan/AA/Tema1AA/sld026. /Tema1AA/sld026.html html

Torre de Hanoi(Estudio)

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