TRANSFORMACIONES LINEALES (ALGEBRA)
ALUMNOS: MIGUEL ANGEL GARCIA WHA VICTOR MANUEL GONZALES OLLERVIDEZ JESUS ALBERTO MONTOYA BALLEZA
ÍNDICE
Introducción 1. Transformaciones lineales 1.1
Definición de transformación lineal y sus propiedades
1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación) 1.3 Definición del ncleo o !ernel, e ima"en de una transformación lineal 1.4 #a matri$ de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal
PAG.
3 4 4 7
11 13 1%
1.%
&ransformaciones y sistemas de ecuaciones lineales
1.'
l"era de las transformaciones lineales
1*
1.7
plicación de las transformaciones lineales.
1*
1.+
somorfismos
22
-onclusión
23
ilio"raf/a
23
2
INTRODUCCIÓN 0na transformación es un conjunto de operaciones ue se reali$an sore un ector para conertirlo en otro ector. #os espacios ectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saer, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, coniene utili$ar funciones ue preseren dica estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. as adelante mostraremos ue las transformaciones lineales se pueden representar en t5rminos de matrices, y iceersa.
6e denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e ima"en sean espacios ectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. #as transformaciones lineales ocurren con muca frecuencia en el l"era lineal y en otras ramas de las matemticas, tienen una "ran ariedad de aplicaciones importantes. #as transformaciones lineales tienen "ran aplicación en la f/sica, la in"enier/a y en diersas ramas de la matemtica. Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, as/ como la ima"en, el ncleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.
3
1. TRANSFORMACIONS !INA!S 1.1 Definición de transformación lineal " sus #ro#iedades Definición. Sea V ! W e"#a$%&" 'e$&%a*e" transformación lineal -e V e W e" /a 0/$%1
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E &a" #a*a+a" /a a"0&,a$%1 *%ea* e" /a 0/$%1 /e e"#ea *a" &#ea$%&e" -e0%%-a" e *&" e"#a$%&" 'e$&%a*e": a+e "/,a" ! "a$a e"$a*ae"4. O+"e'a$%&e": %) S%
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N1e"e /e e ea*%-a- "&*& "e /"a *a #&#%e-a- a-%%'a ( i) -e T . E"e 6e$6& *& /"a,&" e e* "%7/%ee %$%"&. %)
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+) N1e"e /e /"a,&" e* 6e$6& -e /e 6e$6& a* 0%a* -e* %$%"& ( i). %)
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( i)
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Vea,&" a*7/&" e=e,#*&" -e a"0&,a$%&e" *%ea*e" -&-e 6ae,&" /"& e>e"& -e *a &+"e'a$%1 ( i) -e a%+a. E=e,#*& ?. Sea && *a-&
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E"a a"0&,a$%1 e$%+e e* &,+e -e *a transformación cero ! "e -e&a $&,& . E=e,#*& 2. Sea
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E"a a"0&,a$%1 e$%+e e* &,+e -e *a transformación identidad -e V e V ! "e -e&a $&,& . E=e,#*& 3. Sea e*e,e&"
a* /e *a traza -e A e" -e$% T -e *a -%a7&a*. E&$e" e"
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E=e,#*& 9. Sea
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Se -e&,%a a"0&,a$%1 *%ea* a &-a 0/$%1 $/!& -&,%%& e %,a7e "ea e"#a$%&" 'e$&%a*e" ! "e $/,#*a *a" "%7/%ee" $&-%$%&e": ?. T(/') T(/) T(') 2. T(/) T(/) -&-e e" / e"$a*a.
Clasificación de las transformaciones lineales
?. M&&,&0%",&: S% e" %!e$%'a & "ea "% e* <%$& e*e,e& -e* <$*e& e" e* 'e$& /*&. 2. E#%,&0%",&: S% e" "&+e!e$%'a (e>6a/"%'a). 3. I"&,&0%",&: S% e" +%!e$%'a (%!e$%'a ! e>6a/"%'a). 9. E-&,&0%",&: S% & "ea "% e* -&,%%& e" %7/a* a* $&-&,%%& (e* e"#a$%& 'e$&%a* -e "a*%-a ! e* -e **e7a-a "& e* ,%",&). @. A/&,&0%",&: S% e" e-&,&0%",& e %"&,&0%",& a *a 'e.
1.$ %em#los de transformaciones lineales &refle'ión( dilatación( contracción( rotación)
E=e,#*& . (R&a$%1 por un ángulo ) Sea / 7/*& ,e-%-& e a-%ae". /ee,&" a'e%7/a $/a* e" *a a"0&,a$%1 T -e e /e 7%a $a-a 'e$& / 7/*& #aa &+ee / 'e$& . E /a 70%$a 'e,&" *a "%/a$%1 $&,& "%7/e:
S% /"a,&" *a" 0/$%&e" %7&&,8%$a" ee,&" /e:
D%"%+/!e-& ! /"a-& e* 6e$6& -e /e
!
ee,&" /e:
5& *& a& !a -e"$/+%,&" $1,& -e+e e"a -e0%%-a *a a"0&,a$%1 /e .
a*
E"a a"0&,a$%1 "e **a,a *a &a$%1 #& / 7/*& ! e" *%ea* !a /e:
E=e,#*& . ( Reflexión sobre el eje x) E e"e $a"& /ee,&" a'e%7/a $&,& e" -e0%%-a *a a"0&,a$%1 T -e /e $a-a 'e$& *& e0*e=a "&+e e* e=e x #aa &+ee / 'e$& /a 70%$a 'e,&" *a "%/a$%1 $&,& "%7/e:
e . E
E e"e $a"& *a "%/a$%1 e" ," "e$%**a !a /e $*aa,ee ee,&" -&" %7/*&" e$7/*&" /e "& $&7/ee" -e -&-e T /e-a -e0%%-a $&,& "%7/e:
E"a a"0&,a$%1 "e **a,a *a e0*e>%1 "&+e e* e=e x ! e" *%ea* !a /e:
E=e,#*& . ( Proyección ortogonal sobre el eje x) E e"e $a"& /ee,&" a'e%7/a $&,& e" -e0%%-a *a a"0&,a$%1 T -e e /e a $a-a 'e$& *& #&!e$a #e#e-%$/*a,ee "&+e e* e=e x #aa &+ee / 'e$& . E /a 70%$a 'e,&" *a "%/a$%1 $&,& "%7/e:
Ta,+%8 e"e $a"& e" "e$%**& #/e" e" &+'%& /e T /e-a -e0%%-a $&,& "%7/e:
E"a a"0&,a$%1 "e **a,a *a #&!e$$%1 "&+e e* e=e x ! e" *%ea* !a /e:
E"e <*%,& e=e,#*& %ee ," 0&-& -e"-e e* #/& -e '%"a -e *7e+a L%ea*. C&"%-ee,&" e* "%7/%ee "/+e"#a$%& -e :
Ve,&" /e 8"e & e" "%& e* e=e x ("&+e /%e "e e0e$/1 *a #&!e$$%1). A6&a +%e %ee / $&,#*e,e& -%e$& a "a+e De a* 0&,a /e $a-a 'e$& "e e"$%+e e 0&,a <%$a $&,& "/,a -e / 'e$& -e ," / 'e$& -e $&,& "%7/e:
N&a,&" /e *a #&!e$$%1 "&+e e* e=e x ,a-a a "&+e e* $/a* e" #e$%"a,ee e* 8,%& $&e"#&-%ee a e *a -e"$&,#&"%$%1 ae%&K T&-& e"& &" %-/$e a -e0%% #&!e$$%&e" "&+e "/+e"#a$%&" e 7eea* $&,& "%7/e: De0%%$%1. Sea V / e"#a$%& 'e$&%a* ! "ea / "/+e"#a$%& a* /e e>%"e e* $&,#*e,e& -%e$& -e e V e" -e$% a* /e -e a* 0&,a /e $a-a 'e$& "e e"$%+e e 0&,a <%$a $&,&: C& ! a"0&,a$%1
. De0%%,&" e&$e" *a proyección sobre $&,& a/e**a a* /e .
L& #%,e& /e &+"e'a,&" e" /e e"a a"0&,a$%1 e" *%ea* !a /e "% $& ! e&$e" $& ! . 5& *& a& -e a$/e-& a *a -e0%%$%1 -e T ee,&" /e: E "e7/-& */7a 'e,&" /e e"a -e0%%$%1 %$*/!e $&,& $a"& e"#e$%a* a *a -e *a #&!e$$%1 "&+e e* e=e x. S% e,+a7& 'e,&" /e & e" "/0%$%ee $& e"#e$%0%$a "&+e /e "/+e"#a$%& /ee,&" #&!e$a "%& a,+%8 e" e$e"a%& a$*aa $/a* e" e* $&,#*e,e& -%e$& /e "e e"a /"a-& !a /e / ,%",& "/+e"#a$%& #/e-e ee -%"%&" $&,#*e,e&" -%e$&". E* ,%",& e=e x %ee e* "%7/%ee $&,#*e,e& -%e$&: E e0e$& e" $*a& /e e" / "/+e"#a$%& -e ! . A-e," $a-a "e e"$%+e $&,& . T&-& e"& -e,/e"a /e . U"a-& e"a -e"$&,#&"%$%1 ! *a -e0%%$%1 -e #&!e$$%1 e-e,&" /e e e"e $a"& *a a"0&,a$%1 /e-a -a-a $&,& "%7/e: A"; #/e" #& $a-a $&,#*e,e& -%e$& /e e7a,&" a *a ,a& #&-e,&" -e0%% /a #&!e$$%1 a"&$%a-a a -%$6a -e"$&,#&"%$%1.
Ejemplo contracción Una $&a$$%1 es una a"0&,a$%1 que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original. k Sea V (2 9) e$&aa *a $&a$$%1 6&%&a* = $/a-& ?2
?
? 2 =? 9 ? Ha$%e-& *a 7a0%$a e* #/& -%",%/!e e e* e=e 6&%&a*. V =
2 9
?
Ejemplo dilatación o expansión
Ua -%*aa$%1 e" /a a"0&,a$%1 /e %$e,ea -%"a$%a". Sea V (2 9) e$&aa *a e>#a"%1 'e%$a* =
V =
2 9
? $/a-& 2 k
? = 2 2
E>#a"%1 6&%&a* (?) & $&a$$%1 (?) E>#a"%1 'e%$a* (?) & $&a$$%1 (?)
1.* DFINICIÓN D! N+C!O O ,RN!( IMA-N D UNA TRANSFORMACIÓN !INA! Kernel o Núcleo
De0%%$%1 9 Sea /a a"0&,a$%1 *%ea*. Se -e0%e e* ee* & N<$*e& -e *a a"0&,a$%1 *%ea* -e&a-& #& a* $&=/& -e *a" #e%,7ee" -e* 'e$& /*& e" -e$%
Ejemplo Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal
Solución: Necesitamos determinar los vectores
de
tales que
Evaluando
es decir,
??
luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos
Por lo tanto,
Con lo cual, (x;y;z) = (0;-(1/3)z;z) = z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio
Note que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las pre imágenes de un vector para una transformación lineal dada.
Ejemplo Dee,%a e* ee* -e *a "%7/%ee a"0&,a$%1 *%ea*
Solución: C&,& ee,&" /e
Ree,#*aa-& Imagen o Recorrido
Re$&-e,&" *a -e0%%$%1 -e e$&%-&.
Definición Se -e0%e *a I,a7e & Re$&%-& -e /a a"0&,a$%1 *%ea* e"& e" $&,& e* $&=/& -e *&" 'e$&e" /e %ee a* ,e&" /a #e%,a7e.
Ejemplo Dada la transformación lineal
Determinar la imagen de
Solución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen pre imagen.
?2
Para ello, sean tales que T(x;y;z) = (a;b;c) (2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c) Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema
Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada
luego, un vector tiene pre imagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir
Por lo tanto, Im(T) = {(a;b;c) /((x;y;z) = {(a;b;c) /a-b-c=0} = <(1;1;0);(1;0;1)>:
((T(x;y;z)=(a;b;c))
1. !A MATRI/ D UNA TRANSFORMACIÓN !INA! RRSNTACIÓN MATRICIA! D UNA TRANSFORMACIÓN !INA!
0
Re#e"ea$%1 ,a%$%a* -e /a a"0&,a$%1 *%ea*. Sea T : V !" W /a T.L $& dimV n dimW m "% #e? $%%%$en& e" /a +a"e -e V ! #'? $%%%$'m& e" /a +a"e -e W $a-a e*e,e& t (ek ) #/e-e e>#e"a"e $& /%$%-a- $&,& /a $&,+%a$%1 *%ea* -e *&" e*e,e&" -e *a +a"e e" -e$% T (ek ) mPi?tik'i -&-e tik $%%%$t mk "& *&" $&,#&ee" -e t (ek ) e"#e$& a *a +a"e &-ea-a #'? $%%%$'m&. ↦
• L&" tik 0&,a / 'e$& $&*/,a & ,a% $&*/,a. Tee,&" /a $&*/,a #aa
$a-a /& -e *&" n Qe*e,e&" t (e?) $%%%$ t (en) 0&,a-& a"; /a ,a% -e &-e m ( n. A"; &-a T.L -e / e"#a$%& n Q-%,e"%&a* V e / e"#a$%& m -%,e"%&a* W -a &%7e a /a ,a% m ( n t ( eik ) $/!a" $&*/,a" "& *&" $&,#&ee" -e t (ei) $%%%$t (en) e*a%'&" a *a +a"e ( '? $%%%$'n) $ *a **a,a,&" e#e"ea$%1 ,a%$%a* -e T e*a%'a a /a" +a"e" &-ea-a" #e? $%%%$en& -e V ! #'? $%%%$'m& #aa '.
?3
Teorema Da-a /a a"0&,a$%1 *%ea* T) V " V -&-e dimV n. S% T %ee /a e#e"ea$%1 e ,a% -%a7&a* e>%"e e&$e" / $&=/& -e e*e,e&" %-e#e-%ee" u? $%%%$u2 e V ! / $&=/& $&e"#&-%ee -e e"$a*ae" *? $%%%*n /e "a%"0a$e: T (u+ ) *kuk #aa k ? $ 2 $%%%$n. Re$;#&$a,ee "% e>%"e / $&=/& %-e#e-%ee u? $%%%$un e V ! / $&=/& $&e"#&-%ee -e e"$a*ae" *? $%%%$*n /e "a%"0a$e (?) e&$e" *a ,a% -%a7( *? $%%%$*n) e" /a e#e"ea$%1 -e T e"#e$& a *a +a"e (u? $%%%$un). L/e7& e* #&+*e,a -e 6a**a /a e#e"ea$%1 e ,a% -%a7&a* -e /a a"0&,a$%1 *%ea* "e e-/$e a* -e 6a**a e* e*e,e& "% -e#e-%ee" u? $%%%$un ! *&" e"$a*ae" *? $%%%$*n /e "a%"0a$e T (uk ) *kuk . 5aa k ? $ 2 $%%%$n. Ta*e" e*e,e&" u? $%%%$un ! *? $%%%$*n "e $&&$e $&,& a/&'e$&e" ! a/&'a*&e" e"#e$%'a,ee. Teorema Sea /a ,a% -e n ( n "e -%$e /e * e" / 'a*& #&#%& -e A ssi P ( *)-e( ! *i ) E"a e" *a e$/a$%1 $aa$e;"%$a -e P ( *) "e **a,a #&*%&,%& $aa$e;"%$& -e . Teorema Sea /a ,a% ea* & $&,#*e=a -e &-e n ( n e&$e" e>%e /a ,a% , $&,#*e=a %'e%+*e -e &-e n ( n a*/e ,!? , - D&-e - e" *a ,a% -e J&-a $/!&" e*e,e&" e *a -%a7&a* "& *&" 'a*&e" #&#%&" -e . Ma" a/ *a ,a% -e J&-a e" <%$a e>$e#& #& e* &-e (-a-& #& *a +a"e &-ea-a 0%=a) e e* /e a#ae$e *&" +*&/e" -e J&-a. Una manera de facilitar el trabajo con una transformación lineal, es asociarle una matriz, para lo cual es necesario considerar un par de bases ordenadas. Definición Sean dos espacios vectoriales sobre , además respectivamente y Se define la matriz asociada a
bases ordenadas una transformación lineal de en las bases a
de en
denotada por
donde
?9
Además si la base
del espacio de partida es igual al del espacio de llegada, la matriz
asociada a la transformación lineal se denota por
1.2 TRANSFORMACIONS 0 SISTMAS D CUACIONS !INA!S Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices%
Da-a /a ,a% -e / "%"e,a -e e$/a$%&e" *%ea*e" e"/*a /a ,a% -e / "%"e,a e/%'a*ee "%: a) Se %e$a,+%a -&" e7*&e". S;,+&*&:
R %
R =.
+) Se ,/*%#*%$a & -%'%-e / e7*1 #& /a $&"ae -%0eee -e $e&. S;,+&*&: k R% R %. $) U ,<*%#*& $&"ae -e / e7*1 "e "/,a a && e7*1. S;,+&*&: R = R =.
k R%
U"& -e ,a%$e" #aa e"&*'e / "%"e,a -e e$/a$%&e" *%ea*e". Ejemplo%
Re"/e*'e e* "%"e,a: > 2! 3 9> @! 29 3> ! 2 9 C&,eae,&" $& *a ,a% -e* "%"e,a e" -e$% *a ,a% a/,ea-a:
L/e7& a#*%$a,&" a"0&,a$%&e" e*e,ea*e" -e e7*1 a 0% -e &+ee &a ,a% (," "e$%**a) -e / "%"e,a -e e$/a$%&e" e/%'a*ee". 5&-e,&" ";,+&*&" a-e$/a-&" ee ,a%$e" e/%'a*ee".
(9)R ? R 2
R 2
?@
(3)R ? R 3
R 3
((? 3))R 2
R 2
(?)R 3
R 3
(@)R 2 R 3
R 3
C& *a ,a% 0%a* e7e"a,&" a* "%"e,a -e e$/a$%&e":
/e e/%'a*e a* "%"e,a &%7%a*. La "&*/$%1 > 9 ! 2 3 "e #/e-e e$&a a6&a #& "/"%/$%1. La ,a% 0%a* -e *a "&*/$%1 e" /a 0&,a e"$a*&a-a. E 7eea* /a ,a% e" e 0&,a e"$a*&a-a "% "a%"0a$e e"a" $&-%$%&e": a) E* #%,e <,e& -%0eee -e $e& -e $a-a e7*1 *e!e-& -e %/%e-a a -ee$6a e" ?. +) La $&*/,a /e $&e7a e* #%,e <,e& -%0eee -e $e& e $/a*/%e e7*1 e" a *a %/%e-a -e *a $&*/,a $& e* #%,e <,e& -%"%& -e $e& -e* e7*1 -e a+a=&. $) L&" e7*&e" 0&,a-&" eea,ee -e $e&" #/e-e a#ae$e e *a #ae %0e%& -e *a ,a%. Ejemplo)
Sea *a ,a%:
e" .una matriz escalonada.
?
G/;a" #aa 6a**a *a 0&,a e"$a*&a-a -e /a ,a%. (a) L&$a*%a *a primera columna /e $&e7a e*e,e&" -%0eee" -e $e& ! a#*%$a a"0&,a$%&e" e*e,ea*e" -e e7*1 a 0% -e &+ee ? e e* #%,e e7*1 -e e"a $&*/,a. (+) A#*%$a a"0&,a$%&e" e*e,ea*e" -e e7*1 -e* %#& k R? R = R =. #aa = ? ! &+ee +a=& e* <,e& ? &+e%-& e *a 7/;a (a) e $a-a /& -e *&" e7*&e" e"ae". ($) /acer caso omiso del primer renglón% L&$a*%a *a #1>%,a $&*/,a /e $&e7a e*e,e&" -%0eee" -e $e& ! a#*%$a a"0&,a$%&e" e*e,ea*e" -e e7*1 $& &+=e& -e &+ee e* <,e& ? e e* segundo renglón -e e"a $&*/,a. (-) A#*%$a a"0&,a$%&e" e*e,ea*e" -e* %#& k R 2 R = R =. #aa = 2 ! &+ee +a=& e* <,e& ? &+e%-& e *a 7/;a ($) e $a-a /& -e *&" e7*&e" e"ae". (e) /acer caso omiso del primer y segundo renglones% L&$a*%a *a "%7/%ee $&*/,a /e $&e7a e*e,e&" -%0eee" -e $e& ! e#e% e* #&$e-%,%e&. (0) C&%/a e* #&$e"& 6a"a a*$aa *a 0&,a e"$a*&a-a. U"& -e *a 0&,a e"$a*&a-a #aa e"&*'e / "%"e,a -e e$/a$%&e" *%ea*e". Ejemplo)
Re"/e*'e e* "%"e,a:
S&*/$%1: C&,ea,&" $& *a ,a% a/,ea-a ! */e7& &+ee,&" /a 0&,a e"$a*&a-a "e7< "e -e"$%+e e *a" 7/;a".
R ?
R 9
R 2
R 3
(?)R ? R 3
R 3
?
(2)R ? R 9
(?)R 2
R 9
R 2
((? 2))R 2
R 2
(?)R 2 R 3
R 3
(?)R 2 R 9
R 9
(3)R 3 R 9
R 9
La ,a% 0%a* e" e 0&,a e"$a*&a-a ! $&e"#&-e a / "%"e,a -e e$/a$%&e":
((? 2))R 9
R 9
A6&a /"a,&" "/"%/$%1 a 0% -e 6a**a *a "&*/$%1. De *a <*%,a e$/a$%1 'e,&" /e ? -e *a e$ea e$/a$%1 'e,&" /e 2 . S/"%/%,&" e *a "e7/-a e$/a$%1 ! &+ee,&": ! 2 ! 2(2) (?) !9? !? ?
S/"%/%,&" *&" 'a*&e" e$&a-&" e *a #%,ea e$/a$%1: > 2 3 > (2) 2(?) 3 > 2 2 3 >? 5& *& a& e* "%"e,a %ee /a "&*/$%1: > ? ! ? 2 ?.
1.3 A!-4RA D !AS TRANSFORMACIONS !INA!S
Sean
podemos definir la suma de transformaciones lineales, dada por
También podemos definir la multiplicación por escalar. Sean definamos la multiplicación por escalar de una transformación lineal, dada por
De0%%$%1. U *7e+a A "&+e / $a,#& F e" / e"#a$%& 'e$&%a* "&+e F e e* /e "e %ee -e0%%-a /a &#ea$%1 #&-/$& /e "a%"0a$e #aa &-&" *&" e*e,e&" T? T2 T3 ∈ A ! α ∈F: T?(T2T3)T?T2T?T3 (T2T3)T?T2T?T3T? α(T?T2)(αT?)T2T?(αT2) S% a-e," "e $/,#*e /e (T?T2)T3T?(T2T3) e&$e" A e" / *7e+a a"&$%a%'a De0%%$%1. Sea V U ! W e"#a$%&" 'e$&%a*e" "&+e e* ,%",& $a,#& F. Sea T?: VàU ! T2: UàW -&" a"0&,a$%&e" *%ea*e". Se -e0%e *a $&,#&"%$%1 -e T2 "e7/%-a -e T? T2 °T? $&,& *a 0/$%1 -e V a W (T2°T?) :VàW a* /e (T2°T?)(')T2(T?(')) 5&#&"%$%1. S% T? ! T2 "& TL e&$e" T2 °T? a,+%8 *& e". De,&. Sea /' ∈V ! αβ ∈ F e&$e" (T2°T?)(α'β/)T2(T?(α'β/))T2(αT?(')βT?(/)) α (T2°T?)(')β (T2°T?)(/) ?
(T2°T?) e" T.L. 5/e-e 'e"e /e H&,(VV) $& *a $&,#&"%$%1 e" / *7e+a a"&$%a%'a.
1.5 A!ICACIÓN D !AS TRANSFORMACIONS !INA!S. Se a#*%$a e "%"e,a" -e e$/a$%&e" *%ea*e" e ,a%$e" ! e / "% <,e& -e #&+*e,a" 7a$%a" a *a" a"0&,a$%&e" *%ea*e" "a+e,&" e* -&,%%& e %,a7e ! e%e-& e"& "a+e "% e" / e"#a$%& 'e$&%a*. Ejemplo 142 Dada la transformación lineal
Determinar todos los espacios propios asociados a valores propios.
sabiendo que
son los únicos
Solución: Determinemos el espacio propio asociado al valor propio V2 = { (x;y)/T(x;y)=2(x;y)} = {(x;y)/(x+y;3x-y)=2(x;y)} = {(x;y)/(-x+y;3x-3y)=(0;0)} = {(x;y)/-x+y=0 = <(1;1)> Para el otro valor propio procedemos de manera similar V-2 = {(x;y)/T(x;y)=-2(x;y)} = {(x;y)/(x+y;3x-y)=-2(x;y)} = {(x;y)/(3x+y;3x+y)=(0;0)} = {(x;y)/3x+y=0} = <(1;-3)>
Ejemplo Sea +a"e" -e
! /a a"0&,a$%1 *%ea*
a* /e
2
Demostrar que
es un isomorfismo, sin explicitar
Solución: Para demostrar que
es un isomorfismo, basta celular el determinante de
y comprobar que es distinto de Calculemos
5& *& a& *a ,a% e" %'e%+*e */e7& 5aa e>#*%$%a *a a"0&,a$%1 %'e"a ee,&"
e"
/
%"&,&0%",&.
Reemplazando obtenemos
Necesitamos determinar las coordenadas de
en la base
.
Igualando coordenadas obtenemos el sistema de ecuaciones lineales
Resolviendo el sistema mediante la matriz, tenemos
Así
luego
[T -1(x;y;z)]b = ( -1 -2 0) 74 x+14 y-54 z ( -8 -13 1) 14 y-54 x+34 z ( -11 -18 1) 14 z+14 x-14 y
2?
[T(x;y;z)] D = ( 34 x-34 y-14 z) (a') ( 52 x-112 y+12 z)=(b') ( 72 x-152 y+12 z) (c')
,on lo cual obtenemos T -1(x;y;z) = a' (1;1;-1)+b ' (0;2;-1)+c ' (1;0;1) T -1(x;y;z) = (174x-334y+14z;234x-474y+34z;14x-54y+14z 0
1.6 ISOMORFISMOS
El concepto matemtico de isomorfismo (del "rie"o
iso-morfos8
"ual forma)
pretende captar la idea de tener la misma estructura. Dos estructuras matemticas entre las ue existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas.
%em#los de isomorfismos 9or ejemplo, si : es el conjunto de los nmeros reales positios con el producto y ; es el conjunto de los nmeros reales con la suma, la función lo"ar/tmica ln8:<; es un isomorfismo, porue
y cada nmero real es el
lo"aritmo de un nico nmero real positio. Esto si"nifica ue cada enunciado sore el producto de nmeros reales positios tiene (sin ms ue sustituir cada nmero por su lo"aritmo) un enunciado euialente en t5rminos de la suma de nmeros reales, ue suele ser ms simple. =tro ejemplo8 si en el espacio E ele"imos una unidad de lon"itud y tres ejes mutuamente perpendiculares ue concurren en un punto, entonces a cada punto del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, oteniendo as/ una aplicación f8E<>? en el conjunto de las sucesiones de tres nmeros reales. -uando en E consideramos la distancia ue define la unidad de lon"itud fijada y en >? consideramos la distancia ue define la ra/$ cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias, f es un isomorfismo. Este descurimiento fundamental de Descartes permite enunciar cualuier prolema de la "eometr/a del espacio en t5rminos de sucesiones de tres nmeros reales, y este m5todo de aordar los prolemas "eom5tricos es el ncleo de la llamada "eometr/a anal/tica.
Características del isomorfismo
22
El descurimiento de un isomorfismo entre dos estructuras si"nifica esencialmente ue el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo ue nos da dos puntos de ista diferentes sore cada cuestión y suele ser esencial en su adecuada comprensión. &ami5n si"nifica una analo"/a como una forma de inferencia ló"ica asada en la asunción de ue dos cosas son la misma en al"unos aspectos, auellos sore los ue est eca la comparación. En ciencias sociales, un isomorfismo consiste en la aplicación de una ley anlo"a por no existir una espec/fica o tami5n la comparación de un sistema ioló"ico con un sistema social, cuando se trata de definir la palara @sistema@. #o es i"ualmente la imitación o copia de una estructura trial en un itat con estructura urana.
CONC!USIÓN
6e an isto ms detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades ue ilan todos los temas propuestos por este traajo y se a se a lle"ado a la conclusión de todos los temas estn relacionados en cierta forma ya ue en arios de estos se necesita recurrir a las propiedades ue se an isto en temas anteriores. -on esto podr/amos decir ue nos a enseAado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya istos en nuestra carrera, ya ue no podemos omitir las enseAan$as pasadas ya ue estas nos forman las ases para comprender y anali$ar y poder poner en practica los temas futuros. Este traajo se a eco con el fin de comprender de ue no ay ue dejar tirado lo ya emos aprendido antes ya ue eso nos a a ayudar a solucionar prolemas en nuestro futuro, citando el dico popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los mismo nos estarn esperando en un futuro.
23
BIBLIOGRAFÍA 6#:2.?9.2@3.?9"ea$6 $a$6e:&*AS2J:./"e7%&a+&*e-a.e-/.$&,ae,a%$a",e,&%a",e,&%a "?3F&,a"X2@2$aXC3XB3%$a"X2@2-eX2@2J&-a.#-0RE5RESENTACI XC3X3NMATRICIALDEUNATRANSFORMACI XC3X3NLINEAL6*e"$$*$-7*,>**a7e" 6#:-&$ee"./a$=.,>7a#%aAL7e+aC&e%-&U%-a-X2IV-e0%%$%&X2! X2e=e,#*&".6, 6#:%,a./$'.$*6%#ee>&a*%ea*$a#3-e0?.6, 6#:%,a./$'.$*6%#ee>&a*%ea*$a#3-e09.6, 6#:%,a./$'.$*6%#ee>&a*%ea*$a#3-e0.6, 6#:.'%/a*./a*.e-/.$&$/"&"$%e$%a"2?9*e$$%&e"6,*$a#2$a#2.6,* 6#:.'%/a*./a*.e-/.$&$/"&"$%e$%a"2?9*e$$%&e"6,*$a#2$a#2"?.6 ,* 6#:.'%/a*./a*.e-/.$&$/"&"$%e$%a"2?9*e$$%&e"6,*$a#2$a#2"2.6 ,* 6#:.,ae,./a,.,>[7&,ea*7e+a"e$$%&2.6,*\ 6#:.$%e$%a.eVeA%$/*&Ta"0&,a$%XC3XB3*%ea* %-A%$/*&-"0=/'#0?-=072=@#a2e? 6#:6,*.%$&-e*'a7&.$&,a*7e+a*%ea*'e$&e"!e"#a$%&"'e$&%a*e".6,*
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