Laura Villarroel
UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZÓATEGUI ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE MECÁNICA TRANSFERENCIA DE CALOR
TEMA 3 METODOS NUMERICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITOR (Tercer Parcial)
REALIZADO POR: LAURA VILLARROEL
Tr ansferencia de Calor
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
I. INTRODUCCION. Los métodos numéricos, es una forma alternativa de las ecuaciones de transferencia de calor para obtener resultados de los problemas de conducción de calor. Los método s numéricos en régimen transitorio, se basan en balances de energía y la utilización de diferencias finitas en vez de diferenciales, para esto se necesita intervalos discretos de la posición y el tiempo, entiéndase como discreto un número finito de elementos. A pesar de que las ecuaciones de transferencia de calor en régimen transitorio arrojan resultados más exactos, estas están limitadas a configuraciones geométricas conocidas (paredes, cilindros y esferas), a ambiente convectivo iguales para ambas caras y a sistemas sin generación de calor. Sin embargo, los resultados obtenidos por la implementación de métodos numéricos, resultan más cercano a la realidad, ya que no poseen estas limitaciones, por lo que, se adapta muy bien a cualquier problema real. Existen dos métodos numéricos para la conducción de calor en régimen transitorio, los cuales son: el método explícito y el método implícito. El método explicito, se caracteriza por:
Que sus ecuaciones de temperatura se expresa de forma clara y la temperatura para el intervalo de tiempo de estudio actual, solo depende de los valores iniciales. Se tiene que aplicar un criterio de estabilidad para hallar el intervalo Δt, para esto el coeficiente que acompaña a la variable Tmi de las ecuaciones, tiene que ser ≥0 y de esta forma se despeja Δt de los coeficientes, se toma siempre en valor Δt mas restrictivo, por lo general los más restrictivo siempre son los fronteras donde hay convección y/o radiación. puede llevar a incongruencias si no se aplica el criterio de estabilidad.
El método implícito se caracteriza por:
Las ecuaciones de temperatura, no expresan de manera directa la temperatura para el intervalo de tiempo de estudio actual, por lo tanto utiliza un sistema de ecuaciones lineales para su solución. No presenta restricciones con el intervalo de tiempo seleccionado, sin embargo mientras menor sea el intervalo de tiempo, más precisa es la solución.
A continuación, se presentaran los pasos para resolver los problemas, mediante la implementación del método explícito.
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Tr ansferencia de Calor
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
II. CONDUCCIÓN DE CALOR RÉGIMEN TRANSITORIO.
UNIDIMENSIONAL
EN
En los problemas de régimen transitorio las temperaturas cambian con el tiempo así como con la posición y, de este modo, las soluciones en diferencias finitas de este tipo de problemas requieren la diferenciación del tiempo y del espacio, esto se realiza al seleccionar un intervalo apropiado del tiempo Δt y resolver para las temperaturas nodales desconocidas varias veces para cada Δt hasta que se obtiene la solución en el instante deseado. En los problemas de régimen transitorio se usa el superíndice “i” para simbolizar la temperatura en el intervalo de tiempo inicial o anterior. El superíndice “i+1” simbolizar la temperatura en el intervalo de tiempo actual.
2.1. Ecuaciones numéricas mediante el método explícito en una pared grande con generación de calor. Considera la conducción de calor unidimensional en régimen transitorio en una pared plana de espesor L con generación de calor (x,t), que puede variar con el tiempo y la posición y con conductividad constante k, y los nodos 0,1,2…M en la dirección x, como se muestra en la figura.
̇
Paso 1: determinar la distancia entre nodos y número de nodos.
∆ = ° = 1°
Distancia entre nodos o esparcimiento. Numero de nodos
Dónde: e= es el espesor de la pared y N°= es cualquier numero entero mayor o igual a 2.
Paso 2: Graficar número de nodos. Paso 3: Ecuaciones para nodos internos, aplicando un balance de energía en m=1 se toma un volumen de control en el centro del nodo 1 con espesor Δx y se asume que la trasferencia de calor entra al volumen de control.
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Tr ansferencia de Calor
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
Balance de energía
∑ = ∆
. . ..∆ = ..∆.(+ ) ∆ ∆ ∆ Multiplicamos la ecuación por: Δx/A.K
1 .∆2.1 .∆ 1 2 = ∆. . . ∆ . ∆ . ∆ Donde: = ∆ = . .∆ ; = ∆. = 1 1 .∆ 1 2 =
(Ec.1)
Sustituimos τ en la Ec.1
Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior.
1 1 .∆ 1 2 =
1 .∆ − 2 + = +
La forma general para los nodos internos mediante el método explícito, viene dada por la expresión siguiente:
Despejando internos.
obtenemos la ecuación general de temperatura para los nodos
+ = . . ..∆
Paso 4: Ecuaciones de los nodos fronteras.
Caso 1: Temperatura específica en frontera (No cambia con el tiempo). Para este caso solo se trabaja con las ecuaciones de los nodos internos y se coloca las temperaturas de los nodos fronteras como contantes.
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Tr ansferencia de Calor
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
Caso 2: Convección en fronteras
̇
Balance de energía en la frontera izquierda nodo m=0.
∑ = ∆
+ ) ..∆ ..∆. ( . ℎ. ∆ 2 = 2∆ Multiplicamos la ecuación por: 2Δx/A.K
2∆.ℎ. 2 .∆ = .∆.(+ ) ∆. .∆ .∆ ; = .∆. = Donde: = ∆ = . .∆ ∆. Sustituimos τ
2∆.ℎ. 2 .∆ = (+ )
Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior y obtenemos la forma general del nodo frontera izquierdo, cuando hay convección.
2∆.ℎ.( ) 2( ) .∆ = (+ ) + . .∆ ∆.. ∆... ∞ + = .
Despejando obtenemos la ecuación general de temperatura del nodo frontera izquierdo, cuando hay convección.
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Tr ansferencia de Calor
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
Balance de energía en la frontera derecha nodo m=M.
∑ = ∆
+ ) ..∆ ..∆. ( . − ℎ. ∆ 2 = 2∆
Se aplica el mismo procedimiento anterior, obteniendo así la ecuación general de temperatura del nodo frontera derecho, cuando hay convección.
. .∆ ∆.. ∆... + = . ∞
Caso 3: Convección y radiación en fronteras.
Balance de energía en la frontera izquierda nodo m=0.
∑ = ∆
..∆.(+ ) ℎ. ..( ) .∆ ..∆ = 2 2∆ Multiplicamos la ecuación por: 2Δx/A.K
2∆.ℎ. 2..∆( ) 2 .∆ = .∆.(+ ) ∆.
= .∆∆ = . .∆.∆
Donde:
;
= .∆. = ∆. 6
Tr ansferencia de Calor
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO. Sustituimos τ
2∆.ℎ. 2..∆ 4 04 2 .∆ = (+ )
Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior y obtenemos la forma general del nodo frontera izquierdo, cuando hay convección.
2∆.ℎ.( ) 2..∆ 2( ) .∆ = (+ )
+
Despejando obtenemos la ecuación general de temperatura del nodo frontera izquierdo, cuando hay convección y radiación.
+ = 12 ∆.. ∆.. 2. (ℎ. .) ∆. . .∆ Cuando solo hay radiación la ecuación de temperatura del nodo izquierdo se reduce a la siguiente expresión.
∆. . + =
. .∆ ∆. . (. )
Balance de energía en la frontera derecha nodo m=M.
∑ = ∆
+ ) ..∆ ..∆. ( . − ℎ. ..( ) ∆ 2 = 2∆ Se aplica el mismo procedimiento anterior, obteniendo así la ecuación general de temperatura del nodo frontera derecho, cuando hay convección y radiación
2∆.ℎ. 2∆.. + = 12
. .∆ 2∆. 2.− (ℎ. . )
Cuando solo hay radiación la ecuación de temperatura del nodo derecho se reduce a la siguiente expresión.
+ =
∆. .
. .∆ ∆. .− (. )
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Tr ansferencia de Calor
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
Caso 4: Flujo de calor incidente en fronteras.
Balance de energía en la frontera izquierda nodo m=0.
∑ = ∆
+ ) ..∆ ..∆. ( . . ̇ ∆ 2 = 2∆ Multiplicamos la ecuación por: 2Δx/A.K
2∆. ̇ 2 .∆ = .∆.(+ ) ∆. .∆ .∆ ; = .∆ . = Donde: = ∆ = . .∆ ∆. Sustituimos τ
2∆. ̇ 2 .∆ = (+ )
Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior y obtenemos la forma general del nodo frontera izquierdo, cuando hay un flujo de calor incidente.
+
2∆. ̇ 2( ) .∆ = (+ )
Despejando obtenemos la ecuación general de temperatura del nodo frontera izquierdo, cuando hay un flujo de calor incidente.
+ = . ..∆
. ∆. ̇
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Tr ansferencia de Calor
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO.
Balance de energía en la frontera derecha nodo m=M.
∑ = ∆
+ ) ..∆ ..∆. ( . − . ̇ ∆ 2 = 2∆ Se aplica el mismo procedimiento anterior, obteniendo así la ecuación general de temperatura del nodo frontera derecho, cuando hay convección.
. ∆. ̇ . .∆ + = .
Caso 4: Flujo de calor incidente en fronteras.
Balance de energía en la frontera izquierda nodo m=0.
∑ = ∆
. ..∆ = ..∆.(+ ) ∆ 2 2∆ Multiplicamos la ecuación por: 2Δx/A.K
.∆.(+ ) .∆ 2 = ∆. . . ∆ . ∆ . ∆ Donde: = ∆ = . .∆ ; = ∆. = 9
Tr ansferencia de Calor
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO. Sustituimos τ
(+ ) .∆ 2 =
Para el método explicito las temperaturas nodales se le coloca el superíndice i, que significa intervalo de tiempo inicial o anterior y obtenemos la forma general del nodo frontera izquierdo, cuando la frontera esta aislada.
+
(+ ) .∆ 2( ) =
Despejando obtenemos la ecuación general de temperatura del nodo frontera izquierdo, cuando está aislado.
. .∆ + = .
Balance de energía en la frontera derecha nodo m=M.
∑ = ∆
.− ..∆ = ..∆.(+ ) ∆ 2 2∆ Se aplica el mismo procedimiento anterior, obteniendo así la ecuación general de temperatura del nodo frontera derecho, cuando está aislado.
. .∆ + = .
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