4.1 4. 1
Definición de la transformada de Laplace
■ Introducción
En el curso de cálculo elemental, usted aprendió que la diferenciación y la integración son transformadas, lo cual significa, a grandes rasgos, que estas operaciones transforman una función en otra. Por ejemplo, la función f ( x x ) x 2 se transforma, según sea el caso, en una función lineal, en una familia de funciones polinomiales cúbicas, y en una constante gracias a operaciones de diferenciación, integración indefinida e integración definida:
d 2 x 2 x , dx
x 2 dx
1 3
x 3 c,
3
x 2 dx 9.
0
Además, estas dos transformadas poseen la propiedad de linealidad: ello significa que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para las constantes y ,
d dx
3 3 b
y
a
3 1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 a f x x bg x x a f ¿ x x bg ¿ x x
a f x x bg x x dx a f x x dx dx b g x x dx b
b
a f x x bg x x dx a f x x dx b a
g x x dx
a
siempre que existan cada derivada y cada integral. En esta sección examinaremos un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de poseer la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas lineales de valor inicial. Si f ( x con res x , y) es una función de dos variables, entonces una integral definida de f con pecto a una de las variables produce una función de la otra variable. Por ejemplo, si y se mantiene constante vemos que 21 2 xy2 dx 3 y2. De manera s imilar, una integral definida, tal como ba K (s, t ) f (t ) dt , transforma a una función f (t ) en una función de la variable s. A nosotros nos interesan en particular las transformadas integrales de este último tipo, donde el intervalo de integración es el intervalo [0, ) no acotado. ■ Definición
x ) está definida para t 0, entonces la integral impropia básica Si f ( x q f t dt dt está está definida como un límite: 0 K s, t f
1 2 1 2
q
1 2 1 2
b
K s, t f f t dt lím
0
b Sq
1 2 1 2
K s, t f f t dt dt .
(1)
0
Si existe el límite, se dice que la integral existe o es convergente; si no hay límite, la integral no existe y se afirma que es divergente. Este límite, en general, existe sólo para ciertos valores de la variable s. La elección K (s, t ) e–st produce una transformada integral especialmente importante.
D E F I N I C I Ó N 4 .1 .1
Transformada de Laplace
Sea f una una función definida para t 0. Entonces se dice que la integral +
5 1 26
q
1 2
est f t dt dt
f t 0
(2)
es la transformada de Laplace de f , siempre y cuando la integral converja.
Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es una función de s. En el análisis general, cuando utilicemos letras minúsculas nos referiremos a la función que
194
CAPÍTULO 4 La transformada transformada de Laplace
se va a transformar, y letras mayúsculas denotarán su transformada de Laplace; por ejemplo, + { f (t )} F (s),
+ {g(t )} G(s),
+ { y(t )} Y (s)
+
y
5 1 2 6 1 2
H t
hs .
Uso de la definición 4.1
Ejemplo 1
Evalúe + {1}.
Solución A partir de (2), q
5 6 1 2
+ 1
est 1 dt lím
b Sq
0
st
lím
b
e
est dt
0 sb
s
b Sq
b
0
lím
e
1
s
b Sq
1
s
siempre y cuando s > 0. En otras palabras, cuando s > 0, el exponente – sb es negativo y e–sb → 0 conforme b → . Para s < 0, la integral es divergente. ❏ El uso del signo de límite deviene en un a tarea tediosa, de manera que adop taremos la notación |0 como abreviatura de lím b ( )| 0b . Por ejemplo, →
56
+ 1
q
1 2
st
e
est 1 dt
0
q
s
0
1
s
,
s
7
0.
En el límite superior, se entiende que nos referimos a que e–st → 0 cuando t → para s > 0.
Ejemplo 2 Uso de la definición 4.1 Evalúe + {t }.
Solución A partir de la definición 4.1, tenemos que +{t } 0 e–st t dt. Si integramos por partes usando límt
→
+
56 t
te–st 0, s > 0, junto con el resultado del ejemplo 1, obtenemos st
te
q
s
0
1
s
q
est dt
0
1
s
56
+ 1
1
s
1 s
1
s2
.
❏
Ejemplo 3 Uso de la definición 4.1 Evalúe + {e–3t }.
Solución A partir de la definición 4.1, tenemos +
5 6 3t
e
q st 3t
e
0
e
s
e
1 2 q
1 2
e s 3 t d t
0
s 3 t
1 s
dt
q
3
3
s
,
El resultado deriva del hecho de q ue límt
0
→
7 3.
e–(s + 3)t 0 para s + 3 > 0 o s > –3.
❏
Ejemplo 4 Uso de la definición 4.1 Evalúe + {sen 2t }.
4.1 Definición de la transformada de Laplace
195
Solución A partir de la definición 4.1 y la integración por partes obtenemos +
5 6 sen 2t
q
st
st
sen 2t dt
e
e
sen 2t s
0
2 s
0
q
est cos 2t dt
0
q
2 s
2
q
s 7 0
est cos 2t dt , 0
lím est cos 2t dt 0, s 7 0
t Sq
Transformada de Laplace de sen 2 t
T 2
s
c
st
e
cos 2t
s
2
s2
4
s2
q
2
2
s
0
5
q
T
d
est sen 2t dt
0
6
+ sen 2t .
En este punto tenemos una ecuación con {sen 2t } en ambos lados de la igualdad. Al resolver para esa cantidad se produce el resultado
2
+ {sen 2t }
■ + es
una transformada lineal q
2
s 4
s > 0.
❏
Para una suma de funciones, podemos escribir q
3 1 2 1 2 4
est a f t bg t dt a 0
,
q
1 2
est f t dt b 0
1 2
e st g t dt 0
siempre que ambas integrales converjan para s > c. Por lo tanto, se deduce que + { f (t ) + g(t )} + { f (t )} + + {g(t )} F (s) + G(s).
(3)
Debido a la propiedad dada en (3), se dice qu e + es una transformada lineal. Por ejemplo, de los ejemplos 1 y 2, {1 + 5t }
{1} + 5
{t }
1 s
5 s2
,
y de los ejemplos 3 y 4, –3t
+ {4e
10
4
sen 2t } 4 + {e3t } 10 + {sen 2t }
s3
20 2
s 4
.
La generalización de algunos de los problemas anteriores la enunciaremos mediante el teorema 4.1. A partir de ahora nos abstendremos de indicar cualquier restricción sobre s, pues se entiende que s está lo bastante restringida como para garantizar la convergencia de la transformada de Laplace apropiada.
T E O R E M A 4 .1
El apéndice III proporciona una lista más amplia de las transformadas.
a) + {1} n!
n
b)
+ {t }
d )
+ {sen
f )
196
Transformadas de algunas funciones básicas
s
kt }
+ {senh
, n 1, 2, 3, . . .
n1
2
s
kt }
2
s
2
k
2
k
1
s
}
+ {e
e)
+ {cos
g)
+ {cosh
CAPÍTULO 4 La transformada de Laplace
1
at
c)
s
a
kt }
s 2
s
kt }
k 2
s 2
s
k 2
■
Condiciones de suficiencia para que exista
{ f (t )} No es necesario que con-
verja la integral que define la transformada de Laplace. Por ejemplo, ni {1/ t} ni {et } existen. Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de +{ f (t )} son que f sea continua por tramos en [0, ) y de orden exponencial cuando t > T . Recuerde que una función f es continua por tramos en [0, ) si, en cualquier intervalo 0 a t b, hay cuando mucho una cantidad finita de puntos t k , k 1, 2, . . . , n (t k – 1 < t k ), en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto t k – 1 < t < t k . Vea la figura 4.1. El concepto de orden exponencial está definido de la siguiente manera.
DEFINICIÓN 4.2
f (t )
2
t t 1
a
t 2
b
Figura 4.1 Función continua
por tramos Mect (c > 0)
f (t )
Orden exponencial
t 3
f (t )
Se dice que una función f es de orden exponencial c si existen constantes c, M > 0, y T > 0 tales que | f (t )| Mect para todo t > T .
t
T
Si f es una función creciente, entonces la condición | f (t )| Mect , t > T , sólo indica que la gráfica de f en el intervalo (T , ) no crece más rápido que la gráfica de la función exponencial Mect , donde c es una constante positiva. Vea la figura 4.2. Todas las funciones f (t ) t , f (t ) –t e y f (t ) 2 cos t son de orden exponencial c 1 para t > 0 puesto que, respectivamente, t
–t
|t | e ,
t
Figura 4.2 La función f es
de orden exponencial f (t )
e t
t
|e | e ,
|2 cos t | 2e .
En la figura 4.3 se ofrece una comparación de las gráficas existentes en el intervalo [0, ). 2 Una función tal como f (t ) et no es de orden exponencial pues, como ilustra la figura 4.4, su gráfica crece con más rapidez que cualquier potencia lineal positiva de e para t > c > 0. Una potencia integral positiva de t siempre es de orden exponencial ya que, para c > 0 n
ct
|t | Me
t n
o
e
ct
t
a) f (t )
M
e t
para t 7 T
es equivalente a demostrar que lím t t n / ect es finito para n 1, 2, 3, . . . El resultado se obtiene mediante n aplicaciones de la regla de L’Hôpital. →
T E O R E M A 4.2
Condiciones de suficiencia para la existencia
e –t
b) f (t ) 2e t
Si f (t ) es continua por tramos en el intervalo [0, ) y de orden exponencial c, entonces + { f (t )} existe para s > c.
2 cos t
Demostración Mediante la propiedad aditiva del intervalo de las integrales definidas, T
+
5 1 2 6 1 2
q
est f t dt
f t
0
1 2
est f t dt I 1
T
q
T
1 2
q
est f t dt M
q
est ect dt M
T
T
t
I 2.
c)
La integral I 1 existe ya que se puede escribir como una suma de integrales en los intervalos donde e–st f (t ) es continua. Ahora f es de orden exponencial, por lo tanto existen constantes c, M > 0, T > 0 de manera que | f (t )| Mect para t > T . Entonces podemos escribir
I 2
t
1 2
e s c T e s c t dt M sc
1 2
Figura 4.3 Las funciones con
gráficas coloreadas son de orden exponencial 2
f (t )
et
ect
para s > c. Puesto que T Me–(s – c)t dt converge, la integral T |e–st f (t )| dt converge según la prueba de comparación para integrales impropias. Esto, a su vez, implica que I 2 existe cuando s > c. La existencia de I 1 e I 2 implica que +{ f (t )} 0 e–st f (t ) dt existe para s > c. ❏
Ejemplo 5
Transformada de una función continua por tramos
Evalúe + { f (t )} para f (t )
e
0, 2,
0
t
c
t 6 3
Figura 4.4 f (t )
t 3.
de orden exponencial
4.1 Definición de la transformada de Laplace
et
2
no es
197
y
Solución La función continua por tramos aparece en la figura 4.5. Como f está definida
2
en dos partes, expresamos a + { f (t )} como la suma de dos integrales:
5 1 26
+ f t
q
0
t 3
Figura 4.5 Función continua por
tramos
q
3
1 2 1 2 1 2
est f t dt
2est s
2e3s , s
est 0 dt
est 2 dt
0
q
3
3
s 7 0.
❏
Comentarios A través de todo el capítulo nos concentraremos principalmente en las funciones que son tanto continuas por tramos como de orden exponencial. Sin embargo, advertimos que estas dos condiciones son suficientes mas no necesarias para la existencia de una transformada de Laplace. La función f (t ) t 1 2 no es continua por tramos en el intervalo [0, ); no obstante, existe su transformada de Laplace. Vea el problema 42 en los ejercicios 4.1.
>
EJERCICIOS 4.1
Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-8.
En los problemas del 1 al 18, use la definición 4.1 para encontrar + { f (t )}. 1.
1 2 1 2 e 1 2 1 2 e 1 2 e 1 2 e
f t
2.
f t
3.
f t
4.
5.
6.
7.
f t f t f t
12.
f (t ) e2t 5
13.
f (t ) te4t
14.
f (t ) t 2e2t
t 1
15.
f (t ) et sen t
16.
f (t ) et cos t
1,
t 1
17.
f (t ) t cos t
18.
f (t ) t sen t
4,
0
En los problemas del 19 al 36, use el teorema 4.1 para encontrar + { f (t )}.
t 2
0, t ,
t 2
0
t 1 t 1
1, 2t 1,
0
t 1
sen t , 0 0, 0,
21.
f (t ) 4t 10
22.
f (t ) 7t + 3
25.
f (t ) (t + 1)3
26.
f (t ) (2t 1)3
27.
f (t ) 1 + e4t
28.
f (t ) t 2 e9t + 5
t p 2
29.
f (t ) (1 + e2t )2
30.
f (t ) (et et )2
t p 2
31.
f (t ) 4t 2 5 sen 3t
32.
f (t ) cos 5t + sen 2 t
33.
f (t ) senh kt
34.
f (t ) cosh kt
36.
f (t ) et cosh t
8.
(t )
f (t ) t 5 f (t ) 4t 2 + 16t + 9
> >
20.
24.
t p
sen t , 0
f (t ) 2t 4 f (t ) t + 6t 3
t p
19.
23.
t 1
0,
(t )
(2, 2)
(2, 2)
35.
1
t
t 1
1
Figura 4.6 Gráfica para
el problema 7
t
f (t ) e senh t
En los problemas del 37 al 40, encuentre +{ f (t )} utilizando primero una identidad trigonométrica adecuada. f (t ) sen 2t cos 2t
Figura 4.7 Gráfica para
38.
el problema 8
f (t ) cos2 t
39.
f (t ) sen(4t + 5)
40.
f (t ) 10 cos t
f (t ) c
41.
t 1
2
37.
10.
(t ) 1
198
f (t ) et + 7
1,
1
9.
11.
a
b
t
Figura 4.8 Gráfica para
Figura 4.9 Gráfica para
el problema 9
el problema 10
p
6
Una definición de la función gamma está dada por la
1 2
integral impropia a
q
t a 1et dt , a 7 0.
0
a) Demuestre que ( + 1) ().
CAPÍTULO 4 La transformada de Laplace
