ESTABILIDAD E HIPERASTICIDAD 1. Introducc Introducción. ión.
El Diseño Estructural es un proceso creativo basado en el conocimiento de los principios de estática, dinámica, mecánica de sólidos y análisis estructural. Producto es una estructura segura y económica que cumple su propósito (requisitos de diseño). • • • • • • • • • • •
Cargas muertas. Carg Cargas as viva vivass est estát átic icas as.. Carg Cargas as viva vivass móvi móvile les. s. mpacto. !ieve. "iento. #ismos. $luvia. Empu%e de de suelos. nundación. &tros.
Principios del diseño estructural:
Análisis Estructural: Consiste en determinar las 'ueras y de'ormaciones de los elementos estructurales debido a la aplicación de cargas a la estructura. Explicación. $as 'ueras pueden ser eternas (*eacciones), e internas (+omentos 'leionantes, Cortantes, iales) -e'ormaciones, Para calcular las de'ormaciones se debe conocer las siguientes propiedades Geométricas. /rea y momentos de nercia. 0 de 10
elasticidad, es'uero permisible. Propiedades Físicas. +odulo de elasticidad, El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteria el comportamiento de un material elástico. elástico. 2 E -onde
σ = ε
$o3 $ongitud nicial $'3 $ongitud 4inal ∆$3 $'5$o ε
=
∆l
Lo
=
F
F Lo
?L
Lf
σ=e*E
Lf − Lo Lo
e
Es'ueros actualmente. Por carga ial 3
P A
Por +omento 4leionante 3
M 2 Y Y
I
omponentes estructurales. !irantes son miembros sometidos solo a 'ueras aiales de tensión por lo tanto no esta cargado a lo largo de su longitud y no puede resistir 'ueras generadas de 'leión.
Puntales: #on miembros sometidos a 'ueras de compresión. miembros sometidos sometidos a 'ueras de 'leión 'leión casi siempre siempre están ubicados ubicados de 'orma "igas # tra$es #on miembros 6oriontal miembros sometidos principalmente a 'uera de compresión aial tambi7n 'ueras de olumnas. #on miembros 'leión.
Dia%ragmas: #on componentes 'ormados por placas planas, tienen una alta rigide en su plano. $os componentes estructurales se ensamblan para 'ormar sistemas estructurales "igas& 'arcos estructurales ("igas y Columnas), Armaduras (8irantes y Puntales)
"igas
1 de 10
'arcos
erc(as
).) Estructuras indeterminadas o *iperestática. Es cuando una estructura tiene mas reacciones eternas o 'ueras internas que las que se pueden determinar con las ecuaciones de Estática. En la práctica es más com9n, encontrarse con este tipo de estructura. "enta+as. A(orro de materiales. W
W
B A Ay=Wl/2
B
A
B L
L
By=Wl/2
M=WL²/8 M=WL²/24
M
M=WL²/12
VIGA SIMPLE
M=WL²/
VIGA Empotrada
$os menores momentos 'leionantes desarrollados en las estructuras 6iperestáticas permiten la utiliación de elementos más pequeños. 'a#or rigide, # menores de%lexiones. Estructuras más atracti-as.
Des-enta+as. Asentamiento de los apo#os. En estructuras 6iperestatica el asentamiento de un apoyo puede causar cambios en los apoyos.
: de 10
Aparición de tros Es%uer,o. Dificultad de análisis y diseño.
/. 0deali,ación de la estructura. Es el proceso de reemplaar la estructura real por un sistema simple de l;neas que representen los e%es centrales de cada elemento estructural. A
B
1, 0 2 m
7, 4 4 m 1, 0 2 m
0 ,8 7m
0, 8 7 m
1, 0 2 m
1, 0 2 m
1,0 2m
7 ,4 4m 1,0 2m
1, 0 2 m
1,0 2 m 1,18 m
1, 1 8 m
1, 15 m
1, 1 5 m 1, 0 2 m
1, 0 6 m
0, 9 9 m
0,96m
1,02m
1m
1m
CH-1
1,02m
0,96m
m 3 5 , 0
1,0 6 m 1,0 2 m
0 ,9 9 m
m 2 5 , 4 1 C
m 8 7 , 3
m 8 2 , 4
1 C
2 , 0
VA m 8 , 0
Z-1
m 5 2 , 1
Z-1 12,15m
m 5 2 , 0
1. 2eglamentación de cargas a utili,ar en el análisis. 2eglamentos El ob%etivo de todo reglamento o normas es proporcionarle al ingeniero proyectista especi'icaciones que le permitan diseñar y construir obras que satis'agan la necesidad social con un costo m;nimo y seguro. En el caso del *eglamento !acional de la Construcción (*!C), su 'in es establecer los requerimientos aplicables al diseño y construcción de edi'icaciones. continuación se mencionan otras normas que se aplican en !icaragua en el área de construcción.
+anual de Procedimiento para el +antenimiento 4;sico del Catastro !acional (+P+4C!) !ormas m;nimas de dimensionamiento para -esarrollo
) !ormas t7cnicas de abastecimiento de agua potable en el medio rural (!8&!) ! Especi'icaciones generales para la construcción de caminos calles y puentes (!C1===)
argas. $as cargas estructurales son clasi'icadas atendiendo a su carácter y a su duración arga 'uerta 3'4 3Art. 5& Anexo A4: #on aquellas de magnitud constante las cuales permanecen en una sola posición. Peso propio. > de 10
8ec6os. (?inc, te%a, estructura de soporte del tec6o, cielo rasos, accesorios) Paredes @loques, ladrillos, adobes, Covintec, Playcen. Pisos, $osas, cascotes de mortero, $adrillos. +arcos estructurales. 'aterial 36g7m1 'aterial 36g7m14 4 Concreto 1,>==.== Cedro >A0.== cero BA=.== *oble B>.== #uelo 0,D==.== gua 0===.== Pino DD=.==
argas "i-as 3"4 3Art. )84. #on aquellas que pueden variar en magnitud y posición con el tiempo. Estas son causadas por el uso y ocupación de las edi'icaciones y que no tienen carácter permanente. -ebido a solicitaciones s;smica la carga viva se reduce (Carga viva reducida C"*) la que la probabilidad de que el edi'icio este cargado totalmente y ocurra un sismo es poco. argas "iento 3P4 3Art. /84. Es la producida por el e'ecto del "iento. argas 9ísmica 394 3Art. /4.quella ocasionada por e'ecto del sismo en 'orma de aceleración. ( F = ma ), -onde la masa ser;a el peso de la estructura (C+), mas la carga viva reducida. $a aceleración depende donde esta ubicada (?ona , ?ona @, ?ona C) S = C (W ) -onde W = CM + CVR Por lo tanto S = C (CM + CVR )
;rea !ri$utaria: Es el área cargada de una estructura que contribuye en 'orma directa a la carga aplicada a un miembro particular de la estructura. A
!
B
$
1 Area Triburia para columna "3 AT= 3!25 =75m ²
m 3 Area Triburia para columna A1 AT= 25!15 =375m ²
2
m 3
3
m 3 Area Triburia para columna "3 AT= 5!3 =15m ²
4 5m
5m
5m
AREA TRIBUTARIA (AT PARA !"LUM#AS
de 10
A
!
B
1
m 3
A
!
B
2 R1
# 5 4
3
R1
W
m 3
W
R1 W
W
R1 W
W
m 5 , 2
4 5 #
m 3
m 3
4 16,67
16,67m
16,67m
5m
5m
5m
5m
AREA TRIBUTARIA (AT V%&a' y Tra)'
El)*a+%o, 2-2
)4 E+emplo. alcular la carga por metro lineal = de 9ección !rans-ersal # .? metros de @ongitud.
$=1154%&'m
L=45m()
Datos. Peso Especi%ico del 2o$le B>.==gFm: * 6 = +
;rea >G2DG3 1>plg13 1>21.>13)?.Bcm/ Cm 3 (B>.==gFm: )2( 0>.A>cm1 )F0=,=== b=4*
Cm 3 )).?6g7m
/4 na -iga de sección trans-ersal circular de Diámetro igual a /8cm& se corta un tro,o de 18cm el cual pesó .?1 6g. alcular el Peso por metro lineal. #olución 0 9olución / 9olución. Datos. -atos. -atos. $($ongitud)3=.:m $($ongitud)3=.:m 1 1 P3>.:Ig π 2 d : .0>0D 2 = .1 1 = = = .=:0>1 m A3Area)3 >.C:kg > > Cm )?.)86g7m =.:m "3"olumen4 32$ 3=.=:0>1m12=.:m 3.==H>1>Am: =
Peso Especi%ico :
p V
=
>.C:kg =.==H>1>Am
:
=
>=A .D>kg F m :
Cm 3 (>A=.D>Fm )2( =.=:0>1m1 )3)?.)6g7m
ota: El peso por metro lineal de una -iga es igual al peso especí%ico por el área trans-ersal Wm D de 10
=
γ 2 A
1alcular el peso propio por metro lineal de una cerc(a de Acero A1> # Distri$uirlos en sus nodos de %orma puntual conociendo los siguientes datos. 4m Cuerda #uperior e in'erior 3 1$ de 1.1.0FA 1m 1m 1m 1m -iagonales 3 $110FA 2L 2L 2L 2L γ (cero)3B,AD=.==gFm: L L m #olución. L L L L L 1 El Peso por metro lineal de la cerc6a equivale al peso 2L 2L 2L 2L total de la cerc6a entre la longitud (>mts) L
Descripción 1$ (Cuerda n'erior) 1$ (Cuerda #uperior) $ (Cuerdas "er) $ (-iagonales "er)
;rea en Plg/ # En m/ @ongitud 3mts) alculo Area 3Plg/4 ;rea 3m/4 121.2(1.5 0.>A>> H.BDD >mt 0FA)20FA 121.2(1.5 0.>A>> H.BDD >mt 0FA)20FA 12(150FA)20FA =.>DAA :.=1>1 mt 12(150FA)20FA =.>DAA :.=1>1 .DDmts PE9 !!A@ DE @A E2*A 1.0&
El Peso total de la cerc6a es de A.D g. El peso por unidad de longitud es de 3 W
AC.CD Kg =
>mts
=
10.:H Kg F m ,
Peso A@ alculo Peso en Hg 18.)8 3BAD=2H.BDD2>F0==== 3BAD=2H.BDD2>F0====
18.)8
3BAD=2:.=1>12F0==== 3BAD=2:.=1>12.DDF0====
)).B5 )1.? B?.?>
21.3/0&
2L
la cual debe
concentrarse en los nodos de la cuerda superior. !odos de los etremos P310.:H2=. 30=.B=g !odos centrales P310.:H20.= 310.:Hg
2L
21.3/0&
2L L
L
L
L
L
21.3/0&
2L
2L L
L
2L
1.0&
L
2L
L
L
2L
19e construirá un puente peatonal 3El cual se 'uestra en la Figura4 de )./mts de Anc(o so$re un cauce re-estido. 9e utili,aran dos -igas de madera de 2o$le con sección trans-ersal /=x>= las cuales soportaran una losa de concreto de )8cm de Espesor& # un $arandal de madera de edro con sección de /=x/=. ota. Asuma una arga "i-a de /886g7m/ A@@ DE @A A2GA 'E2!A. Peso propio de la -iga. γ (*oble) 3B>IgFm: rea 3 >GDG 3 1>Plg1 3 0>.>cm1
1,00m
1,00m
1,00m
J("iga) 3 γ 2 3
B>C 2 0C>.C> 0====
=
)).?6g7m
Peso de la @osa. γ (Concreto) 31>==IgFm: Espesor (t) 3 =.0mts Peso por metro cuadrado 3 γ 2t 3 1>==2=.0 3 1>=IgFm1
B de 10
1,00m
m 0 0 1
Lo)a e -oncre(o
.i&a e /aera
J (Peso por metro) 3 1>=IgFm12nc6o 8ributario. J($osa)3 1>=2=.D 3)6g7m.
Peso del Iarandal. @ongitud Peso A@ ;rea en Plg/ # En m/ / / alculo Area 3Plg 4 ;rea 3m 4 mts alculo
Descripción Cuerda #uperior 1G21G Cuerdas "erticales 1G21G Cuerdas -iagonales 1G21G
C3Iarandal4
>.== >.== >.==
0A.10kg > mts
1.A0 1.A0 1.A0
>mts mts .DDmts
Peso 3>A021.A02>F0==== >.HB 3>A021.A02F0==== D.10 3>A021.A02.DDF0==== B.=: )B./)
.??Hg7mts
J(8otal) 3 J("iga) K J( $osa) K J(@arandal) C 3!otal4 3 00.>K0>>K>. 3)>8Hg7m
A@@ DE @A A2GA "0"A. J("iva)3 1==gFm12=.Dmts3 01=gFm C*L 8&8$ 3 C*L +ME*8 K C*L "" Jtotal 30D=K01= 3 /B8Hg7m
Diseño de la -iga.
260&/m
A
Es%uer,o Actuante. fx
Mx 2 Y =
B
Ay=5&
L By=0G
Ix
+3 ?>&888.886gcm. b 2 h: Ix = 01 fx
=
0= .0D 2 0C .1> : = 01
CD,=== 2 B.D1 1,HHD.AB
=
=
/&55>.BJcm 5&
)/.15Hg7cm/ V
Es'uero Permisible del *oble 3 4(Permisible)3)B8Hg7cm/ (8abla N0A *!C)
5& M=0&-m
A de 10
M
Condición. fx F
+
p
fy
+
F
A O0 F =
0>1.:H
= +
0A=
+
0A=
=
=.BHO0 &I
0A=
Control de -e'leión. De%lexión Actuante. ∆=
C 2 W 2 L> :A> EI
J3 1.AIgFcm $3 >==cm E30=,===.==gFcm1 3 1,HHD.AB cm> ∆=
C 2 1.A 2 >== > :A> 2 0C=,=== 2 1,HHD.AB
De%lexión Permisi$le ∆<
>== 1>=
+ =.C =
∆<
=
L 1>=
/.8Bcm
+ = .C
/.)> K/.8B 6
. 9e construirá una Pila de Almacenamiento de Agua Pota$le de oncreto con las 9iguientes Dimensiones: Determine la presión trasmitida al suelo& 9a$iendo 6g7cm/ . El %actor de 9eguridad de$e ser ma#or a ).? @ase 3 :mts $ongitud 3 >.mts ltura 8otal3 :mts ltura de gua 3 1.mts Espesor tanto de Paredes como de $osa n'erior y #uperior 3 =.0mts Descripción. "olumen m1 36g7m1 6g 4 $osa #uperior :2>.2.0 1.=1 1>== >,AD=.== $osa n'erior :2>.2.0 1.=1 1>== >,AD=.== Paredes 12(:K>.)2(1.5 >.H 1>== 00,AA=.== 12.0)2=.0 gua (:5=.:)2(>.5.=:)21. 1A.: 0=== 1A,:=.== Peso 8otal. 5&5?8.88
H de 10
P2
>H,HC=.==kg :==cm 2 >C=cm
) 8.1J6g7cm/
F.9 8.>78.1J).>/K).?6
. 9e construirá una Ii$lioteca de dos ni-eles en la iudad de Estelí la cual se descri$e a continuación. . - 2 0 2 0
2 0 . - 2 0
5 3 0 5 3
5 3 0 5 3
-
5 3 0 5 3
-
.A2535
5 3 0 5 3 -
5 3 0 5 3
-
.A2535
5 3 0 5 3 -
5 3 0 5 3
-
.A2535
5 3 0 5 3 -
m 5 , 3
5 3 0 5 3 -
m 5 , 3
.A2535
5 3 0 5 3 -
.A2020
.A2020
.A2020
.A2020
3,5m
3,5m
3,5m
3,5m
ELEVA!I"# ESTRU!TURAL A y $
0= de 10
-
A
B
$
!
1
m 5 , 3
2
m 5 , 3
3
m 5 , 3
4
m 5 , 3
5m
5m
5m
PLA#TA $E E#TREPIS"
u$ierta de tec(o Para la cubierta de tec6o se utiliará ?inc Corrugado Calibre 1D, el cual estará soportado por perlines de acero de 1G>G0FAG separados cada 0.01mts. #e colocará cielo raso de madera de cedro con espesor mm 'i%ado al esqueleteado de =.m =.ms de madera de cedro de sección 1G1G Paredes. En el segundo ni-el se utiliará paredes de Covinted (Paneles de doble electromalla de acero con n9cleo de poroplast (1.cm de repello ambas caras),
(Cuerda inferior y Superior) 2L 2.5x2.5x1/8 ($iaonales y &erticales) L 2.5x2.5x1/8 (Perlines) P2x4x1/8 Peralte de Cerca !".5"#ts
5 3 5 3 -
Pendiente del 2%
.A2535
5 3 5 3 -
.A2535
5 3 5 3 -
.A2535
5 3 5 3 -
5 3 5 3 -
m 5 , 3
5 3 5 3 -
m 5 , 3
.A2535
5 3 5 3 -
.A2020
.A2020
.A2020
.A2020
3,5m
3,5m
3,5m
3,5m
ELEVA!I"# ESTRU!TURAL B y !
En el primer ni-el las paredes serán de bloques de cemento de 01=>= con repello de 0 cm. ambas caras Pisos #e utiliará ladrillo cerámica el cual se colocará sobre una losa de concreto de 01.cm de Espesor 'arcos. #e utiliaran vigas de concreto re'orado de =.1=.: cm. y Columnas de ::s. $os marcos interiores llevaran una cerc6a de angulares de =.m de peralte, la cuerda in'erior y superior estarán 'ormada por doble angulares de 1$ 1.1.0FA y las diagonales y verticales de $1.1.0FA Pesos utili,ados. Descripción Pesos. ?inc Corrugado Calibre 1D ?.6g7m/ 00 de 10
Covinted Cedro real 3 @loques de cemento de 01=>= *epello de 0 cm. ambas caras $adrillo cerámica Concreto. cero Estructural
0=IgFm1 >A0IgFm: 1== IgFcm1 1=IgFcm1 := IgFcm1 1,>==IgFm: >,AD=Fm:
A2GA9 9I2E E@ PE2@0. arga 'uerta 3'4. Peso del Perlin. rea 3 >20FAK12(150FA)20FA3 =.HDHplg1 3 =.HDH21.>13>./?cm/ J(gFm) 3γ 2 3
BAD= 2 D.1C =
0====
.5)6g7mts
J(gFm1) 3 l peso por unidad de longitud entre la separación de los perlines.
C3Hg7m/4 3
>.H0 Kg F mts 0.01mts
=
.1BHg7m/
u$ierta de tec(o. ?inc Corrugado Calibre 1D 3?.6g7m / ielo 2a,o. Es3 1mts /rea3 1G21G21.>13 1.A0cm1 Peso total 3 γ 22$ 3
C3Hg7m/4 3
>A0 2 1C .A0 2 1 0=,===
1.>A Kg =.C 2 =.Cm
1
=
=
1.>AIg
5.5/6g7m/
!a$la de 8.?cm de Espesor. C3Hg7m/4 3γ 2t 3
>A0 2 =.C 0==
=
/.)6g7m/
Accesorios 3@ámparas& a$les& A$anicos etc4 ccesorio asumir 3.88Hg7m/ arga 'uerta total >.:AK.>KH.H1K1.>0K>.==/>.))Hg7m/ =100%&
arga "i-a. 3Art.))4 C3Hg7m/4 3)86g7m/ P (Ig) 3 )88Hg en el Centro del Perlin
$=4044%&'m
L=5m()
/
arga !otal Distri$uida 3 C+KC" 3 1D.00K0=3 1>.))6g7m arga total lineal :D.00IgFm120.01mts 8.Hg7m 'A2 A Y D. !E*. A2GA 'E2!A Descripción. Hg7m/ 01 de 10
?inc Corrugado Calibre 1D Perlin 1>0FAG Esqueleteado de +adera $amina de madera ccesorios !!A@
?. .1B 5.5/ /.) .88 />.))
Anc(o tri$utario 3At ?7/ /.?mts4 C3Hg7m4 3 1D.00IgFm121. 3>?./BHg7m A2GA "0"A. 3Art.))4 C3Hg7m/4 3)86g7m/ P (Ig) 3 /88Hg en el Centro del +arco E!2EP09. Pared de o-inted. Descripción . o-inted
Hg7m/
0=.= =
!ramo de )/ *) 1.?
Hg7m ?/?
!ramo de /1 */ ./
Hg7m >18
*/ ./
Hg7m >18
!ramo de 1 *1 .5
Hg7m J1?
*1 .5
Hg7m J1?
!ramo de ? * ./
Hg7m >18
* ./
Hg7m >18
*/ 1.?
Hg7m ?/?
!ota como la carga var;a de 'orma lineal y es proporcional a la altura del muro esta se puede derminar por la siguiente ecuación. J(gFm)3 (6iKP2$) J (Covinted) J(IgFm)3 (:.K=.12$)20= validad para @ desde 38 a Jmts4 E+emplo: $3= Entonces J 3 (:.K=.12=)20= ?/?Hg7m @Jm Entonces J 3 (:.K=.12B)20= J1?Hg7m
@osa de Entrepiso. @osa 1>==2=.01 3 :==IgFm1 $adrillo cerámica 3:= IgFm1 ccesorios 3 > IgFm1 !otal de la @asa 11 6g7m/ C3Hg7m4 11).J? ?B.?8Hg7m De %orma triangular. #e tiene que sumar la carga 8rapeoidal del Covinted más la carga de la losa. Msted puede observar que la carga de la losa en cada columna es igual a cero y en el centro de cada tramo es máima. Entonces se calculará de la siguiente manera.
A
B
!
$
1
m 5 , 3
2
m 5 , 3
3
m 5 , 3
4
m 5 , 3
35m 5m
5m
1,75m 5m
AREA TRIBUTARIA PARA MAR!"S E7TER#" E I#TER#"
9'A DE A2GA 'E2!A. Punto 0- 3 1 K= ?/? 6g7m 0: de 10
Punto (+itad de tramo 01) 3(:.K=.120.B)20=KA>.=3)&)>/6g7m Punto /D D:= K= >18 6g7m Punto (+itad de tramo 1:) 3(:.K=.12.1)20=KA>.=3)&/>J6g7m Punto 1D B: K= J1? 6g7m Punto (+itad de tramo :>31:) 3)&/>J6g7m Punto D 1D D:= K= >18 6g7m Punto (+itad de tramo >3 01) 3(:.K=.120.B)20=KA>.=3)&)>/6g7m Punto )D3?D 3 1 K= ?/? 6g7m "iga 9ísmica. @loques de cemento de 01=>= 1== IgFcm1 *epello de 0 cm. ambas caras 1=IgFcm1 J3 11=gFm1 J(gFm)3 11=2:. 3 JJ8 Hg7m.
6 5 $ c m=
' m 2 8 % &
1,267%&'m
$ cm = 6 5 2 8% & ' m
1,267%&'m
1,162%&'m
1,162%&'m
m 5 , 3
735%&'m 525%&'m
630%&'m
630%&'m 525%&'m
770%&'m
C'' *+,-'
E#8@$-- E <PE*#8C--
0> de 10
m 5 , 3
-urante los primeros cursos de estática, se aplican los principios elementales del equilibrio de sistemas de 'uera 0,1Q. -esde entonces se plantea que la resultante de dic6os sistemas debe ser cero. 8anto las vigas como las armaduras representan las primeras estructuras en las cuales se determinan los valores de las 'ueras de reacción necesarias para que la suma total sea cero. Es decir, para que la estructura est7 en equilibrio. El requisito indispensable para poderlas analiar es que sean isostáticas, es decir, que sólo tengan las reacciones o apoyos necesarios para que sean estables. qu;, se considera una estructura estable aquella que tiene tantos apoyos y dispuestos en 'orma tal que impidan movimientos de cuerpo r;gido. Consid7rese por e%emplo una viga simple su%eta a cualquier sistema de carga (4ig. 0)
El apoyo 'i%o en el etremo iquierdo o'rece dos direcciones de soporte, mientras que el apoyo del etremo derec6o o'rece solamente una. cada etremo se le nominará como nudo 0 y 1 respectivamente. $as reacciones que sostienen a la viga son las que se indican en la 'igura 1. -e acuerdo a un sistema coplanar general, se disponen de tres ecuaciones de equilibrio. Estas son R4 3 =, R4y 3 = y R+ 3 =. -ebido a que se tienen igualmente tres reacciones desconocidas, *0, *y0, *y1, la estructura se dice isostática. Es decir, el n9mero de reacciones debidas a los apoyos es igual al n9mero de ecuaciones disponibles para establecer su equilibrio.
#i a la misma viga se remueve uno de sus apoyos, por e%emplo si se elimina el apoyo derec6o, entonces es inestable (4ig. :). Por otro lado, el n9mero de reacciones es igual a dos, mientras que el n9mero de ecuaciones sigue siendo tres. En este caso, la estructura se dice 6ipostática. $a estructura presenta un movimiento de cuerpo r;gido. Esto signi'ica que aunque 6aya desplaamientos no nulos en alguno de sus nudos, los es'ueros internos son nulos. Es importante remarcar que los desplaamientos as; obtenidos son indeterminados. Para el e%emplo mostrado tanto el giro en el nudo 0 como el giro y el desplaamiento del nudo 1 son no nulos.
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-e igual 'orma, si se elimina la reacción 6oriontal del apoyo iquierdo (esto se puede lograr trans'ormando el apoyo de pasador 'i%o por el de otro rodillo como el del nudo 1), la viga presenta tambi7n un n9mero menor de incógnitas que el de ecuaciones (4ig. >). $a estructura sigue siendo 6ipostática y el desplaamiento indeterminado se da en ambos nudos en la dirección 6oriontal. Esto tambi7n representa un movimiento de cuerpo r;gido. !uevamente, los es'ueros internos son nulos y los desplaamientos no se pueden evaluar.
Por 9ltimo, consid7rese el caso contrario a los anteriores, es decir, en lugar de eliminar reacciones, se agregan apoyos a la misma viga (4ig. ).
El empotramiento en el etremo iquierdo origina una nueva restricción al apoyo. Esta le impide girar, por lo que se tienen a6ora cuatro reacciones incógnitas contra tres ecuaciones de equilibrio. esta estructura se le dice 6iperestática. S a la di'erencia entre el n9mero de reacciones y el de ecuaciones proporcionadas por la estática se le conoce como grado de indeterminación estática (gie). s;, en este caso el gie 3 0. $a solución
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requiere que se planteen ecuaciones adicionales 6asta igualar el n9mero de ecuaciones con el de las incógnitas por determinar.
#e puede seguir incrementando el n9mero de restricciones a los desplaamientos de los nudos. Por e%emplo, si se cambia el rodillo por otro empotramiento en el nudo 1 (4ig. B), se impedirá tanto el desplaamiento 6oriontal como el giro en ese etremo. El n9mero de incógnitas aumenta a6ora a D y el gie 3 : ya que para todos los casos se trata de un problema plano en el que se disponen de tres ecuaciones de equilibrio.
$as reacciones para estas condiciones de apoyo se muestran en la 'igura A.
El mismo concepto puede aplicarse a estructuras espaciales. En este caso se dispone de seis ecuaciones de equilibrio las cuales implican tres sumas de 'ueras y tres de momentos R4, R4y, R4, R+, R+y, R+. Para ilustrar el caso espacial puede revisarse el marco mostrado en la 'igura H. Sa que se consideran empotradas todas las columnas, eisten D reacciones a la base de cada una de ellas.
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Esto 6ace un total de 1> reacciones por determinar, lo que implica un grado de indeterminación estática muy elevado (gie 3 0A). Puede verse tambi7n que la estructura mostrada en la 'igura H se aseme%a a estructuras 'recuentes. Esta es de 6ec6o una de las estructuras espaciales más simples. $o que indica que con muc6a 'recuencia, se requiere analiar estructuras altamente indeterminadas. #in embargo, el alto grado de indeterminación de las estructuras no representa ninguna limitación para el análisis estructural, si no por el contrario, es donde se encuentra su mayor inter7s. En resumen, para estructuras planas y espaciales la indeterminación estática se de'ine por
Grado de indeterminación interna en armaduras Por otro lado, sólo se 6a revisado la indeterminación eterna mientras que, la composición propia de la estructura puede representar otro grado de indeterminación adicional. esto se le denomina grado de indeterminación estática interna. Para ilustrar como se determina la misma, se considerará como caso simple, una armadura (4ig. 0=) en la que se requiere conocer la 'uera que se desarrolla en cada una de sus barras.
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En cada uno de los nudos debe satis'acerse el equilibrio. Sa que es una estructura plana, a cada nudo se le asocia un sistema coplanar concurrente, por lo que se cuenta con dos ecuaciones por nudo (R4 y R4y). Esto signi'ica que para qua la estructura sea estáticamente determinada, el n9mero de barras (incógnitas) no debe eceder de dos veces el n9mero de nudos. Para una armadura espacial, el sistema que aparece en cada nudo es concurrente no coplanar, por lo que se dispone de tres ecuaciones por nudo. -eben entonces satis'acerse las siguientes ecuaciones rmadura plana rmadura espacialm
m K : 5 1% 3 = KD5:%3=
0.:) 0.>)
-onde, m es el n9mero de barras y % es el n9mero de nudos. demás, : y D representan el n9mero de reacciones eternas requeridas para que la estructura se isostática eternamente. -e estas relaciones puede verse que una armadura como la mostrada en la 'igura 00a) será inestable, ya que mK: 5 1(>) >K: O A. ⇒
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Para corregir la inestabilidad interna, se requiere agregar una barra como se muestra en la 'igura 00b. Es importante observar que si se agrega un apoyo lateral al nudo dos, se cumple aparentemente la condición de estabilidad ya que m K > 5 1(>) >K> 3 A, sin embargo, aun as;, sigue siendo inestable, ya que el desplaamiento lateral de los nudos : y > no tiene ninguna restricción (4ig. 01). Esto indica, que si se agregan apoyos eternos en lugar de barras para cumplir con las relaciones 0.:) y 0.>) sólo puede garantiarse el equilibrio si el apoyo en cuestión cumple con la 'unción que cumplir;a la barra interna (4ig. 0:). En este caso se trata de restringir el desplaamiento 6oriontal de los nudos : y >. un as;, es necesario remarcar que siguiendo un análisis riguroso, los resultados de ambas estructuras no serán iguales. En e'ecto, en la 'igura 00b, el desplaamiento lateral depende de la rigide de la barra , mientras que en la estructura de la 'igura 0:, el desplaamiento del nudo > sera cero. #ólo si se desprecia la rigide aial de las barras (como en la mayor;a de los análisis por equlibrio estático), ambos resultados coincidirán. ⇒
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Esta$ilidad # grado de indeterminación de porticos planos Mn pórtico o marco, se compone de vigas y columnas unidas r;gidamente :5DQ. $a estabilidad y grado de indeterminación puede investigarse comparando el n9mero de incógnitas (de reacción e internas) con el n9mero de ecuaciones disponibles por estática. Como en el caso de las armaduras, el marco puede separarse en un n9mero de sólidos aislados, igual al de nudos, lo que requiere separar todos los elementos (vigas y columnas) mediante dos secciones (4ig. 0>). Por cada sección eisten tres incógnitas internas (!, ", +), sin embargo, si se conocen estas cantidades en una sección, se pueden determinar las correspondientes a otra sección cualquiera. Por lo tanto sólo 6ay tres incógnitas internas e independientes en cada elemento.
#i m representa el n9mero total de elementos y r el n9mero de reacciones, el n9mero total de incógnitas independientes en un marco r;gido será :m K r. Para el equilibrio de un nudo, se deben satis'acer tres ecuaciones de equilibrio, R43=, R4y3= y R+3= (marco plano). #i además el n9mero total de nudos r;gidos es %, entonces podrán escribirse :% ecuaciones independientes de equilibrio para el sistema completo. #i se introducen articulaciones u otros dispositivos de construcción con el 'in de proveer ecuaciones adicionales a las de la estática, el n9mero total de ecuaciones estáticas disponibles será :% K c, donde c son los dispositivos añadidos. Entonces, los criterios para la estabilidad y grado de indeterminación para un marco plano serán 0. #i :m K r O :% K c intestable 1. #i :m K r 3 :% K c estáticamente determinado, siempre y cuando sea estable 0. #i :m K r T :% K c estáticamente indeterminado
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