Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e
TRABAJO COLABORATIVO FASE 1
CONCEPTOS DE VECTORES, MATRICES MATRICES Y DETERMINANTES
Entregado por: Richard Alexander Blanco Cod: 1!"1"!#$$% Adriana Mitchelle Rodriguez Leyva Cod: &''""$'" Pedro Antonio Picalua Cod: ""''(11 Humberto Lemos Cod:
T)tor *)r+o: Ruberney Ramos
NIVERSIDAD NIVERS IDAD NACIONAL N ACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA DISTANCIA -NAD. -NAD . ESCELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECON/MICAS Y DE NE0OCIOS -ECACEN. SANTA MARTA MARTA MA0DALENA MA0DALEN A %!1$
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INTR!"##IN
Se *rea )na a*t232dad Po+ter2or4ente +e deta55an 5a+ a*t232dade+ e32den*2ada+ en *ada *ada )no de 5o+ 5o+ p)nto+ p)nto+ en*ontr en*ontrado ado++ *o4o *o4o 5o +on 5o+ 5o+ Ve*to Ve*tore+ re+,, Matr2* Matr2*e+ e+ 6 Deter42nant Deter42nante+ e+ 6 +e pro*ede a rea527ar rea527ar )na a*t232dad *o5a8orat23a *o5a8orat23a 2ntera*t)ar 2ntera*t)ar *on 5o+ *o4pa9ero+ *o4pa9ero+ de5 gr)po para 5a 5a de82do pro*e+o pro*e+o de e5a8ora*2n e5a8ora*2n en e+ta )n2dad )n2dad +e de+arro55ar;n 5a+ te4;t2*a+ de Opera*2one+ entre 3e*tore+, 4agn2t)d 6 ;ng)5o< Oper Opera* a*22one+ one+ +o8r +o8re e 4atr 4atr2* 2*e+ e+,, oper opera* a*2o 2on ne+ entre ntre 4atr 4atr2* 2*e+ e+ 6 *;5* *;5*)5 )5o o de deter42nante+ Ca8e re+a5tar =)e 5o =)e +e 8)+*a *on e+te tra8a>o, e+ +a8er +2 rea54ente 5a te4;t2*a prop)e+ta en 5a pr24era )n2dad de5 *)r+o ?)e a+2425ada de 8)ena 4anera, pero no +o5o e+o, ta482@n poner en 4ar*a 5a a6)da 6 *o5a8ora*2n de 5o+ 2ntegrante+ de5 gr)po
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B$%TI&'
•
•
•
Ap52*ar 5o+ *ono*242ento+ ad=)2r2do+ de5 e+t)d2o 6 de+arro55o de 5a )n2dad )no Ve*tore+, Matr2*e+ 6 Deter42nante+ Rea527ar 5a 2dent2?2*a*2n de 5o+ 3e*tore+, 4agn2t)d 6 ;ng)5o< Opera*2one+ +o8re 4atr2*e+, opera*2one+ entre 4atr2*e+ 6 *;5*)5o de deter42nante+ Aprender +o8re +) ?)n*2ona42ento 6 pape5 =)e >)ega *ada )no de e55o+ en e5 +2+te4a
(
Dado+ 5o+ +2g)2ente+ 3e*tore+ dado+ en ?or4a po5ar:
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225
u
=
v
= 3;θ = 600
=
0
a 8 Rea52*e ana5t2*a4ente, 5a+ opera*2one+ +2g)2ente+: 2u − 6v 11 v −u 1%
6v − 7u
1& So5)*2n Pro85e4a 1 Pr24ero a6 =)e repre+entar 5o+ 3e*tore+ a +)+ *o4ponente+ re*tang)5are+ Ve*tor : Co4ponente en : u x = ( 5.cos225
o
)
Co4ponente en Y: 225 u y =( 5.sin 225
o
)
u x =5 (−0.70 )
u y =5 (−0.70 )
u x =−3.5
u y =−3.5
u= (−3.5 ,− 3.5 )
Ve*tor V: Co4ponente en : v x =( 3cos60 ) v x =3 × 0.5 v x =1.5 v = ( 1.5 ,− 2.6 )
Co4ponente en Y: v y =( 3sin60 ) v y =3 × 0.86 v y =2.58
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La+ *o4ponente+ re*tang)5are+ de 5o+ 3e*tore+ +on: u= (−3.5 ,− 3.5 )
<
v = ( 1.5 , 2.58 )
na 3e7 a55ada+ 5a+ *o4ponente+ re*tang)5are+ pro*ede4o+ a re+o53er 5o+ e>er*2*2o+ 2u − 6v
()() So5)*2n: 2 u −6 v =2 ( −3.5, − 3.5 ) −6 ( 1.5,2 1.5,2 .58 )
2 u −6 v =( −7 ,−7 )+(−9,−15.48 )
2 u −6 v =(−16 ,−22.48 )
v −u
()*)
So5)*2n v −u=( 1.5,2.58 1.5, 2.58) −(−3.5, −3.5 )
v − u= ( 1.5, 1.5, 2.58 2.58 ) + ( 3.5,3 3.5,3 .5)
v −u=( 5, 6.08 6.08 )
6 v −7 u 1& So5)*2n
6 v −7 u=6 ( 1.5,2 1.5,2 .58 ) −7 ( −3.5, −3.5 )
2 u − 6 v = ( 9,15.48 ) +(−24.5,−24.5 )
2 u −6 v =(−15.5, −9.02 )
%1 En*)entre e5 ;ng)5o entre 5o+ +2g)2ente+ 3e*tore+: U = (2 i + 9 j ) Y V =(− =(−6 + 9 j )
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Tanø = 9 j / 2 y
Tanø = 9 j / 6 y
Tanø = 4.5
tan
ø = tan tan 4.5 4.5
ø =56.3
−1
=1.5
ø =77.47 £ ø =77.47 + 56.3 £ ø = 133.77
− £ ø
180
¿ 180−137.6 =46.3 1
−
& Dada 5a +2g)2ente 4atr27, en*)entre A e4p5eando para e55o e5 4@todo de 0a)++ Jord;n -De+*r28a e5 pro*e+o pa+o por pa+o . N SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIADOS POR PRO0RAMAS DE CALCLO +'i se ,resenta el caso- traba.e
/nic /nicam amen ente te con con n/me n/mero ross de la 0orm 0ormaa decimales1)
a b
y No con con sus sus re,r re,res esen enta taci cion ones es
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(
C =
2 −3 8
(
2 −3 8
8 0 1
8 0 1
0 −1 −3
)
| )
0 1 −1 0 −3 0
0 1 0
0 0 1
1
F 1= F 1 2
→
(
1 −3 8
4 0 1
|
0 1/ 2 −1 0 −3 0
0 1 0
0 0 1
)
F 2 = 3 F 1 + F 2 →
(
1 0 8
|
0 1/ 2 −1 3 / 2 −3 0
4 12 1
0 1 0
0 0 1
)
F 3 =−8 F 1+ F 3 →
(
1 0 0
4 12 −31
F 2 =
1 12
|
0 1/2 −1 3 / 2 −3 − 4
0 1 0
0 0 1
)
F 2
→
(
1 0 0
4 1 −31
|
0 1 /2 −1 /12 1 / 8 − 3 −4
0 1 / 12 0
0 0 1
)
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Vicerrectoría Académica y de Investigación - VIACI Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e F 3 = 31 F 2+ F 3 →
(
1 0 0
|
0 1 / 12 31 / 12
0 0 1
)
|
−1 / 3 1 / 12 31 / 12
0 0 1
)
0 1/ 2 −1 / 12 1 / 8 −67 / 12 −1 / 8
4 1 0
F 1=− 4 F 2 + F 1 →
(
1 0 0
1 /3 0 −1 / 12 1 / 8 −67 / 12 −1 / 8
0 1 0
F 3 =
F 3
−67 12
→
(
1 0 0
|
1/ 3 0 −1 / 12 1 / 8 1 3 / 134
0 1 0
−1 / 3 0 1 / 12 0 − 31 / 67 −12 / 67
)
−1 F F +
F 1=
3
3
1
→
(
1 0 0
|
0 − 1 / 134 −1 / 12 1 / 8 1 3 / 134
0 1 0
F 2 =
1 12
− 12 / 67 4 / 67 1 / 12 0 − 31 / 67 −12 /67
F 3 + F 2
→
( | 1 0 0
0 1 0
0 − 1 / 134 0 17 / 134 1 3 / 134
− 12 / 67 4 / 67 −1 / 67 3 / 67 − 31 / 67 −12 / 67
)
)
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−1
c
( ) −1
−12
4
134 17
67 3
67 −1
134 3
67 −31
67 −12
134
67
67
En*)entre En*)entre e5 deter42nante deter42nante de 5a +2g)2ente +2g)2ente 4atr27 de+*r282endo de+*r282endo pa+o a pa+o 5a opera*2n =)e 5o 3a 4od2?2*ando -+)geren*2a: -+)geren*2a : e4p5ee 5a+ prop2edade+ e 2nte 2ntent nte e tran tran+? +?or or4a 4ar5 r5o o en )na )na 4atr 4atr27 27 tr2a tr2ang ng)5 )5ar ar. . N SE ACEPT ACEPTA AN PROCEDIMIENTOS REALIADOS POR PRO0RAMAS DE CALCLO +'i
4.
a
se ,resenta el caso- traba.e /nicamente con n/meros de la 0orma b y N con sus re,resentaciones decimales1) Matriz cuadrada -1 0
9
tran+?or4ar5a A Matr27 tr2ang)5ar
2
1
-4
1
8
3
3
5
6
-4
2
1
1
-2
0
0
0
0
1
2
'oluci2n
3
1
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E5 P2*ote +e 4)5t2p52*a por *ada n4ero de 5a+ ?25a+ ?25a+ 6 +e re+ta e5 n4ero de a8a>o Pa+o 1 Separa*2n de -1 0 1
9
2
Parte +)per2or
8 1
3
3
5 2
6 1
-4
0 1
0 -2
-4
0 55
0 3
1 1
2
Parte In?er2or 5a 5a *on3ert24o+ A ! Pa+o %
M)5t2p52*a*2n pr24era F25a1 -1
0
9
2
1
0 -3
69
20
!
0
-6
41
8
0
0
0
1
-9
0
1
2
-3
1
M)5t2p52*a*2n F25a 2
4
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0
9
0
-3
69
0
0
3!3
0
0
0
0
0
-1
2
1
20
!
112
38
1
9
-2
-1
M)5t2p52*a*2n F25a 3 -1 0
9
0 -3
69
0
2
1
20
!
0 3!3 3!3 112 112 38
0
0
0
0
0
0
1 1
9 -8
M)5t2p52*a*2n F25a G -1
4atr27 tr2ang)5ar
0
9
-3
69
0
373
2
1 0
20
7 0 112 0 1
38 0
0
9
Parte 2n?er2or *on3ert2da A*ero 0
0
0
0
17
5.
En*) En*)en entr tre e 5a 2n3e 2n3er+ r+a a de 5a +2g) +2g)2e 2ent nte e 4atr 4atr27 27,, e4p5 e4p5ea eand ndo o para para e55o e55o deter42nante+ -Re*)erde:
A
1
−
1 =
DetA DetA
* AdjA
.
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+'i +'i se ,res ,resen entta el ca caso so--
Nota: De+*r28a e5 pro*e+o pa+o por pa+o
a
trab traba. a.ee /nic /nicam amen ente te con con n/me n/mero ross de la 0orm 0ormaa re,resentaciones decimales1)
b
y N con con sus sus
− 2 5 − 1 C = 3 0 −4 3 1 − 5
'L"#I3N Pr24ero a55a4o+ 5a Deter42nante 5a 4atr27 C:
[
−2
5
3
0 1
C = 3
]
− 1 −2 −4 3 −5 3
5 0 1
C =( 0− 60−3 )−( 0 + 8 −75 )=−63 + 67 = 4 DetC =4
Aora a55a4o+ 5a 4atr27 de *oo?a*tore+ de C para *ada ter42no aij de 5a 4atr27 en tota5 +on #: +
C 11 =(−1 )
1 1
( ) C 12 12= −1
1 +2
C 13= (−1 )
1 3
[ ] − = [ −] [ ]= 0 1
+
− 4 =4 −5
3 3
4 5
3
0
3
1
3
3
+
C 21=(−1 )
2 1
( ) C 22 22= −1
2+ 2
C 23= (−1 )
2 3
[ ] − − = [ −] [− ]= 5 1
+
−1 =24 −5
C 31=(−1 )
3 1
1 5
( ) C 32 32= −1
3+ 2
C 33= (−1 )
3 3
2 3 2
3
5 1
13
17
+
[ ] − − =− [ −] =− [− ]=−
−1 =−20 −4
5 0
+
2 3
2
3
1 4
5 0
11
15
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Aora a 5a 4atr27 de *oo?a*tore+ re+)5tante 5a 55a4are4o+ D 6 5e a55a4o+ 5a tran+p)e+ta:
[
4
3
D = 24
−20
3
13 −11
] [
17 → D −15
=
T
4
24
3 3
13 17
A
Aora re4p5a74o+ en 5a en*)a*2on
−1
C
1
[
= ∗ 4
4
24
3
13
3
17
]
1
6
3
13
−5 −11
4
4
4
3
17
−15
4
4
4
La 2n3er+a de 5a 4atr27 e+: −5 1 6 3 13 −11 −1 C = 4 4 4 3 17 −15 4
4
4
−1
[ ]
−20 −11 = −15
[ ]
−20 −11 −15
]
=
1
DetA
∗ AdjA para a55ar 5a 2n3er+a
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#N#L"'IN%'
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R%4%R%N#IA' BIBLI5RA4I#A'