Trabajo Final de Metodos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

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AÑO DE LA INVERSION PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA

“

SEGURIDAD ALIMENTARIA

”

FACULTAD DE ING. INDUSTRIAL

CURSO: METODOS NUMERICOS

DOCENTE: ING. DR. Msc. JULIO JIMENEZ CHAVESTA

INTEGRANTES: HERRERA LOPEZ JESUS IVAN MATIAS SANDOVAL JUNIOR SERNAQUE CORDOVA, MARTIN YARLEQUE LITANO, DANIEL DANIEL

PIURA, JULIO DEL 2013

Facultad de Ing. Industrial

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APLICACIÓN DE LOS METODOS NUMERICOS EN LA INGENIERIA


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Dedicamos este trabajo a nuestros padres por el apoyo incondicional que nos brindan, para continuar estudiando y a Dios por todas las bendiciones que nos da…


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INDICE PAG 

INTRODUCCION……………………………………….……………… .4



JUSTIFICACION………………….…………………….……………….5



OBJETIVOS…………………………………………….………… .…….6



MARCO TEÓRICO……………………………………..… ..…..………8 o

METODO DE SIMPSON………………………………….....… .8

o

METODO DEL TRAPECIO APLICACIÓN MULTIPLE …..….9



DIAGRAMA DE FLUJO ………………………………………………. 13



MODELO MATEMATICO…………………………………………….. 13



SOLUCION EN EXCEL………………………………………………. .14



RESULTADOS………………………………………………………….15



DISCUSION DE RESULTADOS………………………………………16 o

METODO DE RANGE KUTTA………………………………..16



MODELO MATEMATICO……………………………………………..17



DIAGRAMA DE FLUJO ………………………………………………18



MODELO MATMATICO……………………………………………….19



RESULTADOS………………………………………………………….20



DISCUSION DE RESULTADOS…………………………………… ..22



CONCLUSIONES……………………………………………………..22



BIBLIOGRAFÍA………………………………………........23


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INTRODUCCION En la ingeniería, es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema o al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. En general, estos metodos vistos en clase y en este curso se aplican cuando se necesita un valor numerico como solucion a un problema matematico, y los procedimientos “exactos” o “analiticos” (manipul acioes algebraicas, teoria de ecuaciones diferenciales, metodos de integracion, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por fisicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de estos de obtener soluciones, aunque la precision no sea completa . debe recordarse que la fisica experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoria de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenomeno arrojen valores exactamentes iguales.

En por ello que en este presente trabajo les mostraremos dos aplicaciones en donde utiizaremos esta herramienta de metodos numericos para la solucion de estas mismas.


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JUSTIFICACION Como parte del curso de Métodos Numéricos se deben estudiar diferentes técnicas para formular problemas matemáticos. Una forma práctica para que el estudiante aprenda es mediante la investigación; es por eso que en este curso se fomenta esta práctica y el grupo se divide en subgrupos entre los cuales se distribuyen diferentes temas. Con la elaboración de este trabajo encargado se desea proporcionar una ayuda al futuro Ingeniero que nos servirá como complemento para reforzar nuestros conocimientos y solventar dudas respecto a los temas estudiados.


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OBJETIVOS 









El objetivo es que despues de entender estos temas seremos capaces de resolver muchos problemas de Integración y Diferenciacion Numerica y apreciaremos su aplicación para soluciones en ingenieria. Saber como derivar la regla trapezoidal y como acondicionar la Derivacion de ambas reglas, Reconocer que las reglas trapezoidal y de Simpson 1/3 y 3/8 representan las áreas de los polinomios de primer, segundo y tercer orden, respectivamente. Reconocer que la regla de Simpson 1/3 es exacta de cuarto orden, aun cuando esta basada en solo tres puntos, ya que proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva mientras que la derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. Teniendo en cuenta que La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida. Entender la aplicación de formulas por Diferenciación Numérica de alta exactitud.


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PROBLEMAS 

PROBLEMA 1

Un tanque de almacenamiento esfericos tiene 120 in de diametro y contiene gas seco a una presion de 30 psi. Si el diametro aumenta a 125 in debido al calor, y durante este proceso la presion es proporcional al diametro ⁄ , calcular el trabajo efectuado por el gas durante el







proceso y el error relativo verdadero.

NOTA: Emplear la regla del trapecio de aplicación multiple y regla de simpson 1/3.


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MARCO TEORICO Para solucionar el este problema nos sera necesario conocer el metodo del trapecio aplicación multiple y regla de simpson 1/3. REGLA DE SIMPSON 1/3 Regla de Simpson (nombrada asi en honor a Tomás Simpson) se puede obtener un estimación más exacta de la integral. El método consiste en usar polinomios de grado superior para aproximar la curva de la función y tomar las integrales bajo tales polinomios. Considére la función integrando f(x), cuya gráfica está entre los extremos x 0=a y x2=b, si hay otro punto a la mitad x 1=(x0+x2)/2 como se muestra en la figura. Si utilizamos un polinomio de Lagrange P 2(x) de segundo grado como una aproximación de f(x):

                  .

El área bajo este polinomio será una aproximación del área bajo la curva entre los los límites a y b.

Que es la conocida Regla de Simpson 1/3 Simple donde h = (b-a)/2. Geometricamente, la regla se Simpson 1/3 simple aprixima el area bajo una curva mediante el area bajo una parabola que une tres puntos-


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METODO DEL TRAPECIO APLICACIÓN MULTIPLE

Los resultados obtenidos con la regla del trapecio sencilla, suelen conducir a un error grande. Por eso se recurre a dividir el intevalo de integracion de “a” a “b” en varios segmentos iguales todos y aplicar el metodo a cada uno

de ellos: El ancho de cada segmento se re presenta por “h” h = (b-a)/n

Si

  y

, la integral comleta se representara como:


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SOLUCION

Se sabe que:

              ⁄  ⁄ 

El trabajo esta definido como el area bajo la curva P vs V,por lo que la integral se plantea de la siguiente manera:

  ∫ 



 ⁄ ∫  

Ahora:

               

La constante C se calcula reemplazando las condiciones iniciales de P y V.

     ⁄    ⁄   ⁄ ⁄   ⁄  ∫    ⁄

Con este valor se puede calcular la

Se calcula el valor teorico por metodo analitico:




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

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METODO DE SIMPSON 1/3

    

Donde

            ⁄  ⁄  i

V(in )

P(psi)

0

904778,684

30

1

963716,271

30,63775

2

1022653,86

31,25

                      

Error Relativo Verdadero


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

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REGLA DEL TRAPECIO DE APLICACIÓN MULTIPLE

MODELOS MATEMATICO

      ∑   ( )   Para n = 4

           ⁄                         Calculando el trabajo

      ∑      [ [  ]]               

Error Relativo verdadero


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DIAGRAMA DE FLUJO

METODO DE SIMPSON 1/3

a, b

F(x) h= (b-a)/2 suma = F(a)+F(b) i=0 F = 4 * F(x) suma = suma + F int = suma*h/3 int

FIN


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SOLUCION EN EXCEL


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RESULTADOS

En base a los resultados obtenidos vemos los siguientes resultados: Solucion aplicando metodo de Simpson 1/3:

   

Solucion aplicando el metodo del trapecio aplicación multiple:

DISCUISION DE RESULTADOS

Se logro una mayor aproximacion con la regla del trapecio debido a que se utilizo un numero mayor de particion. Lo anterior garantiza que la aproximacion de una integral por los metodos de Newton-Cotes sera mas aproximada si se utiliza una cantidad mayor se segmentos o particiones y tiene logica porque al aplicar mas cortes el area sera mas pequeño y la integral sera mas exacta porque tendra menos errores.


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

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PROBLEMA 2

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial aplicando el Método de Runge Kutta de Cuarto Orden para aproximar y(0.5)

      

MARCO TEORICO METODO DE RUNGE KUTTA

El método de Runge Kutta es un método de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como mejora del método de Euler el cual se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden, este método logra la exactitud de una serie de Taylor pero sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Los Runge-Kutta no es solo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1990 por los Matemáticos Alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta. PASOS PARA LA RESOLUCION DEL METODO DE RUNGE KUTTA DE 4TO ORDEN: yi+1 = yi +h*(a1k1 + a2k2 + … + ankn)

Donde ai son constantes y las k son formulas dadas. Definiendo un problema de valor inicial como: Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde


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Notamos que los Ki son relaciones recursivas, es decir, para determinar k2, necesitamos k1; para determinar k3, se necesita k2 y asi sucesivamente.

MODELO MATEMATICO

EJERCICIO DE APLICACIÓN Resolviendo la Ecuación Diferencial aplicando el Método de Ruge Kutta de Cuarto Orden para aproximar y(0.5) tenemos:

      

k1=f(xi,yi) k2=f(xi+(h/2),yi+(hk1/2)) k3= f(xi+(h/2),yi+(hk2/2)) k4= f(xi+h,yi+hk3) yi+1(xi+1)=yi+[(h/6)(k1+2k2+2k3+k4)] h = (xb-xa)/i Tenemos: h=(0.5-0)/5=0.1 x0=0, x1=0.1, x2=0.2, x3=0.3, x4=0.4, x5=0.5

la ecuación original es:

    () 


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DIAGRAMA DE FLUJO PARA METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN M. RUNGE KUTTA CUARTO ORDEN

F’(x), n, a, b, X0, Y0

d dx = +1 * x+1 *cos x2+2*x

h = (b-a)/n

For i=1…..n

Calcular f(x) =

F(x)

Calcular K =f X , Y

Calcular K2=f(X0+

, Y0+

)

Calcular K3=f(X0+

, Y0+

)

Calcular K4=f(X0+ , Y0+

Calcular ERP=(EA/f(x))*100

)

Calcular


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SOLUCION POR EXCEL

Resolviendo y analiticamente calculando tenemos:

Comparando los Datos obtenidos por el Método de Runge Kutta VS. Los Datos verdaderos tenemos:


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RESULTADOS

Para la iteración i=0 Y (0) =4 Y verdadero=4

  |      |  

Para la primera iteración i=1: K1= 5 K2= 5.48356749 K3= 1.99378633 K4= 5.59366834 Y calculado=y (0.1) = 4.42580627 Y verdadero= 4.54927818

 |        |   Para la segunda iteración i=2: K1=5.83726689 K2=6.23633624 K3=-0.34100264 K4=5.85378597 Y calculado=y (0.2) = 4.81716827 Y verdadero= 5.186736

 |      | 


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Para la tercera iteración i=3: K1=6.3157112 K2=6.48501987 K3=-3.62442315 K4=5.46901635 Y calculado=y (0.3) = 5.10893362 Y verdadero= 5.87372728   13.0205852

  |

 |  



Para la iteración i=4: K1= 6.12493792 K2= 5.89252381 K3= -7.0403758 K4= 4.33974226 Y calculado=y (0.4) = 5.24508322 Y verdadero= 6.53104414

|    | 



19.6899744

Para la iteración i=5: K1= 5.01435206 K2= 4.25138275 K3= -9.27316421 K4= 2.51521619 Y calculado=y (0.5) = 5.20318331 Y verdadero= 7.03599016

|    | 



26.0490252


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DISCUSION DE LOS RESULTADOS -

Evaluando cada iteración en el método de Runge Kutta tenemos que los errores relativos porcentuales son mínimos Se llega a un objetivo de este método que es alcanzar una pendiente promedio mejorada para los intervalos dados. Tiene una mejor convergencia en comparación con el Método de Euler, además mejoran la aproximación del método de Euler; llegando a una exactitud eficiente

CONCLUSIONES

Como estudiante de ingenieria al vernos en esta situacion eligiriamos el metodo que presente menos errores y en este caso eligiria la regla del trapecio aplicación multiple para el primer problema en efecto este sera la mejor solucion con respecto a los dos casos que hemos presentado, lo mismo ocurre en el segundo problema, cabe recalcar que solo hemos presentado dos metodos para cada problemma, existen mas metodos que podriamos haber aplicado y cada uno contiene mas o menos errores según el diferente caso.


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BIBLIOGRAFIA

http://www.slideshare.net/123jou/integracin-numrica-parte-ii

http://es.scribd.com/doc/13883549/Regla-Simpson-13-C

http://ramonroque.com/Materias/MetodosNumericos/Integracion Numerica.pdf


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Trabajo Final de Metodos

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