Trabajo Colaborativo 3

TRABAJO COLABORATIVO 3 DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA EDO

Métodos numéricos 100401_61

VICTOR ALFONSO CARDONA VALENCIA Cód. 14570994

Tutor Jesús Omar Vargas

UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA INGENIERIA EN ELECTRONICA NOVIEMBRE DE 2017

Aportes 1: Solucionar.

1.

Plantee y solucione dos ejercicios sobre Diferenciación Numérica explicando paso a paso el procedimiento utilizado.

  = ln

1,1.1

a. Sea  aproxime la derivada en el intervalo usando un paso de  compare cada resultado con el valor de la derivada exacta en ese punto

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.01

 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1

  = ln ln 0 0.009950331 0,019802627 0.029558802 0.039220713 0.048790164 0,058268908 0.067658648 0.076961041 0.086177696 0.09531018

En los extremos se usara la fórmula de tres puntos y en los puntos interiores la formula centrada para tener el mínimo error Formula de tres puntos

 = ∫  ℎℎ − ∫ − ℎ ′′′ ′′′ Formula centrada  1   ℎ  ′ = 2ℎ    ℎℎ −  − ℎ ℎ−− 6  ′′′  ′′′

 1 = 20.101 −30  40.009950331 − 0,019802627 ≈ 0.099993485  1.1 = 2−0.1 01 −30.09531018  40.086177696 − 0.076961041 ≈ 0.090903985

Para la centrada

 1.05 = 20.101 0,058268908 − 0.039220713 ≈ 0.95240975 Para comparar los valores se tiene en cuenta que la derivada exacta está dada por  por lo cual se compara los valores

  = 

exactos y aproximados en la tabla

 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1

ln 0 0.009950331 0,019802627 0.029558802 0.039220713 0.048790164 0,058268908 0.067658648 0.076961041 0.086177696 0.09531018

 1 0.99009901 0.980392157 0.97087786 0.961538462 0.95238952 0.943396226 0.934579439 0.925925926 0.917431193 0.909090909

 0.99993485 0.99013136 0.98042357 0.97090429 0.9615681 0.95240975 0.94342422 0.93460665 0.92595239 0.91745639 0.90903985

B.en la sgte tabla se muestra la posición para determinado tiempo de una partícula moviéndose en el espacio, calcular su aceleración si la partícula describe un movimiento parabólico dado por calcular el error de aceleración

   0 1 2 3 4 5

  =

 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.04

 0 0.0001 0.0004 0.0009 0.0016 0.0025

La segunda derivada está en su forma aproximada es solo aplicable a puntos interiores de los dados es decir podemos calcular la aceleración en

 = 0.01,0.02,0.03,0.04  0.01 ≈ 0.011 0.0004 − 20.001  0 ≈ 2  0.02 ≈ 0.011 0.0009 − 20.0004  0.0001 ≈ 2  0.03 ≈ 0.011 0.0016 − 20.0009  0.0004 ≈ 2  0.04 ≈ 0.011 0.0025 − 20.0016  0.0009 ≈ 2 La segunda derivada de   = 2 en todo el intervalo por lo tanto en esta ejercicio se obtuvo un error de cero

5 Solucione los siguientes compruebe que:

ejercicios

de

Integrales

Múltiples

.   .    ≈ . Solución

.   .     ≈ 0.03331 .   .     .   .     = −(  − 1)   − 1       = Ajustar la integral en los puntos no definidos

                   = −( − 1)       Calcular la integral indefinida

  =   

  Aplicar integración por sustitución

 =  =  =   =  =    =    Calcular los límites

      :    =  −  lim →    =    lim → 0    = 

=  −    = − − 1      =  − 1 = −( − 1)    − 1 .  = . (−( − 1)    − 1)

.  . (−( − 1)    − 1) = 0.03331 .  . (−( − 1)    − 1) Calcular la integral indefinida

    1  1        (−( − 1)    − 1) = −       −   −   

2 2 (−(  − 1)    − 1)

Aplicar regla de suma

= −( − 1)   − 1 (  − 1) = 12 ( −) (  − 1) Aplicamos método de sustitución  =    − 1  =  2  = 12 . − 1 = 12  − 1  =   =  1 = 

2

1 = 1∗  =  = 12  −  = 12 ( − )           − 1 =   −   −    2  − 1 Integración por partes

=   −  − 1  −  =  −  −  −          −  =   − 2  −  =  −    =       = 2      =   − 2       =   −  −   − 2  Simplificar

             −  −   −   :   −   −   

2 2      =   −   −    2  1       1  1          = − 2 ( −  )   −   −    2 : 2    2    −   − 2   = 1      −   − 1    2 2 2 Calcular los límites

.  .   . (−( − 1)    − 1): . (−( − 1)   − 1)

= −1.46637 − −1.49968

    1  1     lim → 0.1 − 2    2    −   − 2   = − 1.49968     1  1     lim → 0.1  − 2    2    −   − 2    . 1   0 . 1  = − 2 ∗ 0.1   2   ∗ 0.1 − . − 21 . = −1.49968     1  1     lim → 0.5 − 2    2    −   − 2   = − 1.46637     1  1     lim → 0.5  − 2    2    −   − 2    1   0 . 5  = − 2 ∗ 0.5   2  √  ∗ 0.5 − √  − 12 . = −1.46637 = −146637 − −1.49968 = 0.03331 ≈ 0.0333054

           ≈ . Solución

    15         = 4            Calcular integral indefinida

            =     

        =         = 4  Regla de potencia

+  = 3 1  =   4      =   4  Calcular los límites

4

         = 22  1 − 14       1     lim →     4  = 4          lim  →      4       =  

4 = 14          lim  → 2 −    4  = 22 1      lim  → 2 −    4   2  =  .2  4

Simplificamos

= 22  1 − 14      = 15   4  15  =   4     15     4    = 1 Calculamos la integral indefinida

 15    4    15   3   

 4    = 4  4     15  4    4 15 =  4   3 4  35 15  4  = 4 4 15  4  = 145 .  = 15 .  + 4 4 1

Simplificamos

15 .  + : 3 4 41 4        = 4  = 3     4 4 Calculamos los límites

 15     4   = 1−0    3 lim → 0  4  4  = 0   3 lim → 0 4  4 

 = 3.0  0 4 4 =0    3 lim → 1 − 4  4  = 1   3 lim → 1 − 4  4   = 3.1  1 4 4 = 1− 0 = 1 ≈ 1000122 Aporte 3: Solucionar.

7. Aplicar el método de Taylor de orden dos a la ecuación y´ = Cos (xy), con la condición inicial: y (0) = 1. Utilizar h = 0.5

La aproximación de segundo orden dado por la serie de Taylor es:

+ =   ℎ  ! ℎ Con

Donde

ℎ = + −  = 0,5

 , =  se tiene que:

+ =   ,ℎ  !,

  (I)

 ′, = −   = −    + =   ℎ − 12    ℎ

Sustituyendo en (I)

Cambiando h por 0,5 se tiene:

+ =   0,5  − 0,125      Con

ℎ = 0,5 y la condición inicial 0 = 1 pueden aproximarse varios valores

 = 0 = 1   = 0,5 = 1  0,5 0 − 0,125 00 0  1 = 1,5   = 1 = 1,5 0,5 (0,51,5) − 0,125 0,51,50,5 0,51,5 1,5 = 1,706865   =  1,5 = 1,706865  0,5cos11,706865 − 0,125 11,7068651 1,706865 1,706865 = 1,444453  = 2 = 1,444453  0,5cos1,51,444453 − 0,125 (1,51,444453)[1,5 (1,51,444453)  1,444453] = , 8. Plantee y solucione paso a paso un ejercicio por el Método de Runge-Kutta de cuarto orden.

Obtener la aproximación y (0,8) a la solución del siguiente problema de valor inicial, con

h = 0.2

 =  −  1 0 = 0.5

Solución

Para la solución de este problema se debe realizar iteraciones paso a paso para determinar el siguiente valor de  por lo que Runge-Kutta debemos aplicar:

 + =   16   2  2  ℎ

Dónde:

 = ,  =    12 ℎ ,  12 ℎ  =    12 ℎ ,  12 ℎ  =   ℎ ,  ℎ Las anteriores funciones podemos reducirla de las siguientes maneras para calcularlas de una manera más fácil en cada iteración:

+  =     2 62  ℎ Dónde:

 = ,  =    ℎ2 ,  2ℎ  =    ℎ2 ,  2ℎ  =   ℎ ,  ℎ Ahora definiremos los valores para la primera iteración a realizar:

 = 0 , = 0 , = 0.5 = 0.25 ,ℎ = 0.2 Entonces comencemos por la primera iteración:

 = ,  = 0 ,0.25 Remplazamos los valores en la función de la derivada para obtener el valor:

 =  −  1  = 0.25− 0  1  = 0.251

 = . Ahora continuaremos por cada uno de los valores:

 =    ℎ2 ,  2ℎ 2  =  0 0.22  ,0.25 1.250. 2  =  0.1,0.25 0.225  = 0.1,0.250.125  = 0.1 ,0.375  =  −  1  = 0.375− 0.1  1  = 0.375− 0.011  = . Continuamos con el siguiente valor :

 =    ℎ2 ,  2ℎ 2  =  0  0.22  ,0.25 1.3650. 2  =  0.1 ,0.25 0.2273  = 0.1 ,0.250.1365  = 0.1 ,0.3865  =  −  1  = 0.3865− 0.1  1  = 0.3865−0.011  = . Y por último con el último valor:

 =   ℎ ,  ℎ

 =  (00.2 ,0.25 1.37650.2)  = 0.2 ,0.250.2753  = 0.2 ,0.5253  =  −  1  = 0.5253− 0.2  1  = 0.5253−0.041  = . De esta forma hemos logrado obtener los valores de la primera iteración:

0

0.25

1.25

1.365

  1.3765

  1.4853

Para determinar la siguiente iteración debemos hallar el siguiente valor de de , primero resolveremos el valor para x:



 =     = 0 0.2  = .

Luego el valor para y:

+ =     2 62  ℎ  = 0.25 1.2521.365 21.6 37651.48530.2  = 0.25 1.252.73 2.67531.48530.2 2  = 0.25 8.21830. 6  = 0.25 1.64366 6  = 0.250.27394  = .

 y

 y de , procedemos a realizar la segunda  = 0.2 ,0.52394  = 0.52394−0.2 1 = 0.52394−0.041 = .

Como tenemos ya los valores de iteración.

2 =  0.20.1 ,0.52394 0.29678  =  0.2 0.22  ,0.52394 1.483940. 2 2  = 0.3 ,0.523940.14839 = 0.3 ,0.67233  = 0.67233−0.3 1 = 0.67233−0.091 = . 2 =  0.2 0.1 ,0.52394 0.31646  =  0.2 0.22  ,0.52394 1.582330. 2 2  = 0.3 ,0.523940.15823 = 0.3 ,0.68217  = 0.68217−0.3 1 = 0.68217−0.091 = .  = (0.2  0.2 ,0.523941.592170.2)   0.4 ,0.523940.31843  = 0.4 ,0.84237  = 0.84237−0.4 1 = 0.84237−0.161 = .  =

De esta forma hemos logrado obtener los valores de la segunda iteración:

0 0.2

0.25 0.52394

1.25 1.48394

1.365 1.58233

  1.1.539217 765

  1.1.648237 853

Para determinar la siguiente iteración debemos hallar el siguiente valor de  y de , primero resolveremos el valor para x:





Luego el valor para y:

 =    = 0.2 0.2 = .

592171.682370.2  = 0.52394 1.4839421.5823321. 6  = 0.52394 1.483943.164663.6 184341.682370.2 2 = 0.52394 1.90306  = 0.52394 9.515310. 6 6  = 0.523940.31717 = . Como tenemos ya los valores de   y de , procedemos a realizar la tercera iteración.  = 0.4 ,0.84111  = 0.84111 −0.4 1 = 0.84111 −0.161 = . 2 =  0.40.1 ,0.84111  0.33622  =  0.4 0.22  ,0.84111  1.681110. 2 2  = 0.5 ,0.84111 0.16811 = 0.5 ,1.00922  = 1.00922−0.5 1 = 1.00922−0.251 = . 2 =  0.4 0.1 ,0.84111 0.35184  =  0.4 0.22  ,0.84111  1.759220. 2 2  = 0.5 ,0.841110.17592 = 0.5 ,1.01703  = 1.01703−0.5 1 = 1.01703−0.251 = .  = (0.4  0.2 ,0.841111.767030.2)   0.6 ,0.841110.35340  = 0.6 ,1.19451  = 1.19451−0.6 1 = 1.19451−0.361 = .  =

De esta forma hemos logrado obtener los valores de la tercera iteración:

0 0.2

0.25 0.52394

1.25 1.48394

1.365 1.58233

  1.1.539217 765

  1.1.648237 853

0.4

0.84111

1.6811

1.75922

1.76703

1.83451

Para determinar la siguiente iteración debemos hallar el siguiente valor de de , primero resolveremos el valor para x:



 y

 =    = 0.4 0.2 = .

Luego el valor para y :

767031.834510.2  = 0.84111 1.6811121.7592221. 6  = 0.84111 1.681113.518443.6 534061.834510.2 2 = 0.84111 2.11362  = 0.84111 10.568120. 6 6  = 0.841110.35227 = . Como tenemos ya los valores de   procedemos a realizar la cuarta iteración  = 0.6 ,1.19338  = 1.19338−0.6 1 = 1.19338−0.361 = .   y de

,

.

2 =  0.60.1 ,1.19338 0.36667  =  0.6 0.22  ,1.19338 1.833380. 2 2  = 0.7 ,1.193380.18333 = 0.7 ,1.37671  = 1.37671−0.7 1 = 1.37671−0.491 = . 2 =  0.6 0.1 ,1.19338 0.37734  =  0.6 0.22  ,1.19338 1.886710. 2 2  = 0.7 ,1.193380.18867 = 0.7,1.38205  = 1.38205−0.7 1 = 1.38205−0.491 = .  = (0.6  0.2 ,1.193381.892050.2)   0.8 ,1.193380.37841  =

 = 0.8 ,1.57179  = 1.57179−0.8 1 = 1.57179−0.641 = .

De esta forma hemos logrado obtener los valores de la cuarta iteración:

0 0.0.24 0.6

0.25 0.0.582394 4111 1.19338

1.25 1.1.468394 8111 1.83338

1.365 1.1.578233 5922 1.88671

  1.1.539217 765 1.1.786703 9205

  1.1.648237 853 1.1.893451 3179

Para determinar la siguiente iteración debemos hallar el siguiente valor de de , primero resolveremos el valor para x:





 y

 =    = 0.6 0.2 = .

Luego el valor para y:

892051.931790.2  = 1.19338 1.8333821.8867121. 6  = 1.19338 1.833383.773423.6 78411.931790.2 2 = 0.84111 2.26453  = 1.19338 11.322690. 6 6  = 1.193380.37742 = . Como tenemos ya los valores de   y de , procedemos a realizar la última iteración y obtener los valores de  , ,     = 0.8 ,1.5708  = 1.5708−0.8 1 = 1.5708−0.641 = . .

2 =  0.80.1 ,1.5708  0.38616  =  0.8 0.22  ,1.5708 1.93080. 2 2  = 0.9 ,1.57080.19308 = 0.9 ,1.76388  = 1.76388−0.9 1 = 1.76388−0.811 = . 2 =  0.8 0.1 ,1.5708 0.39077  =  0.8 0.22  ,1.5708 1.953880. 2 2  = 0.9 ,1.57080.19538 = 0.9 ,1.76618  = 1.76618−0.9 1 = 1.76618−0.811 = .  = (0.8 0.2 ,1.57081.956180.2)   1,1.57080.39123  = 1 ,1.96203  = 1.96203−1  1 = .  =

0 0.0.24 0.0.68

0.25 0.0.582394 4111 1.1.159338 078

1.25 1.1.468394 8111 1.1.893338 308

1.365 1.1.578233 5922 1.1.898671 5388

  1.1.539217 765 1.1.786703 9205 1.95618

  1.1.648237 853 1.1.893451 3179 1.96203

BIBLIOGRAFIAS

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.acti on?docID=10679293&p00=diferencias+divididas+newton&ppg= 5 http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.acti on?docID=10584232&p00=m%C3%A9todo+newton+raphson&ppg=9 http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.acti on?docID=11013582&p00=m%C3%A9todos+num%C3%A9rico s+tipos+error http://repository.unad.edu.co/handle/10596/11809 https://www.youtube.com/watch?v=eu3CNA47KX4

https://www.youtube.com/watch?v=eozufFCeqmU