FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO ÁLGEBRA LINEAL
UNA INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE REDES SOCIALES El análisis de redes sociales actualmente es un área de interés de estudio, en particular las conexiones y relaciones que se establecen o definen una red social. La actividad propuesta tiene como propósito hacer un acercamiento a la aplicación del álgebra de matrices en el análisis de redes. Objetivos de aprendizaje: 1. Caracterizar las matrices asociadas a una representación gráfica de una red. 2. Interpretar relaciones o conexiones entre los actores de una red a partir de propiedades y operaciones entre matrices. 3. Formular relaciones entre los actores de una red a partir de las características y los resultados de operaciones entre matrices. Indicaciones generales: Antes de iniciar el desarrollo del trabajo, es importante leer y tener en cuenta las siguientes indicaciones: Lea atentamente cada enunciado e identifiqué cuál es la instrucción y su propósito. En primer lugar, escriba todo lo que se viene a su mente para dar respuesta a cada uno de los puntos y luego organice sus ideas antes de registrarlas en el “foro de desarrollo”. Al registrar sus aportes no olvide escribir detalladamente todas las explicaciones y procesos realizados para dar respuesta a cada uno de los puntos; recuerde que sus aportes serán leídos por sus compañeros de trabajo y será un insumo para el desarrollo del trabajo grupal. Tenga en cuenta las pautas generales de participación en el foro. ACTIVIDAD 1. Representación matricial de una red social. 1. En la siguiente tabla se presenta una representación gráfica de una red social y su respectiva representación matricial, a partir de ella: a. Observe cada representación gráfica con su respectiva representación matricial y enumere por lo menos tres características de cada una. Representación gráfica de la red social
Características de la representación gráfica
Representación matricial
C L M P R
A C P S
A 0 0 0 1
C 1 o 1 0
P 0 o 0 0
S 0 1 0 0
D F L P
D 0 1 1 1
F 1 0 0 0
L 0 1 0 1
P 1 1 0 0
C 0 0 1 0 0
L 0 0 1 1 1
M 1 1 0 0 0
P 0 1 0 0 0
Características de la representación matricial
R 0 1 0 1 0
b. De las características dadas a cada una de las representaciones anteriores, escriba aquellas que son comunes. c. Teniendo en cuenta las características comunes de las representaciones matriciales, escriba el proceso que se debe seguir para elaborar la representación matricial de una red social. 2. Ejecute el proceso descrito en el literal © del punto anterior, para hallar la representación matricial de la siguiente red:
ACTIVIDAD 2. Aplicaciones del álgebra de matrices en el análisis de redes sociales. Los analistas de redes sociales utilizan operaciones matemáticas entre matrices para observar estructuras de relaciones entre los actores que conforman una red. Cada una de las operaciones (suma, resta y multiplicación de matrices, trasposición, inversa, determinante, autovalores y autovectores) se usa para un propósito específico; en este caso sólo se abordarán algunas de ellas. Un módulo virtual lo cursan estudiantes de carreras de ingeniería y administración. Al conformar los grupos de trabajo se identificaron las siguientes relaciones en un grupo: La relación de elección entre los La relación de son amigos entre los La relación estudiar la misma integrantes del grupo; por ejemplo, Pablo integrantes del grupo. carrera entre los integrantes del eligió a Sara, pero Sara no eligió a Pablo. grupo.
José Luz Pablo Sara
José 0 0 1 0
Luz 1 0 0 0
Pablo 0 1 0 0
Sara 1 1 1 0
J L P S
J 0 1 0 1
L 1 0 0 1
P 0 0 0 1
S 1 1 1 0
J L P S
J 0 1 1 1
L 1 0 0 1
P 1 0 0 0
S 1 1 0 0
Al sumar las matrices se obtiene información sobre la intensidad de las relaciones entre dos actores; por ejemplo, si en la posición 𝑎14 de la matriz resultante de la suma aparece un 3, esto indica con certeza que entre José y Sara: alguno eligió al otro, son amigos y estudian la misma carrera. Teniendo en cuenta esta información: 1. Calcule la suma de las matrices de las relaciones elección, son amigos y estudiar la misma carrera. Nombre a la matriz resultante como S. 2. A partir de los resultados obtenidos en la matriz suma S responda: a. ¿Qué significado tiene los elementos 0, 1 y 2 de la matriz S en el contexto de las relaciones? b. Enumere tres conclusiones que pueda deducir a partir de los resultados obtenidos en la matriz suma en el contexto de las relaciones; por ejemplo: El elemento 𝑎43 es 1. Esto indica que entre Sara y Pablo sólo se presenta una relación, en este caso “Sara es amiga de Pablo”.
En ocasiones es de interés determinar de cuántas maneras se pueden conectar dos actores a una distancia dada; es decir, cuántos caminos diferentes hay para llegar de un punto A un punto B, definiendo una distancia. La potencia de una matriz 𝐴𝑛 brinda información sobre la cantidad de caminos de distancia n entre dos puntos; por ejemplo, sea 𝑹 la matriz asociada a una red social, la matriz 𝑹𝟐 indica la cantidad de caminos de distancia dos que existen entre dos actores. Para ello, es necesario tener en cuenta lo siguiente: La distancia se refiere a la cantidad de aristas que se debe recorrer para llegar de un punto a otro: por ejemplo: Andrés y Camilo están a una distancia de uno. Andrés y Pedro están a una distancia de dos.
El número de caminos son los recorridos diferentes que se pueden realizar para llegar de un punto a otro. Por ejemplo, en el caso anterior entre Andrés y Camilo hay dos caminos diferentes de distancia uno: Andrés→Camilo y otro Camilo→Andrés.
Teniendo en cuenta la representación matricial de la relación “son amigos” del punto 1, realice lo siguiente: a. La representación gráfica de la matriz. b. Calcule la matriz potencia 𝐴3 . c. Interprete los resultados obtenidos en las matrices de las potencias, por ejemplo, piense en: ¿Qué significado tiene los elementos de la matriz 𝐴3 ?, ¿Cómo se relacionan los elementos de esta matriz con la representación gráfica de la relación “son amigos”. d. En el análisis de redes sociales se afirma que los actores que están próximos a muchos otros pueden ser capaces de ejercer más poder que aquellos que están más distantes y el tener múltiples conexiones puede indicar una conexión más fuerte entre actores. De acuerdo a lo anterior y a partir de los resultados obtenidos en los ítems anteriores, ¿quién de los actores (José, Luz, Pablo, Sara) tiene más poder sobre la red social?