Integrantes: Caracas, 2 de Marzo del 2011
Preparador: Mario Zambrano
Cátedra: Matemática
“Lógica Proposicional”
Oswaldo Artigas José Carrujo Viviana Gallardo Ricardo Aponte Gabriel Silva
Trabajo Practico N°1 1-17. En el libro Hijos en libertad, de A. S. Neill, están escritas las siguientes proposiciones: proposiciones: p:”Mis
maestros hacen que todas las lecciones sean aburridas”. q:”No aceptan las respuestas que no figuran en los libros”.
r:” Imponen Imponen un cúmulo cúmulo de normas estúpidas” Construir las proposiciones p p
∧ ∧
q
.
¬q v r
.
(p
∧
q)
r
⇒
q:” Mis Mis maestros hacen que todas las clases sean
aburridas y no aceptan las respuestas que no figuran en los libros” ¬q v r: “Aceptan las respuestas que no figuran en los libros
e imponen un cúmulo de normas estúpidas” (p
∧
q)
⇒
r: “Si mis maestros hacen que todas las lecciones
sean aburridas y no aceptan las respuestas que no figuran en los libros entonces imponen un cúmulo de normas estúpidas” 1-18.Escribir en forma simbólica la siguiente proposición compuesta que figura en el mismo texto: “La chatura y el tedio de ciertas disciplinas disciplinas escolares se transmiten a los maestros, y las escuelas se llenan de
hombres y mujeres de mentalidad estrecha, vanidosos, cuyo horizonte está limitado por el pizarrón y el libro de texto”. p: “la chatura de ciertas disciplinas escolares se transmiten a los maestros” q: “el tedio de ciertas disciplinas escolares se transmiten a los maestros” r: “las escuelas se llenan de hombres de mentalidad estrecha, vanidosos” s: “las escuelas se llenan de hombres cuyo horizonte está limitado por el pizarrón” t: “las escuelas se llenan de mujeres de mentalidad estrecha, vanidosas” v: “las escuelas se llenan de mujeres cuyo horizonte está limitado por el pizarrón” u: “las escuelas se llenan de hombres cuyo horizonte está limitado por el libro de texto” w: “las escuelas se llenan de mujeres cuyo horizonte está limitado por el libro de texto” 1-29. Confeccionar las tablas de valores de verdad de las proposiciones. i) ii)
( p ∧ q ) ⇒ r ¬ ( p v q ) ⇔ ¬p ∧ ¬ q
i)
( p ∧ q )
r
⇒
p v v v v f f f f ii) ¬ ( p v q ) p v v f f
q v f v f
¬p f f v v
q v v f f v v f f ⇔ ¬p ∧ ¬ q
¬q f v f v
r v f v f v f v f
p
∧
v v f f f f f f
q
(p ∧ q) v f v v v v v v
r
⇒
p v q ¬(p v q) ¬p ∧ ¬q ¬(pvq)⇔¬p∧¬q v f f v v f f v v f f v f v v v
1-20. Negar las proposiciones construidas del ejercicio1-17. ¬p: “Mis maestros hacen que algunas lecciones no sean aburridas” ¬q: “Aceptan las respuestas que no figuran en los libros” ¬r: “No imponen un cúmulo de normas estúpidas” ¬( p ∧ q ): “Mis maestros hacen que algunas lecciones no sean aburridas y aceptan las respuestas que no figuran en los libros”. q v ¬ r: “No aceptan las respuestas que no figuran en los libros ó no imponen un cúmulo de normas estúpidas” ¬ ([ p ∧ q ] ⇒ r): “Si mis maestros hacen que algunas las lecciones no sean aburridas y aceptan las respuestas que no figuran en los libros”
1-21.Proponer las siguientes proposiciones en forma simbólica, negarlas, y retraducirlas al lenguaje común: i) ii) iii)
No es justa, pero mantiene el orden. Los alumnos conocen a los simuladores y los desprecian. Si los alumnos conocen a los simuladores, simuladores, entonces los desprecian.
Simbolización: p: “No es justo, pero mantiene el orden”. q: “los alumnos conocen a los simuladores”. simuladores”. r: “los alumnos desprecian a los simuladores”. i) p
ii) q
∧
r
iii) q
r
⇒
Negación: i)¬p
ii) ¬q
∧
r
iii) ¬q
¬r
⇒
Reescripción: i) Es justo, pero no mantiene el orden. ii)Los alumnos no conocen a los simuladores y no los desprecian. iv)
Si los alumnos no conocen a los simuladores entonces no los desprecian.
1-22. Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas: i) ii) iii) iv)
p ∧ q ⇒ r [(p ⇒ q) ∧ (q p ⇒ p ∧ q p ⇒ p v q
r ) ]
⇒
( p
⇒
r )
⇒
i) ii) iii) iv)
Es una ley lógica: Simplificación (S.) Es una ley lógica: Silogismo Hipotético (S.H.) No es una ley lógica Es una ley lógica: Adición (A.)
1-23. Simplificar las siguientes proposiciones: proposiciones: i) ii)
¬(¬p v ¬q) ¬(p v q) v (¬p ∧ q)
i) ii)
¬ (¬p v ¬q) = Doble Negación (D.N.) (D.N.) ¬( p v q) v (¬p ∧ q) (¬p v ¬q) v (¬p ∧ q) = Reescribiéndolo ¬p ∧ (q v ¬q) = Distributividad (Dist.)
1-24. Sabiendo que p v q es V y que ¬q es V, determinar el valor de verdad de: [(p v q) ∧ ¬ q] ¬q q v
f
q
⇒
(p v q)
(p v q)∧¬q
v
v
[(p v q) ∧ ¬ q]
q
⇒
f
1-25. Determinar, en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo. i) ii) iii) iv)
(p ⇒ q) ⇒ r ; r es V (p v q) ⇔ (¬p ∧ ¬ q ); q es V (p ∧ q) ⇒ (p v r); p es V y r es F p ∧ (q ⇒ r); p ⇒ r es V
i)
ii)
iii)
iv)
Si se puede determinar: r p⇒q v v v f Si se puede determinar: q p ¬q ¬p p v q v v f f v v f f v v Si p v v
se q v f
puede determinar: r p ∧ q pvr f v v f f v
¬p
∧
(p
¬q p v q
f f
p ∧ q
q) v v
⇒
r
⇒
(¬p ∧ ¬q) f f
⇔
(p v r) v v
⇒
No se puede determinar.
1-26. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son, respectivamente, V,F,F,V. Obtener los valores de verdad de: i) ii) iii)
[(p v q) v r] ∧ s r ⇒ s ∧ p p v r ⇔ r ∧ ¬s
i)
[(p v q) v r] ∧ s
p q r s p v q (p v q) v r v f f v v v
[(p v q) v r] ∧ s v
ii)
r
s ∧ p
⇒
r f iii)
s v
pvr
p v
r f
p v
s ∧ p v
r
s ∧ p v
⇒
r ∧ ¬s
⇔
s v
¬s f
pvr v
r
∧
¬s
pvr
f
r ∧ ¬s
⇔
f
1- 27. Negar las proposiciones ∃ x / P(x) v ¬Q(x) i) ∀ x : P(x) ⇒ Q(x) ii) iii) ∀ x ∃ y / x . y = 0
i) ii) iii)
x : ¬ P(x) ∧ Q(x) ∃ x/ P(x) ∧ ¬Q(x) ∃ x ∀ y : x . y ≠ 0
∀
1-28. Verificar que para probar la equivalencia de las proposiciones p, q, r y s es suficiente demostrar las siguientes implicaciones: implicaciones: p
⇒
p
⇒
q
⇒
q
.
q ∧ q
r ≡ p
⇒
r ∧ r
⇒
s ∧ s
⇒
r
⇒
s
⇒
p ∧ p
q
⇒
r
⇒
s ≡ q
⇒
s
p ≡ r
⇒
q ≡ s
⇒
p q
⇒
r
. r
⇒
s
. s
p
⇒
Solo se aplica la ley del silogismo hipotético. 1-29. Dadas las proposiciones: i) ii) iii)
El cuadrado de todo número real es mayor que 2. Existen enteros cuyo cubo aumentado en 1 es igual al cubo del siguiente. Todo el que estudia triunfa.
Expresarlas simbólicamente, negar las expresiones obtenidas y retraducirlas al lenguaje ordinario. Simbolización: i) ii) iii)
x ∈ R: x² > 2 ∃ x ∈ Z/x³ + 1= (x+1)³ ∀ x: P(x) ⇒ Q(x) ∀
Negación: i) ii) iii)
x ∈ R/ x² < 2 ∀ x ∈ Z:x³ + 1≠ 1≠ (x+1)³ ∃ x/P(x) ∧ ¬Q(x) ∃
Re traducción: i) ii) iii)
Existe algún número real cuyo cuadrado es menor o igual que 2. Todo número entero es tal que su cubo aumentado en uno, es distinto del cubo del siguiente. Existen personas que estudian y no triunfan.
1-32.Expresar 1-32.Expresar simbólicamente el siguiente teorema: “si un número es impar, entonces su cuadrado es impar”. Enunciar el contrareciproco el contrario y el reciproco. Demostrar el primero.
Expresión simbólica: ∀
x ∈ Z: x es impar
⇒
x² es impar
Contrareciproco: si el cuadrado de un numero entero es par, entonces dicho entero es par. X= x² - x(x-1) Contrario: Si un entero es par, entonces su cuadrado es par Reciproco: Si el cuadrado de un entero es impar, entonces dicho entero es impar. 1-33. Siendo: p: a . b es impar q: a y b son impares Demostrar p
q
⇒
Contrario: a = x.2 b = x.2 a . b = (x.2)(x.2)= (x.2)²= es par y siempre será par 1-34.Justificar el razonamiento: p v ¬q ¬q
r
⇔
p v ¬r p
p v ¬q ¬q
r
⇔
p v r (por silogismo hipotético de las anteriores) p v ¬r p v (r ∧ ¬ r) (simplificación de las 2 anteriores) p (por modus tollendo ponens de la anterior) 1.35 lo mismo en el siguiente caso p ∧ q (p ∧ q) r
r
⇒
s
⇒
s (p ∧ q) ponens) r
⇒
r
∧
(p
∧
q) ≡ r (Por ley del Modus ponendo
s ∧ r ≡ s (Por ley del Modus ponendo ponens)
⇒
