Página 1
RAYMOND DUVAL UN ANÁLISIS COGNITIVO DE PROBLEMAS DE COMPREHENSION EN UN APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS ABSTRACTO. Para entender la d!"!#$ltade d!"!#$ltade %$e &$#'( et$d!ante t!enen #(n la #(&)ren!*n Mate&+t!#a, de-e&( deter&!nar el "$n#!(na&!ent( #(n!t!/( $-0a#ente a la d!/er!dad Pr(#e( &ate&+t!#(. 1C$+le (n l( !te&a #(n!t!/( %$e e re%$!eren )ara dar a##e( 1A l( (-2et( &ate&+t!#(3 1S(n et( !te&a #(&$ne a t(d( l( )r(#e( de #(n(#!&!ent( (, 1P(r el #(ntrar!(, al$n( de ell( (n e)e#4"!#( de la a#t!/!dad &ate&+t!#a3 A )art!r de la I&)(rtan#!a )r!&(rd!al de la re)reenta#!*n e&!*t!#a )ara #$al%$!er a#t!/!dad &ate&+t!#a, Una #la!"!#a#!*n de l( d!/er( re!tr( de re)reenta#!(ne e&!*t!#a %$e e &(/!l!5an En l( )r(#e( &ate&+t!#(. A4, )(de&( re/elar d( t!)( de tran"(r&a#!*n de la e&!*t!#a Re)reenta#!(ne6 trata&!ent( 0 #(n/er!*n. Et( d( t!)( #(rre)(nden a )r(#e( #(n!t!/(. S(n d( "$ente e)arada de !n#(&)ren!*n en el a)rend!5a2e De la &ate&+t!#a. S! el trata&!ent( e el &+ !&)(rtante dede $n )$nt( de /!ta &ate&+t!#(, La #(n/er!*n e -+!#a&ente el "a#t(r de#!!/( )ara el a)rend!5a2e. A)(0and( dat( e&)4r!#(, en #$al%$!er N!/el de #$rr4#$l( 0 )ara #$al%$!er +rea de &ate&+t!#a, )$ede er a&)l!a&ente 0 &et(d(l*!#a&ente Re#(!d(6 al$na )r$e-a e&)4r!#a e )reentan en ete d(#$&ent(. 7 PALABRAS PALABRAS CLAVE6 )arad(2a #(n!t!/a, (ran!5a#!*n "!$ral, (-2et( de #(n(#!&!ent(, len$a2e, A)rend!5a2e de &ate&+t!#a, re#(n(#!&!ent(, re#(n(#!&!ent(, re!tr( &$lt!"$n#!(nale &$lt!"$n#!(nale 0 &(n("$n#!(nale, C(nr$en#!a, re)reenta#!*n, #(n/er!*n de re)reenta#!*n, re)reenta#!*n e&!*t!#a, e&!*t!#a S!te&a, )r(#e( de )ena&!ent(, trata&!ent( 1C*&( )(de&( entender la d!"!#$ltade, a &en$d( !nal/a-le, de %$e 8$e &$#'( et$d!ante t!enen #(n la #(&)ren!*n de l a &ate&+t!#a3 18$9 e el na: T$ra de eta d!"!#$ltade3 1D*nde e en#$entran3 Eta )re$nta T(&ad( T(&ad( en $na &an!t$d e !&)(rtan#!a )art!#$lare #(n la )re!*n re#!ente ;(r&a#!*n !n!#!al de &ate&+t!#a )ara t(d( l( et$d!ante #(n el "!n de Pre)arare )ara 'a#er "rente a $n ent(rn( te#n(l*!#( 0 (r!entad( a la Per)et$a&ente #re#!ente #(&)le2!dad. A&-( (n $n dea"4( ed$#at!/( En la a$la 0 $n ret( te*r!#( )ara la !n/et!a#!*n (-re el dearr(ll( Y el a)rend!5a2e del #(n(#!&!ent( &ate&+t!#(. L( )r(#e( &ate&+t!#( Ad%$!!#!*n del #(n(#!&!ent( (n tan #(&)le2a #(&)le2a %$e e ne#ear!(. La &+ )red(&!nante, 0a /e#e ()$eta, (n la e)!te: M(l*!#( 0 ed$#at!/(. Per( t!enen en #(&
?@@ 76 7@:77 DOI6 [email protected]@@ 7@F:@@:@F@@:5 C S)r!ner ?@@ Página 2
7@F RAYMOND DUVAL de )!e )ara ... =3 P$ede (-tener $n a&)l!( ran( de re)$eta, de)end!end( de S! #(n!dera&( la re)reenta#!(ne #(n re)e#t( a la !nd!#a#!(ne #(n#reta Y $ e)er!en#!a, a la etr$#t$ra &entale, ( )(r el #(ntrar!(, A l( (-2et( de #(n(#!&!ent( #(n $ re%$er!&!ent( re%$er!&!ent( e)!te&(l*!#( e)e#4"!#( >H!tt, ?@@?. A4, la re)reenta#!(ne )$eden er #reen#!a, #(n#e)#!(ne !nd!/!d$ale O #(n#e)#!(ne err*nea a la %$e e t!ene a##e( a tra/9 de la /er!"!#a#!*n Bal ( )r(d$##!(ne e%$e&+t!#a. Eta re)$eta, dearr(llada )r!&er( en d( rande
Et$d!( de P!aet >7?, 7?, e a'(ra $n( de l( )r!n#!)ale Y &ar#( te*r!#( )ara la !n/et!a#!*n 0 e)l!#a#!*n de la Ad%$!!#!*n del #(n(#!&!ent(. Per( la re)reenta#!(ne re)reenta#!(ne ta&-!9n )$eden er !n( 0 A(#!a#!(ne #(&)le2a, %$e e )r(d$#en )r(d$#en de a#$erd( #(n la rela 0 %$e Per&!ten la de#r!)#!*n de $n !te&a, $n )r(#e(, $n #(n2$nt( de "en*&en(. A'4 La re)reenta#!(ne e&!*t!#a, !n#l$0end( #$al%$!er len$a2e, a)are#en #(&( #(&$ne Herra&!enta )ara )r(d$#!r n$e/( #(n(#!&!ent( 0 n( *l( )ara #(&$n!#ar Re)reenta#!*n &ental )art!#$lar. Eta re)$eta, %$e 'a !d( )r(: Dearr(llad( dede ;ree 0 H!l-ert #(n re)e#t( a l( )r(#e( e)!te&(l*!#( Y &eta&at'e&at!#al re%$!!t(, ta&-!9n 'a ad%$!r!d( $na ran !&)(rtan#!a En la !n/et!a#!*n (-re la #(n!#!*n >D$/al, 7a. C$al%$!er !n/et!a#!*n (-re El a)rend!5a2e de la &ate&+t!#a !&)l!#a $na ele##!*n te*r!#a (-re la P(!-le rela#!*n 0 el )a)el re)e#t!/( de eta #lae -atante ()$eta De la re)reenta#!*n, %$e (n =de )!e )(r al( &+=, e de#!r, O-2et( de #(n(#!&!ent(. Pare#e (-/!( %$e la !n/et!a#!*n (-re el a)rend!5a2e de la S$ d!"!#$ltade de-en -aare en l( %$e l( et$d!ante 'a#en real&ente )(r 4 &!&(, S$ )r(d$##!(ne, en $ /(#e. Per(, 1#*&( )(de&( anal!5ar l( )r(#e( Ad%$!!#!*n de #(n(#!&!ent( a )art!r de de la #(n#e)#!(ne de l( et$d!ante 0 ;$ente de $ d!"!#$ltade3 La re)reenta#!(ne (n *l( l( re$ltad( $)er"!#!ale de El "$n#!(na&!ent( de etr$#t$ra &entale )r("$nda %$e n( de)enden de l a real!dad C(n#!en#!a de l( !nd!/!d$( >P!aet, 7, )). :. S$-0a#ente a l( d( T!)( -atante ()$et( de re)reenta#!*n, e!te $na (ran!5a#!*n de Etr$#t$ra %$e 'a#en a l( !nd!/!d$( #a)a#e de real!5ar l( d!/er( >D$/al, 7a. A4, el ra( #ara#ter4t!#( de $na En"(%$e e -$#ar )r!&er( deter&!nar el "$n#!(na&!ent( #(n!t!/( $-0a#ente L( d!/er( )r(#e( &ate&+t!#(. C(n el "!n de deter&!nar el (r!en del La !n#(&)ren!*n de l( et$d!ante )r!&er( de-e&( deter&!nar la #(nd!#!(ne #(n!t!/a 8$e 'a#en )(!-le la #(&)ren!*n. Para e( de-e&( 'a#er la )re$nta6 7. 18$9 !te&a #(n!t!/( e re%$!eren 0 &(/!l!5an )ara dar a##e( a O-2et( &ate&+t!#( 0, al &!&( t!e&)(, )(!-!l!tar la real!5a#!*n de La &
UN ANÁLISIS COGNITIVO DE PROBLEMAS DE COMPREHENSIN 7@K M+ a-tra#t(, e !n#l$( ! $n len$a2e e)e#4"!#( ( $na #(d!"!#a#!*n e $an en &at'e&at: I#. O-er/a#!(ne %$e 'e )ra#t!#ad( en a$la 0 "$era del a$la D$rante &$#'( a( &e lle/* n( *l( a #a&-!ar de en"(%$e #entrad( en C(n#e)#!(ne de l( et$d!ante >D$/al, 7 a $n en"(%$e #(n!t!/(, )er( ta&-!9n T(d( )ara 'a#er la )re$nta6 ?. 1E la &anera de )enar l( &!&( en &ate&+t!#a #(&( en la (tra +rea d e 1#(n(#!&!ent(3 En (tra )ala-ra, 1la a#t!/!dad &ate&+t!#a re%$!ere *l( la Pr(#e( #(n!t!/( #(&$ne (, de 'e#'(, #!ert( )r(#e( #(n!t!/( &$0 Etr$#t$ra #$0( dearr(ll( de-e er #$!dad( en la enean5a3 Ete te&a (-re el a)rend!5a2e de la &ate&+t!#a t!ene $n ran !n!"!#ad( S! el (-2et!/( de enear &ate&+t!#a, a n!/el )r!&ar!( 0 e#$ndar!(, N( e #a)a#!tar a "$t$r( &ate&+t!#( n! dar a l( et$d!ante 'erra&!enta %$e M$#'( a( &+ tarde, !n( &+ -!en #(n: Tr!-$t( al dearr(ll( eneral de $ #a)a#!dade de ra5(na&!ent(, an+l!! Y /!$al!5a#!*n. En #$al%$!er #a(, 'a#e ne#ear!( #(n!derar la e&!*t!#a Re)reenta#!(ne al n!/el de la etr$#t$ra de la &ente 0 n( *l( #(n re)e#t( a A la e!en#!a e)!te&(l*!#a e)!te&(l*!#a de a##eder al #(n(#!&!ent( >D$/al, 7Ka, )). :, 7K:K. Y dede ete en"(%$e #(n!t!/(
Pare#e %$e la ()(!#!*n entre re)reenta#!(ne &entale 0 e&!*t!#a Ya n( e )ert!nente, 0a %$e e -aa en la #(n"$!*n entre l( Entre el &(d( "en(&en(l*!#( de )r(d$##!*n 0 el t!)( de !te&a M(/!l!5ad( )ara )r(d$#!r #$al%$!er re)reenta#!*n >D$/al, ?@@@a, )). K:@. Preentar9 a%$4 al$n( de l( )r!n#!)ale re$ltad( %$e 'e (-ten!d(. S(n Rela#!(nada, )(r $n lad(, #(n el )a)el )red(&!nante de la tran"(r&a#!(ne De la re)reenta#!(ne e&!*t!#a en #$al%$!er a#t!/!dad &ate&+t!#a, 0, )(r (tr( Al !te&a e&!*t!#( $t!l!5ad( )ara eta tran"(r&a#!(ne. l( C(&)le2!dad #(n!t!/a $-0a#ente a l( ) r(#e( de )ena&!ent( en &ate&+t!#a Rad!#a en el 'e#'( de %$e 'a0 d( "(r&a &$0 d!"erente de tran"(r&a#!(ne 8$e n$n#a e t(&an e)l4#!ta&ente en #$enta en la enean5a. Y dede el P$nt( de /!ta &ate&+t!#(, $n( de ell( &anda la &a0(r aten#!*n, M!entra %$e e el (tr( %$e #a$a la &a0(re d!"!#$ltade )ara l( et$d!ante. De)$9 Una de#r!)#!*n de l( d!/er( )r(#e( #(n!t!/( re%$er!d( )(r la &ate&+t!#a Pena&!ent(, /(0 a )reentar al$n( dat( e&)4r!#( )ara &(trar #*&( et( D( t!)( de tran"(r&a#!(ne (n "$ente e)e#4"!#a e !nde)end!ente de In#(&)ren!*n en el a)rend!5a2e de la &ate&+t!#a. 7. SOMBRERO CARACTERIZA a#t!/!dad &ate&+t!#a DE UN )$nt( de /!ta #(n!t!/(3 Al tratar de anal!5ar l( %$e #(nt!t$0e la #(&)ren!*n &ate&+t!#a 0 Para e)l!#ar l( (-t+#$l( a la #(&)ren!*n %$e l( et$d!ante e)er!&entan, la )er(na Página 4
7@ RAYMOND DUVAL A &en$d( )lantean l( #(n#e)t( 0 $ #(&)le2!dad e)!te&(l*!#a. Y Eta #(&)le2!dad e)!te&(l*!#a )$ede e)l!#are )(r la '!t(r!a de $ de#$-r!&!ent(. Per( tal en"(%$e n( e $"!#!ente )ara #ara#ter!5ar l( %$e e N(/ela 0 e)e#4"!#a a l( )r(#e( de )ena&!ent( en &ate&+t!#a en #(ntrad!t!n#t!(n A (tr( +&-!t( del #(n(#!&!ent( #!ent4"!#( #(&( la atr(n(&4a, la -!(l(4a, et#. La d!"eren#!a entre la a#t!/!dad #(n!t!/a re%$er!da )ara la &ate&+t!#a Y el re%$er!d( )ara (tr( d(&!n!( del #(n(#!&!ent( n( e en#$entra en L( #(n#e)t( : )(r%$e n( 'a0 $n d(&!n!( del #(n(#!&!ent( %$e n( Dearr(llar $n #(n2$nt( de #(n#e)t( &+ ( &en( #(&)le2(, )er( en l( tre Cara#ter4t!#a. 7.7. La importancia suprema de las representaciones semióticas Bata #(n &!rar la '!t(r!a del dearr(ll( de la &ate&+t!#a Para /er %$e el dearr(ll( de la re)reenta#!(ne e&!*t!#a era $n C(nd!#!*n )ara el dearr(ll( del )ena&!ent( &ate&+t!#(. Para e&)e5ar, 'a0 El 'e#'( de %$e la )(!-!l!dad de $n trata&!ent( &ate&+t!#(, )(r e2e&)l(, De)ende del !te&a de re)reenta#!*n. De-!d( a %$e el )a)el !n( n( e re)(ar d$rante (-2et( &ate&+t!#(, !n( ta&-!9n )ara proporcionar la capacidad de las la sustitución de algunas señales para otros. A4, 'a0 $na en(r&e -re#'a entre
Et( d( t!)( de re)reenta#!*n n$&9r!#a6 #(le##!(ne de )al( ( tra5( 0 S!te&a de -ae dentr( de l( #$ale la )(!#!*n da el !n!"!#ad(. Y a%$4 el )r(-le&a a)are#e #(n este muy extraño signo "0", que no pertenece a
La base elegida, sino a un poderoso sistema semiótico de representación numérica Ción. P(r l( tant(, #(&( n( e ne#ear!( $n /erdader( $( del !te&a de n(ta#!*n de#!&al
Para tra-a2ar #(n enter( )e%$e( 0 )ara 'a#er ()era#!(ne ad!t!/a, )(de&( #(n!deran %$e la n(ta#!*n de#!&al "10" re)reenta el re)re: #$a! &ater!ale Reenta#!*n = =Del n<&er(= diez =0 le da el !n!"!#ad(. Per( M+ all+ de e(, $ $( n( re%$!ere #(&)render la "(r&a en %$e el ;$n#!(ne del !te&a de re)reenta#!*n $t!l!5ada3 P(r e2e&)l(, en e)re!(ne #(&( !. FK 7@ !. FK 7@@ ( ,FK6 @,7 ,K6 @,@7 1C$+nt( et$d!ante 2*/ene
Dent real&ente llear a eta eta)a de la #(&)ren!*n3 Y la ad%$!!#!*n de l( et$d!ante De et( !te&a n( e !&)le. Se )(dr4a )enar %$e e&)leand( el n<&er( Dede el !n!#!( de la ed$#a#!*n )ree#(lar 'ar4a $ $( )r(re!/a&ente M+ tran)arente. En#$eta na#!(nale "ran#ea de e/al$a#!*n >MEN, 7, 7 De&(tr* %$e e( n( e t(da/4a el #a( al )r!n#!)!( de la e#$ela e#$ndar!a6 S*l( $n( de #ada tre et$d!ante )are#4a 'a-er #(&)rend!d( el "$n#!(na&!ent( del S!te&a de#!&al 0 )(der real&ente a)r(/e#'ar $ )(!-!l!dade en Para tener 9!t( #(n $n #(n2$nt( de ele&ent( (-re la ()era#!(ne &+ !&)le de &$l: )l!#a#!*n 0 d!/!!*n de de#!&ale . FK 7@6 FK 0. 7. En ad!#!*n, E!te el 'e#'( de %$e l( (-2et( &ate&+t!#(, #(&en5and( )(r l( n<&er(, n( (n O-2et( %$e )$eden er d!re#ta&ente )er#!-!d( ( (-er/ad( #(n !ntr$&ent(. A##e( Página 5
UN ANÁLISIS COGNITIVO DE PROBLEMAS DE COMPREHENSIN 7@ A l( n<&er( et+ /!n#$lad( al $( de $n !te&a de re)reenta#!(ne %$e )er&!te De!nad(. Per( el )$nt( #la/e n( et+ a'4. El )a)el de l( !n(, ( &+ ea#ta&ente P(r l( !te&a e&!*t!#( de re)reenta#!*n, n( e *l( de!nar &at'e&at: O )ara #(&$n!#ar, !n( ta&-!9n )ara tra-a2ar en (-2et( &ate&+t!#( Y #(n ell(. N( e )$ede real!5ar n!n&!#r(: Tele#()!(, a)arat( de &ed!#!*n. La
Se &an!"!eta en el 'e#'( de %$e la #a)a#!dad de #a&-!ar de $na re)reenta#!*n S!te&a a (tr( e &$0 a &en$d( el $&-ral #r4t!#( )ara el )r(re( en el a)rend!5a2e Y )ara la re(l$#!*n de )r(-le&a. Página 6
7@ RAYMOND DUVAL 7.. La gran $ariedad de representaciones semióticas utilizadas en matem'ticas Deta#and( el )a)el &+ !&)(rtante de la re)reenta#!(ne e&!*t!#a en la 8$e !&)l!#a ne#ear!a&ente la $t!t$#!*n de !n(, n( e $"!#!ente. La a#t!/!dad &ate&+t!#a ne#e!ta tener d!"erente !te&a de re)reenta#!*n e&!*t!#a. 8$e )$eden $t!l!5are l!-re&ente de a#$erd( #(n la tarea a real!5ar, ( De a#$erd( #(n la )re$nta %$e e 'a#e. Al$n( )r(#e( (n &+ "+#!le en $na S!te&a e&!*t!#( %$e en (tr(, ( !n#l$( ) $ede 'a#ere en $na (la !te&a. Per( en &$#'( #a( n( e *l( $n !te&a de re)reenta#!*n %$e e I&)l4#!ta ( e)l4#!ta&ente, !n( al &en( d(. A 4, en e(&etr4a e ne#e: C(&-!nar el $( de al &en( d( !te&a de re)reenta#!*n, $n( )ara E)re!*n /er-al de )r()!edade ( )ara e)re!*n n $&9r!#a de &an!t$d Y el (tr( )ara la /!$al!5a#!*n. L( %$e e lla&a $na ="!$ra e(&9tr!#a= !e&)re A(#!a la re)reenta#!(ne tant( d!#$r!/a #(&( /!$ale, a$n%$e *l( ea $na de Se )$eden realtar e)l4#!ta&ente de a#$erd( #(n la a#t!/!dad &ate&+t!#a 8$e e re%$!ere. L$e(, e e)era %$e l ( et$d!ante /a0an de $n lad( a (tr( T!)( de re)reenta#!*n %$e e )r()(ne e)l4#!ta&ente 0 el (tr( %$e e I5%$!erda en el "(nd( de eta a(#!a#!*n d!#$r!/a /!$al %$e "(r&a ;!$ra e(&9tr!#a. Y eta a(#!a#!*n e #(n!t!/a&ente #(&)le2a )(r%$e En la &a0(r4a de l( #a( /a en #(ntra de la a(#!a#!*n #(&D$/al, 7-, )+. :FF. La &ate&+t!#a e el d(&!n!( dentr( del #$al en#(ntra&( el ran( &+ rande S!te&a de re)reenta#!*n e&!*t!#a, tant( l( #(&$ne a #$al%$!er Pena&!ent( #(&( el len$a2e nat$ral 0 l( e)e#4"!#( de la &ate&+t!#a tale #(&( C(&( n(ta#!(ne ale-ra!#a 0 "(r&ale. Y e( e n"at!5a el )r(-le&a #r$#!al De la #(&)ren!*n de la &ate&+t!#a )ara l( et$d!ante. S! )ara #$al%$!e r (-2et( &ate&+t!#( P(de&( $t!l!5ar t!)( &$0 d!"erente de re)reenta#!*n e&!*t!#a, 1#*&( )(de&( L( al$&n( re#(n(#en el &!&( (-2et( re)reentad( a tra/9 de re)reentante e&!*t!#( Ta#!(ne %$e e )r(d$#en dentr( de d!"erente !te&a de re)reenta#!*n3 M+ Pr("$nda&ente %$e la d!"!#$ltade e)!te&(l*!#a )r()!a de #ada !n tr(d$##!*n De l( n$e/( #(n#e)t(, l( (-t+#$l( &+ re#$rrente en &ate&+t!#a C(&)ren!*n /!enen de eta "(r&a e)e#4"!#a de )enar !n/(l$#rada en A#t!/!dad &ate&+t!#a ?. C OMO )ara anal!5ar l( )r(#e( de )ena&!ent( IMPLICADOS EN la a#t!/!dad &ate&+t!#a3 El )a)el de la re)reenta#!(ne e&!*t!#a n( e l!&!ta a de!nar (-2et(, A etar de )!e )(r al( &+, (a er #(n!derad( #(&( (-: Pr(0e#t(. S$ $( et+ deter&!nad( )(r la )(!-!l !dad de )r(#ea&!ent( &ate&+t!#( Página 7
UN ANÁLISIS COGNITIVO DE PROBLEMAS DE COMPREHENSIN 7@ 8$e l( )er&!tan. C$ale%$!era %$e ean la re)reenta#!(ne e&!*t!#a, )$eden er Otra re)reenta#!(ne e&!*t!#a !n el a)(0( de n$e/a Dat( ( (-er/a#!(ne e&)4r!#a. De l( #(ntrar!(, la ()era#!*n #(n!t!/a -+!#a de S$t!t$#!*n de (tra re)reenta#!*n e&!*t!#a )(r (tra n( er4a )(!-le Ble Per( e( de)ende del !te&a e&!*t!#( dentr( del #$al la re)reenta#!*n e&!*t!#a Reentat!(n e )r(d$#en. Cada !te&a e&!*t!#( )r()(r#!(na P(!-!l!dade. La /ar!a#!*n de la =#a)a#!dad=, %$e "$e &en#!(nada )(r Pe!r#e >CP6 ?.?? )ara el representamen, n( e en el n!/el de e)e#!al re)re: S!n( en el n!/el del !te&a e&!*t!#( dentr( del #$al et+n Pr(d$#!d(. A4, )ara anal!5ar l( )r(#e( de )ena&!ent( #(&)le2( 0 e)e#4"!#( 8$e $-0a#en a la a#t!/!dad &ate&+t!#a, de-e&( tener en #$enta la Entre l( d!"erente !te&a de re)reenta#!*n e&!*t!#a %$e e $t!l!5an.
1Eta d!"eren#!a 2$ean $n )a)el !&)(rtante en l ( )r(#e( &ate&+t!#(3 S!e&)re %$e anal!5a&( la d!"!#$ltade 0 -l(%$e( del et$d!ante en el a)rend!5a2e de Mate&+t!#a, n( en"renta&( a ete )r(-le&a. ?.7. %Cómo describir los di$ersos procesos matem'ticos( Dada la )arad(2a #(n!t!/a del a##e( a l( (-2et( del #(n(#!&!ent( en &ate&+t!#a, Tal de#r!)#!*n de-e er a)(0ada )(r la /ar!edad de re)reentante e&!*t!#( L( !te&a de !n"(r&a#!*n $t!l!5ad( 0 )(r la #a)a#!dad e)e#4"!#a de #ada Real!5and( )r(#e( &ate&+t!#(. La &anera &+ d!"$nd!da de #la!"!#ar e ()(nere al len$a2e, a la O !&-*l!#(, e !&aen. S!n e&-ar(, et( e eneral 0 (-re t(d( e le2( De $"!#!ente. Ha0 ta&-!9n (tra d!"eren#!a een#!al %$e e &$0 a &en$d( Perd!d( Al$n( !te&a e&!*t!#( )$eden $t!l!5are *l( )ara $na "$n#!*n #(n!t!/a. Pr(#ea&!ent( &ate&+t!#(. P(r (tr( lad(, (tr( !te&a e&!*t!#( P$eden #$&)l!r $na a&)l!a a&a de "$n#!(ne #(n!t!/a6 #(&$n!#a#!*n, El )r(#ea&!ent(, el #(n(#!&!ent(, la !&a!na#!*n, et#. >D$/al, 7K-, )+. :@. Eta d!"eren#!a "$n#!(nal entre l( d!t!nt( !te&a de re)reenta#!*n e&!*t!#a 8$e e $t!l!5an en &ate&+t!#a e een#!al )(r%$e et+ !ntr4ne#a&ente C(n la "(r&a en %$e e e2e#$tan l( )r(#e( &ate&+t!#(6 dentr( de $n e&!: La &a0(r4a de l( )r(#e( t(&an la "(r&a de al(r!t&(, &!entra %$e S!te&a e&!*t!#( &$lt!"$n#!(nal l( )r(#e( n$n#a )$eden er #(n /ert!d( en Al(r!t&( P(r e2e&)l(, en e(&etr4a ele&ental, n( 'a0 al(r!t&( Para $ar "!$ra de $na &anera 'e$r4t!#a >D$/al, 7Ka 0 la "(r&a en %$e $n &at'e: En len$a2e nat$ral n( )$ede "(r&al!5are, !n( &ed!ante el $( de S!&-*l!#(. La )r$e-a %$e $an len$a2e nat$ral n( )$eden er La &a0(r4a de l( et$d!ante >D$/al, 77. A )art!r de eta (-er/a#!(ne, )(de&( (-tener $n r+)!d( ;(r&a de )r(#e( &ate&+t!#(, #(&( la $)er)(!#!*n de $n r+"!#( en la Ta-la de #la!"!#a#!*n. Página 8
77@ RAYMOND DUVAL )igura 1. Cla!"!#a#!*n de l( re!tr( %$e )$eden &(/!l!5are en )r(#e( &ate&+t!#(. L( %$e !&)(rta )ara #(&)render l( )r(#e( de )ena&!ent( !n/(l$#rad( en La a#t!/!dad &ate&+t!#a e #entrare en el n!/el de l( !te&a de re)reenta#!*n e&!*t!#a Y n( (-re la re)reenta#!*n )art!#$lar )r(d$#!da. Y el !$!ente D( )$nt( (n een#!ale. En )r!&er l$ar, *l( en ete n!/el Re)reenta#!*n e&!*t!#a 0 $ !n!"!#ad( )ara la &ate&+t!#a )$ede er #a)tad(6 el 'e#'( de %$e e )$eden !nter#a&-!ar $n( )(r otro, manteniendo la misma denotación >;ree, 77. En e$nd( l$ar, $na &ar#a n( )$ede "$n#!(nar #(&( $n S!n( "$era del !te&a e&!*t!#( en el %$e $ !n!"!#ad( ad%$!ere /al(r En ()(!#!*n a (tr( !n( dentr( de ee !te&a >$n e2e&)l( e da &+ adelante En la "!$ra 7K. Eta !dea "$e la )r!n#!)al a)(rta#!*n de Sa$$re >7, )). 7K:7 al an+l!! del len$a2e #(&( !te&a e&!*t!#(. E( !n!"!#a, ta&-!9n, 8$e e!ten rela )ara )r(d$#!r re)reenta#!(ne e&!*t!#a rele/ante. A4, T(d( l( !te&a e&!*t!#( &(n("$n#!(nale %$e (n #ara#ter4t!#( de la &ate&+t!#a Se -aan en rela de "(r&a#!*n de re)reenta#!*n. E( e )$ede #(&)r(-ar "+#!l&ente Para #$al%$!er !te&a de n(ta#!*n n$&9r!#a ( )ara r+"!#( #arte!an(. P(r $)$et(, al$na re)reenta#!(ne %$e n( de)enden de $n !te&a e&!*t!#( Se $t!l!5an en la a#t!/!dad &ate&+t!#a. El &e2(r e2e&)l( e el $( del #er!ll( Para re)reentar enter( )e%$e(. N( t!enen rela de "(r&a#!*n n! P(!-!l!dade e)e#4"!#a de tran"(r&a#!*n. Et( e $t!l!5an #(&( $n &ater!al )ara Man!)$la#!(ne l!-re. En ee ent!d(, e n#a2an )er"e#ta&ente en la ter#era deter&!na#!*n de *epresentamen dada )(r Pe!r#e6 =al( %$e et+ para alguien ..." Página 9
UN ANÁLISIS COGNITIVO DE PROBLEMAS DE COMPREHENSIN 777 >77, )+!na ?.??. S$ $( de)ende (la&ente del interpretante. Ell( a)are#en C(n &a0(r "re#$en#!a #(&( re)reenta#!(ne a$!l!are de tran!#!*n >H!tt, ?@@. A4, #(n re)e#t( a la )r()!edad de la re)reenta#!(ne e&!*t!#a %$e e -+!#a Para la a#t!/!dad &ate&+t!#a, )(de&( d!t!n$!r #$atr( t!)( &$0 d!"erente de S!te&a e&!*t!#(. T(&and( de n$e/( la )ala-ra 0a $ada )(r De#arte, en La +&-*/ >De#arte, 7KF, ). >). @@, 0 el &anten!&!ent( ta&-!9n $ &(derna !n!"!#ad( %$e ell( lla&an "registros de re)reenta#!*n= >D$/al, 7K-, ). ?7. N( T(d( l( !te&a e&!*t!#( (n re!tr(, *l( l( %$e )er&!ten $na tran"(r&a#!*n De re)reenta#!(ne. He&( )$et( de rel!e/e el #a( &$0 a$t9nt!#( de !d!(&a. All4, la )r(d$##!*n de re)reenta#!(ne e&!*t!#a )$ede l(rare SeD$/al, ?@@@-. Eta #la!"!#a#!*n )r()(r#!(na la 'erra&!enta )ara anal!5ar la a#t!/!dad &ate&+t!#a Y )ara !dent!"!#ar la ra45 de l( )r(-le&a #(n la &ate&+t!#a Y n( *l( a#er#a de tal 0 tal #(n#e)t( #(&)ren!*n %$e &$#'( L( et$d!ante t!enen. ?.?. Los dos tipos de transormación de las representaciones semióticas En la &ed!da en %$e la a#t!/!dad &ate&+t!#a #(n!te !ntr4ne#a&ente en la tran"(r&a#!*n De re)reenta#!(ne, e 'a#e e/!dente %$e e!ten d( t!)( de tran"(r&a#!(ne De re)reenta#!(ne e&!*t!#a rad!#al&ente d!"erente6 TREAT: MENSAJES Y CONVERSIONES. L( trata&!ent( >"le#'a #$r/a en la ;!$ra 7 (n tran"(r&a#!(ne de Reenta#!(ne %$e (#$rren dentr( del &!&( re!tr(6 )(r e2e&)l(, Un #+l#$l( &!entra )er&ane#e etr!#ta&ente en el &!&( !te&a de Re)reentand( l( n<&er(, re(l/!end( $na e#$a#!*n ( !te&a de e#$a#!(ne, C(&)letand( $na "!$ra $and( #r!ter!( )er#e)t!/( de #(ne#t!/!dad ( !&etr4a Pr(-ar, et#. E( da !&)(rtan#!a al )a)el !ntr4ne#( de l( !te&a e&!*t!#( en Pr(#e( &ate&+t!#(. Los tratamientos, que pueden realizarse, dependen rincipalmente sobre las posibilidades de transormación semiótica, que son 2l registro utilizado. D( e2e&)l( -atan )ara de&(trar et(.
L( )r(#ed!&!ent( )ara lle/ar a #a-( $na ()era#!*n n$&9r!#a de)enden M$#'( en el !te&a de re)reenta#!*n $t!l!5ad( ) ara l( n<&er( #(&( en la &ate&+t!#a: Pr()!edade de la ()era#!(ne. P(r l( tant(, l( al(r!t&( (n d!"erente )ara Una n(ta#!*n de#!&al 0 $na n(ta#!*n "ra##!(nal de l( &!&( n<&er(6 7? 7 ... 0. ?@ 0. ?K ... 134 135 ... 0. ?@6 0. ?K ... 1346 135 ... Et( !n!"!#a %$e l( )r(#e( de #+l#$l( n$n#a (n )$ra&ente &ate&+t!#(. De)enden del t!)( de "$n#!(na&!ent( re)reentat!/( %$e el !te&a Página 10
77? RAYMOND DUVAL Per&!( de $(. P(r ra5(ne de e#(n(&4a ( /!!-!l!dad, $n( )$ede er ll e/ad( a #a&-!ar S!te&a de n(ta#!*n )ara lle/ar a #a-( el trata&!ent(. E el re!tr( de la tran"(r&a#!(ne de "!$ra de (rden gestaltista %$e e a &en$d( A re(l/er 0 2$t!"!#ar 'e$r4t!#a&ente &$#'( )r(-le&a de e(&etr4a. Eta tran"(r&a#!(ne (n tran"(r&a#!(ne )$ra&ente /!$ale %$e Se lle/ar+ a #a-( !&)le&ente #a&-!and( el )$nt( de /!ta dede el %$e e Se (-er/an, ( e &ater!al!5an &ater!al&ente #(&( ! et$/!eran en $n r(&)e#a-e5a. A%$4 et+n Tre e2e&)l( #l+!#( d(nde la tran"(r&a#!(ne /!$ale #(n!ten en $na O)era#!*n de re#(n"!$rar la "!$ra (r!!nal >;!$ra ?. La )igura 7. Tran"(r&a#!(ne /!$ale de "(r&a.
En et( e2e&)l(, la $n!dade "!$rat!/a de $na "!$ra (r!!nal )$eden er /!$al&ente Re#(n"!$rad( !n n!nD$/al, 7Ka. La #(n/er!(ne >"le#'a re#ta en la "!$ra 7 (n tran"(r&a#!(ne de 8$e #(n!ten en #a&-!ar $n re!tr( !n #a&-!ar l( (-2et( P(r e2e&)l(, )aand( de la n(ta#!*n ale-ra!#a )ara $na E#$a#!*n a $ re)reenta#!*n r+"!#a, )aand( del len$a2e nat$ral De#lara#!*n de $na rela#!*n #(n $ n(ta#!*n $and( letra, et#. C(n/er!*n E $na tran"(r&a#!*n de la re)reenta#!*n, %$e e &+ #(&)le2a %$e el trata&!ent( P(r%$e #$al%$!er #a&-!( de re!tr( re%$!ere )r!&er( el re#(n(#!&!ent( del &!&( O-2et( entre d( re)reenta#!(ne #$0( #(nten!d( t!enen &$0 a &en$d( nada en #(&"le#'a re#ta en la ;! $ra 7. C(n de&a!ada "re#$en#!a, la #(n/er!*n e Cla!"!#ad( #(&( trad$##!*n ( #(d!"!#a#!*n. Y e2e&)l( #(&( l( !$!ente >;!$ra . )igura . C(n/er!*n #(nr$ente. Página 11
UN ANÁLISIS COGNITIVO DE PROBLEMAS DE COMPREHENSIN 77 Per( e( e ena(( )(r%$e $na &(d!"!#a#!*n &en(r )$ede #a$ar %$e la rela De la #(d!"!#a#!*n ( trad$##!*n al "all( >;!$ra F. La )igura 5. C(n/er!*n n( #(nr$ente. Vea&( a'(ra $n re!tr( )ara el #$al e )$ede eta-le#er $na rela de #(n/er!*n E)l4#!ta&ente. Para #(ntr$!r $n r+"!#( -ata #(n tener *l( l( !$!ente Rela6 a #ada )ar (rdenad( de n<&er( $n( )$ede a(#!ar $n )$nt( en $na #((r: D!nate )lan( #(n !n#re&ent( dad( en l( d( e2e. Y la #(ntr$##!*n De l( r+"!#( #(rre)(nd!ente a "$n#!(ne l!neale )are#e n( dar a l( et$d!ante C$al%$!er (tra. Per( *l( 'a0 %$e !n/ert!r la d!re##!*n del #a&-!( De re!tr( )ara /er %$e eta rela d e2a de er ()erat!/a 0 $"!#!ente >;!$ra K . La )igura 4. Una tarea de re#(n(#!&!ent(. La tarea )r()$eta era $na tarea de reconocimiento simple, n( es $n( de #(n: La le#t$ra ( la le#t$ra de la #((rdenada de l( )$nt(6 ele!r entre e)re!(ne >)(r e2e&)l(, entre y x, y : x, y x 7 el $n( 8$e #(rre)(nde al r+"!#( >D$/al, 7. Nat$ral&ente, ! '$-!9ra&( )ed!d( 8$e l( d( r+"!#( e #(ntr$0an l( 9!t( 'a-r4an $)erad( el @ en a&-( #a(. En la enean5a et+ndar, la tarea ("re#!da n$n#a (n re#(n(#!&!ent(, S!n( !&)le&ente tarea de le#t$ra %$e re%$!eren *l( $n )r(#e( de #(l(#a#!*n de )$nt( $!ad( P(r la #(&)ren!*n l(#al 0 n( $n )r(#e( de !nter)reta#!*n l(-al $!ad( Med!ante la #(&)ren!*n de la /ar!a-le /!$ale #$al!tat!/a >;!$ra 7K. C(n/ert!r $n Re)reenta#!*n e&!*t!#a en (tra n( )$ede #(n!derare C(d!"!#a#!*n ( $n trata&!ent(. Página 12
77F RAYMOND DUVAL En et( d( e2e&)l(, la #(n/er!*n e e)l4#!ta&ente re%$er!da 0 a)are#e 8$e )$ede l!&!tare a !t$a#!(ne tran!t(r!a )ara re(l/er al$na )r(-le&a. Per( la &a0(r4a de la /e#e e re%$!ere !&)l4#!ta&ente #$and( d(, ( !n#l$( Tre, l( re!tr( de-en er $t!l!5ad( 2$nt( de $na &anera !ntera#t!/a. Tene&( al:
L!t* el #a( de la e(&etr4a. All4, n( en"renta&( a al( C(&( $n /a#4( (#$lt( entre el )r(#e( /!$al de trata&!ent( 0 la d!/era D!#$r!/( %$e )$eden er $t!l!5ad( >D$/al, 7#. Y en el a$la Tene&( $na )r+#t!#a &$0 e)e#4"!#a de $t!l!5ar !&$lt+nea&ente d( re!tr(. E( Se 'a-la en len$a2e nat$ral, &!entra %$e et+ e#r!t( en e)re!(ne !&-*l!#a C(&( ! la e)l!#a#!(ne /er-ale )$d!eran 'a#er tran)arente #$al%$!er trata&!ent( !&-*l!#( >D$/al, ?@@@-, )+!na 7K@ : 7KK. A tra/9 de l( d!/er( t!)( de #(n/er!(ne &+ %$e a tra/9 de trata&!ent( T(#a&( en la #(&)le2!dad #(n(#!t!/a de la #(&)ren!*n en el a)rend!5a2e de &ate&+t!#a: Y l( )r(#e( e)e#4"!#( de )ena&!ent( re%$er!d( )(r la &ate&+t!#a a#t!/!dad. ?.. Cómo reconocer el mismo ob#eto matem'tico a tra$és de dos *epresentaciones cuyo contenido es 8eterogéneo(
Al 'a#er $na d!t!n#!*n, )ara !n( &ate&+t!#(, entre el ent!d( 0 el re": Eren#e ;ree >77, )). , 7@?:7@ en"at!5* la d!"eren#!a entre El #(nten!d( de $na re)reenta#!*n 0a l( %$e e re"!ere la re)reenta#!*n. Y Entre el #(nten!d( de $na re)reenta#!*n 0 el (-2et( re)reentad( 'a0 N( 'a0 (tra rela#!*n %$e la den(ta#!*n. A'(ra, 0 eta e la #(ne#$en#!a de#!!/a %$e rara /e5 e t(&a en #$enta, el contenido de una representación depende -'s en el registro de la representación que en el ob#eto representado
>D$/al, 7, )+. F@:F. Ea e la ra5*n )(r la #$al )aar de $n re!tr( Ca&-!a n( *l( l( &ed!( de trata&!ent(, !n( ta&-!9n la )r()!edade 8$e )$ede 'a#ere e)l4#!t(. P(r (tra )arte, )ara el re)reentante n( e&!*t!#( 8$e (n )r(d$#!d( )(r d!)(!t!/( "4!#( >e)e2(, #+&ara, &!#r(#()!(, Et#. ( )(r (ran!5a#!(ne en(r!ale 0 #ere-rale tene&( al( a4 #(&( $na rela#!*n #a$al: Rela#!*n de #al!dad. El #(nten!d( de $na re)reenta#!*n e el e"e#t( !nd!re#t( del (-2et(. P(r l( tant(, $ /al(r =!nt$!t!/(= ( &+ e&)4r!#( >;!$ra . La )igura 9. L( d( t!)( de rela#!*n entre el #(nten!d( de la re)reenta#!*n 0 el (-2et( Re)reentad(. Página 13
UN ANÁLISIS COGNITIVO DE PROBLEMAS DE COMPREHENSIN 77K La rela#!*n entre el #(nten!d( de la re)reenta#!*n 0 el (-2et( re)reentad( De)ende del !te&a %$e e &(/!l!5a )ara )r(d$#!r el Ta#!*n. P(de&( (-tener !#(n!#!dad ( n( !#(n!#!dad )ara la re)reenta#!*n e&!*t!#a #(&( A4 #(&( )ara la re)reenta#!*n n( e&!*t!#a. Y e( n( lle/a de n$e/( a la Parad(2a de la #(&)ren!*n en &ate&+t!#a. 1C*&( )$ede re)reentare O-2et( e d!t!n$e de la re)reenta#!*n e&!*t!#a $t!l!5ada #$and( 1N( 'a0 a##e( al (-2et( &ate&+t!#( a)arte de la re)reenta#!(ne e&!*t!#a3 El )r!&er )r(-le&a de #(&)ren!*n en el a)rend!5a2e de la &ate&+t!#a e $n )r(-le&a Tant( de re#(n(#!&!ent( #(&( de d!#r!&!na#!*n. C$and( e en"rentan a d( re)reenta#!(ne A )art!r de d( re!tr( d!"erente, 1#*&( re#(n(#er $n &!&( (-2et( En $ #(nten!d( re)e#t!/(3 En (tra )ala-ra, 1#*&( )$ede $n et$d!ante D!#r!&!nar en #$al%$!er re)reenta#!*n e&!*t!#a l( %$e e &ate&+t!#a&ente rele/ante Y l( %$e n( e &ate&+t!#a&ente rele/ante3 Eta #$et!*n e )art!#$lar&ente (-/!a Y #r$#!al )ara t(da la re)reenta#!(ne %$e e ) r(d$#en dentr( de &$lt!"$n#!(nal Re!tr( 1S$re, ta&-!9n, )ara la re)reenta#!(ne %$e e )r(d$#en dentr( Re!tr( &(n("$n#!(nale3 En t(d( #a(, et( )r(-le&a de re#(n(#!&!ent( 0 D!#r!&!na#!*n (n !ntr4ne#a a la #(ntr$##!*n de #(ne!(ne entre re: Itere Eta )arad(2a #(n!t!/a 'a#e )(!-le )reentar el e$!&!ent( >En t9r&!n( &ate&+t!#( =#(n2et$ra=6 #(&)ren!*n en La &ate&+t!#a a$&e la #((rd!na#!*n de al &en( d( re!tr( de re)reenta#!*n. Y $n( 0a )$ede )lantear $na )r!&era )re$nta6 1tal la #((rd!na#!*n !ter al( nat$ral )ara l( al$&n( 0 et$d!ante en el #(ntet( de
enean5a de la &ate&+t!#a3 . T HE d( "$ente de !n#(&)ren!*n en el a)rend!5a2e DE MATEMÁTICAS L( d( t!)( de tran"(r&a#!*n de la re)reenta#!(ne e&!*t!#a (n -atante d!"erente "$ente de d!"!#$ltade re#$rrente )ara el a)rend!5a2e de la &ate&+t!#a. S(n N( al )r!n#!)!( d!"!#$ltade )art!#$lare a tal ( #$al #(n#e)t( &ate&+t!#(, )er( d!"!#$ltade -atante &+ l(-ale %$e e )$eden en#(ntrar en t(d( l( n!/ele de la enean5a 0 en t(d( l( +&-!t( de la &ate&+t!#a. D$rante #a! ?@ a(, l( dat( e&)4r!#( e 'an re#(!d( (-re la rela#!(ne entre l( )r(#e( de )ena&!ent( !n/(l$#rad( en la a#t!/!dad &ate&+t!#a 0 l( )r(-le&a de #(&)ren!*n ( !n#l$( -l(%$e( de la &a0(r4a de l( al$&n(. Y #$al%$!era )$ede (-tener e/!den#!a e &)4r!#a (-re la #(nd!#!*n de %$e el trata&!ent( 0 la #(n/er!*n )$eden e)arar &et(d(l*!#a&ente en la tarea %$e e le da a l( et$d!ante, %$e rara /e5 ( n$n#a e real!5a en la &a0(r4a de l( et$d!( de !n/et!a#!*n. N( l!&!tare&( a dar al$n( e2e&)l( #(n el "!n de &(trar la )r("$nd( de#(n(#!&!ent( de et( d( t!)( de tran"(r&a#!*n en d!"erente l( n!/ele de enean5a 0 en la d!/era +rea de la a#t!/!dad &ate&+t!#a. Página 14
77 RAYMOND DUVAL .7. :na primera uente de incomprensión6 la comple#idad y especiicidad de tratamientos lle$ados a cabo e n un registro multiuncional
Ha0 $na ran "$ente de &alentend!d( entre l( )r("e(re 0 et$d!ante (-re t(d( en l( %$e re)e#ta a l( )r(#e( de )ena&!ent( -+!#a 0 #(&)le&entar!a, rea: en/enena&!en: 0 /!$al!5a#!*n. A d!"eren#!a de l( re!tr( &(n("$n#!(nale, &$lt!"$n#!(nal re!tr( )are#en #(&$ne 0 d!re#ta&ente a##e!-le a t(d( l( et$d!ante. Per( e( e &$0 ena((. De 'e#'(, la "(r&a &ate&+t!#a de la $t!l!5a#!*n de la &$lt!"$n#!(nal re!tr( e2e#$ta en la )r+#t!#a #(&D$/al, 7K-, )). :7. N( #entrare&( a%$4 en /e5 de la "!$ra de la e(&etr4a en la &ed!da %$e re#$rren e)l4#!ta&ente a la /!$al!5a#!*n 0 n( *l( al #(n(#!&!ent( d!#$r!/( >)r()!edade, de"!n!#!(ne, te(re&a. re#(: (lle#t %$e $na "!$ra en la e(&etr4a et+ !e&)re -aad( en el "$n#!(na&!ent( de d( re!tr(. Y ! %$ere&( #a)tar $ #(&)le2!dad #(n!t!/a, 'a0 %$e anal!5ar e)arada&ente la "(r&a en %$e l( trata&!ent( e lle/an a #a-(, re)e#t!/a&ente, en el re!tr( d!#$r!/( 0 el re!tr( /!$al , a )ear de %$e e "$nden en el &!&( )r(#e( &ate&+t!#(. C$and( n( #entra&( en la /!$al!5a#!*n (&( "rente a $na "$erte d!#re)an#!a entre la "(r&a 'a-!t$al de /er la #!"ra, eneral&ente en $na "(r&a !#*n!#a, 0 la "(r&a &ate&+t!#a %$e e e)era %$e er &!rad(. Ha0 &$#'a &anera de =/er= >D$/al, 7 Ka. C$al e la re%$er!da )(r el $( 'e$r4t!#( de la #!"ra3 N( d!&( anter!(r&ente tre e2e&)l( &$0 ele&entale de la $ t!l!5a#!*n de "!$ra en la e(&etr4a >;!$ra ?. En et( e2e&)l(, =/er= #(n!t!* en d !#ern!r la "!$ra (r!!nal la tran"(r&a#!(ne %$e )er&!tan la re#(n"!$ra#!*n en el (tr(6 el )a( de la "!$ra (r!!nal a la %$e e la (-2et!/( 'a#e %$e ea )(!-le entender $na rela#!*n, $na "*r&$la de #+l#$l(, et#. P(r l( tant(, $)(n!end( %$e el #+l#$l( del +rea de $n re#t+n$l( )ara er #(n(#!d(, $n( )$ede /er #*&( #al#$lar la de $n )aralel(ra&( 0 de all4 la de $na tr!+n$l( >;!$ra . La )igura ; . E la "!$ra de la !l$tra#!*n #(n!t!/a&ente #(nr$ente #(n la tran"(r&a#!*n /!$al3 L( %$e #(nt!t$0e el 'e#'( de =/er= en la e(&etr4a3 A$n%$e el Mat'e(n d!#$r( &ate&+: ne#e!ta &!rar a l( ele&ent( $n!d!&en!(nale de la "!$ra, la "$er5a 'e$r4t!#a de la "!$ra re%$!ere %$e la aten#!*n ea #en: tered en l( ele&ent( -!d!&en!(nale. Ete e2e&)l( e #!ta en t(da )arte #(&( $na de&(tra#!*n de $na a#t!/!dad e)(nt+nea, l( %$e de-er4a er #(&
Página 15
Un an+l!! #(n!t!/( de )r(-le&a de #(&)ren!*n 77 )ara et$d!ante )r!n#!)!ante 0 &ate&+t!#( #(n"!r&ad(. En real!dad, el "a#t(r t(re %$e a%$4 dan la #!"ra $ #lar!dad 'e$r4t!#a 0 e)l!#at!/( )$ede, en &ate&+t!#a&ente !t$a#!(ne !&!lare, !&)!den /er, #(&( e )$ede /er!"!#ar en el !$!ente e2e&)l( >;!$ra . La )igura ! . Pr!&er )a( de $n trata&!ent( /!$al6 $-"!$ra ne#ear!( )ara er d!#r!&!nad(. La (l$#!*n de #!ert( )r(-le&a re%$!ere $na #(&)ara#!*n de #!erta )(!: $-"!$ra -le (-ten!d( )(r re#(n"!$ra#!*n 0 )(r l( tant( la #a)a#!dad de discernir ellos r'pidamente en la "!$ra (r!!nal. Ha0 "a#t(re, %$e en #!ert( #a( "a#!l!tar el re#(n(#!&!ent( de la $-"!$ra )ert!nente e ! n'!-!r en l( de&+ >D$/al, 7K, )). 7FF, 7F:7K@. Per( 'a0 (tr(, )(!-le&ente &+ !n: tereante, !t$a#!(ne %$e &$etran la #(&)le2!dad 0 d!"!#$ltad de la "!$ra6 la l( %$e !&)l!#an $n #4r#$l( 0 al$na l4nea re#ta. En ee te&a ta&-!9n tene&( (-er/a#!(ne &$0 #(n"!a-le, d!)(n!-le en d!"erente n!/ele de la enean5a. Al "!nal de la e#$ela )r!&ar!a, la )reent* en la ;!$ra )r(-le&a "$e dad( a t(d( l( et$d!ante "ran#ee %$e entran en la e#$ela e#$ndar!a 0 l( dat( %$e re$ltad( (n el )r(-le&a en la ;!$ra . M$0 a &en$d(, el &!&( t!)( de )r(-le&a Se )re$nt* a /ar!( a( #(ne#$t!/(. La )igura < . E/al$a#!*n na#!(nal "ran#9 >MEN, 7, 7. Página 16
77 RAYMOND DUVAL En real!dad, )ara en#(ntrar la re)$eta &ate&+t!#a, l( et$d!ante ten4an %$e /er dentr( de la "!$ra, el d( $-"!$ra B >/9ae la "!$ra 7@ 0 n( l( d( $-"!$ra A. De-!d( a %$e e *l( en l( d( $-"!$ra B %$e e /e #(&( l( d( ra0( $n lad( 0 $na )arte de el (tr( lad( del re#t+n$l(. A'(ra (n l( $-"!$ra A ee alt( a la /!ta 0 )(r l( tant( t!enden a e#l$!r a la $-"!$ra BQ La )igura 10 . D( "(r&a de !dent!"!#ar $-"!$ra dentr( de la "!$ra (r!!nal. 1C*&( e )$ede =/er= la "!$ra (r!!nal en el etad( %$e e a#(&)aa el )lantea&!ent( del )r(-le&a >;!$ra 3 La &a0(r4a de l( et$d!ante n( )$eden d! #r!&!nar >B la (ran!5a#!*n /!$al. La e$nda en#$eta e )r(d$2( #er#a del "!nal de la e#$ela e#$ndar!a. l( !$!ente )r(-le&a e )lante* >;!$ra 77. La )igura 11 . Pr(-le&a )reentad( a 7F a( de edad >Me%$!ta, 7, )). F@, :, . Ha0 d( "(r&a de /er la "!$ra en el )lantea&!ent( del )r(-le&a, )er( *l( $n( &$etra la re)$eta 0 da la ra5*n >;!$ra 7?. La )igura 17 . D( (ran!5a#!(ne "!$rat!/a. Página 17
Un an+l!! #(n!t!/( de )r(-le&a de #(&)ren!*n 77 Dede la (ran!5a#!*n de "!$ra >I )ara la (ran!5a#!*n de "!$ra >II e!te $n alt(, %$e de)ende de "a#t(re /!$ale. La /!!*n e)(nt+nea %$e e )r(d$#!d( t!ene $n (l( e2e de !&etr4a >(ran!5a#!*n I, &!entra %$e la (l$#!*n re%$!ere %$e $n( da $na &a0(r !&)(rtan#!a a (tr( d( e2e de !&etr4a >Oran!5a#!*n II. A'(ra %$e )aa de >I a >II #(nt!t$0e $n alt(, l( #$al &+ de la &!tad de l( et$d!ante n( '!5(. En real!dad, )ara )(der /er la "!$ra #(&( tener d( l4nea de !&etr4a OB 0 OC $n( de-e r(&)er el ele&ent( de "!$ra !&)le >(ran!5a#!*n I %$e #(n!te en el e&ent( BC en d( e&ent( >(ran!5a#!*n II. Y #(n el "!n de tener la &a0(r4a de l( et$d!ante llean al )$nt( de /er la (ran!5a#!*n >II, en la "!$ra del etad(, el etad( del )r(-le&a t$/( %$e er &(d!"!#ad( &ed!ante la de#r!)#!*n
la d!/!!*n del e&ent( BC6 =Sea I el )$nt( de !ntere##!*n de la AO 0 ANTES DE CRISTO #(&)arar BI 0 IC =>Pl$/!nae, 7@, ). ?. Et( )(#( e2e&)l( dan $n -$en e2e&)l( de la #(&)le2!dad de la $t!l!5a#!*n &ate&+t!#a de #!"ra 0 el #ar+#ter n( nat$ral )ara la &a0(r4a de l( et$d!ante del a#t( de /er en la e(&etr4a. 1C*&( de-e er anal!5ad(3 C*&( de-er4a l( et$d!ante er+n !ntr(d$#!d( a ella3 En #$ant( a la (-er/a#!(ne %$e e )$eden 'a#er en t(d( de l( d(&!n!( de !r e(&etr4a, d( )(!#!(ne (n )(!-le. La )r!&era #(n!te en e)l!#ar la d!"!#$ltade )er!tente %$e l( et$d!ante ES: #(ntrarretar #(n "!$ra #(&( "alta de #(&)ren!*n de la &ate&+t!#a re)reentada. D!#'( de (tr( &(d(, er4a la #(&)ren!*n de la )r()!edade &ate&+t!#a %$e (r!ente la le#t$ra 0 la e)l(ra#!*n de la "!$ra 'a#!a la (l$#!*n #!*n de $n )r(-le&a. B$ena #(&)ren!*n #(n#e)t$al de-e lle/ar a /er en $na "!$ra l( %$e 'a de er /!t( #(n el "!n de en#(ntrar all4 l( ele&ent( )ara la (l$#!*n de $n )r(-le&a. La e$nda )(!#!*n #(n!te en #(n!derar %$e la #!"ra e )reentan en $n !te&a de re)reenta#!*n %$e e !nde)end!ente de l( etad( 0 de la )r()!edade &ate&+t!#a al %$e e re"!eren. E( !n!"!#ar4a %$e l( %$e e /e en $na #!"ra de)ende de "a#t(re de (ran!5a#!*n /!$al 6 e et( "a#t(re %$e deter&!nan la d!#r!&!na#!*n, e de#!r el re#(n(#!&!ent(, de #!erta "(r&a de $n(, d( 0 tre d!&en!(ne en $na "!$ra 0 e#l$!r la d!#r!&!na#!*n de la (tra #(n"!$ra#!(ne )(!-le 0 $-:"!$ra en el &!&a "!$ra. A'(ra =/er= en la e(&etr4a #(n "re#$en#!a re%$!ere %$e $n( ea #a)a5 de re#(n(#er $na $ (tra de eta (tra #(n"!$ra#!(ne )(!-le 0 $-:#(n"!$ra#!(ne. Lo que necesita ser reconocido en una igura original es una unción del planteamiento del problema, pero su "$isibilidad", es decir, la m's o menos espont'nea car'cter de su reconocimiento, depende $isual operaciones de reorganización. Ha0 &$#'( "a#t(re %$e )$eden !n'!-!r (
"a/(re#er eta d!#r!&!na#!*n de eta ()era#!(ne /!$ale. Ell( )$eden er et$d!ad( e)er!&ental&ente >D$/al, 7Ka, 7# R(&&e/a$, 7. Otra (-er/a#!*n 'e#'a )(r S#'(en"eld #(n l( et$d!ante de &a0(r edad de)$9 de $na e&etre de tra-a2( en la e(&etr4a &$etra la !nde)enden#!a de la #!"ra #(n re)e#t( Página 18
7?@ RAYMOND DUVAL La )igura 1 . El )r(-le&a )lantead( )(r la #(ntr$##!*n S#'(en"eld. al #(n(#!&!ent( #(n#e)t$al 0 #a)a#!dade ad%$!r!da de la )r$e-a. La eta"a: )r(-le&a de #(ntr$##!*n >;!$ra 7 e )r()$( )ara ell( . L( et$d!ante #a$ad( )(r el '(&-re edad de re(l/erl( !n &$#'a d!"!#$ltad, )er( ) r(#ed!end( en $ t(tal!dad e&: e&)4r!#a&ente. Per( )ara ell(, n( 'a-4a a-(l$ta&ente n!n$na #(ne!*n #(n t(d( la )r()!edade &ate&+t!#a %$e a-4an (-re el te&a >S#'(en"eld, 7 )). ?F:?FF, ?K. Tena en #$enta la d!"eren#!a entre ete )r(-le&a 0 la #(ntr$##!*n )re#edente )r(-le&a de la #(&)ara#!*n de la l(n!t$de >;!$ra 77. El 9!t( en eta #(ntr$##!*n )r(-le&a *l( re%$!ere %$e e tenan en #$enta $n e2e de !&etr4a, #(&( en (ran!5a#!*n >I de la "!$ra 77. El 9!t( en el )r(-le&a de #(&)ara#!*n re%$!ere %$e $n( re#(n(#e l( (tr( d( e2e de !&etr4a BO 0 CO, %$e (n =O#$lta= )(r la "(r&a /!$al )red(&!nante AO. re#(n(#!&!ent( /!$al n( 'a#e de)ender+ en )r!&er l$ar en el #(n(#!&!ent( #(n#e)t$al de la )r()!edade. A'(ra *l( )(de&( &en#!(nar el #a( !&)(rtante de la len$a en la e(&etr4a tratar. P(de&( (-er/ar $na ran d!"eren#!a entre $n ra5(na&!ent( ded$#t!/( /+l!d( $and( te(re&a 0 el $( #(&
)r()(!#!(ne, &!entra %$e el $( de ar$&ent( #(n el "!n de #(n/en#er a (tra )er(na #(rre #(&( la de#r!)#!*n )r(re!/a de $n #(n2$nt( de #reen#!a, 'e#'( 0 #(ntrad!##!*n d!##!(ne. L( et$d!ante *l( )$eden entender l( %$e e $na )r$e-a #$and( #(&!en5an )ara d!"eren#!ar et( d( t!)( de ra5(na&!ent( en len$a2e nat$ral. En (rden )ara 'a#erl( llear a ete n!/el, el $( de la re)reenta#!*n de tran!#!*n a#t!/!dad dad, tale #(&( la #(ntr$##!*n de r+"!#( de )r()(!#!(ne, e ne#e!ta >D$/al, 77 7K-, 7-. Eta )r!&era "$ente de d!"!#$ltad e -!en #(n(#!da. Da l$ar a re#$rrente (-er/a#!(ne, %$e l( )r("e(re )$eden 'a#er, !n !&)(rtar $ n!/el de enean5a En . Ade&+, e la ra5*n de %$e en la enean5a de $n( t!ende a &ar!nar, #(&( &ed!da de l( )(!-le, el re#$r( a l( re!tr( &$lt!"$n#!(nale 0 )er&ane#er dentr( de la L( &(n("$n#!(nale, d(nde l( trata&!ent( )$eden t(&ar la "(r&a de al(r!t&(. S!n e&-ar(, el $( de len$a2e nat$ral n( e )$ede e/!tar >D$/al, ?@@@-, ?@@ 0 e )lantea la #$et!*n de la art!#$la#!*n #(n la re)reenta#!(ne )r(: )r(d$#!d( dentr( de l( re!tr( &(n("$n#!(nale. Y e( re%$!ere e)l4#!ta ( #(n/er!*n !&)l4#!ta de la re)reenta#!(ne. Página 19
Un an+l!! #(n!t!/( de )r(-le&a de #(&)ren!*n 7?7 .?. :na segunda uente de incomprensión6 Con$ersión de las representaciones o cambio de registro.
A d!"eren#!a de la )r!&era, la e$nda t!)( de d!"!#$ltad rara /e5 e 'a n(tad( #(&( tal )(r%$e tan )r(nt( #(&( 'a#er a)are#er d!"!#$ltade de #(n/er!*n %$e e t(&an #(&( $na eal de !n#(&)ren!*n #(n#e)t$al. P(r (tra )arte, )ara )(der real&ente )ara /er el ta&a( de la d!"!#$ltade rela#!(nada #(n la #(n/er!*n de la re)reenta#!(ne, e de-e eta-le#er $n &e#an!&( de (-er/a#!*n %$e le )er&!te &an!"etare, l( %$e $)(ne $n )r!n#!)!( %$e e 'a t(&ad( #(n#!en#!a de la d!"eren#!a entre el trata&!ent( 0 la #(n/er!*n en $n )r(#e( &ate&+t!#(Q En t(d( #a(, e ete e$nd( t!)( de d!"!#$ltad %$e l!&!ta #(n!dera-le&ente la #a)a#!dad de l( et$d!ante a $t!l!5ar l( #(n(#!&!ent( ad%$!r!d(, a4 #(&( $ #a)a#!dad )ara ad%$!r!r n$e/( #(n(#!&!ent( en &ate&+t!#a. Y l( %$e #(nd$#e &$0 r+)!da&ente a $n l4&!te en el )r(re( de la #(&)ren!*n 0 el a)rend!5a2e )ara &$#'( et$d!ante. La d!"!#$ltade !n$)era-le )lantead( )(r la #(n /er!*n )$eden er (-er/ad( )(r l( d!"erente t!)( de #(n/er!*n, %$e e )ara #ada )ar de re!tr( de er $t!l!5ad( 2$nt( >"le#'a re#ta en la ;!$ra 7. P(r l( tant(, l( (-t+#$l( le/antad( )(r el !&)le =trad$##!*n= de l( t9r&!n( de $n )r(-le&a de )ala-ra en !&-*l!#a e)re!(ne ta&-!9n (n -!en #(n(#!d(. E $na -re#'a %$e &$#'( et$d!ante n( )$eden 9!t( #(ne$!r &+, #$al%$!era %$e ea el #(nten!d( &ate&+t!#( >ad!t!/( ( &$lt!: t!)l!#at!/e ()era#!(ne en n<&er( relat!/(, etad( de #$enta )ara )(ner en e#$a#!(ne, Et#. Ea e la ra5*n )(r la &a0(r4a de la !n/et!a#!*n e 'a #entrad( en la re(rdena#!*n a la re)reenta#!(ne a$!l!are de tran!#!*n, la dearr(llada e)(nt+nea&ente )(r l( et$d!ante ( a%$ell( de !ntr(d$#!r en la enean5a. En et$d!( anter!(re >7, 7-, &e d!( )r$e-a de $n "all( !&)(rtante en la #(n/er!*n de $n r+"!#( #arte!an( en la e#$a#!*n #(rre)(nd!ente. Y %$e el "ra#a( e -atante !nde)end!ente de entender el #(n#e)t( de "$n#!*n. La "!$ra K )reenta $n e2e&)l( de la tarea de re#(n(#!&!ent( %$e e $t!l!5*. A4 )(de&( a$&entar la (-er/a#!(ne (-re l( )r(-le&a de #(n/er!*n )ara #ada t!)( de #(n/er!*n 0 en t(da la +rea de la enean5a de la &ate&+t!#a. Met(d(l(4a )ara la %$e n( !n!"!#a en a-(l$t( *l( re%$!eren %$e l( et$d!ante )$eden #(l(#ar en $ na !t$a#!*n de re(l$#!*n de )r(-le&a ( en $na a)l!#a#!*n a#t!/!dad. Se re%$!ere %$e e d9 a l( et$d!ante tarea %$e (n /ar!ada !te&+t!#a&ente #a&ente n( *l( #(&( $na "$n#!*n del re!tr( (r!!nal, !n( ta&-!9n #(&( $na "$n#!*n de la /ar!a#!(ne !nterna dentr( de #ada re!tr(. Se )$ede /er, )(r l( tant(, %$e e N( *l( e #$et!*n de #entrare en l( err(re, %$e )$ede er (-er/ada d!re#ta&ente 0
%$e e re)!ten de $n a( a (tr(, !n( %$e 'a0 %$e #a/ar &+ )r("$nd( de d!"!#$ltade )ara )(der anal!5ar l( )r(-le&a de #(&)ren!*n de l( et$d!ante de la &ate&+t!#a. C$and( e 'a#e et( e en"rentan a &$0 )r("$nd( 0 (r)rendente ;en*&en( de la #(&)le2!dad #(n!t!/a de la #(n/er!*n, en #$al%$!er +rea de la ed$#a#!*n &ate&+t!#a. C$and( e /ar4a !te&+t!#a&ente $na re)reenta#!*n dentr( de $na "$ente tr( ter a $ re)reenta#!*n #(n/ert!da en el re!tr( de det!n(, )$ede (-er/ar $na Página 20
7?? RAYMOND DUVAL /ar!a#!*n !te&+t!#a de la a#t$a#!(ne. E( $#ede #(&( ! el 9!t( ( el &a !te&+t!#a err(re de)enden de la d!tan#!a #(n!t!/a entre la "$ente de re)re: reenta#!*n #(nten!d( 0 el #(nten!d( de la re)reenta#!*n de det!n(. En al$n( #a(, e #(&( $na a!na#!*n $n( a $n(, 0 la !&aen de (r!en e tran)arente a la re)reenta#!*n de det!n(. En et( #a(, la #(n/er!*n )are#e nada &+ %$e $na !&)le #(d!"!#a#!*n >;!$ra . Per( en (tr( #a(, 0a n( "$n#!(na en a-(l$t( a4 >;!$ra F. En (tra )ala-ra, entre $na re)reenta#!*n de (r!en 0 $ re)reenta#!*n #(n/ert!da en $n re!tr( de det!n(, ( -!en 'a0 #(nr$en#!a ( n( #(nr$en#!a. Y $n an+l!! &+ detallad( n( )er&!te !dent!"!#ar tre "a#t(re )ara de#r!-!r ete "en*&en( >D$/al, 7K-, )) F:K.6 : Una a!na#!*n $n( a $n( entre t(d( l( #(&)(nente !n!"!#at!/( >-(l( -(l, )ala-ra ( #ara#ter4t!#a /!$ale de l( #(nten!d( de la re)reenta#!*n "$ente #!*n 0 la re)reenta#!*n de det!n( e ( n( e )(!-le. : La ele##!*n )ara #ada #(&)(nente !n!"!#at!/( de la re)reenta#!*n de det!n( e ( n( e $n4/(#a. : En l( #(nt!t$0ente !n!"!#at!/( %$e e )$eden a!nar, la (ran!5a#!*n (rden dentr( de la re)reenta#!*n "$ente e &ant!ene ( e #a&-!a dentr( de la d!r!!re a la re)reenta#!*n. El e$nd( "en*&en( e la d!re##!*n de la #(n/er!*n. C$and( l( )a)ele de re!tr( de (r!en 0 de det!n( e !n/!erten re!tr( dentr( de $n re)reen: e&!*t!#a enta#!*n tarea de #(n/er!*n, el )r(-le&a e #a&-!a rad!#al&ente )ara l( et$d!ante. E( )$ede er e/!dente en $n #a(, &!entra %$e en la tarea !n/ert!da &a0(r4a de l( e t$d!ante S0te&: t!#a&ente "allar. E $"!#!ente )ara 'a#er re"eren#!a al e2e&)l( de la ;! $ra K, re#(rdand( %$e ! '$-!9ra&( )ed!d( a la #(ntr$##!*n de la r+"!#a de la "$n#!(ne = x 0 y ? x ( !n#l$( = 7 3 ? x n( 'a-r4a 'a-!d( n!n$na !n!"!#at!/a d!"eren#!a en $ a#t$a#!(ne. Per( la !$!ente (-er/a#!*n dentr( de $na d(&!n!( %$e )are#e dar &$#'a d!"!#$ltade de l( et$d!ante, +le-ra l!neal, da $n e2e&)l( n(ta-le >;!$ra 7F. 1T!ene la #(&)ren!*n en el +le-ra l!neal n( )re$)(nen %$e l( et$d!ante ean #a)a#e de #a&-!ar r+)!da&ente l( re!tr( en $na !&)l4#!ta ( de &anera e)l4#!ta3 N( er4a $ d!"!#$ltad en la #(n/er!*n de $na de la )r!n#!)ale (-t+#$l( %$e $)erar3 A%$4, en #$al %$!er #a(, e #(&( e )$ede /er la &an!t$d de ete t!)( de d!"!#$ltad. P(de&( (-er/ar la &an!t$d de la /ar!a#!(ne e n el 9!t( #ada /e5 %$e $n( !n/!erte la d!re##!*n de la #(n/er!*n. P(r (tra )arte, n( e !n#r!-!* #(n!derad( a!lada&ente )are#e er &e2(r %$e (tr( &+ter6 a#t$a#!(ne /ar4an de a#$erd( #(n el re!tr( "$ente )are, el (-2et!/( de re!tr(. A%$4 e llea a la ra45 de l( )r(-le&a en el a)rend!5a2e de la &ate&+t!#a6 la #a)a#!dad de #(&)render 0 'a#er )(r $n( &!&( #$al%$!er #a&-!( de re!tr( de la re)reenta#!*n. L( )r(-le&a %$e &$#'( l( et$d!ante t!enen #(n &ent!ra el ra5(na&!ent( &ate&+t!#( #(n la e)e#!"!#!dad &ate&+t!#a 0 la #(&)le2!dad #(n!t!/a de la #(n/er!*n 0 la re)reenta#!*n #a&-!ante. N( e n! $na #$et!*n de #(d!"!#a#!*n n! $na #$et!*n de #(n#e)t( &ate&+t!#( (l(.
Página 21
Un an+l!! #(n!t!/( de )r(-le&a de #(&)ren!*n 7? La )igura 15 . Una tarea de re#(n(#!&!ent( >Pa/l()($l($, 7, ). F. Eta #(&)le2!dad a)are#e a tra/9 de d( "en*&en(, de l( #$ale la /ar!a#!*n DE : )ende de la nat$rale5a de l( d( re!tr( &(/!l!5ad( )ara $na re)reenta#!*n tran"(r&a#!*n6 la /ar!a-!l!dad de la #(nr$en#!a n(:#(nr$en#!a de re)reen: enta#!(ne del &!&( (-2et( de #(n(#!&!ent( 0 la n( re/er!-!l!dad. De 'e#'(, #$al%$!era %$e ea el n!/el 0 #$al%$!era %$e ea la 5(na, la #(n/er!(ne n( #(nr$ente (n )ara &$#'( et$d!ante $na -arrera !n"ran%$ea-le en $ &ate&+t!#a ral )ren!*n 0 )(r l( tant( de $ a)rend!5a2e. ;rente a la #(n/er!*n de re)reenta#!*n n( #(nr$ente, l( et$d!ante e en#$entran atra)ad( en $n #(n"l!#t( entre re%$!!t( de #(n(#!&!ent( &ate&+t!#( 0 #(n!t!/( !&)(!-!l!dad6 Página 22
7?F RAYMOND DUVAL : C(n/er!*n de la re)reenta#!*n re%$!ere la d!(#!a#!*n #(n!t!/a del (-2et( re)reentad( 0 el #(nten!d( de la e&!*t!#a )art!#$lar, re)reenta#!*n a tra/9 de la %$e e ' a !ntr(d$#!d( 0 $t!l!5ad( en )r!&era eneand(. : Per( 'a0 $na !&)(!-!l!dad de d!(#!ar #$al%$!er #(n!t!/a #(nten!d( de re)reenta#!*n e&!*t!#a 0 $ )r!&er (-2et( re)reentad( #$and( n( 'a0 (tra )(!-!l!dad de a##e( a (-2et( &ate&+t!#( de e&!*t!#a. Ee #(n"l!#t( lle/a a la #(n!dera#!*n de la d( re)reenta#!(ne de la &!&( (-2et( #(&( d( (-2et( &ate&+t!#(. La #(ne#$en#!a e ent(n#e la !n#a)a#!dad de #a&-!ar de re!tr( 0 $ar el #(n(#!&!ent( "$era del etre#'( de a)rend!5a2e C(ntet(. L( re!tr( de la re)reenta#!(ne e &ant!enen en #(&)art!&!ent(, 0 *l( la #(&)ren!*n "ra&entar!a 0 &(n(re!tral e )(!-le. De-a2( %$9 #(nd!#!(ne e )$ede 'a-!l!tar a l( et$d!ante a 'a#er ete t!)( de d!(#!a#!*n3 .. %Cómo discriminar en cualquier contenido de la representación, cualquiera que sea el registro utilizado, lo que es matem'ticamente rele$ante y lo que no lo es(
En et(, (-/!a&ente, et+ la #$et!*n &+ #r$#!al )ara el a)rend!5a2e de la &ate&+t!#a. T(&e&( el e2e&)l( ele&ental de la "$n#!(ne l!neale %$e tene&( dad( >;!$ra K. V!end( $ e)re!*n ale-ra!#a 0 $ r+"!#( de T(: 2$nt(, ( a-er #*&( tra5ar $ r+"!#( a )art!r de $ e)re!*n ale-ra!#a, n( e en a-(l$t( $"!#!ente )ara re#(n(#er la &!&a "$n#!*n a tra/9 de et( d( t!)( de la re)reenta#!*n. Se ne#e!ta $n etad( #(n!t!/( &+ )r("$nd(6 er #a)a5 de d!: CERN cómo dos gr'icos que parecen $isualmente por igual son matem'ticamente dierente. C$and( e t(&an de d( en d(, %$e /!$al&ente #(ntrate )(r $n( ( /ar!( #ara#ter4t!#a /!$ale. C$and( e #(ntratan entre d( >( &+ #ara#ter4t!#a /!$ale, 9t( e #(&-!nan #(&( ! e tratara de (la&ente $na. la d!#r!&!na#!*n /!$al de l( r+"!#( e nada (-/!(, e)e#!al&ente #$and( )are#en &$0 !&!lare en "(r&a 0 #(nten!d(. En De 'e#'(, la #a)a#!dad )ara d!#r!&!nar l ( %$e e &ate&+t!#a&ente rele/ante en #ada $n( de)ende de la #(ntr$##!*n !&)l4#!ta de $na red de ete t!)( #(n!t!/( #(&( en el ;!$ra 7K !$!ente. En eta red, #ada $na #ara#ter4t!#a /!$al #(!n#!de #(n $n 4&-(l( de la #ate(r4a de Ar: -ra!# e)re!*n y ax b . P(r =4&-(l( de la #ate(r4a= n( re"er!&( a $na #$al!tat!/a ()(!#!*n > a> 7 a ? 7 a 7 ( un :7 0 n( &era&ente n$&9r!#( /ar!a#!*n > un 7 . K ( un ? . . Tal red e )$ede etender a t(d( t!)( de "$n#!*n 0 re)reenta#!*n a la re)reenta#!(ne de la rela#!(ne %$e (n N( "$n#!(ne >D$/al, 7, ). F. 1C*&( e )$ede a0$dar a l( et$d!ante e dan #$enta de t(d( et( re)reenta#!*n d!#r!&!na#!*n na#!(ne dentr( de $n &!&( re!tr(3 A %$4 'a0 %$e )retar aten#!*n a $n &$0
'e#'( !&)(rtante. Tene&( tanta re)reenta#!(ne /!$ale #(&( %$ere&(, )er( n( t(d( ell( (n rele/ante dede $ n )$nt( de /!ta &ate&+t!#(. Pr(&(/er: &+, n( t(da la /ar!a#!(ne de /al(r n$&9r!#( >en ete #a( de la "$n#!(ne (n l!neale Página 23
Un an+l!! #(n!t!/( de )r(-le&a de #(&)ren!*n 7?K La )igura 14. #(ne!(ne te&)rana de $na red #(n!t!/a ) ara #$al%$!er re)reenta#!*n r+"!#a d!: !n#r!&!na#!*n. !n!"!#at!/( )ara la real!5a#!*n de eta red #(n!t!/a. C(n el "!n de 'a#er %$e l( et$d!ante #$enta de la #ara#ter4t!#a /!$ale -+!#a oposiciones que son matem'ticamente nente @ant y cogniti$amente signiicati$a , #$al%$!er tarea de d!#r!&!na#!*n t!ene re)reenta#!*n )ara er !nterad( en $na tarea de #(n/er!*n. E *l( &ed!ante la !n/et!a#!*n de re)reen: enta#!*n /ar!a#!(ne en el re!tr( "$ente 0 /ar!a#!(ne de re)reenta#!*n en $n re!tr( (-2et!/(, %$e l( et$d!ante )$eden, al &!&( t!e&)( dare #$enta de l( %$e e Mate&+t!#a: e&at!#all0 rele/ante en $na re)reenta#!*n, l(rar $ #(n/er!*n en (tra re!trar 0 d!(#!ar el (-2et( re)reentad( a )art!r del #(nten!d( de 9t( re)reenta#!(ne. He&( dad( $n e2e&)l( &$0 ele&ental %$e e &$0 !&)le de anal!5ar )(r%$e la #(n/er!*n n( e )r(d$#e entre d( re!tr( &(n("$n#!(nale, l( $n( n( d!#$r!/a >r+"!#( 0 el (tr( d!#$r!/a >e#r!t$ra ale-ra!#a #!*n de la rela#!(ne. Per( el &9t(d( de an+l!! $t!l!5ad( en ete e2e&)l( )art!#$lar /a )ara #ada t!)( de #(n/er!*n >;!$ra 7, !n#l$( )ara l( &+ #(&)le2( %$er!d( #$and( la d!tan#!a #(n!t!/a e et+ #(n/!rt!end( en rande, 0a %$e entre &$lt!"$n#!(nal re!tr( #!(nal >len$a &aterna, la len$a nat$ral 0 REG &(n("$n#!(nal n!tr( >!te&a !&-*l!#(. Y )(r l( &en( en $ &(dal!dad !&)l4#!ta, ete t!)( de la #(n/er!*n e ne#ear!a de "(r&a #(nt!n$a en la enean5a en el %$e tene&( !e&)re $na d($: -le )r(d$##!*n e&!*t!#a6 d!#$r( (ral )ara dar e)l!#a#!(ne en #(&D$/al, ?@@@-, )). 7K?:7KK. L( &+ (r)rendente e %$e la tran!#!*n l!ar re)reenta#!(ne a$!:, !n#l$( la &+ !#*n!#a ( de '(r&!*n, ta&-!9n ne#e!tan )ara er !nterad( #(n tarea !te&+t!#a de #(/ar!a#!*n ! %$ere&( %$e ean Xe"!#!enteQ Página 24
7? RAYMOND DUVAL A )art!r de ete e2e&)l( )(de&( (-tener $na /!!*n de la "(r&a de )enar e)e#4"!#a l( )r(#e( %$e e re%$!eren en la &ate&+t!#a. N( *l( e $t!l!5an e&! L( !te&a de re)reenta#!*n *t!#a, )er( ta&-!9n )(r en#!&a de t(d( l( %$e ne#e!tan $ 'a-!l!dade #(n!t!/a #((rd!na#!*n. Y )(r $na ra5*n (-/!a, $n d(-le a##e( e&!*t!#a de-e #(&)enar la l!&!ta#!*n #(n!t!/a de la "alta de $n a##e( real d(-le. E( !n!"!#a %$e la d!(#!a#!*n entre el #(nten!d( de la re)reenta#!*n 0 re)reentad( )aa ne#ear!a&ente )(r (-2et( la #((rd!na#!*n entre la d!"erente re)reenta: re!tr( ta#!*n. #(&)ren!*n &ate&+t!#a #(&!en5a #$and( la #((rd!na#!*n de re!tr( e )(ne en &ar#'a. El re#(n(#!&!ent( de la &!&a a tra/9 de l( (-2et( &ate&+t!#( re)reenta#!(ne de d( re!tr( d!"erente n( e $n l(#al ( de /e5 en #$and( ()era#!*n, )er( el re$ltad( de la #((rd!na#!*n l(-al de re!tr(. Mate&+t!#( )r(#e( de )ena&!ent( de)enden de $na !ner!a #(n!t!/a de l( re!tr( de re)reen: enta#!*n. La #((rd!na#!*n de l( re!tr( de la re)reenta#!(ne e&!*t!#a ("re#e al( a4 #(&( $na eten!*n de la #a)a#!dad &ental. En eta )er)e#t!/a, la ()#!*n )(!#!*n 'a#e a &en$d( entre la #(&)ren!*n #(n#e)t$al ( #(&( )$ra&ente re)reenta#!(ne &entale 0 e&!*t!#( #(&( er eterna )are#e er $n ena(
()(!#!*n t!/a. De 'e#'(, la re)reenta#!(ne &entale %$e (n 7 Se e2e#$ta a tra/9 de $na tran"(r&a#!*n de la re)reenta#!(ne e&!*t!#a, %$e !&)l!#a el $( de al? Para lle/ar a #a-( eta tran"(r&a#!*n, -atante d!"erente re!tr( de e&!: re)reenta#!(ne *t!#a )$eden er $t!l!5ad(. > L( (-2et( &ate&+t!#( n( de-en #(n"$nd!re #(n el re)reen: e&!*t!#a enta#!(ne $t!l!5ad(, a$n%$e n( 'a0 a##e( a ell( #(n e#e)#!*n de $ar re)reenta#!*n e&!*t!#a. P(r l( tant(, )are#e %$e l( )r(#e( de )ena&!ent( en &ate&+t!#a e -aan en d( t!)( &$0 d!"erente de la tran"(r&a#!(ne de la re)reenta#!(ne. In#l$( ! $n re!tr(
Un an+l!! #(n!t!/( de )r(-le&a de #(&)ren!*n 7? re%$!ere $n dearr(ll( de $na #(n#!en#!a e)e#4"!#a a#er#a de eta #((rd!na#!*n de la re!tr(. La d!t!n#!*n entre l( #$atr( t!)( de re)reenta#!*n re!tra &+ deta#ad( la /ar!edad 0 la -re#'a #(n!t!/a de #(n/er!*n de re)reenta#!*n de a#$erd( )ara el re!tr( de (r!en 0 el re!tr( de det!n(. Ta&-!9n 'a#e %$e ea )(!-le de"!n!r al$na /ar!a-le )ara el an+l!! de la #(&)le2!dad #(n!t!/a %$e $-0a#e #$al%$!er a#t!/!dad &ate&+t!#a, 0a ea )ara $n "!n d e !n/et!a#!*n ( )ara $n "!n ed$#at!/(. Y la d!t!n#!*n entre l( re!tr( &$lt!"$n#!(nale 0 &(n("$n#!(nale &$etra #*&(, )ara t(da la tran"(r&a#!(ne %$e (n trata&!ent(, la /!$al!5a#!*n 0 el len$a2e )$ede er $ad( en &$0 d!"erente "(r&a %$e la "(r&a 'a-!t$al dentr( de la (tra +rea del #(n(#!&!ent( 0 en la /!da #(t!d!ana. Pr+#t!#a de et( REG n!tr( %$e l( et$d!ante )$edan tener "$era de la &ate&+t!#a a &en$d( )are#en de#artar a la &anera en %$e de-en er &(/!l!5ad( en &ate&+t!#a. Et( )lantea $na )r("$nda a&-!Wedad en la enean5a6 )(r $n lad(, et( re!tr( (n e/!tad( )(r%$e l( et$d!ante t!enen $na ran #ant!dad de d!"!#$ltade )ara la real!5a#!*n de Mate&+t!#a: )r(#e( &ate&+: all4, 0 )(r (tr( lad(, e $t!l!5an )ara dar =S!n!"!#ad(= a l( )r(#e( &ate&+t!#( %$e e lle/an a #a-( dentr( de &(n( re!tr( "$n#!(nale. En la enean5a, )(de&( (-er/ar la ) r+#t!#a -atante ()$et( de et( re!tr( &$lt!"$n#!(nale. E en el &ar#( de $n &(del( de ete t!)( #(n!t!/( de &ate&+t!#a )r(#e( %$e )(de&( anal!5ar en )r("$nd!dad l( (-t+#$l( a )enar &+t!#a !# #(&)ren!*n. Trata&!ent(, )r!n#!)al&ente dentr( de l( re!tr( &$lt!"$n#!(nale, 0 la #(n/er!(ne (n -atante !nde)end!ente "$ente de !n#(&)ren!*n. Per( la ra45 de l( )r(-le&a %$e t!enen &$#'( et$d!ante #(n )ena&!ent( &ate&+t!#( ING rad!#a en la e)e#!"!#!dad &ate&+t!#a 0 la #(&)le2!dad #(n!t!/a de #(n/er!*n 0 re)reenta#!*n #a&-!ante. N( )(de&( anal!5ar en )r("$nd!dad 0 entender el )r(-le&a de la #(&)ren!*n de la &ate&+t!#a )ara la &a0(r4a de l( et$d!ante ! n( e&)e5a&( )(r la e)ara#!*n de l( d( t!)( de re)reenta#!*n tran"(r&a#!*n C!*n. Et( rara /e5, ( n$n#a, 'a#er, 0a ea )(r%$e la #(n/er!*n e 2$5a %$e e
$n t!)( de trata&!ent( ( )(r%$e e #ree %$e de)ender de #(&: #(n#e)t$al )ren!*n, e de#!r, $na a#t!/!dad )$ra&ente =&ental=, e de#!r, ae&!(t!#,. Y a'! (n !e&)re -$ena ra5(ne )ara ell(. En )r!&er l$ar, dede $n )$nt( de /!ta &ate&+t!#(, la #(n/er!*n /!ene en el
7? RAYMOND DUVAL e$nd( l$ar, la !n/et!a#!*n en ed$#a#!*n &ate&+t!#a e real!5a #a! !e&)re (-re la "(r&a de enear deter&!nad( #(nten!d( #(n#e)t$ale 0 )r(#ed!&!ent( )ara #ada n!/el de )lan de et$d!(. 18$9 )re(#$)a#!(ne a#t!/!dad &ate&+t!#a e e&)$2ad( de n$e/( en el "(nd( ( e e)l!#a tant( )(r la #(&)ren!*n #(n#e)t$al >O n( e ent!ende ( )(r $n &ar#( )eda*!#( #(&P!aet, 7, )). :F, ??:? 0 de ran $t!l! dad te*r!#a era e 'aa de ella en el an+l!! de la e)!te&(l(4a en9t!#a #(&( en #!erta d!d+#t!#a et$d!(. Per( n( !(&(r"!&( &ate&+t!#( !&)l!#a la !(&(r: #(n!t!/a "!&( entre la re)reenta#!(ne e&!*t!#a $t!l!5a3 E&)$2and( de n$e/( en el "(nd( la tre #ara#ter4t!#a e)e#4"!#a %$e e &en#!(nan l4&!te anter!(re la &a0(r4a de l( et$d!ante en l( %$e 'a !d( de#r!t( #(&( =#(&)art!&enta#!*n= de #(n(#!&!ent( &ate&+t!#(. Ca&-!and( re!tr( de la re)reenta#!*n e el $&-ral de la #(&)(!#!*n &ate&+t!#a )ren!*n de l( al$&n( en #ada eta)a del )lan de et$d!(. De)ende de #((r: #((r: de /ar!a re)reenta#!*n re!tra 0 e *l( en la &ate&+t!#a %$e et+ "$erte&ente ne#e!ta-a $na #((rd!na#!*n tal re!tr(. 1E ete re%$!!t( -+!#( ten!d( real&ente en #$enta3 C(n de&a!ada "re#$en#!a, la !n/et!a#!(ne e #entran en l( %$e la dere#'a re)reenta#!(ne (n ( l( %$e el re!tr( &+ a##e!-le er4a el "!n )ara %$e l( et$d!ante real&ente ent!enden 0 $t!l! 5ar al$na &ate&+t!#a )art!#$lar, #(n(#!&!ent(. C(n tal )re(#$)a#!*n de eta enean5a de t!)( n( /a &+ all+ de $na n!/el de la $)er"!#!e. 18$9 'ar+n l( et$d!ante #$and( e en"rentan #(n -atante (tra re)reenta#!(ne ( d!"erente !t$a#!(ne3 In#l$( a$!l!ar e !nd!/!d$al re)reenta#!(ne, la &+ !#*n!#a $ '(r&!*n, de-en er art!#$lad( #(n la re)reenta#!(ne e&!*t!#a )r(d$#!d( dentr( de l( ! te&a e&!*t!#(. l( /erdader( ret( de la ed$#a#!*n &ate&+t!#a e el )r!&er( en dearr(llar la #a)a#!dad de #a&-!ar la re)reenta#!*n re!tr(. N OTAS
7. Un )r!&er e-(5( de ete tra-a2( 'a !d( )reentad( en el Med!terr+ne( D!ar!( de In/et!a#!*n en Ed$#a#!*n Mate&+t!#a ?@@?, 7, ?, 7:7. Preenta&( a%$4 $na /er!*n &+ dearr(llada de el &(del( #(n!t!/( de la a#t!/!dad &ate&+t!#a 0 el )ena&!ent(. Página 27
Un an+l!! #(n!t!/( de )r(-le&a de #(&)ren!*n 7? ?. La rela#!*n de $n $2et( a $n (-2et( e la d!t!n#!*n e)!te&(l*!#a -+!#( )ara anal!5ar #(n(#!&!ent( >ant, 7K, ) , ?. P!aet, 7, ) K 0 7, ) 7... P(r l( tant( =(-2et(= e )$ede $t!l!5ar #(n tre !n!"!#ad( d !"erente6 >7 el in$ariante de un con#unto de enómenos o el in$ariante de algunos multiplicidad de posibles representaciones . En ee ent!d( =(-2et(= (n (-2et( de #(n(#!&!ent( . >? el ob#eti$o de la atención se centra en los aspectos tal o tal >"(r&a, )(!#!*n, ta&a(, $#e!*n ... de l( %$e e da. En ee ent!d( =(-2et(= (n tran!t(r!( )'en(&en( : O-2et( l*!#( . > Los datos proporcionados por la percepción, o las cosas Asicas . En ee ent!d(, (n =(-2et(= O-2et( #(n#ret( . L( (-2et( &ate&+t!#( >n<&er(, "$n#!(ne, /e#t(re, et#. (n (-2et( de #(n(#!&!ent(, 0 re)reenta#!(ne e&!*t!#a %$e )$eden ()(rtar d( "(#( -atante ()$et( de la aten#!*n >0a ea l( dat( /!$ale dada ( alla a$&!er(n la rela#!(ne re)reentada 0 n( *l( en $ dat( /!$ale 0 $ (ran!5a#!*n )er#e)t!/a #!*n >D$/al, 7K-, )) K:KF., ?@@?. E *l( dede $n etr!#t( )$nt( de /!ta "(r&al %$e re)reenta#!(ne e&!*t!#a )$eden er t(&ad( #(&( (-2et( #(n#ret( >D$/al, 7a, )). 7@: 7. R E;ERENCIAS De#arte, R .6 7KF, La geometrAa de *ené Bescartes >trad$#!d( del "ran#9 0 lat4n, D(/er, Ne Y(r[. D$/al, R .6 7, \L\(-t+#$l( d$ d9d($-le&ent de (-2et Mate&+t!#a\, la ducación Los estudios en -atem'ticas 7F >F, K:F7F. D$/al, R .6 7 \Gra)'!%$e et e#$a#!(ne6 l\art!#$la#!*n de de$ re!tre\, 2nnales de Bidactique et de Ciencias Cogniti$as 7, ?K:?K. D$/al, R .6 77 \Etr$#t$ra d$ ra!(nne&ent d9d$#t!" et a))rent!ae de l a )r$e-a , studios de la ducación en -atem'ticas ?? >, ?:?7. D$/al, R .6 7 \Re!tre de re)r9entat!(n S9&!(t!%$e et "(n#t!(nne&ent #(n!t!" de la )en9e \, 2nnales de la did'ctica de las Ciencias Cogniti$as y K, :K. D$/al, R .6 7Ka, \I&+ene e(&9tr!#(6 t!)( de re)reenta#!*n 0 )r(#ea&!ent( e)e#4"!#(\, en R. S$tt'erland 0 J. Ma(n >ed., xplotación de im'genes mentales con ordenadores en ducación -atem'tica , S)r!ner, Berl4n, )). 7F?:7K. D$/al, R .6 7K-, semiosis et pensée 8umaine , Berna, Peter Lan. D$/al, R .6 7a, =8$el #(n!t!" reten!r en la d!d+#t!#a de Mate&+t!#a3 \ /n$estigaciones en Bidactique des -at8ématiques 7 >, F:?. D$/al, R .6 7-, \Le re)reenta#!(ne ra)'!%$e6 "(n#t!(nne&ent et #(nd!#!(ne de le$r a))rent!ae \, en 2ctes de la 59eme *encontre /nternationale de la C/2-, t(&( 7, :7K, Un!/er!t9 Pa$l Sa-at!er, T($l($e, )). :7K. D$/al, R .6 7a, \S!ne et (-2et >I6 tr(! Grande 9t'!# dan la )r(-le&+t!#a de ra))(rt Entre re)r9entat!(n et (-2et \, 2nnales de Bidactique et de Ciencias Cogniti$as , 7: 7. D$/al, R .6 7-, =Ge(&etr4a dede $n )$nt( de /!ta #(n!t!/( de $n \, en C. Ma&&ana 0 V. V!llan! >ed., erspecti$as sobre la enseñanza de la geometrAa para el siglo 71 , l$er A#ade&!#
P$-l!'er, D(rdre#'t, )). :K?. Página 28
7@ RAYMOND DUVAL D$/al, R .6 ?@@@a, =#$et!(ne -+!#a )ara l a !n/et!a#!*n en ed$#a#!*n &ate&+t!#a \, en T. Na[a'ara 0 M. (0a&a >ed., 2ctas de la 75D Conerencia de la - , 7, N!'![! I&)r!&!r C(. Ltd., H!r('!&a, )). KK:. D$/al, R .6 ?@@@-, \E#r!t$re, ra!(nne&ent et D9#($/erte de la d9&(ntrat!(n en Mate&+t!#a \, /n$estigaciones en did'ctica des -at8ématiques ?@ >?, 7K: 7@. D$/al, R .6 ?@@? \L\a))rent!ae de l \al]e-re et le )r(-l]e&e #(n!t!" de la d 9!nat!(n de O-2et( \, en J.P'. Dr($'ard Ma$rel 0 M. >ed., 2ctes des Eéminaires E)/B2 , 7:7 >IV, IREM, N!5a, )). :F. D$/al, R .6 ?@@ \Lanae > 0 re)reenta#!*n > dan l\ene!ne&ent de Mate&+t!#a6 de$ )rat!%$e et $ne tr(!!]e&e \, en M. ($r[($l(, G. 0 C. T($l! T5ana[! >ed., roF procediF er Coloquio sobre la Bid'ctica de la -atem'tica de la Un!/er!dad de Creta, Ret'0&: n(, )). 7:. D$/al, R. >ed.6 7, Con$ersión et des articulación *eprésentations analogiques , S9&!na!re IU;M, DRED, V!llene$/e d\A#%. H!tt, ;. >ed., ?@@?, *epresentaciones y -atem'ticas $isualización , el Ca)4t$l( de A&9r!#a del N(rte ter de IGPME, C!n/eta/:IPN, M9!#(. H!tt, ; .6 ?@@ \Le #ara#t]ere "(n#t!(nnel de re)reenta#!(ne =, 2nnales de Bidactique et de Ciencias Cogniti$as , ?KK:?7. ;ree, G .6 77, \Sen et den(ta#!*n =, en scritos logiques et p8ilosop8iques >trad$#!d( )(r C. I&-ert, U&-ral, Par4. ant, E .6 7K, GritiH der reinen @ernunt , ;el! Me!ner, Ha&-$r(. MEN6 7, =E/al$a#!*n CE?:]e&e R9$ltat nat!(na$:Se)te&-re 7, Les dossiers , M!n!t]ere de l\Ed$#at!(n Nat!(nale, Par4. MEN6 7, =E/al$a#!*n CE?:]e&e Re)]ere nat!(na$:Se)te&-re 7, Les dossiers 7@@, M!n!t]ere de l\Ed$#at!(n Nat!(nale, Par4. MEN6 7, =E/al$a#!*n CE?:]e&e Re)]ere nat!(na$:Se)te&-re 7, Les dossiers 777, M!n!t]ere de l\Ed$#at!(n Nat!(nale, Par4. Pa/l()($l($, .6 7 \Un )r(-l]e&e d9#!!" )($r l\a))rent!ae de l\al]e-re l!n9a!re6 La #((rd!na#!*n de Re!tre de re)reenta#!*n =, 2nales de la did'ctica y de las Ciencias Cogniti$es K, :. CP Pe!r#e, CS6 77, Collected apers , //, lementos de lógica , Har/ard Un!/er!t0 Pre, Ca&-r!de, Maa#'$ett. P!aet, J .6 7?, Le langage et la pensée c8ez lIenant, Dela#'a$ et N!etl9, Ne$#'^tel. P!aet, J .6 7?, La représentation du monde c8ez lIenant , Al#an, Par4. P!aet, J .6 7, Jiologie et connaissance , Gall!&ard, Par4. P!aet, J .6 7, /ntroducción a lIépistémologie génétique, 1, La pensée mat8ématique , PU;, Par4. Pl$/!nae, ; .6 7@ \D!d+#t!#a de la r9(l$t!(n de )r(-l]e&e\, 2nnales de Bidactique et de Ciencias Cogniti$as , :F. R(&&e/a$, MP6 7, \Le d!#erne&ent de )lane dan $ne !t$at!(n tr!d!&en!(nnelle\, 2nnales de la did'ctica de las Ciencias Cogniti$as y , ?:K. Sa$$re >de, ; .6 7 >77K, Curso de lingKAstica general, Pa0(t, Par4. S#'(en"eld, AH6 7, \El tener 0 $ar l( #(n(#!&!ent( e(&9tr!#(\, en J. H!e-ert, >ed. l conocimiento conceptual y procedimental6 el caso de las matem'ticas , Laren#e Erl-a$& A(#!ad(, H!lldale, NJ, )). ??K:?F. V0(t[!, LS6 7K, ensée et langage, Ed!t!(n S(#!ale, Par4. Página 29
Un an+l!! #(n!t!/( de )r(-le&a de #(&)ren!*n 77 RAYMOND DUVAL Laboratoire des mutaciones Eystemes éducatis :ni$ersité du Littoral -aison de la *ec8erc8e 1; rue du uits dI2mour J ;41 9771 JoulogneFsurF-er Cedex )rancia Fmail6 du$alManadoo.r
