TRABAJO COLABORATIVO FASE N° 1 FINAL
TRABAJO PRESENTADO POR YEIMI NATALIA MESA MESA SANCHEZ COD: 38.070.798 JESSICA ROCIO RUIZ GUARDIA: COD. 1.064.789.619 NELSON HERNANDEZ
TRABAJO PRESENTADO A: MANUEL ALEJADRO GUTIERREZ TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA DISTANCIA UNAD ADMINISTRACION DE EMPRESAS 2016
INTRODUCCIÓN
Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso representa a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos. En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas. Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales. En esta unidad se hace la introducción a la teoría general de matrices, además se definen los determinantes estrechamente relacionados con ellas.
OBJETIVOS
Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la unidad 1 del programa de Algebra Lineal.
Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.
Realizar las operaciones algebraicas básicas básicas con matrices y sus propiedades.
Comprender e identificar la aplicación de los diferentes métodos métodos para la resolución de los problemas propuestos.
Semana 1. Ejercicios 2,3 y 4
2. encuentra la magnitud y dirección de los siguientes vectores: V= (4,4)
y
(4,4) V
45° X
Dirección: Magnitud.
=
=
= = = = 45°
− 22 11 − − − −
1
3
Encuentre un vector que tenga la magnitud y dirección dadas:
| | = 3; = 6
Y= 2.59, 1.5
X=2.59
Semana 2 y 3. Ejercicio 1,2 y 4
1. Dados los vectores = 3 − 5 + 3 y
= −2 + 9 − determine el resultado al operar:
a). 3u-5v b). (u-v ) . (5u+v ) C).
Solución.
1) U=3i-5j+3k V =-2i+9j-k =-2i+9j-k
a) 3u-5v = 3(3i-5j+3k)-5(-2i+9j-k) = 9i-15j+9k+10i-45j+5k =19i-60j+14k
b) (u-v). (5u+v)
[353 353 29] 29] [5353 3 53 29] 29] [35329] 3 5329] [1525152 15251529 9]] [55144] 144] [13131614] 1614 ] =
=<5, -14, 4˃. <13, -16, 14˃
=(5)(13)+(-14)(-16)+(4)(14) =65+224+56 =345 c)
33 53 29 29 | 995 33 95 29| 29| | 995 22 3 99 95 | 19 14 5 1212 5 36132561 144 19225 =
=
=
= 12,89
4. Un triángulo tiene como vértices a (1,3), (4, −2) (−3,6). Dibuje en un plano cartesiano la situación y encuentre el coseno de cada uno de sus ángulos.
̅ 7 8 ̅ √4964 ̅ √113 ̅ 163 ̅ 41 41 3 22 ̅ 3 5 ̅ √ 925 9 25 ̅̅ √36 6 2
̅ 4 3 ̅ √169 ̅̅ √ 2525 5
163 5 6 256 −− − 866615 112,9969=25+36-60 112,9969=61-60 =
=-0,866615
A=
A= 150,0676
2 5 163 6 21636 123127996956 9726 25=112,9969+36-127,56
25=148,9969 - 125,56
B=13,5758
2 6 163 5 216395 111699693 95951 36=112,9969+25-106,3
36=137,9969-106,3
C=16, 36017
5. Determine el producto cruz × ). =
+
+
;
=
+
sabiendo que: ). = 10 + 7 − 3 ;
= −3 + 4 − 3
−
5. a. u= 10i + 7j 7j – 3k
v= -3i + 4j – 4j – 3k 3k
⃑ 13 47 33 74 33 13 33 311 47 ⃑ [733 43] [113 33] [114 37]⃑ ⃑ 3961⃑ -
+ +
-
(-21+12) – + (40+21) – (-30 – 9) + 9
<-9, 39, 61 ˃
b.
u= ai + bj + ck
v= ai + bj – ck
⃑ ⃑ ⃑ ⃑ =
-
-
(-bc – bc) – + (ab – ab) – (-ac – ac) + -2bc + + 2ac + + 0 < -2, 2, 0˃
Semana: 4 Ejercicio 2
121 12 435
2. Dada la matriz =
4 3 12 4 1.
121 915
12 2 43 12 2 43 12 2 43 1111225 2 4 11 11 5221 212 5 4 1 1 4 22 34 * 21 11 1 22 35 11 21 2222 13 31 1 24 24 33 3 3 + 51 14135 44 4 2424 4 1 23 3 4 46 4 62 2 3 8 8 1 1 5 125 22 5 5 43 4 3225 51 21 2135 8 3 32 1 2 5 5 2 465 15 6 1 1 6 2 5 153 1158 5152 3 3 58 31 2332 3 21 6 5 15 21 2135 465 15 6 8443 1732 9 3 18 15 51 115 2137 A
*
=
=
-3B=(-3)
RTA RTA
=
=
=
RTA
Semana 5 Ejercicio 1 y 2
Encuentre la matriz inversa de
1 1 1 1 111 123 123 122
haciendo uso del método de Gauss-
Jordan y luego por el método de los determinantes.
Ejercicio desarrollado por método de Gauss-Jordan.
1 1 1 1 1 111 123 123 122 1 1 1
F1 (-1) + F2 > F2 F1 (-1) + F3 > F3 F1 (-1) + F4 > F4
1 1 1 1 1 212 212 11 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 236 121 311 212 1 1 1 1 1 1 1 1 1621213 1112213 13 1 1 1 1 1 1 1 12 31 (511 12 2 1)
F2 (2) + F3 > F3 F2 (-2) + F4 > F4
F3/3 > F3
F3 (-6)+F4 > F4
F4/3 > F4
1 1 1 1 1 1 122113 11213 12233 2133 13 2 2 3 2 3 2 3 1 3 1 1 1 21 1 2112393 122339 212393 211933 2 7 9 4 9 7 9 5 9 1 1 1 1 1 4112993 212399 412993 211939
F4 (-1) + F1 > F1 F4 (-1) + F2 > F2 F4 (2/3) + F3 > F3
F3 (-1) + F1 > F1 F3 (2) + F2 > F2
F2 (-1) + F1 > F1
VERDE = MATRIZ INICIAL AZUL = MATRIZ INVERSA
COMPROBAR A*A(INVERSA) = MATRIZ I DENTIDAD
111 112 112 121 24799 4199 7499 1599 1 11 1 1 9 2 9 1 9 2 9 1 3 3 2 123 23 23 13 1 =
Halle la matriz escalonada de la matriz
21 1 45 19222 2 11 144 33 2 11911 7 1443 39211 2 33932 71 392 1 784 392 392 392 392 21 1 54 12 21 1 14 114 219 71 34 2192 3388 1149 766 33 7 313 714 33 3333 7462 392 A=
Ley invertir en la edición de la materia
21 1 45 12 1 45 19 2 72 3 1 1 419 4 7 3 191119 7 7 35 35
A=
A-A=
Inversa de A 1 1 1 1
1 2 -1 3
1 -1 2 3
1 2 1 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A=
1 0 0 0
1 -1 2 -2
1 2 -1 -2
1 -1 0 -1
1 1 1 1
0 -1 0 0
0 0 -1 0
1 0 0 0
1 0 0 0
33 22 3
1 0 0 0
1 -1 0 0
1 2 -3 -3
1 -1 2 -1
1 1 -3 2
0 -1 2 0
0 0 0 -1
0 0 -1 -1
1 1 0 0
1 -2 3 0
1 1 -2 -3
1 -1 3 5
0 1 -2 -2
0 0 1 0
0 0 0 -1
1 0 0 0
1 3 0 0
1 0 9 0
1 -1 0 3
1 3 -1 -5
0 -1 -2 2
0 2 3 0
1 9 0 0
1 0 9 0
1 0 0 3
1 4 -1 -5
0 1 -2 2
9 0 0
0 9 0
0 0 9
0 0 0
21 4 -1
0 6 3 0
0 0 0 -1
0 0 2 2
0 2 2 2
7 1 -2
-9 6 3
-4 2 2
9 3 21 4 -1 -15
I=
7 1 -2 6
0
-9 6 3 0
0
0
9
-15
6
0
6
-4 2 2 6
Semana 6. 6. Ejercicio 1,2 y del 3 el a. a.
1. Calcule el determinante, haciendo uso del método de menores y cofactores: Determinantes.
13 11 24 11 54 32 45 2 32 11 2 1 5 12 34 12 43 12 43 12 43 32 11 4 3 32 11 4 2 4 1 5 2 3 1 2 3 1 4 3 1 5 1 1 4 1 4 4 4 =1
-0
1
+0
=1
+(-1 )
1
3
=
-4
+ + 0
-0 -0
5 2 3 2 2 3 2 5 3 2 5 2 14 14 4 1 -4
+2
1
3
1
1 2 3 2 2 3 2 1 3 2 1 2 1 4 1 4 4 1 -1
+0 +0
-0
(5(-8+0)-0(0+0)+0(0+0))-4 (-(8+3)-0(0+0)+O80+0))+0(-1(0+0 (-(8+3)-0(0+0)+O80+0))+0(-1(0+0)-4(0+0)+0(0+0))-0(-1(0 )-4(0+0)+0(0+0))-0(-1(0+0) +0)
-5(0+0)+0(0+0))
1
1 (-40-0+0) -4 (-24-0+0) +(0-0+0) -0 (0-0+0)
1 1 -40 + 96 + 0-0
+(-1)
= 56
3 (5(8+3)-(0)+(0)) -4(2(8+3) -0+0 )+(0)-(0)
-1 3 (55-0+0)-4(22-0+0)+0-0
-1
3 55-88
=
= +99
2 3 (-1(8+3)-0+0)-1 (2(8+3) -0+0) +0+0
2
3 (-11) -2(11) +0+0)
= 56+ 99+0+0 -110 = 56 +99-110 = 45//
=
=2
-33 - 22
= 110
=
EJERCICIO EJERCICIO 2: De un ejemplo ejemplo en el cual muestre muestre que en general, no es cierto que Det (A+B) = DET
(a) + (Det (13) Sean:
A
132 35 411 61 32 1 7 12 1
B
A+B=
154 27 319 12 3 41 5 11 13 11 13 5 351 Det A
= -2
= -2 (0 + 5 ) -3 ( 1 + 3 ) + 4 ( 5 + 0 ) = -10 – 12 + 20 = - 2 DET A = -2
Det B =
15 2 31 27 19 54 19 54 27 479 =1
- 0
+ + 3
= 1 ( 18 – 7 ) - 0 ( 45 – 5 ) + 3 ( 35 – 8 ) = 11 – 0 + 27 = 38 Det (A+ B )
=
61 32 1 122 1 67 1 67 122 7 12 1 = -1
– – 3
= - 1 (20 – 0) -3 (60 – 0) + 1 (72 – 14) = -20 – 18 + 58 = -142 = DET (A+B) = 142
+ 1
– – 3
+4
DET (A+B) = DET (A) + DET B Det (-142 ) Det (-142) = 142
dA _ 2 + dB 38
det A (-2) + detB (38 )
36
3. Considere el triángulo de la figura
En el triángulo triángulo rectángulo rectángulo (1) ADB ADB a). Cos A =
−
de donde donde x= b cos A
En el triángulo rectángulo (2) CDB b). Cos B =
Sumando (a) + (b) (b) X = B cos A C – X = A cos B C = b cos A + a cos B
= a cos cos b = c – x
CONCLUSIONES
Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y ejercicios de la Unidad 1, cuyo contenido puntual es la solución de matrices, vectores y determinantes. Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones.
Referencias Bibliográficas.
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20%203%20CREDITOS%20-%20ELEARNING/unidad_1__vectores_matrices_y_determinantes.html
http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf
https://books.google.com.co/books?id=jFIj0EW6tYwC&pg=PA128&lpg=PA128&dq =Vectores,+Matrices+y+Determinantes&source=bl&ots=TI90IHoqrB&sig=MTAFR_ H9ATKOV_J7oVb5EZ04xY&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjVy5Xt_uHLAhWIWx4KH WjKBgwQ6AEINzAF#v=onepage&q=Vectores%2C%20Matrices%20y%20Determi nantes&f=false