Trabajo Colaborativo Algebra lineal
Autores: Jhon Jairo Montealegre Cutiva Gabriel Andrés Lozano Tocara Jeison Stiven Bello Ramos John Jairo Riveros Millán James Arturo Gonzales Castillo
Universidad Politécnico Grancolombiano Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas Tecnología en Logística Cundinamarca – Bogotá Bogotá D.C. Año 2018
Situación problema: Mensajes Ocultos TC grupo 27 Objetivos de aprendizaje: 1. Identificar los conceptos y procesos de algebra lineal involucrados en un sistema de cifrado y descifrado de mensajes. 2. Utilizar apropiadamente procedimientos para cifrar y descifrar mensajes. 3. Transferir adecuadamente las ideas o conceptos del algebra lineal a un contexto particular, para resolver situaciones problema. Ocultando mensajes Una de las aplicaciones del Algebra Lineal es la criptografía, parte de la Criptología (estudio de lo oculto), que trata del diseño e implementación de sistemas secretos para cifrar mensajes existen diversas técnicas para cifrar y descifrar mensajes cuya complejidad depende de las herramientas matemáticas que se empleen en el diseño de los algoritmos de cifrado. Un sistema clásico en el sistema de Hill o Cifrado en Bloques que fue diseñado por el matemático Lister Hill en 1929 basado en ideas de algebra lineal, en particular, en el algebra de las matrices. Actividad 1 1.1 Consultar el sistema de Hill para encriptar y desencriptar mensajes. Escribir la bibliografía revisada. Sistema de Hill para Encriptar: El cifrado Hill es un sistema basado en el algebra lineal, fue inventado por Lester S. Hill en 1929 y fue el primer cifrado poligráfico. ¿Como funciona? Consiste en que cada letra esta representada por un numero donde cubre el abecedario en donde A= 0 y Z = 25. Para encriptar un mensaje tenemos bloques de n letras “de pendiendo del tamaño de la matriz así se formarán los bloques” llamados vectores.
Ejemplo:
1[−1 21 14] 1 33
En la matriz los números en rojo son el vector.
Los vectores hacen parte de una matriz invertible n*n la cual en el cifrado en la matriz clave y se trabaja en forma modular dependiente de la cantidad de signo o letras que utilice para la
encriptación. (Modular: es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamado clase de congruencia). Después de realizar la respectiva asociación de letras, signos con los números y de formar los bloques dependiente del tamaño de la matriz clave “que debe ser cuadrada e invertible” con los bloques resultante formamos matrices las cuales deben ser multiplicadas por la matriz clave para y el resultado de la multiplicación se le realiza la transformación al modular correspondiente y este producto con es numero se asocia nuevamente con las letras del abecedarios o signos conveniente y formaría el mensaje encriptado. Sistema de Hill para Desencriptar: Para poder descodificar los mensajes cifrados es necesario que la matriz inicialmente utilizada “la matriz clave”, sea una matriz cuadrada invertible, lo primero es hallar el determínate y verificar que este no sea nulo “que no sea cero”, después debemos encontrar la matriz inversa de
la matriz clave. El paso que seguir ya teniendo la matriz inversa es pasarla a número entero en modulo (n) para empezar necesitamos el inverso del número determinante, después debemos hallar un numero que al utilizarlo como modulo(n) me de como producto 1. Como, por ejemplo: 503 y su determinante seria 3 ya que al multiplicar 503*3 = 1509 y si utilizáramos módulo 26 el producto seria 1. Ya teniendo el determínate debemos multiplicar cada valor de la matriz por el determinan y luego el resultado de la misma se debe pasar a modular (n). Se crean bloques según del tamaña de la matriz (por ejemplo, si la matriz es 3*3 se crearían bloques de 3) del mensaje a decodificar, los bloques los convertimos en matrices y los multiplicarnos por matriz inversa modulo (n), el resultado obtenido lo pasamos a modulo (n) y al realizar la respectiva asociación con las letras y sinos obtendremos el mensaje oculto. 1.2 A partir de la consulta anterior, con sus propias palabras, describa el paso a paso para cifrar la palabra DEDICACION empleando la matriz clave
(10 −101 )
y la asignación numérica
que aparece en el siguiente recuadro (en él, símbolo “_” representa el espacio entre las
palabras). A B C D E F GHI J K
L
M N
Ñ
O
P
Q
R
S
T
U
V
W X
Y
Z
_
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
•
•
Es asociar la palabra DEDICACION con los números, quedaría así: 3,4,3,8,2,0,2,8,15,13. Para encriptar, el texto en divido en bloques de 2 porque la matriz es de 2*2, con los bloques formamos matrices de 2*1 la cual es multiplicada con la matriz clave, los bloques quedan así: (3,4), (3,8), (2,0), (2,8), (15,13).
•
Se realiza la multiplicación entre matrices.
(10 −101 )(34) = (−374) → 29(214 ) (10 −101 )(38) = (−778) → 29(108 ) (10 −101 )(20) = (20) → 29(20) (10 −101 )(28) = (−788) → 29(98) 1 → 29( (10 −101 )(1513) = (−115 ) 13 13) Por lo tanto, el mensaje numérico cifrado es “21,4,10,8,0,9,8,1,13”, y al transformar
los números en su correspondiente letra queda así el mensaje cifrado. 21 4 10 8 2 0 9 8 1 13 U E K I C A J I B N Mensaje cifrado: “UEKICAJIBN”
1.3 Describir el proceso (paso a paso) para desencriptar el mensaje obtenido en el punto anterior. •
Para desencriptar el mensaje “UEKICAJIBN” primero se debe hallar la matriz inversa de la matriz clave.
(10 −101 ⋮ 10 01) → → 10 = (10 01 ⋮ 10 101 ) (10 101 )
Matriz inversa= •
Le asignamos el conveniente valor numérico al texto cifrado.
U E K I C A J I B N 21 4 10 8 2 0 9 8 1 13
•
Dividimos este texto en bloques de 2 y multiplicamos por la matriz inversa.
(10 101 ) (214 ) = (614 ) → 29(34) (10 101 ) (108 ) = (908 ) → 29(38) (10 101 ) (20) = (20) → 29(20) (10 101 ) (98) = (898 ) → 29(28) (10 101 ) (13 1 ) = (13113 ) → 29(1513) •
Por lo tanto, tendríamos el valor numérico “3,4,3,8,2,0,2,8,15,13” y al asignar la correspondiente letra nos da como resultado el mensaje descifrado. 3 D
4 3 E D
8 2 0 2 8 15 13 I C A C I O N
Bibliografías
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Universidad del País Vasco. (2017). Criptografía con matrices, el cifrado de Hill. Bilbao: Cultura científica. Recuperado de https://culturacientifica.com/2017/01/11/criptografiamatrices-cifrado-hill/ Gutiérrez, G. E., & Ochoa, G. S. I. (2014). Criptografía. En Álgebra lineal y sus aplicaciones (pp. 68-71). México, D.F.: Grupo Editorial Patria. Enlace de acceso a la biblioteca virtual del Poli https://goo.gl/RBM2k9 Ángel, J. (2010). Criptografía. México: MathCon. Recuperado de http://www.math.com.mx/docs/cur/cur_1_002_Criptografia.pdf Criptosistema Caesar. (2005). Criptografía Hill, criptosistemas: Texto Científicos. Recuperado de https://www.textoscientificos.com/criptografia/hill
