FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TRABAJO COLABORATIVO ÁLGEBRA LINEAL UNA INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE REDES SOCIALES El análisis de redes sociales actualmente es un área de interés de estudio, en particular las conexiones y relaciones que se establecen o definen una red social. La actividad propuesta tiene como propósito hacer un acercamiento a la aplicación del álgebra de matrices en el análisis de redes. Objetivos de aprendizaje: 1. Caracterizar las matrices asociadas a una representación gráfica de una red. 2. Interpretar relaciones o conexiones entre los actores de una red a partir de propiedades y operaciones entre matrices. 3. Formular relaciones entre los actores de una red a partir de las características y los resultados de operaciones entre matrices. Indicaciones generales: Antes de iniciar el desarrollo del trabajo, es importante leer y tener en cuenta las siguientes indicaciones: Lea atentamente cada enunciado e identifiqué cuál es la instrucción y su propósito. En primer lugar, escriba todo lo que se viene a su mente para dar respuesta a cada uno de los puntos y luego organice sus ideas antes de registrarlas en el “foro de desarrollo”. Al registrar sus aportes no olvide escribir detalladamente todas las explicaciones y procesos realizados para dar respuesta a cada uno de los puntos; recuerde que sus aportes serán leídos por sus compañeros de trabajo y será un insumo para el desarrollo del trabajo grupal. Tenga en cuenta las pautas generales de participación en el foro. ACTIVIDAD 1. Representación matricial de una red social. 1. En la siguiente tabla se presenta una representación gráfica de una red social y su respectiva representación matricial, a partir de ella: a. Observe cada representación gráfica con su respectiva representación matricial y enumere dos características de cada una. Representación gráfica de la red social
Características de la representación gráfica(por ejemplo, elementos del gráfico, cómo se establece la conexión)
Representación matricial
𝑨 𝑨 0 𝑪 0 ( 𝑷 0 𝑺 1
𝑪 1 0 1 0
𝑷 0 0 0 0
𝑺 0 1 ) 0 0
𝑫 𝑫 0 𝑭 1 ( 𝑳 1 𝑷 1
𝑭 1 0 0 0
𝑳 𝑷 0 1 1 1 ) 0 0 1 0
𝑪 𝑳 𝑴 𝑷 𝑪 0 0 1 0 𝑳 0 0 1 1 𝑴 1 1 0 0 𝑷 0 1 0 0 𝑹 (0 1 0 0
𝑹 0 1 0 0 0)
Características de la representación matricial (por ejemplo, tamaño y tipo de matriz, elementos de la matriz)
b. De las características dadas a cada una de las representaciones matriciales, escriba máximo tres que sean comunes. c. Teniendo en cuenta las características comunes de las representaciones matriciales dadas en el ítem anterior, escriba el proceso (máximo cuatro pasos) que se debe seguir para elaborar la representación matricial de una red social. 2. Ejecute el proceso descrito en el literal ©, para hallar la representación matricial de la siguiente red:
ACTIVIDAD 2. Aplicaciones del álgebra de matrices en el análisis de redes sociales. Los analistas de redes sociales utilizan operaciones matemáticas entre matrices para observar estructuras de relaciones entre los actores que conforman una red. Cada una de las operaciones (suma, resta y multiplicación de matrices, transposición, inversa, determinante, autovalores y autovectores) se usa para un propósito específico; en este caso sólo se abordarán algunas de ellas. 1. Un módulo virtual lo cursan estudiantes de carreras de ingeniería y administración. Al conformar los grupos de trabajo se identificaron las siguientes relaciones en un grupo: La relación de “elección” entre los La relación de “son amigos” entre los La relación “estudian la misma integrantes del grupo. Por ejemplo, integrantes del grupo. carrera” entre los integrantes del Pablo eligió a Sara, pero Sara no eligió grupo. a Pablo. 𝑱 𝑱𝒐𝒔é 0 𝑳𝒖𝒛 0 𝑷𝒂𝒃𝒍𝒐( 1 𝑺𝒂𝒓𝒂 0
𝑳 1 0 0 0
𝑷 0 1 0 0
𝑺 1 1 ) 1 0
𝑱 𝑱 0 𝑳 1 ( 𝑷 0 𝑺 1
𝑳 𝑷 𝑺 1 0 1 0 0 1 ) 0 0 1 1 1 0
𝑱 𝑱 0 𝑳 1 ( 𝑷 1 𝑺 1
𝑳 𝑷 𝑺 1 1 1 0 0 1 ) 0 0 0 1 0 0
Al sumar las matrices se obtiene información sobre la intensidad de las relaciones entre dos actores; por ejemplo, si en la posición 𝑎14 de la matriz resultante de la suma aparece un 3, esto indica con certeza que entre José y Sara: alguno eligió al otro, son amigos y estudian la misma carrera. a. Escriba la matriz suma de las tres relaciones. b. ¿Qué significado tiene los valores 1 y 2 en la matriz suma? c. Escriba la matriz suma y enumere dos conclusiones que pueda deducir a partir de los resultados obtenidos.
2. En ocasiones es de interés determinar de cuántas maneras se pueden conectar dos actores a una distancia dada. La potencia de la matriz 𝑴, que representa una red social, da esta información; los elementos de 𝑴𝒏 indica la cantidad de caminos de distancia 𝑛 que hay entre dos actores. Observe el siguiente ejemplo, teniendo en cuenta que la distancia se refiere a la cantidad de aristas que se debe recorrer para llegar de un punto a otro. Representación gráfica Sea 𝑀 la representación matricial de la red. La matriz 𝑀2 indica el de una red. número de caminos de distancia 2 que hay entre dos actores. 2
𝑨 0 0 0 1 0 1 𝟎 0 𝑩 1 0 1 1 1 2 1 1 2 𝑀 = ( ) ) =( 𝑪 1 1 0 0 1 0 1 𝟐 𝑫 0 1 1 0 2 1 1 1 El elemento 𝑎34 = 𝟐 de 𝑀2 indica que hay dos caminos de distancia 2 de C a D. Gráficamente sería:
Por otra parte, el elemento 𝑎13 = 𝟎 de 𝑀2 indica que no hay caminos de distancia 2 de A a C.
Teniendo en cuenta la representación matricial de la relación “son amigos” del punto 1, realice lo siguiente: a. La representación gráfica de la matriz. b. Calcule la matriz potencia 𝑀3 de la relación “son amigos”. c. Seleccione tres elementos de la matriz 𝑀3 y escriba el significado de cada uno. Represente gráficamente el significado de los valores seleccionados. d. En el análisis de redes sociales se afirma que los actores que están próximos a muchos otros pueden ser capaces de ejercer más poder que aquellos que están más distantes y el tener múltiples conexiones puede indicar una conexión más fuerte entre actores. De acuerdo a lo anterior y a partir de los resultados obtenidos en los ítems anteriores, ¿quién de los actores (José, Luz, Pablo, Sara) tiene más poder sobre la red social? Justifique su respuesta.
