Taller de Conceptos 1. Métodos de Newton-Cotes En análisi s numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas (nombradas así por Isaac Newton N ewton y Roger Roge r Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se e valúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalo se divida l a función más precisa precisa será el resultado. resultado. Este Este método es eficiente si se conocen conocen los valores valores de la función e n pun tos igualmente separados. separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes. Las fórmulas de Newton - Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar:
Donde f n(x) es e s un polinomio de la forma:
Donde n es el grado de l polinomio. poli nomio. Existen Existen métodos cerrados y abiertos de l as fórmulas de Newton Cotes.
1.1 Regla Regla del Punto Medio
Consiste en dividir di vidir el intervalo inte rvalo [a,b] en e n "n" trozos y aproximar la función en cada trozo por el valor valo r en en el punto medio del mismo. La fórmula fórmula del punto medio es:
Usar la fórmula del punto medio para integrar una función en un intervalo, equivale a sustituir, dentro de la i ntegral, ntegral, la l a función a integrar integrar por el poli nomio de interpolación interpolación de grado grado cero, es decir, una recta horizontal que pasa por el punto medio de l a función. función . Sustituimos la función f unción por p or una recta e integramos. Estamos entonces calculando el área de un rectángulo.
1.2 Método de los trapecios La regla del trapecio es uno de los métodos más util izados para calcular aproximacione aproximacione s numéricas de integrales definidas. Es la primera de las fórmulas cerradas de integración de Newton – Cotes, – Cotes, para para el caso caso cuando el polinomio interpolante interpolante es e s de grado grado uno.
Consiste en dividir el intervalo [a,b] en "n" trozos y aproximar el área bajo la gráfica en cada trozo por el área del trapecio que tiene por base el subintervalo y por alturas los valores de la función en cada uno de los trozos La fórmula de los trapecios simple es:
Usar la fórmula de los trapecios para integrar una función en un intervalo, equivale a sustituir, dentro de la integral, la función a integrar por el polinomio de interpol ación de grado uno, que pasa por los puntos de la función de los extremos del intervalo. Es decir, sustituimos la función por una recta e integramos. Estamos entonces calculando el área de un trapecio. El nombre regla del trapecio se debe a la interpretación geométrica que se hace de la fórmula. Cuando el polinomio interpolante es de grado uno, su gráfica representa una línea recta en el intervalo [a, b] que e s el área del trapecio que se forma, como se muestra en la figura.
Características: ♦ ♦ ♦
Carece de números de iteraciones. Se obtiene una formula precia y exacta para el área requerida en las soluciones algebraicas. Se calcula numéricamente una estimación del área para obtener soluciones numéricas.
Ventajas: ♦
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Se aplica este método en su forma simple para calcular numéricamente aproximaciones de algunas integrales definidas. Se utiliza para obtener el área total de una i ntegral definida Es a su vez fácil de aplicar a casi cualquier función integrable.
Desventajas:
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Gran cantidad de integrales de funciones básicas no puede ser expresada en función a ellas. A la hora de efectuar un tanteo de datos, la mayoría de las veces se podrá construir una tabla de valores en función a las observaciones obtenidas, esperando un comportamiento funcional, pero no en todos los casos se obtendrá lo que se espera, es decir, un comportamiento funcional, que simboliza la regla de la correspondencia entre variables involucradas, por ende, este método no es t otalmente ventajoso. Es imprecisa en comparación con otros métodos de aproximación numérica, ya que su truncamiento es mucho mayor comparándolo con dichos métodos
1.3 Método de los trapecios compuesto
Para obtener una mejor aproximación de la integral con este método, la regla del trapecio se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud h=b−a/n. A este método se le conoce con el nombre de la regla del trapecio compuesta. Para aplicar este método se debe seguir l os siguientes pasos: 1. Divida el intervalo [a, b] en subintervalos de igual medida. 2. Aproxime en cada subintervalo la función f ( x) por una recta. 3. Aproxime el área bajo la curva f en el intervalo [a, b] mediante la suma de las áreas de los trapecios. 4. Aplique la regla del trapecio compuesta que viene dada por:
Características: ♦
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En este método el error es inversamente proporcional a la cantidad de trapecios usados para la función, es decir, para un dominio de integración dado, el error es proporcional a h al cuadrado. Se aproxima el área que hay entre a y b por la suma de las áreas de los trapecios que se forman por medio de la función evaluada. En su desarrollo utiliza un tamaño de paso que ayuda a conseguir xi que es a su vez el comportamiento de los límites de la integral.
Ventajas: ♦
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Es ventajoso porque permite resolver el problema de cálculo del área bajo la curva e ntre dos puntos, dividiendo a N en sub- áreas, estas consideradas como pequeños trapecios para calcular su valor. Se aplica a funciones como las integrales impropias con limites (- ∞,∞), se transforma el intervalo finito e n toda la recta donde se puede integrar con exactitud cualquier función. Este método es mejor que el método de trapecio Simple, es decir, su aproximación tiende a converger mucho más, es decir, es más exacto al momento de arrojar resultados.
Desventajas: ♦
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Depende de una cantidad "n" de subdivi siones, para determinar el número de i teraciones a realizar, de no conocer esta cantidad, debe ser asumida de manera arbitraria. No se tiene garantía que aplicando este método se puede conseguir la antide rivada de una función asociada a f(x). Es un proceso lento, es decir, requiere un valor de nodos "n" muy alto para obtener una aproximación aceptable. En la práctica es recomendable utilizar otros procedimientos mejores como la regla compuesta de Simpson.
1.4 Método de Simpson El Método de Simpson sustituye a la curva y=f(x ) por una serie de arcos contiguos, cada uno de estos arcos es un arco de parábola de eje vertical. Esto nos lleva a aproximar el área bajo la curva mediante la suma de las áreas bajo cada arco de parábola. El procedimiento es similar al de los Trapecios, con la siguiente condición: El número "n" de subinterval os debe ser un número par. La fórmula de Simpson simple es:
Usar la fórmula de Simpson para integrar una función en un in tervalo, equivale a sustituir, dentro de la i ntegral, la función a integrar por el polinomio de interpolación de grado dos, que pasa por los puntos de la función de los extremos y el punto medio del intervalo. Es decir, sustituimos la función por una parábola e integramos.
1.5 Regla de Simpson 1/3
Es un método de integración directa, el mismo no trabaja con tamaño de pasos ni con número de iteraciones como lo realiza el método de trapecio compuesto, este con tres puntos conocidos aproxima la función que se desea integrar, lo que es igual aproximar la función a integrar por un polinomio cuadrático. Esta regla a dif erencia de la regla del trapecio, donde a mayor número de subdivisiones se obtien e una mejor aproximación, lo que hace es ajustar una curva de orden superior en lugar de la línea recta como sucede con la regla del trapecio. Suponga que se tiene la función f ( x) y los siguientes datos:
Donde xm es el punto medio entre a y b . Entonces es posible ajustar por puntos f (a), f (b) y f ( xm) una parábola. De la misma forma, si exi sten dos puntos entre f (a) y f (b), entonces por esos cuatro puntos será posible ajustar una curva de grado tres, y así sucesivamente. En la gráfica se muestra una parábola que aproxima a una función real. Observe que se calcula el área o la integral bajo l a parábola que pasa por los tres puntos.
Así entonces para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson se utili za la siguiente fórmula:
Características: ♦
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Cuando el área se divide en un número par de fajas de ancho se puede utilizar este método de Simpson 1/3 en su forma simple. Su error es proporcional a la cuarta derivada, debido a que el término del coeficiente de tercer orden va a cero durante la integración de la interpolación polinomial. Se utiliza para determinar el área aproximada bajo la curva contenida en dos fajas que tienen un mismo ancho.
Ventajas: ♦
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Una ventaja del método es que es directo, es decir, que no necesita iteraciones para llegar a su resultado. Para la identificación de datos correctos en la integral aproximada se efectúa por lo menos integraciones con distinto número de sub- intervalos. Proporciona resultados exactos para polinomios cúbicos aun cuando se derive de una parábola, es decir, tiene una precisión de tercer orden aun cuando se base en solo tres puntos.
Desventajas: ♦ ♦ ♦
Trabaja con dos grandes secciones, y a su vez con dos márgenes de acotación. Es una sucesión de curva que es amoldada a la forma de la función. El método se aplica si y solo si cumple con las condiciones específicas que e ste requiere, de lo contrario en las funciones que no cumplan con las mismas, no se podrán realizar
1.6 Regla de Simpson 3/8
Es un método de integración que sirve para aproximar un polinomio de interpolación de grado 3, no trabaja con tamaño de paso, así como también no hace uso de iteraciones. Para resolver este método es necesario encontrar los valores de 4 puntos como lo son x0, x1, x2, x3.
En la i lustración gráfica se observa una función f(x) por medio de la cual se va aproximar al resultado tomando el área bajo una ecuación cúbica que conecta cuatro puntos (polinomio de interpolación cuadrático) donde se necesitan conocer los 4 puntos donde x0=a, x2=b x1=(a+b)/2, es decir, se trabaja bajo un dominio [a,b] dividido e n tres intervalos. De la misma manera como se hizo en la regla de trapecio, la regla de Simpson se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud h=b−a/n . Cuando el número de subdivisiones que se haga sea igual a tres, entonces el método recibe el nombre de la Regla de Simpson 3/8. Se le da ese nombre debido al factor 3/8h que aparece en la fórmula. Suponga que se tiene la función f ( x) y los siguientes datos:
Donde xm, xn son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo [a, b]. En la gráfica se muestra una parábola que aproxima a una función real. Observe que se calcula el área o la integral bajo l a parábola que pasa por los cuatro puntos.
Para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson 3/8 se utiliza la siguiente fórmula:
Es importante señalar que para la regla de Si mpson 3/8 compuesta, el número de subintervalos solo puede ser un múltiplo de 3, en caso contrario no es posible aplicar la regla. Características: ♦
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Este método divide el área bajo la curva en 4 secciones, su orden de error no es muy significante. Es caracterizado por ser un método que sirve para aproximar y resolver ecuaciones polinómicas de tercer grado. No utiliza tamaño de paso para efectuarse.
Ventajas: ♦
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Es recomendable usar este método cuando el número de segmentos es impar, para así obtener un estimado con una precisión de tercer a orden a través de todo el intervalo. Tiene mayor precisión y estabilidad que los métodos del trapecio. Por no efectuar iteraciones es un método más rápido a la hora de arrojar sus resultados.
Desventajas: ♦
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Es más imprecisa que el método de Si mpson 3/8 compuesto, aunque se dice también que es más rápido, a la hora de encontrar resultados es necesario obtenerlo de manera precisa, no importa lo rápido que resulte, por esta razón es considerado una desventaja. Requiere de cuatro puntos para alcanzar exactitud. Es menos exacto que el método de Simpson 3/8 en su forma compuesta.
2. Integración de Romberg
La integración de romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas de funciones de manera eficiente, que se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones matemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo. Haciendo uso de la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe se r suficientemente derivable en e l intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos po co derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en e se caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Cle nshaw –Curtis son más adecuados. El método se define de forma recursiva así:
Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel (que llamamos 0), es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debe mos de duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc., hasta donde se desee.
Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación (el 1), que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel anterior, y que corresponden cuando h2=h1/2. Después pasamos al tercer nivel de aproximación (el 2), pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior. Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 0. En general, si en el primer nivel, iniciamos con n aproximaciones, entonces alcanzaremos a llegar hasta el nivel de aproximación n. Con este diagrama se puede ilustrar mejor:
3. Cuadratura de Gauss En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. El método de cuadratura de Gauss es un excelente método numérico para evaluar integrales definidas de funciones, por medio de sumatorias simples y fáciles de implementar. Por otra parte, es una aplicación bastante interesante de los polinomios ortogonales. Este método de basa en muestrear el integrando de la función cuya integral se desea encontrar, a valores que representan raíces de polinomios ortogonales. Los más populares de éstos son los polinomios de Legendre. Una cuadratura de Gauss n, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y l os coeficientes wi para i=1, ..., n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1]dada por:
Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f ( x ) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f ( x )=W ( x )g( x ), donde g( x ) es un polinomio aproximado y W ( x ) es conocido.
Fórmula para calcular wi:
Lista de coeficientes de wi y puntos xi para n=1,....,5:
Los cambios de intervalos van de [−1, 1] después de apl icar la cuadratura de Gauss:
Después de aplicar la cuadratura la aproximación es:
Taller de Ejercicios
Solución: La integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante la regla trapecios y de Simpson, es decir sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b], se aproxima a f(x) por un polinomio de primer grado.
Solución: Una estimación del error para una sola aplicación de la regla trapezoidal viene dada por: E = - 1/12 F"(ε)(b-a) ^3 Donde ε está en algún lugar entre a y b, la anterior ecuación indica que, si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta ya que su error seria de cero
Como se ve en la gráfica al dividir el área en áreas más pequeñas, se nota que no hay más áreas que las generadas por los subintervalos por lo tanto su área será exacta
