Comportamiento de los elementos circuitales en régimen transitorio
Cuando se hace pasar un circuito de una condición a otra, sea tanto por un cambio en la tensión aplicada o por una modificación de unos de sus elementos, se produce un periodo de transición, durante el cual, las corrientes en las ramas y las caídas de tensión en los elementos varían desde sus valores iniciales hasta otros nuevos. Transcurrido este periodo se transición llamado régimen transitorios, el circuito pasa al estado o régimen permanente. El motivo del régimen transitorio está en la " inercia eléctrica " que poseen las bobinas y los condensadores, que impiden las variaciones instantáneas de tensión y de corriente.
Aplicando Aplicando la segunda la ley de kirchhoff a un circuito que contenga contenga elementos que almacenen energía resulta una ecuación diferencial que se resuelve por los métodos conocidos. La solución está formada por dos partes: la solución de la ecuación homogénea o función complementaria y una solución particular de la ecuación completa. En el sistema de ecuaciones de análisis de circuitos la función complementaria tiende a cero en un tiempo relativamente corto y es la parte transitoria de la solución. La solución particular es la respuesta en el régimen permanente.
Carga del capacitador: Para poder explicar la carga de un condensador se tienen 2 placas de un material conductor conectadas paralelamente y separadas por un espacio de aire mediante un interruptor y un resistor a una batería. Si inicialmente las placas paralelas no están cargadas y el interruptor se encuentra abierto no abra carga neta positiva o negativa en ninguna de las placas. Sin embargo en el momento en que se cierra se atraen los electrones de la placa superior a través de la resistencia a la terminal positiva de la batería. Al principio se presentara un piko de corriente limitado en magnitud por la resistencia presente. Esta acción creara una carga positiva sobre la placa superior. Los electrones serán repelidos por la terminal negativa de la batería hacia la placa inferior con el mismo ritmo con que son atraídos a la terminal positiva. Esta transferencia de electrones continuara hasta q el v en las placas sea exactamente igual al de la batería. Y el resultado será una carga neta positiva sobre la placa superior y una carga neta negativa sobre la placa inferior. El modelo del capacitador es básicamente este, dos
placas paralelas separadas por un material aislante y la fórmula para determinar la capacitancia del condensador:
Transitorios en redes capacitivas. Ahora sustituyendo sustituyendo las placas paralelas de la red anterior por un condensador para estudiar más a fondo la manera en que se carga el mismo hay q recordar q al momento de cerrar el interruptor y comience a fluir la corriente el resultado será una carga positiva en la placa superior y negativa en la inferior.
La
transferencia
tiene
su
máximo
de
velocidad al principio disminuyendo esta a media que el voltaje de las placas va llegando a ser igual al de la batería, y transferencia cesara cuando el voltaje en el capacitor sea igual al de la batería. Teniendo las placas una carga neta determinadas por:
En las siguientes graficas se presenta el cambio de la corriente y el voltaje en función del tiempo. Cuando el interruptor se cierra en t=0 s, la corriente salta a un valor limitado únicamente por la resistencia y va disminuyendo a medida que las placas se cargan. La velocidad con que se carga v en las placas tiene su máximo al principio y va disminuyendo. Dado q el voltaje en las placas está directamente relacionado con la carga existente en estas mediante
⁄
, la rápida velocidad con que la carga inicialmente
se deposita en las placas ocasionara un rápido incremento en el V c y obviamente q a medida q el flujo de carga ( I ) disminuye, la velocidad de carga en el voltaje actuara de la misma forma. Eventualmente el flujo de carga se detendrá, y la corriente I =0, =0, el v cesara de cambiar en magnitud en este punto la fase de carga abra terminado y el capacitador tendrá una carga idéntica al de la fuente, y permanecerá asi si no se realiza ningún cambio posterior en el circuito.
El capacitador asumirá las características de un circuito abierto (unas caída de voltaje entre las placas sin un flujo de carga entre las placas como se muestra a continuación. El voltaje de la batería será el del capacitador debido a que
. Por lo tanto:
y en el instante en que el interruptor se cierra
es
posible
suponer
que
el
capacitador se comporta como un corto circuito en el momento en que el interruptor se cierra dentro de una red de carga CD. Como se muestra a continuación.
La corriente
y el voltaje
(⁄) En t=0 s.
Para obtener la corriente de carga i c se tiene que:
Para obtener V c :
y para obtener V R se tiene que:
Constante de tiempo de redes capacitivas. El factor RC de las ecuaciones anteriores se denomina constante de tiempo. Su símbolo es la letra griega τ (tau) y su unidad de medida es el segundo por lo que: τ = RC (segundos, s). El voltaje del capacitador después de 5 constantes de tiempo de la fase de carga será igual al de la batería. El resultado de la constante de tiempo cuando se mantiene R constate va a depender de q tan grande o pequeña sea C (capacitancia del condensador). La capacitancia de una red también es una medida de cuanto se opondrá esta a un cambio en el voltaje en la red. Mientras mayor sea C mayor será la constante de tiempo y mayor el tiempo que tarda en cargarse el condensador (curva c3 de la figura). Una C menor permitirá que el valor se acumule de forma más rápida debido a que la constante de tiempo es menor. (curva c1 de la figura).
Fase de descarga. En cualquier punto de la fase de carga si el interruptor de abre, el capacitador comenzara a descargarse con una velocidad dependiente de la misma constante de tiempo τ = RC. El voltaje establecido en el capacitador creara un flujo de carga dentro de la trayectoria cerrada que eventualmente descargara el capacitador por completo. En esencia, el capacitador funcionara como una batería con un voltaje en sus terminales decreciente.
Si el capacitador se cargo al voltaje completo de la batería, la descarga ocurrirá para todo propósito práctico en 5 constantes de tiempo, y la ecuación para el voltaje decreciente del C será la siguiente:
VR=VC
Valores iniciales. Hasta ahora se han analizado el comportamiento de los capacitores estando descargados totalmente antes de activar el interruptor. En el momento en que la fuente comience a circular corriente en el circuito y por tanto en el capacitor este puede tener un una carga y por lo tanto un voltaje a este en el momento en que se cierra el interruptor a ese voltaje se le llama valor inicial Como se muestra en la figura de la onda, cuando se cierra en interruptor la fase transitoria comenzara hasta que se estabilice en 5 constantes de tiempo. Una vez pasadas estas 5 constantes la región donde el voltaje permanece constante se le llama región de estado estable y al valor de v resultante correspondiente a esta zona se le llama valor de estado estable o valor final. La fórmula para calcular el valor del voltaje en un condensador con valor inicial en cualquier instante de tiempo es decir en todo el intervalo t de la figura es
Ejemplo 1. Como ejemplo para la utilización de las ecuaciones antes vistas se quiere encontrar las expresiones matemáticas del comportamiento transitorio V c, Ic, Vr de la figura cuando el interruptor se mueve a la posición 1.
Solución:
Nota: La ecuación 10.15 a la que se refieren en la figura es la misma de v c, la 10.13 la de ic y la 10.17 la misma de v r .
Y si se quiere calcular cual es el tiempo necesario para asumir que I c es 0A y que V c= E voltios. Se tiene que:
Ejemplo 2. Para la siguiente figura:
Encuentre: a) La expresión matemática para el comportamiento transitorio del voltaje en el capacitador si el interruptor se mueve a la posición 1 en t=0s b) Repita inciso (a) para i c. c) Encuentre las expresiones matemáticas para V c y Ic. Si el interruptor se mueve a la posición 2 en 30 ms (asumiendo que la resistencia de fuga del capacitor es infinita). d) Encuentre las expresiones matemáticas para el voltaje V c y la corriente I c. Si el interruptor se mueve a la posición 3 en t= 48ms
Solución:
Etapa transitoria en redes inductivas.
Ahora se analizara la forma en que se carga y descarga una bobina mediante una resistencia, debido a que su comportamiento en su tiempo transitorio es también en forma exponencial similar al del condensador se limitara a dar una breve explicación de su fase de carga y de la de descarga y definir las ecuaciones que describen estos fenómenos.
Teniendo el siguiente
circuito:
Cuando se cierra el interruptor S, los elementos R y L son recorridos por la misma corriente. Esta corriente, que es variable y crea un campo magnético. Este campo magnético genera una corriente cuyo sentido está definido por la Ley de Lenz. La ley de Lenz establece que: "La corriente inducida por un campo magnético en un conductor tendrá un sentido que se opone a la corriente que originó el campo magnético" Es debido a esta oposición, que la corriente no sigue inmediatamente a su valor máximo, sino que sigue la siguiente forma exponencial, y desde que el interruptor se cierra y su fase de carga el inductor se comporta como un circuito abierto:
La duración de la carga está definida por la constante de tiempo T (que es una representación igual al τ del condensador) . La bobina alcanza su máxima corriente
cuando t (tiempo) = 5 x T . En otras palabras, cuando han pasado el equivalente a 5 constantes de tiempo, al igual q en el condensador solo que en el momento se carga la bobina se comporta como un corto circuito T=L/R La ecuación de la línea de carga anterior tiene la siguiente fórmula: IL(t) = IF x ( 1 - e -t / T) Donde: - IL(t) = corriente instantánea en la bobina o inductor - IF = corriente máxima - e = base de logaritmos naturales (aproximadamente = 2.73) - t = tiempo - T = constante de tiempo (L / R) Las formas de onda de la tensión y la corriente en el proceso de carga y descarga en un inductor se muestran en las siguientes figuras:
-IL(t) (descarga) = Io x e -t / T - VL(t) (carga) = Vo x e -t / T - VL(t) (descarga) = Vo x e -t / T Donde: - Io = corriente inicial de descarga - Vo = Tensión inicial de carga o descarga - IL(t) = corriente instantánea en la bobina - VL(t) = Tensión instantánea en la bobina - e = base de logaritmos naturales (aproximadamente = 2.73) - t = tiempo - T = constante de tiempo (L / R)
Circuitos de primer orden Los circuitos de primer orden son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energía (puede ser un condensador o inductor), y que además pueden
describirse usando solamente una ecuación diferencial de primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden: 1. Circuito RC (Resistor y Condensador) 2. Circuito RL (Resistor e Inductor)
Circuito RC Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una resistencia.
Circuitos RL Los circuitos RL son aquellos que contienen una bobina (inductor) que tiene autoinductancia, esto quiere decir que evita cambios instantáneos en la corriente. Siempre se desprecia la autoinductancia en el resto del circuito puesto que se considera mucho menor a la del inductor.
Circuitos de segundo orden Un circuito RLC es un circuito de segundo orden que contiene una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y un condensador (capacidad) pudiendo estar en serie o en paralelo, según la interconexión de los tres tipos de componentes. Como se puede apreciar un circuito de segundo orden es aquel que contiene dos elementos almacenadores de energía, este tipo de circuitos se describen por medio de una ecuación diferencial de segundo orden. La respuesta del circuito toma diferentes formas funcionales dependiendo de los valores de los elementos del circuito como lo veremos más adelante. Definiremos respuesta natural y respuesta forzada de circuitos debido a que son términos que trataremos más adelante
Respuesta Natural de un circuito: Es aquella que depende de la “naturaleza” del circuito, es decir, de las interconexiones, de los elementos que conforman al circuito, de los valores de los elementos pasivos.
Respuesta Forzada de un circuito: Se refiere al efecto que tienen una o más fuentes independientes sobre los inductores y capacitores de un circuito .
Respuesta natural de un circuito RLC en paralelo sin fuentes.
Para el análisis se supondrá que la energía puede almacenarse inicialmente, tanto en el inductor como en el capacitor, por lo que la corriente del inductor y el voltaje del capacitor podrán tener valores iniciales distintos de cero. Aplicando LCK en el nodo superior del circuito de la figura se obtiene la siguiente ecuación.
Las condiciones iniciales de la bobina y el condensador son las siguientes:
Derivando a ambos lados la primera ecuación con respecto al tiempo se obtiene:
Que es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden cuya solución v (t ) es la respuesta natural. La solución se encuentra aplicando métodos matemáticos y al final nos queda que la respuesta natural está definida por:
Donde s 1 y s 2 están dadas por las ecuaciones
A1 y A2 son dos constantes arbitrarias que deben elegirse tales que satisfagan las dos condiciones iniciales especificas, dependiendo de las amplitudes de A1 y A2, la curva de respuesta será diferente. De igual forma las constantes s 1 y s 2 pueden ser números reales o complejos conjugados, para cada caso las respuestas producidas serán diferentes, por lo tanto para tener mayor claridad se harán dos definiciones.
Reemplazando por el siguiente termino:
La función e st es adimensional, entonces el exponente st es adimensional, por lo tanto como las unidades de t son segundos entonces las unidades de s son [s¡1], que corresponde a unidades de frecuencia. Esta cantidad es llamada frecuencia de resonancia y es función de L y C, y se representa por la letra griega omega.
De igual forma la expresión:
Es llamada frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial y se representa por el símbolo alfa, esta expresión es una medida de la rapidez con la que decae o se amortigua la respuesta natural hacia su estado final permanente. Por último, s ,
s 1 y s 2 se llamaran frecuencias complejas. Debe tenerse en cuenta que s 1; s 2; alfa y omega son solamente símbolos para simplificar el estudio de los circuitos RLC.
Como resumen general se presenta el siguiente conjunto de relaciones:
Las magnitudes de A1 y A2 deben encontrarse aplicando las condiciones iniciales dadas. Las raíces de la ecuación característica contienen tres posibles condiciones:
1. Dos raíces reales y diferentes cuando:
2. Dos raíces reales iguales cuando:
3. Dos raíces complejas conjugadas cuando:
Cuando las dos raíces son reales y distintas se dice que el circuito es sobreamortiguado. Cuando son reales e iguales, se dice que el circuito es críticamente amortiguado Cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el circuito es subamortiguado.
Circuito rlc en paralelo sobre amortiguado. El primer tipo de respuesta natural se obtiene cuando:
En este caso, el radical sería positivo y las raíces serán s 1 y s 2, ambas reales negativas. Aplicando desigualdades Se puede demostrar que s 1 y s 2 son números reales negativos. Así la respuesta encontrada será la suma (algebraica) de dos términos exponenciales decrecientes los cuales tienden a cero conforme el tiempo aumenta.
Amortiguamiento critico El caso en donde los valores de los elementos del circuito están ajustados tal que alfa y
omega son iguales recibe el nombre de amortiguamiento crítico, esto en la práctica es imposible; no se puede hacer que alfa y omega sean exactamente iguales, el resultado real siempre será un circuito sobre o subamortiguado. El amortiguamiento crítico se da cuando:
En este caso la respuesta natural toma la siguiente forma.
Circuito rlc en paralelo sub-amortiguado.
En esta sección, si se aumenta el valor de R, se logra que el coeficiente de amortiguamiento alfa disminuya mientras que omega permanece constante, la Ecuación característica del circuito RLC en paralelo tendrá dos raíces complejas Cuando
esto se cumple cuando:
Circuito rlc en serie sin fuentes.
El modelo del circuito en serie presenta la misma manera de calcular las respuestas que la del modelo de circuito en paralelo por lo que solo se dará el resumen de las respuestas del circuito en serie, y estas son:
La respuesta sobre amortiguada es:
Donde:
Y:
La respuesta críticamente amortiguada:
Y la subamortiguada:
Donde:
Respuesta completa del circuito rlc.
Se consideran ahora los circuitos RLC en donde las fuentes de CD se conmutan dentro de la red produciendo respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo tiende a infinito. La respuesta completa se expresa como la suma de la respuesta forzada y natural, de igual forma se calcula las condiciones iniciales y se aplican a la respuesta completa para encontrar los valores de las constantes. La respuesta completa (que arbitrariamente se supone que es un voltaje) de un sistema de segundo orden, consiste en una respuesta forzada.
Que es una constante de excitación de CD, y una respuesta natural,
asi:
Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental de la Fuera Armada San Tome – Estado Anzoátegui
Profesora:
Bachilleres:
Jessica villaquiran
Ana Romero 19.785.604
Sección: C01
Saúl Hernández 21.177.980
4to semestre de Telecomunicaciones
Joaluismer De Abreu 19.143.888 Yonathan Camacho 19.785.143
San Tome, Febrero de 2012
Bibliografía.
Introducción al análisis de los circuitos eléctricos, autor: Robert L. Boylestad, decima edición.
http://ocw.ehu.es/ensenanzas-tecnicas/teoria-decircuitos/MATERIAL%20DE%20ESTUDIO/tema-10-regimen-transitorio.pdf/
http://www.netcom.es/pepepro/anexos/transitoriosrl.htm
http://www.buenastareas.com/materias/regimen-transitorio-del-circuito-rl/0
http://es.wikipedia.org/wiki/Inductor
Introducción Los circuitos eléctricos en su composición poseen varios factores que intervienen en su funcionamiento y no se observan a simple vista, es decir no son visibles por las personas como el paso de la intensidad o corriente y el voltaje o tensión. Cuando estos sometidos a una fuerza externa que coloque en funcionamiento sus elementos el mismo se ve influenciado por el régimen transitorio que no es más que el tiempo que
transcurre
mientras sus elementos cambian de una condición a otra y el régimen que toman estos después de pasar por este cambio se llama régimen permanente que es el que ya tomaron los elementos una vez aplicada la fuerza exterior.
Existen varios circuitos eléctricos ya sean RL, RC o RLC su nombre se deriva de su formación como tal, en otras palabras con que elementos están conformados, pueden ser bobinas, resistencias o condensadores. El estudio del régimen transitorio abarca un contexto bastante amplio ya que enfoca muchos puntos de relevancia en el estudio de circuitos dependiendo de que se quiera con estos, la carga y descarga de un condensador se ve ligado a este régimen ya que este en su funcionamiento se ve influenciado por el mismo al momento de su fase de carga y su fase de descarga teniendo valores iniciales o no, este último se verá definido como los valores que ya se poseían antes de comenzar su fase de carga.
En el tema se ven reflejadas las ecuaciones diferenciales que son ecuaciones que se van derivando de las respuesta del circuito que se resuelven por métodos que se conocen y se tiene el conocimiento de enseñanzas anteriores, ya teniendo el conocimiento de las ecuaciones diferenciales se puede mencionar que existe ecuaciones de estas, tipo de primer orden y segundo orden que en relación a los circuitos va encajar en lo que respecta a circuitos de primer orden y segundo orden que se ven caracterizados por ser los de primer orden son del tipo de circuitos RL Y RC es decir compuestos por un resistencias bobinas y resistencia y capacitadores y los de segundo orden que serán del tipo RLC que sería una mezcla de los elementos ya mencionados anteriormente.
Los circuitos cuando estudiados con un fin determinado ellos arrojan respuesta son muchas las respuestas que estos pueden arrojar todo va a depender de que se quiera con ellos, existen términos como la respuesta natural y la respuesta forzada que entran en lo que es el contexto de el régimen transitorio, la respuesta natural va depender de las
interconexiones que tengan los elementos del circuito y la forzada será la que generen las fuentes sobre el mismo. Esta respuesta poseen formulas matemáticas para ser calculadas y en ellas afectara el tipo de circuito que sea y dependerá de cómo se encuentre conectados con las fuentes si en paralelo o en series para esto se tiene que tener un conocimiento básico de lo que es serie y paralelo que es material de objetivos anteriores. Las respuestas generadas por los circuitos tienen términos que las diferencias una de las otras como amortiguamiento puede ser crítico, sub – amortiguado entre otras.
Conclusiones
En los circuitos eléctricos es de suma importancia conocer su comportamiento y tener bien claro todos los factores que afectan en el funcionamiento del mismo a la hora de estudiar en específico un determinado factor que se quiera saber o conocer. El motivo del régimen transitorio está en la " inercia eléctrica " que poseen las bobinas y los condensadores, que impiden las variaciones instantáneas de tensión y de corriente. Los tiempos de carga y descarga dependen sólo de los valores de resistencia y capacidad y no de las tensiones o corrientes establecidas.
El condensador no se puede descargar instantáneamente, su "inercia eléctrica" se opone a los cambios bruscos de tensión, variando exponencialmente. En régimen permanente, transcurrido tiempo suficiente, los condensadores se comportan como circuitos abiertos en corriente continua, no dejando circular intensidad más que en el periodo transitorio de carga.
Es importante tener conocimientos básicos de ecuaciones diferenciales y de circuitos en serie y en paralelo Las ecuaciones diferenciales se ve relacionadas con los circuitos rc, rl y rlc de acuerdo a su orden ya sean de primer orden o de segundo orden El resultado de la constante de tiempo cuando se mantiene R constate va a depender de q tan grande o pequeña sea C (capacitancia del condensador) Los valores iniciales interfieren en la carga del condensador cuando este comienza su fase de carga y posee ya carga en su interior.
Tabla de contenido
Introducción……………………………………………………………………..…. Pag.1
Comportamiento de los elementos circuitales en régimen transitorio……… .. Pag.2
Carga del capacitador…………………………………………………………….. Pag.2
Transitorios en redes capacitivas………………………………………………... Pag.3
Constante de tiempo de redes capacitivas……………………………………... Pag.5
Fase de descarga………………………………………………………………….. Pag.5
Valores iniciales……………………………………………………………………. Pag.6
Etapa transitoria en redes inductivas ……………………………………………. Pag.9
Circuitos de primer orden……………………………………………………...… Pag.10
Circuitos RC y RL………………………………………………………………… Pag.11
Circuito de segundo orden, respuesta natural………………………………… Pag.11
Respuesta forzada……………………………………………………………….. Pag.12
Respuesta natural de un circuito RLC en paralelo sin fuentes……………… Pag. 12
Circuito rlc en paralelo sobre amortiguado ………………………………….... Pag.15 Amortiguamiento critico…………………………………………………………. Pag.15
Circuito rlc en paralelo sub-amortiguado ……………………………………… Pag.16
Circuito rcl en serie sin fuente………………………………………………….. Pag.16
Respuesta completa del circuito rlc …………………………………..… Pag.18
Conclusiones……………………………………………………………………. .. Pag.19
Bibliografía……………………………………………………………………...… Pag.20
