Taller de probabilidad: Ejercicios Capitulo 4, Walpole.
Probabilidad y estadística
HERNANDO OCHOA Docente.
Integrantes: GABRIEL ESCORCIA YULISA MENDOZA LAURA RIVERA ANDREA VIERA
Facultad de Ingeniería
Universidad de Cartagena
Cartagena, Colombia 16 de junio de 2016
pág. 122 1. Se selecciona a un empleado de un grupo de para supervisar un cierto proyecto, escogiendo aleatoriamente una placa de una caja que contiene numeradas del al . Encuentre la fórmula para la distribución de probabilidad de X que representa el número de la placa que se saca. ¿Cuál es la probabilidad de que el número que se saque sea menor que ?
El espacio muestral va a ser s={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
, donde la probabiidad será de
,
por tanto
;; ; [ <[4] ] < 4 ,,
La probabilidad de que el número que saque sea menor que 4 será:
2. La rueda de una ruleta se divide en 25 sectores de igual área y se numeran del 1 al 25. Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidades de X, que represente el número que se da al girar la ruleta. La formula de distribución de probabilidad de X, para este caso, utilizando la formula de distribución discreta uniforme; esto debido a que la probabilidad que salga un numero comprendido entre 1 y 25 con áreas iguales, es equiprobable. Por lo tanto aplicamos la formula:
F(x,k)=1/k , x= x 1 , , x 2 , , x 3 , , ... , x k . Entonces: k =25 =25 ; f(x,k)= 1/k = 1/25 , , x x = 1,2,3,...,25.
3. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X del ejercicio 1 R)
∑ +++++++++ +++++++++ =
= 5,5
2
=
= 8,25
– (5,5) – (5,5)2
4. en una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robos de dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los próximos 5 asaltos en esa área a). exactamente 2 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas; b). cuando mucho 3 se debieran a la misma razón arriba indicada.
a).
b).
5.
x=2
p=75%
q=25%
n=5
;, − 2;5,0.755 52 0.750.25 0.08789 ≤3 3;5,0.755 53 0.750.25 0.2637 2;5,0.755 52 0.750.25 0.08789 1;5,0.755 51 0.750.25 0.01464 = ;, 0.366
p=75%
q=25%
n=5
un agricultor que siembra fruta afirma que de su cosecha de duraznos ha sido
contaminada por la mosca del mediterráneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar duraznos: a) los estén contaminados por la mosca del mediterráneo. b) Cualquier cantidad entre esté contaminada p= contaminados= 2/3; q= no contaminados = 1/3; n=4 Sea x el número de duraznos contaminados a)
[ 4]4] ∑ ;41, ∑ 2;14, 2 1 2 1 2 1 [ 4]4] 40 3 41 3 3 42 3 3 43 3 3 44 3 3 40 13 41 23 13 42 23 13 43 23 13
b)
6581 1816 [ 4] 1 [1 ≤ ≤ 3] ∑ ;4, ∑ ;4, 65 1 [1 ≤ ≤ 3] 81 403 [1 ≤ ≤ 3] 6815 811 .
6. De acuerdo con una investigación de la administrative management society,
de
las compañías estadounidenses dan a sus empleados 4 semanas de vacaciones después de 15 años de servicio en la compañía. Encuentre la probabilidad de que entre 6 compañías encuestadas al azar, el número que da a sus empleados después de 4 semanas después de 15 años de servicio es a) Cualquiera entre 2 y 5. b) Menor que 3. a) Analizando la pregunta procedemos a anotar los datos cruciales para poder resolver esta pregunta: Datos: p= ; 2≤x ≤5 ; n= 6 .
1/3 () () () ()
Siendo así, podemos concluir que este problema es de tipo Binomial, y se resolvería utilizando la formula dada en la teoría vista que es: b(x; n, p)=( ) p x .q Entonces P(2
+
n-x
) + b(4, 6, 1/3) + b(3, 6, 1/3) + b(2, 6, 1/3)
=
= 0.647
b) p= ; 0≤x<3 ; n= 6 . Realizamos el mismo proceso realizado en el punto a) solo que
1/3
algunos valores de (x) cambian para este caso. Entonces P(0
7. si se define la variable aleatoria X como el número de caras que ocurren cuando una moneda legal se lanza al aire una vez, encuentre la distribución de probabilidad de X. ¿esta distribución de probabilidad es uniforme discreta, binomial o ambas? f (x;k) =
1
f (x;2) =
X= X1, X2, X3,…, Xk
12
R) x =
x = 0,1
Es uniforme discreta puesto que se puede representar por la forma X =
Es binomial porque son n intentos repetidos con probabilidad de éxito constante, además son eventos independientes entre sí.
8. de acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de ka universidad de Massachusetts, aproximadamente 60% de los adictos al Valium en el estado de Massachusetts, lo tomaron por primera vez debido a problemas psicológicos. Encuentre la probabilidad de que de los siguientes 8 adictos entrevistados a). exactamente 3 hayan comenzado a usarlo debido a problemas psicológicos; b). al menos 5 de ellos comenzaran a tomarlo por problemas que no fueron psicológicos.
3;8,0.6 830.60.4 0.12386 ≥ 5 1 < 5 1; 8 , 0 . 6 = 10.4059 0.5941 %
a).
b). utilizando los valores de las tablas del apéndice: P
9. Al probar una cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se encontró que el de los camiones terminaban la prueba con los neumáticos dañados. De los siguientes camiones probados, encuentre la probabilidad de que: a) De tengan pinchaduras. b) Menos de tengan pinchaduras. c) Más de tengan pinchaduras. La probabilidad de éxito será: p= 1/4; La probabilidad de fracaso será: q = 3/4; a)
[3 ≤ ≤ 6] ∑ ;15,
n=15
1 14 [3 ≤ ≤ 6] ;15, 4 ; 1 5, 3 1 3 1 3 1 3 15 15 15 15 [3 ≤ ≤ 6] 0 4 1 44 2 4 4 3 4 4 144 14 34 155 1434 156 1434 15 3 15 13 15 1 3
b)
c)
0[3 ≤4 ≤ 6] 1 0.944340. 4 23612 .4 4 [ < 4] ∑ ;15, 3 1 3 1 3 1 3 [ < 4] 150 4 151 [ 4<4] 4 . 152 4 4 153 4 4 [ > 5] 1[ ≤ 5] 14 [ > 5] 1; 1 5, 3 1 3 1 3 1 3 15 15 15 15 [ > 5] 1 0 4 1 44 2 4 4 3 4 4 144 14 34 155 14 34 [ > 5] 10.8516 .
10. De acuerdo con un reporte publicado en la revista Parade, septiembre 14 de 1980, una investigación a nivel nacional llevada a cabo por la Universidad de Michigan reveló que casi el 70% de los estudiantes del último año desaprueban lasmedidas para controlar el hábito de fumar mariguana todos los días. Si 12 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinión, encuentre la probabilidad de que el número que desaprueba dicha medida sea: a) b) c)
cualquier cantidad entre 7 y 9 cuando mucho 5; no menos de 8
Para este ejercicio utilizamos la teoría de las probabilidades hiperge ometricas , entonces: Si n=12 y p=0.7 a) ) Reemplazamos ambos valores con los ya calculados en las tablas:
7 ≤ ≤ 9
< 8 ≤ ≤ 12 ≤ ≤ 12,12,0.70 87,≤ 1≤2,0.12 70 10.2763
b) 5) Entonces: probabilidad ya
calculado
c) ; valores respectivos hallados en las tablas, resulta: 0.7237
* Siendo este el valor de esta en las tablas. Utilizando los =
11. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es 0,9 ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los próximos 7 pacientes que se sometan a esta intervención sobrevivan? R) se considera éxito a que un paciente sobreviva n = 7 P = 0.9 x = 5 b(x;n,p)
=()− ()0.910. 9− ()0.9 0. 1 210.9 0.1
, X= 0,1,2,…,n
b(5;7,0.9) = = =
= 0,1240
12. Un ingeniero de control de tráfico reporta que 75% de los vehículos que pasan por un punto de verificación tienen matrículas del estado. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 4 de los siguientes 9 vehículos no sean del estado? P=25%
n=9
x>4
P(x≥4)= 1-P(4<4)
1∑= ;9,0.25
=
Según los valores de las tablas: =0.8343 13. La universidad George Washington y la NationalInstitute of Healt llevaron a cabo un estudio acerca de las actitudes respecto a los tranquilizantes. El estudio revelo que aproximadamente piensa que “los tranquilizantes realmente no curan nada,
%
é 0,7; 0,3; 5 [ ≥ 3] 1[ < 3] [ ≥ 3] 1 ;5,0.7 [ ≥ 3] 1[50≥3] 0.310. 51163080.70. .3 52 0.70.3
solo encubren el problema real”. De acuerdo con este estudio, ¿cuál es la probabilidad de que al menos de los siguientes sujetos seleccionados aleatoriamente darán la misma opinión?
La probabilidad será:
14. Una investigación de los residentes de una ciudad de Estados Unidos mostró que 20% preferían un teléfono blanco que de cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los siguientes 20 teléfonos que se instalen en esta ciudad sean de color blanco? Datos: P= 0.2 ; n=20; x>10 Entonces procedemos a resolver a través de distribución binomial. P(x>10)= 1 – (p(x<10) = 1 – b(10, 20, 0.2) = 1 – 0.9994* = 0.0006 *Este valor es extraído de la tabla A1 de sumas de probabilidad Binomial. 16. Suponga que los motores de un aeroplano operan de forma independiente y que fallan con una probabilidad de 0.4 suponiendo que uno de estos artefactos realice un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de uno de los motores, determine que aeroplano, uno de 4 motores o uno de 2, tiene mayor probabilidad de terminar su vuelo exitosamente. P=0.4
q=0.6
Vuelo seguro
funcionan al menos la mitad de los motores
aeroplano 1 n=4 motores x≥2
≥ 2 1 < 2 1; , =
10.1792 0.8208
aeroplano 2
n=2 motores
≥ 1 1 < 1 1; , = 10.16 0.84
15. Se sabe que el 40% de los ratones inyectados con un suero quedan protegidos contra una cierta enfermedad. Si 5 ratones son inyectados, encuentre la probabilidad de que a) ninguno contraiga la enfermedad; b) menos de 2 la contraigan; c) más de 3 la contraigan.
a) p = 0.4
q = 0.6
Utilizando b(x;n,p)
n=5
=()− ()0.40.6
b(0;5,0.4) =
= 0.07776
b) P [x<2] = 1 – P[X>2] =1-
∑= ;5,0.4
= 1 - 0.66304 = 0.337 c) P [x>3] = 1 – P[X≤3] =1-
x=0
∑= ;5,0.4
se tiene:
= 1 – 0.91296 = 0.08704
16. Suponga que los motores de un aeroplano operan de forma independiente y que fallan con una probabilidad de 0.4 suponiendo que uno de estos artefactos realice un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionando cuando menos la mitad de uno de los motores, determine que aeroplano, uno de 4 motores o uno de 2, tiene mayor probabilidad de terminar su vuelo exitosamente.
P=0.4
q=0.6
Vuelo seguro
funcionan al menos la mitad de los motores
aeroplano 1
n=4 motores x≥2
aeroplano 2
n=2 motores
≥ 2 1 < 2 1; , = 10.1792 0.8208 ≥ 1 1 < 1 1 ; , = 10.16 0.84
Es más probable que el aeroplano 2 (dos motores), termine su vuelo exitosamente.
17. Repita el ejercicio
cuando la probabilidad de falla es de
0,20,8 12 4 2 [ ≥ 2] 1[ < 2] 1; 4 , 0 . 8 [ ≥ 2] 1400,2 410.80.2 , 2 ; 2 1 [ ≥ 1] 1[ < 1] 1; 2 , 0 . 8 = 2 0,04 [ < 1] ; 2 , 0 . 8 2 0, 0 = [ ≥ 1] 1[ < 1] 10,04 ,
,
.
a) n= 4 motores ;
b)
El aeroplano de 4 motores es el de mayor probabilidad de realizar un vuelo seguro. 18. Encuentre la media y la variancia de la variable aleatoria binomial del ejercicio 11. Primero recordamos que nos dice el ejercicio (11). La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los próximos 7 pacientes que se sometan a esta intervención sobrevivan? y proseguimos a resolver utilizando las formulas de . Datos: P=0.9; n=7; q=(1 - p)= 0.1 y = (7)(0.9)(0.1)= 0.63
70.9 .
19. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del ejercicio 14 n = 20 teléfonos de color blanco = p = 0.2 Teléfono de otro color = q = 0.8 µ = np = (20) (0.2) = 4 σ2 = npq = (20) (0.2) (0.8) = 3.2
20. a). Encuentre la media y la variancia de la variable aleatoria binomial del ejercicio 10. b). De acuerdo al teorema de Chebyshev, ¿durante cuánto tiempo el número de estudiantes que desaprueba la medida tomada, entre grupos de 12 será cualquier cantidad entre 6 y 11? a) µ=np µ=(12)(0.7)=8.4
b)
120.70.3 2.52 1 1 ¾
21. Si X representa el número de personas en el ejercicio que creen que los tranquilizantes no curan sino que solo cubren el problema real, encuentre la media y la variancia de X cuando personas se seleccionan aleatoriamente y d espués utilice el teorema de Chebyshev para interpretar el intervalo .
± # ; 5 0. 7 3.50. ∴ 50. 7; 3 ∴ 3.50.3 1.1.02405 ±2 3. 5 ±21. 0 247 3. 5 21.0247 5.5494; 3.5 21.0247 .
Utilizando el teorema de Chebyshev:
El número de personas que creen que los tranquilizantes no curan si no que solo cubren el problema está dado entre 1.4506 y 5.5494, debido a que es discreta esta entre 2 y 5
22. a) De acuerdo con el ejercicio 9. ¿Cuántos de los 15 camiones pueden sufrir ponchaduras? b) ¿De acuerdo con el teorema de Chabyshev,cara en que intervalo el número de camiones con ponchadura si hay una probabilidad de (3/4) de que la tengan de entre los próximos 15? Primero debemos recordar que dice el ejercicio 9. Al probar una cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se encontró que 25% de los camiones terminaban la prueba con los neumáticos dañados. A partir de aquí procedemos a responder. Datos: P= 0.25; n=15; q= 0.75. a) Para saber cuantos camiones pueden salir ponchados entre los siguientes 15, hallamos la media ( . Entonces: (15)(0.25) = 3.75 b) Aquí utilizamos el teorema de chebyshev, pero utilizamos ( ) ya que nos están diciendo que la probabilidad es de (3/4) lo cual da como resultado una k=2, Entonces como ya tenemos la media, despejamos la varianza:
±2 3/4
σ σ √ 2.81 1.31 3.753.35 7.102 3.75±21.67 3/4 3.753.35 0.≤397≤ . / 2=
(15)(0.25)(0.75) = 2.81 ;
Entonces (x) quedaría comprendida entre (0.396
)
23. a) ¿Cuantas caras se pueden esperar si una moneda se lanza 64 veces? b) de acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿cuál es la probabilidad de que el número de caras caiga entre 20 y 44 si se repite el experimento una y otra vez? a) n = 64
p = 1/2
µ = np = 64 (1/2) = 32 b) σ2 = 64(0.5)(0.5) = 16 σ=
√ 16
= 4
20 < x < 44 µ-k σ = 20 µ-20 = k σ
−
= k
3=k
µ-k σ = 44
−
= k
3=k
24. Se saca una carta de un paquete de 52 previamente barajado se registra el resultado y la carta se remplaza. Si el experimento se repite 5 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener 1 carta de espadas y 1 de corazones?
E1 sacan espadas E2 sacan corazones E3 resto
x1=2 x2=1 X 3= 2
2,1,2;0.25,0.25,1200.50,5 2!,25!!,2! 0.250.250.5 4 0.06256. 2 50. 2 5 12815
25. En un tablero para dardos circular se tiene un pequeño círculo que se llama centro y áreas numeradas del . Cada una de estas áreas se decide a su vez en tres partes, de tal forma que una persona que lanza un dardo y que acierta en un número determinado obtiene un marcador sencillo, doble o triple del número, dependiendo de en cuál de las 3 partes acertó. Si una persona atina en el centro con una probabilidad de , de que sea doble con una probabilidad de , triple con y de que no atine al tablero con , ¿Cuál es la probabilidad de que de 7 lanzamientos no atine ninguno al centro, no haga triples, haga un doble dos veces y una que no atine al tablero?
. , , 12 ℎ 34
,
[[] 0. 0 1 ] 0.10
[] 0.05 0 ; 0 ; 2 ; 1 ; 4
0.0.1082 [ ] [] 10,18 0,82
El número determinado de obtener un evento se da en: Correspondientemente; se obtiene del complemento de los cuatro eventos, o sea, de que no ocurra ninguno de los cuatro eventos anteriores. Donde n=7
,,…;, …; 7! ,,…, … 0.050.100.020.82 0. ,,…;, … ; ,0!∗0!∗2!∗1!∗4! 0 1 ,… ; , … ; 0.0095
26. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillos de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8:4:4. Encuentre la probabilidad de que de 8 descendientes 5 sean rojos, 2 negros y 1 blanco. Datos: n=8; x=(8,2,1); P=(0.5,0.25,0.25) Utilizando la distribución multinomial:
Pág. 132 1. si se reparten 7 cartas de un paquete común de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que a). exactamente 2 de ellas sean mayores, es decir, de alguna figura o as? b). al menos 1 de ellas sea una reina? a). N=52
n=7
x=2
k=12
ℎ;,, 40 12 ℎ2;52,7,16 2527 5 0.3246
b). N=52
n=7
x≥1
k=4
≥ 1 1 < 1 1ℎ0; 5 2, 7 , 4 = 4 48 1 2527 7 0.4496
2. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado tabletas de narcótico en una botella que contienen píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona tabletas aleatoriamente para analizarlas, ¿cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos?
15 ; 3; 6
[ ≥ 1] 1[ 0] [ ≥ 1] 1 1ℎ; , , = 6 156 6 9 84 0 30 0 3 [ ≥ 1] 1 153 1 153 1 184 1 455 455 [ ≥ 1] 5653
La probabilidad de que el viajero sea arrestado es:
3. El dueño de una casa planta 6 tallos que selecciona al azar de una caja que contiene 5 tallos de tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante 2 tallos de narciso y 4 de tulipán? Datos: x=(4,2); a=(5,4); N=9; n=6. Utilizamos la formula de probabilidad hipergeometrica reemplazamos utilizando los datos dados en el ejercicio, tal y como se muestra a continuación: F(4,2; 5,4; 9, 6) =
(()())
= = 0.36
4. De un lote de 10 misiles, se seleccionan cuatro al azar y se lanzan, si el lote contiene 3 misiles defectuosos que no explotaran ¿cuál es la probabilidad de que…
a) los cuatro exploten b) a los más 2 fallen R) N =10 n=4 x=4 k=7
)(− ( ) − 7430
a) h(X, N, n, K) = h =
104 =
b) P[x≥2] =
= =
∑= ℎ;10,4,7
7232 731031 7430 4
5. un comité de 3 integrantes se forma aleatoriamente seleccionando de entre 4 doctores y 2 enfermeras. Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el número de doctores en el comité. Encuentre P(2≤X≤3).
ℎ;,, 4 2 2 ℎ;3,6,4 63 1,2,3.
9; 5; 2; 4
6. ¿cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a menores de edad, si verifica aleatoriamente solo identificaciones de entre 9 estudiantes de los cuales no tienen la edad suficiente?
4 4 94 5 6 ∗10 1 0 2 3 ℎ;,, 2 52 95 95 126 21 ℎ;,, 7. Una compañía está interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50 artículos idénticos. El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no más de 2 están defectuosas. ¿qué proporción del 20% de embarques defectuosos serán autorizados? Datos: x ; k= 10; N=50; n=5; Aplicamos la formula de probabilidad hipergeometrica.
≤2
8. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%.Si no se encuentra ningún artículo defectuoso la caja se embarca. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 articulos defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo 1 articulo defectuoso se regrese para para verificación
a)
x: cantidad de artículos defectuosos
N = 25 n=3
K=3 X=0
h(0, 25, 3, 3) =
b) N = 25
3025253 30 3 =
n=3 K=1 X=1
h(1, 25, 3, 1) =
1125251 31 3 =
9. suponga que la compañía manufacturera del ejercicio 8 decide cambiar su esquema de aceptación. Bajo el nuevo esquema un inspector toma aleatoriamente un artículo, lo inspecciona y lo regresa a la caja; un segundo inspector hace lo mismo. Finalmente, un tercer inspector lleva a cabo el mismo procedimiento. La caja no se embarca si cualquiera de los 3 inspectores encuentra un artículo defectuoso. Conteste el ejercicio 8 bajo este nuevo plan.
30 0.6814 31 0.11059
a).
x=0 b(0;3, 3/25)=
b).
x=1 b(1;3, 1/25)=
10. En el ejercicio , ¿cuantos proyectiles defectuosos podrían incluirse entre los que se seleccionan? Utilice el teorema de Chebyshev para describir la variabilidad del número de proyectiles defectuosos que se incluyen cuando se seleccionan al azar de varios lotes, cada uno con proyectiles y que en total contienen defectuosos.
10; 4; 3
410∗3 1.2 16 ∗ ∗1 9 1.210.3
0.56 0.7483
Utilizando Chebyshev:
± ∗ 1.2 3∗0.7483 3.4449 1.23∗0.7483 1,0449 1,0449 3.4449 03 [ ∗ < < ∗] ≥ 111 [1,0449 < < 3.4449] ≥ 1 8 9 [1,0449 < < 3.4449] ≥ 9
La variabilidad del número de proyectiles defectuosos esta desde debido a que es discreta esta desde
hasta
11. Si a una persona se le reparten varias veces 13 cartas de una paquete común de 52 cartas, ¿cuántas cartas de corazones por mano podría esperar esta persona? ¿Entre cuales dos valores podría esperarse que cayera el número de corazones al menos 75% de las veces? Datos: N=52; n=13; k=13; x=x; p=0.25; q=0.75. Primero deberíamos calcular la media y la Varianza y su desviación estándar teniendo en cuenta que es una distribución de probabilidad hipergiometrica.
y nos dicen luego que al menos el 75% de las veces el numero de corazones cae entre
= 3.25 - 2.73< x < 3.25 + 2.73 = 0.52 < x < 5.98 ó entre 1 y 5
12. Se estima que 4000 de los 10000 residentes que votan en un pueblo están en contra del nuevo impuesto sobre las ventas. Si se seleccionan aleatoriamente 15 votantes y se les pregunta su opinión, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 7 estén a favor del nuevo impuesto? q = 4000 p = 10000 – 4000 = 6000
ℎ7;10000,15,0.6 ∑= ;15,0.6
~b(7;15,0.6)
=
Con ayuda de las tablas de sumas de probabilidad binomial
1 5, 0 . 6 ; =
Es igual a 0.2131
13. una ciudad vecina está considerando la petición de anexión de 1200 residencias contra una subdivisión del condado. Si los ocupantes de la mitad de las residencias objetan ser anexados, ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10, al menos 3 estén a favor de la anexión? P=0.5
q=0.5
x≥3
≥ 3 1 < 3 1 ≤ 2 1; , = 10.0546 0.9453
14. De entre solicitudes para emplearse en la IRS en una gran ciudad, solo son mujeres. Si de los solicitantes se escogen al azar para dar asistencia libre sobre impuestos a los residentes de esta ciudad, utilice la aproximación binomial a la distribución hipergeometrica para encontrar la probabilidad de que al menos mujeres sean seleccionadas.
, , −
10 ;10, [ ≥ 3] 1[ < 3] [ ≥ 3] 1; 1 0, 0 . 2 = 10 10 0.20.8 102 0.20.8 [ ≥ 3] 1 0 0.[8≥ ] 1 , 15. Una encuesta a nivel nacional de la universidad de Michigan, de 17,000 estudiantes universitarios de último año revela que casi 70% desaprueba las medidas tomadas para el control del consumo de mariguana, de acuerdo con un artículo de la revista Parade, de septiembre 14 de 1980. Si se seleccionan al azar 18 de tales estudiantes y se les pide su opinión. ¿Cuál es la Probabilidad de que más de 9 pero menos de 14 desaprueben esas medidas? Datos x=9
16. Encuentre la probabilidad de que al repartir una mano de 13 cartas en el bridge, se tengan 5 cartas de espadas, 2 de corazones, 3 de diamantes y 3 de bastos n = 13 N = 52
f(X1, X2,…Xk; a1, a2, ak; N, n) =
(X1a1)(X2a2)(Xkak)
f(5, 2, 3, 3 ; 13 13, 13, 13; 52, 13) =
13 13 13 13
5 2 52 3 3 13
= 0.0129
17. un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona un comité de 4 estudiantes aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que a). estén representadas todas las nacionalidades b). estén representadas todas las nacionalidades excepto la italiana
Canadienses: a1=2 Japoneses: a2=3 Italianos: a3=5 Alemanes: a4=2 a). x1=1
x2=1
x4=1
x1, x2, x3, x4; a1, a2, a3, a4, N, n)=
b).
x3=1
2 3 2 5 1 1 1 1 1,1,1,1;2,3,5,2;12,4 124 49560 334
2165 1654 1652 1658 5; 9
18.Una urna contiene pelotas verdes, azules y rojas. En una muestra aleatoria de pelotas encuentre la probabilidad de que se seleccionen tanto pelotas azules como al menos una roja.
X1 X2 X3
2A 4R 2V
,,;,,;, 2, 1, 2 2,1,2;2,4,3;9,5 ∗∗∗ 2, 2, 1 2,2,1;2,4,3;9,5 ∗∗∗ 2, 3, 0 2,3,0;2,4,3;9,5 ∗∗ ,,;,,;, 212 17 632 1637 9
Para
Para
Para
pág. 140 1. La probabilidad de que una persona, que vive en cierta ciudad, tenga un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en esta ciudad sea la quinta que tiene un perro. Datos: p=0.3 x=5 n=10 En este caso aplicamos distribución Binomial negativa (b*), cu ya fórmula es:
Sabiendo esto, solo pasamos a despejar la formula con los datos anteriores:
2. un científico inocula varios ratones, uno a la vez, con un germen de una enfermedad hasta que se obtiene 2 que la han contraído. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es de 1/6. ¿Cuál es la probabilidad de que se requieran 8 ratones? K=2 X=8 p = 1/6 q = 5/6 Para determinar la probabilidad con 8 ratones, para obtener 2 que hayan contraído la enfermedad, se utiliza la fórmula de Distribución Binomial Negativa. b*(X; K, p) =
b*(8;2,1/6) =
=
(−−)−2 82
1 5 − (− )6 6 () ( )(
) = 0.0651
3. Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de los atentados a una famosa actriz es de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que a) la sexta persona que escucha tal historia sea la cuarta que la crea? b) La tercera persona que escucha tal historia sea la primera en creerla? P=0.8 q=0.2 a). x=6
k=4
b). x=3
k=1
∗ 11− ∗ 530.80.2 0.1638 ∗ 200.80.2 0.032
4.
a)
Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza una moneda obtenga: a) La tercera cara en el séptimo lanzamiento. b) La primera cara en el cuarto lanzamiento.
7 ; 3; ;; 11− 1 1 1 1 15 6 7;3;1/2 71 31 2 2 2 2 2 128 . 4 ; 11; 12 − ;; 1 1 1 1 1 1 3 4;1;1/2 41 11 2 2 0 2 2 16 . b)
5. Tres personas lanzan una moneda y el disparejo paga el café. Si los tres resultados son iguales, las monedas se lanzan nuevamente. Encontrar la probabilidad de que se necesiten menos de cuatro intentos para saber quién paga el café. En este problema el éxito consiste en sacar el disparejo. Lo primero que debemos hacer para resolver el problema es encontrar el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de las 3 monedas: S = {(c, c, c) (c, c, +) (c, +, c) (+, c, c) (c, +, +) (+, c, +) (+, +, c) (+, +, +)} Donde: "c" = cara y " +" = s ello Podemos apreciar que la magnitud del espacio muestral es 8 y que es un espacio equiprobable. El número de resultados en que aparece el "disparejo" es 6, por lo que p = 6/8 = 0.75. Si queremos obtener la probabilidad de q ue se necesiten menos de 4 intentos para saber quien paga el café, entonces: P(x<4) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)
6. de acuerdo a un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la universidad de Massachusetts alrededor de dos terceras pates de 20 millones de personas en estados unidos que consumen Valium son mujeres. Suponiendo que estas estimación es válida, encuentre la probabilidad de que en un determinado día la quinta receta médica por Valium sea: a) La primera prescripción de Valium para una mujer b) la tercera prescripción de Valium para una mujer R) p = 2/3
) ()
a) g (5, ) = (
4
= 8.23x10-23 = 2/243
b) K = 3 X=5
b*(5;3,2/3) =
() 3
2
=
7. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen a) en el tercer intento b) antes del cuarto intento a). p=0.7
b). p=0.7
k=1
x=3
k=1
0.7+0.21+0.063=0.973
∗3;1,0.7 200.70.3 0.063 ∗1;1,0.7 100 0.70.3 0.7 ∗2;1,0.7 20 0.70.3 0.21 ∗3;1,0.7 0 0.70.3 0.063
x<4
8. En promedio, en una cierta intersección ocurren accidentes viales por mes. ¿cuál es la probabilidad de que en un determinado mes en esta intersección a) Ocurran exactamente accidentes? b) Ocurran menos de accidentes?
a)
3; 5 − − 3 , ! 5! . −3; 35 − 3 − 3 ;3 [ < 3] 0! 1! 2! = [ < 3] ,
Utilizando Poisson
b)
9. Una secretaria comete en promedio 2 errores por página,¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página: a) Cometa 4 o más errores? b) No cometa errores? Así que de los datos tenemos lo siguiente: Aplicamos la teoría de Poisson cuya fórmula es: a)
b)
2; ≥ 4, 0
, !
10. Cierta área del este de estados unidos resulta, en promedio, afectada por 6 huracanes al año. Encuentre la probabilidad de que para cierto año esta área resulte afectada por: a) menos de 4 huracanes b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes. Tenemos que λt = 6 a) P[x<4] = P[x≤3] =
∑= ;6 ! ! ! =
+
+
= 0.1512
b) p(6≤x≤8) = p(x≤8) – p(x≤5) p (6≤x≤8) =
∑= ;6 ∑= ;6 -
= 0.4015
11. En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un artículo en particular en una bodega era de 5 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día este artículo sea requerido a) más de 5 veces? b) Ni una sola vez? a). λt=5
b). λt=5
x>5
> 5 1 ≤ 5 1; = 10. 6 160 0.384 − ; −5 ! 0;5 0! 0.00673
utilizando los valores de las tablas de sumatoria de Poisson:
x=0
12. El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de trigo de 5 acres se estima que es de . Encuentre la probabilidad de que menos de ratas de campo se encuentren en:
a) En un acre de terreno determinado. b) En 2 de los siguientes 3 acres inspeccionados.
a)
12 [ < 7] [ ≥ 6] − − 12 − 12 − 12 − 12 − 12 = ! 0! 1! 2! 3! 4! − 5!12 − 6!12 . 2; 3; 0. 0 458 2;3,0.0458 32 0.04580.9542 .
b) Con la probabilidad encontrada anteriormente procedemos a resolver por la binomial
13. Un restaurante prepara una ensalada que contiene en promedio 5 verduras diferentes, encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 verduras: a) En un determinado día. b) En tres de los siguientes 4 días. c) Por primera vez en el mes de abril en el día 5. a) En un determinado día. Datos: promedio = 5 = l x = número de verduras que contiene la ensalada Distribución de Poisson:
=
= La probabilidad es entonces P= ( 1 – q) entonces P= (1-0.6160) lo cual da como resultado una P= 0.3840 b) En tres de los siguientes 4 días, Datos: p = 0.3840 n = 4
q = 0.6160 x = 3 Distribución binomial:
Resultando en una probabilidad de 0.1395. c) Por primera vez en el mes de abril en el día 5. Datos: p = 0.3840; x = 5 para la primera vez; q = 0.6160 Distribución geométrica: Resultando entonces en una probabilidad de 0.0553.
14. la probabilidad que una persona muera debido a cierta infeccin respiratoria es 0.002 encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las próximas 2000 personas infectadas µ = np = (2000) (0.002) = 4 P(X<5) = P (X≤4)
∑= ;4
= 0.6288
15. Suponga que en promedio 1 persona de cada 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar 10 000 formas y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan error Utilizando Poisson P=0.001 n=10000 µ=10 sabemos que µ=λt por lo tanto λt=10
6 ≤ ≤ 8 ≤ 8 ≤ 5 = ; ; = 0.33280.0671
0.2657 16. La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviación lateral sufrida por la columna vertebral) en una escuela de la localidad es de . de los siguientes estudiantes revisados, encuentre la probabilidad de que: a) Menos de presenten este problema; b) presenten este problema;
, ,
B)
0. 0 04; 1875 0.004∗1875 7.5
[ < 5] [≤4]− [ ≤ 4] ! − .0! 7.5 − .1! 7.5 − .2! 7.5 − .3! 7.5 − .4! 7.5 [ ≤ 4] . [8 < < 10] − − . 7.5 − . 7.5 − . 7.5 [8 < < 10] ! 8! 9! 10! [8 < < 10] . Utilizando Poisson:
A)
17. a) Encuentre la media y la varianza en el ejercicio 14 de la variable aleatoria X que representa el número de personas de entre 2000 que mueren de infección respiratoria. b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, hay una probabilidad de al menos ¾ de que el número de personas que morirán entre las 2000 infectadas caiga dentro de ¿Cuál intervalo? a) Primero debemos saber que nos dice el ejercicio 14. La probabilidad de que una persona muera de cierta infección respiratoria es 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de los siguientes 2000 infectados de esta forma. Resolvemos utilizando entonces:
20000.002
Datos: n=2000; p=0.002; q=0.998
20000.0020.998 3.99 ≅ 5 √ 4 2 2 ≤ ≤ 2 ≥ 3 34 4 4 ≤ ≤ 44 ≥ 4 ≤ ≤ ≥
b) De acuerdo con el teorema de chebyshev ¾ partes o mas de las observaciones caen en el intervalo ± 2 ; por lo que se resolvería como: Datos:
18. Encuentre la media y la varianza del ejercicio 15 de la variable aleatoria x que representa el número de personas de entre 10000 que cometen un error al preparar su declaración de impuestos µ = np =
2
= npq = n
n = 10000
(1-
)
p = 0.001
µ = (10000)(0.001) = 10 2
= (10000)(0.001)(1-0.001) = 10
EJERCICIOS DE REPASO: 1. En un proceso de manufactura se seleccionan aleatoriamente 15 unidades diarias de la línea de producción para verificar el porcentaje del número de defectos en el proceso. A partir de información histórica se sabe que la probabilidad de que se tenga una unidad defectuosa es 0.05. El proceso se detiene en cualquier momento en que se encuentran dos o más defectos. Este procedimiento se utiliza para proporcionar una señal en caso de que la probabilidad de defectos se incremente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga? (suponga un 5% de defectos) b) Suponga que la probabilidad de que se tenga un defecto se incrementa a 0.07. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el proceso de producción se detenga? a). P=0.05 n=15 x≥2
≥ 2 1 ≤ 1 1; , = ][151 0.050.95] 1[150 0.0510.0.9456320. 3 657 0.17104 ≥ 2 1 ≤ 1 1; , = ][151 0.070.93] 1[150 0.0710.0.9333670. 3 801 0.2832
b). p=0.07
%
2. Se está considerando la producción de una maquina automática de soldar. Se considera exitosa si tiene una efectividad del en sus soldaduras. De otra manera, no se considerara eficiente. Se lleva a cabo la prueba de un prototipo y se realizaran soldaduras. La máquina se aceptara para su fabricación si no son defectuosas más de de sus soldaduras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una maquina eficiente sea rechazada? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una maquina ineficiente con 95% de soldaduras correctas sea aceptada? Falta la respuesta de esta
3. Un dispositivo electrónico de conmutación ocasionalmente funciona mal y puede ser necesario reemplazarlo. Se sabe que el dispositivo es satisfactorio si, en promedio, no comete más de errores por hora. Se selecciona un periodo particular de horas como una “prueba” del dispositivo. Si no ocurre más de un mal funcionamiento, el dispositivo se considera satisfactorio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un dispositivo satisfactorio se considere insatisfactorio de acuerdo con la prueba? Asuma que se tiene un proceso de Poisson. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un dispositivo se acepte como satisfactorio cuando, de hecho, el número promedio de errores es ? Otra vez asuma que se trata de un proceso de Poisson.
,
, 5; 0.20; ∴ 5∗0.20 1
a) Se sabe que dispositivo se considere insatisfactorio es:
la probabilidad de que el
≤ 1] [− >1] 1[ − − 1 1 [ ≤ 1] ! 0! 1! . [ > 1] 10.7358 0.2642
5; 0.25; ∴ 5∗0.25 1.25 − − , 1.25 − . 1.25 [ ≤ 1] ! 0! 1! [ ≤ 1] .
b) Se sabe que dispositivo se acepte como satisfactorio es:
la probabilidad de que el
3. Una agencia que renta automóviles en un aeropuerto local tiene disponibles 5 Ford, 7 Chevrolet, 4 Dodge, 3 Datsun y 4 Toyota. Si la agencia selecciona aleatoriamente 9 de estos vehículos para transportar delegados desde el aeropuerto hasta el centro de convenciones en el centro de la ciudad, encuentre la probabilidad de que se utilicen 2 Ford, 3 Chevrolet, 1 Dodge, 1 Datsun y 2 Toyota. Datos: N=23; n=9; x=(2,3,1,1,2); a=(5,7,4,3,4); Entonces tenemos que: P=
()()(()( ) )()
0.031
4. las llamadas de servicio entran a un centro de mantenimiento de acuerdo con un proceso de poisson y en promedio entran 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que a) No más de 4 llamadas entren en un minuto cualquiera b) Menos de 2 llamadas entren en un minuto cualquiera c) más de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos λ = 2.7 llamadas por minuto
∑= 2.7!2.7 .!. .!. .!. .!. .!.
a) p[X≤4] = =
+
+
+
=0.0672 + 0.1814 + 0.2449 + 0.2204 + 0.1488 = 0.8629
+
∑= 2.7!2.7 .. ..
b) p[X<1] = =
!
+
= 0.0672 + 0.1814
!
= 0.2487 c) λt = 2.7 (5) = 13.5
5. una firma electronica sostiene que la produccion de unidades defectuosas de un cierto producto es 5%. Un compredor tiene un proceso de inspección estándar de 15 unidades seleccionadas aleatoriamente de un gran lote. En una ocasión en particular el comprador encuentra 5 articulos defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad de esta ocurrencia dado que la pretensión del 5% de defectuosos es correcta) b) ¿Cuál seria su reacción si usted fuera el comprador?
q=0.95 a)
n=15
x=5
1005 0.05
;, − 5;15,0.05 155 0.050.95 0.0006
b) Si yo fuera el comprador inmediatamente haría un reclamo a la firma electrónica, puesto que salgo perjudicado al recibir un porcentaje mayor de artículos defectuosos a los que ellos prometen en sus cálculos probabilísticos.
7. Una compañía compra lotes grandes de cierta clase de dispositivo electrónico. Se utiliza un método que rechaza un lote si se encuentre dos o más unidades defectuosas en una muestra de 100 unidades, a. ¿cuál es el número medio de unidades defectuosas que se encuentran en una muestra de 100 unidades si el lote tiene 1% de defectuosas? b. Cual su dispersión? a) Datos: x P(x P(x
< 2; 100; 0. 0 1; ≥≥ 22 1 < 2 1 ∑= ;100,0.01