Transformadas de Laplace Yoel oe l E. Guti´ Gut i´errez err ez T.
1.
Introd trodu ucci´ ci´ on on
on on inLa transformada de Laplace es un ejemplo de una clase llamada transformaci´ on f (t) de una variable t (a la cual nos referiremos como tegral y transforma una funci´on tiempo) en un funci´on on F (s) de otra variable s (la frecuencia). La atracci´ on on de la transformada de Laplace es que transforma ecuaciones diferenciales en el dominio t en ecuaciones algebraicas en el domino s.
2.
Definicion ´ on y notaci´ on on
La transformada de Laplace de una funci´ on on f de valores reales o complejos y de variable real t ≥ 0 es una funci´ on on F definida mediante la expresi´ on on ∞
F (s) = L[f (t)] =
e−st f (t)dt,
(2.1)
0
siempre que la integral converja.
Observaciones 1. La variabl variablee s es compleja. compleja. Por simplicidad, simplicidad, trataremos, trataremos, la mayor mayor´´ıa de las veces veces a s como real. −st
2. e
es llamado el n´ucleo ucleo de la transformaci´ on. on.
3. El s´ımbolo ımb olo L denota el operador transformada de Laplace ; cuando opera en una funci´on on f (t) la transforma en una funci´ on on F (s). 4. Con frecuenc frecuencia ia ocurre en la pr´ actica actica que existe un n´ umero umero real s0 tal que la integral en (2.1) converge converge si s > s0 , pero no converge si s ≤ s0 . El conjunto de valores reales s, tal que s > s0 , recibe el nombre de rango de convergencia o de existencia de L[f (t)]. Puede ocurrir que la integral en (2.1) no exista para ning´ un un valor de s. 5. Cuando tomamos tomamos la transformada transformada de Laplace, el comportamiento comportamiento de f (t) para valores negativos negativos de t es ignorado o suprimido. Esto significa que F (s) contiene informaci´ on on sobre el comportamiento comportamiento de f (t) s´olo olo par t ≥ 0, as´ı que la l a transfor tra nsformada mada de Laplace La place no 1
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2
es una herramienta conveniente para investigar problemas en los que sean relevantes los valores de f (t) para t < 0. en la mayor´ıa de las aplicaciones a la ingenier´ıa esto no causa ning´ un problema, ya que estamos interesados en sistemas f´ısicos para los cuales las funciones con las que estamos tratando var´ıan con el tiempo t. Un atributo de los sistemas f´ısicos realizables es que no son anticipantes en el sentido de que no hay una salida (o respuesta) hasta que se aplica una entrada (o excitaci´ on). 6. Si el comportamiento de f (t) para t < 0 es de inter´es entonces necesitamos la transformada de Laplace bilateral o de dos lados de la funci´on f (t) definida por ∞
LB [f (t)] =
e−st f (t)dt.
(2.2)
−∞
La transformada de Laplace definida por (2.1) con l´ımite inferior cero es algunas veces llamada la transformada de Laplace unilateral o de un lado de la funci´on f (t). Nos ocuparemos solamente de estas u´ltimas transformadas y nos referiremos a ellas simplemente como la transformada de Laplace de la funci´ on f (t).
3.
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace
Para poder establecer ciertas condiciones sobre f (t) de manera que garantice la existencia de L[f (t)], introduciremos los conceptos de convergencia, continuidad parcial y orden exponencial.
Definici´ on 3.1 La integral
∞
f (t)dt
(3.3)
0
se dice que es convergente si existe
r
l´ım
r −→0
f (t)dt,
(3.4)
0
en cuyo caso el valor de (3.3) es, por definici´ on, el valor de (3.4). on f (t) discontinua en un punto t0 , tiene una discontinuidad Definici´ on 3.2 Una funci´ de salto en ese punto si l´ım f (t) = f (t0 +) y
t−→t0 +
l´ım f (t) = f (t0 −)
t−→t0 −
existen.
Definici´ on 3.3 Una funci´ on f (t) es parcialmente continua en el intervalo [0, ∞) si f (0+) existe y f (t) es continua en todo intervalo finito (0, b) excepto, posiblemente, en un n´ umero finito de punto de (0, b) en los cuales f (t) tiene una discontinuidad de salto.
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3
Definici´ on 3.4 Una funci´ on f (t) es de orden exponencial α si existen constantes reales α, M > 0 y T ≥ 0 tales que |f (t)| ≤ M eαt siempre que t ≥ T . Lo que nos dice esta definici´ on es que una funci´ on f (t) es de orden exponencial si no crece m´a s r´apido que una funci´on exponencial de la forma M eαt . Afortunadamente la mayor´ıa de las funciones de significado pr´ actico satisfacen este requerimiento, y por tanto son de orden exponencial.
Teorema 3.1 (Existencia de la transformada de Laplace) Si la funci´ on f (t) es parcialmente continua en [0, ∞) y de orden exponencial α, entonces la transformada de Laplace existe existe para Re(s) > α. Las condiciones dadas en la hip´ otesis del teorema anterior son suficientes para garantizar la existencia de la transformada de Laplace de una funci´ on. Sin embargo, no constituyen condiciones necesarias.
4.
Propiedades de la transformada de Laplace
Consideraremos algunas de las propiedades de la transformada de Laplace que nos ayudaran a encontrar las transformadas de Laplace de algunas funciones.
Teorema 4.1 (Linealidad) Si L[f (t)] existe para Re(s) > α y L[g (t)] existe para Re(s) > β , entonces tambi´en existe L[af (t) + bg (t)] para Re(s) > m´ ax α, β , y L[af (t) + bg(t)] = aL[f (t)] + bL[g (t)],
(4.5)
donde a y b son constantes arbitrarias.
Teorema 4.2 (Primer teorema de traslaci´on) Si f (t) es una funci´on que tiene una transformada de Laplace F (s) con Re(s) > α, entonces la funci´ on eat f (t) tambi´en tiene una transformada de Laplace dada por L[eat f (t)] = F (s − a),
5.
Re(s) > α + a.
La transformada inversa
En la pr´ actica es de mucha importancia la capacidad de recuperar f (t) a partir de su transformada de Laplace F (s). As´ı, es natural hablar de la transformada inversa de Laplace de una funci´on F (s), esto es, de una funci´on f (t) tal que L[f (t)] = F (s). Escribimos f (t) = L−1 [F (s)].
(5.6)
Aunque es claro que siempre que exista una transformada de Laplace, ´esta es unica, ´ no se puede afirmar lo mismo respecto a la transformada inversa de Laplace. Restringiremos nuestra atenci´ on a las funciones que son continuas en [0, ∞).
Teorema 5.1 Distintas funciones continuas en [0, ∞) tienen distintas trasformadas de Laplace.
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Observaciones 1
−
1. El s´ımbolo L
se llama operador de la transformada inversa de Laplace.
2. La propiedad de linealidad para la transformada de Laplace establece que si a y b son constantes cualesquiera, L[af (t) + bg(t)] = aL[f (t)] + bL[g (t)] = aF (s) + bG(s). Entonces se sigue que L 1 [aF (s) + bG(s)] = af (t) + bg (t) = aL 1 [F (s)] + bL 1 [G(s)], −
−
−
as´ı que el operador inverso de la transformada de Laplace L lineal.
1
−
tambi´en es un operador
3. Uno de los m´etodos m´as importantes para buscar la transformada inversa de Laplace es el m´etodo de la fracciones parciales. 4. En el primer teorema de traslaci´ on vimos que para un escalar a, L[f (t)] = F (s) −→ L[eat f (t)] = F (s − a). Expresado en forma inversa, el teorema se convierte en L 1 [F (s)] = f (t) −→ L 1 [F (s − a)] = eat f (t). −
6.
−
Derivada e integral de la transformada de Laplace
Teorema 6.1 (Derivada de la transformada de Laplace) Si f (t) es parcialmente continua en [0, ∞), de orden exponencial α y L[f (t)] = F (s), entonces si n = 1, 2, . . ., dn F (s) = (−1)n L[tn f (t)] n ds
(6.7)
s > α.
Del mismo modo, si L 1 [F (s)] = f (t), entonces −
1
−
L
dn [ n F (s)] = (−1)n tn f (t). s
(6.8)
Teorema 6.2 (Integral de la transformada de Laplace) Si f (t) es parcialmente continua en [0, ∞), de orden exponencial α, L[f (t)] = F (s) y l´ımt 0+ f (tt) existe, entonces −→
∞
s
F (x)dx = L[
f (t) ] t
s > α.
(6.9)
Transformadas de Laplace
7.
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5
Ecuaciones diferenciales ordinarias
La transformada de Laplace es u´til para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, para ello es necesario conocer las transformadas de Laplace de derivadas e integrales de una funci´ on.
7.1.
Transformadas de Laplace de las derivadas de una funci´ on
Teorema 7.1 Si f (t) es una funci´ on continua en [0, ∞) y de orden exponencial α, y su derivada es parcialmente continua en [0, ∞), entonces ′
L[f (t)] = sF (s) − f (0)
(7.10)
s > α.
Prueba. Integrando por partes se tiene que ∞
∞
′
L[f (t)] =
−st
e
−st
′
f (t)dt = e
0
f (t)
∞
e−st f (t)dt.
+s
0
0
N´otese que como f (t) es de orden exponencial α, entonces −st
|e
f (t)| ≤ e−st M eαt = M e(α−s)t −→ 0
t −→ ∞.
si
Esto es ′
L[f (t)] = sF (s) − f (0) s > α. Mediante la aplicaci´ on sucesiva de la regla (7.10) se obtienen reglas para hallar las transformadas de Laplace de derivadas de orden superior, por ejemplo L[f (t)] = sL[f (t)] − f (0) = s2 F (s) − sf (0) − f (0) ′′
′
′
′
y L[f (3) (t)] = sL[f (t)] − f (0) = s3 F (s) − s2 f (0) − sf (0) − f (0). ′′
′′
′
′′
En general, se obtiene el siguiente resultado
Teorema 7.2 Si f (t), f (t), . . ., f (n 1) (t) son funciones continua en [0, ∞) y de orden exponencial α, y f (n) (t) es parcialmente continua en [0.∞), entonces ′
−
L[f (n) (t)] = sn F (s) − sn 1 f (0) − sn 2 f (0) − . . . − sf (n −
−
′
2)
−
(0) − f (n
1)
−
(0).
(7.11)
La ventaja de usar la transformada de Laplace cuando tratamos con ecuaciones diferenciales ordinarias puede verse r´ apidamente ya que nos permite reemplazar la operaci´ on de diferenciaci´ on en el dominio tiempo por una operaci´ on algebraica sencilla en el dominio s.
Transformadas de Laplace
7.2.
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6
Transformada de Laplace de la integral de una funci´ on
En algunas aplicaciones, el comportamiento de un sistema puede ser representado por una ecuaci´ on integro diferencial , que es una ecuaci´on que contiene tanto derivadas como integrales de una inc´ ognita variable. Para resolver directamente tales ecuaciones es t conveniente poder obtener la transformada de Laplace de integrales tales como 0 f (u)du.
∫
Teorema 7.3 Si f (t) es una funci´ on parcialmente continua en [0, ∞) y de orden exponencial α ≥ 0, entonces t
L
0
f (u)du =
Prueba. Escribiendo
1 s
L[f (t)]
s > α.
(7.12)
t
g (t) =
f (u)du
0
tenemos g (t) = f (t), excepto en los puntos de discontinuidad de f (t). Integrando por partes se obtiene que ′
∞
0
e−st g(t) −st e g (t)dt = −s
Pero, t
−st
|e
g (t)| ≤ e
−st
∞
+
0
∞
1 s
0
t
−st
f (u)du ≤ M e
0
e−st f (t)dt.
eαu du =
0
M −(s−α)t (e − e−st ) −→ 0 α
cuando t −→ ∞ para s > α ≥ 0. Entonces 1 L[g (t)] = L[f (t)] s > α. s
7.3.
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Estamos ahora en posici´ on de usar el m´ etodo de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes. Para ilustrar esto, consideremos la EDO lineal de segundo orden d2 y dy a 2 +b + cy = g (t) dt dt
(t ≥ 0)
sujeta a las condiciones iniciales y (0) = t0, y (0) = t1 . Al tomar la transformada de Laplace de cada t´ermino en (7.13) se obtiene ′
d2 y dy aL + b L + cL[y] = L[g (t)] dt2 dt
a[s2 Y (s) − sy (0) − y ′ (0)] + b[sY (s) − y (0)] + cY (s) = G(s)
(7.13)
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[as2 + bs + c]Y (s) = G(s) + at1 + [as + b]t0 as´ı que Y (s) =
G(s) + at1 + [as + b]t0 . as2 + bs + c
(7.14)
Por u ´ ltimo, aplicamos la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´ on (7.14) para obtener la soluci´ on y = L 1 [Y (s)]. −
Observaciones 1. Una ventaja distintiva al usar la transformada de Laplace es que nos permite reemplazar la operaci´ on de diferenciaci´ on por una operaci´ on algebraica. Consecuentemente, al tomar la transformada de Laplace de cada t´ermino de una EDO, ´esta es convertida en una ecuaci´ on algebraica en la variable s. 2. El m´etodo la transformada de Laplace produce la soluci´ on completa de la EDO lineal con las condiciones iniciales autom´ aticamente incluidas. 3. El m´etodo de la transformada de Laplace se adapta idealmente para resolver problemas con valor inicial, esto es, las EDO lineales en donde est´an especificadas todas las condiciones iniciales y(0), y (0), y as´ı sucesivamente, en el tiempo t = 0. El m´etodo es menos atractivo para problemas con valores en la frontera, cuando no todas las condiciones en y (t) y sus derivadas est´ an especificadas en t = 0, pero algunas est´ an especificadas en otros valores de la variable independiente. Sin embargo, todav´ıa se puede utilizar el m´etodo de la transformada de Laplace si se asignan constantes arbitrarias a una o m´as de las condiciones iniciales y despu´es se determinan sus valores usando las condiciones de frontera dadas. ′
4. Debe notarse que el denominador del lado derecho de (7.14) es el lado izquierdo de (7.13) reemplazando el operador dtd con s. El denominador igualado a cero tambi´en corresponde a la ecuaci´ on caracter´ıstica usada en el tratamiento cl´ asico. 5. El m´ etodo usado para resolver una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes puede ser aplicado f´ acilmente a EDO lineales de orden superior. Para EDO de orden superior el proceso de aplicar la inversi´on puede resultar bastante tediosa, y conviene usar m´etodos matriciales.
8.
Funci´ on escal´ on unitario
En muchas aplicaciones de la ingenier´ıa se consideran problemas que involucran funo n esciones discontinuas. Para manipular tales funciones discontinuas usamos la funci´ cal´ on unitario U (t), definida por U (t) =
{
0
t<0
1
t≥0
(8.15)
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8
on de Heaviside. Una funci´on La funci´ on escal´on unitario tambi´en se conoce como funci´ que representa un escal´ on unitario en t = a puede ser definida por una traslaci´ on horizontal de duraci´on a. Esta est´a definida por U (t − a) =
{
0
t
1
t≥a
(8.16)
La funci´ on producto f (t)U (t − a) toma valores f (t)U (t − a) =
{
0
t<0
(8.17)
t≥0
f (t)
as´ı la funci´on U (t − a) puede ser interpretada como un mecanismo para encender la funci´ on f (t) en t = a. De esta manera, podemos construir una funci´ on discontinua, usando la funci´on escal´on unitario. Alternativamente, una funci´ on discontinua tambi´en puede ser construida usando la funci´ on pulso unitario U (t − a) − U (t − b) =
8.1.
{
1
a≤t
0
en
otro
(8.18)
caso
Transformada de Laplace de la funci´ on escal´on unitario
Por la definici´on de la transformada de Laplace, la transformada de U (t − a), a ≥ 0, est´a dada por ∞
L[U (t − a)] =
∞
−st
U (t − a)e
dt =
0
a
Esto es,
e−st −st e dt = −s
e−as L[U (t − a)] = , s
y el caso particular de a = 0
1 L[U (t)] = , s
a ≥ 0,
∞
a
e−as = , s
a ≥ 0,
s > 0.
s>0
s > 0.
(8.19) (8.20)
N´otese que es apropiado escribir 1
−
L
8.2.
e−as = U (t − a), s
a ≥ 0,
s > 0.
(8.21)
El segundo teorema de traslaci´ on
Este teorema algunas veces es conocido como Teorema de Heviside o de retraso.
Teorema 8.1 si L[f (t)] = F (s) entonces para una constante no negativa a −as
L[f (t − a)U (t − a)] = e
F (s).
(8.22)
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Prueba. Por definici´on ∞
L[f (t − a)U (t − a)] =
∞
f (t − a)U (t − a)e
−st
dt =
0
f (t − a)e−st dt.
a
Haciendo la sustituci´ on T=t-a ∞
L[f (t − a)U (t − a)] =
∞
(T +a)
−s
f (T )e
−as
dT = e
0
Como F (s) = L[f (t)] =
∞
∫ 0
f (T )e−sT dT.
0
f (T )e−sT dT , se sigue que −as
L[f (t − a)U (t − a)] = e
F (s).
Observaciones 1. Es importante distinguir entre las dos funciones f (t)U (t − a) y f (t − a)U (t − a). Como vimos antes f (t)U (t − a) simplemente indica que la funci´on f (t) est´a encendida en el tiempo t = a, as´ı que f (t)U (t − a) =
{
0
t<0 t≥0
f (t)
Por otro lado, f (t − a)U (t − a) representa una traslaci´ on a la derecha (ya que a ≥ 0) de la funci´on f (t) a unidades, as´ı que f (t − a)U (t − a) =
{
0
t<0
f (t − a)
t≥0
puede interpretarse como la representaci´ on de la funci´ on f (t) retrasada en el tiempo por a unidades. As´ı, cuando consideramos su transformada de Laplace e as F (s), donde F (s) denota la trasformada de Laplace de f (t), la componente e as puede ser interpretada como el operador retraso en la transformada F (s). Esto indicar´a que la respuesta del sistema caracterizada por F (s) ser´a retrasada en el tiempo a unidades. Como muchos sistemas pr´ acticos importantes tienen alguna forma de retraso inherente a su comportamiento, es claro que el resultado de este teorema es muy util. ´ −
−
2. En la pr´actica, la importancia del segundo teorema de traslaci´ on radica en determinar transformadas inversas, ya que, en muchos sistemas pr´ acticos los ingenieros est´ an interesados en conocer como influyen los retrasos en la respuesta del sistema. consecuentemente, para muchos, la forma m´ as usual del segundo teorema de traslaci´ on es L 1 [e as F (s)] = f (t − a)U (t − a). (8.23) −
−
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Funciones peri´ odicas
Ya hemos determinado la transformada de Laplace de funciones peri´odicas tales como cos ωt y sen ωt, que son funciones continuas suaves (derivables). Sin embargo, en muchas aplicaciones de la ingenier´ıa, frecuentemente encontramos funciones peri´odicas que tienen un comportamiento discontinuo. El siguiente teorema provee una expresi´ on expl´ıcita para la transformada de Laplace de una funci´on peri´ odica.
Teorema 9.1 Si f (t) es continua por tramos en [0, ∞),de orden exponencial y peri´ odica con periodo T , esto es f (t + nT ) = f (t) para todo entero n, entonces T
1
L[f (t)] =
1−e
−sT
e−st f (t)dt.
0
Prueba. La transformada de Laplace de f (t) existe y puede ser expresada como una serie de integrales sobre periodos sucesivos; esto es, ∞
∞
L[f (t)] =
−st
f (t)e
dt =
0
(1+r )T
f (t)e−st dt.
rT
r=0
Si hacemos la sustituci´on t = v + rt, entonces ∞
L[f (t)] =
(T
r =0
f (v + rT )e−s(v+rT ) dv.
0
Como f (t) es peri´odica con periodo T , f (v + rT ) = f (v )
r = 0, 1, 2, . . . ,
as´ı que ∞
L[f (t)] =
r =0
∑
La serie com´ un e
∞
r =0 −sT
∞
(T
−sv
f (v )e
−srt
e
dv =
0
(T
( ) −srt
e
r =0
f (v )e−sv dv.
0
e−srt es una progresi´ on geom´etrica infinita cuyo primer t´ermino es 1 y raz´ on
. Su suma est´a dada por L[f (t)] =
1 , 1−e−sT
as´ı que
1 1−
e−sT
(T
f (v )e−sv dv.
0
Como, dentro de la integral, v es una variable nula, la podemos reemplazar por t para obtener el resultado deseado.
Transformadas de Laplace
10.
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La funci´ on delta de Dirac
Con frecuencia, sobre los sistemas mec´ anicos act´ uan fuerzas externas (o bien sobre los circuitos el´ectricos) de gran magnitud s´ olo durante un lapso muy breve; por ejemplo, en un ala de aeroplano que se encuentra oscilando, puede caer un rayo, se puede dar un golpe brusco a una masa en un resorte con un martillo, o una bola de b´eisbol, podr´ıa mandarse volando golpe´ andola violentamente con un bate. La funci´ on de pulso δa (t − t0 ) definida por
δa (t − t0 ) =
t < t0 − a
0 1 2a
t0 − a ≤ t < t0 + a
(10.24)
t ≥ t0 + a,
t
cuando a > 0, t0 ≥ 0 podr´ıa servir como modelo matem´ atico de este tipo de fuerzas. Para valores peque˜ n os de a, δa (t − t0 ) es, esencialmente, una funci´on constante de gran magnitud que se encuentra encendida s´ olo durante un lapso muy peque˜ no, alrededor de t0 . Esta funci´ on δa (t−t0 ), se llama impulso unitario porque tiene la propiedad de integraci´ on, ∞
δa (t − t0 )dt = 1.
−∞
En la practica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con la expresi´on δ (t − t0 ) = l´ım δa (t − t0 ). a−→0
(10.25)
on delta de Dirac , se puede caracterizar mediante Esta u´ltima expresi´on, llamada funci´ las dos propiedades siguientes: 1. δ (t − t0 ) = 2.
∞
∫
−∞
{
∞
t = t0 t̸ = t0
0
δ (t − t0 )dt = 1.
La funci´ on delta de Dirac no es una funci´on en el sentido usual. Sin embargo, sus propiedades, son tales que, usadas con cuidado pueden conducir a resultados que tienen significado f´ısico o pr´actico y que en muchos casos no se pueden obtener por ning´ un otro m´etodo. En este con texto, provee a los ingenieros de una herramienta matem´ atica importante.
10.1.
La propiedad del filtrado
Es posible, bajo condiciones adecuadas, multiplicar una funci´ on ordinaria por la funci´ on delta de Dirac. As´ı δ (t − t0 )f (t) = f (t)δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
siempre que la funci´on f (t) sea continua en t = t0 .
(10.26)
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12
La expresi´ on (10.26) establece que si f (t) es continua en t = t0 entonces ∞
f (t)δ (t − t0 )dt = f (t0 ).
(10.27)
−∞
La propiedad importante (10.27) de la funci´ on delta de Dirac es de significado practico y es llamada propiedad de filtrado , porque provee un m´etodo que permite aislar, o separar, el valor de una funci´on en cualquier punto particular. Por razones te´ oricas es conveniente usar l´ımites infinitos en (10.27), aunque en realidad pueden ser sustituidos por l´ımites finitos. Esto es cierto ya que para α < t0 < β , donde α y β son constantes β
f (t)δ (t − t0 )dt = f (t0 ).
(10.28)
α
10.2.
La transformada de Laplace de la funci´ on delta de Dirac
La transformada de Laplace de la funci´ on del de Dirac se puede deducir f´ acilmente de la propiedad (10.27). Como δ(t − t0 )=0 para t ̸ = t0 , si hacemos f (t) = e st en (10.27), vemos que para t0 ≥ 0, −
∞
L[δ (t − t0 )] =
e−st δ (t − t0 )dt = e−t s . 0
−∞
As´ı, para t0 ≥ 0
−t0 s
L[δ (t − t0 )] = e
.
(10.29)
o, en t´erminos de la transformada inversa, L 1 [e −
10.3.
−t0 s
] = δ (t − t0 ).
(10.30)
Relaciones entre la funci´ on escal´ on unitario y la delta de Dirac
De las definiciones de u(t) y δ (t) se puede argumentar que t
u(t) =
δ (t)dt,
(10.31)
−∞
ya que el intervalo de integraci´on contiene al cero si t > 0 pero no si t < 0. Inversamente, (10.31) puede escribirse como δ (t) =
d u(t) = u′ (t), dt
(10.32)
que expresa el hecho de que u (t) es cero en todas partes excepto en t = 0, cuando ocurre el salto en u(t). Igualmente se puede argumentar que ′
δ (t − t0 ) =
d u(t − t0 ) = u′ (t − t0 ) dt
(10.33)
Transformadas de Laplace
11.
Yoel Guti´ errez - 2008
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Convoluci´ on
La convoluci´ on de dos funciones f (t) y g (t) parcialmente continuas en (0, ∞], tiene muchas aplicaciones en varios campos de la ingenier´ıa, esta denotada por (f ∗ g)(t) y definida como t (f ∗ g )(t) =
f (µ)g (t − µ)dµ.
(11.34)
0
Sustituyen α = t − µ en (11.34) obtenemos t
(f ∗ g)(t) =
g (α)f (t − α)dα = (g ∗ f )(t).
0
Esto es, la convoluci´on es conmutativa. Otras propiedades b´ asicas de la convoluci´on son las siguientes: 1. c(f ∗ g ) = cf ∗ g = f ∗ cg c constante 2. f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g ) ∗ h 3. f ∗ (g + h) = (f ∗ g ) + ( f ∗ h), las cuales se demuestran f´acilmente a partir de la definici´on. La importancia de la convoluci´ on en la teor´ıa de la transformada de Laplace es que nos permite obtener la transformada inversa de un producto de dos transformadas. El resultado necesario para hacer esto est´ a contenido en el siguiente teorema.
Teorema 11.1 Si f (t) y g(t) son dos funciones parcialmente continuas en [0, ∞), de orden exponencial α y tienen transformadas de Laplace F (s) y G(s) respectivamente, entonces t
L
[
]
f (µ)g (t − µ)dµ = L[(f ∗ g )(t)] = F (s)G(s)
0
(11.35)
o, en la forma inversa m´ as usual, L 1 [F (s)G(s)] = (f ∗ g)(t). −
(11.36)
on Prueba. Por definici´ ∞
F (s)G(s) = L[f (t)]L[g (t)] =
[
∞
][
e−sx f (x)dx
0
]
e−sy g (y )dy ,
0
donde hemos usado, en las integrales, las variables ficticias x e y , en lugar de t, para evitar confusiones. Ahora, esto puede ser expresado mediante la integral doble como ∞
F (s)G(s) =
∞
0
−s
e
(x+y )
f (x)g (y )dxdy =
0
e−s(x+y) f (x)g (y )dxdy,
R
donde R es el primer cuadrante en el plano (x, y ). Haciendo la sustituci´on x+y =t
y = µ,
Transformadas de Laplace
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la integral doble se transforma en F (s)G(s) =
e−st f (t − µ)g(µ)dtdµ,
R1
donde R1 es la regi´on semi-infinita en el plano (µ, t) acotada por la recta µ = 0 y µ = t. Esto puede escribirse como t
∞
F (s)G(s) =
( −st
e
0
∞
)
f (t − µ)g (µ)dµ dt =
0
e−st (g ∗ f )(t)dt = L[(g ∗ f )(t)]
0
y como la convoluci´on es conmutativa, podemos escribir F (s)G(s) = L[(f ∗ g )(t)],
lo cual concluye la demostraci´ on.