TRABAJO COLABORATIVO FASE 2 ECUACIONES DIFERENCIALES
GRUPO 100412_148
Estudiantes DIEGO ARMANDO MONTES JUAN DAVID MAESTRE JORGE LUIS QUIROZ LUZ MERY CARMONA EDUAR ANDRÉS MANDÓN
Tutor FRANCISCO FERNANDEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 2016
INTRODUCCIÓN
La iniciativa de este trabajo es dar reconocimiento a los saberes o temáticas de la unidad dos, donde Esta segunda fase permitirá resolver problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales. Permitiendo así a cada estudiante resolver de forma individual uno o dos ejercicios de los diez propuestos y participar en las actividades grupales, reconociendo de tal manera los aportes de todos los participantes. Y así poner en práctica los conocimientos de la unidad dos.
SOLUCIÓN
1. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables. y ' ' −4 y ' +4 y=2 e x −1 , Un Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación estudiante propone:
yh
A. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da C1 e 2 x
2x + C2 x e
B. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da −2 x
C1 e
=
−2 x
+ C2 xe
C. Hacer las sustituciones
y=x m , y ' =mx m −1 , y ' '=m(m−1) xm −2
ecuación homogénea asociada, cuya solución da D. Hacer las sustituciones
yh
} -4 y+4 y= {2 e} ^ {x} -1 y¿ } - {4 y} ^ {1} +4 y=0 ¿ sea y
d 2 y −40 y +4 y=0
( d 2−40 y+4 )=0 2
r −4 r + 4=0 2
r−2 ¿ =0 ¿ r 1=2 r 2=2 como lasraices son igualesla solucion homogenia es
yh
y resolver la
2 = C1 x
y=x m , y ' =mx m −1 , y ' '=m(m−1) xm −2
ecuación homogénea asociada, cuya solución da
y h=(c 1 x +c 2) e 2 x
yh
2 + C2 x
y resolver la −2
= C1 x
−2
+ C2 x
=
2x
c1 x e + c2e h=¿ ¿ y¿
2x
2. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables. ''
'
En la intención de resolver la ecuación diferencial y +2 y + y=senx , un estudiante propone hacer las sustituciones
m
'
y=x , y =mx
m −1
m −2
, y ' ' =m(m−1) x
y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da
yh
−1
= C1 x
−1 + C2 x .
El proceso anterior es: A Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+ 2m + 1 = 0 cuyas soluciones son m=1 y m=-1 B Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+2m + 1 = 0 quien tiene una única solución real que es m=-1 C Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real x x yh que es m=-1 y por lo tanto su solución da = C1 e + C2 e D Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real −x −x yh que es m=-1 y por lo tanto su solución da = C1 e + C2 xe
❑❑+2❑❑ + y=sen x sea x =x m y 1=m x m
} m left (m-1 right ) {x} ^ {m-2} y¿ ❑
1
❑ +2 y + y=0 m ( m−1 ) x
m−2
+2 m x
m−1
m
+ x =0
Al ser los coeficientes constantes el metodo de solucion no es el apropiado el cual } +2 {y} ^ {1} +y=0 ¿ sea y 2
D y +2 dy + y =0 2
D + 2 d+¿ ¿ ¿ m2+2m+1=0
( m+ 1 )=0 m=−1 m2=−1=¿ y h=c 1 x e−x + c 2 e−x
3 Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir y=x m , y ' =m x m−1 , y ' '=m ( m−1 ) x m−2 y luego se encuentran las raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es: y h=c1 x m+ c 2 x n , si mes distinto de n y h=c1 x m+ c 2 x m lnx , sim=n ∝
y h=x ( c1 cos ( βlnx ) +c 2 sen ( βlnx ) ) , sim y n son complejos de forma ∞+iβ .
Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación x2y’’ + xy’ +y=2x es:
A.
y h=c1 cos ( lnx)+ c 2 sen(lnx)
B.
y h=c1 x−c 2 lnx
C.
y h=c1 +c 2 lnx
D.
y h=c1 x+ c2 x
.
−1
3. La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes a2 D2 y ( x )+ a1 Dy ( x ) +a 0 y ( x )=g(x )
constantes de la forma y=r 1 u1 +r 2 u 2
Es
u1 y u2 son las soluciones de la ecuaciónhomogénea asociada y
En donde r 1=
w1 w , r 2= 2 w w
Para ello, los wronskianos
| |
w=
u1 u2 u
' 1
u
' 2
|
w 1=
,
|
g( x) u2 g' ( x) u'2
,
Con base en lo anterior, la solución de la ecuación A . y =c 1 e−4 x + c 2 e−x −
B . y=c1 e 4 x + c2 e x +
3 12
1 12
|
w 3=
|
u1 g(x) u'1 g '1(x )
y ' ' −5 y ' + 4 y=1
es:
C . B . y=c1 e 4 x +c 2 e x −
−4
−1
D . y =c 1 x +c 2 x −
15 12
1 3
SOLUCIÓN y ,, −5 y , + 4 y =1 ,,
,
y −5 y + 4 y =0
Ecuación homogénea asociada
2
r −5 r + 4=0
Ecuación auxiliar
( r−4 )( r −1 )=0 r 1=4 ˄r 2 =1 y h=c1 e 4 x +c 2 e x
Solución homogénea
y p=µ1 y 1 + µ2 y 2
y 1=e
µ ,1 y 1 +µ ,2 y 2=0 µ ,1 y 1 +µ ,2 y 2=f ( x ) 4x
,
x
,
e µ 1+ e µ2=0
1
4 e 4 x µ,1 +e x µ2, =1
2
Eliminación 1
(−1 ) + 2
4 e 4 x µ,1 +e x µ2, =1
4x
y 2=e
x
4x
,
x
,
−e µ1−e µ2=0 3 e 4 x µ1, =1 1 µ ,1= e−4 x 3 3 Remplazamos 3 en 1 e4 x
x
( 13 e )+ e µ =0 −4 x
,
e µ2=
x
, 2
−1 −4 x+4 x e 3
1 2=¿ ,− e−x 3 µ¿
4
1 1 −1 −4 x µ 1=∫ e−4 x dx= e = 3 3 4
( )
µ 2=∫
1 −x 4 −x e e = 3 12
−1 −x −1 e = (−1 ) e− x = 3 3
y p=
( 121 e )( e )+( 124 e ) (e )
y p=
1 4 5 + = 12 12 12
−4 x
4x
y= y µ+ y p 4x
x
y=c1 e +c 2 e +
5 12
−x
1 −4 x e 12
x
4. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma a2 ( x ) D2 y ( x ) +a1 ( x ) Dy ( x )+ a0 ( x ) y ( x )=g( x) . m
'
y=x , y =m x
m−1
, y =m ( m−1 ) x
m−2
Se
procede
sustituir
Para, en primera instancia hallar la solución de
su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma y h=c1 u1+ c 2 u2 Luego, con la ayuda de los wronskianos g( x) u2 u u2 w= 1' w 1= ' ' g (x) u'2 , u1 u2 ,
| |
|
|
|
w 3=
u1 u
' 1
g( x)
|
g '1( x )
Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la ecuación x2y’’ + xy’ = x son:
1.
y h=c1 +c 2 lnx
2.
y h=c1 x−c 2 lnx
3.
1 y p= x 3 9
4.
y p=
−1 3 x 9
5. 6.Una ecuación lineal de orden n es de la forma: an y n ( x ) +a n−1 y n−1 ( x ) +…+ a1 y ´ ( x ) +a0 y ( x )=f (x ) esto es, todos los coeficientes son solamente funciones de x y además, la variable y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión
an Dn +a n−1 Dn−1+ …+a 1 yD+a 0
Es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma P ( D ) y=g ( x) Por lo anterior, de la ecuación diferencial 2y’’ + 5y =senx se puede afirmar que: 1. Es lineal de segundo orden con coeficientes variables 2. El operador diferencial que anula a g(x) es
( D 2 +1 ) ( 2 D2 +5 ) y =0
3. El operador diferencial que anula a g(x) es
( D−1 ) ( D2 +5 ) y=0
4. Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes 6. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con a2 ( x ) D2 y ( x ) +a1 ( x ) Dy ( x )+ a0 ( x ) y ( x )=f ( x ) se
coeficientes variables de la forma procede sustituir
y=x m , y ' =m x m−1 , y ' '=m ( m−1 ) x m−2
Para, en primera instancia
hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma y h=c1 u1+ c 2 u2 y luego, con la ayuda de los wronskianos
| |
w=
u1 u2 u
' 1
u
' 2
,
|
w 1=
|
g( x) u2 g' (x) u'2
,
|
w 2=
|
u1 g( x) u'1 g '1( x )
Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, los Wronskianos w1 y w2 de la ecuación ecuación diferencial: xy’’ - y’ = x son: 1. 2. 3. 4.
w1=2x w1=-x3 w2=1 w2=x
7. La solución particular de la ecuación PORQUE su ecuación asociada tiene raíces imaginarias. Seleccione A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Seleccione B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Seleccione C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Seleccione D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.
Solución ,,
,
3 y −11 y + 5 y =0 Ecuacion auxiliar 2
3 r −11r +5=0 11 ± √ 11 2−4 (3)(5) r= 2( 3) r=
11 ± √ 121−60 6
r=
11 ± √ 61 6
r 1=
11+ √ 61 6
r 2=
11− √61 6
solucion es y=c 1 e
11+ √ 61 x 6
lasreaices son reales
+ c2 e
11− √ 61 x 6
8. Un operador anulador para la función (�) = 5�3x − 6��2x es (� + 3)(� + 2) 2 PORQUE la función f(x) es no lineal. Cualquier término no homogéneo de la forma f ( x )=e
rx
satisface (D – r)[f]=0
k rx Cualquier término no homogéneo de la forma f ( x )=x e satisface (D – r)m[f]=0
Siendo k=m-1 Para el primer término: y=5 e 3 x → ( D−3 ) Verificando D−3= y ´ −3 y=15 e3 x −3 ( 5 e3 x ) =0 Lo que confirma que para el primer término el anulador es (D-3) Para el segundo término: y=−6 xe 2 x →(D−2)2 Verificando (D−2)2=D2−4 D+ 4= y ´ ´ −4 y ´ + 4 y y=−6 xe
2x
2x
y ´ =−6 e −12 x e
2x
2x
2x
2x
2x
y ´ ´ =−12 e −12e −24 x e =−24 e −24 x e
2x
Reemplazando y ´ ´ −4 y ´ +4 y =0 −24 e2 x −24 x e2 x −4 ( −6 e2 x −12 x e2 x ) + 4 (−6 x e2 x ) 2x
2x
2x
2x
2x
−24 e −24 x e +24 e + 48 x e −24 x e =0
Luego la afirmación es Falsa, ya que el anulador es:
( D−3 )( D−2)2
9. La solución del problema de valor inicial �′′−3�′−10�=0, (0)=1,′(0)=12 es �1=2 �2=−1 PORQUE la solución particular de la ecuación es �=2�5�−�−2� La solución general para esta ecuación es: ''
'
y −3 y −10 y =0
λ1 =
3+ √9+(40) 2
λ1 =
3+7 =5 2
λ2 =
3−7 =−2 2
y ( x )=c 1 e λ x +c 2 e λ x 1
2
5x
−2 x
y ( x )=c 1 e +c 2 e
y ' ( x )=5 c 1 e−2 x ± 2 c 2 e 5 x
Ahora con las condiciones iniciales dadas se calcula C1 y C2 y ( 0 )=1 y ' ( 0 )=12 Entonces reemplazando: 5 (0)
y ( 0 )=c 1 e
−2 ( 0 )
+c 2 e
=1
y ( 0 )=c 1∗ (1 ) + c2∗( 1 )=1 c 1+ c 2=1 y ' ( 0)=5 c1 e 5( 0) ±2 c 2 e−2 (0 )=12 ' ( 0)
y =5 c1∗( 1 )−2 c2∗(1)=12
5 c 1−2 c 2=12 Entonces tenemos el sistema:
{
c1 +c 2=1 5 c1−2c 2=12
c 1=1−c2 5(1−c 2)−2 c 2=12 5−5 c 2−2 c 2=12 5−5 c 2−2 c 2=12 −7 c2 =7 c 2=−1 c 1−1=1 c 1=2 Por tanto la solución particular será: y ( x )=2e 5 x −e−2 x Entonces la respuesta correcta es la A porque tanto la afirmación como la razón son verdaderas y la razón es una explicación de la afirmación.
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m. R/: Operamos las fuerzas que actúan sobre la persona:
FT =ky−mg Llamando y a la distancia del eje vertical, positiva hacia arriba y con el 0 en lugar del salto. Utilizando la segunda ley de Newton: a=
ky −g m
,,
y =
ky −g m
Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden de coeficientes constantes no homogéneo. La solución será la suma de la general de la homogénea y una particular de la concreta: GH +¿ y PC GC=¿ y ¿ y¿ Empecemos por resolver la ecuación homogénea asociada, para ello resolvemos la ecuación característica: r 2−
k r=0 m
r 1=0 r 2=
k m
Así: k
t
y GH =C 1 e m +C 2 Ahora resolvemos la particular de la completa, y nos fijamos en que esta podrá ser simplemente una constante: y PC =cte −k y + g=0 m PC y PC =
mg k
Por tanto la solución será: k
t
y GC =C 1 e m +C 2+
mg k
Ahora tomando las condiciones iniciales del enunciado y sustituyendo los datos extraemos las constantes y obtenemos el resultado final: y GC ( 0 )=8=C1 +C 2+
y ,GC ( 0 )=30=
C1 =
30 m =6 k
C1m k
mg k
C2 =0,04 Sustituyendo las contantes: 0,2 t
Y ( t )=6 e
+2
Segunda actividad grupal Segunda actividad grupal Hasta remplazar valores están bien 1 d2 x dx +1,2 +2 x=5 cos 4 t 2 5 dt dt 1 , x ( 0 )= x ( 0 )=0 2 d2 x dx +6 +10 x=25 cos 4 t 2 dt dt x ,, + 6 x, +10 x=25 cos 4 t Ecuaciones auxiliar homogénea x ,, + 6 x, +10 x=0 Ecuación auxiliar
CONCLUSIONES
Reconocer las temáticas de la unidad dos para retroalimentar los conocimientos y dar solución a los problemas planteados. Se pudo dar solución a las preguntas y actividades propuestas.