ECUACIONES DIFERENCIALES CÓDIGO: 100412 FASE 5- DISCUSION UNIDAD No 3 ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES Presentado a: Jorge Enrique Arboleda Tutor Entregado por: Daniela Rengifo Sánchez Código: 1077453396 Paula Andrea Osorio Eliecer Solano Código: Grupo: 100412_305
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA Quibdó Abril2018
INTRODUCCION
En el presente trabajo se presenta el proceso práctico de la unidad tres del módulo ecuaciones diferenciales se abordaran temas claves para la resolución de ecuaciones diferenciales que implican el conocimiento desde la definición y clasificación de series matemáticas, técnicas para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas, hasta el estudio de propiedades y convergencia de series de potencia, complementando con las series de Taylor y Maclaurin como apoyo a la solución de ecuaciones diferenciales lineales de orden dos o superior.
En complemento con lo anterior y buscando afianzar el conocimiento se proponen una serie de ejercicios de acuerdo a las temáticas presentadas los cuales se resolvieron utilizando los planteamientos expuestos teniendo en cuento fuentes documentales consultadas. Con esto se pretende alcanzar el reconocimiento, definición y aplicación de los temas planteados hacia la resolución de ecuaciones diferenciales .
OBJETIVOS
GENERAL:
Por medio del trabajo colaborativo 3 se pretende que cada estudiante aporte sus conocimientos a la consolidación del trabajo.
ESPECIFICOS:
Que cada estudiante de Ecuaciones Diferenciales realice los ejercicios ejercicios del trabajo mediante sus conocimientos adquiridos.
Hacer socializaciones de los ejercicios para que entre entre todos los integrantes del grupo puedan compartir sus métodos de aprendizajes efectivamente.
Que cada estudiante tenga los conocimientos ben en claro de los temas tratados en la unidad 3del módulo de Ecuaciones Diferenciales
PUNTO 1
Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de
∞ nx2 = 3+ A. La serie serie converge converge solo cuando cuando x=2 x=2 B. La serie converge absolutamente para
x<1 x<5 x<1
C. La serie converge absolutamente para D. La serie converge absolutamente para
x
converge la serie de potencias?
|x2|<3 |x2|<3 | x 2| < 3
lo que equivale a
lo que que equivale equivale a lo que que equivale equivale a -
Procedimiento
→∞ 1 1. Si el límite anterior es menor menor que 1 converge 2. Si el límite es es mayor que 1 diverge. diverge. 3. Si es igual a 1 es no concluyente. Entonces la serie
∞ 2 = 3+ Por criterio del cociente
→∞ | + |
5< 5 < 1< 5<
Sustitución:
+ 12 33++ | →∞ |12 →∞ | 2 3 | 1 →∞ | 12 | | 2| | →∞ 3 3 | |2|→∞ | 13 | | | 2|→∞ | 13 31 | |2|→∞ | 13 31 ||2|13 |2|13 | 3 2 | Hallando los valores para convergencia de la serie
| 3 2 | < 1 |2|<3 5<<1 PUNTO 2
El radio de convergencia de la serie de potencias es
∞ =
1−− 1 31 2 A. B. C. D.
Procedimiento
→∞ 1 1. Si el límite anterior es menor menor que 1 converge 2. Si el límite es es mayor que 1 diverge. 3. Si es igual a 1 es no concluyente. Entonces la serie
∞ =
1−− Por criterio del cociente
→∞ | + | Sustitución:
+ 1 1 →∞ | 1−− | →∞ | 1 | →∞ | 1 | ||→∞ | 1 | ||→∞ | 1 | ||→∞ | 11 | ||→∞ | 11 |||1 || Hallando los valores para convergencia de la serie
||<1 1<<1 Puto 3 El radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie es:
1
A. Conjunto Conjunto (-1, 1)
B. Conjunto (-1/2, 1/2] C. Conjunto {0}
0
D. Conjunto [-1/2, 1/2] Solución
Haciendo uso del criterio de la razón
∞ 22 = √ √
l→∞im + 2 2 √ √ + + + 2 2 + √ √ 1
Después identificamos el numerador y denominador para simplificar la expresión antes de aplicar el límite.
Teniendo se realiza el cociente entre las dos expresiones teniendo en cuenta la ley de extremos y medios o ley de las orejas
+ + + 2 2 + 2√ √ 21 22√ √ ++1+ ∗ 22√ √ √ √ ∗ + + 22√ √ 221∗ ∗ 22√ √ + 2∗ √ √ √ √ 1 2∗ 2∗ 1 l→∞im + l→∞im 2|| 1 | | | | l→∞im 2 1 2 1 1 0 2||1 2||<1 < 1 12 < 22 < 12
Ahora se se realiza la descomposición descomposición de potencias potencias sabiendo sabiendo que
Seguidamente se aplica el límite a la razón obtenida
Aplicando Aplicando el límite a infinito infinito se obtiene obtiene
12 < < 12 ,
Entonces se tiene que el intervalo de convergencia es
Por lo tanto, la respuesta correcta es la B
D. Conjunto [-1/2, 1/2]
Puto 4
´´
8 40 11 … … … … !! !! !! !! !! !! 12 2 28 … … 12 2 … … La solución general en series de potencias de la ecuación diferencial es: A.
B.
C. D.
Solución.
´´ 8´ 4 0 ∞ = ∞ ´´ = − ∞ ´´ − 1 −
Haciendo uso de las siguientes expresiones se remplaza en la ecuación diferencial.
Remplazando
∞ 1 − 8 ∞ ∞ − 4 0 8 =∞ =∞ =∞ = 1 − 8 = − 4 = 0 ∞ ∞ = 1 − 8 = 4 = 0
Tomamos el primer término.
2∞ → → 0 , 2 = 2 1 −
Tomamos el segundo término y realizamos el cambio de variable
→1
∞ = →0 → 0 ∞ =
Tomamos el tercer término y decimos que
Ahora sustituimo sustituimos s las nuevas nuevas expresione expresiones s en la ecuación ecuación diferencial. diferencial.
∞ 2 1 8 ∞ 4 ∞ 0 + = ∞ = ∞ = ∞ 0 20 1+ = 32 + 8 = 4 4 = 0 ∞ ∞ ∞ 2 4 = 32 + 8 = 4 = 0
Reagrupando se tiene.
∞ 2 4 =[ 32+ 8 4] 0 2 4 0 →2 4 → 2 ≠ 0 32++ 84 8 4 0 + 32+ 84 8 4 832 4 + 84
Ahora igualamos igualamos a cero los los términos. términos.
Sabemos que
Despejamos a
Con la expresión anterior podemos determinar los demás términos.
Para k=1
Para k=2
Para k=3
Para k=4
Para k=5
1813142 46 23 1 6412 1212 2 164 24433 2 2020 23 3244 32434 2 2830 5630 4324 40435 2 3642 72126 5404
Entonces la solución queda así.
2 2 28.…… 4 2 3 2 3 15 7 … …. (12 2 2815 ) …… ( 23 23 47 … . )
Agrupando Agrupando los términos términos y factorizando
nos queda finalmente el resultado.
Por lo tanto la respuesta correcta es la D.
Puto 5 Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta: Un punto de una ecuación diferencial de la forma es ordinario si las dos funciones son analíticas en ese punto. Es decir, pueden representarse en series de potencias de con radio de convergencia con Si al menos una de ellas no lo es, el punto se dice que es singular. Un punto singular , se dice singular regular si las funciones son ambas funciones analíticas en ese punto.
´ ´ ´ ´ 0 >0. , ´´ − ´´ 0 ≠ ≠>0 0 ≠0
De la siguiente ecuación A. B. C. D.
1 00
se puede afirmar que:
singular regular, ordinarios irregular, ordinarios ordinario y ordinarios singular regular ordinarios
Solución:
´´ 1 ´´ sin 0 1 sin 0 ´´ 1 ´´ 0 11 1
Se tiene la ecuación diferencial:
Se verifica si está normalizada:
sin 0,0, 1 1 sin 1 1 ; 1 ≠ Son funciones analíticas
singular regular,
ordinarios
Puto 6
0 , ´´0 ´´ ´´ ´ 21, yyxx ´!! !! ´−´−!! + ´−−´!!+ … ⋯ !! !! !! !! ´´ ´ − + yx ´!!!!´−!! +−´−´!! ⋯⋯
Obtenga los primeros 5 términos de la solución particular de la ecuación diferencial
A. B. C. D.
!! !!
!!
!!
Solución:
Se plantea una solución de la forma:
0 … 00 0 0 0 … 0 23 45 ⋯ ′′0 ′′ , Se evalúa:
Por lo tanto:
Se obtiene la derivada de la función
Se evalúa:
203 0 4 050 ⋯ ′′0 ′′ 2 612 2030 …b 2 21 21 00 20 30 … 23 4 5 22 612 0 22 6 212 20 30 … 2 3 4 5 22 0 2 12 2 2 20 3 2 2 36 2 04 2 ⋯0 22 0 12 66 222 0 0 6 2222 6
Se deriva:
Se aplica la propiedad distributiva a la ecuación diferencial:
A continuación, continuación, se reemplaza reemplaza (a) y (b) en (c)
Se factoriza:
Se iguala a ambos lados de la ecuación:
Se repite el proceso:
63! 2 2 3!3! ; !! 1212 2 3 2 2 0 0 ′′ 12 3 (12) 2 0 2424 33 44 0 !! !! !! !! ⋯ !! !! !! !! ⋯ , por lo tanto:
, tenemos:
Se repite el proceso:
Con estos valores, se puede reemplazar en la solución planteada al inicio y se obtiene:
Puto 7
Determine la solución general usando series de potencias de la ecuación diferencial y’+y=0 e identifique la función elemental que representa esta serie: 1. 2. 3. 4. Solución.
yyxx cce−cx x x x ⋯ yyxx cce−cx x x x ⋯
Sabemos que hay una solución en series de potencia de la forma:
∞ yx = cx
Entonces para
y y0
tendremos que
∞ nc x− ∞ c x 0 = = ∞n1c x ∞ c x 0 + =∞ = =[n 1c++ c]x 0
Como la sumatoria es igual a cero, entonces los coeficientes deben ser cero
n 1c++ a+c 0 c++ nc 1
Despejando
obtenemos:
Ahora empezamos empezamos a darle valores valores a n, para tener tener una idea de los coeficientes coeficientes de la serie
n0→c cc1 cc → c cc n1→c 2 c 2 → c 2 c 2 n2→c 3 c3 → c c6 n3→c c4 64 → c 24c yx c cx c2 x c6 x 24c x ⋯ yx ce−
Reemplazando estos coeficientes tenemos que
La cual puede ser representada por
Luego la respuesta correcta es la opción B, dado que 1 y 3 son correctas. Puto 8
∑=∞= x R 2 R
De la serie
el radio de convergencia y el intervalo de convergencia son:
1. 2. El intervalo de convergencia es 3.
4. El intervalo de convergencia es Solución:
2
Para hallar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia optaremos por escoger el criterio de la razón
l→∞im ((aa+ ) n1 + x + a xn1 x n 1 x x + ) ( ) l→∞im (( a ) l→∞i m 2 2n x lim lim→∞ ((xn1 l i m ∗ 1 2n 2 →∞ n 2 2 2x < 1 2
Así
Como usamos el criterio de la razón, este dice que para que la serie converja el limite anterior debe ser menor que 1
Ahora esta esta desigualdad desigualdad tiene tiene sentido sentido por la definición definición de valor absoluto absoluto cuando: cuando:
De esta manera el intervalo de convergencia es
y si nos fijamos el radio de convergencia es R=2
Así la respuest respuesta a correcta es la opción opción A, pues pues 1 y 2 son correctas. correctas.
Primera actividad Grupal:
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
1 Ω 4 0.25 0 2 0 0
Problema: La carga en el condensador de un circuito sencillo RLC queda descrita mediante la
ecuación
, donde L es la inductancia, R la resistencia, C
la capacitancia del circuito y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se aumenta con la temperatura, supongamos que la resistencia se calienta cambiando su valor de modo que
. Si
,
y la fuente de
voltaje está apagada, además teniendo en cuenta las condiciones iniciales donde la carga
y la corriente
, obtenga los primeros 5 términos de
la solución en serie de potencias en torno a t=0 para la carga del condensador.
Datos rescatados del problema.
(1 8) Ω 0.425 0 0020 1 0.25 (1 8) 14 0 ∞ ∞ ∞ = = − = 1−−
Datos de las condiciones iniciales
Ecuación diferencial
Reemplazamos
Soluciones por series de potencias
Reemplazamos
∞ ∞ ∞ 1 = − 4 = 0 0.25 5 = 1− (1 8) ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 0.255 = 1−− = − 8 = 4 = 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 0.255 = 1−− = − 8 = 4 = 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 0.255 =2 1+ =1+ 8 = − 4 = 0
0.25 2 1+ 1+ 18 14 0 1 1 1 + 8 4 + 0.2521 0 2 12 1 136 23 2 76 125 3 5380 14 0 2 0020 0 0 ⋯ 0 0 20300 40 50 ⋯ 2 43 56 12 ….
Ecuación de recurrencia
Calculando los coeficientes
Por las condiciones iniciales tenemos
Solución para la ecuación diferencial
Segunda actividad Grupal:
Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Situación y solución planteada:
0 0 1 ′′0 ≠ 01 0 0 1 0 0 2 1 2 2 2 2
Una ecuación no lineal clásica que aparece en el estudio del comportamiento térmico de una nube esférica es la ecuación de Emden
, con condiciones
iniciales , . Aunque no es un punto ordinario para esta ecuación (que es no lineal para ), es posible mostrar que existe una solución analítica en . Si , determine los primeros términos de una solución en series de potencia:
Se define si el punto
es singular regular
Identificamos las funciones
Determinamos si las funciones analíticas en ese punto
y y
y
son
1 l→im 2 l→im 0 0 1
Por tanto la ecuación indicial y sus raíces son: ,
,
son las raíces indiciales.
Se aplica el método de Frobenius, solución a buscar
∑=∞=
Sus derivadas:
∞ ′′ =+− ∞ ′′ =1+−
0 ∑=∞=1 1 +− 2 ∑=∞= +− ∑=∞= ++ 0 + [1 1 1 1 + 21 + − 0 ] 1 2 1 1 ++ − [ 1 1 21 1]++ − Sustituimos en la ecuación sin normalizar
+
Del coeficiente de
se obtiene:
+ ++ ≥1 +++ + − + ++ ≥1 ++++ ++ − 0 + ++++ −− 1 !! 2 ∑∞=∞= = 3!3!1 314 5!5!1 ⋯ 0 1 00 00 1 3!3!1 5!5!1 ⋯ 1 3!3!1 5!5!1 ⋯ Para
Para
Para
la relación de recurrencia queda
Se obtiene los distintos coeficientes:
Para
La solución
Y la solución particular con
queda para los primeros términos:
,
:
CONCLUSIONES
A través del del curso dentro de todas todas las unidades unidades se vieron vieron temas temas fundamentales fundamentales para para el desarrollo y solución de cualquier problema planteado, que se presente en nuestro entorno cotidiano en el ámbito académico. (Yohana Alba) Se logra comprender la diferencia entre la aplicación de las series de potencias para ecuaciones diferenciales de primer orden y Orden superior, reconociendo funciones y series especiales lo que permitió relacionar las funciones y series especiales con las ecuaciones diferenciales. (Cesar Cortes)
REFERENCIAS
López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.58-135). Recuperado Julio 29, de 2017 de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343 CK-12, (2015). Convergence and Divergence of Sequences. [OVA]. Recuperado Julio 29, de 2017 de: http://www.ck12.org/calculus/Convergence-and-Divergence-ofSequences/ CK-12, (2015). Absolute Absolute and Conditional Convergence. [OVA]. Recuperado Recuperado Julio Julio 29, de 2017 de: http://www.ck12.org/calculus/Absolute-and-Conditional-Convergence/ CK-12, (2015). Power Series and Convergence. [OVA]. Recuperado Julio 29, de 2017 de: http://www.ck12.org/calculus/Power-Series-and-Convergence/ García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 113154). Recuperado Julio 29, de 2017 de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 193-217). Recuperado Julio 29, de 2017 de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Alvarado, Alvarado, E. (2014). (2014). Solución Solución de ecuaciones ecuaciones diferencial diferenciales es por el el método de Series de potencia. Unad. [Videos]. Recuperado Julio 29, de 2017 de: http://hdl.handle.net/10596/7213