UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE FORMACION PROFECIONAL DE INGENIERIA METALURGIA
R ES ISTENCI ISTENCIA A DE MATER MATER IALES ( TO TOR R SION SION))
TRABAJO MONOGRAFICO PRESENTADO POR: RAMOS QUISPE, Fran (kalibre) ANGELDONIS, Paola Yuleisy (chica de poco mundo) GALARZA AUTUVILCA. (Leche) Deyvid (mil haus) Jhanela (figurita)
PASCO - 2017 RESISTENCIA DE MATERIALES
Este presente trabajo está dedicado en primer lugar a Dios, en segundo lugar, dedicamos a nuestros padres por brindarnos el apoyo incondicional por consiguiente le estamos muy agradecidos a los docentes y asesores quienes no guiaron en la desarrollo y proceso de nuestro trabajo monográfico.
RESISTENCIA DE MATERIALES
1. 2.
INTRODUCCION. MARCO TEORICO 2.1.
DEFINICION DE TORSION
2.1.1. CONCEPTO DE EJE. 2.1.2. CONCEPTO DE ARBOL. 2.2.
FORMULA GENERAL DE LA TORSION.
2.3.
TIPOS DE TORSION.
2.3.1. TORSION UNIFORME. 2.3.2. TORSION NO UNIFORME2.3.3. TORSION MIXTA. 2.4.
DIAGRAMA DE MOMENTO TORSORES.
2.5.
TORSION EN SECTORES NOTABLES.
2.5.1. SECCION CIRCULAR Y CIRCULAR HUECO DE GRANDE ESPESOR. 2.5.1.1.
ANGULO DE TORSION.
2.5.1.2.
HIPOTESIS DE COULUMB
2.5.2. SECCION RECTANGULAR. 2.5.2.1.
TORSION DE SAINT – VENANT (PURA)
2.5.3. SECCION ABIERTA DE PEQUEÑO ESPESOR. 2.5.3.1.
TEORIA DE PRONDTL.
2.5.4. SECCION CERRADA DE PEQUEÑO ESPESOR. 2.6.
CUADRO DE RELACION DE FORMULAS.
2.7.
DIFERENCIA Y EQUIVALENCIAENTRE DE TORSION Y FLEXION.
2.8.
CASO HIPERESTATICO EN TORSION.
3. CONCLUSIONES. 4. ANEXOS. 5. BIBLIOGRAFIA.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Dentro de nuestro estudio de la resistencia de materiales hemos abordado distintos temas en relación a la misma, como el esfuerzo, las deformaciones, los alargamientos, etc., sin embargo es bastante importante, y es lo que sucede cuando un elemente es sometido a dos fuerzas que le dan tendencia a girar, el estudio de la torsión es en cierto modo complicado, dada los elementos que participan aquí, se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él. Como ya mencionamos que es de mucha importancia el planteamiento de hipótesis al este tipo de fenómeno que a continuación detallaremos.
RESISTENCIA DE MATERIALES
La torsión, es un tipo de esfuerzo que no se distribuye uniformemente dentro de una sección determinada y que hace que el objeto tienda a retorcerse o a producir un giro en su eje longitudinal (Pytel- Singer, Resistencia de materiales, p. 60). La torsión se refiere a la deformación de una barra recta, que al ser cargada por momentos (pares de torsión), estos tienden a producir una rotación alrededor del eje longitudinal de la barra. Un elemento está sometido a un esfuerzo de torsión cuando existen fuerzas sobre él que tienden a hacer girar una sección con respecto a la otra, es decir, tienden a retorcerlo. Ejemplos: al apretar un tornillo o girar el pomo de una puerta estamos ejerciendo un esfuerzo de torsión.
En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos cu rvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Es un Elemento sobre el que se apoya una pieza giratoria, por lo tanto, su única función es ser soporte y no se ve sometido a esfuerzos de torsión, con referencia al eje longitudinal.
Es un elemento giratorio cuyo fin es transmitir potencia mecánica mediante su giro, por lo que está sometido a esfuerzos de flexión y de torsión. Además, a diferencia de los ejes, el árbol gira simultáneamente con los elementos montados sobre él, con referencia a la armadura longitudinal.
Esta ecuación, conocida como la fórmula de la torsión, muestra que el esfuerzo cortante máximo es proporcional al par de torsión aplicado T e inversamente proporcional al momento de inercia polar IP.
RESISTENCIA DE MATERIALES
á.=
.
Las unidades comunes empleadas en la fórmula de la torsión son las siguientes. En el sistema internacional SI: E l par de torsión “t” suele expresarse en newton metro (N.m). El radio “ R” en metros (m). El momento polar de inercia “ Ip” en metros a la cuarta potencia ( 4 ). El esfuerzo cortante “ T máx ”, en pascales (Pa).
Se dice que una barra trabaja a TORCION UNIFORME cuando se cumple las dos condiciones siguientes: el único esfuerzo presente es el momento torsor, que es constante a lo largo de ella además los extremos de la barra pueden alabear libremente.
RESISTENCIA DE MATERIALES
En la torsión uniforme, dado que el alabeo que se pueda producir es el mismo en todas las secciones, se podrá afirmar que las tensiones normales serán cero y sólo dará lugar a tensiones cortantes. En este tipo de torsión las secciones no alabean y si lo hacen es el mismo en todas las secciones transversales. Las únicas tensiones que se generan en la barra son tensiones tangenciales. Este tipo de torsión ocurre en secciones:
Que no alabean: para cualquier tipo de vínculos y para todo tipo de variación del torsor. Que alabean: para vínculos que no restrinjan el alabeo y para un momento torsor constante en toda la barra.
Se dirá que la torsión no es uniforme cuando no se cumplan algunas de las dos condiciones anteriores. como sería el caso de los dos ejemplos siguientes:
RESISTENCIA DE MATERIALES
En la siguiente figura se muestra el efecto del alabeo de una barra IPE laminada sometida a torsión no uniforme (caso del ejemplo 2). Se observa cómo debido al alabeo, las alas de la viga se flexionan y por tanto aparecerán en ellas tensiones normales:
En la torsión no uniforme, el alabeo posible de las diferentes secciones no será el mismo, por lo que se producirán tensiones normales y tensiones cortantes. El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.
RESISTENCIA DE MATERIALES
OBSERBACIONES:
Para medir la suceptibilidad al alabeo por torsion de una determinada seccion se utiliza el denominado “modulo de alabeo”: y para medir la suceptibilidad de la torsion se utiliza el “modulo de torsion”: . Ambos valores se pueden calcular o obtener de tablas. Las piezas sometidas a torsion no uniforme en las que el modulo de alabeo ( ) sea nulo o de pequeño valor con respecto al modulo de tension ( ), se admite aplicar el calcular como si fuse torsión uniforme.
En una viga sometida a torsión, el momento externo en una sección es equilibrado por las tensiones originadas por la torsión pura y las originadas por la torsión no uniforme. Las primeras están presentes siempre y las segundas cuando la forma seccional alabea y, o bien existe alguna restricción al alabeo en alguna sección o el momento torsor es variable a lo largo de la viga. Cuando existen los dos tipos de torsión decimos que hay torsión mixta.
Al igual que ocurre con los diagramas correspondientes de la tracción – compresión y la flexión, los diagramas de momentos torsores indican el momento torsor correspondiente a cada seccion de elemento estructural. Se desarrolla unos de estos diagramas a través de un ejemplo:
RESISTENCIA DE MATERIALES
En las piezas sometidas a torsión cabe distinguir dos tipos: el de las piezas cuya principal función es la trasmisión de una par torsión, solo o combinado con esfuerzos de flexión o axiales, (en el caso de piezas usadas en las maquinas, ejes, etc.) y el de piezas en las cuales la torsión es un efecto segundario indeseable, (es el caso no muy frecuente, de algunas piezas de estructuras de edificación, como las vigas carril o las correas en fachadas laterales). En siguiente grafico denotaremos las diferencias entre sectores de gran espesor (macizas) y sectores cerrados y abiertos de pequeño espesor:
Las SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR no son apropiadas para este tipo de solicitaciones y deben tratar de evitarse su utilización o bien emplear disposiciones constructivas adecuadas para evitar que la torsión se presente en ellas. Por ello su cálculo no es frecuente y es estudiando con más profundidad en asignaturas de estructuras metálicas.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Consideramos una pieza de sector circular y sea T el momento torsor en una de sus reacciones. Para poder hacer los cálculos de tensiones:
Pero al igual que ocurría en la tracción, compresión y en la flexión, estas ecuaciones, por si solas, no permiten calcular el valor de las tensiones originadas por el momento torsor T, y habría que recurrir nuevamente a hipótesis simplificativas que han sido comprobadas experimentalmente. Que han sido comprobadas experimentalmente. Para este caso será:
=
. =
.
= . Angulo de torsión total, () en torsión pura:
= .
=
RESISTENCIA DE MATERIALES
Las secciones trasversales circulares de la pieza permanecen planas durante la torsión, girando como un todo rígido alrededor del eje X normal ala seccion. Como consecuencia de dicha hipótesis se deduce que los radios de las secciones trasversales giran, permaneciendo rectos, mientras que las generatrices de la superficie lateral (línea 1-2), se trasforman en hélices (curva 1-2).
Se considera una rebanada de la pieza de longitud dx, para poder obtener los cálculos de las tenciones cortantes:
Mientras que la seccion izquierda gira, alrededor el eje X, un ángulo φ entre las dos
secciones laterales de dicha rebanada, el prisma se deforma, de tal forma que la cara lateral derecha girara un ángulo dφ con respe cto a la cara lateral izquierda.
Dando lugar a las siguientes formulas, (que se ampliara parea poder observarse mejor dicho la deformación presente). La cara abcd del prisma se trasformará en la ab, c, d, sufriendo una deformación angular (γ).
RESISTENCIA DE MATERIALES
=
. .
()
=
.
= .
Donde: G: Módulo de elasticidad cortante. : Momento polar de inercia. : Angulo torsión.
=
.
: Rigidez torsional unitaria por requerido para producir rotación de un ángulo unitario.
=
. 0
: Flexibilidad torsional unitaria, ángulo de rotación requerido para producir un par unitario.
Los Tubos Circulares resisten con más eficiencia cargas de torsión que las barras sólidas, debido que la mayor parte del material está cerca del borde exterior donde los esfuerzos cortantes y brazos son grandes. La ecuación que indica que en una seccion circular, Las tenciones cortantes “t” producidas por el momento torsor “T”, son proporcionales a la distancia “r” al centro de la misma y perpendi cular al vector de posición “r”. Asi pues, la distribución de
tenciones cortantes en una seccion circular será la que indique en la siguiente figura:
= . ( ó ). t: Tención cortante.
RESISTENCIA DE MATERIALES
OBSERVACION: Estas fórmulas también serán aplicadas a las barras macizas de seccion circular hueca.
Las deformaciones que se provocan en una barra sometida a torsión son los GIROS a TORSION: , que se producen, al girar sus secciones trasversales alrededor del eje geométrico OX de la misma. El valor de estos giros será.
=
=
.
=
. .
Integrando esta ecuación entre don límites de A y B de la barra:
RESISTENCIA DE MATERIALES
La hipótesis de Coulomb: “las secciones transversales permanecen planas durante la torsión”, Válida para las secciones circulares, no es válida sin embargo para otro
tipo de secciones y por tanto en éstas otras, las secciones se alabearán. El alabeo se produce en la sección transversal.
No obstante, en este tipo de secciones, el módulo de alabeo es pequeño comparado con el módulo de torsión y entonces, se podrá estudiarlas como si estuvieran sometidas a torsión uniforme, aunque se estuviera en el caso de torsión no uniforme. Así pues, en este tipo de secciones sometidas a Torsión, sólo aparecerán tensiones cortantes t. La determinación exacta de tensiones y deformaciones en una pieza de sección cualquiera sometida a Torsión, se debe a Saint Venant y forma parte de la Teoría de la Elasticidad. Aquí se expondrán a continuación los resultados que se obtienen al aplicar dicha teoría al caso se piezas de sección rectangular.
Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant por:
Donde es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Ya se mencionó el concepto de los que se va a tratar, que este tipo de secciones no son apropiadas para el trabajo a torsión y para los casos en que la torsión aparezca como efecto segundario, deberán emplearse la excesiva deformación o rotura ala que puede dar en lugar, deberán emplearse disposiciones constructivas adecuadas para evitar el efecto de dichas consecuencias. En este tipo de secciones se van a estudiar el caso de la torsión uniforme. OBSERBACION: Según se dijo anteriormente los casos de secciones abiertas de pequeño espesor formados por rectángulos que se cortan en un punto, como seria el caso de las secciones L o el simple T, aunque estén sometidas a torsión no uniforme, su calculo se hará como si fuera torsión uniforme. Para conocer la distribución de tenciones cortantes “t” a lo largo de la seccion se utiliza el denominado “método de analogía de la membrana”, propuesto por Prandtl y que dice: “las tenciones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la seccion, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese rect o”. De
acuerdo con ello:
RESISTENCIA DE MATERIALES
En virtud de ello, y en el caso de espesor constante (t=cte.) se podrán aplicar las formulas de la seccione rectangular.
Y en este caso, como h>>b, es decir, >>t, los coeficientes µ valdrán (ver = 0.333 = 1/3. Y las formulas resultaran las tabla): µ = 0.333 = 1/3, siguientes:
Afirma que las tensiones cortantes máximas se dan en los bordes del contorno, llevando en ambos lados sentidos apuestos y se admite que su variación es lineal a lo largo del espesor.
RESISTENCIA DE MATERIALES
CASOS PARTICULARES:
En el caso de que el espesor “t” de la seccion no sea constante: t = cte, las
ecuaciones anteriores se generalizaran de la siguiente manera.
En el caso de que el espesor “t” de la seccion no sea constante: t ≠ cte, Pero
que esta estuviese formada por varios elementos de espesor constante, las ecuaciones anteriores serian ahora:
La tension cortante maxima para cualquier espesor “t” se obtendrá:
RESISTENCIA DE MATERIALES
En este tipo de secciones, segun lo que se indico la representacion grafica, el calculo que arremos sera valido tanto para la torsion uniforme como para la torsion no uniforme por la tanto las tensiones normales ser an igual a cero, y solo Habra las tensiones cortantes (t). Se considera una rebanada de una pieza de longitud dx a un momento torsor, para poder hallar los calculos correspondientes a las tensiones cortantes.
Se sabe que las tensiones cortantes en los puntos del contorno: 2, han de ser tangentes al mismo y dado el pequeño espesor (t) de la seccion, se admite que están distribuidas uniformemente a lo largo del mismo. Estableciendo el equilibrio de fuerzas del elemento bcde, que se representa a continuación ampliado.
Como consecuencia de ello, las tensiones cortantes (t), seran mayores donde el espesor (t) sea meno, (al revés de lo que ocurre en las secciones abiertas de pequeño espesor).
RESISTENCIA DE MATERIALES
Tomando ahora momentos respecto del centro de la gravedad (G) de la seccion. De todas las fuerzas que actúan en la misma.
Y despejando obtenemos la siguiente igualdad:
Siendo : = área encerrada por la línea media de la seccion transversal.
RESISTENCIA DE MATERIALES
La tensión cortante máxima, por lo visto antes, se dará donde el espesor sea mínimo, resultado siendo su valor:
Para el cálculo de deformaciones se partirá de la ecuación general la realizada. Aplicándola ala rebanada de la pieza anteriormente descrita de longitud dx: Dt = Du Siendo : d =
2
.., trabajo que realizo el momento torsor “T”
Energía almacenada en la rebanada durante la deformación provocada por Mx Igualando ambas expresiones
CASOS PARTICULARES:
Si t = cte
RESISTENCIA DE MATERIALES
Si el espesor t de la seccion no es constante: t ≠ cte, Pero esta estuviese
formada por varios elementos de espesor constante:
It = MOME NTO DE INE R CIA TOR S OR E QUIVAL E NTE.
Wt = MODULO R ES ISTENTE A LA TOR SION EQUIVALE NTE .
S E C TOR E S NOTABLES
FORMULAS DEDUCIDAS
S E C TOR C IR C ULA R
S E C TOR RECTANGULAR
S E C TOR A B IE R TO CON PE QUE ÑO ESPESOR
S E C TOR C E R R A DO CON PE QUE ÑO ESPESOR
RESISTENCIA DE MATERIALES
TORSION
FLEXION
El momento toros (t) esta aplicado
El momento flector (M) esta aplicada en un plano que contiene al eje de la barra.
en un plano perpendicular al eje de la barra =
.
=
() =
.
.
() =
.
Supongamos un eje cilíndrico empotrado en los dos extremos sometido a los momentos torsores de la figura .
Supongamos que hemos calculado T1 y T2. Ahora vamos a calcular el giro y la Tmáx en C. El giro de C será lo que gire la sección C respecto del empotramiento derecho o izquierdo ya que los empotramientos no giran. Trazando por C una vertical, y como los momentos torsores son mas fáciles a la izquierda que a ala derecha en el diagrama de momentos torsores calculamos el giro de C respecto del empotramiento izquierdo.
RESISTENCIA DE MATERIALES
Las secciones que no tienen tendencia al alabeo sólo desarrollarán torsión uniforme. Como se apuntó anteriormente, las únicas secciones que en rigor disfrutan de esta característica son las circulares, tanto huecas como macizas. No obstante hay otros tipos de sección cuya tendencia al alabeo es pequeña, y generalmente pueden analizarse con suficiente aproximación bajo la hipótesis de torsión uniforme aunque tengan los desplazamientos normales impedidos en alguna sección. Tal es el caso de las siguientes formas de la sección:
Circulares, tanto macizas como huecas (de pared delgada o no). Macizas, como las rectangulares, cuadradas, elípticas, etc. Cerradas de pared delgada, como las secciones en Cajon y similares. Secciones formadas por rectángulos de pequeño espesor que se cortan en un Punto. Como las secciones en “L” y las secciones en “T”, de pared delgada.
En cuanto a la aptitud para resistir torsion, entendida como aparición de tensiones de valor moderado, bajo la acción de un momento torsor, puede decirse que las secciones más idóneas son las cerradas, de pared delgada. Cuando se compara una sección de este tipo con una sección maciza del mismo área, encontramos que el perfil hueco tiene mayor rigidez a torsión, y desarrolla menores tensiones máximas En particular la sección circular hueca puede ser especialmente conveniente debido tanto a que no alabea, como a que es óptima en cierto sentido. Las secciones huecas de pared gruesa presentarán una mayor variación de la tensión en dirección radial, con lo que presentarán mayores tensiones máximas que un perfil de pared delgada. Pero a cambio alejan el peligro de fenómenos de inestabilidad, como la abolladura de la pared de la sección. Este tipo de secciones son también aptas para resistir torsión. Les siguen en idoneidad las secciones macizas, con los mismos inconvenientes respecto de las secciones de pared delgada que las de pared gruesa, agravados por el hecho de que los puntos más interiores de una sección maciza suelen soportar muy poca tensión en comparación con los exteriores. Por el contrario, las secciones abiertas de pared delgada son muy poco apropiadas para soportar momento torsor, debido a que deben generar grandes tensiones.
RESISTENCIA DE MATERIALES
RESISTENCIA DE MATERIALES
Pytel, Singer; RESISTENCIA DE MATERIALES, Oxford, 1ra. Ed. 1994, Harper Row. Appold, Feirlerk, Reinhard, Schmidt; TECNOLOGÍA DE MATERIALES, 1985, Ed. Reverté.
Biguri Zarraonandia Iñaki, TORSIÓN, disponible en: http://ibiguridp3.wordpress.com/res/tor/ Universidad de Santiago de Chile, APUNTES DE RESISTENCIA DE MATERIALES, 2011, disponible en: http://mecanicausach.mine.nu/media/uploads/Apuntes_curso_RMA_clase_3 _arreglando.pdf .
Santo Domingo Santillana Jaime, TORSIÓN, 2008, Ed. E. P. S. Zamora, disponible en:http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-demateriales ingenierotecnico-en-obras-publicas/contenidos/%20Tema8Torsion.pdf
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