Trabajo Encargado Econometria Ori

Universidad Nacional del Altiplano

Escuela Profesional de Ingeniería Económica

TRABAJO ENCARGADO ECONOMETRIA EJERCICIO 1 La tabla proporciona datos sobre el salario promedio de un maestro de escuela pública (el sueldo anual está en dólares) y el gasto en educación pública por alumno (dólares) para 1985 en los 50 estados y el Distrito de Columbia en Estados Unidos. A fin de averiguar si existe alguna relación entre el salario del maestro y el gasto por alumno en las escuelas públicas, se sugirió el siguiente modelo: Sueldo = β1 + β2 Gasto + µi , donde la variable Sueldo es salario del maestro y la variable Gasto significa gasto por alumno. GASTO PROMEDIO Y GASTO PROMEDIO POR ALUMNO (DÓLARES), 1985 Observación Salario Gasto 1 19583 3346 2 20263 3114 3 20325 3554 4 26800 3642 5 29470 4669 6 26610 4888 7 30678 5710 8 27170 5536 9 25853 4168 10 24500 3547 11 24274 3159 12 27170 3621 13 30168 3782 14 26525 4247 15 27360 3982 16 21690 3568 17 21974 3155 18 20816 3059 19 18095 2967 20 20939 3285 21 22644 3914 22 24624 4517 23 27186 4349 24 33990 5020 25 23382 3594

GASTO PROMEDIO Y GASTO PROMEDIO POR ALUMNO (DÓLARES), 1985 Observación Salario Gasto 26 20627 2821 27 22795 3366 28 21570 2920 29 22080 2980 30 22250 3731 31 20940 2853 32 21800 2533 33 22934 2729 34 18443 2305 35 19538 2642 36 20460 3124 37 21419 2752 38 25160 3429 39 22482 3947 40 20969 2509 41 27224 5440 42 25892 4042 43 22644 3402 44 24640 2829 45 22341 2297 46 25610 2932 47 26015 3705 48 25788 4123 49 29132 3608 50 41480 8349 51 25845 3766

1



a) Grafique los datos y trace la recta de regresión.

Gráfico de los residuales 6000 4000

Residuos

2000 0

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

7000

8000

9000

-2000 -4000 -6000

Gasto

Curva de regresión ajustada 45000 y = 3.318x + 12156

40000 35000

Salario

30000 25000

20000 15000 10000 5000

0 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Gasto Salario

Pronóstico para el Salario

2

Lineal (Pronóstico para el Salario)



b) Cuáles son los estimados de los parámetros, R cuadrado, SCR y la SCE. Interprete. Beta 1 Beta 2 Sigma ^2 Sigma Var (Beta 1) Var (Beta 2) ee (Beta 1) ee (Beta 2)

12156.09418 3.317955265 5531135.027 2351.836522 1475207.481 0.101088801 1214.581196 0.317944651

R^2 R SCR SCE SCT

0.689682 0.83047

271025616.32 602354648.3 873380264.63

Nuestro modelo resultaría de la siguiente forma: Sueldo = 12156.09418 + 3.317955265 Gasto + µi Interpretación: 

β ̂1 es la pendiente de la línea de regresión, que indica que si el Gasto en el que los estudiantes estadounidenses incurren durante su formación es nulo, el salario promedio de los maestros sería de 12156.09 dólares



R^2 o el coeficiente de determinación, nos muestra que tan cerca están los valores de y estimados a sus valores observados el valor de este estimador es 0.689682, explica que a un 68.9% el salario de los maestros es explicado por el gasto que realizan los alumnos, el coeficiente de determinación es un valor promedio, entonces no se puede decir que exista un grado de precisión alto



β ̂2 es la pendiente de la línea de regresión, que indica que cuando el gasto de los alumnos estadounidenses en su educación varía en un dólar , el salario promedio de los maestros varía en 3.317955

c) Interprete la regresión. ¿Tiene sentido económico? De acuerdo con el modelo dado, el salario promedio de un maestro de escuela pública está en función y depende del gasto en educación pública por alumno, la información con la que se trabaja es de corte transversal, es una regresión que muestra una relación directa entre el gasto en educación pública por alumno y el salario de los docentes, si el gasto por alumno se incrementa en un dólar, el sueldo anual de los profesores aumenta en promedio en 3.31 dólares. Por otra parte, si el gasto por alumno es cero, el sueldo promedio anual de los profesores es aproximadamente de 12156.09418 dólares Se podría decir que no tiene mucho sentido económico este modelo ya que se trata de educación pública, podría ser aplicable si se trataba de educación privada, ya que en el caso de la educación pública los salarios los cubre el gobierno y no los estudiantes

3



d) Establezca un intervalo de confianza del 95% para beta 2. ¿Se rechazaría la hipótesis de que el verdadero coeficiente de la pendiente es 3? Utilizaremos la siguiente formula: ̂2 − 𝑡 ̂2 ) ≤ 𝛽2 ≤ 𝛽 ̂2 + 𝑡 ̂2 ) = 1 − 𝛼 𝛼 ∗ 𝑒𝑒(𝛽 𝛼 ∗ 𝑒𝑒(𝛽 Pr⁡(𝛽 𝑛−2, 𝑛−2, 2

2

Reemplazando: Pr⁡( 3.317955265 − 2.0096⁡ ∗ 0.317944651 ≤ 𝛽2 ≤ 3.317955265 + 2.0096⁡ ∗ 0.317944651 = 95% Pr⁡(2.679013693 ≤ 𝛽2 ≤ 3.956896836 = 95%

Para 𝛽2 el I. de C. al 95% es (2.679013693; 3.956896836) por lo que no se podría rechazar la hipótesis de que la pendiente sea 3, ya que dicho valor se encuentra comprendido en el intervalo de confianza de 95% e) Halle el estadístico F e interprete. 𝐹𝐶 = 108.9025391 𝐹𝑡 = 4.038392634 Debido a que 𝐹𝐶 > 𝐹𝑡 se recha la Hipótesis nula de que 𝛽2 = 0 f) Obtenga el valor individual pronosticado y la media del sueldo, si el gasto por alumno es de 5000 dólares. También establezca los intervalos de confianza del 95% para la verdadera media y el verdadero valor individual del sueldo, para la cifra correspondiente al gasto dada antes. Sabemos que el Sueldo = β1 + β2 Gasto. De esta manera, se tiene que con un gasto de 5000 dólares el sueldo anual promedio gira alrededor de 28745.8705 Para el pronóstico individual y medio calculamos entonces los errores estándar correspondientes para un gasto de 5000 dólares, y enseguida su I.de C. correspondiente al 95% de confianza. Pronostico Medio

Pronostico Individual

Liminf LimSup 22184.4 24331.54 Liminf Limsup 18411.32 28104.62

Como se puede apreciar el I. de C. de la predicción media es más reducido que el I. de C. de la predicción individual (el ancho del primero es 2147.14 mientras que el del segundo es de 9693.3). g) Halle y represente gráficamente el intervalo o la banda de confianza para la regresión encontrada y el valor individual.

4


X 3346 3114 3554 3642 4669 4888 5710 5536 4168 3547 3159 3621 3782 4247 3982 3568 3155 3059 2967 3285 3914 4517 4349 5020 3594 2821 3366 2920 2980 3731 2853 2533 2729 2305 2642 3124 2752 3429 3947 2509 5440 4042 3402 2829 2297 2932 3705 4123 3608 8349 3766

Yest 23257.9725 22488.2069 23948.1072 24240.0873 27647.6273 28374.2595 31101.6187 30524.2945 25985.3317 23924.8815 22637.5149 24170.4102 24704.601 26247.4502 25368.192 23994.5586 22624.243 22305.7193 22000.4674 23055.5772 25142.5711 27143.2981 26585.8816 28812.2296 24080.8254 21516.046 23324.3316 21844.5236 22043.6009 24535.3853 21622.2205 20560.4749 21210.7941 19803.9811 20922.132 22521.3864 21287.1071 23533.3628 25252.0636 20480.8439 30205.7708 25567.2694 23443.778 21542.5896 19777.4374 21884.339 24449.1184 25836.0237 24127.2768 39857.7027 24651.5137


Liminf 22563.19 21734.95 23281.65 23577.9 26731.26 27356.08 29643.78 29164.57 25252.93 23257.88 21897.56 23507.64 24039.4 25492.05 24678.29 23329.1 21883.14 21535.06 21198.1 22347.96 24463.66 26291.21 25796.99 27728.57 23416.9 20657.49 22633.34 21024.81 21245.9 23872.68 20776.54 19574.43 20313.64 18705.59 19986.55 21771.16 20399.81 22852.85 24568.14 19483.38 28899.29 24865.57 22759.04 20687.28 18674.96 21069.12 23787.07 25115.47 23464 36800.09 23987.27

Limsup 23952.7509 23241.4602 24614.5646 24902.2724 28563.9949 29392.4397 32559.4622 31884.015 26717.7316 24591.8811 23377.4685 24833.1842 25369.8002 27002.8497 26058.0951 24660.0204 23365.3434 23076.3737 22802.8303 23763.1943 25821.4819 27995.3825 27374.7711 29895.8911 24744.7543 22374.6064 24015.3273 22664.2395 22841.2968 25198.0915 22467.9029 21546.5153 22107.9461 20902.3733 21857.7135 23271.6094 22174.4035 24213.8758 25935.9863 21478.305 31512.2499 26268.9657 24128.5135 22397.9028 20879.9135 22699.5544 25111.1677 26556.5762 24790.5511 42915.3194 25315.7598

5

LIMINF 18480.9271 17609.9042 19082.9446 19375.5308 22740.4088 23446.2342 26060.1415 25511.3866 21110.3294 19059.6417 17761.3275 19305.7704 19839.6173 21368.8028 20499.635 19129.5375 17747.8748 17424.5936 17114.0362 18184.3794 20275.6198 22248.1291 21701.7302 23869.717 19216.022 16619.7015 18455.6135 16955.1007 17157.9635 19670.7551 16728.2052 15639.2446 16307.2661 14858.0911 16011.148 17643.569 16385.4426 18666.179 20384.3833 15557.223 25207.5952 20696.9614 18575.979 16646.8356 14830.6035 16995.698 19584.5812 20962.8561 19262.5661 34119.9471 19786.6653

LIMSUP 28035.0179 27366.5095 28813.2698 29104.6437 32554.8458 33302.2848 36143.096 35537.2025 30860.334 28790.1213 27513.7022 29035.05 29569.5847 31126.0976 30236.7491 28859.5796 27500.6113 27186.845 26886.8987 27926.7751 30009.5224 32038.4671 31470.0331 33754.7422 28945.6288 26412.3905 28193.0497 26733.9464 26929.2382 29400.0155 26516.2359 25481.7051 26114.3221 24749.871 25833.116 27399.2039 26188.7715 28400.5465 30119.7439 25404.4649 35203.9465 30437.5773 28311.577 26438.3436 24724.2713 26772.98 29313.6557 30709.1914 28991.9874 45595.4583 29516.3621



Prediccion media 50000 45000

40000 35000 30000

25000 20000 15000

10000 5000 0 0

1000

2000

3000

4000 Yest

5000 Liminf

6000

7000

8000

9000

7000 LIMSUP

8000

9000

Limsup

50000 45000 40000

35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0

0

1000

2000 Yest

3000 Liminf

4000Limsup 5000

6000 LIMINF

h) ¿Cómo se probaría la suposición de la normalidad del término de error? Muestre la(s) prueba(s) utilizada(s). 6



Para probar la normalidad de los errores en este caso utilizaremos el Jarque Bera y el histograma de residuos

EJERCICIO 2 En un modelo de regresión lineal simple, ¿qué efecto tiene cambios en las unidades de medición de la variable dependiente y/o variable independiente sobre los estimadores (coeficientes y varianzas), así como también sobre el coeficiente de determinación? Demuestre y analice el resultado final correspondiente. Un modelo de regresión lineal simple posee la siguiente forma 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢 𝑖

Donde: 

𝑌𝑖 : Variable que se quiere predecir, también llamada variable dependiente de respuesta, predicha, endógena, etc



𝛽1 : También llamado intercepto y es uno de los coeficientes de la regresión



𝛽2 : Es la pendiente y es uno de los coeficientes de la regresión



𝑋𝑖 : Variable que causa el cambio en la variable Y, también llamado variable independiente, explicativa, predictoria, exógena, regresora, etc



𝑢 𝑖: Es el término de perturbación y/o error. 7



Sabemos que para calcular los coeficientes de la regresión o las varianzas se usa las siguiente formulas ̂𝟐 = 𝛃

∑ 𝐱 𝐢 𝐲𝐢

𝐕𝐚𝐫(𝛃̂ 𝟏) =

∑ 𝐱𝐢𝟐

̂𝟏 = 𝐘̅ − 𝛃 ̂𝟐 𝐗 ̅ 𝛃 𝐕𝐚𝐫(𝛃̂ 𝟐) =

𝛔𝟐 ∑ 𝐗 𝐢 𝐧 ∑ 𝐱𝐢𝟐 2

( ∑ 𝑥 𝑖 𝑦𝑖 ) 𝑅 = ∑ 𝑥 𝑖 2 ∑ 𝑦𝑖 2 2

𝛔𝟐 ∑ 𝐱𝐢𝟐

Un cambio en la variable dependiente (Y) o variable independiente (X) en su unidad de medición Por ejemplo: de soles a dólares provocaría una disminución a la sumatoria y/o promedio debido a que son cantidades son mucho menores a las iniciales, este efecto se transmite directamente a los coeficientes de la regresión y estadísticos usuales en la regresión. Lo anterior mencionado lo explicaremos con un ejercicio Primer caso Unidades monetarias en soles N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X Y 1000 1200 2500 3000 3000 4000 2000 2400 1000 1800 800 1200 1500 1800 1250 1900 1800 2000 1400 2100 SUMA 16250 21400 PROMEDIO 1625 2140 Segundo caso Unidades monetarias en miles N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SUMA PROMEDIO

X 1 2.5 3 2 1 0.8 1.5 1.25 1.8 1.4 16.25 1.625

Y 1.2 3 4 2.4 1.8 1.2 1.8 1.9 2 2.1 21.4 2.14

Beta 1 Beta 2 Beta 1 ^2 Sigma Beta 2 Sigma Sigma ^2 1) Var (Beta Sigma Var (Beta 2) Var ee (Beta (Beta1) 1) Var (Beta 2) ee (Beta 2) ee (Beta 1) ee (Beta 2)

de soles

Beta 1 Beta 2 Sigma ^2 Sigma Var (Beta 1) Var (Beta 2) ee (Beta 1) ee (Beta 2)

8

296.7973311 1.134278565 296.7973311 69897.41451 1.134278565 264.3811917 19970.68986 48040.14127 141.3176913 0.015545714 4575.25155 219.1806134 0.004441632 0.124682451 67.64060578 0.066645573

0.296797331 1.134278565 0.069897415 0.264381192 0.048040141 0.015545714 0.219180613 0.124682451



Interpretación: 

B1, su varianza y su error sufrió una reducción en la misma proporción que redujeron las variables “X” y “Y”



B2, su varianza y su error se mantiene por lo que ambos tienen la misma pendiente

Gráficamente

Miles de soles

Soles 4500

4.5

4000

4 3.5

3500

Y

Y

3

3000

Y

2.5 2500

Pronóstico para Y

2000

Pronóstico para Y

2 1.5

1500

Lineal (Pronóstic o para Y)

1000

Lineal (Pronóstic o para Y)

1 0.5

500

0 0

0 0

2000

2

4

Variable X 1

4000

EJERCICIO 3 Ajuste el siguiente modelo a los datos adjuntos, obtenga las estadísticas usuales de regresión e interprete los resultados: 100

1 = 𝛽1 + 𝛽2 ( ) 100 − 𝑌𝑖 𝑋𝑖

𝒀𝒊 𝑿𝒊

86 3

79 7

76 12

69 17

65 25

62 35

Linealizando nuestro modelo obtenemos 𝑌̇𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖̇

Donde: 𝑌̇𝑖 =

100 100 − 𝑌𝑖

1 𝑋𝑖̇ = ( ) 𝑋𝑖

9

52 45

51 55

51 70

48 120


Beta 1 Beta 2 Sigma ^2 Sigma Var (Beta 1) Var (Beta 2) ee (Beta 1) ee (Beta 2)


2.067527556 16.26622663 0.156164378 0.395176388 0.025463062 1.750782449 0.159571495 1.32317136

R^2 R SCR SCE SCT

0.949726 0.97

1.25 23.60062086 24.85

Nuestro modelo resultaría de la siguiente forma: 100 1 ⁡ = 2.067527556 + 16.26622663 ( ) 100 − 𝑌𝑖 𝑋𝑖

EJERCICIO 4 Para estudiar la relación entre tasa de inversión (el gasto en inversión como razón del PNB) y la tasa de ahorro (el ahorro como razón del PNB), Martin Feldstein y Charles Horioka recopilaron datos para una muestra de 21 países. (Véase la tabla) La tasa de inversión de cada país es la tasa promedio correspondiente al periodo 1960-1974, y la tasa de ahorro es la tasa de ahorro promedio para el periodo 1960-1974. La variable TASINV representa la tasa de inversión, y la variable TASAHO, la tasa de ahorro. Alemania Australia Austria Bélgica Canadá Dinamarca España Estados Unidos Finlandia Francia Grecia Irlanda Italia Japón Luxemburgo Noruega Nueva Zelanda Países Bajos Reino Unido Suecia

TASAHO 0.271 0.250 0.285 0.235 0.219 0.202 0.235 0.186 0.288 0.254 0.219 0.190 0.235 0.372 0.313 0.278 0.232 0.273 0.184 0.241 10

TASINV 0.264 0.270 0.282 0.224 0.231 0.224 0.241 0.186 0.305 0.260 0.248 0.218 0.224 0.368 0.277 0.299 0.249 0.266 0.192 0.242

Nota: TASAHO = Ahorro como razón del P IB. TASINV = Gasto en inversión como razón del P IB.



Suiza

0.297

0.297

a) Grafique la tasa de inversión contra la tasa de ahorro.

Tasa de inversion y Tasa de ahorro 0.4

0.3 0.2

Suiza

Suecia

Países Bajos

Reino Unido

Nueva…

Noruega

Luxemburgo

Japón

Italia

Grecia

TASAHO

Irlanda

Francia

Finlandia

España

Canadá

Dinamarca

Bélgica

Austria

Australia

Alemania

0

Estados…

0.1

TASINV

b) Con base en esta gráfica, ¿considera que los siguientes modelos puedan ajustarse a los datos igualmente bien? 

Tasinvi = β1 + β2Tasahoi + ui

Regresion lineal 0.4 0.35

0.3 0.25 0.2 0.15

0.1 0.05 0 0



0.05

0.1

0.15

0.2

ln Tasinvi = α1 + α2 ln Tasahoi + ui

11

0.25

0.3

0.35

0.4



Regresion Logaritmica 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2

0.15 0.1 0.05 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

De acuerdo a la gráficos mostrados anteriormente ambos modelos pueden ser utilizados; ya que los errores están cerca de la línea de regresión c) Estime estos dos modelos y obtenga las estadísticas habituales. 

Tasinvi = β1 + β2Tasahoi + ui Beta 1 Beta 2 Sigma ^2 Sigma Var (Beta 1) Var (Beta 2) ee (Beta 1) ee (Beta 2)

0.043519488 0.846756182 0.000205693 0.014342017 0.000310808 0.004799738 0.017629746 0.06928014

R^2 SCR SCE SCT=

0.88716156

0.0039082 0.030726967 0.034635

Nuestro modelo resultaría de la siguiente forma: Tasinvi = 0.043519488 + 0.846756182*Tasahoi + ui 

ln Tasinvi = α1 + α2 ln Tasahoi + ui

En este caso tenemos que linealizar nuestro modelo Dónde: ln Tasinvi = 𝑌𝑖̇ ln Tasahoi = 𝑋̇𝑖 𝑌̇𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖̇

Beta 1 Beta 2 Sigma ^2 Sigma Var (Beta 1)

-0.215907516 0.828807443 0.003184268 0.056429321 0.009718791 12

R^2 SCR SCE SCT=

0.88109170

0.0605011 0.448303549 0.508805



Var (Beta 2) 0.004879157 ee (Beta 1) 0.098583928 ee (Beta 2) 0.06985096 Nuestro modelo resultaría de la siguiente forma: ln Tasinvi =-0.215907516 + 0.828807443ln Tasahoi + ui d ) ¿Cómo interpretaría el coeficiente de la pendiente en el modelo lineal? ¿Y en el modelo log-lineal? ¿Hay alguna diferencia en la interpretación de estos coeficientes? Sabemos que la pendiente es B2: 

En el modelo lineal es: 0.846756182 Indica que a medida que Tasaho se incrementa en 1 % la Tasinvi se incrementara en 0.85 %



En el modelo log-lineal es: 0.828807443 Similar que el anterior un aumento Tasaho en 1 % la Tasinvi se incrementara en 0.82 %

En el modelo lineal tiene más pendiente a comparación del modelo log-lineal e) ¿Cómo interpretaría los interceptos de los dos modelos? ¿Hay alguna diferencia en la interpretación? El intercepto viene a ser representado por B1: 

En el modelo lineal es: 0.043519488 Nos indica que cuando la Tasaho es nula la Tasinvi podría mantenerse en 0.04 %



En el modelo log-lineal es: -0.215907516 Cuando la Tasaho es cero la Tasinvi seria negativa

f ) ¿Compararía los dos coeficientes R 2? ¿Por qué? Si, porque dicho ceficiente nos permite saber que tan bien se ajusta la recta de regresión a los datos, de esta manera obtuvimos lo siguiente En el modelo lineal es: 0.88716156 En el modelo log-lineal es: 0.881091696 En este caso la diferencia es mínima podemos concluir que ambos modelos tienen alto grado de precisión y cualquiera de ellos puede ser aplicado, esto ya queda a manos del investigador. g) Suponga que desea calcular la elasticidad de la tasa de inversión respecto de la tasa de ahorro. ¿Cómo obtendría esta elasticidad para el modelo lineal? ¿Y para el modelo loglineal? Tenga en cuenta que esta 13



elasticidad se define como el cambio porcentual de la tasa de inversión correspondiente a un cambio porcentual en la tasa de ahorro. 

Elasticidad en el modelo lineal es: En este caso la elasticidad es variable, cambia de dato en dato. = 𝛃𝟐

𝐗𝒊 𝐘𝒊

Como ejemplo tomaremos para los dos primeros datos = 𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟖𝟎𝟕𝟒𝟒𝟑 ∗

𝟎. 𝟐𝟕𝟏 𝟎. 𝟐𝟔𝟒

-0.221632336 Si la TASAHO se inrementa en 1% la TASINV reduce en un 22% Y asi sucesivamente podemos estar hallando la elasticidad según los datos que necesitemos 

Elasticidad en el modelo log-lineal es: En este modelo la elasticidad es fija para todos que viene a ser representada por la pendiente de la recta 𝛃𝟐 Entonces la elasticidad seria: 𝛃𝟐 ⁡𝟎. 𝟖𝟐𝟖𝟖𝟎𝟕𝟒𝟒𝟑 Si la TASAHO se inrementa en 1% la TASINV reduce en un 82% cualquiera sea la TASAHO

h) Con los resultados de los dos modelos de regresión, ¿qué modelo preferiría? ¿Por qué? Ambos modelos tienen alto grado de precisión, por lo que los dos pueden ser utilizados, en lo personal prefiero el modelo lineal, ya que no es necesario transformar, como lo requiere el modelo Doble Logaritmico,

EJERCICIO 5 Para medir la elasticidad de sustitución entre los insumos de capital y de trabajo, Arrow, Chenery, Minhas y Solow, los autores de la ahora famosa función de producción CES (elasticidad de sustitución constante), utilizaron el siguiente modelo: log (V/L) = log β1 + β2 log W + u donde: V/L = valor agregado por unidad de trabajo L = insumo trabajo W = tasa de salario real

14



El coeficiente β2 mide la elasticidad de sustitución entre trabajo y capital (es decir el cambio proporcional en las proporciones de los factores ante un cambio proporcional en los precios relativos de los factores). De la información dada en la siguiente tabla, estime el valor de la elasticidad de sustitución y contraste la hipótesis de que esta no es estadísticamente diferente de 1. Industria Harina de trigo Azúcar Pinturas y barnices Cemento Vidrio y sus manufacturas Cerámica Triplex Textiles de algodón Textiles de lana Textiles de yute Químicos Aluminio Hierro y Acero Bicicletas Máquinas de coser

Log (V/L) 3.6973 3.4795 4.0004 3.6609 3.2321 3.3418 3.4308 3.3158 3.5062 3.2352 3.8823 3.7309 3.7716 3.6601 3.7554

Log W 2.9617 2.8532 3.1158 3.0371 2.8727 2.9745 2.8287 3.0888 3.0086 2.9680 3.0909 3.0881 3.2256 3.1025 3.1354

Fuente: Damodar Gujarati “A test of ACMS Production Function: Indian Industries, 1958” Indian Journal of Industrial Relations, vol 2 july 1966.

Beta 1 Beta 2 Sigma ^2 Sigma Var (Beta 1) Var (Beta 2) ee (Beta 1) ee (Beta 2) T tabla

0.63597259 1.333785291 0.03601885 0.189786329 1.826494102 0.199546553 1.351478487 0.446706339 2.0096

R^2 SCR SCE SCT=

0.40680248

0.468245 0.321112688 0.79

La elasticidad de sustitución es: 1.333785291 Seguidamente se contrastara la hipótesis de que esta no es estadísticamente diferente de 1, utilizando la siguiente formula ̂2 − 𝑡 ̂2 ) ≤ 𝛽2 ≤ 𝛽 ̂2 + 𝑡 ̂2 ) = 1 − 𝛼 𝛼 ∗ 𝑒𝑒(𝛽 𝛼 ∗ 𝑒𝑒(𝛽 Pr⁡(𝛽 𝑛−2, 𝑛−2, 2

2

Reemplazando: Pr⁡( 1.333785291 − 2.1604⁡ ∗ 0.446706339 ≤ 𝛽2 ≤ 1.333785291 + 2.1604⁡ ∗ 0.44670633) = 95%

Pr⁡(0.368720916 ≤ 𝛽2 ≤ 2.298849666) = 95%

15



Para 𝛽2 el I. de C. al 95% es (0.368720916; 2.298849666) por lo que no se podría rechazar la hipótesis de que la elasticidad sea 1, ya que dicho valor se encuentra comprendido en el intervalo de confianza de 95%

EJERCICIO 6 La tabla siguiente presenta información sobre los deflactores del PIB (producto interno bruto) para los bienes domésticos y para los bienes importados de Singapur durante el periodo 1968-1982. El deflactor del PIB es utilizado frecuentemente como un indicador de la inflación en lugar del IPC. Singapur es una economía pequeña, abierta y muy dependiente del comercio exterior para su supervivencia. Para estudiar la relación entre los precios domésticos y los mundiales, se dan los siguientes modelos: 1. 𝑌𝑡 = ⁡ 𝛼1 + 𝛼2 𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 2. 𝑌𝑡 = ⁡ 𝛽2 𝑋𝑡 + 𝑢𝑡

Donde Y = deflactor PIB para bienes domésticos y X = deflactor PIB para importaciones. AÑO Y X 1968 1000 1000 1969 1023 1042 1970 1040 1092 1971 1087 1105 1972 1146 1110 1973 1285 1257 1974 1485 1749 1975 1521 1770 1976 1543 1889 1977 1567 1974 1978 1592 2015 1979 1714 2260 1980 1841 2621 1981 1959 2777 1982 2033 2735 Fuente: Colin Simkin “Does money matter in Singpore?” The Singapore Economic Review, vol XXXIX no. 1 april 1984, page 8.

a)

¿Cómo se escogería, a priori, entre los dos modelos?

Un modelo de regresión sin intercepto dicho que el primer valor de X da como resultado al mismo valor en Y (1000.1000) entonces a priori optaría el modelo lineal sin intercepto

16



Dispercion de los datos 2500 2000 1500 1000 500 0 0

b)

500

1000

1500

2000

2500

3000

Ajústense ambos modelos a los datos y decida cuál se ajusta mejor.

Modelo lineal con intercepto Beta 1 Beta 2 Sigma ^2 Sigma Var (Beta 1) Var (Beta 2) ee (Beta 1) ee (Beta 2)

516.0898305 0.533969258 2717.714441 52.13170284 1645.366039 0.000472827 40.5631118 0.021744585

R^2 SCR SCE SCT=

0.97889672

35330.29 1638830.646 1674160.93

Modelo lineal con intercepto 2500 2000 1500

Y

Y

1000

Pronóstico para Y

500

Lineal (Pronóstico para Y)

0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Variable X 1

Modelo lineal sin intercpeto Beta 1 Beta 2 Sigma ^2

0 R^2 0.794952059 SCR 33947.76522 SCE 17

0.985796574

475268.713 32986285.29



184.2491933 SCT= 0.000650369 0.025502328

Sigma Var (Beta 2) ee (Beta 2)

33461554

Modelo Regresion sin intercepeto 2500 2000 1500

Y

Y

1000

Pronóstico para Y

500

Lineal (Pronóstico para Y)

0

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Variable X 1

Interpretacion: Haciendo una comparación entre los R^2 en el segundo caso el R^2 del primero es 0.9788 y en el segundo caso el R^2 es 09857 y existe una pequeña diferencia decimal por lo que se concluye que ambos modelos pueden ser utilizados c)

¿Cuál (es) otro(s) modelo(s) podrían ser apropiados para los datos?

Otro modelo que se podría ajustar seria el modelo logarítmico gráficamente se mostraría así

Modelo Logaritmico 2500 2000

1500 1000 500 0 0

500

1000

1500

EJERCICIO 7 18

2000

2500

3000



Considere las siguientes funciones de demanda de dinero para Estados Unidos durante el periodo 1980-1998: 𝛽

𝑀𝑡 = 𝛽1 𝑌𝑡 2 𝑒 𝑢𝑡 𝛼 𝑀𝑡 = 𝛼1 𝑟𝑡 2 𝑒 𝑢𝑡

donde M = demanda real de dinero, de acuerdo con la definición M2 de dinero Y = PIB real r = tasa de interés Para estimar las anteriores funciones de demanda de dinero se presentan los datos en la tabla. Nota: Para convertir cantidades nominales a reales, divida M y PIB entre IPC. No es necesario dividir la tasa de interés variable entre el IPC. También tenga en cuenta que se proporcionaron dos tasas de interés, una de corto plazo, medida de acuerdo con la tasa de interés de los bonos del Tesoro a tres meses, y otra de largo plazo, medida según el rendimiento de los bonos del Tesoro a 30 años, según la línea de estudios empíricos previos que emplearon ambos tipos de tasas de interés.

Observación 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

PIB 2 795,6 3 131,3 3 259,2 3 534,9 3 932,7 4 213,0 4 452,9 4 742,5 5 108,3 5 489,1 5 803,2 5 986,2 6 318,9 6 642,3 7 054,3 7 400,5 7 813,2 8 300,8 8 759,9

M2 1 600.4 1 756.1 1 911.2 2 127.8 2 311.7 2 497.4 2 734.0 2 832.8 2 995.8 3 159.9 3 279.1 3 379.8 3 434.1 3 487.5 3 502.2 3 649.3 3 824.2 4 046.7 4 401.4

Notas: P IB: producto interno bruto (miles de millones de dólares). M2 : oferta de dinero M2 . IP C: índice de precios al consumidor. TILP : tasa de interés de largo plazo (bonos del Tesoro a 30 años). TITM: tasa de interés de los bonos del Tesoro a tres meses (% anual).

19

IPC 82.4 90.9 96.5 99.6 103.9 107.6 109.6 113.6 118.3 124.0 130.7 136.2 140.3 144.5 148.2 152.4 156.9 160.5 163.0

TILP 11.27 13.45 12.76 11.18 12.41 10.79 7.78 8.59 8.96 8.45 8.61 8.14 7.67 6.59 7.37 6.88 6.71 6.61 5.58

TITM 11.506 14.029 10.686 8.630 9.580 7.480 5.980 5.820 6.690 8.120 7.510 5.420 3.450 3.020 4.290 5.510 5.020 5.070 4.810



a) Con los datos anteriores, calcule las funciones de demanda anteriores. ¿Cuáles son las elasticidades del ingreso y de la tasa de interés de la demanda de dinero? Elasticidad de la demanda de dinero con Para PBI: Nuestro modelo es: 𝛽

𝑀𝑡 = 𝛽1𝑌𝑡 2 𝑒 𝑢𝑡 Linealizar el modelo log (𝑀𝑡 ) = log β1 + β2 log⁡𝑌𝑡 + 𝑢𝑡 Obteniendo los siguientes valores: 𝑀𝑡 = 2.6559𝑌𝑡0.58163681 La elasticidad viene representada por β2 entonces: 𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 = 𝟎. 𝟓𝟖𝟏𝟔𝟑𝟔𝟖𝟏 Elasticidad de la demanda de dinero con Para TILP: 𝛼

𝑀𝑡 = 𝛼1 𝑟𝑡 2𝑒 𝑢𝑡 Linealizar el modelo log (𝑀𝑡 ) = log β1 + β2 log⁡𝑇𝐼𝐿𝑃𝑡 + 𝑢𝑡 Obteniendo los siguientes valores:

𝑀𝑡 = 46.148𝑇𝐼𝐿𝑃𝑡−0.312308532 𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 = −𝟎. 𝟑𝟏𝟐𝟑𝟎𝟖𝟓𝟑𝟐

Elasticidad de la demanda de dinero con Para TITM: 𝛼

𝑀𝑡 = 𝛼1 𝑟𝑡 2𝑒 𝑢𝑡 Linealizar el modelo log (𝑀𝑡 ) = log β1 + β2 log⁡𝑇𝐼𝑇𝑀𝑡 + 𝑢𝑡 Obteniendo los siguientes valores:

𝑀𝑡 = 32.41𝑇𝐼𝑇𝑀𝑡−0.17197857 𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 = −𝟎. 𝟏𝟕𝟏𝟗𝟕𝟖𝟓𝟕

20



b) En lugar de estimar la función demanda anterior, suponga que debe 𝑴 ajustar la función ( 𝒀 ) 𝒕= 𝜶𝟏 𝒓𝜶𝒕 𝟐 𝒆𝒖𝒕 , ¿cómo interpretaría los resultados? Muestre los cálculos necesarios. Para TILP: 𝑀 ( )𝑡= 𝛼1 𝑟𝑡𝛼2 𝑒 𝑢𝑡 𝑌 Linealizar el modelo 𝑀

log ( 𝑌𝑡 ) = log β1 + β2 log⁡𝑇𝐼𝐿𝑃𝑡 + 𝑢 𝑡 Obteniendo los siguientes valores: 𝑀 ( )𝑡= 0.34794161𝑇𝐼𝐿𝑃𝑡0.21485768 𝑌 Para TITM: 𝑀 ( )𝑡= 𝛼1 𝑟𝑡𝛼2 𝑒 𝑢𝑡 𝑌 Linealizar el modelo 𝑀𝑡

log (

𝑌

) = log β1 + β2 log⁡𝑇𝐼𝑇𝑀𝑡 + 𝑢𝑡

Obteniendo los siguientes valores: 𝑀 ( )𝑡= 0.452881014 ∗ 𝑇𝐼𝑇𝑀𝑡0.10734037 𝑌

c) ¿Cómo decidiría cuál es la mejor especificación? En seleccionar una forma funcional apropiada para el modelo y nos muestre más precisión. A continuación haremos una comparación del coeficiente de determinación entre los diferentes modelos: Para PBI: 𝛽

𝑀𝑡 = 𝛽1 𝑌𝑡 2 𝑒𝑢𝑡 𝑀𝑡 = 2.6559𝑌𝑡0.58 𝑅2 = 0,708847

Para TILP: 𝛼

𝑀𝑡 = 𝛼1 𝑟𝑡 2 𝑒𝑢𝑡 21



𝑀𝑡 = 46.148𝑇𝐼𝐿𝑃𝑡−0.3123 𝑅2 = 0,649753

Para TITM: 𝛼

𝑀𝑡 = 𝛼1 𝑟𝑡 2 𝑒𝑢𝑡 𝑀𝑡 = 32.41𝑇𝐼𝑇𝑀𝑡−0.172 𝑅 2 = 0,48074286 Interpretación El que mejor se ajusta a los datos entre el TIILP y el TITM es el primer modelo con mayor R^2 ajustada. Mientras tanto en el PBI con el modelo dado no hay mucha precisión ya que el PBI a un 70% explica a la demanda dinero. El TILP a un 64% explica a la demanda dinero. El TITM a un 48% explica a la demanda dinero.

EJERCICIO 8 Considere el siguiente modelo:

𝑌𝑖 =

𝑒𝛽1 +𝛽2 𝑋𝑖 1 + 𝑒𝛽1 +𝛽2 𝑋𝑖

Tal como se presenta, ¿es un modelo de regresión lineal? Si no es así, ¿qué “artificio” podría utilizar, si acaso, para convertirlo en un modelo de regresión lineal? ¿Cómo interpretaría el modelo resultante? ¿En qué circunstancias sería adecuado dicho modelo? El modelo dado no es lineal en las variables, este modelo pertenece a la rama de modelos de regresión no lineales diseñados específicamente para las variables dependientes binarias.

𝑌𝑖 = Donde:

𝑒𝛽1 +𝛽2 𝑋𝑖 1 + 𝑒𝛽1 +𝛽2 𝑋𝑖

𝑒𝛽1 +𝛽2 𝑋𝑖 = ⏞ 𝑋 Por propiedades logarítmicas

𝐿𝑜𝑔𝑒 ⏞ 𝑋 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 22



𝐿𝑛 ⏞ 𝑋 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 Reemplazando seria

𝑌𝑖 =

⏞ 𝑋 ⏞ 1+𝑋

Agregando logaritmos:

⏞ − 𝐿𝑛(1 + 𝑋 ⏞) 𝐿𝑛𝑌𝑖 = 𝐿𝑛 𝑋 𝐿𝑛𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 − 𝐿𝑛(1 + ⏞ 𝑋) Tendría una forma de un modelo de regresión lineal

Este modelo es conocido como el modelo logit, gráficamente es de la siguiente forma:

23

Trabajo Encargado Econometria Ori

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