1. Una experiencia experiencia aleatoria consiste consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. I. Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, experiment o, utilizando la letra “s” para las respuestas afirmativas y “n” para las negativas.
{sss, {sss,ssn ssn,, sns, sns,snsnn,n,nsnss,s,nsnsn,n,nn nns,s,nn nnn}n} II.
¿qué elementos del espacio muestral anterior constituyen constitu yen el suceso " al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"?
A: al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto producto
{, { ,. ., ,} } III.
Describe el suceso contrario de "más de una persona es partidaria de consumir el producto"
B: como máximo una persona es partidaria de consumir el producto
{,,,} 2. A una reunión llegan Carmen, Lola, Mercedes, Juan Fernando y Luis. Se elige dos personas al azar sin importar el orden: I. Obtener el espacio muestral de este experimento. experimento.
15 II.
Calcular la probabilidad de que dos personas sean del mismo sexo.
A: dos personas personas sean sean del del mismo sexo
+ 6 15 3. En un supermercado el 70% de las compras las realizan las mujeres; de las compras realizadas por estas, el 80% supera las 2000 PTA, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad.
I.
Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad probabilidad de que supere las 2000 PTA?
3 ∗ 3 65 0.65 2000 . . 170∗∗45 + 10∗10 100 II.
Si se sabe que el ticket de compra no supera las 2000 PTA ¿Cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer?
3 ∗ 7 35 0.35 2000 . . 170∗∗15 + 10∗10 100 7 ∗ 1 7 0.14 ∩ 2000 . 10∗5 50 ∩ 2000 . . 0.14 0.4 / 2000 . 1 1 2000 . . 0.35 4. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30% consume pan de multicereales y el 20% consume ambos. Se pide: En una muestra de 100:
I.
Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿ cuál es la probabilidad de que coma pan de multicereales?
∩ ∩ 20/100 20 4 / / 55/100 55 11 II.
Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales, multicereale s, ¿Cuál es la probabilidad de que no consume pan integral?
∩ ∩ 10/100 1 / / 30/100 3 III.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan?
35 0.35 100 5. El equipo directivo directivo de de cierta empresa empresa del sector sector de hotelería hotelería está constituido por 25 personas de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona a una mujer y si sale cruz, a un hombre.
Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés, determina, justificando la respuesta, la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés. Solución Hablan inglés Mujeres Hombres
10 7
No hablan inglés 5 3
Entonces sumaremos la probabilidad de que el seleccionado sea una mujer que sepa inglés, más la probabilidad de que el seleccionado sea un hombre que sepa hablar inglés.
1 ∗ 10 + 1 ∗ 7 2 15 2 10 0.683 6. En una universidad existen tres facultades: A, B y C. En la A hay matriculadas 150 chicas y 50 chico; en B, 300 chicas y 200 chicos; y en C, 150 chicas y 150 chicos. a) Calcula la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, sea chico. b) Si un estudiante elegido al azar resultara ser chico, ¿Cuál es su facultad más probable? Solución A B C a)
Hombres 50 200 150
Mujeres 150 300 150
∗ + ∗ + ∗
1 0.25+0.4+0.5 30.383 b) A = 50/200 = 0.25 B = 200/500 = 0.4 C = 150/300 = 0.5 La más probable es la facultad C. 7. En una oficina el 70% de los empleados son cajamarquinos. De entre los cajamarquinos, el 50% son hombres, mientras que de los que no son cajamarquinos, solo son hombres el 20%. a) ¿Qué porcentaje de empleados no cajamarquinos son mujeres?
b) Calcula probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer. c) Fernando trabaja en dicha oficina. ¿Cuál es la probabilidad de que sea cajamarquino? Solución n = 100 Cajamarquinos (70) No cajamarquinos (30) a) b)
Hombres (41) 35
Mujeres (59) 35
6
24
0.8 80% 59% 85.36%
c) 8. Una caja contiene 10 bolas blancas,5 negras y 5 rojas. Se extraen dos bolas consecutivamente de la caja. Calcular la probabilidad de que las dos sean blancas si: a) Antes de extraer la segunda bola se vuelve a meter la primera en la caja. b) La segunda bola se extrae sin haber metido la primera en la caja. SOLUCION a) Espacio muestral:20 ... la probabilidad de que sean blancas.
∗ 50% 10% B) ∗ ∗ 100% 2.49%
9. El evento A es que el próximo préstamo de una biblioteca sea un libro no de ficción y B que sea de ficción. Supongo que P(A)=0.35 y P(B)=0.50 a) ¿Por qué es posible que P(A)+P(B) no sea 1? b) Calcule P(A’) c) Calcule P (A’ o B’) SOLUCION A: libro de NO ficción P(A)= 0.35 P(B)=0.5 P(ninguno)=0.15 La sumatoria total =1. A) Es posible que no sea la unidad puesto que existen otros tipos de libros en la biblioteca. B) 1- P(A’) =0.65 C) (0.65+.5) /2 =0.575
10. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la probabilidad que un alumno pruebe la parte teórica es 0.68, la de que apruebe la parte práctica es 0.72 y la de que haya aproado alguna de las dos partes es 0.82. ¿Si se elige un alumno al azar, cual es la probabilidad de que apruebe el examen para obtener licencia? Examen practico
Examen teórico 0.68-X
X
0.72-X
Tenemos entonces: 0.69+0.72-x=0.82 X=0.58 RPTA: Lo que significa que existe un 58% de probabilidad de que aprueben el examen de conducción. 11. En una empresa de transportes, la probabilidad de que se accidente un camión es de 0.1. Si este se produce, la probabilidad de perder la carga es de 0.95. Por otra parte, la probabilidad de perder la carga sin que haya accidente es de 0.04. Calcular las probabilidades de los sucesos: Ω=1 P(A)= Accidente de camión = 0.1, P(A’)=0.9 P(B)= Perder la carga
B
A a
b
P(B/A)=0.95
c d
P(B/A’)=0.04
+ 0.1 + 0.9 / + 0.95, 0.095 0.05 /0.9 0.04, 0.036 0.864 0.131
a) Que habiéndose perdido la carga, no haya habido accidente.
/’ ∩’/’ 0.036/0.131 0.2748 b) Que no habiéndose perdido la carga, haya habido accidente.
/’ ∩’/’ 0.0547 12. Si las probabilidades de que, en condiciones de garantía, un automóvil nuevo requiera reparaciones del motor, la transmisión o ambos, son 0.87, 0.36 y 0.29. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto requiera uno o el otro o ambos tipos de reparaciones durante el periodo de garantía? P(A)= Reparación del motor=0.87 P(B)=Reparación de transmisión=0.36
∩ 0.29 + ∩ 0.87 + 0.36 0.29 0.94
13. En un grupo de 160 estudiantes graduados de ingeniería, 92 se inscriben en un curso avanzados de estadística, 63 en un curso de investigación de operaciones; y 40 en ambos ¿Cuántos de estos estudiantes no se inscriben en ningún curso? Total=160 A=Curso de estadística=92 B=Curso de operaciones=63 A∩B=Ambos=40
160 160 { + ∩ } 160 {92+6340} 160 115 45 14. La probabilidad de que el chip de un circuito integrado tenga un grabado defectuoso es de 0.12, la probabilidad de que tenga un defecto de cuarteadura es de 0.29 y la probabilidad de que tenga ambos defectos es de 0.07 A = grabado defectuoso B = defecto de cuarteadura P(A)=0.12
P (B) = 0.29
∩ 0.07 HALLAR: a. ¿Qué probabilidad hay de que un chip de fabricación reciente tenga ya sea un defecto de grabado o de cuarteadura?
+ 2 ∩ 0.12+ 0.2920.07 0.41 0.14 0.27 b. ¿Qué probabilidad hay de que un chip de fabricación reciente no tenga ninguno de tales defectos?
1 ∪ 1 0.34 0.66
15. La probabilidad de que un nuevo aeropuerto obtenga un premio por su diseño es de 0.16, la probabilidad de que obtenga un premio por su eficiencia uso de materiales es de 0.24 y la probabilidad de que obtenga ambos premios es de 0.11 A = premio por su diseño B=premio por su eficiencia uso de materiales P(A) = 0.16 P (B) = 0.24
∩ 0.11 HALLAR: a. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos uno de los dos premios?
∪ + ∩ 0.1 6+ 0.24 0.1 1 0.29 b. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga solo uno de los dos premios?
PAó PB 0.16 +0.24 2 0.11 0.18 16. Si la probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0.81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es de 0.18 HALLAR: ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema con alta fidelidad, tenga alta selectividad? A=El sistema tiene alta fidelidad B= El sistema tiene alta selectividad P(A)=0.81
A∩B=0.18 PB/A=? P(
PB/A PAPA∩ B 0.0.8118 0.22
17. la probabilidad de que un proyecto de investigación sea correctamente planeado es de 0.80 y la probabilidad de que sea planeado y correctamente ejecutado es de 0.72 ¿Qué probabilidad hay que un proyecto de investigación correctamente planeado, sea correctamente ejecutado? SOLUCION Probabilidad que el proyecto sea correctamente planeado, sea correctamente ejecutado. A = Correctamente planeado. B = Correctamente ejecutado. P(A) = 0.08 A y B = correctamente planeado y correctamente ejecutado.
0.072 / / ꓵ
ꓵ
/ 0.072/0.08 / 0.9 18. En una planta electrónica, se sabe por experiencia que la probabilidad que un obrero de nuevo ingreso que haya asistido al programa de capacitación de la compañía, cumpla la cuota de producción es de 0.86 y que la probabilidad correspondiente de un obrero de nuevo ingreso que no haya asistido a dicho curso de capacitación es de 0.35. si 80% de la totalidad de los obreros de nuevo ingreso asisten al curso de capacitación, ¿Qué probabilidad existe de que un trabajador de nuevo ingreso cumpla la cuota de producción? SOLUCION. Probabilidad que un trabajador de nuevo ingreso cumpla la cuota de producción. A = asiste a la capacitación y cumple la cuota de producción.
0.86 B = no asiste a la capacitación y cumple la cuota de producción
0.35 19. Una empresa consultora renta automóviles de tres agencias, 20% de la agencia D, 20% de la agencia E y 60% de la agencia F. si 10% de los autos de D, 12% de los autos de E y 4% de los autos de F tienen neumáticos en mal estado. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa reciba un auto con neumáticos en mal estado? SOLUCION. A = La empresa recibe un auto con neumáticos en mal estado. RENTA(ALQUILA) Agencia D = 20% ...............................X autos Agencia E = 20% ................................Y autos Agencia F = 60% ................................Z autos NEUMATICOS EN MAL ESTADO = 0.068 Agencia D = 10% (20%) = 0.02 Agencia E = 12% (20%) = 0.024 Agencia F = 4% (60%) =0.024 NEUMATICOS EN BUEN ESTADO = 0.932 Agencia D = 90% (20%) = 0.18 Agencia E = 88% (20%) = 0.176 Agencia F = 96% (60%) =0.576 P(A) = neumáticos en mal estado/total de autos.
P(A) = 0.068/1 P(A) = 0.068 = 6.8% 20. La probabilidad de que en una industria estadounidense se en Múnich es de 0.7, de que se localice en Bruselas de 0.4, y de que se ubique ya sea en Bruselas o en Múnich, o en ambas es de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que la industria se localice: a. En ambas ciudades Solución:
ℎ 0.7….. 0.4…... ℎ 0.8 ∩ ∴ ℎ + 0.8 → 0.7 + 0.4 0.8 → 0.15 Rpta: la probabilidad de que se ubique en ambas ciudades es: 0.15
b. En ninguna de ellas Solución:
: ∴ 1 0.7 +0.25 0.05 : 0.05 21. Con base en experiencias pasadas, un corredor de bolsa considera que bajo las condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una probabilidad de 0.6 en bonos libres de impuestos, en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de 0.15. En este momento, encuentre la probabilidad de que el cliente invierta: a. En bonos libres de impuestos o en fondos mutualistas(P) Solución:
:0.6 :0.3 :0.15 ∴ 0.60.15 + 0.30.15 0.60 : 0.75 b. En ninguno de los dos instrumentos(N). Solución:
1 0.75 0.25
: ∶ 0.25 22. En una distribución Binomial B(10;0.2), calcula p(X=3),p(X ≤ 2 ), p(X>2) , X. Solución:
10 , 0.2 , 0.8 , {0,1,2,3} ó ∗ ∗ − 0 100 ∗ 0.2 ∗ 0.8 0.11 1 101 ∗ 0.2 ∗ 0.8 0.27 2 102 ∗ 0.2 ∗ 0.8 0.30 3 103 ∗ 0.2 ∗ 0.8 0.20 Calculamos:
[ > 2] [ 3] 0.20 [ ≤ 2] [ 0] + [ 1]+ [ 2] 0.11+0.27+0.30 0.68 [ 3] [ 3] 0.20 23. a) La distribución del número de aciertos será una distribución Binomial de parámetros: n= 8 y p = 1/2 En consecuencia: b) Primero:
70 0.273 4 84 ∗ 0.5 ∗ 0.5 256 1 0.004 0 80 ∗ 0.5 ∗ 0.5 256 8 0.031 0 81 ∗ 0.5 ∗ 0.5 256 28 0.109 0 82 ∗ 0.5 ∗ 0.5 256 56 0.219 0 83 ∗ 0.5 ∗ 0.5 256
Luego:
c) d)
≤ 2 0 + 1+ 2 0.004+0.031+0.109+0.219 0.144 ≥ 5 1 ≤ 4 1 0.004+0.031 +0.109 +0.219 0.364 [] ∗ 8 ∗ 0.5 4 [] ∗ ∗ 8 ∗ 0.5 ∗ 0.5 2
24. a) El número de hombres en la muestra sigue una distribución Binomial de parámetros n= 4 y p = 0,4. Entonces para calcular la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres en la muestra, basta calcular la probabilidad de que haya dos hombres en la misma
Pr 2 42 ∗ 0.4 ∗ 0.6 6 ∗0.16∗ 0.36 0.3456
b) Para que haya más mujeres que hombres en la muestra, el número de estos tiene que ser menor que 2, luego la probabilidad será:
< 2 0 + 1 40 ∗0.4 ∗ 0.6 + 41 ∗0.4 ∗ 0.6 0.4752 25. Es una binomial con: n=4 p=0,25 P(X=3)+P(X=4) = ¿? Donde:
3 43 ∗ 0.25 ∗ 0.75 4∗0.016 ∗0.75 0.048 4 44 ∗ 0.25 1 ∗3.9∗ 10− 0.015 26. F 27. F 28. F 29. De acuerdo con un reporte publicado en la revista Paredes, septiembre14 de 1980, una investigación a nivel nacional llevada a cabo por la universidad de Michigan revelo que casi el 70%de los estudiantes del último año desaprueban las medidas para controlar el hábito de fumar mariguana todos los días. Si 12 de estos estudiantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinión, encuentre la probabilidad que el número que desaprueba dicha medida sea: a) cualquier cantidad entre 7 y 9 Solución
() − ! P(X=8)=!!(0.7 0.3
X= n° que desapruebe
P(X=r) =
p =0.7 q= 1-0.7 = 0.3
= 0.23094
n=12 79; r=8 b) cuando mucho 5
≤
r 5
P(X=0)=
()0.70.3
P(X=1)=
()0.70.3
10− P(X=2)= ( )0.70.3 = 0.0614*10− P(x=4)= ( )0.70.3 = 0.7725 ∗ 10− P(total)= 0.12632*10− r= 0;1;2;3,4;5
∗ 10− P(X=3)= ( )0.70.3 = 0.147910− P(X=5)= ( )0.70.3 =0.279510−
= 0.0005*
= 0.0014
c) no menos de 8 r>8
P(X=9)=
r= 9;10;11;12
( )0.70.3
P(X=10)=
= 0.2393 P(X=11)=
()0.70.3
= 0.1677
()0.70.3
P(X=12)=
= 0.0709
()0.70.3
= 0.0138
P(total)= 0.4917 30. Un ingeniero de control de tráfico reporta que el 75% de los vehículos que se pasan por un punto de verificación tienen matriculas del estado. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 7 de los siguientes 9 vehículos no sean del estado? Solución X= n°que sean del estado P=0.75
()− P(X=8)=()0.750.25 P(X=9)= ()0.75 0.25
q=1-0.75= 0.25
P(X=r)=
= 0.225
= 0.075
N=9 r>7; r= 8;9 P(total)= 1 – P(X=8;9) = 1 – 0.3 = 0.7 31. Una investigación de los residentes de una cuidad de estados unidos mostro que el 20% preferían un teléfono blanco que de cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los siguientes 20 teléfonos que se instalan en esta ciudad sean de color blanco?
Solución X= n° de teléfonos de color blanco
P(X=r)=
()−
≥
r 10
()0.20.8 =2.03*10− P(X=12)=( )0.20.8 = 0.0865*10− P(X=14)= ( )0.20.8 = 0.0016* 10− P(X=16)= ( )0.20.8 = 0.0001*10− P(X=19)= ( )0.20.8 = 0.838*10− P(X=10)=
n=20 p=0.2 q= 1-0.2 = 0.8
∑ ≥ 10 = 8.63551*10−
()0.20.8 = 4.6168*10− P(X=13)=( )0.20.8 = 0.0133*10− P(X=15)=( )0.20.8 =0.00001*10− P(X=17)=( )0.20.8 =0.0007*10− P(X=20)=( )0.20.8 = 1.0485*10− P(X=11)=
P(total)=
32. En promedio, en una cierta intersección ocurren 3 accidentes viales por mes. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado mes en esta intersección: a) ocurran exactamente 5 accidentes? b) ocurran menos de 3 accidentes? SOLUCIÓN
5 0,1 b) < 3 0,42 a)
33. En un estudio de un inventario se determinó que, en promedio, la demanda por un artículo particular en una bodega era de cinco veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día este articulo sea requerido? a) más de cinco veces b) ninguna vez SOLUCIÓN a)
b)
> 5 1 ∑ ,5 − 5− 5− − 5 5 > 5 1 0! + 1! + 2! +⋯+ 5! 0.3840 0,5 ! 0.006738
34. Las llamadas de servicio entran a un centro de mantenimiento de acuerdo a una distribución de Poisson y en uno de 2.7 llamadas por minuto. Encuentre la probabilidad de que: SOLUCIÓN
a) No más de cuatro llamadas entren en un minuto cualquiera.
−.2.7
≤ 4 ! 0.863 = b) Menos de dos llamadas entren en un minuto cualquiera.
−.2.7
≤ 1 ! 0.249 = c) Más de 10 llamadas entren en un periodo de 5 minutos Como λt = 13,5. Por lo tanto:
−.13.5
> 10 1 ≤ 10 1
=
!
1 0.297 0.703
35. Un vendedor de seguros de vida vende en promedio 3 pólizas por semana. Calcular la probabilidad de: a) Alguna póliza b) 2 o más pólizas, pero las pólizas a menos de 5. c) Suponiendo que hay 5 días laborables por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado se va a vender una póliza? λ = 3 polizas/semana
λ = 3/5 = 0.6 c.
36. F 37. F 38. F
39. Las piezas de pan de centeno distribuidas a las tiendas locales por una cierta pastelería tienen una longitud de 30cm y una desviación estándar de 2cm.
Suponiendo que las longitudes están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de las piezas son: 40. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 mil por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 ml. µ = 200 y σ = 15 a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?
P(X > 224) = 1 - Φ[(224 – 200)/15 ] = 1 - Φ[1.60 ] = 1 – 0.9452 = 0.0548 b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
P (191 < X < 209) = Φ [209 – 200) /|15] - Φ[(191 – 200)/15 ] = Φ [0.60] - Φ [-0.60] = 0.7257 – 0.2743
=0.4514 c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230
mililitros para las siguientes 1000 bebidas? P (X > 230) = 1 - Φ [(230 – 200)/15 ] = 1 - Φ [2.00] = 1 – 0.9772 = 0.0228 Total de vasos 1000*0.0228 = 22.8 aproximadamente 23 d) ¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?
P25
K = 25 Área = 0.25 Φ(Z ) = 0.25 Z = -0.67 x = Zσ + µ = (-0.67) (15) + 200 = 189.88
41. El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón esta normalmente distribuido con una media de 10 cm y una desviación estándar de 0.03 cm. a) ¿Qué proporción de anillos tendrán diámetros interiores que excedan 10.075 centímetros? µ= 10 σ= 0.3 z= (x- µ/ σ) P(x>10.075)=1-P(z<10.075-10/0.03) =1-(z<2.50) = 1-0.9938 =0.0062 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro interior entre y centímetros?
9.97 10.03
P (9.97-1) – P (z<1) = P (z<1) – P (z>-1) = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 c) ¿Por debajo de que valor del diámetro interior caerá el 15% de los anillos del pistón? P (X
X= diámetro
-> 1.04 = X-10/0.03
-> X = 10-0.03 (1.04)
-> Z=1.04
= 9.969 42. Un abogado se traslada diariamente de su casa en los suburbios hasta su oficina en el centro de la ciudad. En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviación estándar de 3.8 minutos. Asuma que la distribución de los tiempos de traslado este normalmente distribuida. a) Determine la probabilidad de que un traslado le tome al menos media hora. µ= 24 σ= 3.8 z= (x- µ/ σ) z= 30 – 24/3.8 = 1.578 P (x<30) = 0.0582 = 5.82% b) Si la oficina abre a las 9 am y el sale de su casa a las 8:45 diariamente ¿Qué porcentajes de las veces llega tarde a su trabajo? z= (x- µ/ σ) z= 15 – 24/3.8 = 0.001 = 1 – 0.001 = 0.9909 P (x<30) = 0.9909 = 99.09% c) Si deja su casa a las 8:35 y en la oficina se sirve un café entre las 8:50 am y las 9:00 am ¿Cuál será la probabilidad de que se pierda el café? z= (x- µ/ σ) P (x>25) = z= 25 – 24/3.8 = 0.6026 = 1 – 0.6026 = 0.3974 = 39.74% P (x>25) = 0.3974 = 39.74% d) Encuentra el periodo arriba del cual se encuentra el 15% de los traslados más lentos X = (Z* σ) + µ Z = 0.15 = 1-0.15 = 0.85 = 1.04 X = 24 + (Z* σ) = 24 + (1.04*3.8) X= 27.95
43. Las estaturas de 1000 estudiantes están normalmente distribuidas con una media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Suponiendo que las alturas se registran cerrando los valores a los medios centímetros, ¿Cuantos estudiantes tendrían estaturas… Sea x la variable aleatoria normal que representa la estatura de los estudiantes. Sea z la variable aleatoria normal estandarizada. a) Menores que 160.0 cm.? P(x < 160) = P(z < (160 – 174.5)/6.9) P(x < 160) = P(z < -2.10) P(x < 160) = 1 – P(z < 2.10) P(x < 160) = 1 – 0.9821 P(x < 160) = 0.0179 1000(0.0179) = 17.9 → 18 18 estudiantes tendrán una estatura menor que 160.0 cm. b) Entre 171.5 y 182 cm? P(171.5 < x < 182) = P((171.5 – 174.5)/6.9 < z < (182 – 174.5)/6.9) P(171.5 < x < 182) = P(-0.43 < z < 1.09) P(171.5 < x < 182) = P(z < 1.09) – P(z < 0.43) P(171.5 < x < 182) = P(z < 1.09) – (1 – P(z < 0.43)) P(171.5 < x < 182) = P(z < 1.09) + P(z < 0.43) – 1 P(171.5 < x < 182) = 0.8621 + 0.6664 – 1 P(171.5 < x < 182) = 0.5285 0.5285(1000) = 528.5 → 529 529 estudiantes tienen una altura entre 171.5 cm y 182 cm. c) De 175 cm? P(174.5 < x < 175) = P((174.5 – 174.5)/6.9 < z < (175 – 174.5)/6.9) P(174.5 < x < 175) = P(0 < z < 0.07) P(174.5 < x < 175) = P(z < 0.07) – 0.5 P(174.5 < x < 175) = 0.5279 – 0.5 P(174.5 < x < 175) = 0.0279 0.0279(1000) = 27.9 → 28 28 estudiantes tienen una altura de 175 cm. d) Mayores o iguales a 188.0 cm? P(x ≥ 188) = P(x > 187.5) P(x ≥ 188) = 1 – P(x < 187.5) P(x ≥ 188) = 1 – P(z < (187.5 – 174.5)/6.9) P(x ≥ 188) = 1 – P(z < 1.88) P(x ≥ 188) = 1 – 0.9699 P(x ≥ 188) = 0.0301 0.0301(1000) = 30.1 → 30 30 estudiantes tienen una altura mayor o igual a 188.0 cm.
44. Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $9.25 por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios están distribuidos aproximadamente en forma normal y los montos se cierran a centavos. a. ¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $8?75 y $9.69 por hora inclusive? b. ¿El 5% por ciento más alto de los salarios por hora de empleado es mayor a que cantidad? SOLUCIÓN: a) X: V.A salarios por hora que perciben los empleados µ= 9.25 σ = 0.6 X1 = 8.75 X2 = 9.69 transformamos a distribución normal estandarizada Z1 = (8.75 – 9.25) / 0.6 =- 0.833
Z2 = (9.69 – 9.25) / 0.6 =
0.73 P = A1 + A2 A1 = 0.2967
A2 = 0.2673
P = 0.2967 + 0.2673 = 0.564 = 56.4 % b) P(X≥N) = 0.05 P(X≤N) = 0.5 0.05 = 0.45 N = 1.6 + 0.045 = 1.645 1.645 = (X – 9.25) / 0.6 X = 10.24 45. La resistencia a la tensión de cierto componente metálico está normalmente distribuida con una media de 10000 kilogramo por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran y se redondean a 50 kilogramos. a) ¿Cuál es la proporción de estos componentes que exceden de 10150 kilogramos por centímetro cuadrado de resistencia a la fusión? b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la tensión entre 9800 y 10200 kilogramos por centímetro cuadrado inclusive, ¿qué proporción de piezas se esperaría que se desecharan? Solución: X: V. A. resistencia a la tensión µ = 10000 σ = 100
a) Transformamos a distribución normal estandarizada X= 8.75 Z = (10150 - 10000) / 100 = 1.5 A = 0.4332 P = 0.5 – A = 0.5 – 0.4332 = 0.0668 P = 6.68 % b) Z1 = (9800 – 10000) / 100 = - 2 Z2 = (10200 – 10000) / 100 = 2 A1 = A2 = 0.4772 P (9800 ≤ X ≤ 10200) = 2 * 0.4772 = 0.9544 Porcentaje de piezas desechadas: = 1 - P(9800 X 10200) = 1 - 0.9544 = 0.0456 = 4.56 % 46. Si un conjunto de observaciones está normalmente distribuido, ¿Qué porcentaje de estas difiere de la media en a) Mas de 1.3 σ? b) Menos de 0.52 σ? SOLUCIÓN: X: V.A. tiene una distribución N (X, µ, σ2) a) La diferencia en valor absoluto |X - µ|;
P(|X - µ| > 1.3 σ);
P(|X - µ| < 0.52 σ)
P (|X - µ| > 1.3 σ) = 1 – P (|X - µ| < 1.3 σ) = 1 – P (-1.3 < (Z- µ) / σ < 1.3) = 1 – (0.9032 – 0.0968) = 0.1936 P (|X - µ| > 1.3 σ) = 19.36 % b) |X - µ|;
P(|X - µ| < 0.52 σ)
P (|X - µ| < 0.52 σ) = P (- 0.52 < Z < 0.52) = 0.6985 – 0.3015 = 0.3970 P (|X - µ| < 0.52 σ) = 39.70 % 47. La precipitación pluvial promedio, registrada hasta centésimas de milímetro en Roanoke, Virginia, en el mes de marzo es de 9.22 centímetros. Suponiendo que se trata de una distribución normal con una desviación estándar de 2.83 cm, encuentre la probabilidad de que el próximo marzo Roanoke tenga a)
menos de 1.84 cm de lluvia;
b)
más de 5 cm pero no más de 7 de lluvia;
c)
más de 13.8 cm de lluvia
Solución Datos: Distribución Normal: μ =9,2 cm σ= 2,83 cm a)
menos de 1.84 cm de lluvia;
Z = X-μ /ρ Z = 1,84 - 9,2 / 2,83 Z = -2,6 este valor se busca en la tabla de distribución Normal P (X≤ 1,84) = 0,0466 = 4,66%. b)
más de 5 cm pero no más de 7 de lluvia;
P (5≤X≤7) = ? Z = 5 - 9,2 / 2,83 Z = -1,48 este valor se busca en la tabla de distribución Normal P (X≥5) = 1- 0,06944 = 0,93 Z= 7- 9,2 /2,83 Z = - 0,78 este valor se busca en la tabla de distribución Normal P (X ≤7) = 0,2177 Entonces: P (5≤X≤7) = 0,93 - 0,2177 = 0,7123 = 71,23% c)
más de 13.8 cm de lluvia
P (X≥13,8) = ? Z = 13,8 - 9,2 /2,83 Z = 1,63 este valor se busca en la tabla de distribución Normal P (X≤13,8) = 0,7673 y P (X≥13,8) = 1- 0,7673 = 0,2327 = 23,27% 48. La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal.
Solución μ = 10 años σ = 2 años P(X) = 0,03 Z = -1,89 Valor obtenido de la Tabla de distribución Normal Distribución Normal ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? X=? Z = X -μ /σ σ*Z +μ = X X = 2 años * -1,89 + 10 años X = 6,22 años La garantía que el fabricante debe ofrecer es de 6 años para que no fallen durante este tiempo los motores 49. La compañía aérea “Alillas” sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con un retraso medio de 10 minutos y desviación típica de 5 minutos. Calcular: a) Probabilidad de que un vuelo no tenga retraso. b) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de 10 minutos de retraso. c) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con más de 20 minutos de retraso. Solución a) media = 10 desviación = 5 Vuelo sin retraso es lo mismo que el retraso sea igual o menor que 0 P(X0) Estandarizamos con Z=(X-media) /desviación Z= (0-10) /5 = -2 P(X<=0) = P (Z< -2) = consultando la tabla de la distribución normal estándar para el valor -2 --> P(Z<-2) = P(X<=0) = 0.02275 b) x<=10 P(x<=10) =P (z<= (10-10) /5) =P(z<=0) =0.5 c) x<=20 p(x<=20) =P (z<= (20-10) /5) =P(z<=2) =0.9772
50. La cantidad de tiempo durante el que funciona un cámara d vigilancia sin que se le reponga es una variable aleatoria con distribución exponencial, con u=50 días. Determine las probabilidades de una cámara así. a) tenga que ser repuesta en menos de 20 días
50 − 1 < 20 50 ∫ < 20 1 − < 20 0.3267
b) tenga que ser repuesta en al menos 40 días
− 1 ≥ 40 1 < 40 1 50 ∫ ≥ 40 1 1 − ≥ 40 − ≥ 40 0.449 51. Una refinadora de azúcar tiene 3 plantas de proceso, y todas reciben azúcar morena a granel. La cantidad de azúcar que puede procesar una planta en un día se puede representar mediante una función exponencial con un promedio de 4(mediciones en toneladas), para cada una de las tres plantas. Si las plantas trabajan en forma independiente, calcular la probabilidad de que sean exactamente 2 de las tres plantas las que procesen más de 4 toneladas en un día determinado.
− 1 > 4 1 4 ∫ ≥ 40 − ≥ 40 0.368 52. F 53. Supongamos que después de las primeras 6 horas, el tiempo de vida promedio remanente de las baterías de un reproductor de discos compactos portátil es de 8 horas. Encontrar la probabilidad de que un conjunto de baterías de una duración de entre 12 y 16 horas.
8, 6 ℎ ∞ − 1 > 6 6 ∫ −/ 0.47
12 ≤ ≤ 16 6 ≤ ≤ 16 6 ≤ < 12 −∗ 0.47−∗ 0.47 0.0878 54. Los clientes llegan en una tienda determinada en un promedio de 15 por hora ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente debe esperar al menos 5 minutos para el primer cliente?
15 15 / ℎ 60 15 1 → 4 60 ∞ −/ 1 > 5 4 ∫ −/ 0.29 55. Se sabe que el kilometraje, en miles de kilómetros, que un autobús recorre antes de que se someta a una reparación del motor sigue una distribución exponencial con u=80 a) Si se tiene una flota de 300 autobuses, ¿cuántos se esperaría que se sometieran a reparación antes de los 60, 000 Km?
≤ 60 1 − ∗ 0.5276 Numero esperado= 0.5276*300 =158.28 autobuses b) ¿Cuál es la probabilidad de que un autobús recorra más de 100,000 Km. antes de someter el motor a reparación?
≥ 100 1 1 − ∗ 0.2865
