UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS – FILIAL AREQUIPA FACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADEMICO ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
Curso: RESISTENCIA DE MATERIALES Docente: ING. HELBERTH RAMOS Tem: TRANSFORMACION DE ESFUERZO Present!o "or: TANIA TANIA ARIAS RAMIREZ RAMIR EZ GONZALO VILLAGRA GARCIA LUIS MIGUEL HUAMAN BENIQUE
#$%&
Contenido 1. TRANSF TRANSFORM ORMACI ACIÓN ÓN DE ESFUERZ ESFUERZO O PLAN PLANO O........................................2
1.1 EJERCICIOS:........ EJERCICIOS:................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .............................. .................... 6 2. ECUACION ECUACIONES ES GENERA GENERALES LES DE TRANSFORMA TRANSFORMACIÓN CIÓN DE ESFUER ESFUERZO ZO ............................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ........................ ............. 9 PLANO....................
2.1
CONVENCIÓ CONVENCIÓN N DE SIGNOS:.. SIGNOS:...... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ............ ............... .............. ..........10 ...10
2.2 2.$
COMPON COMPONENT ENTES ES DE ESFU ESFUER ERO O NORM!" NORM!" # COR CORT!NTE:.. !NTE:..... ....... ......... ...........1 ......10 0 EJERCICIO EJERCICIO.... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ......... .........11 ....11
............................... ..................... ..................... ...................... ................1$ .....1$ 3. ESFUERZOS PRINCIPALES.................... $.1 ESFUERO CORT CORT!NTE M%&IMO...................... M%&IMO................................ .....................................1$ ...........................1$ $.2 EJERCICIO........ EJERCICIO.................. ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ............................... ..................... 1' ................................ ..................... ............................................... ..................................... 19 4. CIRCULO DE MOHR..................... (.1 INTRODUCCIÓN............... INTRODUCCIÓN.......................... ..................... ..................... ..................... .................................... ..........................19 19 (.2 CIRCU"O CIRCU"O DE MO)R..................... MO)R............................... ..................... ..................... ..................... .......................... ...............19 19 (.$ CIRCU"O DE MO)R P!R! DEFORM!CIÓN P"!N!......... P"!N! .................... ........................19 .............19 (.( EJERCICIO........ EJERCICIO.................. ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ............................... ..................... 2$
1.TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO La transformac!n "# #sf$#r%os s# mostr! &$# #' #sta"o (#n#ra' "# #st#) #n $n *$nto s# caract#r%a m#"ant# s#s com*on#nt#s n"#*#n"#nt#s "# #sf$#r%o norma' + #sf$#r%o cortant#) &$# act,an so-r# 'as caras "# $n #'#m#nto "# mat#ra' $-ca"o #n #s# *$nto. En #st# caso) 'os n(#n#ros s$#'#n ac#r a*ro/macon#s o sm*'fcacon#s "# 'as car(as so-r# $n c$#ro con #' fn "# &$# #' #sf$#r%o *ro"$c"o #n $na #str$ct$ra *$#"a #n'%ars# so-r# $n *'ano0 como *or #1#m*'o2 Cons"#r#mos $n #'#m#nto "f#r#nca' som#t"o a' #sta"o *'ano "# #sf$#r%os &$# s# m$#stra #n 'a f($ra. S r#a'%amos $n cort# so-r# 3') "#-#n a*ar#c#r #n #' *'ano "# cort# $n #sf$#r%o norma' 4sq5 + $no cortant# 4t xy 5 *ara &$# #' #'#m#nto s# mant#n(a #n #&$'-ro. E' 6n($'o q n"ca 'a "r#cc!n norma' a' *'ano "# cort#.
As$m#n"o como $ntara 'a *rof$n""a" "#' #'#m#nto) *o"#mos #sta-'#c#r 'as #c$acon#s *ara &$# s# mant#n(a #' #&$'-ro #n #' #'#m#nto "f#r#nca'. En *rm#r '$(ar) #sta-'#%camos 'as f$#r%as &$# #1#rc#n s x , sy + t xy so-r# #' #'#m#nto2 P x = −σ x ⋅ dy − τ xy ⋅ dy ⋅ tan θ P y = −σ y ⋅ dy ⋅ tan θ − τ xy ⋅ dy
S *ro+#ctamos #stas f$#r%as so-r# 'a "r#cc!n &) *o"r#mos o-t#n#r #' 7a'or "#' #sf$#r%o sq:
∑ F
θ
= P x ⋅ cos θ + P y ⋅ sin θ + σ θ ⋅
dy cos θ
=0
Luego, al desarrollar la expresión nos queda:
σ θ
= σ ⋅ cos 2 θ + σ ⋅ sin 2 θ + 2 ⋅τ ⋅ sin θ ⋅ cos θ x
y
xy
Si utilizamos las identidades trigonométricas:
cos 2 θ =
1 + cos 2θ 2
sin 2 θ =
0
1 − cos 2θ 2
0
2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ = sen2θ
Podemos plantear finalmente:
σ θ
σ + σ σ x − σ y = x y + 2 ⋅ cos 2θ + τ xy ⋅ sin 2θ 2
Esta #/*r#s!n nos *#rmt# a''ar #' #sf$#r%o norma' so-r# c$a'&$#r *'ano "# $n #'#m#nto "f#r#nca' con $na nc'nac!n q r#s*#cto a 'a "r#cc!n x . S *'ant#amos 'a msma #/*r#s!n *ara $n ángulo ϴ’=ϴ+90º ) nos &$#"a2
σ θ '
σ + σ = 2 x
y
σ − σ + 2 x
y
⋅ cos(2θ + 180) + τ ⋅ sin( 2θ + 180) xy
Recordando que trigonométrica mente se cumple que:
cos(α ) + cos(α + 180) = 0 sin( α ) + sin( α + 180) = 0
Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se cumple:
σ x
+ σ y = σ θ + σ θ ' = ctte
Esto &$#r# "#cr &$#) #n $n #'#m#nto "f#r#nca' som#t"o a $n #sta"o "# #sf$#r%os *'ano) 'a s$ma "# 'os #sf$#r%os norma'#s *ro"$c"os #n "os *'anos *#r*#n"c$'ar#s #ntr# s8 #s s#m*r# constant#. Aora -$scar#mos $na #/*r#s!n &$# nos *#rmta a''ar #' #sf$#r%o cortant# so-r# #' *'ano q. S *ro+#ctamos aora 'as f$#r%as P x + P y so-r# 'a "r#cc!n ϴ9 4*#r*#n"c$'ar a ϴ 5) t#n#mos2
∑ F ' = P x ⋅ sin θ − P y ⋅ cosθ + τ
⋅ θθ '
θ
dy cosθ
=0
Desarrollando la expresión nos queda:
τ θθ '
= −(σ − σ ) ⋅ cosθ ⋅ senθ − τ ⋅ sin 2 θ + τ ⋅ cos 2 θ x
y
xy
Recordando las identidades trigonométricas:
cos 2 θ =
1 + cos 2θ 2
sin 2 θ =
0
1 − cos 2θ 2
Podemos plantear finalmente:
0
2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ = sen2θ
xy
τ θθ '
σ − σ = − x y ⋅ sin 2θ + τ xy ⋅ cos 2θ 2
Esta #/*r#s!n nos *#rmt# a''ar #' #sf$#r%o cortant# so-r# c$a'&$#r *'ano "# $n #'#m#nto "f#r#nca' con $na nc'nac!n q r#s*#cto a 'a "r#cc!n x . S *'ant#amos 'a msma #/*r#s!n *ara $n ángulo ϴ’=ϴ+90º ) nos &$#"a2
τ θ 'θ
σ − σ = − 2 x
y
⋅ sin( 2θ + 180) + τ ⋅ cos(2θ + 180) xy
Recordando que trigonométrica mente se cumple que:
cos(α ) + cos(α + 180) = 0
sin( α ) + sin( α + 180) = 0
Si sumamos los esfuerzos cortantes para ϴ y ϴ!eremos que se cumple:
τ θθ '
+ τ ' = 0 θ θ
τ θθ
'
τ θ θ
= −
'
Esto &$#r# "#cr &$#) #n $n #'#m#nto "f#r#nca' som#t"o a $n #sta"o "# #sf$#r%os *'ano) s# c$m*'# &$# #n "os *'anos c$a'#s&$#ra *#r*#n"c$'ar#s #ntr# s8 'os #sf$#r%os cortant#s s#r6n "# 'a msma ma(nt$". E' cam-o "# s(no s# "#-# a &$# #n $n *'ano) #' #sf$#r%o cortant# trata "# ac#r (rar a' #'#m#nto #n s#nt"o oraro) + #n #' otro *'ano oc$rr# a' r#73s.
Resumen de ecuaciones:
σ x' =
σ x + σ y σ x − σ y
τ x' y ' =
σ y' =
+
2
−
σ x − σ y
σ x + σ y 2
2
2
−
cos2 θ + τ xy cos2 θ
σ x −σ y 2
cos 2 θ + τ xy sin 2 θ
cos 2 θ −τ xy sin 2 θ
1.1 EJERCICIOS: E' #sta"o "# r#f$#r%o "#' *'ano #n $n *$nto so-r# 'a s$*#rfc# "#' f$s#'a1# "#' a7!n s# r#*r#s#nta #n #' #'#m#nto or#nta"o como s# m$#stra #n 'a f($ra. R#*r#s#nt# #' #sta"o "# #sf$#r%o "#' *$nto "# $n #'#m#nto &$# #sta or#nta"o a :;< m#""os #n s#nt"o oraro "#s"# 'a *osc!n mostra"a.
SOLUCION: Para o"tener la componente de esfuerzo en este elemento, primero se secciona el elemento, a tra!és de la l#nea a$a%
&l segmento inferior se retira, y suponiendo que el plano inclinado seleccionado tiene un 'rea de ∆ (%
Diagrama de cuerpo li"re%
(plicar ecuaciones de equili"rio de fuerzas en las direcciones x) y y)
+ ∑ F x ' = 0;
°) sen30° + (80∆ Asen30°) sen30° + (25∆Asen30°) cos 30° σ x ' ∆ A − (50 ∆ A cos 30°) cos 30° + ( 25∆ A cos 30 σ x ' =
−4.15 MPa
*omo
σ x) es negati!o, act+a en sentido opuesto a la dirección que se
indica% Los estados de esfuerzos son equi!alentes%
=0
2.ECUACIONES GENERALES DE TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZO PLANO E' m3to"o *ara transformar 'as com*on#nt#s "# #sf$#r%o norma' + #sf$#r%o cortant# "# 'os #1#s coor"#na"as x + y a 'os #1#s x’ + y’; s# *$#"# "#sarro''ar "# man#ra (#n#ra' + #/*r#sars# como $n con1$nto "# #c$acon#s "# transformac!n "# #sf$#r%o.
=.> CONVENCIÓN
DE SIGNOS:
En *rm#r '$(ar s# "#-# #sta-'#c# $na con7#nc!n "# s(nos ara 'as com*on#nt#s "# #sf$#r%o. ?ara #''o) 'os #1#s xy @ x’ s# $sa *ara "#fnr 'a norma' aca af$#ra "# $n 'a"o "#' #'#m#nto.
σ
Entonc#s
/
*ost7as x’ + y’ )
σ
+ τ
+
/+
son *ost7os c$an"o act,an #n 'as "r#ccon#s
x’
τ
x’y
son *ost7os c$an"o act,an #n 'as "r#ccon#s
*ost7as y + y’
'a or#ntac!n "#' *'ano #n &$# s# "#-#n "#t#rmnar 'as com*on#nt#s "# #sf$#r%o norma' + cortant# #star6 "#fn"a *or #' 6n($'o θ &$# s# m"# "#s"# #' #1# +x . E' 6n($'o
θ
s#r6 *ost7o s#m*r# &$# s(a 'a
c$r7at$ra "# 'os "#"os "# 'a mano "#r#ca.
#'# COMPONENTES
DE ESFUERO NORM!" # CORT!NTE:
S s# $sa 'a con7#nc!n "# s(nos #sta-'#c"a Cons#($mos 'as s($#nt#s #c$acon#s atra7#s "# 'os "a(ramas2
&stas dos ecuaciones pueden simlificarse utilisando las identidades trigonometricas: s#n
σ z τ x' y ' τ x ' y'
2 θ =2 θsenθcosθ
σ x' =
σ x + σ y 2
+
σ x − σ y
τ x' y ' =
2
−
cos 2 θ
σ x − σ y 2
+ τ xy sin 2 θ
cos2 θ + τ xy cos 2θθ
τ y z
Si se requiere el esfuerzo normal que actua sn la direccion y), este uede o"tenerse simlememnte al sustituir θ=θ +90 ara θ
σ y' =
σ x + σ y 2
−
σ x −σ y 2
cos 2 θ −τ xy sin 2 θ
2.$ CIO
EJERCI
E' #sta"o "# #sf$#r%o *'ano #n $n *$nto #sta r#*r#s#nta"o *or #' #'#m#nto &$# s# m$#stra #n 'a f($ra. D#t#rmn# #' #sta"o "# #sf$#r%o #n #' *$nto so-r# otro #'#m#nto or#nta"o a :;< #n s#nt"o oraro "#s"# 'a *osc!n n"ca"a.
SOLUCION ( partir de la con!ención de signos, se o"ser!a que%
σ x =−80 MPa
τxy
25 MPa σ y = 50 MPa
=−
P(no CD' E( e)e *+ soc,!o se !,r,-e (o (r-o !e CD' E( .n-u(o me!,!o !es!e e( e)e / 0st e( e)e /+ es θ 1 23$ 4sent,!o 0orr,o5'
Los signos negati!os indican que negati!as x) y y)% Respecti!amente%
σ x y τ xy act+an en las direcciones
Plano *% De manera similar los componentes de esfuerzo que act+an so"re la cara * se o"tiene usando θ -./0%
3. ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN EL PLANO $.1 ESFUEROS PRINCIP!"ES EN E" P"!NO ?ara "#t#rmnar #' normal máximo + mínimo. D#r7amos 'a s($#nt# #c$ac!n r#s*#cto a θ # ($a'amos a c#ro.
σ x' = dσ x ' dθ
σ min + σ y σ x −σ y
− =
+
2
σ x −σ y 2
2
cos2 θ + τ xy sin 2 θ
( 2sin 2 θ ) +2 τ xy cos 2 θ =0
Resolvieno la e!ua!i"n resulta la orienta!i"n
θ=θ p
e los #lanos one
o!urre el es$uer%o normal máximo y mínimo.
σ (¿ ¿ x − σ y ) 2 tan 2 θ p
&a solu!i"n tiene os raí!es,
=
τ xy
¿
θ p 1 y θ p 2 .
6c,en!o: σ prom =
R=
√(
σ x + σ y
e*. 1.$
2
σ x − σ y 2
)
2
+
2
τ xy
&a e!ua!i"n '.( se es!ri)e en la $orma
&*1(*234&S 152L26(D(S
σ x' =
σ x + σ y 2
+
σ x − σ y 2
e*. 1.1 cos 2 θ + τ xy sin 2 θ
θ + 90 °
e*. 1.2
Q$# #s 'a #c$ac!n "# $n c8rc$'o "# ra"o R con c#ntro #n #' *$nto C "# a-scsa σ prom + or"#na"a ; 4f($ra >.>5. ?$#"# o-s#r7ars# &$#) "#-"o a 'a sm#tr8a "#' c8rc$'o con r#s*#cto a' #1# or%onta') s# a-r8a o-t#n"o #' msmo r#s$'ta"o s) #n '$(ar "# (rafcar M) s# $-#ra (rafca"o $n *$nto N "# a-scsa
σ x´
+ or"#na"a r
4f($ra >.=5. Esta *ro*#"a" s# $sar6 #n 'a s#cc!n
..
Fi-. 1.1
Fi-. 1.2
Los *$ntos A + B) "on"# #' c8rc$'o "# 'a f($ra >.> nt#rs#ca #' #1# or%onta') son "# #s*#ca' nt#r3s2 #' *$nto A corr#s*on"# a' 7a'or m6/mo "#' #sf$#r%o norma' σ x´ ) m#ntras #' *$nto B corr#s*on"# a s$ 7a'or m8nmo. A"#m6s) am-os *$ntos t#n#n $n 7a'or n$'o "#' #sf$#r%o cortant# As8) 'os 7a'or#s +* "#' *ar6m#tro + &$# corr#s*on"#n a 'os *$ntos A + B *$#"#n o-t#n#rs# ac#n"o #n 'a #c$ac!n ,/+ ; #n 'a #c 4>.=5. S# #scr-#
tan =+* 1
2 ϒ xy
σ x + σ y
Esta #c$ac!n "#fn# "os 7a'or#s = +* &$# "f#r#n #n >;< +) *or tanto) "os 7a'or#s +* &$# "f#r#n #n ;<. C$a'&$#ra "# #stos 7a'or#s *$#"# $sars# *ara "#t#rmnar 'a or#ntac!n "#' #'#m#nto corr#s*on"#nt# 4f($ra >.:5.
e*. 1.(
Fi-. 1.$ Los *'anos &$# cont#n#n 'as caras "#' #'#m#nto o-t#n"o s# ''aman *'anos *rnc*a'#s "# #sf$#r%o #n #' *$nto Q) + 'os 7a'or#s corr#s*on"#nt#s σ max y σ min "#' #sf$#r%o norma' #1#rc"o so-r# #stos *'anos son 'os #sf$#r%os *rnc*a'#s #n Q. Como 'os "os 7a'or#s +*) "#fn"os *or 'a #c$ac!n 4>.5) s# o-t$7#ron ac#n"o #n 'a #c$ac!n 4>.=5) #s c'aro &$# no a+ #sf$#r%o cortant# #n 'os *'anos *rnc*a'#s. O-s#r7# #n 'a f($ra >.> &$#
σ max = σ prom+ R σ min =σ prom − R
S$stt$+#n"o *or
σ prom + R "# 'a #c$ac!n
σ max ,min =
(
σ x + σ y 2
) √( ±
σ x −σ y 2
)
2
+
2
r xy
A m#nos &$# s#a *os-'# "#cr *or ns*#cc!n c$6' "# 'os "os *'anos s# som#t# a σ max + c$6' a σ min ) #s n#c#saro s$stt$r $no "# 'os 7a'or#s "# + #n 'a *
#c$ac!n 4>.>5 *ara "#t#rmnar c$6' "# 'os "os corr#s*on"# a' 7a'or m6/mo "#' #sf$#r%o norma'. R#fr3n"os# "# n$#7o a' c8rc$'o "# 'a f($ra >.>) s# o-s#r7a &$# 'os *$ntos D + E) 'oca'%a"os #n #' "6m#tro 7#rtca' "#' c8rc$'o) corr#s*on"#n a' ma+or 7a'or n$m3rco "#' #sf$#r%o ?$#sto &$# 'a a-scsa "# 'os *$ntos D + E #s
σ ¿(¿ ¿ x + σ y )/ 2 σ max ¿
'os 7a'or#s
+s "#' *ar6m#tro + &$#
corr#s*on"#n a #stos *$ntos s# o-t#n#n ac#n"o
σ (¿ ¿ x + σ y )/ 2 σ x ´ =¿
#n 'a
#c$ac!n.
D# a8 s# t#n# &$# 'a s$ma "# 'os ,'tmos "os t3rmnos #n #sa #c$ac!n "#-# s#r c#ro. As8) *ara + +s s# #scr-#
Esta #c$ac!n "#fn# "os 7a'or#s = +s &$# "f#r#n #n >;<) + *or tanto "os 7a'or#s "# s &$# "f#r#n #n ;<. C$a'&$#ra "# #stos 7a'or#s *$#"# $sars# *ara "#t#rmnar 'a or#ntac!n "#' #'#m#nto corr#s*on"#nt# a' #sf$#r%o cortant# m6/mo 4f($ra >.5. A' o-s#r7ar #n 'a f($ra >.> &$# #' 7a'or m6/mo "#' #sf$#r%o cortant# #s ($a' a' ra"o R "#' c8rc$'o +) r#cor"an"o 'a s#($n"a "# 'as #c$acon#s s# t#n#2
r max =
√(
σ x − σ y 2
)
2
+
2
r xy
Fi-. 1.( Como s# o-s#r7! ant#s) #' #sf$#r%o norma' corr#s*on"#nt# a 'a con"c!n "# #sf$#r%o cortant# m6/mo #s
$.2 EJERCICIO ?ara #' #sta"o "# #sf$#r%o *'ano "# 'a f($ra) "#t#rmn# a5 'os *'anos *rnc*a'#s) -5 'os #sf$#r%os *rnc*a'#s) c5 #' #sf$#r%o cortant# m6/mo + #' #sf$#r%o norma' corr#s*on"#nt#.
SOLUCION 5 P(nos "r,nc,"(es' S,-u,en!o ( con7enc,8n usu( !e s,-nos9 (s com"onentes !e( esuer;o se escr,
σ x =+ 50 MPa
σ y =−10 MPa
"7 &sfuerzos principales% La ecuación 8%9 da
σ z =+ 40 MPa
Los *'anos *rnc*a'#s + 'os #sf$#r%os *rnc*a'#s s# #s&$#mat%an #n 'a f($ra. Hac#n"o =.<) s# 7#rfca &$# #' #sf$#r%o norma' #n 'a cara BC "#' #'#m#nto #s #' #sf$#r%o m6/mo.
c7 &sfuerzos cortantes m'ximos% De la ecuación 8%9.
4. CIRCULO DE MOHR (.1 INTRODUCCIÓN Crstan Mor f$# $n (ran n(#n#ro c7' &$# %o (ran"#s a*ortacon#s a 'a t#or8a "# #str$ct$ras. E' m6s conoc"o + ,t' a$n #n 'a act$a'"a" a *#sar "# 'os "#sarro''os t#cno'!(cos #s #' m3to"o *ara "#t#rmnar 'os #sf$#r%os m6/mos + m8nmos "# com*r#s!n + t#ns!n a"#m6s "# 'os #sf$#r%os cortant#s #' c$a' s# 'ama Crc$'o "# Mor) #st# m3to"o f$# "#sarro''a"o c#rca "#' aJo >=. E' m3to"o "# Mor consst# #n r#*r#s#ntar #' #sta"o *'ano com*'#to "# #sf$#r%o m#"ant# #' "-$1o "# $n c8rc$'o #n #' *'ano sT. E' c8rc$'o "# Mor s# "-$1a #n $n sst#ma "# #1#s *#r*#n"c$'ar#s con #' #sf$#r%o cortant# 4K5 marca"o #n #' #1# 7#rtca' + #' #sf$#r%o norma' 45 #n #' #1# or%onta'. A contn$ac!n s# ar6 $na -r#7# #/*'cac!n so-r# #st# m3to"o ac#n"o 3nfass #n 'os conc#*tos
m6s m*ortant#s a"#m6s "# 'a r#so'$c!n "# *ro-'#mas #m*'#an"o #st# m3to"o.
(.2 CIRCU"O DE MO)R E' C8rc$'o "# Mor #s $na t3cnca $sa"a #n n(#n#r8a + (#of8sca *ara r#*r#s#ntar (r6fcam#nt# $n t#nsor sm3trco 4"# =/= o "# :/:5 + ca'c$'ar con #''a mom#ntos "# n#rca) "#formacon#s + t#nson#s) a"a*tan"o 'os msmos a 'as caract#r8stcas "# $na crc$nf#r#nca 4ra"o) c#ntro) #tc.5. Tam-3n #s *os-'# #' c6'c$'o "#' #sf$#r%o cortant# m6/mo a-so'$to + 'a "#formac!n m6/ma a-so'$ta.
(.$ CIRCU"O DE MO)R P!R! DEFORM!CIÓN P"!N! E' c8rc$'o $sa"o #n 'a s#cc!n ant#ror *ara o-t#n#r a'($nas "# 'as #c$acon#s -6scas r#'at7as a 'a transformac!n "# $n #sf$#r%o *'ano 'o ntro"$1o #' n(#n#ro a'#m6n Otto Mor 4>:>>5) *or 'o &$# s# conoc# como c8rc$'o "# Mor *ara #sf$#r%o *'ano. Como s# 7#r6) #st# c8rc$'o *$#"# $t'%ars# como m3to"o a't#rnat7o "# so'$c!n *ara 'os *ro-'#mas cons"#ra"os #n 'as s#ccon#s .= + .:. Est# m3to"o s# -asa #n cons"#racon#s (#om3trcas sm*'#s + no r#&$#r# #' $so "# #c$acon#s #s*#ca'%a"as. A$n&$# f$# "s#Ja"o *ara o-t#n#r so'$con#s (r6fcas) s# *$#"# a*'car m$+ -#n #m*'#an"o $na ca'c$'a"ora.
Cons"#r# $n #'#m#nto c$a"ra"o "# $n mat#ra' som#t"o a #sf$#r%o *'ano 4f($ra >.a5) + s#an σ x ) σ y + r xy 'as com*on#nt#s "#' #sf$#r%o #1#rc"o so-r# #' #'#m#nto. D-$1# $n *$nto "# coor"#nas "# coor"#na"as
σ y
+ @ r xy
σ x
+ @ r xy
) + $n *$nto
4f($ra >.-5. S t/+ #s *ost7o) como s#
s$*on# #n 'a f($ra >.a) #' *$nto #st6 st$a"o "#-a1o "#' #1# s + #' *$nto #ncma) como s# m$#stra #n 'a f($ra >.-. S K/+ #s n#(at7o) s# st,a #ncma "#' #1# s + "#-a1o. Un#n"o + m#"ant# $na '8n#a r#cta s# "#fn# #' *$nto C "# nt#rs#cc!n "# 'a '8n#a con #' #1# s + s# "-$1a #' c8rc$'o "# c#ntro #n C + "6m#tro . A' o-s#r7ar &$# 'a a-scsa "# C + #' ra"o "#' c8rc$'o son r#s*#ct7am#nt# ($a'#s a 'as cant"a"#s σ prom + R "#fn"as *or 'as #c$acon#s 4.>;5) s# conc'$+# &$# #' c8rc$'o o-t#n"o #s #' c8rc$'o "# Mor *ara #sf$#r%o *'ano. As8) 'as a-scsas "# 'os *$ntos A + B) #n "on"# #' c8rc$'o nt#rs#ca #' #1# s) r#*r#s#ntan r#s*#ct7am#nt# 'os #sf$#r%os *rnc*a'#s σ max + σ min #n #' *$nto cons"#ra"o.
Fi-. 1./
S# nota tam-3n &$# como tan #' 6n($'o CA #s ($a' #n ma(nt$" a $no "#
+
'os 6n($'os = &$# satsfac#n 'as #c$acon#s 4.>=5. As8) #' 6n($'o $* &$# "#fn# 'a f($ra >.a 'a or#ntac!n "#' *'ano *rnc*a' corr#s*on"#nt# a' *$nto A #n 'a f($ra >.- *$#"# o-t#n#rs# "7"#n"o #ntr# 'a mta" #' 6n($'o CA m#""o #n #' c8rc$'o "# Mor. O-s#r7# a"#m6s &$# s + como #n #' caso cons"#ra"o a&$8) 'a rotac!n &$# tra# C a CA #s #n s#nt"o contraro a 'as a($1as "#' r#'o1. ?#ro #n #s# caso #' 6n($'o $* o-t#n"o "# 'a #c$ac!n 4.>=5) #' c$a' "#fn# 'a "r#cc!n "# 'a norma' Oa a' *'ano *rnc*a') #s *ost7o0 *or #''o 'a rotac!n &$# tra# O/ a Oa #s tam-3n #n s#nt"o contraro a' "# 'as a($1as "#' r#'o1. S# conc'$+# &$# 'os s#nt"os "# rotac!n #n am-as *art#s "#
+
'a f($ra >. son 'os msmos. S s# r#&$#r# $n (ro = *ara ''#7ar C a CA #n #' c8rc$'o Mor) $na rotac!n #n s#nt"o contraro a' "# 'as a($1as "#' r#'o1
+ ''#7ar6 O/ a Oa #n 'a f($ra >.P.
Fi-. 1.6
Como #' c8rc$'o "# Mor #st6 "#fn"o #n forma ,nca) #' msmo c8rc$'o *$#"# o-t#n#rs# cons"#ran"o 'as com*on#nt#s σ x ) σ y + r xy ) corr#s*on"#nt# a 'os #1#s / + + "# 'a f($ra >.a. E' *$nto "# 'as coor"#na"as r xy )) + #' *$nto "# coor"#na"as
σ x )
σ y
+
σ x )
σ y
+
r xy )) #st6n) *or tanto)
'oca'%a"as #n #' c8rc$'o "# Mor + #' 6n($'o CA "# 'a f($ra >.- "#-# s#r #' "o-'# "#' 6n($'o / Oa "# 'a f($ra >.a. Como #' 6n($'o CA #s #' "o-'# "#' 6n($'o / Oa) s# s($# &$# #' 6n($'o C "# 'a f($ra >.- #s #' "o-'# "#' / O / "# 'a f($ra >.a. As8 #' "6m#tro 9 &$# "#fn# 'os #sf$#r%os norma'#s + cortant#s σ x ) σ y + r xy ) *$#"# o-t#n#rs# (ran"o #' "6m#tro $n 6n($'o ($a' a' "o-'# "#' 6n($'o forma"o *or 'os #1#s / + / "# 'a f($ra >.a. S# o-s#r7a &$# 'a rotac!n &$# ac# conc"r #' "6m#tro con #' "6m#tro ) #n 'a f($ra >.-) t#n# ($a' s#nt"o &$# 'a rotac!n &$# s$*#r*on# 'os #1#s /+ a 'os #1#s / + #n 'a f($ra >.a.
Fi-. 1.' La *ro*#"a" &$# s# aca-a "# n"car *$#"# $sars# *ara 7#rfcar #' #co "# &$# 'os *'anos "# #sf$#r%o cortant# m6/mo #st6n a < "# 'os *'anos *rnc*a'#s. C#rtam#nt#) r#c$#r"# &$# 'os *$ntos D + E "#' c8rc$'o "# Mor corr#s*on"#n a 'os *'anos "# #sf$#r%o cortant# m6/mo) m#ntras A + B corr#s*on"#n a 'os *'anos *rnc*a'#s 4f($ra >.-5. ?$#sto &$# 'os "6m#tros
AB + DE "#' c8rc$'o "# Mor #st6n a ;< #' $no "#' otro) s# t#n# &$# 'as caras "# 'os #'#m#ntos corr#s*on"#nt#s #st6n a < 'a $na "# 'a otra 4f($ra >.a5. La constr$cc!n "#' c8rc$'o "# Mor *ara #sf$#r%o *'ano s# sm*'fca m$co s s# cons"#ra s#*ara"am#nt# ca"a cara "#' #'#m#nto $sa"o *ara "#fnr 'as com*on#nt#s "#' #sf$#r%o. D# 'as f($ras >. + >. o-s#r7# &$# c$an"o #' #sf$#r%o cortant# #1#rc"o so-r# $na cara "a"a t#n"# a ac#r (rar #' #'#m#nto #n #' s#nt"o "# 'as a($1as "#' r#'o1) #' *$nto corr#s*on"#nt# a #sa cara #st6 co'oca"o *or #ncma "#' #1# #n #' c8rc$'o "# Mor. C$an"o #' #sf$#r%o cortant# #n $na cara t#n"# a ac#r (rar #' #'#m#nto #n #' s#nt"o contraro a 'as a($1as "#' r#'o1) #' *$nto corr#s*on"#nt# a #sa cara #st6 'oca'%a"o "#-a1o "#' #1# s 4f($ra >.5. En c$anto a 'os #sf$#r%os norma'#s) s# $sa 'a con7#nc!n $s$a') #s "#cr) $n #sf$#r%o "# t#ns!n s# cons"#ra *ost7o + s# (rafca a 'a "#r#ca) m#ntras $na com*r#s!n #s n#(at7a + s# (rafca aca 'a %&$#r"a.
Fi-. 1.?
(.( EJERCICIO P e e3tdo de e45eo no 7o3tdo en 8-5 dete7ine: o3 e345eo3 in*ie3 ; o3 no3 in*ie3 < 3 *o7onente3 de e345eo e=e*id3 3o<e e ee7ento o en 3entido *ontio 3 -5=3 de eo=.
?ROBLEMA =.