Trabajo Final Algebra Lineal
Ing./ Agrim. Michelle Fernández 05/02/2018
NOMBRE: Ricardo Ant. Almonte Sánchez
MA TR IC UL A :
17 - 5850
A S IG NA TUR A :
Algebra Lineal FACILITADOR:
Michelle Fernández
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Actividades a realizar 1. Contesta las siguientes preguntas. 1) Escribe cinco conjuntos que tengan como elemento, objeto de una empresa. A: (Maquinas, herramientas, piezas, grúa, montacargas) B: (Escritorio, mesa, silla, archivos, folders) C: (Computadora, impresora, escáner, bolígrafo, grapadora) D: (Techo, paredes, piso, baños, almacén, entrada) E: (Letrero de peligro, extintores, salidas de emergencias, alarma de incendios, protección para el personal) 2) Escribe dos sistemas de ecuaciones lineales con dos variables que representen situaciones de la vida cotidiana.
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3) Escribe un concepto de conjunto. Un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
4) Describe las operaciones con conjuntos. En las matemáticas, podemos definir a un conjunto como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama elementos o miembros de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o paréntesis. ({,}). Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas que juegan al fútbol o baloncesto, las que juegan al fútbol y baloncesto, las que no juegan a baloncesto, etc.
Complemento: A Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de Diferencia simétrica: A Δ B = C la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene Diferencia: (A - B) la diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B. Intersección: (A ∩ B) Sean A y B dos conjuntos, la intersección de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B. Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B. Unió: (A B) Es correspondiente la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos, que pueden partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales.
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5) Escribe cinco conjuntos con elementos relacionados con la ingeniería en software. A: (Computadora, software, hardware) B: (Sistemas de entrada, sistemas de salida, componentes electrónicos) C: (Lenguaje de programación, ADA, Basic, C, C++) D: (Procesador, memoria Ram, placa base, disco duro) E: (internet, inteligencia artificial, hackers, seguridad informática, bug) 6) Describe los métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones. Método de reducción: Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe. Método de igualación: El método de igualación, consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.
Método de sustitución: El método de sustitución consiste en despejar la X en una de las ecuaciones, básicamente en la que resulte más fácil, y sustituir la expresión resultante en la otra.
Método de Gauss: El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior (o inferior). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver. Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita
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siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Regla de Cramer: Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz A de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que A sea cuadrada significa que el numero de incógnitas y el numero de ecuaciones coincide. 7) Escribe las propiedades de los vectores. Un vector, es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física. Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. 8) Como se representan los vectores.
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9) Defina el concepto de matriz. Una matriz es un arreglo bidimensional o tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí. Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular. Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales de la matriz. Las dimensiones de la matriz siempre se dan con el número de fila primero y el número de columnas. Por lo general se trabaja con matrices formadas por números reales. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación línea.
10) Escriba los tipos de matrices. Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna.
Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.
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Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la mat riz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a i j constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.
11) Escriba las propiedades de las matrices. Suma de matrices Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a i j) y B=(b i j), se define la matriz suma como: A+B=(a i j + b i j). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición. Propiedades Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A Elemento opuesto: A + (−A) = O Conmutativa: A + B = B + A
Producto de un número real por una matriz
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Dada una matriz A=(a i j) y un número real kperteneceR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. Propiedades
a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b a · (A+B) = a · A + a · B A,B Mmxn , a (a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b 1 · A = A A Mmxn
Producto de matrices Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
El elemento c i j del matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. Propiedades
Asociativa: A · ( B · C ) = ( A · B ) · C Elemento neutro: A · I = A No es Conmutativa: A · B ≠ B · A Distributiva del producto respecto de la suma: A · ( B + C ) = A · B + A · C
12) ¿Consideras tu importante las matemáticas en tu vida? Justifique. Si, estas nos ayudan a desarrollarnos en la sociedad y como personas en muchos sentidos. A diario las usamos y tal vez no somos conscientes de esto, en las compras diarias, el administrar adecuadamente el dinero en cada cobro o a la hora de hacer ahorros para conseguir “X” cosa, ya que en todos los casos hacemos uso de las matemáticas, principalmente en sus operaciones más básicas (+, -, *, /). Si, para mí las matemáticas son importantes, gracias a ellas puedo hacer muchas cosas en mi vida diaria.
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2. Resuelva por cualquier método los siguientes sistemas de ecuaciones. Debe de especificar el método utilizado. 1)
3x + 2y = 7 4x + 2y = 1
2)
x + 4y = 2 2x – y = 6
3)
4)
x+y=4 x – y = 2
4x + 2y – 3z = 8 2x – 3y + z = 6 - x + 4y +2z = 5
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3. Resuelve operaciones con matrices.
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-1 -2 4 Sabiendo que A=
2 3
1 0
-2
5 y B= 7
1). A+B 2). 2A +3B 3). 2B – 3A 4). A*B
4. Los Vectores
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0 -1
2 1 -7 8 0
B. Sea u= -3i + 2j y v = 4i +2j. Encuentre y grafique los siguientes vectores: 1. u + v 2. u – v 3. v – u 4. -2u + 3vd 5. u + 2v
C. Dados los vectores U = 3i – 4j – k, V= -4i + 2j + 4k, W = i -7j + 6k,
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T= -4i + 3j – 5k. Calcular: 1. u+ v 2. 3u – 2v 3. w. (u + v) 4. u .v
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