Problema N°1
Utilizando Matlab, trazar el diagrama polar y encuentre el MG y el MF. Mediante el método calculado encuentre MG y MF. Explicar los signos de los MG y MF.
Solución
En Matlab trazamos el diagram polar y encontramos el MG y el MF % Definimos a G(s)H(s) n=[0 0 0 0 36]; rd=[-2;-2;-2;-2]; d=poly(rd); % Diagrama Polar nyquist(n,d);grid gtext ('A') gtext ('B') Nyquist Diagram 2 dB
0 dB
-2 dB
-4 dB
1 4 dB 0.8 -6 dB
6 dB 0.6 0.4 10 dB s 0.2 i x A y r 0 a n i g a m -0.2 I
-10 dB System: System: sy s Real: - 0.56 Imag: 0.00941 -20 dB A Frequency (rad/sec): -2
20 dB
System: System: sy s Real: - 0.771 Imag: Imag: - 0.622 Frequency Frequency (r ad/sec): 1.49
-0.4 -0.6
B -0.8 -1
-1
-0.8
-0.6
- 0.4
-0.2
0 Real Axis
1 Ingeniería de Control II
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Del diagrama polar (Nyquist) se puede observar el margen de ganancia (MG) y el margen de fase (MF). Margen de Ganancia, en el punto A
Margen de Fase, en el punto B
Reescribiendo la planta
, de forma polar, se tiene:
Ahora calcularemos teóricamente los valores del margen de fase y del margen de ganancia. Margen de Ganancia
Margen de Fase
2 Ingeniería de Control II
√ √
Problema N°2
Utilizando Matlab, trazar el diagrama de Bode y encuentre el MG y el MF mediante el método calculado encuentre MG y MF. Explique los signos de los MG y MF.
Solución
Usando Matlab: %diagrama de bode del problema # 2 n=[1 2 1]; d=[1 0 0 0]; bode(n,d) grid Bode Diagram 150
100 ) B d ( e d u t i n g a M
50
0
-50 -90
-135 ) g e d (
e s a h P
-180
-225
-270 -2
10
-1
10
0
10 Frequency (rad/sec)
3 Ingeniería de Control II
1
10
10
[Gm,Pm,Wcg,Wcg]=margin(n,d) Gm = 0.5000 Pm = 21.3877 Wcg = 1.4656 Wcg = 1.4656
Calculo del margen de fase
Para que M( ) = 1
>> v=[1 0 -1 0 -2 0 -1 0 0]; >> roots(v) ans = 0 0
4 Ingeniería de Control II
-1.4656 1.4656 -0.2328 + 0.7926i -0.2328 - 0.7926i 0.2328 + 0.7926i 0.2328 - 0.7926i
a esta frecuencia
y la fase correspondiente será:
Calculo del margen de ganancia
Ahora remplazando el valor de
en la magnitud
Problema N°3
Considere el sistema de control con realimentación unitaria cuya función de t ransferencia en lazo abierto es:
5 Ingeniería de Control II
Determine el valor de a tal que el margen de fase sea 45°. Solución
√ √ √ √ √ √ √ α
Ya hemos calculado el valor de , ahora haremos la comprobación trazando el diagrama de bode en Matlab
% Definimos a G(s)H(s) a=(1/(2^0.5))^0.5; n=[0 a 1]; d=[1 0 0]; % Diagrama de Bode bode(n,d) grid Viendo el diagrama es posible calcular el margen de fase (MF).
6 Ingeniería de Control II
Bode Diagram 150
) B d ( e d u t i n g a M
100
50
0
-50 -90
) g e d ( e s a h P
-135 System: sys Frequency (rad/sec): 1.19 Phase (deg): -135 -180 -2
10
-1
0
10
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Problema N°4
Considere la función de transferencia siguiente:
Determine el margen de ganancia y el margen de fase a partir de los diagramas de bode y del diagrama polar (Nyquist). Solución
7 Ingeniería de Control II
Desarrollando la Función de Transferencia, de un modo diferente al ejercicio N°1:
Ahora vamos a determinamos el margen de ganancia (MG) y el margen de fase (MF) con el diagrama de Bode, en MATLAB: %Función de transferencia num=[0 0 0 0 2.25]; den =[0.0625 0.5 1.5 2 1]; margin(num,den)
Determinamos el Margen de Ganancia y de Fase con el Diagrama Polar de Nyquist: Margen de Ganancia
8 Ingeniería de Control II
Ahora hacemos:
Obteniendo:
%Representación de
por Nyquist
num=[0 0 0 0 2.25];
den =[0.0625 0.5 1.5 2 1]; nyquist(num,den) v=[-1.0 2.3 -2.0 2.0 ]; axis(v) grid title('DIAGRAMA DE NYQUIST DE Gs(s)=k(s+1)/s ^2+0.2s-0.05')
Finalmente en el Diagrama de Nyquist observamos que para De la definición, obtenemos el Margen de Ganancia como:
9 Ingeniería de Control II
su parte real es -0.564
Por lo tanto: Margen de Fase
Ahora realizaremos los cálculos matemáticos del margen de fase (MF) y margen de ganancia (MG).
| |
Margen de Fase: Es el ángulo que le falta a
es 1 (0dB).
10 Ingeniería de Control II
para llegar a
cuando
| | | | | | ( ) () () | |
Margen de Ganancia: Es el inverso de
La función G(s) es:
%Diagrama de Bode
margin(2.25,[0.0625 0.5 1.5 2 1])
11 Ingeniería de Control II
cuando
es
Bode Diagram Gm = 5 dB (at 2 rad/sec ) , Pm = 38.9 deg (at 1.41 rad/s ec) 50
0 ) B d (
System: untitled1
e d u t i n g a M
Frequency (rad/sec): 2
-50
Magnitude (dB): -5
-100
-150 0
-90 ) g e d ( e s a h P
System: untitled1
-180
Frequency (rad/sec): 1.35 Phase (deg): -136
-270
-360 -1
10
0
1
10
10
1
Frequency (rad/sec)
Problema N°5
Considere el sistema dela figura. Mediante Matlab obtenga los diagramas de bode de la función de transferencia en lazo abierto G(s). Luego determine el margen de fase y el margen de ganancia. Mediante el método calculando determine el margen de fase y el margen de ganancia.
Solución
| | (√ ) 12 Ingeniería de Control II
(√ ) (√ ) (√ )
Identificando términos:
Ahora calcularemos los valores de los márgenes de fase y de ganancia según sus definiciones: Calculo del margen de fase
Para que
En Matlab tenemos:
(√ )
>> v=[1 0 101 0 100 0 -625]; >> roots(v) ans = -0.0000 + 9.9968i -0.0000 - 9.9968i 1.4230 0.0000 + 1.7573i 0.0000 - 1.7573i -1.4230
13 Ingeniería de Control II
Entonces
√ (√ ) √ (√ )
correspondiente es
a esta frecuencia
y la fase
Calculo del margen de ganancia
Reemplazando el valor de
en la magnitud:
Tratemos de interpretar lo que este dato significa, trata de decir que se necesita aumentar en 12.86905 la ganancia para que esta no sea nula. Diagrama polar
>> n=[25]; >> d=[1 11 10 0];
14 Ingeniería de Control II
>> [Gm,Pm,Wcg,Wcg]=margin(n,d) Gm = 4.4000 Pm = 26.997 Wcg = 3.1623 Wcp = 1.4230 >> nyquist(n,d); Donde: Gm: margen de ganacia (MG) en decibelios será Pm: margen de fase (MF).
Wcg: frecuencia de cruce de ganancia. Wcp: frecuencia de cruce de fase.
15 Ingeniería de Control II
.
Diagrama de Bode
Problema N°6
Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la función de transferencia en lazo abierto.
Determine el valor de k tal que el margen de fase sea 50°. ¿Cuál es el margen de ganancia de este sistema con esta ganancia k? Solución
Identificando los términos de la última ecuación:
16 Ingeniería de Control II
Para obtener el margen de fase (MF), y por dato del problema (MF=50°), la ecuación para la fase (
) debe ser igual a -130°. Por tanto:
Cuya solución es:
La solución elegida será:
Para este valor de ω, por condición de margen de fase (MF), la ecuación M(ω) vale 1, por tanto:
Ahora la ecuación completa para
17 Ingeniería de Control II
será:
p=[1 0 -7 0 16 0 -11.96133]; roots(p) ans = -1.7198 -1.4910 -1.3487 1.7198 1.4910 1.3487
⁄
Hay por tanto 3 valores para la frecuencia, las cuales darán 3 diferentes márgenes de fase. En el análisis anterior, solo obtuvimos la frecuencia
, pero vemos que además
hay otros 2 valores.
Por tanto el sistema
será:
Para obtener el margen de ganancia (MG), la ecuación de fase ( 180°.
Las soluciones serán:
La solución elegida será:
18 Ingeniería de Control II
) debe tener una fase de -
Para este valor de ω, por condición de margen de ganancia (MG) , valdrá:
En
Por tanto, el margen de ganancia será:
Ploteando en Matlab, tenemos: n=[3.458516]; d=[1 1 4 0]; bode(n,d)
Bode Diagram 50
0 ) B d ( e d u t i n g a M
-50
-100
-150 -90
-135 ) g e d ( e s a h P
-180
-225
-270 -1
10
0
1
10
10 Frequency (rad/sec)
19 Ingeniería de Control II
2
10
1
0 1
m a r g a i D e d o B
) c e s / d a r ( y c n e u q e r F
0
0 1
1 -
0 5
0
0 5 -
) B d ( e d u t i n g a M
20 Ingeniería de Control II
0 0 1 -
0 0 5 9 1 -
5 3 1 -
0 8 1 -
) g e d ( e s a h P
5 2 2 -
0 0 1 7 2 -
Problema N°7
Consideremos el sistema de control realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es:
Determinar el valor de la ganancia de K tal que la magnitud del pico de resonancia en la frecuencia sea 2dB o Mr=2dB Solución
Sea:
Determinando el lugar geométrico de
Haciendo uso del simulador de Matlab:
21 Ingeniería de Control II
Sabemos que Mr=2dB Se puede observar en la figura que el lugar geométrico debe bajarse por lo menos de 20dB para que este tangente a la circunferencia de Mr=2dB
Entonces
Mediante esta relación podemos estimar los valores de
, haciendo:
Obtenemos los posibles valores de K Ahora procederemos a simular la traza de bode en lazo cerrado obtenemos estos valores: Para
obtenemos
22 Ingeniería de Control II
Para
obtenemos
23 Ingeniería de Control II
Para
se obtiene
Para K=6.3096 se obtiene el valor de
24 Ingeniería de Control II
Se puede concluir que de los cuatro resultado ploteados el valor de es el deseado.
25 Ingeniería de Control II
para obtener
