[TÍTULO DEL DOCUMENTO]
La de una función f (t definida (en ecuaciones diferenciales! diferenciales! en an"lisis matem"tico o en an"lisis funcional funcional para todos los n#meros positi$os t ≥ %! es la función F (s ! ! definida por&
Siempre ' cuando la interal est) definida* Cuando f (t no es una función! sino una distri+ución con distri+ución con una sinularidad en %! la definición es
Cuando se ,a+la de la transformada de Laplace! eneralmente se refiere a la $ersión unilateral* Tam+i)n e-iste la transformada de Laplace +ilateral! .ue se define como siue&
La transformada de Laplace F (s t/picamente e-iste para todos los n#meros reales s 0 s 0 a ! donde a es es una constante .ue depende del comportamiento de crecimiento de f (t * * es llamado el operador de de la transformada de Laplace *
La transformada de Laplace reci+e su nom+re en ,onor del matem"tico franc)s Pierre1Simon Laplace! Laplace ! .ue .ue la prese present ntó ó dent dentro ro de su teor/a de la pro+a+ilidad* pro+a+ilidad* En 2344 2344!! Leon,ard Euler ,a+/a Euler ,a+/a in$estiado un con5unto de interales de la forma&
6 como soluciones de ecuaciones diferenciales! pero no profundi7ó en ell ellas ' pron prontto a+an a+ando don nó su in$e in$est stiia ac ción* ión* 8osep, Louis Larane! Larane! admirador de Euler! tam+i)n in$estió ese tipo de interales! ' las lió a la teor/a de la pro+a+ilidad en un tra+a5o so+re funciones de densidad de pro+a+ilidad de la forma&
6 .ue alunos ,istoriadores , istoriadores interpretan como aut)nticas transformadas de Laplace* Este tipo de interales atra5eron la atención de Laplace cuando! en 239:! ' siu siuie iend ndo o la idea idea de Eule Euler! r! trat trató ó de empl emplea earr esta estass inte inter ral ales es como como
TONY CARDENAS ALV ALVARADO
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO] soluciones de ecuaciones diferenciales* Parece ser .ue en 239; dio un paso m"s all"! ' reenfocó el pro+lema para en $e7 de usar las interales como soluciones! aplicarlas a las ecuaciones dando luar a las transformadas de Laplace tal ' como ,o' en d/a se entienden*
6 an"loa a la transformada de Mellin! con la .ue transformó una ecuación diferencial en una ecuación ale+raica de la .ue +uscó su solución* Planteó aluna de las principales propiedades de su transformada! ' de aluna forma reconoció .ue el m)todo de 8osep, Fourier para resol$er por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podr/a relacionarse con su transformada interal para un espacio finito con soluciones periódicas* Pese al loro! las transformadas de Laplace pronto ca'eron en un relati$o ol$ido! al ,a+er sido presentadas en el campo de la pro+a+ilidad =a5eno a su moderna aplicación en la f/sica ' la inenier/a=! ' ser tratadas so+re todo como o+5etos matem"ticos meramente teóricos* La moderna aplicación de las transformadas de Laplace ' toda su teor/a su+'acente sure en realidad en la seunda mitad del silo >?>* Al tratar de resol$er ecuaciones diferenciales relacionadas con la teor/a de $i+raciones! el ineniero inl)s Oli$er @ea$iside (29;%12:; descu+rió .ue los operadores diferenciales pod/an tratarse anal/ticamente como $aria+les ale+raicas* De acuerdo con el Bc"lculo operacionalB ! si se tiene una ecuación diferencial de la forma&
6 donde D es el operador diferencial! esto es! solución eneral a dic,a ecuación es de la forma&
! entonces la
* @ea$iside o+ser$ó .ue si se trata+a al operador D como una $aria+le ale+raica! era posi+le alcan7ar iualmente la solución de toda ecuación pare5a a la de arri+a* En efecto! se#n la solución eneral! se cumple .ue&
Entonces! si se considera una ecuación diferencial de seundo orden como la siuiente&
6 )sta puede reescri+irse en para resaltar el operador D como&
@ea$iside propuso despe5ar ' ' tratar a D ale+raicamente! en cu'o caso se tendr/a .ue&
TONY CARDENAS ALVARADO
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO]
Sustitu'endo las fracciones en D por la e-presión interal de las mismas arri+a presentada! se llea a la solución de la ecuación diferencial&
@ea$iside pu+licó sus resultados! cu'a utilidad a la ,ora de resol$er ecuaciones de la f/sica ' la inenier/a ,i7o .ue pronto se e-tendieran* Sin em+aro! el tra+a5o de @ea$iside! formal ' poco riuroso! atra5o las cr/ticas de alunos matem"ticos puristas .ue los rec,a7aron arumentando .ue los resultados de @ea$iside no pod/an surir de tal forma* No o+stante! el )-ito del m)todo ,i7o .ue pronto fuera adoptado por inenieros ' f/sicos de todo el mundo! de manera .ue al final atra5o la atención de cierto n#mero de matem"ticos tratando de 5ustificar el m)todo de manera riurosa* Tras $arias d)cadas de intentos! se descu+rió .ue la Transformada descu+ierta por Laplace ,ac/a un silo no sólo ofrec/a un fundamento teórico al m)todo de c"lculo operacional de @ea$iside! sino .ue adem"s ofrec/a una alternati$a muc,o m"s sistem"tica a tales m)todos* @acia principios del silo >>! la transformada de Laplace se con$irtió en una ,erramienta com#n de la teor/a de $i+raciones ' de la teor/a de circuitos! dos de los campos donde ,a sido aplicada con m"s )-ito* En eneral! la transformada es adecuada para resol$er sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales en el orien*
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Nota&
es la función escalón unitario*
(.ue crece m"s r"pido .ue Laplace! 'a .ue
Sea una función
no pueden ser o+tenidas por
! es una función de orden e-ponencial de "nulos*
deri$a+le a tro7os ' .ue
Entonces &
es el con5unto de funciones continuas a tro7os con orden e-ponencial*
Sea
una función deri$a+le a tro7os tal .ue
*Entonces &
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO] es el con5unto de funciones continuas a tro7os con orden e-ponencial*
La siuiente ta+la pro$ee la ma'or/a de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola $aria+le* De+ido a .ue la transformada de Laplace es un operador lineal! la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada t)rmino*
A.u/ est" una lista de las transformadas m"s comunes* En ella denota a la llamada función de @ea$iside o función escalón! .ue $ale 2 cuando su arumento es positi$o ' % cuando su arumento es neati$o* Cuando su arumento $ale % se le suele asinar el $alor 2:! aun.ue esto no tiene rele$ancia pr"ctica*
2
retraso ideal
2a
impulso unitario en)sima potencia retrasada ' con despla7amie nto en la frecuencia n1)sima potencia
:
:a
:a* 2
.1)sima potencia
:a* :
escalón unitario
:+
escalón unitario con retraso Rampa
:c
:d
:d* 2
potencia n1 )sima con cam+io de frecuencia amortiuació n e-ponencial con$erenci a e-ponencial
TONY CARDENAS ALVARADO
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO] +
e-ponencial do+le
4
seno
;
coseno
;+
seno fase
seno ,iper+ólico
3
coseno ,iper+ólico
9
onda senoidal con amortiuami ento e-ponencial onda cosenoidal con amortiuami ento e-ponencial ra/7 n1)sima
2%
con
22
loaritmo natural
2:
Función de essel de primer tipo! de orden n Función de essel modificada de primer tipo! de orden n Función de essel de seundo tipo! de orden % Función de essel modificada de seundo tipo! de orden % Función de error
2
24
2;
2
•
•
•
representa la función escalón unitario* representa la Delta de Dirac* representa
la
•
•
• •
! un n#mero real! t/picamente representa tiempo ! aun.ue puede representar cual.uier $aria+le independiente* es la frecuencia anular comple5a* ! ! ! ' son n#meros reales* es un n#mero entero*
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO] función amma* es la constante de Euler1Masc,eroni* Sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso , (t es cero para todo tiempo t anterior a t G %* En eneral! el ROC para sistemas causales no es el mismo .ue el ROC para sistemas anti causales* H)ase tam+i)n causalidad* •
La transformada de Laplace est" estrec,amente relacionada con la Transformada de Fourier ' la Transformada I ($)ase por e5emplo& Relación de la transformada I con la transformada de Laplace *
Para otros usos de este t)rmino! $)ase Transformación (desam+iuación * La (pr* fJrieɪ! denominada as/ por 8osep, Fourier! es una transformación matem"tica empleada para transformar seKales entre el dominio del tiempo (o espacial ' el dominio de la frecuencia! .ue tiene muc,as aplicaciones en la f/sica ' la inenier/a* Es re$ersi+le! siendo capa7 de transformaciones de cual.uiera de los dominios al otro* El propio t)rmino se refiere tanto a la operación de transformación como a la función .ue produce* En el caso de una función periódica en el tiempo (por e5emplo! un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal! la transformada de Fourier se puede simplificar para el c"lculo de un con5unto discreto de amplitudes comple5as! llamado coeficientes de las series de Fourier* Ellos representan el espectro de frecuencia de la seKal del dominio1tiempo oriinal* La transformada de Fourier es una aplicación .ue ,ace corresponder a una función de $alores comple5os ' definida en la recta! con otra función definida de la manera siuiente&
Donde es ! es decir! tiene .ue ser una función intera+le en el sentido de la interal de Le+esue* El factor! .ue acompaKa la interal en definición facilita el enunciado de alunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier* Aun.ue esta forma de normali7ar la transformada de Fourier es la m"s com#nmente adoptada! no es uni$ersal* En la pr"ctica las $aria+les ' suelen estar asociadas a dimensiones como el tiempo 6 seundos6 ' frecuencia 6,er7ios6 respecti$amente! si se utili7a la fórmula alternati$a&
la constante cancela las dimensiones o+teniendo un e-ponente adimensional*
asociadas a las $aria+les
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO] La transformada de Fourier as/ definida o7a de una serie de propiedades de continuidad .ue aranti7an .ue puede e-tenderse a espacios de funciones ma'ores e incluso a espacios de funciones enerali7adas* Sus aplicaciones son muc,as! en "reas de la ciencia e inenier/a como la f/sica! la teor/a de los n#meros! la com+inatoria! el procesamiento de seKales (electrónica! la teor/a de la pro+a+ilidad! la estad/stica! la óptica! la propaación de ondas ' otras "reas* En procesamiento de seKales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una seKal en componentes de frecuencias diferentes! es decir! corresponde al espectro de frecuencias de la seKal * La rama de la matem"tica .ue estudia la transformada de Fourier ' sus enerali7aciones es denominada an"lisis armónico* Son $arias las notaciones .ue se utili7an para la transformada de Fourier de * @e a.u/ alunas de ellas& *
La transformada de Fourier relaciona una función en el dominio del tiempo! mostrada en ro5o! con una función en el dominio de la frecuencia! mostrado en a7ul* Las frecuencias componentes! e-tendidas para todo el espectro de frecuencia! son representadas como picos en el dominio de la frecuencia* La transformada de Fourier es +"sicamente el espectro de frecuencias de una función*
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO] Sea una función Le+esue intera+le&
La transformada de Fourier de es la función
Esta interal tiene sentido! pues el interando es una función intera+le*
es continua*
La transformada de Fourier in$ersa de una función intera+le definida por&
est"
Nótese .ue la #nica diferencia entre la transformada de Fourier ' la transformada de Fourier in$ersa es el sino neati$o en el e-ponente del interando* El teorema de in$ersión de Fourier formulado a+a5o 5ustifica el nom+re de transformada de Fourier in$ersa dado a esta transformada* El sino neati$o en el e-ponente del interado indica la traspolación de complementos 'u-tapuestos* Estos complementos pueden ser anali7ados a tra$)s de la aplicación de la $arian7a para cada función*
La transformada de Fourier es una aplicación lineal&
Halen las siuientes propiedades para una intera+le & •
función a+solutamente
Cam+io de escala&
•
Traslación&
•
Traslación en la $aria+le transformada&
•
Transformada de la deri$ada& Si ' su deri$ada son intera+les!
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO] •
Deri$ada de la transformada& Si transformada de Fourier
'
son intera+les! la
es diferencia+le
Estas identidades se demuestran por un cam+io de $aria+les o interación por partes* En lo .ue siue! definimos la con$olución de dos funciones ' en la recta de la manera siuiente&
Nue$amente la presencia del factor delante de la interal simplifica el enunciado de los resultados como el .ue siue& Si ' son funciones a+solutamente intera+les! la con$olución tam+i)n es intera+le! ' $ale la iualdad&
Tam+i)n puede enunciarse un teorema an"loo para la con$olución en la $aria+le transformada!
Pero este e-ie cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier*
En alunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicati$o diferente de
! siendo frecuente en inenier/a el uso de un factor unidad
en la transformada directa ' un factor de en la transformada in$ersa* A continuación se lista una ta+la de funciones ' sus transformadas de Fourier con un factor unidad* Si se desea utili7ar otro factor! sólo de+e multiplicar la seunda columna por ese factor*
(Función unitaria de @ea$iside
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO]
La idea +"sica del teorema de in$ersión es .ue dada una función ! la transformada de Fourier in$ersa aplicada a la transformada de Fourier de resulta en la misma función oriinal! en s/m+olos&
Sin em+aro! el resultado formulado de esta forma no es siempre $"lido! por.ue el dominio de la transformada de Fourier como lo ,emos definido en el primer p"rrafo de este art/culo no es in$ariante! o sea .ue la transformada de Fourier de una función intera+le no es necesariamente intera+le* Para formular el teorema de in$ersión necesitamos encontrar espacios de funciones .ue sean in$ariantes +a5o la transformada de Fourier* De ,ec,o! ,a' numerosas posi+ilidades! la m"s natural del punto de $ista t)cnico siendo el espacio de Sc,art7 de funciones r"pidamente decrecientes* Sin em+aro a.u/ tomamos un camino m"s directo para formular un enunciado& * El espacio de funciones comple5as definidas en la recta tales .ue ' la transformada de Fourier de sean intera+les! es in$ariante tanto por la transformada de Fourier .ue por la transformada de Fourier in$ersa* Adem"s para una función en este espacio! $ale el teorema de in$ersión (2* Otra posi+ilidad para formular un teorema de in$ersión se fundamenta en el ,ec,o de .ue la transformada de Fourier tiene muc,as e-tensiones naturales*
El espacio de Sc,art7 consiste de las funciones tomando $alores comple5os! definidas en ℝ e infinitamente diferencia+les tales .ue para todo ' enteros no neati$os
TONY CARDENAS ALVARADO
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO]
Donde (n es la n1)sima deri$ada de * Denotamos al espacio de Sc,art7 por el s/m+olo * Teorema Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier in$ersa son aplicaciones lineales
Adem"s $ale la fórmula de in$ersión&
El espacio de Sc,art7 es in$ariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales! es decir de la forma
Donde P son polinomios* De+ido a las propiedades
'
La transformada de Fourier es una ,erramienta mu' importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales tanto para la teor/a como para su resolución pr"ctica*
De+ido a .ue las Bfunciones +aseB e i- son ,omomorfismos de la l/nea real (m"s concretamente! del Brupo del c/rculoB tenemos ciertas identidades #tiles& 2* Si
entonces
:* La transformada de Fourier es un morfismo&
Es decir! la transformada de Fourier de una con$olución es el producto de las transformadas de Fourier*
TONY CARDENAS ALVARADO
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[TÍTULO DEL DOCUMENTO] La transformada de Fourier se utili7a para pasar una seKal al dominio de frecuencia para as/ o+tener información .ue no es e$idente en el dominio temporal* Por e5emplo! es m"s f"cil sa+er so+re .u) anc,o de +anda se concentra la ener/a de una seKal anali7"ndola en el dominio de la frecuencia* Tam+i)n sir$e para resol$er ecuaciones diferenciales con ma'or facilidad '! por consiuiente! se usa para el diseKo de controladores cl"sicos de sistemas realimentados! si conocemos la densidad espectral de un sistema ' la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida* Esto es mu' #til para el diseKo de filtros de radiotransistores* La transformada de Fourier tam+i)n se utili7a en el "m+ito del tratamiento diital de im"enes! como por e5emplo para me5orar o definir m"s ciertas 7onas de una imaen fotor"fica o tomada con una computadora! $)ase ond/cula (Na$elet * Definido el producto escalar entre funciones de la siuiente manera&
la transformada de Fourier se puede entender como el producto escalar entre la función ' la e-ponencial comple5a e$aluado so+re todo el rano de frecuencias * Por la interpretación usual del producto escalar! en a.uellas frecuencias en las .ue la transformada tiene un $alor ma'or! m"s parecido tiene
con una e-ponencial comple5a*
TONY CARDENAS ALVARADO
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