ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO COLABORATIVO 1
ECUACIONES DIFERECIALES
INTEGRANTES: ALBERTO CARLOS CASTILLO CASTILLO ANGULO ANGULO COD: 1083002040 BRENDA RIVERA FONTALVO YESSICA KATHERINE GALINDO CRISTIAN FERNANDO MARTINEZ EDWIN ALBERTO NAVARRO OROZCO
TUTOR: FRANCISCO FERNANDEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
20 MAR. 2016
SANTA MARTA (MAGDALENA)
ECUACIONES DIFERENCIALES
INTRODUCCION En Ecuaciones diferenciales Hay diferentes temas muy completos cualquier ingeniero debe saber, con base a un buen entendimiento a temas anteriores y cursos de este mismo podemos abordar este curso con más facilidad. En este trabajo colaborativo 1, se realiza una serie de ejercicios de ecuaciones y todo lo relacionado con ello para poder tener un buen desempeño en la vida profesional como en la académica.
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SOLUCIÓN:
sincos=sin es de orden 1, y es lineal porque el termino y es lineal B. sin = 1 es de orden 1, y No es lineal porque la variable y esta elevada al cubo C. =cos es de orden 2, y no es lineal porque la función coseno depende de y. D. = √ 1 es de orden 2 y no es lineal porque la función raíz cuadrada no es lineal y la variable r depende de ella. E. 16=0 es de orden 1, y no es lineal debido a que la variable y esta
A.
elevada al cuadrado.
2.
− −− =
Solución:
− −−= Forma diferencial − − ∗ −= −1 −= Factorizamos (+) = Separar variables − −= Integrando obtenemos:
∫− −= ∫ Parte 1
− −=− − =− 13 − Factorizando queda
− 13 − = − 1 1 13 − Parte 2 aplicamos método integración por parte
∫ Sea = , =
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=, = ∫ = ∫ = Factorizando queda 1 Uniendo 1 y 2 obtenemos
− 1 1 − = 1 Como = 1 1 13 − = → 1 1 13 − = − 1 − 1
∎
B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es resuélvala. Ojo es de anotar que le faltó el dx
1ln=1ln 1ln ln1 ln1=0 =1ln = 1 = ln1 ln1 = 1 La ecuación 1ln=1ln , como sigue. Podemos obtener la solución general , , , = ∫ , , = ∫1ln Repartimos las integrales y obtenemos ∫ 1 ∫ ln ∫ Solucionamos cada una de las integrales y obtenemos 1= ln Vemos se presenta un producto, luego se sospecha una integración por partes. Hacemos el cambio de variable. , entonces debemos derivar u e integrar v, veamos: Como ya tenemos todas las partes que necesitamos, reemplazamos en la ecuación:
= ,=
=ln,=
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=∗ ln=ln∗ 1 =ln=ln = 1 =ln 1ln =lnln=lnln Determinamos g( y ) integrando M( x,y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f(x,y)
lnln lnln =ln1 ln′ ln′ =ln1 Despejamos ′ ′ = ln 1 ln → =1→ =1→ = , , =lnln= ∎ c. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:
6 6 49=0 Solución: primero verificar si la ecuación es exacta
= 6 6 = 6 = 49 =18 La ecuación no es exacta.
=618=12 − → = Luego = = = ∫ = ∫ = = =
Sin embargo
Es un factor integrante, al remplazarlo en la ecuación diferencial inicial la ecuación es exacta.
6 649=0 6 4 9=0
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= 6 =18 = 4 9 =18 4 9=0 La ecuación 6 , como sigue. Podemos obtener la solución general , , , = ∫ , , = ∫6=6 ∫ =3 Determinamos g( y ) integrando M( x,y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f(x,y)
3 =4 9 9 ′ ′ = 4 9 Despejamos ′ = 4 9 9 → = 4 → = , , = 3 = ∎ D. resuelva la ecuación diferencial:
, , = , , = =
Solución: Al examinar vemos que los coeficientes son funciones homogéneas de grado 2. Si escribimos , entonces ; así, después de sustituir, la ecuación dada se transforma en:
=
= 0 Factorizamos y aplicamos la propiedad Distributiva de la multiplicación obtenemos
=0 =0 Multiplicando por el factor racionalizante obtenemos = 0 Luego de integrar, se transforma en
ln = Restitución = nos queda ln = Ahora multiplicamos multiplicamos por y para obtener obtener ln= ∎ Que es la solución de la ecuación diferencial.
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E. Resuelva el siguiente ejercicio de valor inicial.
2 =0 Esta ecuación la transformamos para que quede en la forma estándar: Solución: 2Al=0 , = 2 , , = vemos que los coeficientes examinar , son funciones homogéneas de grado 2. Si escribimos =, entonces = ; así, después de sustituir, la ecuación dada se transforma en:
2 = 0 Factorizamos y aplicamos la propiedad Distributiva de la multiplicación obtenemos
1 2=0 1 =0 Multiplicando por el factor racionalizante + obtenemos =0 + Luego de integrar, se transforma en
ln|ln|| ln|ln|1 | = ln|ln|| 2 ln|ln|| ln ln 1 = ln|ln|| 2 ln|ln|| ln = ln||
= nos queda y multiplicando por 2 + como 1 = Restitución
Ahora aplicamos las propiedades propiedades de los logaritmos para escribir la solución anterior en la forma
ln ln =ln| =ln|| Aplicamos la división de fraccionarios fraccionarios y nos queda queda ln ln + = ln|ln|| Aplicamos la función Euler a ambos lados de la ecuación para obtener = = ∎ Que es la solución de la ecuación diferencial. + PROBLEMAS 1. Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min.
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La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque. Solución: debemos sacar los datos
= 1000 , =6 , = 6 , = 0 , = 12 , = ∗ Donde
= , = = , =ó , =ó ó =∗ = 6 6 ∗1000→ =1000 = 6 ∗ 1 6 → 1000 =6 6 1000 ó 3 = 6 500 Como p(t) = 3/500 tenemos que el factor integrante es
∫ = Multiplicamos la ecuación por este factor y obtenemos =6→ ∗ ∗ = ∗ 6 que es lo mismo que ∗ = 6 Al integrar ambos lados de la última ecuación se obtiene =1000 →=1000−
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= 0 = 0 encontramos que: 1000 − =0→1000 =0→10001=0 Despejamos c =1000 Cuando
Entonces la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t está dada por
=10001000− Como necesitamos saber cuándo será la concentración en el tanque igual a ½ entonces tenemos
1 =10001000− → 1 1000=1000− → 1999 =1000− 2 2 2 = − → = − Extraemos logaritmos naturales → − naturales a ambos lados − ln|ln|0,9995| 995| = ln ln − →0,00050013= 5003 → = 5003 ∗0,00050013 = 0,0833 0833545422 La concentración de sal será de ½ de Kilogramos, al cabo de 0,0833542 Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión que vuela a una altura de 2000 m, y cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista en cada instante, con constante de proporcionalidad 30 N.s/m con el paracaídas cerrado, y 90 N.s/m con el paracaídas abierto. Si el paracaídas se abre a los diez segundos del lanzamiento, hallar el instante aproximado en el que el paracaidista llega al piso. ¿Cuál es su velocidad en ese instante? (Considere la gravedad como ) Solución: Por la segunda Ley de Newton
=10
= Asumiendo Asumiendo que la resistencia resistencia es proporcional proporcional a la velocidad y la dirección con con que baja es positiva y sabiendo que = el modelo para la velocidad es =. Usando separación de variables para resolver la ecuación diferencial obtenemos = = ∫ = Multiplicando la ecuación diferencial por este factor integrante, tenemos. ∗ ∗ = ∗ ∗=∗
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∗ = ∗∗ ∗∗ ∗ = − = ∗ Aplicando Aplicando las condiciones condiciones iniciales iniciales y haciendo haciendo 0 = = 0 obtenemos = → = Entonces la velocidad en cualquier instante t esta dado por la formula y sabiendo que = 0 = ∗ − → = ∗ ∗ − ∗ − factorizando = ∗ − ℎ 0 = se llega Teniendo encuenta que = , ℎ = ∗ − Integrando respecto a t = [ ∗ − ] = − − Entonces como t=0 y despejamos C obtenemos:
− − 0= 0 = → = = − − = − − = − = 1− Considerando la gravedad =10 y la etapa inicial en la que el paracaídas está cerrado, donde =0, = 0 = 30 , = 100 . 100 ∗10− = 100 ∗100 30 30
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= 1003 1003 − 100 0 100∗101− 0 = 100∗10 0 30 1000 30− 30 100 = 3 9 Luego como t=10 seg = 1003 1003 − 10 10 = 1003 1003 − ≈31,67376 − 10 10 = 1003 10 10 1000 9− 1000 1000 10 10 = 3 9 ≈338,8652 Para la segunda etapa, es decir, cuando el paracaídas está abierto, se toma como instante aquel en el que el paracaídas se abre. Con lo que se tiene que =90 con lo que se tiene 0 = 338, 338 , 8 652 6 52 0 = 31, 31 , 6 737 73 7 Entonces 100∗10 − = 100 ∗1031,6737 90 90 100 100 − = 9 31,6737 9 = 1009 20,5626 − 31,6737 ∗1 − 338,8652 = ∗ 100 = 9 22,84731 − 338, 338,8652 8652 = 1009 22,847322, 22,847322,8472 8472 − 338,8652 = 1009 361, 361,712522, 712522,8473 8473− Pero como x(t) es 2000 m reemplazamos y obtenemos 2000= 361, 361,712522, 712522,8473 8473− Despejando t obtenemos 100 =2000361,712522,8473 − 9
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100=14744,5875205,6257 −− Es decir =147,44592,056257 − En la presente ecuación el término 2,056257 se desprecia para valores de tiempo relativamente grandes (mayores que 10), es decir, este valor su límite tiende a cero, entonces, =147,4459de aquí se deduce que el paracaidista tarda aproximadamente 10arrojó del 147, 14avión. 7,4459 4459 = 157, 157,4459 4459 aproximadamente en llegar al suelo desde que se La velocidad de este al llegar al suelo es de aproximadamente = 1009 20, 5626 − En la presente ecuación el término 20,5626 − se desprecia para valores de tiempo relativamente grandes (mayores que 10), es decir, este valor su límite tiende a cero. = 1009 ≈11,11
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CONCLUSIONES
En este trabajo aprendimos la Identificación de los principios de ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES con el desarrollo que obtuvimos Interpretamos las diferentes teorías, definiciones y teoremas de este para poder comprender en diversos escenarios su mejor manera de utilizarlos
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BIBLIOGRAFIA
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Caicedo, A., García, J., Ospina, L. (2010). Métodos para resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ediciones Elizcom. 9-24. Recuperado de :http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10565809
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