SISTEMAS AXIOMÁTICOS Conceptos Fundamentales del Sistema Axiomático
Proposición. Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno
de los términos verdadero o falso. Las proposiciones más comunes que se utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios. Axiomas. Es una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las
ciencias del conocimiento. conocimiento. Baldor, define Axiomas como una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostraciones. Es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se han constituido al azar, sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometría. Según Baldor Un postulado es una proposición no tan evidente como un axioma pero que también se admite sin demostración. Postulados.
Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas y postulados. Es una propos proposici ición ón que puede puede ser demostrad demostrada. a. La demost demostrac ración ión consta consta de conj conjun unto to de razo razonam namie ient ntos os que condu conducen cen a la evid eviden enci ciaa de la verd verdad ad de la proposición, así lo define Baldor. Un teorema consta de: hipótesis (condiciones o datos del problema) y tesis ( propiedad propiedad a demostrarse). Teorema.
Corolario. Es la consecuencia de un teorema demostrado.
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Bald Baldor or dice dice que que es una una prop propos osic ició iónn que que se dedu deduce ce de un teor teorem emaa como como consecuencia del mismo. Baldor Baldor establ establece ece que tod todoo teorem teoremaa tiene tiene su recípr recíproco, oco, siendo su hipótesis y tesis la tesis y la hipótesis respectivamente del otro teorema, que se llamaría teorema directo. Teorema Recíproco. Recíproco.
Lema. Baldor dice que una proposición que sirve de base a la demostración de un
teorema, es decir, que es como un teorema preliminar a otro que se considera más importante. Escolio.
Es una obse observ rvac ació iónn que se hace hace sobr sobree un teor teorem emaa prev previa iame ment ntee
demostrado. Es una proposición en la que se pide construir una figura que reúna ciertas condiciones o bien calcular el valor de alguna magnitud geométrica. Problema.
Razonamiento Lógico. Cuando
una persona una persona se empeña en una "reflexión clara" o en una reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del razonamiento lógico. Demostraciones. Es un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad de la
proposición junto con axiomas y postulados. Una demostración bien elaborada solo puede basarse en proposiciones antes demostradas demostradas,, la demostració demostraciónn también también es necesaria para fundamentar fundamentar la generalidad generalidad de la proposición que se demuestra. Por medio de las proposiciones, las verdades geométricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos científicos.
Métodos de Demostraciones
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– Méto Método do Indu Induct ctiv ivo. o. Es un razo razona nami mien ento to que que part partee de cono conoci cimi mien ento toss o verdades particulares para obtener mediante ellos una verdad general. – Méto Método do Dedu Deduct ctiv ivo. o. Es un razo razona nami mien ento to que que part partee de cono conoci cimi mien ento toss o verdades generales para obtener mediante ellos e llos una verdad particular. El método deductivo es el más usado en la Geometría, el cual consiste en encadenar encadenar conocimientos conocimientos que se suponen verdaderos verdaderos de manera tal. Que se obtienen nuevos conocimientos. Procedimiento de una Demostración
La demostración formal de un teorema consiste en cinco partes 1. El enunc enuncia iado do del del teor teorem ema. a. 2. Hacer Hacer un gráf gráfico ico que que ilust ilustre re el teorem teorema. a. 3. Una afirmac afirmación ión de lo que es el dato en en términos términos del del gráfico gráfico (hipótesis (hipótesis). ). 4. Una afirm afirmaci ación ón de lo que debe debe probar probarse se (tesi (tesis). s). 5. Demo Demost stra raci ción ón.. Reseña y Definición de Sistemas Axiomáticos
La antigüedad de la Geometría se remonta a los babilonios y egipcios, pueblo que entre los años 2000 y 200 A.C. hicieron hicieron uso prácti práctico co de la misma misma como una respuesta a problemas cotidianos. Cuando surge la necesidad de efectuar medidas de objetos o extensiones de tierra, el hombre comienza a crear abstracciones como el punto, la recta y el plano. Se establece así un puente entre las formas que a diario el hombre observa y las representaciones simbólicas que utiliza para referirse a ellas. Los Los cono conoci cimi mien ento toss desa desarr rrol olla lado doss por por los los babi babilo loni nios os y egip egipci cios os fuer fueron on transmitidos a la civilización griega, en cuyo seno no son sólo asimiladas, sino que son objeto de profunda reflexiones que produjeron avances significativos de la Geometría. Los griegos desarrollaron la Geometría como una ciencia lógica y fueron responsables de la demostración de muchos teoremas. A pesar de que los griegos desarrollaron otras áreas de la matemática, la geometría fue perfeccionada a tal grado que la influencia de los antiguos matemáticos griegos se ha mantenido durante 20 3
siglos. Es la época de los grandes filósofos griegos entre quienes se destacan Thales de Mileto, Pitágoras, Anaxágoras, Demócrito, Hipócrates, Platón. Durante los dos últimos siglos el método axiomático ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemáticas fueron provistas de los que parecían ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Nació así un estado de opinión en el que se admitía tácitamente que todos los sectores del pensamiento matemá matemátic ticoo podían podían ser dotados dotados de unos conjun conjuntos tos de axioma axiomass suscep susceptib tibles les de desarr desarroll ollar ar sistem sistemáti áticam cament entee la infini infinita ta totali totalidad dad de propos proposici iciones ones verdad verdadera erass suscitadas en el campo sujeto a investigación. Se denomina sistema axiomático axiomático al procedimiento procedimiento mediante el cual las ciencias ciencias formales, teniendo en cuenta el aspecto dinámico que involucra la formulación de axiomas y la justificación de ciertos enunciados que se obtienen a partir de los axiomas mediante procedimientos de transformación. Si en cambio se consideran estáti estáticam cament entee los result resultado adoss de la aplica aplicació ciónn del método, método, es decir, decir, su aspect aspectoo estructural, se estaría analizando deductivos o formales. El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados, postulados, y en deri deriva varr lueg luegoo de esos esos axio axioma mass toda todass las las demá demáss proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los "cimientos" del sistema; los teoremas son las "superestructuras", y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios de la lógica. La principal característica de un sistema axiomático es que si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas, quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. Lo característico del sistema axiomático como realización de la idea de cálculo consiste en disponer de un conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostració demostraciónn y a partir partir de los cuales se obtienen todas las demás afirmaciones afirmaciones de la teoría, las cuales se llaman teoremas. teoremas. Y las fórmulas aceptadas sin discusión son axiomas o postulados. El conjunto de axiomas, más la definición de enunciado o fórmula del sistema (definición que precede al enunciado de los axiomas) y el conjunto de las reglas para la obtención de teoremas a partir de los axiomas (reglas de transformación) constituyen la base primitiva p rimitiva del sistema. 4
Aristóteles llama axiomas a las proposiciones indemostrables, evidentes en sí mismas mismas (inme (inmediat diatame amente nte verdade verdaderas ras)) que sirven sirven de princi principio pioss a los teorem teoremas as (verdades deducidas o mediatas) de una teoría científica. Hoy se entiende por axioma, más más simp simple leme ment nte, e, una fórm fórmul ulaa del sist sistem emaa conv convenc encio ional nalme mente nte eleg elegid idaa como como postulado, que viene del latín postulare, pedir, porque le "pedimos" al interlocutor que acepte provisionalmente su verdad. Se puede decir entonces que los axiomas no “definen” unos entes concretos, unos concept conceptos os “prim “primiti itivos vos”” concret concretos, os, sino sino tod todaa una serie serie de entes entes o de concept conceptos os “primi “primitiv tivos” os”.. Los axioma axiomass no versan versan sobre sobre nada nada concret concreto, o, sobre sobre nada nada defini definido do explícitamente, sino sobre una “vaguedad” de conceptos “primitivos” restringidos exclusivamente por las propiedades que los axiomas enuncien. Esta abstracción progresiva de las matemáticas y de los sistemas axiomáticos hizo exclamar a Bertrand Russell: “La matemática es la ciencia en la que no se sabe de qué se habla ni siquiera si lo que se dice es verdadero”. Tipos de Sistemas Axiomáticos
1. Sintácticos. Llamados también cálculos o sistemas no interpretados, que se caracterizan por el hecho de que sus expresiones carecen de significado, están compuestos por fórmulas entendidas como meras sucesiones de signos. Los axioma axiomass y teorem teoremas as son consecu consecuent enteme emente nte fórmul fórmulas as vacías vacías,, puesto puesto que contienen signos que no tienen referencia. 2. Semánticos. También conocidos como Interpretados los cuales están formados por enunciados, es decir, oraciones que poseen significados y valores de verdad.
Componentes de los Sistemas Axiomáticos
Según el enfoque moderno se enunciaran los que forman parte de los sistemas sintác sintáctic ticos, os, que cierto ciertoss agrega agregados dos que bajo bajo cierta ciertass condici condicione oness serán serán sistem sistemas as semánticos. 5
– Los térm término inoss primiti primitivos vos o alfabe alfabeto to básico básico son son un listado listado de signo signoss que no se lo definen dentro del sistema y que podrán ser utilizados para definir otros. Además se pueden dividir en signos propios o impropios. – Los Los Signos Signos propi propios os son aquel aquello loss que que al ser inter interpr pret etad ados os o se les asign asignaa signif significa icados dos se refier refieren en a obj objeto etoss especí específic ficos os de la teoría teoría.. Pueden Pueden ser consta constante ntess (se refier refieree a entida entidades des determ determina inadas das)) y Variab Variables les (se refier refieree a lugares que puedan ser ocupados por distintas entidades que constituyen e dominio de la variable) – Los Los sign signos os impro impropi pios os son aquel aquello loss que que pert perten enec ecen en a la lógic lógicaa suby subyace acent ntee presu presupues puesta ta en los sistem sistemas as matemá matemátic ticos os y explici explicitad tados os en los siste sistemas mas lógicos. – Morf Morfol ologí ogía. a. En todo todo sist sistem emas as se esta establ blece ecenn expl explíc ícit itaa o impl implíci ícita tamen mente te las las formas en que pueden combinarse los signos en la formula, siendo ésta una sucesión finita de términos. – Las Las defin definic icio ione ness perm permit iten en intr introd oduci ucirr en los los sist sistem emas as axiom axiomát átic icos os sign signos os nuevos a partir de los términos primitivos, que serían los términos definidos. – Los Los axioma axiomass const constit ituy uyen en un conj conjun unto to de fórm fórmul ulas as bien forma formada dass que que se adoptan como punto de partida o fórmulas iniciales, las cuales se aceptan sin demostración. – Las regla reglass de inferen inferencia ciass son reglas reglas cuya cuya función función princi principal pal es la de generar generar nuevas fórmulas a partir de los axiomas. Son en general procedimientos para obtener fórmulas nuevas a partir de otras fórmulas y se denominan regla de transformación y es todo lo que se necesita si se adopta una concepción sintactista de los sistemas axiomáticos. – Una demos demostra tració ciónn es una secuenc secuencia ia de fórmula fórmulass bien forma formadas das donde donde cada una de ellas es o bien un axioma o bien se ha obtenido a partir de fórmulas anteriores mediante la aplicación de reglas de inferencias. – Un teor teorema ema es la últim últimaa fórmul fórmulaa de una una demost demostrac ración ión.. Propiedades de los Sistemas Axiomáticos
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1. Consistencia. Se pretende la exigencia de coherencia, es decir, que en un sistema axiomático no puede inferirse dos teoremas contradictorios a partir de los axiomas. ax iomas. Partiendo de los axiomas no debe ser posible deducir o demostrar un teorema y su negación. Es decir, el sistema no debe suponer contradicciones. Ejemplo: Si se deduce el teorema T en el sistema axiomático S, no puede inferirse también el teorema no-T en el mismo sistema.
Este requisito de consistencia es el más importante en lo que debe satisfacer un sistema axiomático. 2. Comp Complletit etitud ud..
Significa que no es posible añadir al sistema una fórmula bien formada que no sea teorema sin que el sistema se vuelva inconsistente. Se llama completo a un sistema S , si dada una fórmula bien formada f , de S , o esta fórmula o su negación (no-f ) es un teorema de S . Todo enunciado bien formulado que no sea deducible de sus axiomas tiene que esta estarr en cont contra radi dicci cción ón con con una tesi tesiss del del sist sistem ema. a. Es deci decir: r: Sea Sea L un Siste Sistema ma Axiomático cualquiera, es decidible o completo si y sólo si, dada una fórmula f cualquiera de dicho lenguaje L, hay un medio para averiguar con seguridad deductiva si f es verdadero o falso en L.
3. Inde Indepe pend nden enci cia. a.
Los axiomas o fórmulas iniciales del sistema son independientes cuando ninguno de ellos pueden ser teoremas en el mismo mismo sistema. Es decir, decir, ninguno ninguno de los axiomas pue puede de ser ser deduc deducid ido, o, demos demostr trad adoo a part partir ir de los los demá demás, s, cada cada axiom axiomaa debe debe ser ser independiente de los otros. TÉRMINOS PRIMITIVOS
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Un sistema axiomático está formado por un conjunto de conceptos primitivos y de axiomas. La Selección de conceptos primitivos y axiomas en la construcción de una ciencia es, en cierta manera arbitraria, y esa escogencia puede dar lugar a diferencias notables en la naturaleza de la ciencia que resulta. El axiomatismo moderno no sólo no acepta la evidencia de los axiomas de las teorías, sino tampoco la intuitividad de los términos básicos de las mismas: “punto”, “recta”, “plano”, etc., no tienen significado por sí mismos. Son conceptos indefinidos, que sólo cuando se combinan por medio de unos u otros axiomas comienzan a quedar implícitamente definidos. Establecidas unas reglas de inferencia lógica, a partir de los axiomas puede deducirse una serie de teoremas, pero durante esta fase deductiva nada tiene significado: el cálculo es pura sintaxis. Únicamente cuando, una vez derivadas las expresiones bien formadas que pueden inferirse de los axiomas y de los términos primitivo primitivoss (no definidos), definidos), se comienza comienza a buscar buscar interpreta interpretaciones ciones de dicho cálculo formal, los términos comienzan a adquirir significado y los axiomas pasan a ser verdaderos o falsos. Punto.
La idea de punto es fundamental en geometría. Todas las figuras son conjunto de puntos. puntos. El punto no tiene tamaño tamaño pero sirve para señalar una posición posición en el espacio. El punto es considerado una figura de dimensión cero. Entonces podemos resumir que el punto tiene las siguientes características: – Sól Sóloo tien tienee posic posición ión en el el espaci espacioo (ubic (ubicaci ación) ón) – No tien tienee dimens dimensión ión.. (Longi (Longitud tud,, anchur anchuraa y altu altura) ra) – La mar marca ca más más peque pequeña ña que que se pued puedee dibuj dibujar ar.. Se usa una marca para dibujar un punto y una letra latina mayúscula para nombrarlo. ●P Fig. 1 Este punto se llama punto P.
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Recta .
La recta tiene longitud pero ausencia de grosor, es indefinida en ambos sentidos. Es considerada una figura de dimensión uno. La recta, la menor distancia distancia que existe existe entre dos puntos. La recta geométrica se extiende sin límite en dos sentidos opuestos. Se denotan las rectas por dos de sus puntos mediante el símbolo:
Fig. 2 Esta recta se llama recta ℓ ó recta AB. Plano.
El plan planoo tiene iene longi ongitu tudd y anch ancho, o, per pero car carece ece de gros grosor or,, se ext extiende ende indefinidamente en todas las direcciones. Se considera como una figura de dimensión dos. Un plano se considera considera constituido constituido por un conjunto infinito infinito de puntos. puntos. Se denota el plano por cuatro de sus puntos y mediante el siguiente símbolo:
Fig. 3 El plano se nombra con una letra griega. Este plano se llama plano α. Espacio.
El conjunto de todos puntos se llama espacio. Relación de Puntos, Rectas y Planos.
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A B ℓ
Cuando se dice que un punto A está en la recta ℓ, describe una situación como el de la figura 4. También se puede decir “el punto A pertenece a la recta ℓ” o “el punto A es un elemento de la recta ℓ” o “la recta ℓ contiene el punto A” o “la recta ℓ pasa por el punto A”.
Fig. 4. Utilizando los términos no definidos de punto, recta y plano, se puede definir otros otros términ términos os geomét geométric ricos os como como lo son Pun Puntos tos Coline Colineale ales, s, Coplana Coplanares res,, Rectas Rectas Secantes, Rectas Concurrentes y Relación “Estar Entre”.
a) Puntos Colineales. Colineales. Tres Tres o más más punt puntos os se deno denomi mina nann coli coline neal ales es o alineados si todos pertenecen a la misma recta. C B A D
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Fig. 5. Los puntos A, B y C son colineales. Los puntos A, B y D no son colineales. b) Puntos Coplanares. Coplanares. Cuatro o más puntos se denominan Coplanares si todos pertenecen al mismo plano. Tres puntos siempre son Coplanares, es decir, pertenecen al mismo plano. A C
B D
Fig. 6. c) Rectas Secantes. Dos rectas en un plano se llaman secantes si tienen un punto en común. También se conocen como rectas que se cortan. Estos Estos pares Node sonrectas Secantes son secantes
Fig. 7. d) Rectas Concurrentes. Tres o más rectas en un plano se denominan concurrentes si tienen un punto en común.
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Estas rectas son concurrentes.
Estas rectas no son concurrentes. Fig. 8.
e) Relación “Estar entre”. Si los puntos colineales A, B y C están como se muestra en la figura 9, se dice que el punto B está entre los puntos A y C. Sí los puntos no son colineales no se utiliza la expresión estar entre para describir su relación. C B A
Fig. 9. POSTULADOS Y TEOREMAS DE LA RECTA, PLANO Y ESPACIO 1. Postulado de la Existencia de los Puntos. – Una recta recta contien contienee por por lo lo menos menos dos puntos puntos.. – Un plano plano conti contiene ene por por lo menos menos tres tres punt puntos os no colin colineal eales. es. – El espaci espacioo contien contienee por lo lo menos menos cuatro cuatro punt puntos os no Copl Coplana anares res..
Este postula sirve de base para asegurar que una recta tiene al menos dos puntos.
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Fig. 10. 1. Postulado del punto y la recta. Dos puntos distintos determinan una única recta.
Fig. 11. La recta que contiene los punto A y B se denota por AB, aquí la raya con dos puntas de flechas sobre la recta A y B. La notación sugiere que la recta se determina al nombrar los puntos A y B. 13
Definiciones. Para dos puntos cualesquiera A y B, el segmento AB es el conjunto de los puntos A y B, y de todos los puntos que está entre A y B. los puntos A y B se llaman los extremos de AB. Definición. El número AB se llama la longitud del segmento AB. 2. Post Postul ulad adoo del del pu punt ntoo y el Plan Plano. o. Tres Tres puntos puntos distin distintos tos no coline colineales ales determinan un único plano.
Fig. 12. 3. Postulado de puntos, rectas y planos. Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que ellos determinan está contenida en el plano.
Fig. 13. 4. Post Postul ulado ado de la in inte ters rsec ecci ción ón de plan planos os.. Si dos dos plan planos os se cort cortan an,, su intersección es una recta.
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Fig. 14. 5. Postulado de Separación del Plano. Se da una recta y un plano que la contiene. contiene. Los puntos del plano que no están en la recta forman dos conjuntos tales que: – Cada Cada uno uno de de los los con conju junt ntos os se se conv convexo exo,, y – Si P está está en uno uno de los los conjunt conjuntos os y Q en el otr otro, o, entonce entoncess el segme segmento ntoss PQ interseca a la recta. Dada una recta L y un plano E que la contiene, los dos conjuntos determinado determinadoss por el postulado postulado de separación separación del plano se llaman semiplanos semiplanos o lados de L, y L se llama la arista o el borde de cada uno de ellos. Si P está en uno de los semiplanos y Q está en el otro, entonces se dice que P y Q están a lados opuestos de L. El postulado nos dice dos cosas acerca del modo que una recta separa al plano en semiplanos. – Si dos dos puntos puntos están están en en el mismo mismo semiplan semiplano, o, entonces entonces el el segmento segmento que los los une está en el mismo semiplano y, por tanto, nunca interseca a la recta. – Si dos punt puntos os están están en semip semiplan lanos os opuesto opuestos, s, entonc entonces es el segmen segmento to que une los dos puntos siempre interseca a la recta. – Un plano plano separ separaa al espaci espacioo exactame exactamente nte del mism mismoo modo que que una recta recta separa a un plano. Definición.
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1. Postulado de separación del espacio. Los puntos del espacio que no están en un plano dado forman dos conjuntos tales que – Cada Cada uno uno de de los los con conju junt ntos os es es conv convexo exo,, y – Si P est está en uno uno de los los conj conjun unttos y Q est está en el otro otro,, ent entonce oncess el segmento PQ interseca al plano. Los dos conjuntos determinados por el postulado de separación del espacio se llaman semiespacio, y el plano dado se llama la cara de cada uno de ellos. Definición.
i. Teorema 1. Todo segmento tiene exactamente un punto medio. Interes eresaa obt obtener ener un punt puntoo que que sati satisf sfag agaa las sigu siguiiente entess Demostración. Int condiciones: AB+BC=AC,AB=BC Las dos ecuaciones dicen que AB=AC2 Por el teorema, hay exactamente exactamente un punto B del rayo AC que está a la distancia distancia AC2 de A. por consiguiente, AC tiene exactamente un punto medio. Definición. Decimos que el punto medio de un segmento biseca al segmento.
ii. Teorem Teoremaa 2. Si dos rectas rectas difere diferente ntess se inters intersecan ecan,, su inters intersecci ección ón contiene un punto solamente. Si dos rectas diferentes se intersecaran en dos puntos diferentes P y Q, entonces entonces habría dos rectas que contienen contienen a los puntos P y Q. Pero, el postulado postulado de la recta nos dice que esto no puede suceder. De ahor ahoraa en adel adelan ante te,, siem siempr pree que que se hable hable de dos dos rect rectas as,, o dos dos plan planos os,, entenderemos que las rectas o los planos son distintos. Es decir, cuando hablamos de dos cosas, se entenderá siempre que son en realidad, dos cosas distintas. Pero, si se dice simplemente que P y Q son puntos, se admite la posibilidad de que P = Q. Demostración.
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iii. Teorema 3. Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersección contiene un solo punto. iv. Teorema Teorema 4. Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que contiene ambos. v. Teorema 5. Dada dos rectas que se intersecan, hay exactamente un plano que las contiene. CONT CONTEN ENID IDO OS DE GEO GEOMETR METRÍA ÍA EN EDU EDUCACI CACIÓN ÓN PRIM PRIMAR ARIA IA Y SECUNDARIA. Primaria. •
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Figuras Planas Identificación, descripción y construcción del círculo, el rectángulo, el cuadrado y el triángulo Identificación de los elementos básicos que componen cada figura. Resolución de problemas sencillos en base al área de un rectángulo. Identificación, descripción y diseño básico de figuras tridimensionales: el cubo, el prisma rectangular, la pirámide, el e l cono, el cilindro y la esfera. Desarrollo de patrones geométricos. Noción de recta y un punto. Identificación de una línea y un punto, trazado de líneas a partir de unos puntos. Identificación y graficación de líneas cerradas y abiertas. Identificación de la posición de un objeto con respecto a otro. Elaboración de posiciones y desplazamiento de objetos en ejes, cruces filas y columnas con ayuda de instrumentos geométricos.
Secundaria.
Segundo Año.
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La astronomía y la ingeniería y su vinculación con los polígonos, sus propiedades, clasificación de los polígonos según sus lados: triángulos, clasificación, semejanzas y desigualdad triangular; cuadriláteros, entre otros. Circunferencia y círculo. Polígonos inscrito en la circunferencia. Tercer Año. Estudios de patrones, formas y diseños ambientales. Crit Criter erio ioss de congr congrue uenci ncias as y seme semeja janz nzas as:: comp compar arac acio iones nes de •
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triángulos, el teorema de Pitágoras, Euclides, Thales y proporción. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Identidades
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fundamentales. Medidas de ángulos. Razones trigonométricas de ángulos notables. Teorema del seno y coseno. Aplicaciones a: triangulaciones de terrenos, cálculo de distancia, estimación de altura de edificaciones o de objetos celestes, entre otros. Comprensión del espacio geográfico a través de las regiones
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poligo poligonal nales, es, períme perímetro tro,, semipe semiperím rímetr etroo (área, (área, adició adiciónn de áreas, áreas, áreas de triángulos y cuadriláteros). Superficies esféricas en el universo: definición y propiedades.
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Construcciones con regla y compás (circunscribir e inscribir una
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circunferencia en un triángulo dado). Postula ulados de las dos circunferenci ncias, longitud de la
circunferencia, el número Pi. El círculo y área. Cuarto Año. Mención Ciencias Naturales Ciencias Sociales.. Estudios de patrones, formas y diseños ambientales. La cir circunf cunfer eren enci ciaa trigon igonom omét étri rica ca:: medi medida dass •
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de
ángu ángullo.
Circunferen Circunferencia cia trigonomét trigonométrica. rica. Razones trigonomét trigonométricas ricas de un arco o ángulo. Reducción de un ángulo al primer cuadrante. Ángu Ángulo loss que que ti tien enen en en comú comúnn una una razó razónn trig trigon onom omét étri rica ca.. Relaci Relaciones ones entre entre razone razoness trigo trigonom nométr étrica icass de un ángulo ángulo.. Seno, Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de dos ángulos. Seno, coseno y tangente de un ángulo doble y un ángulo medio. Quinto Año. Mención Ciencias Naturales. 18
•
Estudios de patrones, formas y diseños ambientales. Análisis de las cónicas a partir de situaciones reales (movimientos ○
de los los plan planet etas as,, comet cometas as,, entr entree otro otros) s):: elip elipse ses, s, hipér hipérbo bola lass y parábolas. Circunferencia como caso particular de la elipse.
CONCLUSIONES La Geometría nace a partir de la necesidad de efectuar medidas de objetos o extensiones de tierra, entonces el hombre comienza a crear abstracciones como el punto, la recta y el plano, dando sentido a las formas que a diario el hombre observa y permite hacer las representaciones simbólicas simbólicas que utiliza para referirse referirse a ellas. Los Los cono conoci cimi mien ento toss desa desarr rrol olla lado doss por por los los babi babilo loni nios os y egip egipci cios os fuer fueron on transmitidos a los griegos quienes desarrollaron la Geometría como una ciencia lógica y fueron responsables de la demostración de muchos teoremas. Los sistemas axiomáticos consisten en aceptar sin pruebas proposiciones para formar otras que sí deben ser demostradas. Un sistema axiomático está formado por un conjunto de conceptos primitivos y de axiomas.
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El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados, postulados, y en deri deriva varr lueg luegoo de esos esos axio axioma mass toda todass las las demá demáss proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los bases del sistema. Caract Caracteri erizán zándos dosee por poder poder demost demostrar rar de alguna alguna manera manera la verdad verdad de los axio axioma mas, s, y así así queda quedann auto automá máti tica came ment ntee gara garant ntiz izad adas as tant tantoo la verd verdad ad como como la consistencia mutua de todos los teoremas. Los sistemas axiomáticos evitan definirlo todo y adopta una serie de conceptos “primitivos” que no se define por sí solos. Se puede decir entonces que los axiomas no “definen” unos entes concretos, unos conceptos “primitivos” concretos, sino toda una serie de entes o de conceptos primitivos. Existen dos tipos de sistemas axiomáticos Sintácticos. (Cálculos o sistemas no interpretados), que se caracterizan por el hecho de que sus expresiones carecen de significado, están compuestos por fórmulas entendidas como meras sucesiones de signos. Semánticos. ( Interpretados) Interpretados) los cuales están formados por enunciados. Las propiedades de los sistemas axiomáticos son: La cons consis iste tenci nciaa que que exige exige la cohe cohere renc ncia ia,, es decir decir,, que que no se puede puedenn hace hacer r inferencias en dos teoremas contradictorios. La completitud que significa que no es posible añadir al sistema una fórmula bien formada que no sea teorema sin que el sistema se vuelva inconsistente. La ind indepen ependenc dencia ia signif significa ica que nin ningun gunoo de los axioma axiomass puede puede ser deducid deducido, o, demostrado a partir de los demás, cada axioma debe ser independiente de los otros. Un sistema axiomático está formado por un conjunto de conceptos primitivos (punto, recta y plano) y de axiomas. La Selección de conceptos primitivos y axiomas en la construcción de una ciencia es, en cierta manera arbitraria, y esa escogencia puede dar lugar a diferencias notables en la naturaleza de la ciencia que resulta.
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