Trabajo colaborativo 2 algebra lineal

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Algebra Lineal Lineal Segund Segunda a fase Trabajo Colaborativo 2. Periodo Académico 2014 –2

PRIMERA SEGUNDA FASE TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2

YURLEHIDY ARAQUE_CÓDIGO: ARAQUE_CÓDIGO: 24712677 LADY DIANA CAMARGO TRIANA_ CÓDIGO: 25181810 ROSLAY MARYELINE BAUTISTA _CÓDIGO: 30050802 LIZ JULIETH OCHOA IBARGUEN_ CÓDIGO: 24651651

GRUPO: 100408_173

PRESENTADO A: DELFINA REYES

UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD NOVIEMBRE 11 DE 2014

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Algebra Lineal Lineal Segund Segunda a fase Trabajo Colaborativo 2. Periodo Académico 2014 –2

En este trabajo se estudian los métodos más utilizados para la solución de sistemas lineales que son tan importantes en el desarrollo de nuestro ejercicio profesional; por ello analizaremos los diferentes métodos Como los Son: eliminación gaussiana, regla de cramer, método de gauss jordan, factorización LU y matriz inversa, donde se plantean diferentes ejercicios que nos permitan comprender y analizar cada uno de ellos, para adaptarlos a nuestras necesidades específicas; además de ello en esta unidad también se abarca temas de ecuaciones de la recta en R3 y de planos; con estos temas se pretende alcanzar los objetivos propuestos dentro del módulo de estudio, y así mismo afianzar el desarrollo de nuestras habilidades. Este informe se ha desarrollado en el ambiente colaborativo donde cada una de las participantes ha contribuido a la construcción del mismo.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Algebra Lineal Segunda fase Trabajo Colaborativo 2. Periodo Académico 2014 –2

GENERAL Identificar conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, eliminación gaussiana, factorización LU, la matriz inversa, rectas en R3, planos, espacios vectoriales, entre otros, ponerlos en práctica reconociendo su importancia y aplicabilidades. Entender claramente todas las operaciones que podemos poner en práctica y con las cuales realizaremos soluciones a problemas presentados, utilizando las herramientas apropiadas. ESPECIFICOS Conocer de cerca el concepto de lo que es un sistema de ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia en aplicaciones más específicas. Afianzar una metodología de estudio eficiente y una disciplina de trabajo que permita el aprendizaje autónomo. Reflejar el entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio. Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.

Comprender los fundamentos teóricos que soportan la concepción de los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del conocimiento. Elaborar y validar los instrumentos necesarios para el desarrollo nuestras habilidades. Construir colaborativamente el producto final.


1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales: 1.1

−− −− == − + + =−         

 



Buscamos una operación que nos convierte al 5 de la f1 en el primer cero, y para esto multiplicamos a la f1 por el inverso de 5, que en este caso es: (-5) f1+ f2

 − −   − −   − −  − +      −   − −   

Ahora vamos a buscar el siguiente cero en la posición del -4 de la f3, nuevamente multiplicamos por el inverso, que en nuestro caso es: (4) f1+ f3

 − −      [ − −] ] Ahora Vamos a buscar el siguiente 1 de la diagonal, que es convertir 13 en 1, para este caso seria 13, entonces f2/13:

 − −      [ − − ] ]

Ahora aplicamos en la f1= 4f2 + f1 y en la f3= 15f2 + f3:


        [  ]  Luego buscamos el último 1 de la diagonal, en el campo (-488/13), para esto tomamos f3 / 488/13

           ]

Luego buscamos los últimos ceros por encima de la diagonal de la matriz f1= (-45/13f3)+ f1 f2= (-34/13) f3 + f2

        

Siendo así, tenemos: X=1 Y=0 Z=0

Al reemplazar: 1. X – 4y – 7z = 1 1 – 4(0) – 7(0) =1 1=1 2. 5x – 7y – z = 5 5(1) – 7(0) = 5 5=5 3. -4x + y + 6z = -4 -4(1) + 6(0)= -4 -4 = -4


1.2  

−− −− =−=  

 

 

Buscamos una operación que nos convierte al 5 de la f2 en el primer cero, y para esto multiplicamos a la f1 por el inverso de 3, que en este caso es: (-3) f2+ 5f1

 − − − +   − −    − −   −  

Ahora Vamos a buscar el 1 de la diagonal, que es convertir 3 en 1, para esto divido f1 en 1/3

   

− −  −

−     − − − +  −   − −    − 

Ahora Vamos a convertir -4/3 en 0, para esto multiplico a f2 por -4/3 + f1

La matriz A ya se encuentra en su forma escalonada reducida, por lo que el método finaliza allí. Escribamos el sistema resultante 

+− +  ==     

  

Note que la variable z está presente en las dos ecuaciones. A: z la llamamos variable libre. Para encontrar un vector que satisfaga las dos ecuaciones se requiere asignarle a z, valores arbitrarios con eso obtenemos los valores para x y. Despejamos x en la primera ecuación

= −  − − =



 

 

Despejamos y en la segunda ecuación 






1.3

− − − − ++ =−=− − −+ −+ −− =−=− −  −  − − −  − − +      −  −   [  − − − −] −  −  − − −          −  − − [   −]                 

  − [ −  − 

− −  − −  − 

   

Realizamos 4f1+f3; -6f1+f4

   [

 − −  −  − ] −  − −   − − ] 

Realizamos 4f2+f1; 15f2+f3 y -23f2+f4

   [

   

   

−   −      −    ] −] [

   

   

−  −  −  ] −]

Realizamos -45/13f3+f1; -34/13f3+f2 y 249/13f3+f4

   [

   

   

−         −   ] −] 

   

   

−    −   −]


Realizamos 51/56 f4+f1; -5/28f4+f2 y 45/56f4+f3

   [

1.4

   

   

 −    −  ] −

−− =−=− − + =−  − −  − −  − −  − − − +     +    [−  ] −] [− ] −] [  ] −]  − −  − −             +      −   −   −      

 



No tiene solución este sistema de ecuaciones 3 x 2 porque en la columna 2 de la fila 3 nos dio cero (0) entonces no se puede seguir con el proceso.


2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorización LU.

− − − − ++ =−=− − −+ −+ −− =−=−

               

  − 

− −  −

− −  −

   

    =−  − − − 

Realizamos f3= f3+4f1; f4=f4-6f1

   [

−  − 

−  − 

  −  +     −]

−   

−   −

−   −

 − − −

−   −  −  − 

Realizamos f4= -23/13f2+f4

   

−   

−   −  − =+    −   −    

−   − =  −   

Para hallar L colocaremos los números que utilizamos en cada operación para hallar la matriz superior así:

  − [

    −   −

  =  ]


Nota: al multiplicar las matrices L X U = A Resolvemos este sistema de ecuaciones que ahora nombraremos por las letras a,b,c,d

+ + ++ ++ =−=− − − + + =− + − + =−

                        

1. Despejamos a: 

=−



2. Despejamos b y reemplazamos el valor de a:

(−− +)+ =−=− =−= +



          

3. Despejamos c y reemplazamos el valor de b:

− (− )− ( )+ =− − + =− − + =− − =− + =− + = 





































 









 




4. Despejamos d y reemplazamos el valor de c:

(− )+ ( )−  + =− (− )+ − + =− − + − + =− − − + =− − + =− + =− = (− ) −  =− −  =− 













 



 



























 



















































Ahora que ya hallamos el resultado de nuestro sistema volvemos a reescribir las ecuaciones utilizando la matriz U como los valores de los coeficientes y los resultados como el valor después del igual así:

− +− −+ =−= − =  =− 

                    


Para probar que los resultados son comparables con el proceso de eliminación gaussiana hallamos el valor w:

=−  =−  ( ) =− =− , =− ,

 





















 

  

 

Comparando con el ejercicio 1.3 los resultados son idénticos:

   

   

   

 −    −  −]


3. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa 1 (utilice el método que prefiera para hallar A ). 

A=

 − −  − − −  

−− −− =− =− − ++ =

        

  

Calculamos el valor de la determinante por la regla de Sarrus

 − −  −  − −  − −   −  |( −+ | (− ) ( ) ( ) ( ) + −−− + − − −−− − ) − (−) | | =

=129

Ahora hallamos los cofactores de los 9 elementos de A:

−    −    −  −

+ A

- A

+ A

−  −  − −

 −  −    −  −    −   −

 −  −    −  −    −   −

= -40

-A

= 22

+ A

= -23

= -17

+A

= -10 - A

= -13

= -41

-A

= 29

+ A

= -1


− − −  − −  − − −  −  = | |  ( ) −  − −   −   =  − − − −  −  −  [−  − ] −   − 

Adj A=

Adj At=

−  − − − −

Ahora trasponemos la matriz d las adjuntas realizada

luego multiplicamos la matriz obtenida por el inverso

=

=

Ahora resolvemos:

−  −  − 

 −  

−  −  −  −  −        −  −  −  −  −  −  − −   −   −   ]    − −  −   − −     −  −   −       ]  ] [   ]  ]

Realizamos 22/29 f1+ f2; 23/129f1+f3

  [

−  −  




  

−   

  −  −        +−  +       ]    

Realizamos f3÷1/6

         −     −  +−  +    −     [  ]  ]

4. Encuentre las ecuaciones simétricas y para métricas de la recta que:

     = (−,,)  =(−,−,−) ⃗ =⃗ = (−+)̂ + (−−)̂ + (−−) =̂− ̂ −  Por lo tanto; a= -7, b=-12, c=-4


Para encontrar otros puntos que se encuentren en la recta; podemos darle valores a t en las ecuaciones paramétricas ej: (2)

Por lo tanto el punto (-22,-20,-7) también está en L

+ +    = (,,−)       − = = − −  ⃗ =−̂−  + =(, , −)

=− =− =−+

− − + = = − − 


5. Encuentre la ecuación general del plano que: 5.1 Contiene a los puntos P ( 8,4,1) , 



Q



( 1, 8 3) 





y

R



( 3, 2, 1) 





⃗ =⃗ = (−+)̂ + (−−)̂ + (−−) =( ,− ,−) ⃗ =⃗ = (−+)̂ + (−−)̂ + (−−) =( ,− ,−)  ̂ ̂    − −−̂ −  −−̂ +  − −  = − − −−=− =̂+ ̂ −   = ,  = ,  = − (−) +(−) +(−) = (+) +(−) −(−) = −−+= −−=   =−  ̂ + =̂ − (− −,−)       ⃗

(−) +(−) +(−) = −(+) +(+) −(+) = −−++−−= −+−−=


 −−=    −−−=  − −      − −  − − −  − − −   +     − −   − −   +     − −    −    −  

 −    −

 −=  +=− Variable libre: z Haciendo z = t,

 =+  =−− z =t




Nota: Muestre que cada uno de los axiomas se satisfacen. Los vectores R2 son de la forma cualquier vector a y b son reales. Para demostrar que el conjunto de todos los vectores de conjunto R2 conforman un espacio vectorial, se debe comprobar 10 axiomas de un espacio vectorial Axiomas A. Cerradura bajo la suma de vectores. Si

    , +   += ++=  

Dos vectores R2, la suma me da otro vector del mismo conjunto R2

B. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar. Si

     ,  ,    ,  (+) +=+(+) + +   + + + =  +  + +   ++ ++ =  ++ ++    , +=+=  +=+= +=+=

C. Para todo de vectores.

D. Existe un vector tal que para todo Existencia de neutro aditivo

. Asociativa de la suma

.


  −  + (−) =−+= +−−=     +=+ +=+ +=+ + +   + + , (+) =+ )  (+ + + += + = + +  (+ ))= +  ,   (+ ) (+ (+ ) = (+ )= (+ )      () ()   =  =   ,= = = 

E. Si , existe un vector de inverso aditivo

F. Si y vectores.

, tal que

, entonces

. Existencia

. Conmutación de la suma de

=

G. Si a es un escalar, entonces escalar respecto a la suma de dos vectores. =

. Distributiva de un

H. Distributiva de un vector respecto la suma de dos escalares. Si son escalares, entonces

I. Asociativa de la multiplicación por escalares. Si escalares, entonces =

y

y

son

J. Para cada

El conjunto V que satisface los diez axiomas se le denomina ESPACIO VECTORIAL y a los elementos que conforman al conjunto V se les da el nombre de VECTORES.


Gracias a las buenas referencias del módulo del algebra lineal en su segunda unidad, se aprendieron muchas definiciones sobre espacios vectoriales, su variedad de soluciones e identificamos conceptos y características de estos. Por lo anterior de esta unidad podemos concluir que: Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser hallados a partir de cualquiera de los métodos expuestos en este trabajo y su resultado será el mismo. Reconocimos la importancia de los sistemas lineales en la solución de problemáticas que poseemos en nuestro entorno Real.

Aprendimos a hallar las ecuaciones simétricas y paramétricas. Reflexionamos sobre nociones de una recta en el espacio y las diversas formas en que son obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan. Comprendimos la importancia de la construcción del conocimiento en forma colaborativa.


Álgebra lineal, Stanley I. Grossman S, Sexta edición Factorización LU: PA =LU [archivo de video]. (2013, Enero 23). Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=feynuttrw7s Zúñiga, C. (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá D.C: Universidad Nacional Abierta y A Distancia – UNAD

Trabajo colaborativo 2 algebra lineal

Recommend Documents