FASE 4
JEFREE PINEDA MUÑOZ CODIGO: 1046267213 SEBASTIAN MUÑOZ ARTUNDUAGA CODIGO: 1018464168 JORGINHO OJEDA DE LA CRUZ
TUTOR: EDWIN ORTIZ
GRUPO: 100408_7
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ALGEBRA LINEAL CEAD BARRANQUILLA ABRIL 2017
Algebra Lineal FASE 4
INTRODUCCION
Algebra Lineal FASE 4
EJERCICIO 2 Sacamos los cálculos y hacemos una tabla con todos los valores dados Estánd Económi ar co Refinado 10 5 Natural 6 2 Endulzan te 8 3
Especi disponib al le 10 235 10 158 12
205
Luego sacamos nuestras variables.
x=Estandar y=Economico z=Especial Y comenzamos hacer el ejercicio con un sistema de ecuaciones.
10 x+5 y +10 z=235 6 x+ 2 y +10 z=158 8 x+ 3 y +12 z=205
|
10 5 10 6 2 10 8 3 12
|| 235 158 205
|
1 0.5 1 f1 = 6 2 10 10 8 3 12
| | 23.5 158 205
|
| |
|
| |
1 0.5 1 f 2+ f 1∗−6= 0 −1 4 8 3 12
1 0.5 1 f 3+ f 1∗−8= 0 −1 4 0 −1 4
23.5 17 205
23.5 17 17
Algebra Lineal FASE 4
|
1 0.5 1 f 2∗−1= 0 1 −4 0 −1 4
| | 23.5 −17 17
|
1 0 3 f 1+ f 2∗−0.5= 0 1 −4 0 −1 4
|
1 0 3 f 3+ f 2= 0 1 −4 0 0 0
| | 32 −17 17
| | 32 −17 0
x+3 z=32 { y−4 z =−17 EJERCICIO N°3
Kx+3 y=36 5 x+ 4 Ky=36 Comenzamos con el sacando el delta de s, x, y
∆ s=x y K 5 3 4k
¿ ( k ) ( 4 k )−(3)(5) 2 ¿ 4 k −15
∆ x=Ti y 36 -10 3 4k
¿ ( 36 ) ( 4 k )−(3)(−10) ¿ 144 k −(−30) Algebra Lineal FASE 4
∆ y=x Ti k 5 36 -10
¿ ( k ) (−10 )−(36)(5) ¿−10 k−180
Luego que terminemos de realizar las determinantes sacamos el resultado de Y y X y lo graficamos en una fracción.
x=
∆ x 144−(−30) = ∆s 4 k 2−15
y=
∆ y −10 k −180 = ∆s 4 k 2−15
Como resultado que delta de s sea diferente de 0
4 k 2−15 ≠ 0 4k 4k (¿¿ 2−15)≠ 0 (¿¿ 2+15)¿ ¿ 2
4 k +15 ≠0 4 k 2 ≠−15 ---------------------
4 k 2−15 ≠ 0 4 k 2 ≠ 15
Como resultado final se dice que k pertenece al grupo de los reales menos los que están en el corchete.
R=k ∈ R {−15 ; 15 } Algebra Lineal FASE 4
EJERCICIO 4 Considere el sistema
5 x 1−3 x 2 +4 x 3 =−21 4 x 1+ 5 x 2−7 x 3=25 −7 x 1−4 x 2+ 2 x 3=−9 Realizando los procesos adecuados, verificar si el sistema tiene solución única, tiene infinitas soluciones o no tiene solución. Proponga un método rápido analítico para que sin tener que hacer todos los pasos detecte la validez de su respuesta.
Por el método de eliminación o reducción combino (1) y (2) multiplico (1) por 9 y (2) por 4.
7(5 X 1 −3 X 2−4 X 3=−21)⇒ 35 X 1−21 X 2−28 X 3 ⇒−197 4 (4 X 1−5 X 2 −7 X 3=−21)⇒
16 X 1−20 X 2−28 X 3 =100 51 X 1−X 2 −¿−47(4)
Combino (2) y (3) multiplico (2) por 2 y (3) por 7
2 ( 4 X 1−5 X 2−7 X 3=25 ) ⇒8 X 1+10 X 2−14 X 3 ⇒ 50 7(−7 X 1−4 X 2+2 X 3 =−9) ⇒
−49 X 1−28 X 2−14 X 3 =−63 −41 X 1−18 X 2−¿−13(5)
Combino (4) y (5) multiplico (4) por -18
−18 ( 51 X 1− X 2=−47 ) ⇒−918 X 1−118 X 2=846 1(41 X −18 X 2=−63)⇒
Sustituyo
51
−41 X 1−18 X 2−¿−63 −897 X 1=−13 (5)
x 1=
−777 877
x 1 en( 4)
( −777 877 )
– x 2=−47
Algebra Lineal FASE 4
−39627 877
+47 ¿ x 2
−39627+ 41219 877 x 2=
1592 877
x 1 y x2 en(3)
Sustituyo
−7
¿ x2
1592 −4( ) ( −777 877 ) 877
5439 877
-
12 x 3=−9
6368 +2 x 3=−9 877
−929 +2 x 3=−9 877 2 x 3=
+ 929 −9 877
2 x 3=
929−7893 877
2 x 3= x 3=
−6964 877
−3482 877
Se obtiene:
x 1=
−777 1592 −3482 . x 3= . x 2= 877 877 877
Algebra Lineal FASE 4
Método de Gauss Jordán Que es 5. En matemáticas se define como método de la eliminación de Gauss-Jordan, se denomina asi por sus creadores el señor Carl Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo que permite determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, mediante la reducción del sistema, este método transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior X1 Análisis La complejidad computacional de la eliminación Gaussiana es de aproximadamente n^3 es el número de operaciones requeridas es el orden de N^3 si el tamaño de la matriz es NxN Algoritm Algebra Linealpaso Esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados FASE 4 directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda 2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga. 3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
s
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada). 5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
EJERCICIO N°7
R1 R2 D1
M
D2
p1 D1 π
p2 π
Algebra Lineal FASE 4
Como podemos ver en el plano tenemos varios vectores como p1 y p2 donde se hace un vector sobre la línea de r1 y r2 esto con el fin de graficar y unir las dos ecuaciones y así formar una sola. Tenemos también dos vectores directores sobre r1 y r2 hace indicar que ambas son paralelas. Y ahora comenzamos a realizar nuestro ejercicio. R1) (4, 2, -1) + λ(3, -1, 5) R2) (3, -1, -2) +λ( 4, 3, 0) Calculamos p1 y p2 →
p1 p 2=(−1,−3,−3 ) →
d 1=( 3,−1,5 ) J
K
m=¿ -1
-3
-3
3
-1
5
→
I =¿
I
-3 -1
J
-1 3
K
-3
= -3-15= 5 -18
-3
= -9-5= 5 -14
-1
-3
3
1
= -9-1= -10 Algebra Lineal FASE 4
→
M =(−18,−14,−10 )
→
π
p1 =( 4,2,−1 ) →
M =(−18,−14,−10 )
→
→
p1 p 2 o m =0
( x−4, y−2, z−1 )=0 ( 13,11,8 ) =0
EJERCISIO N°8 �1 = 4� − 3� + 5� = 3 �2 = 2� − 5� + � = 7 COMENZAMOS MIRANDO Y EXAMINANDO LA ECUACION Sea
Z =K
AHORA RESCRIBIMIMOS EL SISTEMA:
4 X−3 Y =3−5 K 2 X−5 Y =7−7 K
MULTIPLICANDO LA SEGUNDA POR -2 Algebra Lineal FASE 4
4 X−3 Y =3−5 K −4 X +10 Y =14+2 K
SUMÁNDOLAS:
7 Y =¿ 11−3 K=¿> Y =(−11 /7)−(3 K / 7)
Sustituyendo en la segunda:
2 X−5 [ (−11/ 7 )− ( 3 K /7 ) ] =7−K 2 X + [ ( 55/7 ) + ( 15 K /7 ) ]=7−K 2 X=( 7−( 55/7 ) )−K (1−15/ 7) 2 X=
X=
−6 8 K + 7 7
−3 4 K + 7 7
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
( X , Y , Z )=(
−3 4 K 11 3 K + ,− − ,K) 7 7 7 7 Algebra Lineal FASE 4
EJERCICIO 9 Determinar las ecuaciones paramétricas del plano que contiene al punto P(-5,-2,3) y a la recta de ecuación, punto
X−1 Y −1 = =Z+ 3 5 2
Como el punto:
P (−5,−2,3 ) y laecuación paramétrica
X−1 Y −1 2+3 = = 5 2 1
Donde X −1=5 λ ; Y +1=2 λ Y Z +3=5 λ Como
N (5,2,1 )
La ecuación
5 X +2 Y +Z=d Luego
( 5,2,3 ) π entonces :5 (−5 )+ 2 (−2 ) +1 ( 3 )=d
−25−4 +3=d La ecuación general es: 5X+2Y+Z=-26 Parometria es:
X−5 Y −2 Z−1 = = 5 2 1 EJERCICIO 10 10. Para el siguiente plano π = 4x -2y +z = 1 proponga planos que cumplan las siguientes condiciones: a) Que sea un plano paralelo
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Dos planos son paralelos si uno de sus vectores es múltiplo escalar de otro sin incluir la solución π = 4x -2y +z = 1 multiplicamos por un escalar el vector del primer plano (4, -2, +2) multiplicamos por 5 (20, -10, +10) π = 4x -2y +z = 1 es paralelo a π = 20x -10y +10z = 10
4 −2 2 1 = = ≠ 20 −10 10 10 0,2=0,2=0,2 ≠0,1
Los planos son paralelos
π = 4x -2y +z = 1 y π = 20x -10y +10z = 10 b) Que sea un plano ortogonal Dos planos son ortogonales si el producto punto es igual a 0
π 1=4 x−2 y + z=1 π 2=3 x+5 y −2 z=14 π 1∗π 2=0 π 1∗π 2=0 π 1∗π 2=( 4∗3 ) + (−2∗5 ) + (−1∗2 )=0 π 1∗π 2=12−10−2=0 π 1∗π 2=12−12=0 c) Que sea un plano coincidente (el mismo plano). Es válido decir que el vector
π 2=24 x +12 y −6 z=6 Es paralelo al vector:
π 1=4 x+2 y−z=1 Algebra Lineal FASE 4
Puesto que:
Ya que el vector 2 es 6 veces el vector 1. Hay proporcionalidad entre los vectores.
CONCLUCIONES
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