UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)
Escuela De Ciencias Básicas, Tecnología E Ingeniería 301301-Álgebra, Trigonometría y Geometría nalítica
_________________________ ______________________________________ __________________________ __________________________ _________________________ _________________________ ______________ _ _ TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA 301301
Presentado por JO!E AL"ON!O CARRILLO BERM#$E% C&d'(o No) 1)04*)+-)44* LICET. CON!#ELO PE$RA%A C&d'(o No) 1)00)414)/-3 TANIA AT.ERINE ACEVE$O C&d'(o No) ))) E$GAR ROLAN$O G#TIERRE% ALVARA$O C&d'(o No) 1)04*)+34)001 Gr2po No) -0+
T2tor !AN$RA I!ABEL VARGA! L)
#NIVER!I$A$ NACIONAL ABIERTA Y A $I!TANCIA #NA$ ECBTI
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_________________________ ______________________________________ __________________________ __________________________ _________________________ _________________________ ______________ _ _ T#NJA, ABRIL 14 $E 01+
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__________________________________________________________________________________________ _ TABLA DE CONTENIDO
INTRO$#CCI5N....................................................................................................................................2 $E!ARROLLO $E LA ACTIVI$A$....................................................................................................3 1) ) 3) 4) =) +)
$eter6'ne 7a 'n8ersa de 7a 92n:'&n...................................................................................4 Para 7a 92n:'&n dada deter6'ne e7 respe:t'8o do6'n'o ; ran(o.............................6 $adas 7as 92n:'ones fx = x 2 + 4 ; gx = x −2 ...............................................................6 Rea7'
6ero de ?a:ter'as en 2n :27t'8o est@ dado por e7 s'(2'ente 6ode7o)............9 !' 2n tr'@n(27o ABC t'ene 7ados 130, *0 +0) Ca7:27ar 7os @n(27os α , β , )......................................................................................................................................11 -) #n t2r'sta 2e 6'de 1,/ 6etros ,est@ 2?':ado so?re 2na ro:a 2e t'ene de a7t2ra 30 :6, este d'8'sa 2n ed'9':'o 2e est@ a 1=0 6etros de d'stan:'a, s' e7 @n(27o de e7e8a:'&n desde 7a 8'sta de7 t2r'sta Dasta 7a :'6a es de 3= (rados, :2@7 ser@ 7a a7t2ra de7 ed'9':'oF......................................................................................................................................13 /) Ver'9'2e 7a s'(2'ente 'dent'dad tr'(ono6tr':a..........................................................14 *) En:2entre e7 8a7or de 2e sat's9a:e 7a s'(2'ente e:2a:'&n tr'(ono6tr':a para @n(27os entre 0 °≤ x≤ 360 ° ........................................................................................................15 CONCL#!IONE!.................................................................................................................................16 RE"ERENCIA! BIBLIOGRA"ICA!.................................................................................................17
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INTRODUCCIÓN En este trabajo colaborativo buscamos profundizar temáticas importantes !ue son la base para el desarrollo de trabajos si"uientes del fortalecimiento en nuestras competencias co"nitivas futuras como in"enieros desarrolladores de soluciones en esta área# El trabajo lo realizamos con base en las investi"aciones por cada inte"rante del "rupo$ con el fin de ampliar conocimientos$ inte"raci%n con el "rupo$ conocer aprender más sobre este trabajo propuesto#
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DE&'RRO((O DE (' 'CTI)ID'D
1) $eter6'ne 7a 'n8ersa de 7a 92n:'&n
g ( x )=
8 x + 3 5 x −7
Paso 1 )erificamos si la funci%n es Inectiva# x x
&i
f (¿¿ 2 ) f (¿¿ 1)=¿
entonces x 1= x 2
¿
8 x 1 + 3 5 x 1−7
=
8 x 2 + 3 5 x 2−7
( 8 x +3 ) ( 5 x −7 )=( 5 x −7 )( 8 x +3 ) 1
2
1
2
40 x 1 x 2−56 x 1+ 15 x 2−21 =40 x 1 x 2 + 15 x 1−56 x 2−21
−56 x 1 + 15 x2 =15 x 1−56 x 2 −56 x 1−15 x 1=15 x 2−15 x 2 −71 x 1=−71 x 2 x 1= x 2
(a funci%n es Inectiva$ lue"o tiene inversa#
Paso Despejamos la variable * para obtener la inversa#
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__________________________________________________________________________________________ _ y =
8 x + 3 5 x −7
⟹ ⟹ y
( 5 x −7 )=8 x + 3 ⟹ ⟹ 5 xy −7 y −8 x =−3 ⟹ ⟹ 5 xy − 8 x =7 y + 3
x ( 5 y − 8 )=7 y + 3 ⟹ ⟹ x =
7 y + 3 5 y −8
's+ la funci%n de la inversa es, -orma impl+cita, x =
7 y + 3 5 y −8
-orma e.pl+cita, −1
g ( x )=
−1
g ( x )=
7 y + 3 5 y −8
=
7 x + 3 5 x −8
7 x + 3 5 x −8
Paso 3 )er las "ráficas en /eo/ebra# -i"ura utilizando la inversa obtenida en el desarrollo de la funci%n#
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__________________________________________________________________________________________ _
-i"ura utilizando el complemento de la funci%n con /eo/ebra#
) Para 7a 92n:'&n dada deter6'ne e7 respe:t'8o do6'n'o ; ran(o
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__________________________________________________________________________________________ _ x +9 g ( x )= √ x −8 Pend'ente)
2 3) $adas 7as 92n:'ones f ( x )=√ x + 4 ; g ( x ) = x −2
Determine, a#0 f ∗g ( x )
2 1ara f ( x )=√ x + 4 sustituimos . con g ( x ) = x −2
¿ √ ( x −2 ) + 4 =√ x2 −4 x + 4 + 4 = √ x 2− 4 x + 8 2
(ue"o, 2 f ∗ g ( x )=√ x − 4 x + 8
b#0
g∗f ( x ) 2 1ara g= x − 2 sustituimos x con f ( x )= √ x + 4,
¿ √ x 2 + 4− 2 (ue"o, 2 g∗f ( x )=√ x + 4 −2
c#0 ( f ∗g ) ( 3 )
√ 3 −4 ( 3 ) + 8 =√ 9−12 + 8 =√ 5 2
(ue"o,
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__________________________________________________________________________________________ _ ( f ∗g ) ( 3 )=√ 5 d#0 ( g∗f )( 5 )
√ 52+ 4 −2= √ 25 + 4 −2= √ 29 −2 (ue"o, ( g∗f ) ( 5 )=√ 29− 2
4) Rea7'
a) Con8ert'r a (rados 1ara convertir de radianes a "rados utilizamos la si"uiente formula,
y Grados=
3 π 2
180 °
π
( x Radianes )
agrados
Paso 1 Reemplazamos los valores de la formula# y =
180 ° 3 π
π
(
2
)
Paso Eliminamos t2rminos semejantes operamos# y =
180 °∗3 2
La resp2esta es
=
540 ° 2
3 π 2
=270 °
e2'8a7e a
270 °
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__________________________________________________________________________________________ _ 4 π 3
a grados
Paso 1 Reemplazamos los valores de la formula# y =
180 ° 4 π
π
(
3
)
Paso Eliminamos t2rminos semejantes operamos# y =
180 °∗4 3
=
720 ° 3
4 π 3
La resp2esta es
=240 °
e2'8a7e a
240 °
?) Con8ert'r a rad'anes 1ara convertir de "rados a radianes utilizamos la si"uiente formula,
x Radianes=
π 180 °
( y Grados )
A :2antos rad'anes e2'8a7e 1=0H) Paso 1 Reemplazamos los valores de la formula# y =
π 180 °
( 150 ° )
Paso Eliminamos t2rminos semejantes operamos# y =
150 π
15 π
180
18
=
La resp2esta es
=
150 °
5 π 6
e2'8a7e a
5 π 6
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__________________________________________________________________________________________ _ A :2antos rad'anes e2'8a7e -=0H) Paso 1 Reemplazamos los valores de la formula# y =
π 180 °
( 750 ° )
Paso Eliminamos t2rminos semejantes operamos# y =
750 π
75 π
180
18
=
La resp2esta es
=
750 °
25 π 6
e2'8a7e a
25 π 6
=) E7 n>6ero de ?a:ter'as en 2n :27t'8o est@ dado por e7 s'(2'ente 6ode7o) N ( t )= 250 e
0.25 t
Donde t se mide en 3oras# •
4Cuál es la poblaci%n inicial del cultivo5
•
4Cuantas bacterias 3abrá en el cultivo a los 6 d+as5
•
4Despu2s de cuantas 3oras las bacterias serán de 7888885
!o72:'&n N = Incognita ; P = población Inicial ; B =Clti!o bacterias ;
t =tie"po"edido en#oras N =$
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__________________________________________________________________________________________ _ t =48 #oras
C2@7 es 7a po?7a:'&n 'n':'a7 de7 :27t'8oF (a poblaci%n inicial del cultivo está dada de la si"uiente manera, Reemplazamos el tiempo por cero 980 en el modelo despejamos N# N ( 0 )=250 e N =250 e
0.25 ( 0)
0.25( 0)
N =250
Realizada la operaci%n tenemos !ue la poblaci%n inicial es de, N =250
C2antas ?a:ter'as Da?r@ en e7 :27t'8o a 7os dasF Reemplazamos el tiempo por cero 9:;0 en el modelo despejamos N# 0.25 ( 48 )
N ( 48 )= 250 e N =250 e
0.25 ( 48)
N =250 e
(0.25 ( 48 ) )
N = 40688697.85
Realizada la operaci%n tenemos !ue el cultivo de bacterias a los 6 d+as es de, N = 40688697.85
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__________________________________________________________________________________________ _ $esp2s de :2antas Doras 7as ?a:ter'as ser@n de =00000F Reemplazamos la N por 788888 en el modelo operamos# 50000=250 e
0.25 ( t )
50000=250 e
0.25 ( t )
e 0.25 ( t )=
e
500000 250
0.25( t )
=2000
'3ora aplicamos Ln (Logaritmo de un número) del n
0.25( t )
=ln ( 2000 )=7.6
'3ora despejamos t)
t =
7.6 0.25
=30.4 #oras
-inalmente tenemos !ue las bacterias serán de =00000 despu2s de, t =30.4 #oras
Para 8er'9':ar este res27tado ree6p7a
0.25 (30.4 )
0.25( 30.4 )
N = 499548.97 bacterias
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__________________________________________________________________________________________ _ Rea7'
+) !' 2n tr'@n(27o ABC t'ene 7ados 130, *0 +0) Ca7:27ar 7os @n(27os α , β , ) Utilizamos el teorema del coseno#
Paso 1 Calculamos el án"ulo de α # 2 2 2 a − b −c 2 2 2 ( ) ( ) a = a + b − 2 ab cos α =cos α = 2 bc
Reemplazamos los valores# 2
2
2
130 −90 −60 5200 = =−0.4814 cos ( α ) = −2 (90 )( 60 ) −10800
−1
cos ( α )=−0.4814 ⟹ ⟹ cos
(−0.4814 )=118.77 °
α =118.77 °
Paso '3ora calculamos el án"ulo de β ) 2 2 2 b −a −c 2 2 2 b = a + c −2 ac cos ( β ) =cos ( β )= 2 ac
Reemplazamos los valores#
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__________________________________________________________________________________________ _ 2 2 2 90 −130 −60 ( ) = −12400 =0.7948 cos β = −2 ( 130 )( 60 ) −15600
−1
cos ( β ) =0.7948 ⟹ ⟹ cos
( 0.7948 )=37.36 °
β =37.36 °
Paso 3 '3ora calculamos el án"ulo de % ) 2
2
2
c −b −a c =b + a −2 ab cos ( % )= cos ( % )= 2 ab 2
2
2
Reemplazamos los valores# 2
2 2 − −21400 90 − 130 cos ( % ) = = = 0.9145 −2 (130)( 90 ) −23400
60
−1
cos ( % )= 0.9145 ⟹ ⟹ cos
( 0.9145 )=23.86 °
% =23.86 °
El án"ulo de % tambi2n se puede calcular de la si"uiente manera, % =180 ° −( 118.77 + 37.36 )=23.87 °
Resp2esta (ue"o los án"ulos del trián"ulo son, α =118.77 ° % =23.86 °
β =37.36 °
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__________________________________________________________________________________________ _
-) #n t2r'sta 2e 6'de 1,/ 6etros ,est@ 2?':ado so?re 2na ro:a 2e t'ene de a7t2ra 30 :6, este d'8'sa 2n ed'9':'o 2e est@ a 1=0 6etros de d'stan:'a, s' e7 @n(27o de e7e8a:'&n desde 7a 8'sta de7 t2r'sta Dasta 7a :'6a es de 3= (rados, :2@7 ser@ 7a a7t2ra de7 ed'9':'oF !o72:'&n
Tenemos !ue convertir todas las medidas a metros$ en este caso solo convertimos la
El turista se para sobre la piedra$ entonces el turista más la piedra miden, 1.8 "+ 0.3 "=2.1 "
<ra del edificio
tan 35 ° =
150
Despejamos la altura del edificio, <ra del edificio =150∗ tan 35
<ra del edificio =105.03 "
(a anterior fue la altura del edificio medida desde el tec3o del turista$ para saber la altura total sobre el nivel del suelo 3a !ue sumarle la altura del turista = la piedra
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__________________________________________________________________________________________ _ & ltra'otal =105.03 " + 2.1 "=107.13 " (a altura del edificio será de >8?#>@ metros
/) Ver'9'2e 7a s'(2'ente 'dent'dad tr'(ono6tr':a Csc ( x ) (en ( x ) (en ( x ) 2 + +( 1 − cos ( x ))− =2 (en2 ( x ) 2 cos ( x ) cos ( x ) (ec ( x ) 2
2
tan ( x )
$e6ostra:'&n Csc ( x ) (en ( x ) (en ( x ) 2 x 1 cos + +( − ( ))− =2 (en2 ( x ) 2 cos( x ) cos ( x ) (ec ( x ) 2
2
tan ( x )
2
(en ( x ) 2
cos ( x ) 1
Csc ( x ) (en ( x ) (en ( x ) + +(1 −cos2( x ))− =2 (en2 ( x ) cos ( x ) cos ( x ) 2
2
cos ( x ) 1 2
2
(en ( x ) cos ( x ) 2
cos ( x )
+
(enx
2
(en ( x )
cos ( x )
+(en 2( x )−
(en ( x ) cos ( x )
2
(en ( x ) 2
(en ( x ) (en ( x ) (en ( x )+ + (en2 ( x )− = 2 (en2 ( x ) cos ( x ) cos ( x ) 2
x (¿) (en ( x ) (en − =2 (en2 ( x ) cos ( x ) cos ( x ) 2 2 (en ( x )+¿
=2 (en2 ( x )
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__________________________________________________________________________________________ _ 2 2 2 (en ( x )=2 (en ( x )
*) En:2entre e7 8a7or de 2e sat's9a:e 7a s'(2'ente e:2a:'&n tr'(ono6tr':a para @n(27os entre 0 °≤ x≤ 360 °
2
tan x + 3tan x + 2=0
(a soluci%n la puedes obtener 3aciendo el cambio uAtan9.0 para obtener, 2
+ 3 + 2 =0
Esta ecuaci%n cuadrática se puede factorizar as+, ( + 1 )( + 2 )¿ 0
B sus soluciones son, =−1 ∧ =−2
&e re"resa a la variable ori"inal uAtan9.0 las soluciones anteriores !uedar+an, tan ( x ) =−1 ∧ tan ( x ) =−2
&e despeja .. con la inversa de la tan"ente 9arcotan"ente0, x =arctan (−1 ) ∧ x =arctan (−2)
1ara calcular estos valores con calculadora$ presionas &I-T T'N# De donde se obtienen los valores, x =−45 ∧ x =−63,43
1ero estos resultados deben están entre 8 @8$ se les suma el periodo de tan"ente >;8, x =135 ∧ x =116,57
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__________________________________________________________________________________________ _ CONC(U&IONE& &e 3a podido establecer la importancia de la actividad en cuanto al fortalecimiento de los conocimientos tanto personal como en la formaci%n profesional#
En el presente trabajo pudimos aplicar conceptos básicos de al"ebra$ mediante la soluci%n de problemas#
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__________________________________________________________________________________________ _
RE-ERENCI'& I(IO/R'-IC'&
A:t2a7'>0
Pend'entes a:t2a7'$ 68>>0 9Gulioprofe$ Desi"ualdades con )alor 'bsoluto H Caso 6$ 68>>0 9Gulioprofe$ Ecuaciones (ineales H Ejercicio ;$ 68>70 9Gulioprofe$ Ecuaciones con radicales H Ejercicio $ 68>70 9Gulioprofe$ &istema de @.@ resuelto por Re"la de Cramer$ 68>60 9Rondon Duran$ 688F0 9Unicoos$ 68>>0