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ALGEBRA LINEAL ACTIVIDAD GRUPAL FASE 6
PRESENTADO POR: Carlos Yesid Cortes Loma!a Die"o Ale#a!dro $ore!o %&a! Estea! Irre!o
Gr&'o: ()*)+6,()
Cie!-ias B.si-as Te-!olo"/a e I!"e!ier/a U!i0ersidad Na-io!al Aierta 1 a Dista!-ia (2 de !o0iemre ()36
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INTRODUCCION En este documento los estudiantes de la universidad Nacional Abierta y a Distancia va a dar a la fase cuatro unidad 3 con diferentes ejercicios, entre ellos, roductos vectoriales, bese de un esacio vectorial, ran!o y nulidad de una matri" y deendencia e indeendencia lineal# todos los ejercicios se resuelven aso a aso $asta lle!ar al resultado, ara as% reali"ar intercambios de conocimiento y e&eriencia en confrontaci'n de ideas( )e racticar* el trabajo colaborativo, or medio de la comunicaci'n de foros, c$ats y entre otros, cada ersonaje ad+uirir* un rol, +ue es la actitud +ue desemeara en el !ruo y siemre teniendo en cuenta el tiemo con lo +ue finalmente se direccionara a una soluci'n ara el resente trabajo(
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1.
s = {u 1 , u2 } donde
dado el conjunto +ue s !enera en R
u1=( 5,1)
y
u2=(−3, −2 ) demuestre
2
vamos a comrobar or medio de una matri" si los vectores son linealmente indeendientes o linealmente deendientes, recordando +ue si el valor obtenido en la matri" or medio de determinantes es diferente de - si!nifica +ue los vectores son linealmente indeendientes
|−
5 3
|
1 = (−10 ) −(−3 )=−7 −2
R./ )i es !enerador en el esacio en R
2
y +ue es un vector linealmente indeendiente ya
+ue cual+uier conjunto de dos vectores linealmente indeendientes en
R
2
son
!eneradores en el esacio( 0( Dado el conjunto
v 2= { 0 , 1, 2,5,1}
v ={ v 1 , v 2 , v 3 } definido en y
v 3= { 2 , 0,1, −2 }
R
4
donde
v 1= {−1 , 2, −3,5 } ,
determinar si los vectores de v son
linealmente indeendientes
|
−1
2
0 2
1 0
−3
5
|
2 1 1 −2
Tomamos la matri" y vamos a mirar son o no los vectores linealmente indeendientes or el m1todo de determinantes
|
−1
2
0 2
1 0
2 1
−1
2
5
0 2
1 0
|
|
−3 −1
|
0 2
−1
1 0 −2 2
2 1=(−1 + 8 + 0 ) −( 0 +0 −6 ) =13 0
2 1 = ( 2 + 4 + 8 ) −( 0 + 0 + 10 ) =−5 0
8
|
− 1 −3 0 2
2 1
5
|
−1 −3
1 0 −2 2
2 1
=( 4 + 6 + 0 )−( 0 −1 + 20 )=−9
Obteniendo estos resultados no nos +ueda duda de los determinantes dada de la matri" son diferentes de cero y or tal motivo los vectores son linealmente indeendientes
0(2(
)ea el conjunto u2= {2,6, −5 }
y
v = { v 1 , v 2 , v 3 } definido en
R
3
donde
u1= { 4,2,1 } ,
u3= {1, −2, 3 } determinar si los valores de v son linealmente
indeendientes, de lo contrario identificar la combinaci'n lineal corresondiente
allamos la matri" y vamos a solucionar or medio de determinantes
|
4
2
2 1
6 −2
|
1 4
−5
2 3 1
2 6 = ( 72−10− 4 ) −( 12− 40 + 6 ) =80 −2
R./ como el determinante de la matri" es diferente de cero, esto +uiere decir +ue los vectores definidos en R
3
3( Dado el conjunto
son linealmente indeendientes
s = {u 1 , u2 } donde
determinar si s es o no base en R
3
(
u1= {1 − x
3
}
y
u2= {− x + 5 }
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4. Dada la matriz
|
−2
R ( A )= 3
5
−2
1
1
−2
5
|
R ( A )= 3 1
−2 1
|
−2
5
3 1
−2
|
−1 −4 Hallar el rango de dicha matriz. −5
1
|
−1 −4 −5
|
−1 −2 5 −4 3 − 2 −5 1 1
R ( A )=( ( (−2 )∗(−2 )∗(−5 ) ) + ( ( 5 )∗(−4 )∗( 1 ) ) + ( (−1 )∗( 3 )∗( 1 ) ) )
−(( ( 1 )∗(−2 )∗(−1 ) ) + ( ( 1 )∗(−4 )∗(−2 ) ) + ( (−5 )∗( 3 )∗( 5 ) ) ) R ( A )=( (− 20 ) + (−20 ) + (−3 ) )−( ( 2 )+ ( 8 ) + (−75 ) ) R ( A )=(−43 )−(−65 )
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R ( A )=22 4( Dados los vectores u / 56i 7 8j y v / 5i 7 8j es correcto afirmar +ue el vector 9 / 522i 5 8j es una combinaci'n lineal de u y v: ;ustifi+ue su resuesta(
u=−6 i + 9 j
v =−i +9 j
w =−11 i − 9 j
w =u + v
−11 i − 9 j =(−6 i+ 9 j ) + (−i + 9 j ) −11 i =−6 i−i
−9 j =9 j + 9 j
−11=−6 λ − μ
−9=9 λ + 9 μ
9 (−11=−6 λ − μ )=−99 =−54 λ − 9 μ
−99=−54 λ −9 μ
λ =
−9 =9 λ + 9 μ −108 =−45 λ− 0 μ
−108 =2.4 −45
6 (−9= 9 λ + 9 μ ) =−54 =54 λ + 54 μ
−99=−54 λ −9 μ
μ=
−153 45
=−3.4
−54 =54 λ + 54 μ −153 =0 λ + 45 μ
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−11 i − 9 j =2.4 u −3.4 v
−11 i − 9 j =2.4 (−6 i + 9 j )− 3.4 (−i + 9 j )
−11 i − 9 j =(−14.4 i+ 21.6 j ) — 3.4 i + 30.6 j −11 i − 9 j =(−14.4 i+ 21.6 j ) + ( 3.4 i −30.6 j ) −11 i − 9 j =(−14.4 i+ 3.4 i )+ ( 21.6 j −30.6 j )
−11 i− 9 j =−11 i−9 j
Comovemos coincidelarespuesta con el vector W del ejercicio; por lotanto corresponde a una combinacion lineal de los vectores u y v .
4(2(
)ea el conjunto N = { matrices simetricas cuadradas N 2 x 2 } y sea < el
esacio vectorial conformado or las matrices cuadradas = 0& 0 demostrar +ue N es un subesacio del esacio vectorial <
>ara $allar debemos tener en cuenta tres condiciones ?a rimera es@ +ue el elemento cero de < ertene"ca a N y el esacio < +ue ertenece a la matri" cuadrada, es decir +ue el cero de < seria la matri" nula de n&n y ara comrobar +ue la matri" N buscaremos +ue la transuesta de la matri" nula me de la matri" nula 0 v ∈ N
v = N ( R ) 0 v =0nxn t
!nxn = !nxn ?a se!unda condici'n es @ si se toman dos vectores A y +ue ertene"can a N se deben robar +ue la suma de A7 +ue son sim1tricas se suman tambi1n sim1tricas(
A , " ∈ N
( A + " )t = A t + "t = A + " A + " ∈ N ?a tercera condici'n es@ un escalar y una matri" sim1trica
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⋌ ∈ R , A ∈ N
(⋌ . A )t =⋌ A t =⋌ . A =⋌ . A ∈ N )i se cumlen estas tres condiciones se uede concluir +ue N es un subesacio del esacio <( BCorte", 0-26
CONCLUSION
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>or medio de este trabajo colaborativo fase 4 de la unidad tres se udieron anali"ar y comrender los diferentes temas rouestos en la !u%a, 9eb conferencias y los encuentros 5learnin!#
dentro de estos %tems se encuentra ron diferentes temas de
soluci'n aso a aso sobre esacios vectoriales(
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Referencias Cortez, M. V. (16 de 08 de 2016). Ejercicio tipo examen, las matrices simétricas forman un subespacio de las matrices cuadradas. Otenido de htt!"#$$%%%.&o't'e.com$%atch*+&h-H'C8/t*4" C, . (01 de 08 de 2014). Como hallar el rango de una Matriz . Otenido de htt!"#$$%%%.&o't'e.com$%atch*31OH'+5 7'lio!roe. (09 de 01 de 2010). Magnitud y orientación de un vector en ! . Otenido de htt!"#$$%%%.&o't'e.com$%atch *:rtt;ic/li"t*<6!c=>=D?Hr%m9g52=@+C2lhDl -V@, . (26 de 0A de 2019). C"#C$#% &E '()% &E $(' M'*+ -- /% )'$00 1E2EC+C+% 34. Otenido de htt!"#$$%%%.&o't'e.com$%atch *l0Ohlmm6-; 'nicoo". (10 de 12 de 2011). '#)E5' 6 5ase de un espacio vectorial $(+7E0+&'& unicoos matematicas . Otenido de htt!"#$$%%%.&o't'e.com$%atch*B35%<+2? 'nicoo". (2 de 02 de 2016). '()% de una matriz por determinantes 83 5'C9+##E'*% unicoos. Otenido de htt!"#$$%%%.&o't'e.com$%atch *7H<6BdV?B9o